NÁMĚTY K ROZVÍJENÍ KOMBIMAČNÍHO MYŠLENÍ Metodický materiál pro učitele matematiky 1. stupně ZŠ Růžena Blažková Květoslava Matoušková Milena Vaňurová Brno 1998 J I 1. Úvod Matematické vzdelávaní na prvním stupni základní škoíy by mělo vycházel z í vlastních zkušeností detí získaných jíž i v předškolním období a z přirozené i touhy detí "uměl počítat". Je vhodné, jestliže dětí získávají matematické í poznatky prostřednictvím řešení úloh z praktického života a prostřednictvím i různých činností, které mohou mít např. ráz hry. Jedna skupina úloh, kterc i prostřednictvím hravých činností upevňují matematické učivo, jc tvořena j úlohami s kombinatorickými námety. Kombinatorika není jako téma zařazena do ! osnov školské matematiky, ale jejích metod a postupu získávání výsledku lze I velnu vhodně využít v tématech do osnov zařazených. Nejvýrazněji se prvky kombinatoriky projevují v učivu numerace v oboru přirozených čísel, operace s přirozenými čísly a v geometrickém učivu. Dětí by se mČiy v rámci Školní výuky Í také učil vyhledávat, zpracovávat a hodnotit získané informace, pracovat s í různými tabulkami, diagramy, grafy a soubory, což jsou činností, které ózce souvisejí s rozvíjením tzv. kombinačního myšleni. Kombinatorika je matematická disciplína, která se zabývá rozdělováním, í uspořádáváním a výběrem prvků - tedy tvořením tzv. konfigurací daných prvku do skupin s určitými vlastnostmi. Již od prvních ročníků školní docházky je vhodné zařazovat do výuky matematiky úlohy, jejichž řešení se opírá o elementární principy kombinatoriky. Řešením tčehto úloh môžeme u détí nenásilným způsobem vytvářet a postupně rozvíjet základy kombinačního \ myšlení, což výrazné přispívá ke zvyšování matematické kultury dětí. Jestliže se | děti naučí při hodnocení určité situace zvažovat všechny možnosti, které mohou v dane situaci nastat, a jestliže z nich umí uvědoměle vybrat tu, která j e pro ně optimální, potom se učí jednat po zralé úvaze, což je p-ro jejich život velmi důležitý vkíad. Pojem "rozvoj kombinačního myslení11 zpravidla zahrnuje vytváření a rozvíjení specifických schopností a dovedností. Jde především o tyto schopnosti: - uvědomovat si vztahy mezi zkoumanými objekty, - uvědomovat si, zda v daném souboru mohou existovat skupiny prvků požadovaných vlastností, - provádět výběr prvků z nějaké skupiny podle určitého pravidla, - provádět rozdělování prvků dané skupiny na základě určitého požadavku, f - provádět uspořádání prvků dané skupiny daným způsobem, í - najít metodu vyhledávání všech skupin prvků s požadovanou vlastností I (např. výčtem prvků, graficky, s využitím vztahů nebo vzorců), ] - rozhodnout, zda jde o skupiny uspořádané nebo neuspořádané, - rozliSit, zda se prvky ve skupinách mohou či nemohou opakovat, 2 I - najít pravidlo pro vyhledání všech skupin splňujících podmínky dané úlohy. Kombinatorika má pro budoucí život žáka značný význam, neboť jejích i výsledků se využívá v mnoha dalších včdáoh - např, ve fyzice, chemii, biologii, li spojovací techničtí, lingvistice aj. Má význam i pro další studium matematiky, ) neboť jc předpokladem k úspešnému zvládnutí dalších témat učiva, např. í pravdepodobnosti, statistiky, teorie čísel, teorie informací, kódování, šifrování aj. I V neposlední řade má význam i pro život