Matematická analýza 1 2023/2024 L Předmluva Obsahem textu jsou poznámky pro přednášky z kurzu Matematická analýza 1 2023/2024 L. Hlavní probíraná témata jsou okruhy pro závěrečnou zkoušku: 1. Číselné posloupnosti a jejich vlastnosti. Limita posloupnosti, hromadný bod, limita superior a inferior. 2. Limita funkce jedné proměnné ve vlastním a nevlastním bodě. Spojitost funkce. 3. Derivace funkce jedné proměnné: definice, geometrická a fyzikální interpretace. Pravidla výpočtu derivace. Derivace vyšších řádů. 4. L'Hôpitalovo pravidlo a jeho využití. Významné limity. 5. Diferenciál funkce jedné proměnné a jeho využití pro přibližné vyjádření hodnoty funkce. Rovnice tečny. 6. Vyšetřování průběhu funkce jedné proměnné: definiční obor, spojitost, monotonie, extrémy, konvexnost, konkávnost, inflexní body, asymptoty. Příklady aplikace. 7. Limita funkce dvou proměnných ve vlastním bodě: definice, vlastnosti. Spojitost funkce dvou proměnných. 8. Parciální derivace funkce dvou proměnných, jejich výpočet a geometrická interpretace. Gradient, vrstevnice. 9. Diferenciál funkce dvou proměnných a jeho využití pro přibližné vyjádření hodnoty funkce. Tečná rovina. 10. Lokální extrémy funkcí dvou proměnných. Nutná podmínka existence lokálního extrému; stacionární body. Hessova matice. Postačující podmínka existence lokálního extrému. Řada úvah, vysvětlení (a občas i důkazů), jež jsou nad rámec kurzu, se uvádí pro lepší pochopení látky. Poznámky a připomínky: ronto@ped.muni. cz 17. července 2024 m Obsah Předmluva iii § 1. Základní pojmy 5 1.1 Opakování........................... 5 1.2 Základní konstrukce pro množiny reálnych čísel a vektoru........ 5 1.2.1 Vzdálenost bodů, okolí.................... 5 1.2.2 Hranice množiny, množiny otevřené a uzavřené.......... 5 1.2.3 Supremum a infimum..................... 7 § 2. Číselné posloupnosti 9 2.1 Definice, vlastnosti........................ 9 2.2 Limita posloupnosti........................ 10 2.2.1 Definice vlastní a nevlastní limity................ 10 2.2.2 Aritmetika limit....................... 11 2.2.3 Srovnávací věty o limitách................... 11 2.2.3.1 Nerovnosti 11 2.2.3.2 Srovnání nekonečné malých 13 2.2.4 Limita monotónní posloupnosti................. 14 2.2.4.1 Věta o konvergenci monotónní posloupnosti 14 2.2.4.2 Eulerovo číslo 15 2.2.4.2.1 Definice Eulerova čísla a její odůvodnění 16 2.2.4.2.2 Přibližný výpočet Eulerova čísla 17 2.2.5 Bolzanova-Cauchyova podmínka................ 18 2.3 Vybrané posloupnosti a hromadné body................ 19 2.3.1 Podposloupnosti....................... 19 2.3.2 Hromadné body posloupnosti.................. 19 2.3.3 Limes superior a limes inferior................. 20 §3. Limita funkce jedné proměnné 21 3.1 Limita funkce v nevlastním bodě................... 21 3.1.1 Vlastní limita v nekonečnu................... 21 3.1.2 Nevlastní limita v nekonečnu.................. 21 3.2 Limita funkce ve vlastním bodě................... 22 3.2.1 Limita funkce v bodě: definice jazykem "e ... 8".......... 22 3.2.2 Nevlastní limity....................... 22 3.2.3 Limita funkce v bodě: definice jazykem posloupností........ 22 3.3 Jednostranné limity........................ 22 3.4 Neurčité výrazy......................... 23 i 3.5 Významné limity......................... 24 3.6 Vlastnosti limit.......................... 24 3.7 Důkaz neexistence limity...................... 25 3.7.1 S užitím jednostranných limit.................. 25 3.7.2 S užitím vybraných posloupností................ 25 3.8 Substituce v limitě........................ 26 3.9 Spojitost funkce......................... 27 3.9.1 Spojitost funkce v bodě.................... 28 3.9.2 Metoda bisekce....................... 28 3.9.3 Druhy bodů nespojitosti.................... 28 §4. Derivace funkce jedné proměnné 29 4.1 Intuitivní představa........................ 29 4.2 Fyzikální interpretace derivace........ ........... 29 4.2.1 Pohyb hmotného bodu: rovnoměrný pohyb............ 29 4.2.2 Pohyb hmotného bodu: zrychlený pohyb............. 29 4.3 Pojem derivace.......................... 30 4.3.1 Definice.......................... 30 4.3.2 Alternativní způsoby zápisu derivace............... 31 4.3.3 Existence derivace...................... 31 4.3.4 Jednostranné derivace..................... 32 4.4 Derivace některých elementárních funkcí............... 32 4.4.1 Derivace lineární funkce.................... 32 4.4.2 Derivace exponenciální funkce................. 32 4.4.3 Derivace druhé mocniny........ ............ 32 4.4.4 Derivace druhé odmocniny................... 32 4.4.5 Derivace i......................... 33 4.5 Geometrický význam derivace.................... 33 4.5.1 Směrnice přímky....................... 33 4.5.2 Sečna a tečna křivky..................... 33 4.5.3 Rovnice tečny........................ 34 4.5.4 Rovnice normály....................... 35 4.6 Výpočet derivace......................... 35 4.6.1 Derivace součtu....................... 35 4.6.2 Derivace součinu....................... 36 4.6.3 Derivace složené funkce.................... 36 4.6.4 Derivace výrazu —í-r..................... 36 4.6.5 Derivace podílu....................... 37 4.6.6 Derivace inverzní funkce................... 37 4.6.7 Logaritmické derivace.................... 38 § 5. Diferenciál, věty o střední hodnotě, l'Hôpitalovo pravidlo 41 5.1 Derivace funkce j edné proměnné................... 41 5.2 Diferencovatelnost a diferenciál................... 41 5.2.1 Diferencovatelnost funkce................... 41 5.2.2 Diferenciál......................... 42 2 5.3 Některé důležité věty....................... 42 5.4 L'Hôpitalovo pravidlo....................... 43 5.5 Příklady využití ľHôpitalova pravidla................. 44 5.5.1 Významné limity...................... 44 5.5.2 Další příklady........................ 45 5.6 Derivace vyšších řádů....................... 45 §6. Vyšetřování průběhu funkce jedné proměnné 47 6.1 Typické schéma postupu vyšetřování průběhu funkce.......... 47 6.2 Monotónnost a lokální extrémy................... 47 6.2.1 Monotónnost funkce..................... 47 6.2.2 Lokální extrém funkce.................... 48 6.2.3 Stacionární body....................... 48 6.2.4 Určení lokálního extrému pomocí derivací............. 49 6.2.4.1 Určení lokálního extrému podle 1. derivace 49 6.2.4.2 Určení lokálního extrému podle vyšších derivací 49 6.3 Konvexnost a konkávnost, inflexní body................ 50 6.4 Příklady............................ 51 6.5 Asymptoty, jejich druhy a způsob určení................ 54 6.5.1 Vyznám asymptoty...................... 54 6.5.2 Druhy asymptot....................... 54 6.5.2.1 Asymptoty se směrnicí 54 6.5.2.2 Asymptoty bez směrnice (svislé) 56 6.6 Příklady vyšetření průběhu funkce.................. 56 § 7. Přibližné určení hodnoty funkce jedné proměnné 63 7.1 Diferencovatelnost a diferenciál................... 63 7.1.1 Diferencovatelnost funkce................... 63 7.1.2 Diferenciál......................... 63 7.1.3 Geometrická interpretace diferenciálu.............. 64 7.1.4 Přibližné určeni hodnoty funkce pomocí diferenciálu........ 65 7.2 Taylorův vzorec......................... 66 7.2.1 Idea aproximace funkce polynomem............... 66 7.2.2 Konstrukce Taylorova polynomu................ 67 7.2.3 Taylorův vzorec pro některé elementární funkce.......... 68 7.2.3.1 Srovnání nekonečně malých veličin (asymptotické vzorce) 68 7.2.3.2 Využití Taylorova vzorce k přibližnému výpočtu hodnoty funkce 70 § 8. Funkce dvou proměnných: limity, spojitost 75 8.1 Motivační úvahy......................... 75 8.2 Základní pojmy......................... 75 8.2.1 Definiční obor a obor hodnot.................. 75 8.2.2 Graf, vrstevnice....................... 77 8.3 Limita funkce jedné proměnné................... 78 8.4 Limita funkce dvou proměnných................... 79 8.4.1 Důkaz existence limity přechodem do polárních souřadnic...... 80 8.4.2 Dvojnásobné limity...................... 81 8.4.3 Případy neexistence limity................... 82 3 8.4.3.1 Různé limitní hodnoty funkce podle určitých cest 82 8.4.3.2 Využití polárních souřadnic 82 8.4.3.3 Využití dvojnásobných limit 83 8.4.3.4 Příklady důkazů neexistence limity 83 8.5 Spojitost funkce dvou proměnných.................. 85 8.5.1 Příklady.......................... 85 8.5.2 Poznámka o spojitosti podle jednotlivých proměnných........ 85 § 9. Funkce dvou proměnných: parciální derivace, diferenciál 87 9.1 Parciální derivace prvního řádu................... 87 9.2 Geometrický význam parciálních derivací............... 88 9.3 Diferencovatelnost a totální diferenciál................ 88 9.4 Využití diferenciálu pro odhad přírůstku funkce............. 90 9.5 Parciální derivace složených výrazů................. 92 9.6 Parciální derivace vyšších řádů................... 92 9.7 Gradient............................ 92 9.8 Tečná rovina a normála...................... 93 9.8.1 Tečna ke grafu funkce jedné proměnné.............. 93 9.8.2 Definice tečné roviny..................... 94 9.8.3 Normála.......................... 95 9.9 Věta o střední hodnotě....................... 95 9.10 Směrová derivace......................... 96 9.11 Diferenciály vyšších řádů a Taylorův vzorec.............. 97 9.11.1 Případ funkce jedné proměnné................. 97 9.11.2 Případ funkce dvou proměnných................ 97 § 10. Lokální extrém funkce dvou proměnných 99 10.1 Lokální extrémy: definice a příklady................. 99 10.2 Nutná podmínka pro lokální extrém................. 99 10.3 Postačující podmínka pro lokální extrém............... 100 10.3.1 Postačující podmínka..................... 100 10.3.2 Případ funkce jedné proměnné................. 101 10.4 Postup určení lokálních extrémů................... 101 10.4.1 Příklady.......................... 101 §11. Globální extrémy funkce dvou proměnných 105 11.1 Weier straš sova věta........................ 105 11.2 Nej větší a nejmenší hodnota funkce v ohraničené uzavřené oblasti..... 105 11.3 Příklady............................ 106 Rejstřík 111 4 § 1 Základní pojmy § 1.1. Opakování Číselné obory, elementární funkce a jejich vlastnosti. Směrnice přímky. Funkce prosté. Vektory v rovině a v prostom. Skalární součin. § 1.2. Základní konstrukce pro množiny reálnych čísel a vektoru § 1.2.1. Vzdálenost bodů, okolí Velikost vektoru v = (x, y) je \v\ = y/x2 + y2 (Pythagorova věta). Jsou-li V\ = {x\, y\), V2 = {x2, y2) vektory v rovině, velikost jejich rozdílu v2 — Vi = (x2 — x2, y2 — yi) Je \v2-vi \ = y/(x2-xi)2 + (y2-yi)2- (1-1) Hodnota (1.1) udává rovněž vzdálenost bodů se souřadnicemi (x\, y\), (X2, ^2)- Definice 1.1. Je-li r kladné číslo, r-okolím bodu (x0, y0) nazýváme množinu všech bodů (x, y), jejichž vzdálenost k (x0, y0) je menši než r: {(x, y) : y/{x - x0)2 + (y - y0)2 < r). Číslo r nazýváme poloměrem tohoto okolí. Nene-li velikost poloměru podstatná, mluvíme jednoduše o okolí daného bodu. Vyloučíme-li z okolí bodu (xo^o) samotný bod (xo^o), obdržíme okolí ryzí-1 Obdobně pro okolí bodů v prostoru. V případe reálné osy R je r-okolím bodu x0 interval (x0 — r, x0 + r), což znamená, že pro x z r-okolí piati \x — x0 \ < r. V R2 a R3 okolí geometricky znamená kruh (resp. kouli) bez hranice (§ 1.2.2). § 1.2.2. Hranice množiny, množiny otevřené a uzavřené Buď M neprázdná množina na reálné ose, v rovině či v prostoru. Definice 1.2. Bod množiny M se nazývá vnitřním, jestliže spolu s tímto bodem v M leží i nějaké jeho okolí. Vnitřkem množiny M je množina všech její vnitřních bodů. Definice 1.3. Množina M je otevřená, jestliže spolu s každým jejím bodem v M leží i nějaké jeho okolí. Množina M je uzavřená, jestliže její doplněk je množinou otevřenou. Okolí je množinou otevřenou. Prázdná množina je dle definice zároveň otevřenou a uzavřenou. Jinak se občas říká „prstencové" 5 Definice 1.4. Hraničním bodem množiny M nazýváme bod, v jehož libovolně malém okolí je alespoň jeden bod z M a rovněž alespoň jeden bod mimo M. Množinu všech hraničních bodů množiny M nazýváme hranicí této množiny a značíme dM. Intuitivně vzato, hranicí množiny je množina představující jisté pomezí mezi množinou a jejím doplňkem. Vnitřek množiny pak tvoří všechny její body nacházející v kladné vzdálenosti od hranice. Hranicí rovinného útvaru je určitá křivka, hranicí prostorového útvaru pak bude jeho povrch. Úvaha 1.5. Přidáme-li k množině její hranici, obdržíme množinu uzavřenou (je to uzávěr množiny). Odstraníme-li z množiny její hranici, obdržíme její vnitřek. Obsahuje-li množina svoji hranici, pak je uzavřená. Obsahuje-li pouze část své hranice, pak není otevřená ani uzavřená. Neobsahuje-li žádný bod své hranice, pak je otevřená. Definice 1.6. Bod množiny M se nazývá izolovaným bodem, jestliže v nějakém jeho okolí nejsou žádné další body této množiny. Je zřejmé, že izolovaný bod množiny nemůže být vnitřním, poněvadž leží v kladné vzdálenosti od všech ostatních jejich bodů. Praktické zkušenosti s množinami na reálné ose a v rovině nasvědčují, že hranici množiny tvoří body, k nimž se body množiny „zhušťují" (tzv. limitní body), a body izolované. Definice 1.7. Říkáme, že bod c je limitním bodem pro množinu M, jestliže v každém okolí bodu c je nějaký bod množiny M odlišný od c. Dovětek „odlišný od c" vylučuje možnost, když je c bodem izolovaným. Limitní bod množiny M může ležet jak v množině M, tak i mimo tuto množinu. Úvaha 1.8. Hranice množiny se skládá ze všech jejich limitních a izolovaných bodů. příklad 1.9. (1) Omezený otevřený interval M = (a, b) je otevřenou množinou. Její hranicí je dvouprvková množina {a, b} a uzávěrem je uzavřený interval [a,b]. (2) Intervaly [a, b) a (a, b] nejsou otevřené ani uzavřené, mají však stejné vnitřek a hranici jako otevřený interval (a,b). (3) Kruh s hranicí M = {(x, y) : x2 + y2 < r2} je množinou uzavřenou s hranici dM = {(x, y) : x2 + y2 = r2} a vnitřkem M \ dM = {(x, y) : x2 + y2 < r2}. (4) Jednoprvková množina M = {a} má vnitřek prázdný a je dM = M. (5) Pro M = (0, 1) U {2} hranici je dM = {0,1,2}, čísla 0, 1 jsou limitní body a 2 je bod izolovaný. (6) Množina přirozených čísel M = N nemá žádné vnitřní body a je dM = M. (7) Hranici množiny M = : n e N} je dM = M U {0}, vnitřní body v M nejsou. Vysvětlení. 1. Pro libovolné c e (a, b) lze vždy najít r-okolí bodu c tak, aby celé toto okolí leželo uvnitř (a, b) (stačí vzít r = min{c — a, b — c}; jelikož c není krajním bodem (a, b), bude r < b — a). Všechny body intervalu (a, b) tedy jsou vnitřní. Limitními body jsou krajní body intervalu a, b (k bodu a se lze libovolně přiblížit body x > a, obdobně pro b). Izolované body nejsou, neboť všechny body jsou vnitřní. 2. Množiny [a, b) a (a, b] se utvoří z otevřené množiny (a, b) přidáním jednoho z limitních bodů. 3. Hranici tvoří body kružnice o poloměru r se středem v (0,0), vnitřkem M je r-okolí bodu (0,0). 4. Množina {a} neobsahuje žádné okolí. 5. Body 0, 1 jsou limitní podle 1. Izolovaný bod 2 G M není vnitřním a tudíž patři hranici. 6 6. Všechny body množiny N jsou izolované. Limitní body nejsou (kdyby takový bod existoval, znamenalo by to, že v jeho libovolně malém okolí se nachází další přirozené číslo, avšak nejmenší možná vzdálenost mezi dvěma přirozenými čísly je 1). 7. Všechny body M jsou izolované. Dokažme to sporem. Vskutku, je-li ^ limitním bodem M, pak pro libovolně malé kladné s v e-okolí čísla ^ se najde další bod množiny M, to jest k tomuto s existuje NE takové, že je vzdálenost a ^ menší než s: 1 1 —e<---< e. n0 NE Toto však znamená, že při zmenšení hodnoty s se přirozené číslo NE neustále blíží k«0- Jelikož vzdálenost mezi dvěma sousedními přirozenými čísly je 1, pro jisté malé kladné s0 musí být NEo = no a tudíž i jj— = i. V e0-°kolí bodu ^ tedy nejsou žádné jiné body množiny M. Číslo 0, jež množině M nepatří, je pro M limitním bodem, neboť v libovolně malém okolí bodu 0 leží číslo - e M, je-li n dostatečně velké. □ § 1.2.3. Supremum a infimum Buď M neprázdná množina reálných čišel. Definice 1.10. Číslo a je horní (resp. dolní) závorou množiny M, jestliže x < a (resp. x > a) pro každé x e M. Definice 1.11. Číslo a je supremem (též nejmenší horní závorou) množiny M, jestliže je pro M horní závorou a pro každou jinou horní závoru P množiny M platí a < /3. Pro prázdnou množinu klademe sup 0 = — oo. Není-li M shora omezená, pak klademe sup M = +oo. Definice 1.12. Číslo a je infimem (též největšídolnízávorou) množiny A/Jestliže je pro M dolní závorou a pro každou jinou dolní závoru P množiny M platí a > P. Pro prázdnou množinu klademe inf0 = oo. Není-li množina M zdola omezená, pak klademe inf M = — oo. Nemusí platit sup A e A ani inf A e A. příklad 1.13. Platí: (1) pro A = {i : n e N} je sup A = 1 e A, inf A = 0 $ A; (2) pro B = (0,1], C = (0,1) je sup 5 = 1 e B, MB = 0 ^ B a sup C = 1 ^ B, inf C = 0 g C. Vysvětlení. Stačí uvažovat např. A: jelikož A = {l, |, |,... }, je supremum množiny A shodný s jejím nej větším prvkem 1. Nejmenší prvek v A není, hodnota infima je 0 $ A (očividně 1 /n > 0 pro všechna n > 1, přičemž vetší dolní závora není: ke každému kladnému e lze vždy najít přirozené nE tak, aby bylo \/n8 < e). □ Je-li A množinou spočetné mnoha bodů A = {x\, x2, x3,... }, obvykle píšeme sup A = sup„>j xn,mfA = inf„>j x„, takže sup : n e N} = sup„>j \ = 1. 7 §2 Číselné posloupnosti § 2.1. Definice, vlastnosti Definice 2.1. Číselnou posloupností rozumíme nekonečnou posloupnost po sobě v radě jdoucích čišel x„,n = 1,2,.... Máme-li číselnou posloupnost x„, n = 1,2,..., je přirozené si položit otázku, zda je ohraničená, rostoucí či klesající, zda má vlastní (konečnou) anebo nevlastní limitu (±oo). Definice 2.2. Posloupnost {x„ : n > 1} je rostoucí (resp. neklesající), jestliže xn+í > x„ (resp. xn+i > x„) pro všechna n. Posloupnost {x„ : n > 1} je klesající(resp. nerostoucí), jestliže xn+\ < x„ (resp. xn+\ < x„) pro všechna n. Je-li posloupnost neklesající nebo nerostoucí, říkáme, že je monotónní. Je-li posloupnost rostoucí nebo klesající, říkáme, že je ryze monotónní. příklad 2.3. Posloupnost = 1,2,..., je rostoucí, x„ = - je klesající, a x„ = (~1-> monotónní není. Vysvětlení. První dvě tvrzení jsou zřejmá. Stačí tedy ověřit, že číselná posloupnost — 1, \, —\, \, —\, ... se společným členem x„ = ^p- není rostoucí ani klesající. V tom se přesvědčíme, všimneme-li si, že liché členy — 1, -|, —i, ... rostou a sudé členy i, j, |, ... klesají, a tudíž se v posloupnosti neustále střídají sousední členy splňující opačné nerovnosti. □ Jsou-li členy posloupnosti kladná čísla, lze její růst a pokles ověřovat též podle toho, zdaje podíl xn+i/x„ vetší anebo menši než l.2 Tvrzení 2.4. Posloupnost s kladnými členy {x„ : n > 1} je rostoucí (neklesající), jestliže pro všechna n > 1 jex„+i/x„ > 1 (x„+i/x„ > 1). Posloupnost je klesající (nerostoucí), jestliže pro všechna n > 1 jex„+i/x„ < 1 (xn+\/xn < 1). Úloha 2.5. Vyšetřeme monotónnost posloupnosti en _ e-n xn= _n, n = 1,2,..., (2.1) e" + e " Řešení. Ze vzorce (2.1) není jasné, jaké je znaménko rozdílu — x„. Použijme proto místo rozdílu sousedních členů raději jejich podíl. Jelikož po úpravě bude x„ = fsTqžy > 0> je Poznamenejme, že tato úvaha je správná pouze pro kladné posloupnosti a vedla by na mylný výsledek, napr. pro druhou posloupnost z příkladu 2.3. 