MA0004 Matematická analýza 1, 1. seminář
20. 2. 2024
Lukáš Másilko 1. cvičení 20. 2. 2024 1 / 9
Náplň cvičení
1 Posloupnosti
Opakování znalostí ze střední školy
Monotonie a omezenost posloupnosti
Limita posloupnosti
Literatura
Petáková, J.: Matematika – příprava k maturitě a k přijímacím
zkouškám na vysoké školy. 1. vydání. Prometheus, 1998. ISBN
978-80-7196-099-7.
Bušek, I. Řešené maturitní úlohy z matematiky. Praha: SPN, 1985.
Odvárko, O. Matematika pro gymnázia – Posloupnosti a řady. Praha:
Prometheus, 1995. ISBN 80-7196-195-7.
Lukáš Másilko 1. cvičení 20. 2. 2024 2 / 9
Opakování znalostí o posloupnostech ze střední školy
Zopakujte si (doma):
posloupnosti a jejich vlastnosti (pojem posloupnost, rekurentní určení
posloupnosti, některé vlastnosti posloupností)
aritmetická posloupnost
geometrická posloupnost
Lukáš Másilko 1. cvičení 20. 2. 2024 3 / 9
Monotonie a omezenost posloupnosti
Příklad 1: Rozhodněte, zda je posloupnost (an) monotónní:
(a) −1
n(n+1)
∞
n=1
(b) (−1)n
n
∞
n=1
(c) 2n+3
n
∞
n=1
Příklad 2: Rozhodněte, zda je posloupnost (an) omezená:
(a) n+1
n
∞
n=1
(b) 3n+4
2n+1
∞
n=1
(c) ((−1)n
· n)
∞
n=1
Lukáš Másilko 1. cvičení 20. 2. 2024 4 / 9
Monotonie a omezenost posloupnosti
Příklad 1: Rozhodněte, zda je posloupnost (an) monotónní:
(a) −1
n(n+1)
∞
n=1
(b) (−1)n
n
∞
n=1
(c) 2n+3
n
∞
n=1
Příklad 2: Rozhodněte, zda je posloupnost (an) omezená:
(a) n+1
n
∞
n=1
(b) 3n+4
2n+1
∞
n=1
(c) ((−1)n
· n)
∞
n=1
Výsledky:
1.(a) rostoucí, (b) není monotónní, (c) klesající;
2.(a) omezená, (b) omezená, (c) není omezená.
Lukáš Másilko 1. cvičení 20. 2. 2024 4 / 9
Limita posloupnosti
Limita posloupnosti
Definice: Nechť je dána posloupnost {an} a číslo L ∈ R. Řekneme, že
posloupnost {an} má vlastní limitu L, jestliže ke každému reálnému ε > 0
existuje index n0 ∈ N takový, že pro všechna n > n0 platí |an − L| < ε.
Lukáš Másilko 1. cvičení 20. 2. 2024 5 / 9
Limita posloupnosti
Limita posloupnosti
Definice: Nechť je dána posloupnost {an} a číslo L ∈ R. Řekneme, že
posloupnost {an} má vlastní limitu L, jestliže ke každému reálnému ε > 0
existuje index n0 ∈ N takový, že pro všechna n > n0 platí |an − L| < ε.
Příklad 3a (úkol pro dvojice): Posloupnost {an} je dána následujícím
předpisem: an = (−1)n
+n
2n . Platí pro ni, že L = limn→∞ an = 1
2 .
Vypočítejte prvních pár členů posloupnosti (−1)n+n
2n .
Pro Vámi zvolenou kladnou hodnotu parametru ε najděte vhodné
n0 ∈ N tak, aby platila předchozí definice.
Lukáš Másilko 1. cvičení 20. 2. 2024 5 / 9
Limita posloupnosti
Limita posloupnosti
Definice: Nechť je dána posloupnost {an} a číslo L ∈ R. Řekneme, že
posloupnost {an} má vlastní limitu L, jestliže ke každému reálnému ε > 0
existuje index n0 ∈ N takový, že pro všechna n > n0 platí |an − L| < ε.
