MA0004 Matematická analýza 1, 6. seminář
26. 3. 2024
Lukáš Másilko	6. cvičení	26. 3. 2024 ]	L/9
Náplň cvičení
□ Monotónnost a lokální extrémy
Q Konvexnost/konkávnost a inflexní body
Q Asymptoty
□ Vyšetrovaní průběhu funkce
Literatura a použité zdroje
■ Zemánek, P., Hasil, P. Sbírka řešených príkladu z matematické analýzy I. Brno, 2012. Dostupné z:
https://is.muni.cz/elportal/?id=980552
■ Ústav matematiky, FSI VUT Brno. MATEMATIKA online -Matematika I. Dostupné z:
http://mathoníine.fme.vutbr.cz/Matematika-I/ sc-5-sr-l-a-4/default.aspx
Lukáš Másilko
6. cvičení
26. 3. 2024       2 /9
Monotónnost a lokální extrémy
a b c
f
= x2 • e x
Příklad 1: Určete intervaly monotonie a lokální extrémy pro následující funkce.
f(x. f(x.
D(f) = R = fc, D(f) = R+-{l} = x-2sinx, D(f) = (0, 2tt)
= í£#, D(f) = R
= \7(*4-i)
3 3
Lukáš Másilko
6. cvičení
26. 3. 2024       3 /9
Monotónnost a lokální extrémy - výsledky
a) na (—00, 0) a (2, 00) rostoucí, na (0,2) klesající, [2,4 In 2] lokální maximum, [0, 0] lokální minimum
b) na (0, e) klesající, na (e, 00) rostoucí, na (0,2) klesající, [e, e] lokální minimum
c) na (0, |) a        2tt) klesající, na (f,^1) rostoucí,
[fjTT- a/Š] lokální minimum,  ^L5^L + V/3] lokální maximum
d) na (—00, —3) a (—1, 00) klesající, na (—3,-1) rostoucí, [—3, 0] lokální minimum, [—1, 4e] lokální maximum
e) na (—00,— 1) a (0,1) klesající, na (—1,0) a (l,oc) rostoucí, [0,1] lokální minimum, [—1,0], [1,0] lokální maxima
f) na (jx,l) klesající, na (—00, jj) a (1, 00) rostoucí,
[1, 0] lokální minimum,
9_ 36-y/4
|_iľ ^nrrj
lokální maximum
Lukáš Másilko	6. cvičení	26. 3. 2024 A	i/9
Konvexnost/konkávnost a inflexnř body
Příklad 2: Rozhodněte o konvexnosti a konkávnosti funkce a najděte případné inflexní body u následujících funkcí.
a)	f(x)	= x3 - 12x, f (x)	= 3x2-	- 12, D(f) = D(f) = R
b)	f(x)	= x2-e~x, f'(x) =	= x • e_>	<-(2-x), D(f) = D(f') = R
c)	f(x)	=   *     f(x) = Inx'     V  / |n2	_1o(0	= D (f) = R+ - {1}
d)	f(x)	= x • e  2 5 f (x) =	x2 e  2 •	(1-x2),  D(f) = D(f') = R
e)	f(x)	= x4 - 2x3 - 12x2	+ 7x-	3, D(f) = R
f)	f(x)	= (x+Jf, f (x) =	x2+4x+3	, D(f) = D(f') = R
Lukáš Másilko 6. cvičeni 26. 3. 2024       5 /9
Konvexnost/konkávnost a inflexnř body - výsledky
a) na (—00, 0) konkávni, na (0,oc) konvexní, [0, 0] inflexní bod
b) na (-oo, 2 - y/2) a (2 + ^2, 00) konvexní, na (2 - y/2,2 + y/2)
konkávni,
V2
2 + V2, (6 + 4^2) e1""*
2 - a/2, (6 - 4^2) e1+~2 inflexní body
c) na (0, 1) a (e2, 00) konkávni, na (l, e2) konvexní, bod
d) na (—00,— a/Š) a (O, VŠ) konkávni, na (—a/3, O) a (a/3, 00)
V2
e2 £
cr , 2
inflexní
konvexní, [0, 0],
-a/3,
e 2
VŠ,
e 2
inflexní body
e) na (—00, —1) a (2, 00) konvexní, na (—1, 2) konkávni, [-1, -19], [2, -37] inflexní body
f) na (—00, —1 — a/2) a (—1 + v^2, 00) konvexní, na (-1 - a/2, -1 + a/2) konkávni,
-1-a/2,
6-4V2
--1-^2
_1+ /2 6+4^2
1^VZ' —1+^2
inflexní body
Lukáš Másilko
6. cvičení
26. 3. 2024       6 /9
Asymptoty
sin x
x
Příklad 3: Určete asymptoty bez směrnice u následujících funkcí:
a) f{x) = h
b) f (x) = 5x +
Příklad 4: Určete asymptoty se směrnicí (tj. v nevlastních bodech ±oc) u následujících funkcí:
a) f(x) = ^, D(f) = R-{l}
b) f= D(f) = R-{±2}
c) ř(x) = 4 D(f) = /?-{-!}
Lukáš Másilko
6. cvičení
26. 3. 2024       7 /9
Asymptoty
sin x
x
Příklad 3: Určete asymptoty bez směrnice u následujících funkcí:
a) f(x) = i
b) f (x) = 5x +
Příklad 4: Určete asymptoty se směrnicí (tj. v nevlastních bodech ±oc) u následujících funkcí:
a) f{x) = g£, D(f) = R-{l}
b) f= D(f) = R-{±2}
c) f(x) = £-v D(f) = R-{-l}
Výsledky:
3. a) x = 0, b) neexistuje, c) x = 1
4. a) y = 3x + 3, b) y = -x, c) y = 0
□
-       1    ^0 0,0
Lukáš Másilko
6. cvičení
26. 3. 2024       7 /9
Celkový postup vyšetřování průběhu funkce
■ Definiční obor
■ Lichost, sudost, periodičnost
■ Charakteristika bodů nespojitosti (výpočet jednostranných limit)
■ Řešení rovnice f (x) = 0 (intervaly, kdy je funkce nad osou x či pod osou x)
■ Řešení rovnice f (x) = 0 (intervaly monotónnosti, lokální extrémy)
■ Řešení rovnice fff{x) — 0 (intervaly konvexnosti/konkávnosti, inflexní body)
■ Asymptoty
Lukáš Másilko 6. cvičeni 26. 3. 2024       8 /9
Průběh funkce - príklady
3
Příklad 5: U funkce ^(x) = -^r—[ byl vyšetřen její průběh. Načrtněte graf funkce dle dostupných informací (viz soubor Příklad 266 -vzorový.docx ve Studijních materiálech, ve složce Semináře).
Příklad 6: Vyšetřete průběh následujících funkcí a načtrtněte jejich graf, je-li dána jejich první i druhá derivace.
a) f(x) = 3^, f'(x) = j&čf, f"(x) =
b) f(x) = !(x+í), f'(x) = č£, f»{x) = $ C) f(x) = ^, f>(x) = f"(x) = 2hg=Ř
Příklad 7: Vyšetřete průběh následujících funkcí a načrtněte jejich graf.
a) f(x) = g±l
x2
c) f (x) = x • e 2
Lukáš Másilko
6. cvičení
26. 3. 2024 9/9