9 posloupnost kladná a lze využit tvrzení 2.4. Dostaneme xn+i e2n+2 - 1 e2n + 1 e V - e2" + e2e2" x„ e2n+2 +\ e2n -\ e2e4n + e2n - e2e2n - 1 _ e2eAn + (e2 - l) e2n - 1 e2e4" + (e2 - l) e2n - 1 _ ~ e2eAn - (e2 - 1) e2n - 1 > e2e4" + (e2 - 1) e2" - 1 ~ pro všechna n > 1. Posloupnost je tedy rostoucí. □ § 2.2. Limita posloupnosti Pro nekonečnou posloupnost x„, n = 1,2,..., přirozenou je otázka, jak se hodnota x„ chová, roste-li n neomezeně k +oo. Blíží-li se neustále k určité hodnotě, říkáme, že má limitu. Přibližování se posloupnosti k své limitě říkáme konvergence. § 2.2.1. Definice vlastní a nevlastní limity Definice 2.6. Číslo L e R je limitou (též mezní hodnotou) posloupnosti {xn : n > 1}, jestliže k libovolně malému kladnému číslu e existuje Ns takové, že pro všechna n > Ns platí nerovnost \x„ — L\ < s. Zmíněné číslo značíme Ne, neboť jeho hodnota závisí na zvolené hodnotě e. Skutečnost, že L je limitou posloupnosti {x„ : n > 1} při n —► +oo, zapisujeme: lim x„= L, (2.2) anebo říkáme, že x„ —► L při n —► oo.3 Vztah (2.2) znamená, že při n —>• +oo se hodnota x„ neomezeně přibližuje k číslu L. Je-li z kontextu jasné, že n —► +oo, občas píšeme: lim„ x„, anebo ještě stručněji lim x„. příklad 2.7. Platí (1) lim„^+oc \ = 0; (2) linw+oo ^ = 0. Vysvětlení. Absolutní hodnoty členů druhé z posloupností jsou rovny příslušným členům posloupnosti prvé, přičemž posloupnost s předpisem x„ = ^ je 1, j, |,.... Stačí tedy dokázat, že lim„^+00 x„ = 0. Jako hypotézu o hodnotě limity proto vezměme L = 0. Zvolíme-li libovolně malé kladné e, je zřejmé, že | ^ | < s platí pro n > ^ a tudíž v definici 2.6 můžeme vzít Ns = [^J + 1, kde [ij je celá část čísla K □ Limita číselné posloupnosti je nevlastní, má-li hodnotu +oo nebo —oo. Definice 2.8. Říkáme, že lim„^+00 x„ = +oo, jestliže k libovolně velkému A lze najít Na tak, aby pro všechna n > Na platilo x„ > A. Podobně, lim„^+00 x„ = —oo, jestliže k libovolně velkému A lze najít Na tak, aby pro všechna n > Na platilo x„ < —A. příklad 2.9. Prox„ = platí lim„^+co x„ = +oo. Vysvětlení. Výraz n2 roste rychleji než n, v limitě tedy očekáváme +oo. Zvolme libovolně velké A. Nerovnost x„ > A znamená, žen2 > A(n + 1), což bude platit, mimo jiné, když n2 > A(n + n) = 2An. Poslední nerovnost lze zapsat ve tvaru n(n — 2A) > 0, což je splněno pro n > NA = 2A. □ 3Čte se: xn konverguje k L při n 10 Poznámka 2.10 (o zanedbání konečné mnoha členů). Vyšetřujeme-li limitu nějaké číselné posloupnosti, vždy můžeme z posloupnosti dle potřeby odstranit (anebo naopak přidat) konečné mnoho členů, aniž by byl výsledek tímto ovlivněn. Totéž platí pro vyšetřovaní omezenosti posloupnosti. § 2.2.2. Aritmetika limit Lze snadno dokázat, že platí následující jednoduché, avšak velmi užitečné vlastnosti limit. Tvrzení 2.11. Existují-li vlastní lim lim_y„ = b, pak lim(x„ + yn) = a + b, lim(x„_y„) = ab a pro b ^ 0 i lim ^ = |. příklad 2.12. Najděme limitu posloupnosti s předpisem 4n Xn Řešení 2.12.1. Jelikož víme, že lim„. 4n n + 1 hoo h = 0» bude 4n ■ ± n pri n n + 1 (n + 1) • J 1 + J + oo. Využili j sme tvrzení 2.11. □ Řešení 2.12.2. Lze očekávat, že se podíl blíží k 1 při n rostoucím neomezeně: |, |, |, |, ..., a proto je přirozené vyslovit hypotézu, že limitou je číslo L = 4. Pak potřebujeme zajistit, aby rozdíl \x„ — 4| pro dostatečně velká n byl menším libovolně stanovené tolerance. Jelikož po úpravě obdržíme 41 = 4n n + 1 4n 4(n + 1) n + 1 n + 1 4n -4n -4 n + 1 n + 1 při libovolně malém kladném e bude \x„ — 4| < e -O- ^j-j- n + l>|<^>n>| — 1. Lze tedy v definici 3.5 vzít Ne = [ f J. □ Poznamenejme, že při zjemnění tolerance s na splnění nerovnosti \x„ — L \ < s je potřeba si „počkat déle", to jest pro menši s hodnota indexu /V£ bude pravděpodobně vetší4 (na obrázku 2.1 je znázornění této skutečnosti pro posloupnost z příkladu 2.12). Nerovnost \x„ — L \ < s znamená, že je L — s < x„ < L + s, což na obrázku odpovídá pruhu, vymezenému zelenými vodorovnými čárami. § 2.2.3. Srovnávací věty o limitách Srovnávací věty umožňují § 2.2.3.1. Nerovnosti VĚTA 2.13 (srovnávací věta). Buďte {x„ : n > 1} a {y„ : n > 1} dvě číselné posloupnosti, pro něž existují lim„^+00 x„ a lim„^+00 y„. (1) Jestliže existuje /V takové, že pro všechna n > N platí x„ < y„, pak lim x„ < lim y„. Zde z opatrnosti neříkáme, že vždy nutně vetší, neboť v definici 2.6 Ne nemusí být nejmenší hodnotou indexu, pro níž požadovaná vlastnost platí. 11 (2) Jestliže lim x„ < lim y„, pak lze najít N tak, aby pro všechna n > N platilo x„ < y„. Poznámka 2.14. Obecně neplatí, že limx„ < lim_y„, když x„ < y„ pro dostatečně velká n. Jako protipříklad stačí vzít x„ = \, yn = \', pak vždy x„ < y„, avšak limx„ = lim_y„ = 0. VĚTA 2.15 (věta o sevření5). Buďte {x„ : n > 1}, {y„ : n > 1} a {z„ : n > 1} číselné posloupnosti a nechť existují lim„^+00 x„ a lim„^+00 y„ a jsou si rovné: lim„^+00 x„ = lim„^+00 y„ = L. Existuje-li N takové, že pro všechna n > N platí %n — Z n "S y m pak existuje i lim„^+00 z„, přičemž lim„^+00 zn = L. Věty o sevření se často využívá v následující podobě. DŮSLEDEK 2.16. Je-li \x„ — L | < a„ pro dostatečně velká n, přičemž lima„ = 0, pak platí limx„ = L. Důkaz. Stačí si všimnout, že podle předpokladu platí — a„ < x„ — L < a„. □ PŘÍKLAD 2.17. Platí sin (2n) lim „v_ ' = 0. n^+oo ŕ/n Vysvětlení. Pro libovolné n je |sin(2")| < 1 a tudíž -57= |sin(2")| < -37= —► 0 pro ■> +oo. Limita je tedy rovna 0 podle důsledku 2.16. □ PŘÍKLAD 2.18. Vypočtěme limitu posloupnosti xn = 2n*",\ (arctgn")" 5Jelikož dle věty 2.15 dvě veličiny směřující ke stejné hodnotě zajistí, aby ke stejné hodnotě směřovala i jakákoliv veličina mezi nimi nacházející, v studentském folkloru je toto tvrzení známo též jako „věta o dvou policajtech". 12 Vysvětlení. Zdánlivě složitou úlohu snadno vyřešíme pomocí věty o sevření. Jelikož |arctg n"\ < |- a pro dostatečně velká n platí6 ^ \/n2 + 1 < 1, bude 0 < x„ < 2n2 - 1 /Tty 2n2 - 1 /tt\" 2n2 - 1 /tt\" 2n2 l__1_ 2 kde _y„ = —3 2,"2 -> 1 a Tjyr —► 0 pro n —► +oo (neboť 7T < 4; viz úloha 2.27). Vzhledem k důsledku 2.16 obdržíme limx„ =0. □ § 2.2.3.2. Srovnání nekonečné malých Definice 2.19. Číselné posloupnosti {xn : n > 1} a {_y„ : n > 1} jsou asymptoticky ekvivalentní při n —► +oo (značí se: x„ ~ _y„ při n —► +oo), jestliže7 limy1 = 1. To, že x„ ~ y„, znamená, že se tyto posloupnosti při n —► +oo chovají stejně. Např. pro n -> +oo je 2n2 - 3n + 5 ~ 2n2, neboť 2"2~32"+5 = 1 - J. + * _^ j _ TatQ uvaha^ íž běžně využíváme, platí i v obecnější podobě. Tvrzení 2.20. Buďte x„ = axnai +a2na2 + ■ ■ ■+arn0ír,y„ = bxnai+b2na2 + ---+brnar, kde ax > a2 > • • • > ctr > 0 a b\ ^ 0. Pak y- ~ || a je-li ai = bx, platí x„ ~ _y„ při n —► +00. Důkaz. Vytkneme-li členy s nejvyšší mocninou ax, obdržíme axnai + a2na2 +----h arnUr _ ax + a2na2~ai +----h flr«ffir"ai ax bxna^ + b2na2 H-----h brnar ~ bx + b2na2~a^ H-----h brnar-^ bx pro n —► +oo, neboť /i"2"'11 = a^-a2 —► 0 při n —► +oo vzhledem k tomu, že ax > a2 atd. " □ □ Takto odvodíme, že pro n —► +oo automaticky platí např. — 5n3 + n — 19 ~ — 5n3, n + 100*fň ~ n, 4«s — 21 lín2 + n — 2 ~ 4«s apod. Definice 2.21. Posloupnost {x„ : n > 1} se nazývá nekonečně malá, je-li limx„ = 0. Posloupnost {x„ : n > 1} se nazývá nekonečně velká, je-li limx„ = +oo nebo limx„ = — oo. Podle § 2.2.2 je zřejmé, že součet a součin dvou nekonečně malých posloupností jsou rovněž nekonečně malé. Toto však již nemusí platit pro podíl;8 záleží totiž na rychlosti konvergence k nule, jež právě rozhoduje, zda převládá čitatel nebo jmenovatel. Definice 2.22. Buďte {x„ : n > 1} a {y„ : n > 1} dvě nekonečně malé posloupnosti čísel. Říkáme, že je x„ ve srovnání s y„: (1) nekonečně malou veličinou vyššího řádu, jestliže lim y- = 0; (2) nekonečně malou veličinou stejného řádu, jestliže lim y- = A, kde A ^ 0, A ^ ±oo. 6Vskutku, < ^"2"~"2 = lp V2> přičemž 2™ při « —>- +oo roste rychleji než « (poznámka 2.28). 7V definici 2.19 lze, samozřejmě, použit i limitu lim —, neboť dle tvrzení 2.11 lim — = lim — 1, je-li n n yn lim22- = 1. Napr. pro nekonečné malé posloupnosti xn = ±, yn — -jň dle výsledku úlohy 2.27 je lim y- = lim ^- = +oo, lim ^ = lim = 0. 13 Je-li nekonečně malá y„ při n —► +00 stejného řádu s (x„)m, kde m > 0, říká se, že _y„ je ra<ÍM malosti m ve srovnaní s xn. V případě, když je lim y- = 1, jsou posloupnosti {x„ : n > 1} a {_y„ : n > 1} asymptoticky ekvivalentní při n —► +00 (definice 2.19). PŘÍKLAD 2.23. Pro n -> +00 platí: (1) x„ = ain2+bl a )>n = a2„2+i,2 Jsou při <3i<32 7^ 0 nekonečně malé stejného řádu (je-li #1 = a2, jsou asymptoticky ekvivalentní); (2) pro a > 0, & > 0 je ^ nekonečně malou řádu k ve srovnání s (3) ^ nekonečně malou vyššího řádu ve srovnání s pro libovolné a > 0; (4) s a > 0 je nekonečně malou vyššího řádu ve srovnání s Vysvětlení. Tvrzení plynou y následujícího: 1. lim** = lim a2"2+bh2 = lim^lf = ^; n1 2 -J- = r-M*- 3. pro x„ = i, y„ = ^ podle úlohy 2.26 je lim ^- = lim g = 0; 4. pro xn = ±, yn = ^ podle úlohy 2.27 je lim ^ = lim £ = 0. □ § 2.2.4. Limita monotónní posloupnosti Je-li číselná posloupnost monotónní (definice 2.2), lze očekávat, že konverguje k nějakému číslu, je-li omezená, a konverguje k +oo nebo —oo v opačném případě. Monotónní posloupnost má tedy vždy limitu (možná nevlastní). § 2.2.4.1. Věta o konvergenci monotónní posloupnosti VĚTA 2.24. Platí následující: (1) Rostoucí nebo neklesající posloupnost, která je navíc shora omezená, má konečnou limitu. Není-li shora omezená, má limitu +oo. (2) Klesající nebo nerostoucí posloupnost, jež je zdola omezená, má konečnou limitu. Není-li zdola omezená, má limitu — oo. Důkaz. Zjistí se, že hodnotou limity rostoucí posloupnosti {x„ : n > 1} je její nejmenší horní závora supn>1 x„ (§ 1.2.3). Vskutku, nechť je posloupnost shora omezená. Položíme-li L = supn>1 x„, dle definice 1.10 k libovolně malému s lze najít index nE tak, aby bylo Xji£ > L s. Vzhledem k předpokladu, že posloupnost je rostoucí, bude tato nerovnost platit i pro všechny další její členy: x„ > L — s pro n > nB. Na druhou stranu, L je pro posloupnost horní závorou a tudíž pro všechna n je x„ < L. Platí tedy L — s < x„ < L pro všechna n > nE. Z této nerovnosti obdržíme — e < x„ — L < 0, \x„ — L\ < s pro n > ne, což dle definice 2.6 znamená, že je L = limx„. Není-li posloupnost shora omezená, pro libovolně A existuje Na takové, že x^A > A. Jelikož je {x„ : n > 1} rostoucí, totéž platí i pro všechna n > Na' x„ > A. Toto však znamená, že limx„ = +oo. Podobně se dokáže, že limita klesající posloupnosti je rovna její největší dolní závoře. □ 14 PŘÍKLAD 2.25. Pro posloupnost z příkladu 2.12 platí _ 4n _4n + 4- 4_ n + 1 n + 1 n + 1 a tudíž podle věty 10.7 má posloupnost limitu jakožto posloupnost rostoucí a shora omezená (x„ < 4 pro všechna n). Úloha 2.26. Vyšetřeme existenci limity posloupnosti s předpisem x„ = —, n = 1,2,..., kde a > 0. Řešení. Je-li 0 < a < 1, bude lima" = 0 a tudíž i limx„ = 0. Totéž bude pro a = 1. Nechť proto a > 1. Lze očekávat, že n! roste rychleji než a". Jelikož je posloupnost kladná a platí x„+i an+ n\ a (2.3) x„ (n + l)\an n + 1 přičemž xn+\/xn < 1, jakmile n > a — 1, podle tvrzení 2.4 lze usoudit, že začínaje takovým n je posloupnost klesající.9 Posloupnost je kladná; hodnoty jejich členů jsou tedy zdola omezené nulou, a dle věty 10.7 existuje vlastní limita limx„ = L. Zapíšeme-li vztah (2.3) ve tvaru a n + 1 a přejdeme-li k limitě pro n —► +oo, s využitím tvrzení 2.11 dostaneme L = 0 • L = 0, to jest limx„ =0. □ Úloha 2.27. Vyšetřeme existenci limity posloupnosti nr x„ = —, n = 1,2,..., a" kde a > 1, r > 0. Řešení. Podobně úloze 2.26 utvořme = ^±±f ^ = (l + I)r I. Pak platí < 1, je-li n takové, že (l + ^) < a, přičemž poslední nerovnost zaručeně platí pro dostatečně velká n. Dle věty 10.7 kladná klesající posloupnost má vlastní limitu L = limx„. Předejme-li k limitě v rovnosti xn+\ = x„ (l + ^, dostaneme L = L/a a tudíž je L = 0. □ Poznámka 2.28 (o růstu mocninných, exponenciálních výrazů a faktoriálu). Z úloh 2.26, 2.27 lze odvodit, že faktorial v +oo roste rychleji než jakákoliv exponenciální funkce a že funkce exponenciální roste rychleji než mocninná. Definice 2.29. Říká se, že členy číselné posloupnosti {x„ : n > 1} mají určitou vlastnost pro dostatečně velká n, jestliže existuje TV takové, že tuto vlastnost mají x„ při libovolném n > N. Poznámka 2.30. Posloupnosti z úloh 2.26, 2.27 jsou pro dostatečně velká n monotónně klesající. Pouze pro dostatečně velká n má smysl uvažovat i jiné vlastnosti, tykající se chování x„ pro n rostoucí neomezeně (poznámka 2.10). § 2.2.4.2. Eulerovo číslo S netriviálním příkladem využití věty 10.7 o limitě monotónní a omezené posloupnosti se setkáváme při zavedení Eulerova čísla. Z hlediska konvergence posloupnosti není důležité, že tato vlastnost platí jen začínaje určitou hodnotou indexu (viz poznámka 2.10). 15 § 2.2.4.2.1. Definice Eulerova čísla a její odůvodnění Definice 2.31. Eulerovo číslo e je iracionální číslo definované vztahem lim íl + -] . (2.4) n—ľ+oo y n Aby byla definice 2.31 korektní, je potřeba se ujistit, že limita v (2.4) existuje, což nyní učiníme. Tvrzení 2.32. Číselná posloupnost xn = (l + ^j , n = 1,2,..., (2.5) je rostoucí a shora omezená. Důkaz. Monotónnost posloupnosti není zřejmá a je proto vhodné zkusit vzorec nějakým způsobem upravit. Nabízí se myšlenka využiti binomického vzorce10 ... \^(n\lk , , n(n-l)l2 n (n - 1) (n - 2) , (1 + bf = J2 Ľ )b = 1 + nb + 2, b2 + —-^--b3 + ... k=0 + »(»-!)(»-2)...(»-» + l)b„ n\ Při ô = l/n v (2.6) bude 1 n (n - 1) 1 n (n - 1) (n - 2) 1 n (n - 1)... (n - n + 1) 1 x„ = i + n —I--—--- H--—--H-----h n 2! n2 3! n3 n\ n" odkud úpravami = 1 - i, "("-1)("~2) = (l - I) (l - 2) atd. obdržíme ľ n-n n7 n-n-n V n f V n/ J:" = 1 + 1 + é(1-í) + é(1-í)(1-í V "/V n J V n ■^(^jíi-i.í.-^). (2.7) n! V n J \ n J \ n J Sčítají se tedy členy ^ (l — (l — |) ... (l — , kde 1 < k < n. Zapíšeme-li pomoci (2.7) vzorec pro xn+í, zjistíme, že po navýšení n o 1 se v (2.7) každý ze sčítanců zvětší, neboť budou v závorkách odečteny menší členy ^-j- místo větších jj-, a navíc přibude další kladný sčítanec. Proto při každém n bude xn+\ > x„, to jest posloupnost je rostoucí. Ukažme, že je rovněž omezená shora. Je zřejmé, žel — ^ < 1, 1 — | < 1 atd., a proto z (2.7) obdržíme 1 1 1 x„<2 +- + - + ■■■ + - (2.8) 2! 3! n\ Odhadneme-li zde jednotlivé sčítance podle pravidla ^ = < jj, ^ = 1,213,4 < atd. (vezmeme-li tedy do jmenovatele příslušnou mocninu nejmenšflio z činitelů odlišného od 1), dostaneme 1 1 1 xn<2 + - + — + ...+ —. (2.9) 22 2" 10Vztah(2.6)je důsledkem binomického vzorce (a+b)n = Tl=o (l)an-kbk,Me Q = 1, (£) (n-k)\-k\ -2)...(n-fc+i) (1 < ^ < «) jsou binomické koeficienty. 16 Jelikož součet prvních n + 1 členů geometrické posloupnosti s kvocientem \ ]q \ -\- \-\- ^ -\- • • • + = —^TT— = 2 (l — < 2, z (2.9) odvodíme, že x„ < 3 pro všechna n. □ Limita (2.4) pak existuje vzhledem k tvrzení 2.32 a větě 10.7. Eulerovo číslo e, jež je takto definováno, slouží jako základ logaritmů přirozených. § 2.2.4.2.2. Přibližný výpočet Eulerova čísla Vzhledem k tvrzení 2.32 z definice limity ihned dostáváme, že pro velká n je e = (l + ^)". Není však jasné, jak velké n musíme vzít pro dosažení předem stanovené přesnosti. Z hořejšího plyne zajímavá úvaha, podle níž lze Eulerovo číslo s libovolnou přesností přibližně vypočítat způsobem mnohem pohodlnějším. Pro x„ platí vyjádření (2.7) a odhad (2.8). Odstraníme-li z pravé strany (2.7) všechny sčítance následující po ^ (l — (l — ^) ... (l — při pevně zvoleném k < n, obdržíme výraz ostře menši nez x, .n n ■ + - + ir(1-í)(1-í)'"(1-^i)' <210) Přechodem k limitě při n —► +oo s využitím (2.4) pak dokážeme, že platí 1 1 1 e > 2 +— + — + ■■■ +—, (2.11) 2! 3! k\ a to při libovolném přirozeném k. Položíme-li 1 1 1 yn =2 + - + - + ... + - (2.12) 2! 3! n\ z (2.8) a (2.11) dostaneme, že pro všechna n > 1 je x„ < y„ < e. (2.13) Jelikož dle definice 2.31 platí limx„ = e, z (2.13) je jasné, že i lim y„ = e (pro důkaz se stačí odkázat na větu o sevření 2.15, § 2.2.3). Vzhledem k nerovnosti (2.13) je hodnota y„ k Eulerovu číslu e bliž než x„, přičemž lze vztah lim y„ = e formálně zapsat v podobě sumy nekonečně mnoha sčítanců 1 1 1 e = 2 + - + - + - + - + .... (2.14) 2! 3! n\ Vzorec (2.14) vyjadřuje číslo e jako součet tzv. nekonečné řady12 a je pohodlnější než (2.4). Zanedbáme-li v (2.14) všechny členy jdoucí po ^ pro nějakém pevně zvoleném n, obdržíme přibližnou hodnotu e v podobě 1 1 1 e = 2+ - + - + ... + - (2.15) 2! 3! n\ nPro zdůvodnění bychom využili srovnávací věty 2.13: nerovnost (2.10) má tvar xn > t/fcjB, kde limra^oo Wjfcjn = y^ a limra^oo xn — e; pak dle věty 2.13 bude e — limra^oo xn > limra^oo u^^ — y^. Rovnost v (2.11) je vyloučena proměnným k. i o I když zde nekonečné řady nerozebíráme, smysluplnost nekonečné sumy (2.14) již můžeme odůvodnit pomocí odhadů odvozených při důkazu tvrzení 2.32; pro yn totiž platí yn<2+j + ^2+--- + jň^l + 2 = 3 pro n —s* +oo. Z (2.12) je zřejmé, že je vždy yn = yn-\ + > yn-i- Při n —► +°° se yn mění tak, že se do součtu neustále přidávají další členy. Vztah s nekonečnou sumou (2.14) pak má význam limity posloupnosti {yn '■ n > 1}, jež je rostoucí a shora omezená (věta 10.7). 17 přičemž se kvalita aproximace zlepšuje při zvětšení n. Podstatnou výhodou vzorce (2.15) oproti vztahu e = (l + ^) je možnost odhadu chyby, jíž se dopustíme, nahradíme-li e hodnotou (2.15) (jak chybu odhadnout, se ukáže v § 7.2.2, souvisí to totiž s Taylorovým vzorcem). DŮSLEDEK 2.33. Platí 2 < e < 3. Důkaz. Z (2.14) dle důkazu tvrzení 2.32 obdržíme13 1 1 1 É>=1 + 1 + ^7 + ^7 + 77 + ---2! 3! 4! 