Příklad 3a (úkol pro dvojice): Posloupnost {an} je dána následujícím
předpisem: an = (−1)n
+n
2n . Platí pro ni, že L = limn→∞ an = 1
2 .
Vypočítejte prvních pár členů posloupnosti (−1)n+n
2n .
Pro Vámi zvolenou kladnou hodnotu parametru ε najděte vhodné
n0 ∈ N tak, aby platila předchozí definice.
K ověření správnosti vašeho řešení pomůže soubor cv1 priklad3a.ggb,
který si můžete stáhnout v interaktivní osnově Matematická analýza 1 –
semináře a otevřít v Grafickém kalkulátoru Geogebry.
Lukáš Másilko 1. cvičení 20. 2. 2024 5 / 9
Počítání s nekonečnem
Při výpočtu limn→∞ an můžeme začít dosazením n = ∞ a pokusit se o
vyčíslení. Zkuste to u následujících výrazů, které jsou předpisy pro {an}:
1
14
n , n, n2, n2 + n, 5 · n2,
√
n, 1234 − n, 2n + 1234
2
n2+4
n−1 , n −
√
n2 + 3, 1n, n0
Lukáš Másilko 1. cvičení 20. 2. 2024 6 / 9
Počítání s nekonečnem
Při výpočtu limn→∞ an můžeme začít dosazením n = ∞ a pokusit se o
vyčíslení. Zkuste to u následujících výrazů, které jsou předpisy pro {an}:
1
14
n , n, n2, n2 + n, 5 · n2,
√
n, 1234 − n, 2n + 1234
2
n2+4
n−1 , n −
√
n2 + 3, 1n, n0
Neurčité výrazy:
±
∞
∞
,
0
0
, [∞ − ∞], [0 · ∞], [00
], [∞0
], [1∞
]
Lukáš Másilko 1. cvičení 20. 2. 2024 6 / 9
Počítání s nekonečnem
Při výpočtu limn→∞ an můžeme začít dosazením n = ∞ a pokusit se o
vyčíslení. Zkuste to u následujících výrazů, které jsou předpisy pro {an}:
1
14
n , n, n2, n2 + n, 5 · n2,
√
n, 1234 − n, 2n + 1234
2
n2+4
n−1 , n −
√
n2 + 3, 1n, n0
Neurčité výrazy:
±
∞
∞
,
0
0
, [∞ − ∞], [0 · ∞], [00
], [∞0
], [1∞
]
U posloupností (a obecně u funkcí) můžeme zkoumat rychlost jejich
růstu a dle tohoto kritéria je porovnávat. Skutečnost, že posloupnost {an}
roste výrazně pomaleji než posloupnost {bn} zapisujeme an << bn. Pro
reálná čísla 0 < a < b, 1 < α < β platí:
na
<< nb
<< αn
<< βn
<< n! << nn
Lukáš Másilko 1. cvičení 20. 2. 2024 6 / 9
Počítání s nekonečnem
Při výpočtu limn→∞ an můžeme začít dosazením n = ∞ a pokusit se o
vyčíslení. Zkuste to u následujících výrazů, které jsou předpisy pro {an}:
1
14
n , n, n2, n2 + n, 5 · n2,
√
n, 1234 − n, 2n + 1234
2
n2+4
n−1 , n −
√
n2 + 3, 1n, n0
Neurčité výrazy:
±
∞
∞
,
0
0
, [∞ − ∞], [0 · ∞], [00
], [∞0
], [1∞
]
U posloupností (a obecně u funkcí) můžeme zkoumat rychlost jejich
růstu a dle tohoto kritéria je porovnávat. Skutečnost, že posloupnost {an}
roste výrazně pomaleji než posloupnost {bn} zapisujeme an << bn. Pro
reálná čísla 0 < a < b, 1 < α < β platí:
na
<< nb
<< αn
<< βn
<< n! << nn
Příklad: Posloupnosti {n2 + 3n − 1} a {n2} rostou stejně rychle, členy
3n − 1 můžeme u 1. posloupnosti ignorovat.