člověka obecně, neboť v běžném životě i každý často něco vybírá a přitom zvažuje různé možnosti výběru, rozhoduje se a | hledá pro sebe efektivní řešení. Děti se setkávají od malička s různými hrami j (např. pexeso, karty), u kterých musí uplatnit kombinační myšleaí. V i praktickém životě se kombinační myšlení uplatňuje v nejrůznějších oborech \ činnosti, např. při sestavování jízdních řádů, rozvrhů hodin ve školách, pH | výběru optimálního způsobu rozdělování práce mezi dělníky nebo stroje, při I rozhodování o umístění osevu zemědělských kultur na různé pozemky a v i mnoha dalších. Prvky kombinatoriky se využívají např. také při znázorňování i spojování molekul nebo atomů* při vytváření skupin z písmen nebo z číslic j (např. pro poznávací značky automobilů), při sestavování různých jiných znaků \ (např. teěek a čárek u Morseovy abecedy, výstupků u Brailova písma), při \ výběru skupiny čísel tažených v různých hrách - např. Sportka, kde se losuje i 6 ěísel ze 49, atd. Na 1. stupni ZŠ rozvíjíme v matematice kombinační myšlení \ prostřednictvím řešení vhodných úloh. Ukázky těchto úloh a možnosti jejich \ využití v učivu matematiky jsou uvedeny v další částí tohoto materiálu. Úlohy I jsou řazeny podle rostoucí náročnosti, od elementárních úloh k úlohám, které | vyžadují složitější myslenovc operace a výpočty; Při řešení kombinatorických \ úíoh s dětmi klademe důraz zejména na pochopení strategie při hledání řešení -i přičemž však nalezení správného výsledku u dětí oceňujeme, V hojné míře | využíváme odhadů výsledků před vlastním řešením úloh a využíváme také \ momentu překvapení, když výsledek úlohy je nepředpokládaný. To mimo jiné \ vzbuzuje u dčtí zájem o tyto úiohy a zároveň í o matematiku. í i 3 2. Přípravné úlohy rozvíjející koml>m»i:rii myšlení Uvedené úlohy řeší žáci experimentem, přitom není nutné vyžadovat okamžitě všechna možná řešeni. Do vyučování zařazujeme tyto úlohy příležitostně, buď ke změně činnosti, nebo k opakování učiva jinou formou. Žáky, kteří mají zájem o tyío úlohy, postupně učíme systému práce při vytváření väecii řešení. 2.1. Hrajeme si s kostkami Máme červenou, modrou a žlutou kostku. Kolika nižnými způsoby můžeme tyto tři kostky na sebe postavit? Řešení: z ,m . -z c c m m ž č ž m e č e in m ž z Návod k systematickému vytváření skupin: Umístíme jeditu kostku (napr. červenou), nu ni postavíme další dvě. Potom umístíme opět Červenou kostku a pořadí zbývajících dvou kostek směníme. Anologtcky postupujeme pro další barvy. 2.2. Nakreslete do jednoho řádku 2 červeně a 2 modré kroužky. Kolika způsoby je můžete zakreslit ? Řešení: ooi$ o®>o& o^mo •#oo ® o o o *ooi Následující úlohy se řeší analogicky, avšak jsou obtížnčjSí vzhledem k většímu pofílu moiSíiostí. 2.3. Nakreslete do řádku 3 červené a 5 modré kroužky. Kolika způsoby je matete zakreslit ? Zkuste najä několik možnosti, Reäení: f#®DOO •OOftO* OOOlí© o$®o#o méO^OQ ÄOO«»0 0 0»0*# O09OOO •®oo«o *o©o«o o.ottot o#o* ®$ooo« «oft«oo oo»»«o o»oo ftooo«« «o#oo» o«»«oo o*o +mo 4 2.4. Tři děvčata a tři chlapci tančí v kruhu. Jaké múze být rozmístění \ chlapca a děvčat ? Zkuste najít všechny mocnosti a nakreslit je. i lešení: O • • | ' # • 0 ° • 0 ° o m O o m o o i 2.5. Vytvořte všechny uspořádané skupiny sestávající z jedné a% čtyř teček i neho