2. □ □ Poznámka 2.35 (o alternativní definici Eulerova čísla). Vztah (2.14), chápaný jako limita posloupnosti (2.12), může sloužit i jako definice Eulerova čísla.14 § 2.2.5. Bolzanova-Cauchyova podmínka Definice 2.36. Číselná posloupnost {x„ : n > 1} splňuje Bolzanovu-Cauchyovu podmínku, jestliže ke každému libovolně malému kladnému e lze najít Ns takové, že pro všechna n,m > NE platí I Xffi | < s. VĚTA 2.37. Posloupnost {x„ : n > 1} splňuje Bolzanovu-Cauchyovu podmínku tehdy a právě tehdy, když existuje číslo L takové, že platí (2.2). Poznamenejme, že bezprostředně dle definice 2.6 lze platnost rovnosti (2.2) ověřit jenom za předpokladu, že máme nějakou hypotézu ohledně hodnoty L. Bolzanova-Cauchyova podmínka umožňuje existenci limity dokázat, aniž bychom měli formulovanou hypotézu pro její hodnotu. PŘÍKLAD 2.38. Pomocí Bolzanovy-Cauchyovy podmínky dokažme konvergenci posloupnosti An n + 1 z příkladu 2.12. Řešení. Využijme věty 2.37. Pro libovolná n, m je 4m An Amin + 1) — An(m + 1) Xm Xn m + 1 n + 1 (m + \)(n + 1) (m + l)(n + 1) mn + m + n + 1 1 + - + - + — mn i n Muže se zdát, že ostrá nerovnost v (2.16) není dostatečně odůvodněna, poněvadž odhad yn < zn pro n > 1 sz„ = 2+ j + ^2+--- + jň dle věty 2.13 zaručí pouze neostrou nerovnost e = limyn < limz„ = 3 (poznámka 2.14). Zde však yn a zn jsou součty n kladných čísel, kde první sčítance v yn jsou menší, než příslušné sčítance v zn. Toto znamená, že větu 2.13 můžeme aplikovat pro yn = + - - - + , ž„ = + +----h ^r, přičemž e < 3 pak plyne z nerovnosti 2+jf + jf<2+2 + p-- Použijeme tak následující jednoduché Tvrzení 2.34. Buďte {an : n > 1}, {bn : n > 1} posloupnosti kladných čísel a pro xn — ci\ + ci2 H-----h an, y n — b\ + bi + ■ ■ ■ + bn existují limity lim xn a lim yn. Je-li < pro všechna k > 1, pak lim xn < lim yn. 14Tohoto vyjádření pro e lze rovněž využít pro důkaz jeho iracionálnosti. 18 a proto 1 — — 1 n m \ 1 + h + h + 1 mn 1 1 / 1 1 — -- < 4 — + — m ~ V n m < I, Buď e > 0 libovolně malé. Jestliže n > Ns, m > Ne, kde V£ = |_§J + 1, pak |£ lil < f a tudíž |xm - x„ | < 4 (f + f) = e. □ § 2.3. Vybrané posloupnosti a hromadné body § 2.3.1. Podposloupnosti Buď {x„ : n > 1} číselná posloupnost. Její podposloupnost (neboli vybraná posloupnost) je posloupnost tvaru {xkn : n > 1}, kde k\ < k2 < £3 < ... je nějaká nekonečná posloupnost přirozených čišel. PŘÍKLAD 2.39. Vybraná posloupnost {x2n-i '■ n > 1} se skládá z členů s lichými indexy: X\, X3, X5, .... Vybranou posloupnost {x2n : n > 1} tvoří členy, jejichž indexy jsou násobky 2, to jest x2, x4, Xs,____ VĚTA 2.40. Číselná posloupnost má limitu tehdy a pravě tehdy, když všechny její podposloupnosti konvergují k stejné limitě. Důkaz. Konverguje-li každá podposloupnost {xkn : n > 1} k hodnotě c, ve speciálním případě k„ = n obdržíme limx„ = c. Naopak, je-li limx„ = c s nějakým c e (—00, 00), k libovolně malému kladnému s lze najít NE tak, aby pro všechna n > NE bylo \x„ — c\ < s. Vezmeme-li jakoukoliv rostoucí posloupnost indexů k\, k2, kj,,..., bude to očividně posloupnost shora neomezená a tudíž pro dostatečně velká n {n > ns) bude k„ > NE. Zvýšíme-li NE na hodnotu max{JV£, nE}, podle definice limity dostaneme limxkn = c. Obdobně pro nevlastní hodnoty c = ±00. □ Dokázat, že jistá posloupnost limitu nemá, lze tedy sestrojením dvou jejich podposloupnosti konvergujících k různým limitám. PŘÍKLAD 2.41. Dokažme neexistenci limity posloupnosti x„ = 2 + (-l)w+1, n = 1,2,... Řešení. Pro libovolné přirozené k je x2k = 2 + (-\)2k+l = 2 - 1 = -1, x2k-x =2 + (-l)2k-1+1 =2+1 = 3 a tudíž lim/t^oo x2/t = — 1, lim^^oo x2/t-i = 3. Dle věty 2.46 limita lim^oo x„ neexistuje. □ VĚTA 2.42 (Bolzanova-Weierstrassova). Z každé omezené posloupnosti lze vybrat podposloupnost mající vlastní limitu. § 2.3.2. Hromadné body posloupnosti Je-li limxkn = c e R pro nějakou posloupnost indexů k\, k2, ..., můžeme to chápat tak, že bod c lze s libovolnou přesností přiblížit členy posloupnosti {x„ : n > 1}. Definice 2.43. Hromadným bodem posloupnosti {x„ : n > 1} se nazývá bod, v jehož libovolně malém okolí se nachází nekonečně mnoho členů posloupnosti.15 Hromadným bodem posloupnosti je nevlastní bod +00 (resp. —00), je-li limxkn = +00 (resp. —00) pro nějakou vybranou posloupnost {xkn : n > 1}. Z Bolzanovy-Weierstrassovy věty 2.42 plyne 15Máme na mysli, samozřejmě, různé členy posloupnosti. 19 VĚTA 2.44. Platí následující: (1) Bod c je hromadným bodem posloupnosti tehdy a právě tehdy, když v dané posloupnosti existuje nějaká konvergentní podposloupnost, pro níž je c limitou. (2) Každá posloupnost má hromadné body (je možné, že nevlastní). (3) Posloupnost má limitu tehdy a právě tehdy, když má jediný hromadný bod. § 2.3.3. Limes superior a limes inferior Limes superior (horní limita) a limes inferior (dolní limita) jsou největší resp. nejmenší hromadný bod dané posloupnosti. Tyto hodnoty jsou definovány pro libovolnou posloupnost takto. Definice 2.45. Buď {x„ : n > 1} nekonečná posloupnost. Je-li posloupnost omezená shora, definujeme její limes superior rovností lim sup x„ = lim supx/t (2.17) n^oo n^°° k>n a pro shora neomezenou klademe lim sup^^ x„ = +oo. Je-li posloupnost ohraničená zdola, definujeme její limes inferior rovností lim inf x„ = lim inf Xk (2.18) a pro zdola neomezenou klademe liminf^oo x„ = — oo. Symboly „sup" a „inf" v (2.17), (2.18) značí supremum (nejmenší horní závoru) a infimum (největší dolní závoru) podmnožiny reálných čišel.16 VĚTA 2.46. Platí následující: (1) Vždy je lim inf„-^x,, < limsup^^ x„; (2) liminf„^oo x„ = limsup^^ x„ právě tehdy, když existuje lim„^oo x„; (3) limsup^^-Xrc) = -liminf„^ooX„. PŘÍKLAD 2.47. Vyšetřeme hromadné body posloupností: (1) xn = 2 + (-1)"+1 z příkladu 2.41; (2) x„= vg±3.sin(^). Řešení. 1. Platí lim/t^oo x2k = — 1, lim/t^oo %2k-i = 3, přičemž tyto vzorce vyčerpají všechny možnosti. Hromadné body jsou — 1 = liminf^oo x„, 3 = limsup^^ x„. 2. Platí lim 2n-i = ^m —\n-i = f • Činitel sin y*f-) nabývá pro různá n jen několika hodnot. Uvažujme proto jednotlivé případy. Pro n = 2k je sin (^f-) = 0 a tudíž x2k = 0. Pro n = 2k + 1 je sin ((2*+1)g) = sin (|- + kir) , přičemž /7T \ \ sin (I + 2sn) = 1 při £ = 2,5'; V2"+ 71) ~ j sin(| + (2s + 1)tt) = sin (^) = -1 pňk = 2s+l. sin Hromadnými body dané posloupnosti tedy jsou {—|, 0, |} a platí lim sup x„ = |, lim inf x„ 3 ' ' 3 2 □ Vzorce (2.17), (2.18) vyjadřují skutečnost, že limes superior a limes inferior jsou největší resp. nejmenší hromadné body posloupnosti. Nevystačíme-li z takto neformálním popisem, musíme využít pojmů suprema a infima(§ 1.2.3). 20 §3 Limita funkce jedné proměnné § 3.1. Limita funkce v nevlastním bodě Limitou výrazu f(x) v nevlastním bodě rozumíme hodnotu, k níž se f(x) blíží při x —► +00 anebo x —► —00. Taková hodnota, obecně řečeno, existovat nemusí. § 3.1.1. Vlastní limita v nekonečnu Buď / funkce definovaná na (a, +00). Limitu /(x) pro x —► +00 lze definovat podobně definici limity číselné posloupnosti. Definice 3.1. Číslo L e R je limitou funkce / pro x -> +00: L = lim f (x), jestliže k libovolně malému kladnému číslu s existuje číslo Te takové, že pro všechna x > Te platí \f(x)-L\ ^ = 2log2 e. Vzhledem k tomu, že je funkce x h> 21 rostoucí, toto bude platit, je-li x dostatečně velké: x > log2 i. □ § 3.1.2. Nevlastní limita v nekonečnu Hodnota limity L je nevlastní, jestliže je L = +00 nebo L = —00. Definice 3.3. (1) limx^+00 / (x) = +00, jestliže k libovolně velkému A existuje r a takové, že pro všechna x > r a platí f(x) > A. (2) limx^+00 f(x) = —00, jestliže k libovolně velkému A existuje r a takové, že pro všechna x > r a platí f(x) < —A. Limita pro x —► —00 se definuje obdobně. příklad 3.4. Platí lim^+oo 2X = +00. Důkaz. Hodnota 2X je pro x —► +00 neomezeně rostoucí. Pro libovolně velké A bude 2X > A, je-li 2X > 2Yo^A, tj. x > log2 A. □ 21 § 3.2. Limita funkce ve vlastním bodě Mějme funkci / :/->Ms definičním oborem / cl. Buď c e R (je možné, že c $ I a /(c) není definováno). Bod c je limitním bodem pro množinu /, jestliže v každém okolí bodu c je nějaký bod množiny / odlišný od c (§ 1.2.2). Táto vlastnost znamená, že se k bodu c lze jakkoliv těsně přiblížit pomocí bodů množiny / (přičemž samotný limitní bod c může, ale nemusí být prvkem /)• Je-li c je limitním bodem množiny /, má smysl uvažovat, jak se / (x) chová, když sex e / přibližuje k c. Nechť dále c je limitní bod pro /. § 3.2.1. Limita funkce v bodě: definice jazykem "e... 8" Definice 3.5. Číslo L e R je limitou funkce / v bodě c: L = lim f(x), X—ľC jestliže k libovolně malému kladnému číslu s existuje 8E takové, že pro všechna x splňující nerovnost \x — c\ < 8E platí \f(x)-L\ A. Obdobně se definuje limx^c f(x) = — oo. § 3.2.3. Limita funkce v bodě: definice jazykem posloupností Totéž lze definovat přes limity číselných posloupností: Definice 3.7. L e R, L = limx^c f (x), jestliže platí lim f(x„) = L pro libovolnou posloupnost čísel {x„ : n = 1,2,...} takovou, že lim„^+00 x„ = c. Lze dokázat, že definice 3.5 a 3.7 mají stejný vyznám. § 3.3. Jednostranné limity Jednostranná limita lim f (x) (čteme: "limita f (x) pro x —► c zprava") se definuje podobně limitě limx^cf(x) s tím rozdílem, že x —► c zprava, tj. x->ca vždy x > c. Obdobně se definuje limx^c_ / (x). Totéž lze formulovat jazykem číselných posloupností podobně § 3.2.3. Definice 3.8. L e R je limitou funkce f v bodě c zprava (L = limx^c+ f(x)), jestliže lim„^+00 f(x„) = L pro každou posloupnost čísel {x„ : n = 1,2,... } takovou, že lim„^+00 x„ = c a x„ > c pro všechna n. 22 Definice 3.9. L e R je limitou funkce f v bodě c zleva (L = limx^c_ f (x)), jestliže lim„^+00 /(x„) = L pro každou posloupnost čísel {x„ : n = 1,2,...} takovou, že lim„^+00 x„ c a xn < c pro všechna n. PŘÍKLAD 3.10. Platí lim ■sfx = 0, lim ln x = — oo. x^0+ x^0+ Vysvětlení. Výsledky jsou zcela zřejmé; poznamenejme jen, že lze uvažovat pouze jednostrannou limitu pro x —► 0+, jelikož jsou funkce X I—^ ■s/x ä X I—^ ln x definovány pouze pro x > 0. □ věta 3.11. Limita limx^c /(x) existuje tehdy a právě tehdy, když v bodě c existují obě dvě jednostranné limity a lim f(x) = lim f(x). příklad 3.12. Buď m přirozené číslo. Dokažme, že limita limx^0 ^ je rovna +oo pro m sudé a neexistuje pro m liché. Řešení. Pro libovolné přirozené k 1 1 lim —r- = +oo, lim —-r = +oo x^0+ X2k x^O- X2k a proto limx^o ^ = +oo. Budeme-li uvažovat x2l+i pro x —0 (x > 0), obdržíme, že 0 < -^hr = -^k \ ~+ +oo. Stejně tak obdržíme, že 0 > = ^ -oo. Proto je 1 1 lim „. , , = +00, lim „. ,, = —oo x^0+ X2k+1 x^O- X2k + 1 a dle věty 3.11 limita limx^0 x2k+i neexistuje. □ § 3.4. Neurčité výrazy S využitím pojmu limity lze matematicky precizně vyšetřovat tzv. neurčité výrazy, jež vznikají v důsledku dosazení do vzorce buď ±oo nebo hodnoty, kde není výraz korektně definován (viz tabulka17 3.1). £ ^ 0-oo oo-oo 1°° oo° 0° i 0_oo_0_oo Tabulka 3.1. Neurčité výrazy Např. 0 • oo znamená limitu tvaru lim f(x)g(x), kde lim^c /(x) = 0 a limx^c g(x) je +oo nebo —oo (anebo takovou je nějaká jednostranní limita). Je to výraz neurčitý, neboť pro různé funkce / a g se chování součinu /(x)g(x) při x —► c může lišit a tudíž výsledek obecně nelze jednoznačně určit. Vskutku, je-li c = 0, (1) pro f(x) = x, g(x) = i bude lim f(x)g(x) = lim x— = lim 1 = 1; x^O x^O X x^O 17l když v případě ^ lze říci, že limx^c = 0 vždy, když limx^c g(x) je +00 nebo —00, je správné takové výrazy chápat pořád jako neurčité a neoperovat s +00 a —00 jako s čísly. 23 (2) pro f (x) = x2, g{x) = - bude lim f(x)g(x) = lim x2— = lim x = 0; x^O x^O X x^O (3) pro f (x) = x, g (x) = 73 bude lim f(x)g(x) = lim x— = lim — = +oo; x^O x^O X3 x^OX2 (4) pro f (x) = x, g (x) = limita lim f(x)g(x) = lim x— = lim — x^O x^O X x^O X 1 Q neexistuje, přičemž v každém z těchto případů se jedná o neurčitý výraz typu 0 • oo. PŘÍKLAD 3.13. Vypočtěme lim x-^i x2 - 4x + 3 Řešení. Jelikož x - 1 f (x) x2 — 4x + 3 g(x) kde /(l) = g(l) = 0, jedná se o neurčitý výraz typu jj pro x —► 1. Funkce f a g jsou polynomy a pro každý z nich číslo 1 je kořenem. Platí g(x) = (x — 1)(x — 3) a proto x-1 x-1 1 1 hm —- = hm-= hm-= —. *-n x2 - 4x + 3 x-n (x - l)(x - 3) 2 Poznamenejme, že bez využití pojmu limity chováni funkce x i-* ^2^~^+3 v okolí bodu 1 vyšetřit nedokážeme, neboť dosazení x = 1 vede na neurčitý výraz jj. □ § 3.5. Významné limity Významné limity, jež běžně využíváme při výpočtu limit jiných, jsou zejména tyto: sin x ex — 1 lim- = 1, lim-= 1, x^O X x^O X ln(l+x) / iy lim V ' = 1, lim 1 + - =1. x^O X x^+oo \ X) Uvedené (i další19) vzorce lze považovat za důsledky l'Hôpitalova pravidla. § 3.6. Vlastnosti limit VĚTA 3.14. Existují-li konečné limx^c f(x) a limx^c g(x), platí lim(/(x) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x), hm(/(x)g(x)) = lim f(x) ■ lim g(x), f (x) limx^c f (x) hm —— =--— (je-li lim g (x) ŕ 0). x^c g (x) hmx^c g (x) x^c 18viz příklad 3.12 19 např. lim^o ^ = 1, Hm^o ™ = 1 24 PŘÍKLAD 3.15. Vypočtěme sin 2x lim x^o e2x — 1 Řešení. Jedná se o typ jj. Úpravou obdržíme sin2x sin2x 2x sin2x 2x lim —-= lim----= lim-• lim —- = 1, x^o e2x — 1 x^o 2x e2x — 1 x^o 2x x^o e2x — 1 neboť limity limx^0 ^ff^ a limx^o e2x_x existují a jsou rovny 1 (pro x —► 0 je 2x —► 0 a naopak; tudíž dle odst. 3*5 limx^0 ^ = limř^0 ^ = 1). □ VĚTA 3.16. Je-li funkce v omezená v okolí bodu c a limx^c u(x) = 0, pak bude lim u(x)v(x) = 0. Důkaz. Dle předpokladu existuje K > 0 takové, že v nějakém okolí bodu c je \v(x)\ < K. Pak bude \u(x)v(x)\ < K\u(x)\ —► 0 pro x —► c. □ PŘÍKLAD 3.17. Vypočtěme xcos(2*) lim Řešení. U podílu y * ^ se jedná o výraz typu ^. Zadání upravme takto: xcos(2*) x x hm _ = hm ms(7*) —-= hm cos(2*) x^+oo - 1 *^+°° ^X4 - 1 *^+°° 3/x4 X 1 lim cos(2*)-■== = lim cos(2*)- X3 yx - Pak dle věty 3.16 obdržíme x cos(2*) lim 3/ V =0, jelikož je vždy |cos(2*)| < 1 a limx^+00 x^ ^/l — ^ = +00. □ § 3.7. Důkaz neexistence limity § 3.7.1. S užitím jednostranných limit Důkaz neexistence limity lze provést podle věty 3.11: limita limx^c /(x) neexistuje, jestliže neexistuje alespoň jedna z jednostranných limit limx^c+ /(x), limx^c_ /(x) anebo obě dvě jednostranné limity existují, avšak mají různé hodnoty (viz příklad 3.12). § 3.7.2. S užitím vybraných posloupností Dle definice 3.7 limita limx^c /(x) existuje a je rovna L právě když lim f(x„) = L pro libovolnou posloupnost {x„ : n = 1,2,... } takovou, že lim„^+00 x„ = c. Tudíž, pro neexistenci limity limx^c / (x) bude stačit, najdeme-li dvě posloupnosti {x„ :n = l,2,...}a {x„ : n = 1,2,... } s lim„^+00 x„ = lim„^+00 x„ = c takové, že lim f(x„) = L, lim f(x„) = Ĺ aL ^ L. 25 PŘÍKLAD 3.18. Dokažme, že funkce f{x) = x sin x nemá limitu pro x —► +00 ani pro x —► —00. Řešení. Hodnoty funkce / při x rostoucím v kladných číslech neustále kolísají, přičemž hodnoty funkce postupně zaplňují intervaly tvaru (—A, A), kde A roste neomezeně (viz obrázek 3.1). Lze tedy uplatnit myšlenku s vybráním dvou různých cest pro x —► +00, jež vedou na různé výsledky pro hodnoty funkce. Zvolme nekonečné posloupnosti {x„ : n = 1, 2,... } a {x„ : n = 1,2,...}, např., tak, aby platilo sinx„ = 1, sinx„ = 0 pro každé n. Stačí vzít x„ = — + 2nn, x„ = nn. Je zřejmé, že lim„^+00 x„ = lim„^+00 x„ = +00. Pak bude lim f(x„) = lim x„únx„ = lim (— + 2itn\ = +00, lim f(x„) = lim x„ sinx„ = 0, což dokazuje neexistenci limity limx^+00 f (x). Navíc je funkce / sudá a tudíž neexistuje ani lim^-oo f(x). □ PŘÍKLAD 3.19. Dokažme, že funkce /(x) = sin (^) nemá limitu pro x —► 0. Řešení. Pro x —► 0+ ie - —► +oo. Proto funkce v okolí bodu 0 neustále kmitá mezi u X hodnotami —1 a 1, přičemž při přiblížení k 0 intenzita kmitů porad narůstá (viz obrázek 3.2). Zvolme posloupnosti {x„ : n = 1,2,... } a {x„ : n = 1,2,...} tak, aby bylo sin |-) = 1, sin |-)=0 \XnJ \XnJ pro každé n. Je zřejmé, že toto bude platit, jestliže 1 _ _ 1 x" ~ H T^ť ' x" ~ ' (3-1) | + 2nn Ttn přičemž obě dvě posloupnosti (3.1) jsou kladné a lim„^+00 x„ = lim„^+00 x„ = 0. Pak pro každé n bude f(xn) = sin [ — ) = sin (— + 2nn \ = 1, f(x„) = sin ( — ) = smrrn = 0 \xn J V2 / \xn) a proto lim„^+00 /(x„) ^ lim„^+00 /(x„). Tímto jsme dokázali, že neexistuje limita zprava limx^0+ /(x) a tudíž neexistuje20 i limx^0 /(x) . □ § 3.8. Substituce v limitě VĚTA 3.20. Buďte / funkce definovaná v okolí bodu A a g funkce definovaná v okolí bodu c. Existují-li lim f(x) = B, limg(x) = A, x^a x^-c pak bude existovat i lim f(g(x)) = B. 20Vhledem k lichosti funkce / je jasné, že neexistuje ani limx^o- /(*)■ 26 201 -20- Obrázek 3.1. Graf funkce y = x sin x x J Obrázek 3.2. Graf funkce y = sin -příklad 3.21. Vypočtěme + oo. Proto lze lim sin I — Řešení. Pro f{x) = sinx je /(O) = 0 a veličina ^ klesákO pro x aplikovat větu 3.20 s g(x) = ^, pro níž je limx^+00 g(x) = 0: lim sin (-) = lim / (-) = lim / (g(x)) = 0. Lze si také všimnout, že pro dostatečné velké x {x > ^) bude 0 < ^ < n a tudíž sin > 0, tj. se křivka blíží k ose x shora (viz obrázek 3.2). □ § 3.9. Spojitost funkce Spojitou funkci si představujeme tak, že její grafem je křivka, kterou lze nakreslit bez přerušení „jedním tahem". Přesná definice využívá pojmu limity. 27 § 3.9.1. Spojitost funkce v bodě Definice 3.22. Funkce / je spojitá v bodě c, jestliže /(x) —► /(c) pro x —► c: lim /(x) = /(c). Funkce / je spojitá na otevřeném intervalu / , jestliže je spojitá v každém jeho bodě. VĚTA 3.23. Buďte g funkce spojitá v okolí bodu c a f funkce spojitá v okolí bodu g(c). Pak bude složená funkce ih>/(g(x)) spojitá v v okolí bodu c. PŘÍKLAD 3.24. Funkce x i-* 2cosx, x i-* sin(3-*), x i-* -\/x2 + 1 jsou spojité na (—oo, oo). Funkce x i-* sin(lnx) je spojitá na (0, +oo). § 3.9.2. Metoda bisekce VĚTA 3.25 (Bolzanova věta). Je-li funkce / spojitá na intervalu (a, b) a platí f(a)f(b) < 0, pak existuje bod £ e (a, ô), v němž /(£) = 0. Na tomto tvrzení je založena tzv. metoda bisekce přibližného určení řešení rovnice /(*) = 0. (3.2) Tato metoda spočívá v následujícím. Položme ao = a, bo = b a vypočtěme hodnotu / v bodě \{ao + b0) (střed intervalu (a0, b0)). Je-li /(a0)/{\{ao + b0)) < 0, vezměme a.\ = a0, b\ = j(a0 + b0), v opačném případě21 položme a i = j(a0 + b0),bi = b0. Pokračujme obdobně na intervalu (a\,b\) atd. Obdržíme posloupnost zužujících se intervalů (a„, b„) takových, že platí f(an)f(bn) < 0 pro všechna n = 0,1,.... Jelikož bn — a„ = —(b — a) —► 0, n —► +00, 2" budou fl„ a konvergovat k řešení rovnice (3.2). § 3.9.3. Druhy bodů nespojitosti Druhy bodů nespojitosti jsou následující: (1) existuje limx^c /(x), ale limx^c /(x) ^ /(c) nebo /(c) není definováno (odstranitelná nespojitost) (2) existují konečné jednostranné limity a limx^c_/(x) ^ limx^c+ f(x) (nespojitost typu I, to jest typu „skok") (3) alespoň jedna z limit limx^c_ f(x) a limx^c+ f(x) je nevlastní nebo neexistuje (nespojitost typu II) Vyjde-li hodnota / ve středu intervalu 0, znamená to, že řešení rovnice (3.2) jsme již nalezli. 