Lukáš Másilko 1. cvičení 20. 2. 2024 6 / 9
Limita posloupnosti
Příklad 3b: Pro posloupnost {an} najděte limn→∞ an. Pomožte si
grafickým znázorněním prvních pár členů.
(a) an = 1
n
(b) an = −1
n
(c) an = (−1)n · 1
n
(d) an = c (c ∈ R)
(e) an = n
(f) an = −n
Příklad 3c: Vypočtěte limn→∞ an zadaných posloupností:
(a) an = 3n2+1
2n2+1
(b) an = 3n+1
2n2+1
(c) an = 3n2+1
2n+1
Lukáš Másilko 1. cvičení 20. 2. 2024 7 / 9
Limita posloupnosti
Příklad 4: Vypočítejte:
(a) limn→∞
2n2+1
3−n2
(b) limn→∞
2n2
n+1 − 6n3
n2−3
(c) limn→∞
(2n+1)4
−(n−2)4
(n+1)4
+(n−1)4
(d) limn→∞
4√
n5+2− 3√
n2+1
5√
n4+2−
√
n3+1
(e) limn→∞
√
n + 1 −
√
n
(f) limn→∞ n n −
√
n2 + 3
(g) limn→∞ 3
6n+1
2n−3
(h) limn→∞ ln 2n+1√
n2+3
Lukáš Másilko 1. cvičení 20. 2. 2024 8 / 9
Limita posloupnosti
Příklad 4: Vypočítejte:
(a) limn→∞
2n2+1
3−n2
(b) limn→∞
2n2
n+1 − 6n3
n2−3
(c) limn→∞
(2n+1)4
−(n−2)4
(n+1)4
+(n−1)4
(d) limn→∞
4√
n5+2− 3√
n2+1
5√
n4+2−
√
n3+1
(e) limn→∞
√
n + 1 −
√
n
(f) limn→∞ n n −
√
n2 + 3
(g) limn→∞ 3
6n+1
2n−3
(h) limn→∞ ln 2n+1√
n2+3
Výsledky:
4. (a) −2, (b) −∞, (c) 15
2 , (d) 0, (e) 0, (f) −3
2, (g) 27, (h) ln 2.
Lukáš Másilko 1. cvičení 20. 2. 2024 8 / 9
Limita posloupnosti
Příklad 4: Vypočítejte:
(i) limn→∞
2+3n
3n−2
(j) limn→∞
n!
n2
(k) limn→∞
(n+2)!+(n+1)!
(n+3)!
(l) limn→∞
1
n2 (1 + 2 + 3 + ... + n)
(m) limn→∞
3n+2
3 − 3+5+7+···+(2n+1)
n−5
(n) limn→∞
1+ 1
2
+ 1
4
+···+ 1
2n
1+ 1
3
+ 1
9
+···+ 1
3n
(o) limn→∞ 1 − 1
3n
n
(pomůže znalost limn→∞ 1 + 1
n
n
= e)
(p) limn→∞ 1 + 1
3n
9n−7
(pomůže znalost limn→∞ 1 + 1
n
n
= e)
Lukáš Másilko 1. cvičení 20. 2. 2024 9 / 9
Limita posloupnosti
Příklad 4: Vypočítejte:
(i) limn→∞
2+3n
3n−2
(j) limn→∞
n!
n2
(k) limn→∞
(n+2)!+(n+1)!
(n+3)!
(l) limn→∞
1
n2 (1 + 2 + 3 + ... + n)
(m) limn→∞
3n+2
3 − 3+5+7+···+(2n+1)
n−5
(n) limn→∞
1+ 1
2
+ 1
4
+···+ 1
2n
1+ 1
3
+ 1
9
+···+ 1
3n
(o) limn→∞ 1 − 1
3n
n
(pomůže znalost limn→∞ 1 + 1
n
n
= e)
(p) limn→∞ 1 + 1
3n
9n−7
(pomůže znalost limn→∞ 1 + 1
n
n
= e)
Výsledky:
4. (i) 1, (j) ∞, (k) 0, (l) 1
2, (m) −19
3 , (n) 4
3 , (o) e− 1
3 , (p) e3.
Lukáš Másilko 1. cvičení 20. 2. 2024 9 / 9