MA0004 Matematická analýza 1, 5. seminář
19. 3. 2024
Lukáš Másilko 5. cvičení 19. 3. 2024       1 /8
Náplň cvičení
□ Výpočet limity s pomoci ĽHospitalova pravidla
Literatura a použité zdroje
■ Zemánek, P., Hasil, P. Sbírka řešených príkladu z matematické analýzy I. Brno, 2012. Dostupné z: https://is.muni.cz/elportal/?id=980552
Lukáš Másilko 5. cvičení 19. 3. 2024       2 /8
ĽHospitalovo pravidlo
ĽHospitalovo pravidlo
Věta: Buď xo G M*. Nechť je splněna jedna z podmínek
■ limx^Xo f (x) = limx^Xo£(x) = 0,
■ limx^X0 \g(x)\ = oo.
Existuje-li (vlastní nebo nevlastní) limx^Xo prfy, pak existuje také limx^xo jfô a platí
lim   f{X>>        Mm f'W
hm —~—r = hm ———r-.
x^x0 g[X)      x^xq g\x)
Poznámka: ĽHospitalovo pravidlo lze využít pro výpočet limit z neurčitých výrazů
oc-oc,   O-oo,   0°,    ocu, 1°°. ±oc 0
o
Lukáš Másilko
5. cvičení
19. 3. 2024       3 /8
Použití ĽHospitalova pravidla
Limity typu ^2 , jj se řeší ĽHospitalovým pravidlem přímo, přičemž jej můžeme použít opakovaně.
Limity typu [oc — oc] se řeší úpravou výrazu a převodem na výše uvedené typy, například takto:
1 1
f{x)-g{x) =
Limity typu [0 • oc] se řeší úpravou
f(x).g(x)=f-^
0 Ô
g(x)
o ô
Limity typu [0°] , [oo° , [1°°] se řeší úpravou
g(x) _ >r(x)*M = eg(x)-\nf{x) _ r^O-oo
f(x)^x> = e
= ['
a následným výpočtem limity z výrazu g(x) • In f (x), což vede na předchozí případ.
<0 Q.O
Lukáš Másilko
5. cvičení
19. 3. 2024       4 /8
Príklady na použití ĽHospitalova pravidla
Příklad 1: Vypočtěte následující limity:
x2-4
1
2
3
im
x2-x-2
x-^2
lim ^v**
x^O
x-sin x
In x
lim
x-tl cos
lim
x^o+ cotsx lim ^
x—>-oo x
□        g? ►  < -E ►  < =
Lukáš Másilko
5. cvičení
19. 3. 2024       5 /8
Príklady na použití ĽHospitalova pravidla
Příklad 1: Vypočtěte následující limity:
x2-4
1
2
3
im
x2-x-2
x-^2
lim ^v**
x^O
x-sin x
lim
x->1 cos
In x
lim -!^-lim ^
x—>-oo x
Výsledky:
1.
4
L3
2.
i
L2
3.
7T
, 4. [0], 5. [0]
Lukáš Másilko
□        g? ►  •< -E ►  4 =
5. cvičení
19. 3. 2024       5 /8
Príklady na použití ĽHospitalova pravidla
Příklad 1: Vypočtěte následující limity: 6.   lim x3 • In -
x^0+
x
7.   lim x • e
x^0+
i
x
8.   lim (1 — sin x) • tgx
9.   lim x • In x
x^0+
10.   lim Inx- In (x - 1)
x^l+
□ g? ►   •< -E ►   4 =
<0 Q.O
Lukáš Másilko
5. cvičení
19. 3. 2024       6 /8
Príklady na použití ĽHospitalova pravidla
Příklad 1: Vypočtěte následující limity: 6.   lim x3 • In -
x^0+
x
7.   lim x • e
x^0+
i
x
8.   lim (1 — sin x) • tgx
9.   lim x • In x
x^0+
10.   lim Inx- In (x - 1)
x^l+
Výsledky:
6. [0], 7. [oo], 8. [0], 9. [0], 10. [0]
Lukáš Másilko
5. cvičení
□        g? ►  •< -E ►  4 =
19. 3. 2024       6 /8
Príklady na použití ĽHospitalova pravidla
Příklad 1: Vypočtěte následující limity: 11. lim (cos3x)*2
x^O
12.   lim x1-
x^l+
x
13.   lim (cotgx)
x^0+
i
In x
14. lim (§!iLí)x2
x^O v  x J
15. lim (cos |x)
x—>4_
In x
Lukáš Másilko
5. cvičení
19. 3. 2024       7 /8
Príklady na použití ĽHospitalova pravidla
Příklad 1: Vypočtěte následující limity: 11. lim (cos3x)*2
x^O
12.   lim x1-
x^l+
x
13.   lim (cotgx)
x^0+
i
In x
14. lim (§!iLí)x2
x^O v  x J
15. lim (cos |x)
x—>4_
In x
Výsledky:
i 9
11.   e" 2
, i2. m, i3.
1
e
, 14.
_ 1
e e
, 15. [1]
Lukáš Másilko
5. cvičení
19. 3. 2024       7 /8
Príklady na použití ĽHospitalova pravidla
Příklad 1: Vypočtěte následující limity:
x
x-1
In x
16. lim
x^l+
17. lim (—Í--±)
18. lim (i -
Lukáš Másilko
5. cvičení
19. 3. 2024       8 /8
Príklady na použití ĽHospitalova pravidla
Příklad 1: Vypočtěte následující limity:
x
x-1
In x
16. lim
17. lim (—Í--±)
18. lim (i -
Výsledky:
16. g],
17. [i] , 18. [0]
<0 Q.O
Lukáš Másilko
5. cvičení
19. 3. 2024       8 /8