čárek a zapište, která skupina označuje některé písmeno v Morseove \ abecedě. i Řešení: ■ _ J_ ■ < n a w « + — — *> -— — » - « * -. * A ---- • • * * ,_____ d y a » - -— --- m - ™ -— • —■» - --* B », f v ____ „ A ._ z: C P - — * • *--o A —-. ■__# 2.6. Z Í, 2, 3, -ŕ, 5 ŕvoňte « počítejte příklady na sčítání dvou (tří, čtyř, pěti) sčítanců. Úlohu můžeme různými způsoby obměňovat jak jo uvedeno v příkladech a) - í): a) Zapište všechny příklady, ve kterých jsou sčítanci různá čísla. (Příklady i + 2 a 2 + 1 považujeme za rôzne.) Řešení: 1 + 2 2+í 3+1 4i 1 5i-l i 1-3 2 + 3 3 + 2 4 + 2 5 s 2 1+4 2+4 3+4 4+3 5+3 1 + 5 2 + 5 3 + 5 4+ 5 5 + 4 b) Zapište všechny příklady na sčítání dvou sčítanců, ReŠem: 1 +1 2-i 1 3 + \ 4i \ 5 + 1 1 +2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + 2 I +3 2 + 3 3 t 3 4 + 3 5 + 3 1 +4 2 + 4 3 + 4 4 + 4 5 + 4 1 -1-5 2 + 5 3 + 5 4 + 5 5 + 5 5 b) Zapište všechny příklady na sčítám dvou sčítanců, přitom v tomto případě nebudeme příklady 1 + 2 a 2 + 1 rozlišovat. feešení: 1 H 1 2 + 2 3 + 3 1 + 2 2 + 3 3 + 4 I + 3 2 + 4 3 + 5 1+4 2 + 5 1 1-5 U) Zapište všechny příklady na sčítání tří různých sčítanců, na pořadí ísčítanců nezáleží Příklady vypočítejte. I&ešení: ] 1)2+3 2+3+4 3+445 j t+2 + 4 2 4-3 + 5 ;! 1+2-1-5 2+4 + 5 1+3 + 4 I! 1+3 + 5 1 4 4 s 5 \e) Kolik různých součtu dostanete, sečtete-li 4 různé sčítance (nezáleží na ^pořadí). f Řešení: 5 různých součtů f J +2 1-3+4 = 10 1 1+2 + 3 + 5-11 1 í + 2 + 4 i 5 = 12 i 1+3 + 4 + 5M3 \ 2 + 3 + 4 + 5 = 14 ■A .■■! lf) Jaký součet dostanete, sečtete-li 5 razných sčítanců ? | Řešení: I 1+2 + 3 + 4 + 5 = 15 1 12.7. Zapište číslo 6 jako součet 1 a) několika stejných sčítanců, I b) sčítanců) z nichí alespň dva jsou razní {jejich pořadí nerozlišujeme). f ŘeSení: a) 1 + 1 + 1 + 1 + 1 +1 I 2+2+2 I 3 + 3 b) 1+2 + 3 14 1+4 4 + 2 5 + 1 6 + 0 J2.8, Doplňovačka \a) Která čisla můžeme doplnit do kruhu a do trojúhelníku tak, aby platilo: O + ■fees. esem: Kruh Trojúhelník = 10. 01 23456789 10 987654321 10 0 pj) Do čtverečků napište čisla tak, aby platilo: + 10 J &cšení; Jestliže nerozlisujeme poradí sčítanců, tj. nerozlišujeme napr, příklady .1 1 + 2 + 7, 1 + 7 + 2, 2+1 + 7, 2 + 7 + 1, 742 + 1,7 + 1+2, j pak můžeme Čtverečky vyplnit takto; % 1 + 1 + 8 2 + 2 + 6 3 + 3 + 4 5 + 5-1 0 6 + 4 + 0 | H- 2 + 7 2 1-3 + 5 7 + 3 + 0 | 1+3+6 2+4+4 8+2+0 | í + 4 ■!- 5 9 -i 1 + 0 íc) Podobnou úlohu vytvořte pro číslo 15, tj. do čtverečku zapisujte jednociferná a dvojciferná Čísla tak, aby platilo: \ Řešení: 1 + 1 + 13 1+2 + 12 1+3+11 1 + 4+10 i 1+5+9 1 + 6 s 8 1 + 7 + 7 1 l + + 2 + 2+11 2 + 3 + 10 2 + 4 + 9 2 + 5 + 8 2 + 6 + 7 - 15 3 + 3 + 9 3+4 + 8 3 + 5 + 7 3 + 6 + 6 4 + 4 + 7 4 + 5 + 6 5 + 5 + 5 ISKoUkpříklaM 7,2,4? Řešení: 15 příkladů 6-6 6-5 6-2 6-4 5-5 5-2 5-4 7 7 7 7 7- ■7 ■6 ■5 2 4 4 4 4 2 2-2 j/flt Michal si všiml poznávací značky automobilu 12-34. Pak se zamyslil .