28 §4 Derivace funkce jedné proměnné § 4.1. Intuitivní představa Buď / : R —► R reálná funkce jedné reálné proměnné, jež popisuje vývoj určité proměnné veličiny. Intuitivní „definice ". Derivace funkce v bodě udává okamžitou rychlost růstu či poklesu její hodnoty v daném bodě. Poznámky: (1) Výpočtem hodnoty funkce v bodě zodpovíme otázku „Čemu se rovná hodnota uvažované proměnné veličiny v daném bodě?" (2) Výpočtem hodnoty derivace funkce v bodě zodpovíme otázku „Jaká je okamžitá rychlost změny uvažované proměnné veličiny v daném bodě?" Okamžitou rychlost změny hodnoty funkce v bodě intuitivně chápeme jako míru změny funkce v poměru k nekonečně malému přírůstku nezávisle proměnné v okolí tohoto bodu. § 4.2. Fyzikální interpretace derivace § 4.2.1. Pohyb hmotného bodu: rovnoměrný pohyb Pojem derivace přirozeně vzniká při řešení fyzikální úlohy o pohybu hmotného bodu. Uvažujme přímočarý pohyb hmotného bodu; proměnné veličiny jsou čas t > to, dráha s(t), kterou bod urazí za t jednotek času, a rychlost v(t). Pro rovnoměrný pohyb je rychlost v(t) = v konstantní: s(t) = s(t0) + v(t -t0), to jest v každém časovém okamžiku t platí s(ť) - s(t0) v =-. t-to § 4.2.2. Pohyb hmotného bodu: zrychlený pohyb V případě zrychleného pohybu není rychlost v(t) konstantní. Navíc vzniká přirozená otázka, jak v(t) v každém časovém okamžiku t matematicky korektně definovat. Uvažujme časový interval (t0, ť); průměrná rychlost bude s(t) - s(to) v =-. t-to 29 -t + 2 ■ -t + 5 Obrázek 4.1. Příklady veličin, jež se mění s konstantní rychlostí (v Jak ale určit okamžitou rychlost v čase ř? Je-li t blízko k t0, pak v(t) je přibližné rovná průměrné rychlosti na intervalu mezi t0 a t: v(t) ř - ř0 Pro stanovení okamžité rychlosti v(t) se nabízí limitní přechod pro ř —► ř0. Zvolme libovolné t0. Okamžitá rychlost v to pak bude: í(ř)-í(ř0) vito) = lim-. t^t0 t - to § 4.3. Pojem derivace § 4.3.1. Definice Buďte / funkce a x0 bod z D(f). Definice 4.1. Existuje-li limita /(s) - /(So) hm -= / (x0), x->-x0 X — Xo (4.1) nazýváme tuto limitu derivací funkce / v bodě Xo a značíme f'(xo). Je-li limita v (4.1) nevlastní, říkáme, že funkce / v bodě Xo má derivaci nevlastní. V případě, když limita neexistuje, v daném bodě funkce derivaci nemá. Postup nalezení derivace nazýváme derivováním. Poznámka 4.2. Substitucí x — Xo = h lze vzorec (4.1) přepsat na tvar f(x0 + h)- f(xo) lim h = f'(Xo). Poznámka 4.3. /'je funkce x i-* f'(x), přičemž D(f) C D(f) (je možné, že D(f) rD(f)l) 30 Obrázek 4.2. Funkce y = \x\\ bodě x = 0 derivaci nemá (není tečna). § 4.3.2. Alternativní způsoby zápisu derivace Jinak se derivace značí f'{x) = -f^f (x) = d^JC->. Je-li y = y (x) funkce proměnné x, pak lze psát y' = -r (4-2) dx a formálně chápat tento výraz jako podíl přírůstku hodnoty závisle proměnné v poměru k nekonečně malému přírůstku nezávislé proměnné?2 Zápis ^ preferujeme, chceme-li zdůraznit, že se derivuje podle x, nikoliv podle jiné proměnné, již výraz y může obsahovat. Např. ^(ax3 + x2*Jä) = 3ax2 + 2^/ax. § 4.3.3. Existence derivace Tvrzení 4.4. Platí následující: (1) Existuje-li pro funkci v nějakém bodě derivace, pak je její hodnota určena jednoznačně. (2) Existence derivace je lokální vlastnost (hodnota derivace v bodě popisuje rychlost růstu nebo poklesu funkce v okolí daného bodu a není ovlivněna chováním funkce v jiných částech definičního oboru). VĚTA 4.5. Má-li funkce v bodě vlastní derivaci, pak je v tomto bodě spojitá. Opačné tvrzení neplatí (tj. jsou spojité funkce, jež v nějakých bodech derivaci nemají). Poznámka 4.6. Derivace funkce v některém bodě neexistuje, jestliže v tomto bodě nelze sestrojit tečnu. Existence derivace tedy znamená určitou hladkost křivky (neexistenci „hrotů"). příklad 4.7. Pro f(x) = \x\hodnota /'(O) neexistuje. Řešení. Limita lim/^o ^^0+h^~^^ neexistuje, neboť ľ /(O + h) - /(O) \h\ /(O + h) - /(O) \h\ lim---= lim —— = 1, lim--- = lim —— = — 1. h^0+ h h^0+ h h^O- h h^O- h Proto funkce /(x) = \x\ v bodě 0 derivaci nemá. V bodě (0,0) křivka nemá tečnu. Pozorujeme nehladký charakter změny hodnot funkce v okolí bodu 0 (viz obrázek 4.2). Určitý důvod k tomu shledáme o něco později v § 7.1.2. 31 § 4.3.4. Jednostranné derivace Jednostranné derivace f\_(x0) a fl(x0) se definují podobným způsobem, když v (4.1) vezmeme jednostranné limity: r f(x)-f(x0) , f(x)-f(x0) , hm -= f+(x0), hm -= f_(x0). x^x0 + X — Xq x^x0- X — Xq Tvrzení 4.8. Derivace f'(x0) existuje právě tehdy, když existují f^_(x0) a fl(x0) a navíc je fl(xo) = fl(x0). příklad 4.9. Pro f(x) = |*l je /+(0) = 1, f 1(0) = -1 (viz příklad 4.7). Jednostranné derivace uvažujeme zejména v blízkosti koncových bodů intervalu, na němž je funkce definována. § 4.4. Derivace některých elementárních funkcí Uveďme příklady důkazu vzorců pro derivace některých elementárních funkcí. Tyto a další běžně využívané vzorce nalezneme v tabulkách. § 4.4.1. Derivace lineární funkce Buď f(x) = ax + b. Pak platí ... , f(x + h)-f(x) a(x + h) + b - ax - b ah ý (x) = hm- = hm- = lim — = a. h^o h h^o h h^o h Takto odvodíme vzorec (ax + b)' = a. Mimo jiné, derivace konstantní funkce je 0. § 4.4.2. Derivace exponenciální funkce Je-li f(x) = ea*,bude f(x + k)- f(x) ea{x+h) _ eax eax+ah f (x) = lim---= lim---= lim gdX h^O h h^O h h^O h = lim eax—--= lim aeax--— = lim aeax ■ lim--— h^o h h^o ah h^o h^o ah = a lim eax ■ 1 = aeax. Obdržíme (eax)' = aeax, (ex)' = ex. § 4.4.3. Derivace druhé mocniny Pro /(x) = x2 bude ,,, , r /(* + h) - f(x) (X + h)2-X2 j (x) = lim---= lim h^o h h^o h x2 + 2xh + h2 - x2 2xh + h2 „ = lim-= lim- = lim(2x + h) = 2x h^O h h^O h h^O a obdržíme (x2)' = 2x. § 4.4.4. Derivace druhé odmocniny Je-li /(x) = s/x pro x > 0, bude rl/ ^ -Jx + h - «Jx -Jx + h - «Jx -Jx + h + V* / (x) = lim---= lim---• - h^o h h^o h Vx + h + «Jx 32 x + h — x h 1 = lim--^^=.-= lim--^^=- = —— *-*•<> h(y/x + h + y/x) *-*•<> h(Vx + h + y/x) 2y/x pro x > 0. V bodě 0 se jedná o limitu zprava Vh v 1 lim -= lim —= = +oo h^0+ h h^0+ y/h a proto bude /+(0) = +oo. Obdržíme tak často využívaný vzorec 1 2y/x § 4.4.5. Derivace £ Pro f (x) = 1 (x ŕ 0) bude f'(x) = lim i h^O h \x + i \ i/ x x + a = lim +// x/ h^o h \(x + h) x x (x + h) 1 -h 11 = lim -—--— = — lim —--— =--- h^ohx(x + h) h^o x(x + h) x2 a tudíž (x-1)' = —x-2, iV i x / x2 § 4.5. Geometrický význam derivace § 4.5.1. Směrnice přímky Definice 4.10. Směrnicí přímky s rovnicí y = kx + b (4.3) nazýváme tangens úhlu a, který přímka svírá s kladnou částí osy x. Znázorníme-li přímku (4.3) na obrázku pro různé hodnoty k, snadno obdržíme, že je směrnice tg a rovna k, přičemž pro k > 0 (resp. k < 0) přímka udává rostoucí (resp. klesající) lineární funkci. Je-li k = 0, jedná se o přímku vodorovnou. Velikost čísla k vyjadřuje rychlost růstu nebo klesání lineární funkce. Např., je-li k > 0 malé, bude přímka otočená ve směru růstu při zvětšení x a úhel a, jenž svírá s osou x, bude malý. § 4.5.2. Sečna a tečna křivky Sečna a tečna křivky jsou znázorněny na obrázku 4.3. Definice 4.11. Sečna je spojnice bodů (x0, f(xo)) a (x, f(x)). Tečna ke grafu v bodě (x0, /(xq)) vzniká jako limitní poloha této sečny pro x —► x0. Sestrojme sečnu v bodech (xo, /(*o)) a (*i, /(*i))- Rovnicí této sečny je y - f(Xp) _ X - Xq /(Xi)-/(X0) Xi-Xo' to jest y = f(x0) H--(x - x0) Xi - x0 33 / Obrázek 4.3. Sečna atečna Směrnicí této sečny dle § 4.5.1 je /Oi) - f(x0) tg Oři = -. X\ — Xo Dle definice derivace je ,. /(*i)-/(*o) , lim -= / (x0). xi^-x0 X\ — Xo Limitní hodnotou směrnice sečny tedy je tg a = f'(x0) (viz obrázek 4.3). Tvrzení 4.12. Hodnota f'(x0) udává směrnici tečny ke grafu funkce / v bodě (x0, f(x0)). Je-li f'(xo) nevlastní (tj. hodnota f'(x0) je +oo nebo —oo), bude tečna v tomto bodě svislá. Příklad svislé tečny nalezneme v § 4.4.4. § 4.5.3. Rovnice tečny Nechť má funkce / derivaci v bodě xq. Rovnicí tečny ke grafu této funkce v bodě (x0, f(x0)) je y = ax + b, kde a = f'{x0). Hodnotu b pak snadno určíme z podmínky, že bod (x0, f (x0)) je společným pro křivku i tečnu: f(x0) = f'(xo)x0 + b a tudíž b = f(x0) — f'(x0)x0. Tvrzení 4.13. Rovnicí tečny ke grafu funkce / v bodě (x0, f (x0)) je y = f(x0) + f'(x0)(x - x0). 34 -yfx -tečna Obrázek 4.4. Tečna pro f(x) = s/x v bodě (2, \/2). Příklad 4.14. Najděme rovnici tečny pro funkci f(x) = *Jx v bodě (2, \fi). Řešení. Dle § 4.4.4 je/'(x) = (v^ľ = /(2) = V2 = 1.41,/'(2) = ^ = 0.35. Proto rovnice tečny v bodě (2, \fl) je (viz obrázek 4.4) y = V2 + -^—(x-2). 2V2 § 4.5.4. Rovnice normály Z geometrie víme, že směrnice £x a k2 navzájem kolmých přímek splňují vztah kik2 = -1. Proto dle tvrzení 4.13 platí Tvrzení 4.15. Je-li f'(xo) ^ 0, pak rovnicí normály ke grafu funkce / v bodě (xo, f(xo)) je / (*o) V případě, když f'(x0) = 0, je v bodě (x0, f (x0)) normála svislá a má rovnici x = x0. § 4.6. Výpočet derivace Derivace základních elementárních funkcí nalezneme v tabulkách. Derivaci funkce, jež je kombinací základních elementárních funkcí pomocí součtu, součinu, podílu a složení, odvodíme s užitím odpovídajících vlastností derivace. § 4.6.1. Derivace součtu Tvrzení 4.16. Mají-li funkce / a g v bodě x derivaci, pro libovolná A, /z platí (Xf(x) + ixg(x)y = Xf'(x) + ixg'(x). Příklad: (3x3 - 2x2 + 70)' = (3x3)' - (2x2)' + (70)' = 9x2 - 4x. 35 § 4.6.2. Derivace součinu Tvrzení 4.17. Mají-li funkce / a g v bodě x derivaci, platí (/(*)*(*))' = f'{x)g{x) + f(x)g'(x). Důkaz. Vzorec pro derivaci součinu lze odvodit přibližné takto: přidáním a odečtením výrazu f(x + h)g(x) obdržíme fjx + h)gjx + h)- f(x)g(x) = fjx + h)[gjx + h)- gjx)] + [fjx + h)- fjx)]gjx) h h ^gjx + h)-gjx) f(x + h)- fjx) = fix + h)---+ gix)---, n n následně přejdeme k limitě pro h —► 0. □ příklad 4.18. (xlnx)' = x' ■ ln x + x ■ (lnx)' = lnx + x ■ £ = lnx + 1. Důsledkem je pravidlo vytknutí konstantního činitele: pro libovolnou konstantu k platí (*/(*))' = k f'{x). § 4.6.3. Derivace složené funkce Nej důležitějším je pravidlo derivování složené funkce. Buďte / : Dif) —► Hif), g : Dig) —► R, kde Dig) C Hif) (obor hodnot /). Pak je definovaná složená funkce x i-* VĚTA 4.19 („Řetězové pravidlo"). Nechť funkce g má vlastní derivaci v bodě Xo a nechť funkce / má vlastní derivaci v bodě gixo). Pak má složená funkce í k/ igix)) v bodě Xo vlastní derivaci a platí: ifigixo)))' = figix0))g'ixo). Jinými slovy, existují-li g\x) a f igix)), platí (/(*(*)))'= /'(*(*))*'(*)• Důkaz. Důkaz je založen na úpravách , w ľ f(g(x + h)) - figjx)) figjx + h)) - figjx)) gjx +h)- gjx) (f(g(x)) = hm---= lim- -—----- a^o // h^o gix + h) — gix) h a rovností f igix)) = limb^g(x) □ § 4.6.4. Derivace výrazu Tvrzení 4.20. Existuje4i g'jx) a je4i g(x) ^ 0, platí 1 Y *'(*) Kgix)J (g(x))2' Důkaz. Platí qix) = = f igix)), kde fit) = j. Jizvíme, že (j)' = — p-, a proto můžeme g zderivovat jako složenou funkci: q'(x) = i f igix)))' = figix))g'ix) = -—1—g'ix), (g(x))2 což je kýžený výsledek. □ 36 § 4.6.5. Derivace podílu Tvrzení 4.21. Existují-li f'(x), g'(x) a je-li g(x) ^ 0, platí f(x)\ f'(x)g(x)-f(x)g'(x) Důkaz. Stačí napsat ^ = f(x) ■ a využít tvrzení 4.17, 4.20. □ § 4.6.6. Derivace inverzní funkce VĚTA 4.22. Nechť funkce / je spojitá a ryze monotónní na intervalu /. Nechť x0 je vnitřní bod intervalu / a nechť má / v bodě x0 konečnou derivaci f'(x0) ^ 0. Pak má inverzní funkce g = f~l v bodě /(xq) derivaci a platí Jinými slovy, ±/-(,) =_!_ iy /'(/-'(v)) v bodech y, kde pro x = /_1 (y) existuje konečná derivace f'(x) ^ 0. Důkaz. Pro pohodlí zápisu buď g = /_1 funkce inverzní k /. Pro každé x z I platí #(/(*)) = x. Zderivováním tohoto vztahu obdržíme i = ^r\f(y)) = ^-g(f(y)) = g'(f(y)) ■ fiy). dy dy K požadovanému vzorci přijdeme, vezmeme-li y = f~1(xo); potom Xo = f (y). □ Vztahu z věty 4.22 se užívá, mimo jiné, při důkazu vzorců pro derivace logaritmických a cyklometrických funkcí. Ukažme příklady odvození některých tabulkových vzorců. PŘÍKLAD 4.23. Pro derivaci funkce x i-* arcsinx platí (arcsinxV = —, \x\ < 1. Důkaz. Pro \x\ < 1 jearcsinx = /_1(x),kde f(x) = sinx. Dle věty 4.22 ^-f~1(y)= fl(L( ,v (4-4) dy f'(f 1(y)) Jelikož f'(x) = (sin x)' = cos x a cos2 x = 1 — sin2 x, platí 1 1 1 (are sin _y)' /'(/ 1(y)) cos(arcsiny)) J\ _ (sin(arcsiny))2 a stačí si všimnout, že v posledním vzorci sin(arcsin y) = y. □ PŘÍKLAD 4.24. Pro derivaci funkci x i-* arctgx platí 1 (arctgx)' 1 +x2' 37 Důkaz. Použijme (4.4), kde arctgx = / 1(x), f(x) = tgx. Jelikož (tgx)' = (f^)' = cosjc-cosjc—sinx(— únx) _ 1 _ cos2 x+sin x _ j , j 2 ^ platí cos2 x cos2 x cos2 x & ' ť (arctgvy = 1 = 1 = 1 = _J_ /'(/"'OO) zztá&ň l+tg2(arctg);) 1 + j,2' což je kýžený výsledek. □ § 4.6.7. Logaritmické derivace Derivace některých funkcí lze snadno vypočítat, přejdeme-li k vypočtu derivace logaritmu daného výrazu. Tvrzení 4.25. Platí —u(x)v(x) = u(x)v(x) (v'(x)lnu(x) + v(x)1^] . (4.5) dx V u(x)) Důkaz. Pro f(x) = u(x)v^ zapišme a zderivujme ln f(x) = lnu(x)v^ = v(x)lnu(x): (ln/(*))' = — ln(u(x)v(x)) = — (u(x)lnu(x)) = v'(x) lnu(x) + u(x)^Í (4.6) dx V / dx u(x) Dle vzorce pro derivaci složené funkce však platí (lnf(x))' = ^l (4.7) /(*) a tudíž z (4.6) obdržíme /'(x) = /(x)(ln/(x))', (4.8) to jest f'{x) = /(x)(ln/(*))' = u{x)v{x) (V(x)lnu(x) + v(x)^j . □ Pri odvození vzorce pro derivaci výrazu u(x)v^ bychom mohli postupovat i takto: (u(x)v{x)J = (e»Wto»wy = e»Wta»W (u(x)lnu(x))' (4.9) atd. Není nutné si vzorec (4.5) pamatovat, stačí vědět o úpravě (4.9). V praxi vzorce (4.7) často využíváme v podobě (4.8). příklad 4.26. Zderivujme f(x) = %/x, x > 0. Řešení. Dle (4.7) je/'(x) = /(x)(ln /(*))'. Jelikož d i d / ln x \ ^-x-lnx 1-lnx (,„/(*))'= -flnxí = JL (!££) dx dx \ x J X2 X2 vzhledem k (4.8) obdržíme příklad 4.27. Zderivujme f(x) = y-ýzf. Řešení. Mohli bychom výraz derivovat jako osmou odmocninu lomené funkce: f'(x) = _7 t \ (i^f) 8 () ata<- K výsledku se však dostaneme rychleji, využijeme-li derivace logaritmické. Vskutku, jelikož d „ ldl+xld 12 11 — ln f{x) = -— ln--= -— (ln(l + x) - ln(l - x)) = - áx~~JK"' 8dx~l-x 8 d.v ' ' 8 1 - x2 41-x2' 38 dle (4.8) obdržíme _d_ Jl+x _ 1 Jl+x 1 dx V 1 - x ~ 4 V 1 - x 1 - x2- 39 §5 Diferenciál, věty o střední hodnotě, l'Hôpitalovo pravidlo § 5.1. Derivace funkce jedné proměnné Buďte / : / —► R funkce na intervalu / a x0 je vnitřní bod /. Definice 5.1. Existuje-li limita fix) - f(x0) lim -= / (xo), (5.1) x->-x0 X — Xo nazýváme tuto limitu derivacífunkce / v bodě x0 a značíme f'(x0). Je-li limita v (5.1) nevlastní, říkáme, že funkce / v bodě x0 má derivaci nevlastní. V případě, když limita neexistuje, v daném bodě funkce derivaci nemá. Substitucí x — Xo = h lze (5.1) přepsat na tvar f(xo + h)- f(xo) lim---= / (*„). (5.2) h^O h § 5.2. Diferencovatelnost a diferenciál § 5.2.1. Diferencovatelnost funkce Pojem diferencovatelnosti funkce v bodě vyjadřuje možnost vyčlenit z ní lineární část, jíž lze funkci v okolí tohoto bodu aproximovat. Definice 5.2. Funkce / je diferencovatelná v bodě x0, jestliže existuje konstanta A taková, že platí f(x0 + h) - f(x0) - Ah lim---= 0. (5.3) h^o h VĚTA 5.3. Funkce jedné proměnné / :/ —► R je diferencovatelná v bodě x0 právě tehdy, když má v tomto bodě konečnou derivaci. Důkaz. Platí-li (5.3), bude f(x0 + h)- f(x0) - Ah a(h), h kde a(h) —► 0 pro h —► 0. Proto f(x0 + h) — f(x0) — Ah = ha(h), f(x0 + h) — f(x0) (A + a(h)) h a tudíž f (xo + h) - f (xo) lim---= lim (^4 + a(h)) = A. h^o h h^O Toto znamená, že f'(x0) existuje a f'(xo) = A. 41 Naopak, existuje-li /'(x0), pak dle (5.2) je kde P (h) —0 pro h —► 0, a tudíž f(x0 + h)- f(x0) - f'(x0)h h Takto jsme přišli k (5.3) s A = f'(xo). □ Diferencovatelnost funkce znamená, že v okolí daného bodu ji lze libovolně přesně aproximovat lineární funkcí odpovídající tečné přímce (dle věty 5.3 A v (5.3) je rovno f'(x0), což je směrnice tečny v tomto bodě). § 5.2.2. Diferenciál Definice 5.4. Výraz /' (x0) h (přesněji řečeno, lineární funkce h \-+ f (xo) h) se nazývá diferenciál funkce / v bodě Xq. Diferenciál /' (x0) h vyjadřuje hlavní část přírůstku funkce / (xo + h) — f (xo), odpovídajícího změně argumentu h: Vzorce (5.4) lze užit pro přibližný výpočet přírůstku funkce. Poznámka 5.5. Výše uvedené umožňuje chápat výraz v (4.2) jako zlomek a psát § 5.3. Některé důležité věty Buď / : / —► R funkce na intervalu /. VĚTA 5.6 (Fermat). Buď x0 vnitřní bod / takový, že / v x0 nabývá maximální nebo minimální hodnoty. Pak, existuje-li f'(x0), musí být f'(x0) = 0. Toto tvrzení lze snadno dokázat, odvodíme-li, že platí Lemma 5.7. Nechť existuje konečná derivace f'(xo). (1) Je-li f'(x0) > 0, pak pro x blízka x0, x > x0, platí f(x) > f(x0). (2) Je-li f'(x0) < 0, pak pro x blízka x0, x < x0, platí f(x) < f(x0). Toto lemma vyjadřuje skutečnost, že při f'(xo) > 0 (resp., f'(xo) < 0) funkce / v bodě Xo roste (resp., klesá). Věty 5.6 podstatně užijeme, budeme-li vyšetřovati maximální nebo minimální hodnoty funkce. VĚTA 5.8 (Rolle). Buď / funkce spojitá na uzavřeném intervalu [a,b], přičemž ve všech bodech z (a, b) má / konečnou derivaci. Je-li f(a) = f (b), pak existuje c, a < c < b, takové, že /'(c) = 0. Důkaz. Předpokládejme, že / není konstantní. Dle Weierstrassovy věty spojitá / nabývá svých maxima a minima v nějakých bodech z [a,b], přičemž vzhledem k tomu, že f(a) = f (b), alespoň jeden z těch bodů c leží mezi a a b. Dle věty 5.6 bude f'(c) = 0. □ f(x0 + h)- f(x0) = f (xo) h + a(h), kde a(h) —► 0 pro h —► 0. Zanedbáme-li a(h) pro malá h, vychází f(x0 + h)-f(x0) = f'(x0)h. (5.4) dy = y' dx. (5.5) 42 VĚTA 5.9 (Lagrange; věta o střední hodnotě). Buď / funkce spojitá na uzavřeném intervalu [a,b], přičemž ve všech bodech z (a, b) má / konečnou derivaci. Pak existuje c, a < c < b, takové, že m ~ m = no. (5.6) b — a _& - h a b—a Důkaz. Položme = k a definujme pomocnou funkci F(x) = f(x) - f (a) - k(x - a). Je zřejmé, že y = f(a) — k(x — a) je rovnicí spojnice bodů (a; / (a)) a (b; f (b)). Pak bude F(a) = 0, F(b) = f(b) - f (a) - k(b - a) = 0 a F'(x) = f'(x)-k. (5.7) Funkce F tak splňuje předpoklady Rolleovy věty 5.8 a proto mezi a a b existuje bod c, kde je F'(c) = 0. Vzhledem k (5.7) toto znamená, že jsme dokázali (5.6). □ VĚTA 5.10 (Cauchy; věta o střední hodnotě). Buďte /, g funkce spojité na uzavřeném intervalu [a,b], přičemž ve všech bodech z (a, b) mají /, g konečné derivace a g' ^ 0 na (a, b). Pak existuje c, a < c < b, takové, že /(*) ~ f (a) = f'(c) g(b) - g (a) g'(c)- Důkaz. Za daných předpokladů platí g(b) — g(a) ^ 0, neboť v opačném případě dle Rolleovy vety by bylo ^'(xo) = 0 v nějakém bodě Xo e (a, b). Definujme F(x) = f{x) - f (a)--——-—(g(x) - g(a)); g(b) - (a) pak bude F (a) = F(b) = 0, F'(x) = f'(x) - f^g'(x). (5.9) g(b) - (a) Funkce F splňuje předpoklady Rolleovy věty 5.8 a proto existuje c e (a, b), kde je F'(c) = 0. Dosadíme-li v (5.9) x = c, obdržíme (5.8). □ § 5.4. ĽHôpitalovo pravidlo Tvrzení, jemuž se říká l'Hôpitalovo pravidlo, poskytuje účinný nástroj, mnohdy umožňující snadno vyšetřit neurčité výrazy typu jj a ^, to jest limity \imx^a , kde /(x) a g(x) zároveň konvergují k 0 nebo do nekonečna. VĚTA 5.11 (l'Hôpitalovo pravidlo pro jj). Nechť v hm- je lim^a f(x) = lim^a g(x) = 0, v okolí23 bodu a funkce f a g mají konečné derivace, g' ^ 0 a existuje pomocná limita limx^a g,[xy Pak existuje i původní limita a platí ľ m fix) lim-= lim-. x^a g(x) x^a g'(x) Obdobně pro —. 