MA0004 Matematická analýza 1, 4. seminář
12. 3. 2024
Lukáš Másilko 4. cvičení 12. 3. 2024 1 / 8
Náplň cvičení
1 Derivace funkce jedné proměnné
Geometrický význam derivace
Využití základních vzorců
Derivace složené funkce
Úprava funkce před stanovením derivace
Tečna a normála funkce
Literatura a použité zdroje
Došlá, Z., Kuben, J. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné. MU:
Brno, 2004.
Zemánek, P., Hasil, P. Sbírka řešených příkladů z matematické
analýzy I. Brno, 2012. Dostupné z:
https://is.muni.cz/elportal/?id=980552
Lukáš Másilko 4. cvičení 12. 3. 2024 2 / 8
Geometrický význam derivace
Derivace funkce
Definice: Derivací funkce f (x) v bodě x0 nazveme limitu
lim
x→x0
f (x) − f (x0)
x − x0
= lim
∆x→0
f (x0 + ∆x) − f (x0)
∆x
.
Značit budeme f ′(x), resp. y′. Je-li limita vlastní, mluvíme o vlastní
derivaci, v opačném případě se jedná o derivaci nevlastní. V případě, že
existují jen jednostranné limity, mluvíme o derivaci zprava (zleva).
Ukázka animace vysvětlující geometrický význam derivace f ′ (x) v určitém
bodě S2 = [x0, f (x0)], k němuž se přibližuje bod S1 = [a, f (a)]:
https://www.geogebra.org/classic/m7vhpa2u
Lukáš Másilko 4. cvičení 12. 3. 2024 3 / 8
Využití základních vzorců
Příklad 1: Zderivujte následující funkce:
1 f (x) = x2· 3
√
x√
x
2 f (x) = x+
√
x+1√
x
3 f (x) = x2 · ln x
4 f (x) = x2+1
x2−1
5 f (x) = 1+sin x
cos x
Lukáš Másilko 4. cvičení 12. 3. 2024 4 / 8
Využití základních vzorců
Příklad 1: Zderivujte následující funkce:
1 f (x) = x2· 3
√
x√
x
2 f (x) = x+
√
x+1√
x
3 f (x) = x2 · ln x
4 f (x) = x2+1
x2−1
5 f (x) = 1+sin x
cos x
Výsledky:
1. 11
6 ·
6
√
x5 , 2. (x−1)·
√
x
2x2 , 3. [x · (2 ln x + 1)] ,
4. − 4x
(x2−1)2 , 5. 1
1−sin x
Lukáš Másilko 4. cvičení 12. 3. 2024 4 / 8
Derivace složené funkce
Příklad 2: Zderivujte následující funkce:
1 f (x) = sin4
x
2 f (x) = ex2−2x+1
3 f (x) = ln3
x2 − 1
4 f (x) = tg32x
5 f (x) = 5x2−1 + 3
6 f (x) = x2 ·
√
1 + x2
7 f (x) = 1
(5−2x)2
8 f (x) = arctg1+x
1−x
Lukáš Másilko 4. cvičení 12. 3. 2024 5 / 8
Derivace složené funkce
Příklad 2: Zderivujte následující funkce:
1 f (x) = sin4
x
2 f (x) = ex2−2x+1
3 f (x) = ln3
x2 − 1
4 f (x) = tg32x
5 f (x) = 5x2−1 + 3
6 f (x) = x2 ·
√
1 + x2
7 f (x) = 1
(5−2x)2
8 f (x) = arctg1+x
1−x
Výsledky:
1. 4 · sin3
x · cos x , 2. 2 (x − 1) · ex2−2x+1 , 3.
6x·ln2
(x2−1)
x2−1
, 4. 6sin2
2x
cos42x
5. 2x · 5x2−1 · ln 5 , 6.
x(2+3x2
)·
√
1+x2
x2+1
, 7. 4
(5−2x)3 , 8. 1
1+x2
Lukáš Másilko 4. cvičení 12. 3. 2024 5 / 8
Úprava funkce před stanovením derivace
Příklad 3: Zderivujte následující funkce:
1 f (x) = xx
2 f (x) = xln x
3 f (x) = xsin x
Lukáš Másilko 4. cvičení 12. 3. 2024 6 / 8
Úprava funkce před stanovením derivace
Příklad 3: Zderivujte následující funkce:
1 f (x) = xx
2 f (x) = xln x
3 f (x) = xsin x
Výsledky:
1. [xx · (ln x + 1)] , 2. 2 · ln x · xln x−1 , 3. xsin x · cos x · ln x + sin x
x
Lukáš Másilko 4. cvičení 12. 3. 2024 6 / 8
Tečna a normála funkce
Příklad 4: Napište rovnici tečny a normály grafu dané funkce v bodě
T = [x0, y0].
1 f (x) = 3x−1
2x+3, T = [2, ?]
2 f (x) = 2x2−1
x+1 , T = −1
2, ?
3 f (x) = 8
x2+4
, T = [2, ?]
4 f (x) = x · ln x, T = [e, ?]
Lukáš Másilko 4. cvičení 12. 3. 2024 7 / 8
Tečna a normála funkce
Příklad 4: Napište rovnici tečny a normály grafu dané funkce v bodě
T = [x0, y0].
1 f (x) = 3x−1
2x+3, T = [2, ?]
2 f (x) = 2x2−1
x+1 , T = −1
2, ?
3 f (x) = 8
x2+4
, T = [2, ?]
4 f (x) = x · ln x, T = [e, ?]
Výsledky:
4.1. T = 2, 5
7 , tečna: y = 11
49 x + 13
49 , normála: y = −49
11x + 741
77
4.2. T = −1
2, −1 , tečna: y = −2x − 2, normála: y = 1
2x − 3
4
4.3. T = [2, 1] , tečna: y = −1
2x + 2, normála: y = 2x − 1
4.4. T = [e, e] , tečna: y = 2x − e, normála: y = −1
2x + 3
2e
Lukáš Másilko 4. cvičení 12. 3. 2024 7 / 8
Tečna a normála funkce
Příklad 5: Napište rovnici tečny a normály
1 ke kružnici x2 + y2 = 2 v jejím bodě [1, −1]
2 k parabole y2 = x v jejím bodě [4, −2]
Příklad 6: Napište rovnici tečny ke křivce f (x) = x2 − 4x + 3, která svírá
úhel ϕ = 45◦ s osou x.
Příklad 7: Napište rovnici tečny ke křivce f (x) = x2 − 2x + 3, je-li tečna
rovnoběžná s přímkou p : 3x − y + 5 = 0.
Lukáš Másilko 4. cvičení 12. 3. 2024 8 / 8
Tečna a normála funkce
Příklad 5: Napište rovnici tečny a normály
1 ke kružnici x2 + y2 = 2 v jejím bodě [1, −1]
2 k parabole y2 = x v jejím bodě [4, −2]
Příklad 6: Napište rovnici tečny ke křivce f (x) = x2 − 4x + 3, která svírá
úhel ϕ = 45◦ s osou x.
Příklad 7: Napište rovnici tečny ke křivce f (x) = x2 − 2x + 3, je-li tečna
rovnoběžná s přímkou p : 3x − y + 5 = 0.
Výsledky:
5.1. Tečna: y = x − 2, normála: y = −x
5.2. Tečna: y = −1
4x − 1, normála: y = 4x − 18
6. T = 5
2, −3
4 , tečna: y = x − 13
4
7. T = 5
2, 17
4 , tečna: y = 3x − 13
4
Lukáš Másilko 4. cvičení 12. 3. 2024 8 / 8