^ad úkolem: Kolik poznávacích značek je vytvořeno tak, %e čísla v nich foutUá tvoří řadu čísel uspořádanou vzestupně (sestupně) ? lešení: Poznávacích značek je 14. \ 12-34 1,2,3,4 98-76 9,8,7,6 J 23-45 2,3,4,5 87 -65 8,7,6,5 | 34 - 56 3,4,5,6 76 -54 7, ó, 5,4 1 45-67 4,5,6,7 65-43 6,5,4,3 j 56-78 5,6,7, 8 54-32 5,4,3,2 f 67-89 6,7, 8,9 43-21 4,3,2, \ 32- 10 3,2, 1,0 Poznávací značka muže býl také 01 -23 0, 1, 2, 3. ■3 Jí. Kombinatorické úlohy I V tomto oddílu jsou uvedeny úlohy, kteiých lze využít ke správnému chápání skupin prvků, které se vytvářejí podle určitého pravidla a které vedou k istupnému zavádční základních kombinatorických pojmů, i A. Ze čtyř písmen a, b, c, ä vytvořte všechny možné dvojíce takové, že i) záleží na jejich pořadí a přitom se písmena ve dvojicích mohou opakovat, b) záleží na jejich pořadí a přitom se písmena ve dvojicích neopakují, c) písmena ve dvojicích se neopakují a přitom nezáleží na jejich pořadí lešení: \) ää ab ac ad b) . ab ac ad c) . ab ac ad ba bb bc hd ba. bc bd . . bc bd ca cb cc cd ca cb . cd . . cd da db de dd da db dc, .... IV případě a) jsme vytvořili 16 uspořádaných dvojic. Jde o uspořádané dvojice iyytvorenč ze čtyř prvků, přičemž prvky ve dvojicích se mohou opakovat. Jde o | tžv; variace s opakováním druhé třídy ze čtyř prvku, |V případě b) vzniklo Í2 uspořádaných dvojic, v nichž se prvky neopakují. Jde o |tzv.; variace druhé třídy ze čtyř prvků (bez opakování). IV případě c) jsme vytvořili 6 dvojic. Jde o výběr dvouprvkových skupin zc čtyř I prvků. Dvojice jsou neuspořádané, to znamená, že nerozlišujeme dvojice např. í<*b a. ba. Jsou to kombinace druhé třídy ze čtyř prvků. KOMBINACE 3.2. Několik chlapců hraje tenisový turnaj systémem kaldý s každým. Vyjádřete, jak závisí počet sehraných zápasu na poctu hráčů. ReŠcní: Pľo jednoduchost budeme označovat hráče písmeny, napr. K, L, M, N, O, P. ■I hráči f K, L f K, L, M počet hráčů grafické znázornění počet rápaaů zápis výčtem prvků 2 3 K- V í KL KL, KM, LM ■f: nebo K-L K, L, M, N 4 K- M ■ M N KL, KM, KN, LM, LN, MN, nebo K-L-M—N 'í: K, L, M, N, O nebo K—L—M—N—O 10 KL, KM, KM, KO, LM, LN, LO, MN5MO, NO K L, M, H O, P 15 KL, KM, KN, KO, KP, LM, LN, LO, LP MN, MO, MP NO, NP, OP nebo K---L— M—N—O Ve všech uvedených případech jsme vytvářeli neuspořádané dvojice hráčů, protože hrajc-li napr. hráč K s hráčem L, jde o stejný zápas, jako když hraje hrác L š hráčem K. Protone tedy jde o neuspořádané dvojice, jedná se o kombinace, v tomto případě dvouprvkové, vytvářené postupne zc dvou až šesti prvků. Na výsledku řeSetií této úlohy si lze povšimnout další zajímavosti - vyjádření rozdílu v počtu zápasů při postupném přibývání hráčů. Nejlépe tuto zákonitost pozorujeme v tabulce (hodnoty pro 7 a více hráčů si ověřte): Počet hráčů Počet zápasů 234 5 6 789 10 1 3 6 Í0 15 2t 28 36 45 Přibylo zápasů 2 3 4 5 7 8 9 Podobným způsobem můžeme řešit další úlohy: 3:3; Vyznačte si na papíře 3 různé body, které neletí na jedné přímce. Kolik ípřítnek je těmito body určeno ? Narýsujte je. Stejnou úlohu řešte postupně pro 4 (5, 6) bodů, z nichž žádné 3 neleží v téže přímce. Řešení; 3 přímky (6, 10, 15 přímek) 3:4. : Kolik úhlopříček má čtverec, obdélník, pravidelný pětiúhelník, ^pravidelný šesúúhebiík ? Řešení; 10 Útoky k procvičení jľ. Ve společnosti se sešlo 8 přátel Na uvítanou si s každý s každým podal ruku. f Kolik podání rukou to bylo? (28) §2: V cukrárně prodávali pět druhů zmrzliny - vanilkovou, čokoládovou, 1 jahodovou, oříškovou a meruňkovou. Anička si chtěla koupit tri různé %; \ kopečky zmrzliny. Kolik možností výběru zmrzliny mela ? (10) §3-/Kolika způsoby jc možno vybral ú občd, který sestává z polévky, hlavního i jídla a salátu, jestliže v nabídce jídelníčku jsou polévky - hovězí, fazolová I a bramborová, hlavní jídla ~ řízek, sekaná, květák, roštěná a saláty - zelný j a paprikový ? (!