23Má se na mysli ryzí, neboli prstencové okolí bodu a, tj. okolí s vyloučeným bodem a (množina těch i/a, pro něž \x\ < r nějakým r > 0). 43 Schéma důkazu. Pro jednoduchost uvažujme případ, když hodnoty / a g v a jsou definovány: f (a) = g(a) = 0. (5.10) Zvolme libovolné x v blízkosti bodu a. Dle Cauchyovy věty o střední hodnotě (věta 5.10) mezi a a x lze najít bod c, kde platí f(x) - f (a) = f'(c) g(x) - g(a) g'(c)-Vzhledem k (5.10) toto znamená, že /(*) = f'(O g(x) g'(c)' a stačí poznamenat, že při x —► a bude i c —► a, poněvadž c leží mezi a a x. Není-li nějaká z funkcí f a g v bodě a definována (ať je to např. /), dodefinujeme ji v bodě hodnotou limity limx^a f (x) = 0. Obdržíme tak spojitou funkci, na níž lze aplikovat předchozí postup. □ Dosti často bývá vhodné použit L'Hôpitalovo pravidlo opakovaně. PŘÍKLAD 5.12. Při libovolném přirozeném m opakovaným využitím l'Hôpitalova pravidla pro limitu limx^+00 ^ typu ^ obdržíme xm mxm~1 m(m — \)xm~2 m\ lim — = lim -= lim----= lim — = 0. x—>-+oo ex x—>-+oo ex x—>-+oo ex >-+oo ex Poznámka 5.13. Využití l'Hôpitalova pravidla je nevhodné, když pro danou limitu lze doporučit nějaký jednodušší přistup. Je např. zřejmé, že lim ——-—- = lim -z.--—--— = 1. x^+oo X99 + X98 +----h X + 1 x^+oo 1 + I + \ +----1- JC JC JC Pro dosažení stejného výsledku výlučně pomocí l'Hôpitalova pravidla měli bychom ho zcela zbytečně použit 99krát: limx^+00 ^99+*9?J!+Jt+1 = limJC_).+00 99^98+998*9<^+...+1 atd. Občas se stává, že l'Hôpitalovo pravidlo není účinné vzhledem k tomu, že při jeho využití nedochází ke zjednodušení původní limity. PŘÍKLAD 5.14. Pro limitu \imx^+00 ^xx+l = 1 využití l'Hôpitalova pravidla dává — 2x Vx2 + 1 TTŤfTŤ x ,.1 Vx2 + 1 lim —-'■— = lim 2^x +1 = lim —== = lim —=-= lim x—>-+oo x x—>-+oo 1 x—>-+oo * \2 -I- 1 x—>-+oo — x—>-+oo x V ^ 2^x^+1 atd. ad infinitum. § 5.5. Příklady využití l'Hôpitalova pravidla § 5.5.1. Významné limity Pomocí l'Hôpitalova pravidla lze snadno odvodit tyto „tabulkové" limity typu jj: sin x cos x lim- = lim-= 1, x^O X x^O 1 limln(X + 1) = limHi = l, x^O x x^O 1 ex — 1 ex lim- = lim — = 1, x^O x x^O 1 44 arctg x 1 lim = um *í±l = 1, x^O X x^O 1 1 are sin x JT~^ lim- = lim = 1. x^O X x^O 1 § 5.5.2. Další příklady oo X x—>-+oo X x—>-+oo 1 r lnX r x n lim -= lim — = 0, ago 2°. 2i_ _ 2i(-4f)ln2 lim x2x = lim —- = lim -—-= 0, X^O- X^O- -!- X^O- --Kr oo° x x lim x~ = lim (eln*)~ = lim = e° = 1, °° l l i lim x~ = lim (elnx)~ = lim e"^ = e° = 1, ~ ln x 1 lim xlnx = lim —j— = lim —^r- = lim (—x) = 0, x^0+ x^0+ -!- x^0+--L x^0+ 0° * X2 lim = lim (elnx)x = lim e*ln* = e° = 1. § 5.6. Derivace vyšších řádů Buďte / : / —► R funkce na intervalu / a Xo je vnitřní bod / a nechť existuje f'(xo). Pak je /' funkcí, definovanou v okolí bodu x0- Existuje-li derivace funkce /', nazýváme ji druhou derivace funkce / a značíme /" anebo Obdobně se definují vyšší derivace /'", atd.24 Derivace vyšších řádů se významným způsobem využijí, mimo jiné, v konstrukci Taylorova polynomu (§7.2). ^Začínaje řádem n = 4 z praktických důvodů derivace značíme f^n\ 45 §6 Vyšetřování průběhu funkce jedné proměnné § 6.1. Typické schéma postupu vyšetřování průběhu funkce Vyšetřit průběh funkce znamená analyticky zjistit co nejvíce jejich vlastností a tak si zodpovědět otázku „Jak se tato funkce chová?". Při vyšetřování průběhu funkce obvykle provádíme řadu z následujících úkonů: (1) Určíme definiční obor funkce a obor jejich hodnot. (2) Určíme, jestli je funkce sudá, lichá nebo periodická; (3) Zjistíme, jestli je omezená, vyšetříme jeji spojitost. (4) Vypočítáme průsečíky s osou x a s osou y. (5) Zjistíme intervaly, kde funkční hodnoty jsou kladné a kde záporné. (6) Nalezneme extrémy funkce a zjistíme intervaly monotónnosti funkce. (7) Nalezneme inflexní body a intervaly konvexnosti a konkávnosti. (8) Určíme, zda má funkce asymptoty a pokud ano, vypíšeme jejich rovnice a je graficky znázorníme. (9) Načrtneme graf funkce. U některých kroků podstatným způsobem využíváme pojmů limity a derivace. § 6.2. Monotónnost a lokální extrémy Pomocí pojmu derivace lze efektivně vyšetřovat charakter monotónnosti funkce jedné proměnné a její extremální hodnoty. § 6.2.1. Monotónnost funkce Buď / otevřený interval. Monotónnost funkce lze ověřit podle znaménka směrnice tečny. VĚTA 6.1. Nechť má funkce f na I derivaci. Pak platí: (1) je-li f'(x) > 0 pro x e 7,pakje / je rostoucí na /; (2) je-li f'(x) < 0 pro x e /, pak je / je klesající na /. Důkaz. Důkaz j e založen na vzorci ,,, , ľ /(x + h) - f (x) f (x) = hm---. (6.1) h^O h Vskutku, je-li f'(x) > 0 v bodě x e /, pak vzhledem k (6.1) existuje dostatečně malé 8 > 0 takové, že bude \(f(x + h) — f (x)) > 0 pro 0 < h < 8, což znamená, že je / rostoucí na intervalu (x, x + 8) atd. □ 47 lokální minimum_ _lokální maximum *0 *0 (a) (b) Obrázek 6.1 § 6.2.2. Lokální extrém funkce Definice 6.2. Funkce / má v bodě Xo lokální minimum, jestliže všude v některém okolí / bodu Xo (s výjimkou bodu x o) jsou hodnoty funkce větší než / (xo), tj. f(x) > f(x0) pro x e / \ {x0}. Definice 6.3. Funkce / má v bodě Xo lokální maximum, jestliže všude v některém okolí / bodu Xo (s výjimkou bodu x o) jsou hodnoty funkce menší než / (xo), tj. f(x) < f(xo) pro x e / \ {x0}. Skutečnost, že má funkce v nějakém bodě Xo lokální minimum nebo maximum, znamená, že v nějakém malém okolí tohoto bodu má graf funkce tvar podobný znázorněnému na obrazcích 6.1a, 6.1b. Definice 6.4. Funkce má v bodě lokální extrém, jestliže je v tomto bodě její lokální minimum nebo maximum. Slovo „lokální" v těchto definicích vyjadřuje skutečnost, že se jedná o chování funkce v určitém malém okolí (má-li funkce v bodě Xo lokální maximum, neznamená to, že v blízkosti tohoto bodu není jiný bod maxima, avšak v dostatečné malém okolí bodu Xo hodnoty funkce budou rozhodně menší, než /(xo)). § 6.2.3. Stacionární body Buď / : / —► R funkce na intervalu /. Definice 6.5. Bod Xo je stacionárním bodem funkce /Jestliže f'(xo) = 0 nebo f'(xo) neexistuje. VĚTA 6.6 (Fermat; nutná podmínka pro lokální extrém). Buď x0 vnitřní bod / takový, že / vi0 nabývá lokálně maximální nebo minimální hodnoty. Pak, existuje-li f'(x0), musí být /'(xo) = 0. Např. /(x) = x2 + 1 má minimum v x0 = 0. Je to stacionární bod pro /, jelikož f'(xo) = 2xo = 0. Funkce g(x) = \x \ má minimum v Xo = 0, tečna v bodě Xo = 0 neexistuje. Poznámka 6.7. Existuje-li v stacionárním bodě tečna, je vždy vodorovná. 48 Poznámka 6.8. Splnění nutné podmínky f'(xo) = 0 ještě nezaručuje, že je v daném bodě x0 lokální extrém. Např. pro /(x) = x3 je /'(O) = 0, avšak je to funkce neklesající (mimo bod 0 ryze rostoucí) a tudíž lokální extrémy nemá. Podmínka je tedy skutečně pouze nutnou, nikoliv postačující. § 6.2.4. Určení lokálního extrému pomocí derivací § 6.2.4.1. Určení lokálního extrému podle 1. derivace Ověřit, zda v daném stacionárním bodě skutečně je lokální extrém, lze pomocí určení znaménka první derivace vyšetřované funkce. VĚTA 6.9. Buď Xo stacionární bod funkce /. Pak má funkce / má v Xq. (1) lokální maximum, jestliže v tomto bodě mění /' znaménko z „+" na „—" (/ roste a poté klesá). (2) lokální minimum, jestliže v tomto bodě mění /' znaménko z „—" na „+" (/ klesá a poté roste). Jestliže ke změně znaménka derivace v bodě Xo nedochází, nemá funkce v tomto bodě extrém. § 6.2.4.2. Určení lokálního extrému podle vyšších derivací VĚTA 6.10. Nechť x0 je stacionárním bodem a existuje f'(x0) = 0. Nechť má / v bodě x0 druhou derivaci. Pak platí: (1) jestliže f"(xo) < 0, pak má / v bodě Xo lokální maximum (2) jestliže f"(xo) > 0, pak má / v bodě Xo lokální minimum. Poznámka 6.11. Lze doporučit jednoduchou pomůcku k zapamatování podmínky věty 6.10: f(x) = x2 má v 0 minimum (2 > 0), f(x) = —x2 má v 0 maximum (-2 < 0). Jestliže f"(x0) = 0, věta 6.10 neumožňuje rozhodnout o tom, zda v stacionárním bodě x0 je nebo není lokální extrém funkce. V takových případech lze využít vyšších derivací. VĚTA 6.12. Nechť má / v bodě Xo konečnou derivaci (n + l)ho řadu (n > 1) a platí f'(xo) = 0, f"(xo) = 0, ... /(w)(xo) = 0, fin+1\xo) ŕ 0. (6.2) Potom: (1) je-li n liché, pak má / v bodě Xo lokální extrém (minimum pro f^n+1\xo) > 0, maximum pro f^n+1\xo) < 0) (2) je-li n je sudé, nemá / v bodě x0 lokální extrém. Důkaz věty 6.12 je založen na Taylorově větě (věta 7.10). Věta 6.10 je důsledkem věty 6.12 pro n = 1. PŘÍKLAD 6.13. Pro funkci f(x) = x4 platí f'(x) = 4x3; f'(x0) = 0 pro x0 = 0; f"(x) = 12x2, f"'(x) = 2Ax. Platí tedy fw(x) = 24, /(4)(0) = 24 > 0. Cislo n = 3 je liché a tudíž / v bodě 0 má lokální minimum. PŘÍKLAD 6.14. Pro f(x) = x3 je f'(x) = 3x2; f'(x0) = 0 pro x0 = 0; f"(x) = 6x, f"'(x) = 6 > 0. Číslo n = 2 je sudé, a proto nemá / v bodě 0 extrém. Obrázek 6.2 znázorňuje skutečnosti, uvedené v příkladech 6.13 a 6.14. 49 (a) (B) Obrázek 6.2 Pomůcka k zapamatování podmínky (6.2): je-li první nenulová derivace v stacionárním bodě sudého řádu, pak se v jeho okolí funkce chová podle vzoru věty 6.10 (má minimum nebo maximum, je-li tato derivace kladná resp. záporná); v opačném případě v tomto bodě extrém není. § 6.3. Konvexnost a konkávnost, inflexní body Buď / reálná funkce na otevřeném intervalu /, která má v každém bodě derivaci.25 Definice 6.15. Funkce / se nazývá konvexní na /, jestliže její graf leží nad tečnou sestrojenou v bodě (x, f (x)) pro každé x G I. Funkce / se nazývá konkávni na / Jestliže její graf leží pod tečnou sestrojenou v bodě (x, f (x)) pro každé x G I. Tyto vlastnosti určují směr zakřivení grafu funkce. Jejich geometrické znázornění nalezneme na obrázku 6.3. (a) konvexní (B) konkávni Obrázek 6.3 Konvexnost a konkávnost lze rozlišit podle druhé derivace. Charakterizace konexnosti pomocí tečny vyžaduje existenci derivace funkce, tj. hladkost jejího grafu. Bez použití derivace se dá konvexnost funkce popsat tak, že graf funkce na každém intervalu {xq, x\) leží pod spojnicí krajních bodů tohoto intervalu. Obdobně pro konkávnost. Konkávanost a konvexnost nehladké funkce zde vyšetřovat nebudeme. 50 VĚTA 6.16. Nechť má funkce f na I druhou derivaci. Pak platí: (1) je-li f"(x) > 0 pro x G I, pak / je konvexní na / (2) je-li f"(x) < 0 pro x G I, pak / je konkávni na /. Možná pomůcka k zapamatování podmínky věty 6.16 je podobná uvedené v poznámce 6.11: /(x) = x2 je konvexní (/" = 2 > 0 a /(x) = —x2 je konkávni (/" = —2 < 0). Idea důkazu. Pro konvexní funkci směrnice tečny při zvětšení argumentu roste. Toto znamená, že /' je rostoucí funkce a tudíž v daném intervalu je (/')' = /" > 0. □ Definice 6.17. Bod x0 je inflexnípro funkci /, jestliže v tomto bodě se konvexní charakter chování mění na konkávni nebo naopak, konkávni na konvexní. Příkladem inflexního bodu je bod Xo = 0 pro funkci /(x) = x3 (viz obrázek 6.2). VĚTA 6.18 (nutná podmínka pro inflexní bod). Je-li Xo inflexní bod funkce / a existuje-li f"(x0), pak platí f"(x0) = 0. Při vyšetřovaní konvexnosti funkce je tedy vhodné začít určením bodů x0, podezřelých z inflexe, tj. takových, kde f"(x0) = 0 nebo f"(x0) neexistuje. O tom, zda takový bod je nebo není inflexním, rozhodneme podle znaménka druhé derivace funkce vlevo a vpravo od x0 (věta 6.16): bod x0 bude inflexním, jestliže v něm dochází ke změně znaménka /". Jednu z postačujících podmínek inflexe poskytuje VĚTA 6.19. Buď Xo bod podezřelý z inflexe: f(xo) = 0. Jestliže f"'(xo) ŕ 0, pak je x0 inflexním bodem funkce /. Následující věta je upřesněním věty 6.12. VĚTA 6.20. Nechť má / v bodě Xo derivaci (n + l)ho řadu (n > 1) a platí /'(*(>) = 0, f"(xo) = 0, ... f"\xo) = 0, fin+1\xo)r0. Potom: (1) je-li n liché, pak má / v bodě Xo lokální extrém (minimum pro f^n+1\xo) > 0, maximum pro f^n+1\xo) < 0) (2) je-li n sudé, pak je x0 inflexním bodem funkce /. § 6.4. Příklady PŘÍKLAD 6.21. Vyšetřeme průběh funkce f(x) = xe~x. Řešení. Funkce je spojitá a má derivaci na (—oo, oo). Je zřejmé, že f(x) > 0 pro x > 0, /(x) < 0 pro x < 0 a /(0) = 0. Pro vyšetření intervalů růstu a poklesu vypočtěme derivaci: f'{x) = (xe~xy = e~x - xe~x = (1 - x)e~x. (6.3) Vzhledem k (6.3) je f(x) kladná pro x < 1 a záporná pro x > 1. Funkce je tedy rostoucí na (—oo, 1) a klesající na (1, oo). Je praktické si takové vlastnosti znázornit graficky (obrázek 6.4). Jelikož v bodě 1 se růst funkce mění na pokles, podle věty 6.926 má funkce / v tomto bodě lokální maximum o hodnotě /(l) = e~l = 0,3. 26Jelikož ve vzorci (6.4) je vypočítaná druhá derivace /", lze využit i věty 6.10: v bodě 1 má funkce / lokální maximum, neboť je f "(V) — —e_1 < 0. 51 1 Obrázek 6.4 Směr zakřivení grafu této funkce (intervaly konvexnosti a konkávnosti) určeme podle druhé derivace. Zderivováním vzorce (6.3) obdržíme f"(x) = -e~x - (1 - x)e~x = {x- 2)e~x. (6.4) Vidíme, že f"(x) pravé tehdy, když x = 2, přičemž f"(x) < 0 pro x < 2 a f"(x) > 0 pro x > 2. Funkce je tedy konvexní na (2, oo) a konkávni na (—oo, 2). Bod 2 je inflexním bodem. Nyní vyšetřeme, jak se funkce chová ve směru — oo a oo. Pro x —► +oo s využitím l'Hôpitalova pravidla obdržíme X 1 lim /(x) = lim — = lim — =0, přičemž /(x) je kladné pro kladná x. Pro x —► —oo bude lim /(x) = lim xe~x = lim (—ť)^ = — lim řeř = —oo. x—>—oo x—>—oo /^+oo /—>-+oo Zjištěné informace již umožňují načrtnout graf funkce. Kreslení grafu je vhodné začít hodnotami funkce v důležitých bodech: /(O) = 0 (změna znaménka funkce), /(l) = 1/e (bod lokálního maxima), f (2) = 2/e2 (inflexní bod); dále pokračujeme podle schématu na obrázku 6.4 s využitím informací o směru zakřivení grafu. Výsledek je na obrázku 6.5. Všimněme si různých směrů zakřivení grafu v okolí inflexního bodu (pro věrnější zakreslení je vhodné sestrojit tečnu). □ Obrázek 6.5 Uveďme příklad využití vlastností derivace pro vyřešení jedné praktické úlohy. Úloha 6.22. Továrna vyrábí hliníkové kanystry o objemu V. Kanystry jsou ve tvaru válce. Je potřeba určit rozměry tak, aby náklady na použitý hliník byly nejnižší. 52 Řešení. Povrch válce S musí být minimální. Nechť má válec výšku h a poloměr podstavy r. Dle známých geometrických vzorců platí S = 2jtr2 + Inrh, V = 7tr2h. Objem je vždy V, proto h = Dosadíme-li to do vzorce pro povrch válce, obdržíme funkci proměnné r > 0: 2V S(r) = 2nr2 + —. r Zderivováním dostaneme 2V 2 S'(r) = Ajtr- — = — (2nr3 - V) , (6.5) a rovnice pro určení stacionárních bodů bude mít tvar 2nr3 = V. Jediným stacionárním bodem je r* = a tudíž pouze v tomto bodě r* se může měnit charakter monotónnosti funkce S. Funkce ri->r3 je rostoucí a proto, vzhledem k (6.5), je-li r > r* (resp. r < r*), bude S'(r) > 0 (resp. S'(r) < 0). Toto znamená, že r* je bodem lokálního minima pro S. Žádná jiná minima tato funkce nemá.27 Dosadíme-li teď r = r* = (^)3 do vzorce pro h, obdržíme optimálni hodnotu //=//*: V V Í4V3Y fvy h'= —i = -TľTT = Uf) =[t) =%) =lr- 71 ■Y V(2tt)2 Pro splnění stanovené podmínky optimální spotřeby materiálu se tedy musí vyrábět kanystry ve tvaru válce, jehož výška je dvojnásobkem poloměru podstavy. □ Zde lze využit charakteru chování funkce v hraničních bodech intervalu (0, +00): je zřejmé, že lim S(r) = +00, lim S(r) = +00, a tudíž v jediném stacionárním bodě r* > 0 bude funkce S mít minimální hodnotu. 53 0123450 24 6 8 10 - 1 + i - l| I- 1 + ^-^7 (A) lim^^+oo 2^ = 0 (monotónně) (B) lim^^+oo = 0 (nemonotonně) Obrázek 6.6. Typ funkce, mající vodorovnou asymptotu: má konečnou limitu v +oo anebo — oo. § 6.5. Asymptoty, jejich druhy a způsob určení § 6.5.1. Vyznám asymptoty U některých funkcí lze pozorovat, že pro dostatečně velké hodnoty argumentu se její vývoj postupně stabilizuje a čim dal, tím vice se graf podobá přímce. V takových případech má funkce tzv. asymptotu. Znalost asymptoty významně pomáhá při zobrazení funkce na grafu. Buď / funkce definovaná na neohraničeném intervalu. Definice 6.23. Asymptota je přímka, ke které se graf funkce v +oo nebo —oo neustále blíží. Je-li y = kx + b rovnicí této přímky, znamená to, že platí fix) -kx-b 0 (6.6) pro x —► +oo (asymptota v +oo) anebo pro x —► —oo (asymptota v —oo). § 6.5.2. Druhy asymptot Asymptoty bývají se směrnicí anebo bez směrnice, to jest svislé. § 6.5.2.1. Asymptoty se směrnicí Definice 6.24. Asymptotou se směrnicírozumíme asymptotu o rovnicí tvaru y = kx + b. V závislosti na směrnicí může být taková asymptota šikmou (k ^ 0) anebo vodorovnou (k = 0). Z definice 6.23 je zřejmé, že vodorovnou asymptotu má funkce, pro níž existuje konečná limita v +oo anebo — oo. příklad 6.25. Funkce fix) = 2~x, gix) = 2~x sin x mají vodorovnou asymptotu y = 0 pro x —► +oo (obrázek 6.6). Asymptotu šikmou má funkce, jež konečnou limitu v ±oo nemá, avšak chová se v +oo nebo —oo skoro jako lineární funkce. Přesněji řečeno, existují konstanty k a b takové, že pro x —► +oo anebo x —► —oo platí (6.6). Vodorovná asymptota formálně je speciálním případem šikmé pro směrnici k = 0. Šikmé asymptoty hledáme podle následujícího pravidla. 