Adobe Systems
1
Aritmetika 2 – jaro 2023
4. prezentace - kongruence
Mgr. Helena Durnová, Ph.D.
RNDr. Petra Bušková, Ph.D.
Mgr. Jan Wossala, Ph.D.

Adobe Systems
2
Jaké relace na množině celých (přirozených) čísel již známe?

Adobe Systems
3
Připomenutí: věta o dělení se zbytkem

Adobe Systems
4
Kongruence a zbytkové třídy: jak souvisí?
̶Někdy nás zajímá pouze zbytek po dělení, nikoliv podíl.
V takovém případě můžeme použít kongruence.
̶Příklad 1: dny v týdnu se opakují po sedmi dnech. Víme-li, že např. 8. daného měsíce je středa,
potom 15. bude také středa; dále 18. bude sobota
̶Příklad 2: potřebujeme rozdělit ovoce mezi tři děti, ale máme 17 kusů ovoce. Číslo 17 dává po
dělení třemi zbytek 2, tedy když přidáme 1 nebo 4 nebo 7, … kusů ovoce, budeme mít počet kusů
dělitelný třemi
̶Všechna přirozená čísla můžeme rozdělit na třídy podle toho, jaký zbytek dávají po dělení číslem m
– těmto třídám říkáme
zbytkové třídy modulo m

Adobe Systems
5
Sčítání a násobení ve zbytkových třídách: m=3
Modulo 3
Můžeme zkoumat vlastnosti operací:
Sčítání: Násobení:
Komutativní Komutativní, Neutrální prvek: 1
Neutrální prvek: 0 (agresivní prvek pro násobení)
Inverzní prvky: existují Inverzní prvky: hledáme pouze pro nenulové prvky – 1 i 2 jsou inverzní
samy k sobě
+
0
1
2
0
0
1
2
1
1
2
0
2
2
0
1
(krát)
0
1
2
0
0
0
0
1
0
1
2
2
0
2
1

Adobe Systems
6
Sčítání a násobení ve zbytkových třídách: m=4
Modulo 4
Můžeme zkoumat vlastnosti operací:
Sčítání: Násobení:
Komutativní Komutativní
Neutrální prvek: 0 Neutrální prvek: 0
Inverzní prvky: existují Inverzní prvky: hledáme pouze pro nenulové prvky, ale ani 2 nemá inverzní
prvek
+
0
1
2
3
0
0
1
2
3
1
1
2
3
0
2
2
3
0
1
3
3
0
1
2
(krát)
0
1
2
3
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
2
0
2
0
2
3
0
3
2
1

Adobe Systems
7
Sčítání a násobení ve zbytkových třídách: m=5
Modulo 5
Můžeme zkoumat vlastnosti operací:
Sčítání: Násobení:
Komutativní Neutrální prvek: 0 Komutativní, Neutrální prvek: 1
Inverzní prvky: existují Inverzní prvky: hledáme pouze pro nenulové prvky, inverzní prvky existují
pro čísla 1-4
+
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
(krát)
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4

Adobe Systems
8
Sčítání a násobení ve zbytkových třídách: m=6
Modulo 6
Opět dopadá skoro všechno analogicky, nacházíme dva dělitele nuly: čísla 2 a 3.
Nápad: pokud je modulo prvočíslo, dělitelé nuly nebudou, jinak ano – děliteli nuly budou vždy
všichni dělitelé daného čísla
+
0
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
(krát)
0
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5

Adobe Systems
9
Příklady

Adobe Systems
10
Úlohy k opakování základů algebry 1

Adobe Systems
11
Úlohy k opakování základů algebry 2
Příklad 3:
Určete, jaké vlastnosti má relace dělitelnosti na množině přirozených čísel.
Připomínáme: číslo a je v relaci s číslem b tehdy, pokud platí: a dělí b
(tj. např. 3 dělí 3 --- dvojice 3, 3 je v relaci; 2 dělí 4, tj. dvojice 2, 4 je v relací,
ale 4 nedělí 2, tj. dvojice 4, 2 v relaci není
Příklad 4:
Určete, jaké vlastnosti má relace kongruence na množině celých čísel.
Připomínáme: číslo a je kongruentní modulo m s číslem b tehdy, pokud a i b dávají stejný zbytek po
dělení číslem m.

Adobe Systems
12
Kalendář
Když 1. ledna je pondělí, co je 1. července? - sobota
1. února? - čtvrtek 1. srpna? - úterý
1. března? - čtvrtek (nepřestupný rok) 1. září? - pátek
1. dubna? - sobota 1. října? - pondělí
1. května? - pondělí 1. listopadu? - čtvrtek
1. června? - čtvrtek 1. prosince? - sobota
Namátkou – loni bylo 1. září i 1. prosince úterý
Letos – 1. ledna byl pátek, 1. března pondělí, také 1. listopadu bude pondělí
0
3
3
6
1
4
6
2
5
0
3
5
Když 1. ledna je pondělí, co je 1. července? - sobota
1. února? - čtvrtek 1. srpna? - úterý
1. března? - čtvrtek (nepřestupný rok) 1. září? - pátek
1. dubna? - sobota 1. října? - pondělí
1. května? - pondělí 1. listopadu? - čtvrtek
1. června? - čtvrtek
1. prosince? - sobota

Adobe Systems
13
Přestupné roky a počáteční hodnota
-Každý čtvrtý rok, tj. rok dělitelný 4, avšak nikoliv 100
-Rok 1900 přestupný nebyl
-Přestupné roky ve 20. století:
1904, 1908, …., 1992, 1996
-A co rok 2000? – vzhledem k potřebě další (zpětné) korekce jsou roky dělitelné 400 přestupné, tedy
i rok 2000 byl přestupný
-Krása výpočtu dne podle data ve 20. století spočívá v tom, že 1. 1. 1900 bylo pondělí (výhoda viz
výpočet v tabulce).

Adobe Systems
14
Postup výpočtu ve 20. století
Datum 1. ledna 1900: 17. 11. 1989 výpočty modulo 7 – počet dnů v týdnu
Součet: 1 + 0 + 0 + 0 = 1 …. Bylo to pondělí součet: 3 + 3 + 5 + 1 = 12 kongr. 5 … pátek
Kódy dnů:
-
I. čtvrtletí
0
3
3
II. čtvrtletí
6
1
4
III. čtvrtletí
6
2
5
IV. čtvrtletí
0
3
5
Den – pořadové číslo
Měsíc (z tabulky)
Rok – pořadové číslo
Rok – podle počtu přestupných
1 / 17 … 3
0 / 3
1 / 89 … 5
0 / 88:4 = 22 …1
pondělí
úterý
středa
čtvrtek
pátek
sobota
neděle
1
2
3
4
5
6
0

Adobe Systems
15
Postup výpočtu pro 21. století
Datum 1. ledna 1900 / 11. 9. 2001 – jako pokračování 20. století
Součet: 1 + 0 + 0 + 0 = 1 …. Bylo to pondělí součet: 4 + 5 + 3 + 4 = 16 kongr. 2 … úterý
Kódy dnů:
-
I. čtvrtletí
0
3
3
II. čtvrtletí
6
1
4
III. čtvrtletí
6
2
5
IV. čtvrtletí
0
3
5
Den – pořadové číslo
Měsíc (z tabulky)
Rok – pořadové číslo
Rok – podle počtu přestupných
1 / 11 … 4
0 / 5
1 / 101 … 3
0 / 101:4 = 25 … 4
pondělí
úterý
středa
čtvrtek
pátek
sobota
neděle
1
2
3
4
5
6
0