ó) (0f) f4.- Jana má Iři svetry - bílý, červený a hnědý, dvoje dlouhé kalhoty - modré a -I: : Šedé a dvě bundy - riflovou a péřovou. Kolika různými způsoby si může I: vybral oblečení tak, aby měla vždy kalhoty, svetr a bundu ? (12) §5; Jsou dány čtyři různé body A, B, Ct D, které leží na jedné přímce. Kolik í různých úseček je těmito body určeno ? (6) |6: Jsou dány úsečky: a = 7 cm, b = 2 cm, c = 4 cm, d ~ 80 mm. Vypočtěte I obsahy a obvody všech obdélníků, jejiehž sírany mohou být úsečky a, b, c, d. j (Obdélníků je 6.) |7; Ž daných čísel 379, 8554, 726, 1 999 vytvořte všechny možné příklady na I sčítání (nerozlišujte poradí sčítanců) |: a) dvou různých sčítanců. Kolik těchto příkladů vytvoříte ? (6) |::Vrb>tří různých sčítanců. Kolik těchto příkladů vytvoříte ? (4) | c) čtyř různých sčítanců. |8y Zěísel v předcházející úloze vytvářejte příklady na odčítání (počítejte jen f takové příklady, kdy od většího čísla odčítáme číslo menší). Kolik je všech |;:''táfeĎivých příkladů* (6) |9-;KÍoíika. způsoby můžeme vybrat z pěti chlapců a čtyř děvčat šestičlennou | skupinu pro reprezentaci třídy v soutěži ? (84) |10. Kuželky jsou postaveny do čtverce tak, že v každé řade jsou 3 kuželky. Při ■1/házení koulí můžeme shodit 0 až 9 kuželek. Kolik je teoreticky různých ty^rriózností pro shození žádné, jedné, dvou.....až devíti kuželek? p/(O: kuželek - 1 možnost, 1 kuž. - 9, 2 kuž. - 36, 3 kuž. - 84, 4 fcuž. - 126, fešíkúž; - 126, 6 kuž. - 84, 7 kuž, -36, 8 kuž. - 9, 9 kuž. - 1) 11 VARIACE (Znovu si projdete príklad 3.2. a pozorujte, čím se lisí od následujícího príkladu: b 5 -Několik kamaráda se dohodly že si o prázdninách pošlou pohlednice, (káidý- každému. Sledujte počet zaslaných pohlednic v závislostí na počtu mämárádú, jŔéšenf: Kamarády označíme písmeny A, B, C, D, E. IpoČet kamarádů grafické znázornění zápift výčtem prvků počet pohlednic výpočet ;:2 A-e-~B AB, BA 2 2.1-2 3.. A-t-*~Ľ AB, BA, \ / AC, CA, 6 3.2 = 6 Xc/ BC,CB 4 A^-AB, AC, AD, BA, BC, BD, 12 4.3 = 12 CA, CB, CD, C^--D DA, DB, DC 5 —*í8 AB, AC, AD, AE, BA, BE, BC, BD, CA, CB, CD, CE, 20 5.4 = 20 DA, DB, DC, DE, FA EB, EC, ED v iomtb případe se jedná o vytváření uspořádaných dvojic (pohlednice poslaná | kamarádem A kamarádovi B je různá od pohlednice zaslané kamarádem B Kamarádovi A), Jde o izv. variace bez opakování druhé třídy, postupně ze ídvou,; tn, čtyř a pěti prvků. Kolik různých dvojciferných přirozených čísel mažeme vytvořit z čísäc p»:■?>. 9 tobf že se číslice v zápisu čísla neopakuji (každá číslice se vyskytuje v zápisu čísla nejvýšejednou)? [Řešení: ^Hledání čísel provádíme systematicky buď pomocí tabulky, nebo pomocí [štrbriiů: Tabulka: Strom: f 35^*37 39 |'53;'i:57 59 f 7í;:ľ75 79 I 93 95 97 579 379 359 jednotky o o o o o desítky 3 5 7 Při sestavování tabulky i stromu vycházíme z toho, že na místč desítek múze být některá z číslic 3, 5, 7, 9. Máme tedy čtyři možnosti. Ke karxíé číslici na místě desítek můžeme dáte přiřadit na místo jednotek zbývající tn čísike. 7, kombinatorického hlediska jde v této útoze o vytváření uspořádaných dvojic ze čtyř prvků, tj. o variace druhé třídy ze čtyř prvků. Všech čísel jc 4.3 = 12. 