54 anebo (A) lim^^-i-oo 2^ = 0 (monotónně) (B) limx^+oo ^f- = 0 (nemonotonně) Obrázek 6.7. Typ funkce, mající šikmou asymptotu: skoro lineární v +oo anebo —oo. VĚTA 6.26. Existují-li limity fix) lim = k, lim (f(x) -kx) = b (6.7) f(x) lim —- = k, lim (f(x) -kx) = b (6.8) x—>—oo X x—>—oo pak je přímka s rovnicí y = kx + b asymptotou pro funkci / při x —► +oo (resp. x —► —oo) Pro určení šikmých asymptot ověřujeme existenci limit (6.7) a (6.8). Poznámka 6.27. Může se stát, že má funkce různé asymptoty v +oo a — oo (viz příklady 6.34, 6.35). Důkaz věty 6.26. Uvažujme pouze směr +oo. Nechť má funkce y = f (x) v +oo asymptotu y = k x + b. Znamená to, že se graf funkce / k této přímce ve směru +oo neustále blíží a tudíž dle definice 6.23 musí platit lim {f{x) -kx-b) = 0. Jinými slovy, f{x) — kx — b = a{x), kde limx^+00 a{x) = 0. Pak f{x) — kx = b + a {x) a tudíž f{x) b + a{x) --k =--> 0 x x pro x —► +oo. Proto je limx^+00 —p- = k. Hodnotu b pak nalezneme ze vztahu lim if{x) — kx) = b, jelikož dle předpokladu tato limita existuje. □ PŘÍKLAD 6.28. Funkce /(x) = x + 2~x, g{x) = x + 2~x sin x mají asymptotu y = x pro x —► +oo (obrázek 6.7). Vysvětlení. Stačí si všimnout, že f{x) — x —► 0 pro x —► +oo. □ 55 02 04 ■ přímka x = 0 (A) lim^o-+00 -00, limx^0+ 7 (B) limx^o+ lnjc = —00 Obrázek 6.8. Typ funkce, mající svislou asymptotu: má body nespojitosti; v nějakém z bodů nespojitosti alespoň jedna z jednostranných limit je nekonečná § 6.5.2.2. Asymptoty bez směrnice (svislé) Svislá přímka s rovnicí x = Xo bude asymptotou funkce / pro x —► Xo±, jestliže alespoň jedna z jednostranných limit limx^XQ+ f (x), limx^Xo- f (x) je nevlastní. příklad 6.29. Svislá přímka x = O je asymptotou funkce f(x) = ^ pro x —► 0± a funkce g(x) = la x pro x —► 0+ (obrázek 6.8). příklad 6.30. Určeme asymptoty funkce /(*) = 2x - 1 x + 1 Řešení. Funkce má bod nespojitosti a pravděpodobně i svislou asymptotu. Bodem nespojitosti je Xq = —1. Vyšetřeme, jak se funkce chová v blízkosti bodu —1: 1 i<0a tudíž (1) pro x -> -1 s x > -1 je f^T = 2x+J (2) pro x -> -1 s x < -1 je ^ = 2^4 > 0 a 2x_1 x + l ' x + 1 x + l x + l +00. —00; Je tedy limx^_i+ = —00, limx^_i_ = +00 a tudíž je přímka s rovnicí x = — 1 pro tuto funkci asymptotou. Dále je zřejmé, že má / konečnou limitu v +00 a —00: lim-- = lim -y = 2, x^ioo X+l >±oo 1 + a proto je vodorovná přímka y = 2 pro tuto funkci asymptotou (obrázek 6.9). Šikmé asymptoty funkce nemá (v rovnici y = kx + b je k = limx^±oo = 0, což dává asymptotu vodorovnou). □ § 6.6. Příklady vyšetření průběhu funkce příklad 6.31. Vyšetřeme průběh funkce /(x) 56 (x-2Y + x -y = —-—--přímka jc = — 1 -přímka y = 2 Obrázek 6.9 Řešení. Definičním oborem je (—oo, 2) U (2, oo). Je zřejmé, že limx^2 f(x) = +oo a svislá přímka s rovnicí x = 2 je asymptotou. Vypočtěme derivaci: /'(*) =--l—r2(x-2) + 1 =--2— + 1 = (X~2)3~2. J K J (x - 2)4 V J {X-2Ý (x- 2)3 Stacionární body určeme z rovnice (x — 2)3 = 2, jediným stacionárním bodem je28 x = 2 + l/l = 2 + 1,3 = 3,3. Typ extrému určeme podle druhé derivace, jíž rovněž budeme potřebovat pro vyšetření konvexnosti. Máme f"(x) = -2 ((x - 2)-3)' = 6(x - 2)"4 > 0 pro x ^ 2. Proto je funkce všude konvexní a nabývá ve stacionárním bodě 2 + l/l lokálního minima o hodnotě f (2 + 1/2) = + 2+1/2= „J^,^. + 2+1/2 = -P- + 2 + (v^)2 (v^)2^ (V^)3 3 3 = 2 + -1/2 = 2 + - ■ 1,3 = 3,95. 2 2 Ověřme, zda má funkce asymptoty, odlišné od již nalezené svislé procházející bodem nespojitosti. Je-li pro x —► +oo asymptota ve tvaru y = k x + b, musí být k= lim ÍQ= lim (---- + 1) = 1, x^+oo X x^+oo \x (x _ 2)2 28Hodnotu l/l lze přibližně odhadnout pomocí diferenciálu funkce u(x) — x^ (§ 7.1.4), to jest s využitím rce u(x) — u(xq) = u'(xq)(x — Xq), kde položíme x — 2, Xq — 1: 1/2 = 1 + l-xQ 1 (2 - 1) = 1 + I = 1 = 1,3. Pak bude stacionární bod x = 2 + \/2 = 3,3. 57 Obrázek 6.10. Graf funkce fix) = —r + x b= lim (f(x)—kx) = lim (-r- + x — x ) = 0. Asymptotou je tedy přímka y = x. Znalost asymptot nám významné pomůže při sestrojení grafu (obrázek 6.10). příklad 6.32. Vyšetřeme průběh funkce /(x) = xx na množině (0, +oo). Řešení. Definičním oborem je neomezený otevřeny interval (0, +oo), v bodě 0 není funkce definována (vzniká tam neurčitý výraz typu 0°). V oboru (0, +oo) nabývá funkce kladných hodnot. Abychom zjistili, jak se funkce chová, když x —► 0+ ai-> +oo, potřebujeme určit odpovídacích limity. Pro x —► 0+ bude lim xx = lim elnx% = lim e*lnx = elim^o+*in* = eo = ^ x^0+ x^0+ x^0+ jelikož dle l'Hôpitalova pravidla je ~ lnx i lim x ln x = lim —— = lim —— = — lim x = 0 x x a funkce x i-* ex je spojitá. Pro x —► oo je, samozřejmě, limx^+00 x* = +oo. Vypočtěme derivaci: f'(x) = (xx)' = (exlax)' = exlax (xlnx)' = xx (lnx + 1) = f(x) (lnx + 1). (6.9) Pro x > 0 je /(x) > 0, a tudíž znaménko derivace f'(x) je určeno znaménkem výrazu ln x + 1, jenž je kladný pro x > j a záporný pro x < ^ (jelikož logaritmus přirozený je funkcí rostoucí, ln x > — 1 znamená, že x > e-1). V jediném stacionárním bodě x = j tedy je lokální minimum o hodnotě f ==-z- <6io) Pro zakreslení grafu je vhodné alespoň přibližně odhadnout hodnotu minima (6.10): jelikož e = 2,7 = 3, bude f {^) = \ = -jj^ - Pro odhad \/Š lze využít diferenciálu funkce u(x) = x 3 (§ 7.1.4), což vede na vzorec u(x) — u(x0) = i/(xo)(x — x0) sx = 3,x0 = 1: 4/3 = 1 + |x7(3- 1) = 1 + § = §. Proto je / (i) = = | = 0,6. 58 Obrázek 6.11. Graf funkce f(x) = xx Pro zjištěni směru zakřivení grafu vypočítáme druhou derivaci. K tomuto účelu použijme již vypočtenou derivaci první (viz (6.9)): f"(x) = f'(x)(\nx + 1) + f(x)- = f(x) (ln x + l)2 + f(x)- > 0, X X neboť f(x) > 0. Toto znamená, že je / na (0, oo) konvexní. Na základe zjištěných informací po přidaní vhodných pomocných bodů (např. f{\) = 1, f (2) = 4) lze schematicky načrtnout graf (obrázek 6.11). S růstem x roste tato funkce mimořádně rychle. Např. f (4) = 256, f (5) = 3125. příklad 6.33. Vyšetřeme průběh funkce f(x) = 2^+3- Řešení. Definičním oborem je (—oo, oo). Pro všechna x e (—oo, oo) máme f(-x) = (~x)3 = =__xl— = -f(x) Jy ' 2(-x)2 + 3 2x2 + 3 2x2 + 3 J V Funkce je lichá, její graf je souměrný podle počátku. Pro vyšetření monotónnosti vypočtěme derivaci: rl, ^ . x3 V 3x2(2x2 + 3) -x3Ax 2x4 + 9x: / (*) = 2x2 + 3J (2x2 + 3)2 (2x2 + 3)2 Je zřejmé, že f'(x) > 0 pro všechna x ^ 0, proto je funkce neklesající na (—oo, oo), přičemž mimo bod 0 je funkce ryze rostoucí. Jediným stacionárním bodem je x = 0. V tomto bodě lokální extrém není, neboť je funkce / monotónní, a ke změně znaménka derivace nedochází. Lokální extrémy tedy funkce nemá žádné. Intervaly konvexnosti a konkávnosti zjistíme podle znaménka /". Vypočtěme druhou derivaci: _ (8x3 + 18x)(2x2 + 3)2 - (2x4 + 9x2)2(2x2 + 3)4x * (X) ~ (2x2 + 3)4 _ (8x3 + 18x)(2x2 + 3) - 8(2x4 + 9x2)x _ -12x3 + 54x _ -x(54 - 12x2) ~ (2x2 + 3)4 ~ (2x2 + 3)3 ~ (2x2 + 3)3 - Jelikož je vždy (2x2 + 3)3 > 0, znaménko f"(x) určuje pouze člen — x(54 — 12x2) = —6x(9 — 2x2). Intervaly konvexnosti a konkávnosti zjistíme podle znaménka derivace /", 59 kterou upravíme takto: = -x(54-12x2) J W (2x2 + 3)3 (2x2 + 3)3 (2x2 + 3)3 ~ (2x2 + 3)3 Rovnost f"(x) = 0 platí pravě pro x = 0, x = ±-^j. V každém z těchto bodů nastává změna znaménka /", proto jsou to inflexní body (obrázky 6.12, 6.13b). -6x(9-2x2) = -12x(f-x2) = (* ~ ^) (* + 7?) Obrázek 6.12. Změna znaménka /' Dále vypočtěme limity v nevlastních bodech +00 a —00: lim lim = lim lim X~ = lim 1 2x2 + 3 x3 (- + X) x^+00 2 + A Vx x11 x x1 1 = +OO, x^-00 2x2 + 3 x^-00 2 4. A V 1 V-T —00. Mimo jiné, je to funkce neomezená. Zjistěme, zda má funkce asymptoty. Má-li funkce asymptoty tvaru y = kx+b pro x —► +00, musí být £ = lim x^+00 x lim X~ lim X" oox(2x2 + 3) x^+oo 2x3 + 3x 1 1 lim -5- = -, x^+00 2 + 4 2 (1 \ / X ^ X \ f(x)--x) = lim ( - -) 2 / x^+oo\2x2 + 3 2/ x 2x3 — 2x3 — 3x 3 lim -;—í-;— = — lim - „ 2(2x2 + 3) 2 2(2x2 + 3) 0 Stejné hodnoty k a b vychází pro x —► —00. Asymptotou pro x —► x 37 = 2- Zjištěné vlastnosti lze uplatnit při sestrojení grafu funkce (obrázek 6.13). příklad 6.34. Vyšetřeme průběh funkce f{x) = arctgx — x. Řešení. Definičním oborem je (—00, 00). Pro vyšetření monotónnosti vypočtěme derivaci: ±00 je tedy přímka □ 1 1 = 1 - x2 - 1 X < 0. X2 + 1 X2 + 1 X2 + 1 Tudíž je funkce / všude klesající. Lokální extrémy proto nejsou. Dále pomocí druhé derivace zjistěme směr zakřivení grafu. Jelikož (x2 + l)2 je funkce konkávni pro x > 0 a konvexní pro x < 0. Inflexním bodem je x = 0. 60 (A) (B) Obrázek 6.13 Podívejme se, jak se funkce chová v ±00. Vzhledem k tomu, že limx^±oo arctg x = můžeme si všimnout, že29 platí lim (f(x) — — +x\ = lim (arctg x — —) = 0, lim (f(x) + — +x\ = lim (arctg x + — \ = 0, to jest přímka _y = |- — x je pro / asymptotou při x —► +00 a _y = — |- — x je asymptotou při x —► —00. Kreslení grafu (obrázek 6.15a) začneme nějakým jeho významným bodem. Přichází v úvahu nulový bod (0,0) (jelikož /(O) = 0). Navíc je funkce lichá. Jiné nulové body funkce nemá vzhledem k tomu, že je ryze klesající. □ Uvažujme ještě jeden podobný příklad (všimněme si však odlišnosti!). příklad 6.35. Vyšetřeme průběh funkce f{x) = arctg x - -. Řešení. Definičním oborem je (—00, 00). Jelikož 1 1 2 - x2 - 1 1 - x2 x2 + 1 2 2(x2 + 1) 2(x2 + 1) má funkce dva stacionární body x = ± 1. Znaménko derivace určíme, zapíšeme-li ji ve tvaru f'{x) = -(V(^+i")1>- Obdržíme, že f'{x) < 0 pro x e (-00, -1) U (1, 00) a f (x) > 0 pro x e (—1, 1). Výsledné intervaly monotónnosti si můžeme označit graficky (obrázek 6.14). V bodě — 1 pak bude lokální minimum a v 1 lokálni maximum. Zderivujeme-li podruhé, vychází f "(x) = —, 22_f ,2. Funkce je konkávni pro x > 0 a \X -r l) konvexní pro x < 0, bod 0 je inflexním. Samozřejmé, mohli bychom zde postupovat i bezprostředně podle věty 6.26: platí limx^±00 — lim^ioo - 1 = -1, lim^+oo (f(x) - x) = lim^+oo arctg x - x - (-x) = limx^+00 arctg x = §, limx^_oo {fix) — x) — limx^_oo arctg x — —j, odkud obdržíme asymptoty y — —x + j pro x —+oo a y — —x — ^ pro x ——oo. 61 Obrázek 6.14. Diagram monotónnosti funkce f(x) = arctg x — |. (a) /(jc) = arctg x — x (B) /(x) = arctg x — j Obrázek 6.15 Podobně příkladu 6.34 zjistíme asymptoty y = + ^ pro x —► +oo a y = —| — ^ pro X —► — 00. Kreslení grafu začneme nulovým bodem (0,0), dále použijme bod lokálního maxima (1, /(l)),kdeje/(l) = arctg\-\ = f-± = 0,3. Bod lokálního minima bude (-1, /(-l)) = (1, -/(-l)) (funkce je lichá). Při poklesu od hodnoty lokálního maxima v bodě x = 1 s růstem x se křivka neustále přibližuje k asymptotě y = — | + ^. Jelikož hodnota maxima je kladná a funkce / je spojitá, musí existovat nějaký bod £ > 1, kde je /(£) = 0. Asymptota _y = —| + -| osu x protíná při x = 7T, tudíž je 1 < £ < 7t. Na (—oo, 0) křivku kreslíme podle souměrnosti (obrázek 6.14). □ 62 §7 Přibližné určení hodnoty funkce jedné proměnné § 7.1. Diferencovatelnost a diferenciál § 7.1.1. Diferencovatelnost funkce Definice 7.1. Funkce / je diferencovatelná v bodě x0, jestliže existuje konstanta k taková, že platí f(x0 + h)-f(x0)-kh lim--- = 0. (7.1) h^o h VĚTA 7.2. Funkce jedné proměnné / : I —► R je diferencovatelná v bodě x0 právě tehdy, když má v tomto bodě konečnou derivaci. Diferencovatelnost funkce znamená, že v okolí daného bodu ji lze libovolně přesně aproximovat lineární funkcí, jejíž grafem je tečna v tomto bodě (dle věty 7.2 číslo k v (7.1) je rovno f'(x0), což je směrnice tečny v tomto bodě). § 7.1.2. Diferenciál Nechť / má v bodě Xo derivaci. Diferenciálem funkce / v bodě Xo chápeme vyraz df(x0) = f'(x0)dx, kde symboly dx a d f (xo) mají následující vyznám: (1) dx je nekonečné malý přírůstek argumentu v okolí bodu x0; (2) d/(x0) je odpovídající přírůstek hodnoty funkce /. Uvedený vztah obdržíme, budeme-li vzorec ^ = /'(.,„) dx formálně chápat jako zlomek a vynásobíme obě dvě strany rovnosti členem dx. Matematicky precizní definice diferenciálu zní takto. Definice 7.3. Diferenciálem funkce f vboděxo se nazývá lineární funkce h i-* df(xo)(h) = kh, kde hodnota konstanty k je taková, že platí f(x0 + h)-f(x0)-kh lim--- = 0. h^O h Víme-li, že má funkce / v bodě Xo derivaci, vzhledem k větě 7.2 lze definici 7.3 nahradit následující. Definice 7.4. Lineární funkce h i-* /' (x0) h se nazývá diferenciálem funkce / v bodě Xo- 63 o x Obrázek 7.1 Diferenciál /' (x0) h vyjadřuje hlavní část přírůstku funkce /(x0 + h) — f (xo), odpovídajícího změně argumentu h: f(x0 + h)- f(xo) = f (xo) h + a(h), kde a(h) —► 0 pro h —► 0. Zanedbáme-li a(h) pro malá h, vychází f(x0 + h)- f(x0) = f'(x0)h. Tohoto vzorce lze využít pro přibližný výpočet přírůstku funkce. VĚTA 7.5. Má-li funkce / v bodě Xo derivaci, pak pro malé hodnoty h platí vzorec /(xo + h) - /(xo) = df(x0)(h), (7.2) přičemž chyba, jíž využitím tohoto vzorce dopustíme, směruje k 0 při zmenšení h. Jinými slovy, pro x blízké k x0 platí /(x) - /(xo) = d/(x0)(x - xo), (7.3) kde člen d/(xo)(x — Xo) je přibližným vyjádřením chyby, jíž se dopustíme, nahradíme-li /(x) hodnotou /(xo). Diferenciál v bodě Xo je tedy lineární funkce, jež v tomto bodě napodobuje funkci / nejlépe („lineární část" funkce /). Lze pak dokázat, že k v definici bude rovné f'(xo), to jest směrnici tečny. Geometricky to znamená, že nahradíme-li část grafu funkce / v malém okolí bodu (x0, /(x0)) nějakou přímkou, nejmenší chyby se dopustíme, když to bude tečná přímka v tomto bodě. § 7.1.3. Geometrická interpretace diferenciálu Směrnice tečny v bodě (xo, /(xo)) Je f'(xo) = tg a (viz obrázek 7.1). Připomeňme si také, že pro libovolné //je f'(x0)h = df(Xo)(h). Z obrázku 7.1 je patrné, že pro x blízké k x0 délky modré a červené úseček se liší málo, tj. /(x) — /(x0) je blízké k hodnotě /'(x0) • (x — x0), což je hodnota diferenciálu d/(x0)(x — x0). 64 Tudíž pro x blízké k x0 platí vzorec f(x)-f(x0) = f'(xo)(x-x0), (7.4) jenž znamená totéž, co (7.3). Jelikož rovnice tečny ke grafu funkce / v bodě Xo je y = f(x0) + f'(x0)(x - x0), vzorec (7.4) lze obdržet i tak, že v okolí bodu Xo přibližně nahradíme křivku tečnou, to jest místo /(x) vezmeme hodnotu y z rovnice tečny: f(x) = f(x0) + f'(xo)(x-x0), (7.5) což je shodné s (7.4). § 7.1.4. Přibližné určeni hodnoty funkce pomocí diferenciálu Pro přibližné určení hodnoty funkce v případech, když nám stačí aproximace pomocí lineárních funkcí, lze využit věty 7.5. PŘÍKLAD 7.6. Určeme přibližně hodnotu 4/67. Řešení. Využijme vzorce (7.2): f(x0 + h)- f(xo) =df(x0)(h). Vezmeme-li f(x) = l/x, pak zadaný ukol znamená, že přibližně počítáme f (61). Zvolme Xo = 64. Pak /(x0) = 4/64 = 4. Body x = 67 a Xo = 64 lze považovat za relativně blízké, h = x — Xo = 3, a podle vzorce (7.2) bude 4/67 - 4/64 = f(x0 + h)- f(x0) = df(x0)(h). Jelikož f'(x) = (x^)' = \x~^, máme df(xo)(h) = f'(xo) ■ h = \xý ■ 3 = -i- • 3 = i; = 0,0625 3 3-16 16 a proto \/67 — \/64 = ^, odkud obdržíme 4/67 = 4/64 + — = 4 + 0,0625 = 4,0625. 16 Pro porovnání, dle kalkulačky vychází 4/67 = 4,0615 .... □ PŘÍKLAD 7.7. Určeme přibližně hodnotu ln2. Řešení. Lze využit vzorce (7.3) fix) - f(xo) = dfix0)ix - Xo) s f (x) = la x. Pak bude ln2 = f (2). Víme, že lne = 1, proto zvolme Xo = e, x = 2. Jelikož je 2 < e < 3 (důsledek 2.33), lze body 2 a e považovat za dostatečně blízké a očekávat rozumnou přesnost vzorce. Zderivováním a dosazením obdržíme f'(xo) = - = -, xo e a proto dle vzorce (7.3) bude fix) = fixo) + dfix0)ix - Xo) = fixo) + fixo) ■ (x - x0) = f(e) + -(2-e) = l + -(2-e) = -. e e e Takto obdržíme odhad ln 2 = f (2) = j = 0,74 (ve skutečnosti je ln 2 = 0,693). □ 65 § 7.2. Taylorův vzorec Velmi důležitým nástrojem matematické analýzy je Taylorův vzorec, jenž umožňuje hladkou funkci v okolí daného bodu libovolně přesně aproximovat polynomy. § 7.2.1. Idea aproximace funkce polynomem Vzorec (7.4), který vzniká při aproximaci hodnoty funkce pomocí diferenciálu, lze zapsat ve tvaru (7.5), což znamená, že pro x v okolí bodu Xo je /(x) = p(x), kde p(x) = f(x0) + f'(x0)(x - xo). (7.6) Takové p je lineární funkcí, to jest polynomem stupně 1, přičemž platí f(xo) = p(xo), /'(xo) = p'(x0), (7.7) a rozdíl mezi /(x) a p(x) směruje k 0: lim (f(x) - p(x)) = lim (f(x) - /(xo) - /'(*<>)(* - *<>)) = 0. Platí dokonce silnější vlastnost ľ /(*) - p(x) f{x) - f(x0) - /'(x0)(x - x0) lim -= lim - x^x0 X — Xo x^x0 X — Xo = lim---= 0. (7.8) X^-X0 1 Poslední rovnost, kterou jsme obdrželi30 pomocí l'Hôpitalova pravidla pro limitu typu jj, znamená, že při x —► x0 bude /(x) — p(x) —► 0 rychleji, než x — x0 —► 0. Poznámka 7.8. Je užitečné si uvědomit význam podmínek (7.7): graf polynomu p dle nich musí procházet bodem (x0, /(x0)) a navíc mít v tomto bodě stejnou směrnici tečny f'(x0). Nabízí se otázka, jestli nemůžeme na stejný výsledek přijít, budeme-li se snažit v okolí bodu Xo přiblížit /(x) nějakým polynomem stupně 1 p(x) = CL\X + a0 tak, aby platily rovnosti (7.7) a limita v (7.8) byla rovna 0. Je tomu skutečně tak: jelikož pro splnění (7.7) musí být /(x0) = aix0 + a0, /'(xo) = a i, obdržíme p(x) = //(x0)x + /(x0) — /'(xo)xo, což vede na již odvozený vzorec (7.6). Nestačí-li nám hrubé přiblížení pomocí lineárních funkcí, mohli bychom takto postupovat i pro získání aproximace ve tvaru kvadratického polynomu, která bude, očividně, přesnější. Vskutku, budeme-li přibližovat /(x) polynomem stupně 2, je logické požadovat, aby platilo /(x0) = p(xo), f'(xo) = p'ix0), f"(xo) = p"(xo). (7.9) Vzhledem k uvedenému je přirozené takovou kvadratickou aproximaci hledat rovnou ve tvaru31 p(x) = f(x0) + /'(x0)(x - x0) + A(x - Xo)2. Jelikož p(x0) = f(x0), p'{xo) = /'(x0) + 2^(x0 - x0) = /'(x0), p"(x0) = 2A, první dvě podmínky v (7.9) jsou splněny, a pro splnění té třetí musí být A = | f"(xo). Obdržíme tak, že pro x blízká k x0 je /(x) = p(x) s p(x) = /(xo) + í^-ix - xo) + ^^-(x - xo)2. (7.10) 30za předpokladu, že /' je spojitou funkcí v bodě Xq 31Mohli bychom hledat p i ve tvaru p(x) — CI2X2 + a\x + ciq. Vezmeme-li pro jednoduchost xq — 0, bude p(0) = do, p'(0) = «i, p"(0) = 2a2, apro splnění (7.9) musí být «o — /(0), ci\ = /'(0), «2 — \f"(Q), coz vede na (7.10) s xq — 0. Pro xq ^ 0 polynom (7.10) obdržíme z předchozího po substitucí x — xq — t. 66 Navíc, podobně (7.8), dle 1'Hópitalova pravidla pro polynom (7.10) platí r f(x)-p(x) /(x)-/(x0)-^(x-x0)-^(x-x0)2 lim -— = lim x-yxo (x — Xq)2 x^x0 (X — X0)2 ľ f'(x)-f'(xo)-f"(xo)(x-Xo) f"(x) - /"(So) = lim -= lim - = 0, x-yxo 2(X — Xq) x^x0 2 je-li známo, že /" je v bodě x0 spojitá. Má-li funkce / v bodě Xo spojité derivace vyšších řádů, takto můžeme pokračovat pro získání aproximací polynomy stupňů 3, 4 atd. § 7.2.2. Konstrukce Taylorova polynomu Buď / funkce, jež má v bodě Xo derivace všech řádů. Vzhledem k uvedenému výše v § 7.2.1 je přirozené zkusit přiblížit /(x) v okolí bodu Xo polynomem stupně n p (x) = a„(x - xo)" + a„-i(x - x0)"_1 H-----h a2(x - x0)2 + ax{x - x0) + a0 (7.11) tak, aby platilo (viz poznámka 7.8) f(xo) = p(xo), f'(x0) = p'(xo), f("\x0) = pin\x0) (7.12) a navíc aby při x —► x0 směřoval rozdíl /(x) — p(x) k 0 rychleji, než (x — x0)" —► 0: lim —= 0. (7.13) x^x0 (X — X0)" Zderivujeme-li p(x) v (7.11) opakovaně, po dosazení X — Xo dostaneme p'(x0)=a1, p"(x0) = 2\-a2, p'"(x0) = 3! • a3, p{n\x0) = n\■ an (7.14) což znamená, že pro splnění rovností (7.14) máme v (7.11) zvolit a0, a.\, .. .,an takto: a ^ /;Oo) f"(xo) /W(*o) f71« a0 = f(xo), ax = —-—, a2 = —-—, ... a„ =-■—. y'-tJ) 1! 2! n\ Určení koeficientů ao, fli, ..., a„ tak, aby se hodnota odpovídajícího polynomu (7.11) a jeho derivací shodovaly s příslušnými hodnotami funkce / (to jest, aby platilo (7.12)), vede na definici Taylorova polynomu. Definice 7.9. Buď / funkce, jež má v bodě xo spojité derivace do řádu n včetně. Polynom T„(x) = f(x0) H---—(x - Xo) H--——(x - Xo) H-----1--;-(x - x0) 1! 2! n\ se nazývá Taylorůvpolynom stupně n pro funkci / v bodě Xo- Je-li Xo = 0, polynom se nazývá též Maclaurinův. V případě, že je / polynomem stupně n, je Taylorův polynom T„ pro / shodný s /. Není-li / polynomem, bude T„ (x) = f(x) pouze přibližně. VĚTA 7.10 (Taylorův vzorec). Buď / funkce, jež má v bodě Xo spojité derivace do řádu n včetně. Pak pro x v okolí bodu Xo je f(x) = f(xo) H---—(x-Xo)H--——(x-x0) H-----1--;-(x - x0) + rn(x), 1! 2! n\ kde pro zbytkový člen r„ (x) platí f n (x) lim , "y \ = 0. (7.16) x^x0 (x — X0)" 67 Schéma důkazu. Pro dobrou aproximaci funkce / polynomem p stupně n je rozumné požadovat, aby měly ten polynom a funkce / stejné hodnoty derivací řádů 0, 1, ..., n (to jest aby platilo (7.12)). Výše jsme se přesvědčili, že pro splnění rovností (7.12) musíme zvolit koeficienty a0, a.\, ... ,an podle vzorců (7.15). Koeficienty polynomu již byly nalezeny z podmínek (7.12). Rovnost nule limity (7.16), podle níž se skutečně přesvědčíme o blízkosti p(x) k /(x) pro x blízké k xo, se dokáže podobně § 7.2.1 opakovaným užitím l'Hôpitalova pravidla. □ Vlastnost (7.16) zbytkového členu r„(x) = f (x) — T„(x) Taylorova vzorce znamená, že existuje nějaké u takové, že limx^Xo u(x) = 0 a rn(x) = (x-Xo)"u(x). (7.17) Pro zbytkový člen existují různá vyjádření, mimo jiné v Lagrangeově tvaru. VĚTA 7.11 (Lagrangeův tvar zbytku Taylorova vzorce). Pro libovolné x v okolí x0 platí (n + 1)! kde £ je jistý bod, nacházející se mezi Xo a x. Poznámka 7.12 (o odhadu zbytku). Vzorec (7.18) přesněji specifikuje tvar členu u v (7.17). I když hodnotu £ v (7.18) nelze explicitně určit, umožňuje tento vztah odhadnout velikost chyby, jíž se dopustíme, zanedbáme-li v Taylorově vzorci zbytkový člen: je-li \f^"+1\x)\ < M„ pro x s \x - x0\ < R, bude \r„(x)\ < M£+])i ■ § 7.2.3. Taylorův vzorec pro některé elementární funkce S využitím věty 7.10 se dokáží tyto vzorce: ex = l +x+ ?- + ■■■+?-+ rn(x), (7.19a) 2! n\ 2 4 In cosx=l_!_ + ^__... + (-ír^y + r2n+1(x), (7.19b) sinx = x--+-----+ (-1)""1-+ r2n(x), (7.19c) 3! 5! V ' (2«-l)! 2 3 n ln(l +x) = x-Č- + Č--... + (-1)""1— + rn(x), (7.19d) 2 3 n ^a 1 a(a-l) 2 a (a - l)(ar - 2) , (l + x)" = l + OLX + X2 + —-^--X3 + . «(«-!)(«-2) ...(oř-(»-!)) ----1--;-x" + rn(x). (7.l9e) § 7.2.3.1. Srovnání nekonečně malých veličin (asymptotické vzorce) Jako důsledek lze z těchto rovností odvodit, mimo jiné, řadu významných limit, např. ex - 1 x + £ + ... / x \ = lim-^- = lim (1 + — + ...) = 1. (7.20) x^o x x^o V 2! / lim x^O X Poznamenejme, že poslední výraz v závorce, označený trojtečkou, obsahuje pouze členy řádu vyššího než 2. Zde si můžeme všimnout, že vzhledem k (7.19a) výraz ex — 1 vzniká odečtením 2 od ex prvního členu Taylorova polynomu: ex — 1 = x + ^- + ..., což se chová jako x při x —► 0. Logicky se nabízí myšlenka odečíst od první dva členy Taylorova polynomu: 2 3 e*-l-x = ^ + |- + ..., (7.21) 2 a, vydělíme-li (7.21) výrazem podobně (7.20) dostaneme 2 3 jc i X 1 X 2! 3! ' ' ' lim-=-= lim , _____, _ , x^O x± x^O x± x^o \ 12 lim (l + + ...) = 1. (7.22) x^o V 12 / 2 Vztah (7.22) znamená, že při x —► 0 se výraz ex — 1 — x chová stejně, jako a neuděláme 2 chybu, nahradíme-li v nějaké jiné limitě32 ex — 1 — x výrazem 4f. Takto rovněž odvodíme vzorce typu sin x ~ x, sin x ~ x — 1 — cos x ~ (1 + x)a — 1 + ax, (1 + x)a ~ 1 + olx + \a{a — l)x2 pro x —► 0, kde zápis u(x) ~ u(x) pro x —► 0 znamená, že je limx^0 ^f) = 1 • Takovým vzorcům se říká vzorce asymptotické. PŘÍKLAD 7.13. Pro x ^ 0 platí 1 - cos x ~ ^. Řešení 7.13.1. Pro x —► 0 je 1~™SX neurčitým výrazem typu jj. S využitím l'Hôpitalova pravidla dostaneme limx^0 1~XTX = lim*-^ ^ff = \- □ Řešení 7.13.2. Využijeme-li Taylorova vzorce (7.19b) pro cos x, obdržíme 1—cosx 1 — 1 + ^5—fr + • • • /l x2 \ 1 lim--- = lim- „ - = lim----V ... = -, x^o x2 x^o x2 x^o \2 24 J 2 což znamená, že limx^0 = 1- ^ Takto se dokáže řada často využívaných vzorců, např.: VĚTA 7.14. Pro x ^ 0 platí x2 sinx~x, tgx~x, ex — 1 ~ x, 1— cosx ~—, 2 (/.23) arcsinx~x, arctgx~x, ln(l+x)~x, (1 + x)a ~ 1 + ax. Poznámka 7.15. Ve vzorcích (7.23) místo x, samozřejmě, lze dosadit jakýkoliv nekonečně malý výraz u(x) (to jest takový, že limx^Xo u(x) = 0 s nějakým x0), např. při x —► 0 vzhledem k (7.23) je sin (\/x) ~ s/x (neboť limx^0 \f* = 0), y/tg(8x) + 1 ~ 1 +1 tg(8x) ~ 1 + I . 8x = 1 + 4x (neboť limx^0 tg(2x) = 0) apod. VĚTA 7.16. Existuje-li limx^Xo a je-li U\{x) ~ u2(x) a i>i(x) ~ t>2(x) pro x —► x0, pak Um = Um Mx) (7 24) x^xo U2(x) x-txo V\(x) samozřejmě, při x —>- 0 69 Důkaz. Úpravou snadno dostaneme u2x) u2(x) Ui(x) Vi(x) u2(x) Ui(x) Vi(x) lim —— = lim = lim ——- lim ——■ lim —— x^x0 V2(X) x^x0 U\{X) V\{X) V2(X) x^x0 U\(x) x^x0 y1 (x) x^x0 V2(x) a tudíž platí (7.24). □ Tato tvrzení v mnoha případech významně usnadňují vyšetřování neurčitých výrazů, neboť umožňují nahradit určité členy s nimi ekvivalentními jednoduššími. příklad 7.17. Vypočtěme limity: (1) lim^0 rin(7*>™'; (2) lim^0 *sin(5/g(f }\ ■ Jť J v ' x u x sin(9x) tg(7x) 'v ' x u ln(2-V3x2 + l) Řešení. 1. Při x —► 0 je 7x —► 0, 9x2 —► 0 a vzhledem k větě 7.14 sin(7x) ~ Ix, arctg(9x2) ~ 9x2 atd. Dle vět 7.14, 7.16 dostáváme33 sin(7x) arctg(9x2) Ix ■ 9x2 lim-= lim-= 1. x^o x sin(9x) tg(7x) x^o x ■ 9x ■ Ix 2. Jelikož pro g{x) = V3x2 + 1 platí limx^0 g(x) = 1, jedná se o výraz typu jj. Výraz ve jmenovateli je ln (2 — g(x)) = ln (1 + 1 — g(x)), kde limx^0(l — g(x)) = 0- Dle věty 7.14 pak bude ln (2 — g(x)) ~ 1 — g(x) při x —► 0. Stejně tak při x —► 0 je tg 3x ~ 3x a proto sin(5(tg3x)) ~ sin(15x). Takto obdržíme xsin(5tg3x) xsin(5tg3x) xsin(15x) lim —;-- = lim —;-;--— = lim ln (2 - VŠx^TT) ln (1 + (1 - VŠx^TT)) 1 - VŠx^TT x-15x 1 + V3x2 + 1 = lim- - 1 - V3x2 + 1 1 + V3x2 + 1 = lim ——(1 + V3x2 + 1) = -10. x^o —3x2 Využili jsme tedy vět 7.14, 7.16 a standardních úprav pro výrazy s radikály. □ § 7.2.3.2. Využití Taylorova vzorce k přibližnému výpočtu hodnoty funkce Pro přibližný výpočet hodnoty funkce je Taylorův vzorec přesnější, než vzorec využívající diferenciálu (§ 7.1.4). Příklady jsou na obrázku 7.2. Vidíme, že např. vzorec \Jx + 1 ~ 1 + \x — \x2 pro x —► 0 je přesnější, než \Jx + 1 ~ 1 + \x\ vzorec ex = 1 + x + \x2 pro x —► 0 je přesnější, než ex = 1 + x apod.34 Příklad 7.18. VÔT992 = (1 - 0,008)3 = l - 1. 0,008 = 0,996. Vysvětlení. Zanedbáme-li v (7.19e) členy řádů 2 a výš, dostaneme (1 + x)a = 1 + ax pro x blízká k 0 (viz (7.23)). V daném případě je a = \, x = —0,008. □ Pro přímý důkaz tohotéž pomocí aritmetických vlastností limit (věta 3.14) bychom postupovali takto: sin(7x) arctg(9x2) 7 sin(7x) 9x arctg(9x2) 7 sin(7x) 9x arctg(9x2) lim----- = — lim------- = - lim - lim —-- lim--- x^o x sin(9x) tg(7x) 9 x^o Ix sin(9x) x tg{lx) 9 x^o Ix x^o sin(9x) x^o x tg(7x) 7 arctg(9x2) 9x 7 arctg(9x2) Ix 9 = - lim--= - lim--- 9 x^o x ■ 9x tg(7x) 9 x^o x ■ 9x tg(7x) 1 arctg(9x2) Ix = lim--- lim - = 1. x^o 9x2 x^o tg(7x) Graficky lze proces aproximace funkce jejím Taylorovým polynomem znázornit napr. pomocí aplikací na https://www.geogebra.org/. 70 PŘÍKLAD 7.19. Platí 1 1\ 25 1 + _._) = _ = 2,0833, (7.25) 3 87 12 ■*r i IV ( 11 11/1 A 1 A 599 4/9 = 2 1 + - = 2 1 +---+---- -- 1 — =-= 2,079861. (7.26) 3 8 2 3 \3 J S2 J 288 Vysvětlení. Vzorec (7.25) je důsledkem lineární aproximace (1 + x)a = 1 + ax pro x blízká k 0 s a = |. Tento vzorec obdržíme z (7.19e), ponecháme-li tam pouze lineární člen. K odvození (7.26) využijeme vzorce (1 + x)a = 1 + ax + ^a(a — \)x2, jenž vzniká z (7.19e) zanedbáním členů s x3, x4 atd. Poznamenejme, že vzorec (7.26) je přesnější, než (7.25), poněvadž | 4/9 - f§ | = 0,003 a | 1/9 - §§§ | = 0,0002. Důvodem pro úpravu 1/9 = 2 (l + |)3 je snaha využit přibližných vzorců pro (1 + x)a platných pro x blízká k 0 (viz poznámka 7.22).35 □ Vzorce z příkladů 7.18, 7.19 jsou založeny na myšlence, že by hodnota /(x) měla být dobře aproximována pomocí Taylorova polynomu dostatečně vysokého stupně n, přičemž n volíme podle vlastního uvažování. Takový postup považujeme za uspokojivý, není-li vyžadováno, aby bylo při výpočtu dosaženo určité předem stanovené přesnosti. Je-li potřeba zaručit, že chyba aproximace bude zajisté menší nějaké dané hodnoty, musíme využit vyjádření zbytkového členu Taylorova vzorce a vhodně ho odhadnout shora (poznámka 7.12). PŘÍKLAD 7.20. Vypočtěme přibližně Eulerovo číslo s přesností na třetí desetinné místo. Řešení. Pro funkci f(x) = ex při libovolném n platí f(x) = f'(x) = ••• = f("\x) a Taylorův vzorec má tvar (7.19a): ex = l+X + ?-+ ■■■ + ?-+ r„(x), (7.27) 2! n\ kde zbytkový člen v Lagrangeově tvaru (věta 7.11) je '"(*) = r-Tň? x"+1 (7'28) (n + 1)! s nějakým £ ležícím mezi Oax. Poněvadž e = /(l), klademe zde x = 1; pak bude 0 < £ < 1. Dle důsledku 2.33 je 2 < e < 3 a proto z (7.28) obdržíme M1)I<-^-ttt- (V.29) (n + 1)! Přesnost na třetí desetinné místo znamená, že |r„(l)| < 10~3. Vzhledem k (7.29) toto bude platit, jestliže < 10-3, to jest (n + 1)! > 3000. Jelikož 6! = 720 a 7! = 5040, stačí v (7.27) vzít n = 6. Po zanedbání zbytkového členu pak dostaneme přibližný vzorec 11111 1957 e = 2+ — + — + — + — + — =-= 2,718. 2! 3! 4! 5! 6! 720 35Pokus o bezprostřední aproximaci čísla 1/9 — l/l + 8 hodnotami McLaurinových polynomů nižších řádů vede na výsledky zcela nepoužitelné. Např. pro polynomy řádů 1 a 2 bude 1/9 = l/l + 8 =l + -|-8 = -y = 3,67 a I/9 = 1 + i • 8 + i • i • (i — l) • 82 = —3.4. Příčinou tak nízké kvality aproximace je zde skutečnost, že McLaurinovy polynomy jsou vhodné pro přiblížení hodnot funkce v okolí bodu 0, avšak číslo 8 nelze považovat za dostatečně blízké k 0 (viz poznámka 7.22). 71 Vzhledem k tomu, že vynechaný zbytek je zaručeně menší než 10 3, všechny tři číslice po desetinné čárce jsou věrné. □ PŘÍKLAD 7.21. Vypočtěme přibližně y/ě s chybou menší, než s = 0,01. Řešení. Je zřejmé, že y/ě = f (|), kde /(x) = ex. V daném případě uvažujeme x = \ a proto je 0 < % < j. Absolutní chyba, jíž se dopustíme, nahradíme-li / (|) hodnotou Taylorova polynomu stupně n: 111 11 v^= 1 + - + -TT + ••• + — —, (7.30) 2 2!22 n\2n je rovna | r„ (|) |. Vzhledem k (7.28) bude 1 ei 1 2 1 11 <--— < (« + l)!2"+1 (« + l)!2"+1 (« + l)!2"+1 (« + l)!2w neboť 2 < e < 3 (§ 2.2.4.2) a tudíž e % < Ví = 2. Proto chyba aproximace v (7.30) bude zaručeně menší než e, je-li n tak velké, že platí 1 1 < e. (7.31) (n + 1)!2" Pro e = 0,01 nerovnost (7.31) začíná platit při n = 3, což odpovídá vzorci = 1 + \ + ^ + ^ = |f = 1,64583. Kontrola pomocí kalkulačky dává Vě = 1,64872. □ Poznámka 7.22 (lokální charakter aproximace). Aproximace hodnoty funkce v bodě x pomocí jejího Taylorova polynomu se středem v Xo dává dobré výsledky za předpokladu, že x není příliš vzdálené od Xq. V opačném případě lze očekávat, že budeme potřebovat Taylorův polynom vyššího stupně. Zkusíme-li v příkladě 7.21 místo stejným způsobem přibližně vyjádřit např. e , budeme muset garantovat malost výrazu rn(5) = ^^pTjr * když je lim = 0 (úloha 2.26), na začátku tato posloupnost čišel má dosti velké hodnoty. Odhadneme-li dále při 0 < £ < 5, zjistíme, že pro menší36 n (např. n < 5) nabývá r„(5) velkých hodnot a tudíž pro dosažení rozumné přesnosti se stává Taylorův polynom se středem v 0 málo použitelným. JOProtoze 0 < £ < 5, je r„(5) = < e3-^^ < 3 3 (^pjyr. Cisla mn = ^se začínají zmenšovat pozvolna: \em\g = 0,038, MÍ20 = 0,0095, a tudíž např. odhad chyby r„(5) < 0,01 zaručíme teprve pro polynom stupně 20 anebo výš. 72 73 §8 Funkce dvou proměnných: limity, spojitost § 8.1. Motivační úvahy Mluvíme-li o funkci / jedné proměnné, představujeme si předpis x h+ f{x), (8.1) kde x e Dif) C R. Vztah (8.1) obvykle zapisujeme formou y = f (x), což vyjadřuje závislost veličiny y izávisle proměnné) na veličině x inezávisle proměnné). Např. teplota vozovky dálnice v závilosti na vzdálenosti od počátečního bodu (pro popis stačí pouze jedna souřadnice, je to tedy závislost typu (8.1)). Jedná-li se o teplotu podlahy v místnosti, pak pro určení polohy bodu je potřeba již souřadnice dvě; funkční závislost by pak byla ve tvaru ixi,x2) fixi,x2), kde X\ a x2 jsou nezávisle proměnné veličiny, odpovídající souřadnicím uvažovaného bodu. Každému bodu roviny se souřadnicemi (xi, x2) přiřazujeme hodnotu teploty /(xi, x2), naměřenou v tomto bodě. Definičním oborem takové funkce bude množina v rovině: Dif) C R2. Měříme-li teplotu půdy nebo vzduchu, musíme přidat i třetí souřadnici, jelikož taková teplota závisí také na výšce resp. hloubce. Poloha měřeného bodu, a tudíž i naměřena hodnota tedy závisí na třech parametrech, což vede na funkci tří proměnných: (Xi,X2,X3) k> /(Xi,X2,X3) s definičním oborem v R3. Kdybychom zde počítali i se změnou hodnoty v čase, musíme přidat i čtvrtou proměnnou, určující časový okamžik měření, atd. Takové vzorce vyjadřují funkce několika proměnných. Závislost sledované veličiny na více faktorech přivádí k pojmu funkce více proměnných. § 8.2. Základní pojmy § 8.2.1. Definiční obor a obor hodnot Dále se budeme zabývat pouze funkcemi dvou proměnných. V tomto případě je zvykem značit nezávisle proměnné x a y, závisle proměnnou z a zapisovat předpis ve tvaru z = fix,y). (8.2) Definice 8.1. Nechť M je nějaká neprázdná množina bodů v rovině R2. Funkce / dvou proměnných, definovaná na M, je předpis, který každé dvojici čišel (x, y) e M přiřazuje pravě jedno číslo fix, j): (x, j) k> fix, y). Množině M, obsahující povolené hodnoty dvojice (x, y), říkáme definiční obor funkce / a píšeme Dif) = M. Dosadíme-li za x, y nějaká konkrétní čísla x0, yo, obdržíme číslo / (xo, Jo) Jež je hodnotou funkce f v bodě (x0, Jo)- 75 (A) (b) Obrázek 8.1 Není-li obor M u předpisu (8.2) explicitně uveden, považujeme za definiční obor funkce tzv. přirozený definiční obor, to jest nejširší množinu bodů (x, y), na níž lze tímto předpisem funkci definovat.37 PŘÍKLAD 8.2. Určeme definiční obor funkce s předpisem z = y/xy(x2 + xy + y2). Řešení. Obor není explicitně specifikován, jedná se tedy o nejširší množinu, kde má vzorec smysl. Jediným omezením je podmínka nezápornosti výrazu pod druhou odmocninou. Jelikož úpravou na úplný čtverec dostaneme x2 + xy + y2 = x2 + 2xy- + {^f + y2 - ^ = (x + ^) + 3-y2 > 0, bude výraz pod druhou odmocninou definován, je-li xy > 0. Toto znamená, že musí být buď x > 0, y > 0 anebo x < 0, y < 0 (obrázek 8.1a). □ PŘÍKLAD 8.3. Určeme definiční obor funkce s předpisem z = arcsin(3 — x2 — y2). Řešení. Definičním oborem pro arcsin = sin-1 je obor hodnot funkce sin, to jest uzavřeny interval38 [-1,1]. Proto musí platit 3 - x2 - y2 e [-1,1], tj. -1 < 3 - x2 - y2 < 1, 1 > x2 + y2 — 3 > — 1, 4 > x2 + y2 > 2. Ve výsledku obdržíme D(f) = {(x,y): 2 0, x2 + y2 6x > 0 (8.3a) anebo y - x2 < 0, x2 + y2 - 6x < 0. Buďte D(8.3a) a D(s.3b) množiny všech (x, y), splňujících (8.3a) resp. (8.3b). Pak je D(f) = D(8.3a) U D(8.3b). (8.3b) (8.4) Pro zjištění struktury těchto množin popišme vyznám jednotlivých podmínek v (8.3a), (8.3b). Pro (8.3a) máme (1) y > x2: bod (x, y) leží nad parabolou y = x2 (hranice vyloučena); (2) x2 + y2 - 6x = x2 - 2 ■ 3x + 9 - 9 = (x - 3)2 + y2 - 9 > 0: bod (x, y) patří vnějšku kruhu o poloměru 3 se středem v (3,0); jedná se o množinu D(8.3a), znázorněnou na obrázku 8.2a. Pro (8.3b) je situace opačná: (1) y < x2: bod (x, y) leží pod parabolou y = x2 (hranice vyloučena); (2) x2 + y2 — 6x = (x — 3)2 + y2 — 9 < 0: bod (x, y) patří vnitřku kruhu o poloměru 3 se středem v (3,0), což popisuje množinu D(8.3b) z obrázku 8.2b. Hledanou množinu D(f) dle (8.4) obdržíme sjednocením dvou předchozích (obrázek 8.2c). □ § 8.2.2. Graf, vrstevnice Funkce (x, y) i-* f(x, y) určuje množinu bodů (x,y,z) e R3, pro něž platí (8.2). Toto je rovnicí plochy v R3, jež je grafem funkce /. Definice 8.5. Grafem funkce / : D(f) c R2 -+ R je množina je podmnožinou trojrozměrného prostoru a oproti funkcím jedné proměnné je grafické znázorněni takovýchto funkcí výrazně složitější. Pro získání základní představy o grafu lze použít jeho řezy soustavou rovin. {(x,y,f(x,y)):(x,y)cD(f)}. Graf funkce dvou proměnných s předpisem z = f(x,y) 77 Vykonáme-li řez trojrozměrného grafu funkce / rovinami z = c, kde c je libovolné, obdržíme soustavu rovinných křivek, jejichž rovnice mají tvar f(x,y) = c. Příklad je na obrázku 8.3. Zde lze pozorovat, že v průmětu do roviny z = 0 obdržíme soustavy koncentrických kružnic. 2 Obrázek 8.3. Plocha s rovnicí z = x2 + y2 a její řezy rovinami z = c pro různá c Toto připomíná vrstevnice v zeměpisu, což jsou rovinné křivky, tvořené body (x,y), kde je nadmořská výška stejná (to jest z je konstantní, kde z = f(x, y) je nadmořská výška v bodě (x,y)). Pro obecnou funkci / dvou proměnných vrstevnice jsou určeny vzorcem f(x,y) = c, kde c je konstanta. Definice 8.6. Vrstevnice je kolmý průmět do roviny z = 0 křivky, vznikající řezem grafu funkce / rovinou z = c. § 8.3. Limita funkce jedné proměnné Připomeňme si, že funkce jedné proměnné ih>/ (x) má vlastní limitu L = limx^Xo f (x), jestliže pro každé s > 0 existuje 8E > 0 takové, že pro \x — x0\ < 8E platí \f(x)-L\ 1} a {x„ : n > 1} tak, aby platilo lim„^+00 x„ = lim„^+00x„ = x0 a lim„^+00 f(x„) ^ lim„^+00 f(x„)). 