3; 7: Kolik razných dvojciferných přirozených Čísel můžeme zapsat pomocí čisUc2,4, 6takt že,se a) y zápisu čísla každá číslice vyskytuje nejvýše jednou, b) v zápisu čísla číslice mokou opakovat ? Řešení: a) Hledaných čísel je 6: 24, 26, 42,46, 62, 64. ; Úlohu řeSíme stejným způsobem jako úlohu 3.6. b) IHedaná Ěísla zapíšeme pomocí tabulky a pomocí stromu. Tabulka: Í22^24 26 ^42: 44 46 62 64 66 Strom 246 246 246 jednotky o o o qop o o desítky f Hledaných čísel je 9: 22, 24, 26, 42, 44, 46, 62, 64, 66. í Jedná se o variace s opakováním druhé třídy ze tří prvků. I 3.8. Kolik räznýck trojciferných čísel můžeme zapsat pomocí cifer 4, 7, 8 tak, i Že se y zápisu gjgfa í a) každá cifra vyskytuje právě jednou, Ib) cifry mohou opakovat ? Řešení: Úlbhli řeafme podobne, jako úlohu číslo 3.7. buď pomocí tabulky, nebo pomocí stromu (strom bude mít tři úrovně - stovky, desítky, jednotky). | a) Hledaných čísel je 6: 478, 487, 748, 784, 847, 874. |: Jedná sc o vaiiaee bez opakování třetí třídy ze tří prvků. f b) Hledaných čísel je 27; 444, 447s 448,474, 477, 478, 484, 487, 488 f 744, 747, 748, 774, 777, 778, 784, 787, 788 \ 844, 847, 848, 874, 877, 878, 884, 887, 888. I : Jde o variace s opakováním třetí třídy ze tří prvků. ■ ' '■. : . . ■ 13.9.: Pomocí číslic 5, 3, 0, 7 zapište všechna dvojciferná čísla, přičemž se v f zápisu čísla a) žádná z číslic neopakuje, | b) číslice mohou opakovat t Řešení; 4 a): Hledaná čísla získáme pomocí tabulky: f 53 50 57 | 35 30 37 I 75 73 70. §'■■ I Na místo desítek zapisujeme postupně číslice 5, 3, 7 a k nim na místo jednotek | postupně připisujeme zbývající tři číslice. Všech hledaných čísel j c tedy 3 3 = 9. i| b): Řešení můžeme získat např. sestavením stromu. Je třeba si uvědomit, že na I místě desítek nemůže být číslice 0. \ U&sííky jednotky ; ___O 5 I 5 3 I Protože na miste desítek nemůže být 0, zapíšeme na loto místo některou / číslic ;5;3ý 7 - máme tedy tři možnosti. K lemto číslicím připisujeme postupně na ^místo jednotek číslice 5f 35 0, 7. Hledaných čišel je tedy 3.4= 12, í Úlohy k procvičování: I í; Koiik různých signálů sestavených z postupně zahrané dvojice tónů můžeme ■| vytvořit z tónů c, e, g, h ? (Signál c-e je různý od signálu e-e atd.) (12) I Kolik akordů je možne vytvořit z těchto tónů (uvažujeme, že současné i zahrajeme dva, tří, ev. čtyři tóny) ? (6, 4, 1) \ 12. Jsou dány tri různé body A, B, C, které leží v téže přímce. Kolik poíopnmck f: je těmito body určeno ? (6) :|: Které poloprímky splývají ? I : Které poíopnmky jsou opačné ? ■ja: ■ ■ ■•■K ■■■■■■■■ ■ f 3. Kolík: různých monogramů jc možno vytvořit z písmen: A, B, C, D, E, F, H, \ K,LřM,P,V? (144) i 14. Kolikr ůzných poznávacích značek BM .. -.. můžeme vytvořit pomocí I všech deseti čísíic ? (10 000 - 1 = 9 999, značka BM 00 - 00 neexistuje) I PERMUTACE - PORADÍ |3.Í0, Pomoci čisHc 1, 6, 7 zapište všechna trojciferná čísla tak, aby se číslice § neopakovaly. I Řešení: |Na místo stovek zapíšeme číslici 1. Zbývající dvě číslice zapíšeme na místa j desítek: a jednotek. Jsou dvě možnosti: 167 176 J Analogicky vytvoříme trojciferná čísla s číslicemi 6 a 7 na místě stovek: 1 617 671 716 761 1 Vytvořili jsme 6 čísel. Jedná sc o uspořádané trojice ze tří různých prvků, tj. * variace bez opakovaní třetí třídy ze tří prvků. Takovéto variace sc nazývají | permutace. J Určeni počtu všech hledaných permutací z daných prvků vynikne, pokud jejich s vytváření znázorníme pomocí stromu: f •i- '§■■■ I Počet všech permutací vytvorených z daných tri prvku je 6 = 3.2,1. Můžeme 1 totiž: číslici na místo stovek vybrat třem t způsoby. Každé této číslici můžeme I poradit jednu ze dvou číslic na místo desítek a k této dvojicí Číslic pak zbývá k I přiřazení jedna číslice na místo jednotek. 3.11. Čtyři děvčata, Alena, Barbora, Cilka a Dana, se dohodlaf ze se ve dvou ■% Školních lavicích stojících za sebou kaldý den přesadí tak, aby se každá postupně vystřídala na všech místech. Kolik dnů na to potřebují ? Řešení: IJlohu můžeme Mit experimentem. Dívky označíme A, B, C? D. Nejprve umístíme do první lavice vlevo žákyni A a k ní postupné přiřazujeme zbývající dívky. Máme tyto možnosti; A B A C AD. Ztsývající dvč žákyně umisťujeme do druhé lavice. To lze provést vždy dvěma způsoby v v Á B AB AC AC CD D C B D DB Další možnosti získáme analogicky tak, že do první lavice vlevo postupně umístíme Žákyně 0,0, D. AD BC AD CB BA BA B C B C B D BD CD DC AD D A AC CA C Á CA CB C B CD CD B D DB AD D A AB BA DA DA D B DB DC DC BC CB AC CA AB BA Z experimentu vyplývá následující úvaha: ^Vytváříme člyřprvkové uspořádané skupiny ze čtyř prvků - permutace, í Jejich počet je určen součinem 4.3.2.1 - 24. K obsažní místa v první lavici ^ vlevo máme čtyři možnosti. Na obsazení vedlejšího místa v první lavici máme 3 možnosti. Máme-li obsazenou pivní lavici, pak můžeme vždy dvěma způsoby ^obsadit místo ve druhé taviči vlevo a zbývá jedna možnost obsazení posledního \ místa: $ Z výčtu prvků i z óvahy plyne odpověď: Děvčata se vystřídají na všech místech /jí 24 dnů. jlloky k procvičení: i: 1; Najdi všech 24 čtyřciferných čísel, která jsou zapsána ciframi 9, 8, 4, 3. ; Číslice se v zápisech čísel neopakuji. i2:: Kolik poznávacích značek AB .. - . . obsahuje všechny číslice 0, 3, 7, 9 ? (24) ;3v Petr; Jana, liana, Lva, Michal budou přednášel na vánoční besídce každý i jednu básničku. V jakém pořadí mohou vystoupit ? Zjistěte všechny možnosti. i (120) i 4, Kolika způsoby se mohou postavit za sebe do rady 3 (4) kamarádi ? (6, 24) '■■ Kolik možnosti má 5 (6) kamarádů ? (120, 720) l5. Ve čtvrté třídě mají mít žáci ve čtvrtek 5 vyučovacích hodin - český jazyk, matematiku, vlastivědu, přírodovědu a hudební výcbovu. Kolika různými způsoby může paní učitelka sestavil rozvrh na čtvrtek -? (1 20) i 6..: Zapište pod sebe všechny permutace vytvořené např. z čísel 1, 2, 3. Vznikne L tak obdélníkové schéma, které má 6 řádků a tri sloupce. Určete součty všech i čísel v každém sloupci a tyto součty porovnejte. 7. Vyberte si libovolné íři různé cifry (s výjimkou 0) a pomocí nich zapište všechna trojciferná čísla tak, aby se v íiich cifry neopakovaly. Všechna tato trojciferná čísla sečtěte a součet dělte cilérným součtem kteréhokoliv z těchto čísel Přesvědčte se o tom, že výsledkem je vždy číslo 222. PERMUTACE S OPAKOVÁNÍM I 3:12. Kolíka způsoby můžeme za lokomotivu zařadit S vagónu, z toho jsou í 3 nákladní a 2 jsou cisterny ? i Řešeni: 1 Jde o vytváření uspořádaných skupin z pěti prvků dvou druhů, z nichž jeden se f opakuje třikrát a druhý dvakrát. Označíme-h nákladní vagón n y cisternu e, pak I pro seřa/vent vagónuje těchto 10 možností: nnnec nccitn nnenc cnnnc ttítcen ennen n c n n c g n c n n n e n e n c c ti n n % Úlohy k procvičení: | 1. Zapište všechna pěticiferná čísla pouze pomocí čísísc 4 a 7 tak, aby se v nich | vyskytovala číslice 4 třikrát a číslice 7 dvakrát. i Řešení: Hl edaftý ch čí sel j c 10: í 77 444 74 744 74 474 74 447 I 47 744 47 474 47 447 j| 44 774 44 747 44 477 | I 2. Zapište všechna přeskupení písmen, která lze vytvořit z písmen slova í JBA. ■jj Kolik těchto přeskupení je správným českým slovem ? I (Všech přeskupení je 24.) j 3. Zapište všechna přeskupení písmen, která lze vytvořit z písmen slova \ a) ANKA (12) í I b) ANNA (6) j 4. Kolik různých šestimístných kód ô môžeme vytvořit ze tří jedniček a ze tří ] niti. (Vytváříme vSechna Šestimístná přeskupení tří jedniček a tří nul) (20) 4 Závěr V předcházejících kapitolách jsou uvedeny úíohyŕ o nichž předpokládáme, že budou řešeny prostřednictvím manipulaíivní činnosti a jej i ľít výsledky budou získávány pomocí výčtu prvků. Nejde aám totiž o výuku kombinatoriky, ale o to, abychom dětem umožnili postupné pronikání do této problematiky. Pro zájemce uvádíme v poznámce kombinatorické vzťahy, pomoci kterých lze určil počet jednotlivých uspořádaných či neuspořádaných skupin prvků, o kterých jsme v předcházející části pojednali. K tomu je třeba připomenout i některé další důležité pojmy; Součin přirozených čísel í ,2.3.....n označujeme v kombinatorice symbolem n! a nazýváme n-faktoriál. Definujeme: n! -1.2. 3..... n Dále definujeme 0! = í apř. 31 = 3.2. 1 - 6 41-4,3,2. 1 -24 5! = 5.4. 3 .2 . 1 = 120 atd. Můžete se přesvědčit, žc 10! = 3 628 800 Kombinační číslo (čteme n nad k) Nyní uvedeme obecné definice základních kombinatorických pojmů a vzorce pro yýpocet Variace bez opakování k-tě třídy z n prvků jsou uspořádané ^-členné skupiny sestavené z h prvků tak, že se každý prvek ve skupině vyskytuje nejvýše jednou. Počet všech variací bez opakování Jfc-té třídy z n prvků je Variace s opakováním k-tě třídy t n prvků jsou uspořádané A-členné skupiny sestaveno z n prvků tak, že sc v nich každý prvek vyskytuje nejvýSe k krát. 1! = 1 V(k,n) = n(n-l)(n~2}....,(n-k+l) nebo V(k,n) 19 Počet všech variací s opakováním k-té třídy z n prvků je: Permutace % n prvků bez opakování je uspořádaná rt-ttee sestavená z těchto prvků tak, že se v ní vyskytuje každý prvek právě jednou. (Jsou to vlastně variace bez opakování n-té třídy z n prvků,) Počet všech permutací bez opakování vytvořených z n prvku je P(n) - ni Permutace s opakováním z n prvků je uspořádaná A-tice sestavená z těchto pivku tak, ze se v ní každý prvek vyskytuje alespoň jednou. Počet permutací s opakováním z n prvků, v nichž sc jednotlivé prvky opakují kp k-p ... kn krát je: Kombinace bez opakování k -té třídy % n prvků je neuspořádaná A-tbe sestavená z těchto prvků tak, že každý se v ní vyskytuje nejvýSe jednou. | Počet vsech kombinací A-tč třídy z n prvků je: I Pro úplnost ješte uvádíme vztah pro výpočet kombinací s opakováním, i když I jsme je v první části neuváděli, ■if- I Kombinace s opakováním A-té třídy z n prvků je neuspořádaná A-tíce ;| sestavená z těchto prvků tak* Že každý se v ní vyskytuje nejvýše £~krát | Počet všech kombinací s opakováním A-tc třídy z n prvků je;