78 § 8.4. Limita funkce dvou proměnných Buďte / funkce dvou proměnných a L e (—00, 00). Buď (x0, y0) nějaký bod (je možné, že (x0, yo) ^ £)(/)). Zajímáme-li se o chování funkce / v okolí bodu (x0, yo),je přirozené uvažovat limitu /(x, y) pro (x, y), blížící se k (x0, y0). Definice 8.7. Číslo L je limitou funkce / při (x, y) -> (x0, y0): L= lim f(x,y), (8.5) (.x,y)->(x0,yo) jestliže ke každému s > 0 existuje 8e > 0 takové, že pro všechna (x,y), splňující nerovnost y/(x- xq)2 + (y - y0)2 < SB, platí \f(x,y)-L\ < e. Z geometrie víme, že hodnota y/(x — x0)2 + (y — y0)2 udává vzdálenost mezi body (x, y) a (x0, yo). Zdůrazněme, že v (8.5) se (x, y) blíží k (x0, y0) libovolným způsobem, to jest podle jakékoliv cesty. Výsledek tedy nesmí na volbě cesty záviset. Poznámka 8.8. Vyšetřování limit funkcí dvou proměnných je složitější oproti případu funkce jedné proměnné. Máme-li nějakou hypotézu ohledné možné hodnoty L, můžeme ji zkusit ověřit pomočí definice. Pro důkaz existence limity a její výpočet se snažíme využívat vhodných úprav a známých vztahů, popisujících chování elementárních funkcí v určitých bodech (např. sin x ~ x pro x —► 0 apod.). Obecný postup formulovat nelze (viz však § 8.4.1). PŘÍKLAD 8.9. Platí x - 3y + 4 4 lim - = —. (x,}0-Ko,o) 3x + y - 7 7 Řešení. Limitu lze vypočítat přímým dosazením do předpisu f(x,y) = hodnot x = 0, y = 0, jelikož /(0,0) je korektně definováno a v okolí bodu (0,0) se funkce mění spojitě. □ PŘÍKLAD 8.10. Dokažme, že platí sin(x2 + y2) lim----— = 1. (*,}0-Ko,o) x2 + y2 Řešení. Neurčitý člen typu jj. Uvedené platí, jelikož sin ŕ lim-= 1, ŕ->-0 t a. (x, y) —► (0, 0) právě tehdy, když ^x2 + y2 —► 0. □ PŘÍKLAD 8.11. Vypočítejme lim x2 + r =? (x,y)^(0,0) jx2 + y2 + l _ l Řešení. Neurčitý člen typu jj. Platí x2 + y2 (x2 + y2)(jx2 + y2+l + 1) Vx2 + y2 + 1 - 1 {y/x2 + y2 + 1 - 1)(V*2 + y2 + 1 + 1) (x2 + y2){yjx2 + y2 + 1 + 1) 2^ 2.1 1 Jx2 + y2 + \ + \. x1 + y1 + 1 — 1 Pak je lim^y^o.o) / f+f - = lim^^)^^^) ( y/x2 + y2 + 1 + 1) = 2. □ -y/jí^ + J^ + l-l \ / 79 § 8.4.1. Důkaz existence limity přechodem do polárních souřadnic Pro vyšetření dvojné limity lim^-,,)-^^-,,,,) f(x,y) je občas vhodné přejít k polárním souřadnicím se středem v bodě (x0, y0): x = x0 + r cos 0, y = y0 + r sin0. VĚTA 8.12. Existují-li konstanta L a funkce g : [0,+oo) —► [0,+oo) takové, že je limr^0+ g(f) = 0 a pro libovolné 0, 0 < 0 < 2tt, platí \f(x0 + r cos0, y0 + r sin0) - L\ < g(r), (8.6) paklim^)^,^) f(x,y) = L. Důkaz. Skutečnost, že se bod (x, y) blíží k (xo, yo), znamená, že se jejich vzdálenost blíží k 0. Zavedeme-li polární souřadnice x = Xo + r cos0, y = y0 + r sin0, táto vzdálenost je \J{x — Xo)2 + (y — yo)2 = r, a tudíž konvergence (x, y) —► (x0, yo) znamená, že r —► 0+. Jelikož limr^0+ g(r) = 0, k libovolnému s > 0 lze najít 8e tak, aby pro r < 8E bylo g(r) < s. Proto dle (8.6) platí \f(x,y) — L\ < s, je-li vzdálenost bodu (x, y) od (xo, yo) menši, než 8e. Stačí se odkázat na definici 8.7. □ Na odhad (8.6) typicky přijdeme, obdržíme-li po zavedení polárních souřadnic vztah tvaru f(x0 + r cos0,_yo + r sin0) = L + g(r)h(r, 0 a funkce g : (0, r0] R, h : (0, r0] x [0, 2tt] —>• R takové, že platí (8.7), přičemž limr^0+ ž'(^) = 0 a // je omezená na (0, r0] x [0,27r], pak platí (8.5). Důkaz. Jelikož je h omezená, lze najít K tak, že platí \h(r, 0)| < K pro všechna (r, 0) e (0, r0] x [0,2jt]. Pak z (8.7) obdržíme \f(x0 + rcos(p,y0 + r sin0) - L\ < \g(r)\ \h(r,(p)\ < K \g(r)\ a zbývá jen využít věty 8.12. □ PŘÍKLAD 8.14. Platí x2y lim , y , = 0. (x,y)^(0,0) x2 + y2 Vysvětlení. Zavedeme-li polární souřadnice x = r cos0, y = r sin0, bude x2y r2r cos2 0 sin 0 2 —:-r =---= r cos 0 sin0, 2 to jest pro /(x, y) = * y 2 platí (8.7) s L = 0 a g^(r) = r a //(r, 0) = cos2 0 sin 0. Jelikož |//(r, 0)| =cos20|sin0| < 1, dle důsledku 8.13 je lim(Xjy)^(o,o) f(x, y) =0. □ Poznámka 8.15. Podmínka (8.6) věty 8.12 je podstatná. Zjistíme-li totiž, že limita limr^0+ / (*o + r cos 0, y o + r sin 0) má stejnou hodnotu pro libovolná 0, toto samo o sobě ještě neznamená existenci limity lim^-,,)-*.^-,,,,) f(x,y) (viz příklad 8.25, poznámka 8.26). 80 § 8.4.2. Dvojnásobné limity Může se zdát, že přechod (x, y) —> (x0, yo) v (8.5) lze provést i tak, že vypočítáme např. limx^Xo f{x, y) a následně přejdeme k limitě pro y —>- _y0. Toto ovšem může vést na nesprávný výsledek, jelikož limity lim lim f(x,y), lim lim f(x,y), (8 8^ y^yo x^x0 x^x0 y-*yo v ' ' jimž se říká dvojnásobné, obecně řečeno, nemusí být shodné s Xvax^^^^y^ f(x, y). Na rozdíl od (8.8), limitě lim(X(j,)_,.(^0jj,0) f(x, y), chápané dle definice 8.7, se říká limita dvojná. věta 8.16. Nechť existuje H^x,y)^(x0,y0) f(x,y). Pak platí následující. (1) Existuje-li limx^Xo f(x,y) pro libovolné y v okolí bodu y0, pak existuje i limita Kmy^.yo limx^X0 f(x, y), přičemž platí lim lim f(x,y)= lim f(x,y). y^y0x^x0 (x,y)^(x0,y0) (2) Existuje-li lim-y^o f (x, y) pro libovolné x v okolí bodu x0, pak existuje i limita limx^xo lmiy^o /(x, y), přičemž platí lim lim f(x,y)= lim f(x,y). x^x0y^yo (x,y)^(x0,y0) Věty 8.16 lze využít pro důkaz neexistence dvojné limity. Důsledek 8.17. Jsou-li hodnoty limit linv^^, limx^Xo f(x,y)a hmx^Xo lim^j,,, f(x, y) různé, pak dvojná limita H^x,y)->-(xo,yo) /(x, y) neexistuje. Důkaz. Dle věty 8.16 z existence třech zmíněných limit plyne, že všechny mají stejnou hodnotu. □ příklad 8.18. Vypočtěme dvojnásobné limity funkce v — x f{x,y) = l— y +x při x —> 0, y —> 0. Řešení. Dle definice dvojnásobné limity je y—x y— 0 . ,. y— x 0 —x lim lim 1-= lim-= 1, lim lim-= lim-= — 1. y^>0x->-0 y + x y^O y + 0 x-*0 y^O y + x x-*-0 0 + X Hodnoty dvojnásobných limit jsou tedy různé. Dle důsledku 8.17 z toho lze odvodit, že dvojná limita hm(X;y)^.(0,o) frpf neexistuje. □ Obecně řečeno, nejenže se hodnoty dvojnásobných limit mohou lišit, nějaká z nich nemusí ani existovat. příklad 8.19. Vypočtěme dvojnásobné limity funkce f(x, v) = x sin — y při x —► 0, y —>- 0. Řešení. Jelikož lim^o x sin - = (limx_>o x) sin y = 0 pro libovolné y ^ 0, platí 1 lim lim x sin — = 0. j^Ox-s-o y Limita lirn^o hrn^o x sin - neexistuje, neboť pro x ^ 0 neexistuje ani lirn^o x sin -. □ Poznámka 8.20. Při prací s dvojnásobnými hmitami je potřeba si uvědomit, že: 81 (1) z existence a rovnosti dvojnásobných limit obecně neplyne existence dvojné limity lim^)^^) f(x, y) (příklad 8.21); (2) z existence dvojné limity neplyne existence limity dvojnásobné (příklad 8.22). PŘÍKLAD 8.21. Pro funkci 2 2 f(x,y) y x2y2 + (x - y)2 dvojnásobné limity jsou rovny 0, avšak dvojná limita neexistuje. 2 2 2 2 x2y2 + (x~y)2 ~ m%^0 x2y2 + {x_y)2 zřejmé, že dvojnásobné limity jsou rovny 0. Zkoumáme-li dvojnou limitu, můžeme si všimnout, Vysvětlení. Vzhledem k tomu, že lim^o r2i;2+L_^2 = hmy^o x2J+L_^2 = 0, je „2 ,,2 že druhý člen ve jmenovateli mizí na přímce y = x a proto bude f(x, x) = x2y2+0 = 1 • Pak pro obdržení sporu se stačí k (0, 0) přibližovat, např. podle vodorovné souřadné osy, což dává fix, 0) = 0. Podrobněji viz § 8.4.3. □ PŘÍKLAD 8.22. Pro funkci f(x,y) = y sin- (8.9) x neexistuje lim^o lim^o fix, y), avšak existuje lim^-^-^o.o) fix,y). Vysvětlení. I když sin ^ nemá limitu pro x —► 0, je to však veličina omezená a v (8.9) se vyskytuje v součinu s y, kde y —► 0. Lze proto předpokládat, že je limita lim^ >y)^(0>0) f(x,y) rovna 0. Dokažme to podle definice 8.7. Zvolme libovolně malé kladné s. Vzhledem k nerovnosti | _y sin -1 < \y\ bude | f(x, y) | < s, je-li |j| < s, což znamená, že v definici 8.7 můžeme vzít 8E = s, a hodnota dvojné limity je skutečně 0. Na druhou stranu, limx^0 lim-^o y sin ^ = limx^0 0 = 0 a limx^0 y sin ^ neexistuje. □ § 8.4.3. Případy neexistence limity Skutečnost, že lim(Xjy)^(XOjy0) f(x,y) = L, dle definice 8.7 znamená, že hodnota /(x, y) se neomezeně přibližuje k L, když se vzdálenost bodu (x, y) od (xo, yo) blíží k 0. Rozhoduje vzdálenost, nikoliv jednotlivé cesty, kudy (x, y) —► (xo, y o). Hodnota / se tedy musí blížit k L na každé cestě do (xo, y o). Této skutečnosti lze využit, máme-li podezření, že daná limita s největší pravděpodobností neexistuje, a chtěli bychom to dokázat. § 8.4.3.1. Různé limitní hodnoty funkce podle určitých cest Pomocí uvedené úvahy neexistenci limity lim(Xjy)^(XOjyo) f(x, y) dokážeme, najdeme-li dvě cesty 7~i a ľ2 tak, že při přibližování (x, y) k (x0, y o) podle 7~i bude f(x,y) —► Lx a podle r2 bude f(x,y) —► L2 s L2 ^ Lx. Takové cesty lze často najít, uvažujeme-li přibližování (x,y) ^ (x0,y0) (1) podle přímek (to jest, uvažujeme-li (x, y) spojené vztahem y — y0 = k(x — x0), kde k je konstanta); (2) podle parabol (y — y0 = k(x — x0)2). § 8.4.3.2. Využití polárních souřadnic Občas je vhodné přejít k polárním souřadnicím (r, 0) podle vzorců x = x0 + r cos 0, y = yo + f sin0; pak bude (x — x0)2 + (y — yo)2 = r2, a (x, y) —>- (x0, yo) znamená, že 82 r —► 0+. Obdržíme-li po přechodu k limitě v /(xo + r cos 0, _y0 + r sin 0) při r —► 0+ výsledek závislý na směru 0, můžeme z toho odvodit, že lim^-,,)-^^-,,,,) f (x, y) neexistuje.39 § 8.4.3.3. Využití dvojnásobných limit Neexistenci dvojné limity dokážeme, zjistíme-li, že odpovídající dvojnásobné limity nemají stejnou hodnotu (důsledek 8.17). § 8.4.3.4. Příklady důkazů neexistence limity Ukažme užití hořejšího na příkladech. PŘÍKLAD 8.23. Limita lim Xy (*,}0-Ko,o) x2 + y2 neexistuje. Řešení 8.23.1. Limita neexistuje, neboť změna hodnoty x2+y2 záleží na cestě, podle jaké (x, y) —► (0,0). Nechť (x, y) —► (0,0) např. tak, že (x, y) = (x, 0). Pak je vždy xy x ■ 0 --— = - = 0. x2 + y2 x2 + 02 Vezmeme-li (x, y) = (x,x), kde x —► 0, obdržíme xy x2 1 x2 + y2 2x2 2' Limita tedy existovat nemůže. □ Řešení 8.23.2. Jiný způsob: zaveďme polární souřadnice x = rcos0, _y = rsin0. Potom yjx2 + y2 = \Jr2 cos2 0 + r2 sin2 0 = r, a tudíž yjx2 + y2 —► 0 znamená, že r —► 0. Nesmí tedy záležet na uhlu 0 (tj. směru). Vyjádříme-li výraz pod limitou pomocí polárních souřadnic, dostaneme xy r2cos0sin0 1 f(x,y) = f = -\-= cos 0 sin 0 = - sin20. (8.10) xz + yz rz 2 Při 0 = 0 vychází f(x,y) = f(r cos 0, r sin0) = /(r, 0) = 0 pro libovolné r > 0. Vezmeme-li 0 = f, dle (8.10) dostaneme f(x, y) = \ sin f = \. □ Řešení 8.23.3. Zkusme (x,y) —► (0, 0) podle přímek y = kx, to jest zvolme (x, y) ve tvaru (x,y) = (x, kx). Pak bude xy kx2 k x2 + y2 ~ x2 + k2x2 ~ 1 + k2' Vidíme, že se funkce blíží k různým hodnotám, zvolíme-li např. k = 0 ( *1 2 = 0) a & = 1 x ~\~y ( 2i 2 = Pro tyto hodnoty směrnice k obdržíme řešení 8.23.1, jež je tudíž speciálním případem stávajícího. □ PŘÍKLAD 8.24. Vyšetřeme 2 2 lim —--. (.x,y)-»(.0,0) x2 + y2 39Můžeme si všimnout, že, je-li (p e [0, j) pevně dané, pohyb bodu (xq + r cos (p, yo + r sin (p) při r —>- 0+ odpo vídá přibližování k {xq, yo) podle přímek y = yo + k{x — xq) se směrnicí k — tg^.Při^ = sejednáo přibližování podle svislé souřadné osy. 83 Řešení 8.24.1. Položme f (x, y) = 4ř4- Funkce / je definována na R2 \ {(0,0)}. x ~\~y Jelikož /(*,*) = 0, f(0,y) = ^- = -l y2 pro y > 0, lze usoudit, že limita neexistuje. □ Řešení 8.24.2. Pro důkaz neexistence lze využít dvojnásobných limit. Jelikož lim ( lim ——^— ) = lim ( lim — ) = 1, lim ( lim —-^— ) = lim ( lim ) = — 1, y^O \x^0 X2 + y2 J y^O \x^0 X2 J x^O \y^0 X2 + y2 J x-*0 \x->-0 y2 J dvojná limita neexistuje dle důsledku 8.17. □ Řešení 8.24.3. V polárních souřadnicích x = r cos0, y = r sin0 pro libovolné r bude cos2 0 — sin2 0 f(r cos0, r sin0) = -=— = cos 20, cos2 0 + sin 0 což explicitně závisí na hodnotě 0. □ PŘÍKLAD 8.25. Vyšetřeme existenci limity r xy2 lim (x,y)^(0,0) x2 + y4 Řešení. Blíží-li se bod (x, y) k (0,0) podle parabol x = ky2, bude f(k 2 )= kyA = k J( y ,y) k2y* + y* k2 + ľ což závisí na hodnotě k, a tudíž limita neexistuje. □ Poznámka 8.26. Zavedeme-li v příkladě 8.25 polární souřadnice x = rcos0,_y = r sin0, dostaneme r3cos0sin20 r cos 0 sin2 0 f(r cos0, r sin0) =--— =----> 0 (8.11) r2 cos2 0 + r4 sin 0 r cos2 0 +sin 0 pro r —► 0+, a to při libovolném 0. Limita limr^0+ /(r cos 0, r sin 0) tedy nezávisí na hodnotě 0. Limita lim(X;;i;)^(o,o) f(x, y) však neexistuje. Zdánlivý spor s větou 8.12 rozřešíme, všimneme-li si, že i když dle (8.11) pro f(r cos 0, r sin0) platí (8.7) s L = 0, g(r) = r a h (r, ó) = cos ý sin ý nemůžeme zde zaručit40 omezenost výrazu h(r,ó) pro všechna v T ' r cosz 0+sin 0 ^ T x 0 < r < r0 a0 < 0 < 2ti. 40Všimněme si, že pro h(r, ó) = ™4>*r24> platí cos cp sin 0 cos 0 lim lim h(r,é) — lim --.- = lim —=— = +oo p^o+ r^o+ 0^o+ sin4 0 0^0+ sin2 (p a tudíž nemůže být h(r, (p) omezené v okolí bodu (0,0). 84 § 8.5. Spojitost funkce dvou proměnných Definice 8.27. Funkce / je spojitou v bodě (x0, y0), jestliže lim f(x,y) = f(x0,y0). (x,y)->-(xo,yo) Podle analogie s funkcí jedné proměnné, graf funkce spojité v bodě (xo, y o), v okolí tohoto bodu představuje nepřerušenou plochu bez děr a trhlin. Rada dříve uvažovaných vlastností spojitých funkcí platí i v případě funkce dvou proměnných (např. součet a součin spojitých funkcí je funkce spojitá). Platí rovněž tvrzení podobná některým větám využívajícím spojitost funkce jedné proměnné. Uveďme pouze Weierstrassovu větu o extrémních hodnotách spojité funkce. VĚTA 8.28 (Weierstrassova věta). Funkce spojitá na omezené uzavřené41 množině nabývá na ní svých největší a nejmenší hodnot. § 8.5.1. Příklady PŘÍKLAD 8.29. Funkce ( 4ř4 pro x 0, y 0 / 1 pro x = y = 0 není spojitá v (0,0), neboť dle příkladu 8.24 limita lim^-^-^o.o) f (x, y) neexistuje. PŘÍKLAD 8.30. Funkce / 0 pro x = y = 0 je spojitá v (0, 0), neboť /(0,0) = 0 a dle příkladu 8.23 lim^-^-^o.o) f(x,y) = 0. Body nespojitosti funkce nemusí být izolované a mohou sestavovat i souvislé množiny. PŘÍKLAD 8.31. Funkce f (x, y) =-— y - x2 je spojitá všude, kromě bodů paraboly y = x2. PŘÍKLAD 8.32. Funkce f(x,y)= 1 je spojitá všude, kromě bodů přímek y = x a y = —x. § 8.5.2. Poznámka o spojitosti podle jednotlivých proměnných Poznámka 8.33. Ze spojitosti funkcí x i-* f (x, yo) v bodě Xo a y f(xo, y) v bodě y o neplyne spojitost funkce (x, y) i-* f (x, y) ve smyslu definice 8.27. PŘÍKLAD 8.34. Funkce f U, y) xy x2 + y2 není spojitou v bodě (0,0), avšak je spojitou podle jednotlivých proměnných. Vysvětlení. V bodě (0, 0) funkce není spojitá, neboť lim^;),)_>.(0;0) f(x, y) neexistuje (příklad 8.23). Spojitost podle x znamená spojitost funkce f(x, 0) = 0, což platí triviálním způsobem. Obdobně pro spojitost podle y. □ ^Uzavřenou množinou v rovině rozumíme množinu, obsahující svoji hranici. Přesnější vyjádření této vlastnosti zde rozebírat nebudeme. 85 §9 Funkce dvou proměnných: parciální derivace, diferenciál § 9.1. Parciální derivace prvního řádu Mějme funkci / dvou proměnných. Zapišme výraz f(x,y) a „zmrazme" v něm y (to jest budeme v tomto okamžiku považovat y za konstantní hodnotu). Zderivujme tento vyraz podle x. Výsledkem bude tzv. parciální derivace funkce / vzhledem k proměnné x. Značí se obvykle fx(x, y) nebo jinak £f(x, y). Podobně se definuje fj(x, y) = j^f(x, y). Poznámka 9.1. Máme-li předpis z = f(x, y), píšeme || = j^f(x, y), |^ = -^f(x, y) a rozumíme každý ze symbolů ||, |^ jako celek. Písmeno „d" se zde tradičně zapisuje v podobě „3", aby se zdůraznila odlišnost od derivace ^| funkce jedné proměnné. Pro výpočet parciálních derivací vesměs využíváme postupů, již známých pro derivaci funkce jedné proměnné. PŘÍKLAD 9.2. Nalezněme parciální derivace 1. řádu funkce f(x,y) = 3xV-sin(x + 4>>). Řešení. Derivujeme podle x s konstantním y: 9 2 2 — f(x,y) = 9xy -cos(x + 4_y). 9x Derivujeme podle y; pak je x konstantní: 9 , —f(x,y) = 6x y - 4 cos (x + A y). PŘÍKLAD 9.3. Vypočtěme parciální derivace 1. řádu funkce f(x,y) = arctg(x2 + y2). Řešení. Podle vzorce pro derivaci složené funkce dostaneme df, , 1 df 2 2 2x ^r(x^y) = 1 , , ,—^-^hx +y) = 9xv ,JJ l + (x2 + y2)2 9xv JJ l + (x2 + .y2)2' -Z-(x,y) = , , , ,, , ,,-^-{x2 + y2) dy v J' l + (x2 + y2)2 9x v J ' l + (x2 + y2)2 Všimneme-li si symetrického charakteru předpisu funkce (/(x, y) = f(y,x) pro všechna x, y), můžeme §y (x, y) obdržet záměnou x a y v již vypočítané derivaci §£(x, j). □ PŘÍKLAD 9.4. Pro x > 0 vypočtěme parciální derivace 1. řádu funkce f(x,y) = x>. 87 (A) (b) Obrázek 9.1 Řešení. Dle proměnné x je to funkce mocninná, a tudíž bude 9 dx (xy) = yx y-l Podle y pak derivujeme funkci exponenciální o základu x, — (xy) = xy lnx. § 9.2. Geometrický význam parciálních derivací Parciální derivace funkce podle jednotlivých proměnných udávají směrnice křivek, vznikajících v řezu grafu funkce rovinami rovnoběžnými s příslušnými osami. Toto znamená, že v jakémkoliv bodě (x0,yo), kde má funkce / parciální derivace, hodnota ^(x0,yo) (resp. |j(xo, yo)) udává směrnici tečny ke grafu křivky z = f(x, yo) (resp. z = f (xo, y)). Parciální derivace ^-(x0, yo) udává rychlost změny funkce / v bodě (x0, y0) v kladném směru osy x. Analogicky pro §j(xo, yo). Geometrické znázornění je na obrázku 9.1. § 9.3. Diferencovatelnost a totální diferenciál Nechť má funkce / : R 2 —► R v okolí nějakého bodu (x, y) spojité parciální derivace 1. řádu. Analogicky případu funkce jedné proměnné, jejíž diferenciál d/ udává přírůstek hodnoty funkce, způsobený nekonečné malou změnou argumentu, je přirozené zavést diferenciál funkce dvou proměnných. Intuitivní „definice" 9.5. Totálním diferenciálem funkce / je výraz j r 9f , M d f = T-dx + -r-dy, ox ox (9.1) jenž vyjadřuje přírůstek hodnoty /, odpovídající nekonečné malým přírůstkům argumentů dx a dy. Chceme-li popsat tento pojem přesněji, lze říci, že diferenciál df(x,y) v bodě (x, y) je tzv. „bilineární forma" dvou proměnných h a k: df(x, y)(h,k) = d-f(x, y)-h + ^(x,y)- k, (9.2) ox oy to jest výraz, obsahující proměnné h a k a lineární podle každé z nich. Toto však ještě neurčuje jasně to, kdy a jakým způsobem d/ popisuje změnu /. Pro precizní zavedení pojmu diferenciálu musíme hovořit o diferencovatelnosti funkce dvou proměnných. Definice 9.6. Říkáme, že je funkce / v bodě (xq, yo) diferencovatelná, jestliže existují konstanty A a B takové, že platí f(x0 + h,y0 + k)- f(x0,y0) - Ah - Bk lim -; -= 0. (9.3) (*,*)-►«>,<» y/h2 + k2 Lineární funkce (h,k) i-* Ah + B k se nazývá diferenciálem42 funkce / v bodě (x0, y0) a značí se df(x0, yo)' df(x0,yo)(h,k) = Ah + Bk. Hovoříme-li o diferencovatelnosti funkce / v bodě (x0, y0), jedná se, v podstatě, o existenci diferenciálu d/(x0, y0), což znamená, že její přírůstek v okolí bodu (x0, y0) lze vyjádřit ve tvaru f(x0 + h,y0 + k) - f(x0,y0) = Ah + Bk + a(h,k), (9.4) kde a(h,k) je výraz vyššího řádu malosti, než je velikost vektoru (h,k): a(h,k) lim / ' = 0. (9.5) (*,*)-►«>,<» V/z2 + k2 Ukáže se, že pro diferencovatelnou funkci výraz Ah + B k je právě (9.2), to jest (9.2) je diferenciálem / ve smyslu definice 9.6. VĚTA 9.7. Je-li / diferencovatelná v bodě (xq, yo), pak má v tomto bodě parciální derivace a v (9.3) je A = g(x0,y0), B = %(x0,yo). Důkaz. Buď / diferencovatelná v (xo, yo)- Pak její přírůstek v okolí tohoto bodu lze vyjádřit ve tvaru (9.4), kde A, B jsou konstanty a a(h, k) splňuje (9.5). Budeme-li uvažovat speciálně přírůstky argumentu ve směru souřadných os, vyjde f(x0 + h,y0)- f(x0, yo) = Ah + a(h, 0), f(x0, y0 + k) - f(x0, y0) = Bk + a(0, k), přičemž vzhledem k (9.5) je lim/^o&(h, 0) = lim^^0 «(0, k) = 0. Vydělíme-li zde členy h a k, po přechodu k limitě při h —► 0, k —► 0 dostaneme A = §£(*o> y o), B = §£(*o> y o)- D Poznámka 9.8 (o nediferencovatelnosti jistých funkcí majících parciální derivace). Tvrzení opačné větě 9.7 neplatí: z existence v daném bodě parciálních derivací neplyne diferencovatelnost funkce v tomto bodě (viz příklad 10.4). PŘÍKLAD 9.9. Ověřme, zda funkce definovaná předpisem f(z,y)=\l ^°y*X (9.6) / 0 pro y = x je diferencovatelná v bodě (0,0). 42Říká se přesněji „totální" anebo „Fréchetův" diferenciál 89 Řešení. Podle (9.6) je /(O, 0) = 0 a pro x ^ 0, x -> 0, bude f(x, 0) = 0. Proto Pro §£(0,0) bude j£(0.0) = lim fW-fM= lim£z2=0. 0X x^O X — 0 jc->-jc0 x — 0 ^(0,o) = iim^2^M = iim^ = i. 3_y ?-k> _y - 0 y^o y - 0 Vzhledem k (9.4) pro diferencovatelnost / v (0,0) je potřeba, aby s nějakými A a B bylo f(h, k) - /(0,0) = Ah + Bk + a(h,k), (9.7) kde a(h,k) pro (h, k) —► (0,0) konverguje k 0 rychleji než \/h2 + k2. V bodě (0,0) existují |J(0,0) = 0 a jj£(0,0) = 1 a tudíž, je-li / v (0,0) diferencovatelná, muší být A = 0, B = 1 (věta 9.7). Navíc podle (9.6) je /(0,0) = 0 a proto (9.7) znamená, že f(h,k)-k = a(h,k). (9.8) Hodnota na levé straně (9.8) však závisí na tom, zda h = k nebo nikoliv: pro h ^ k vztah (9.8) znamená k — k = a(h,k), což platí s a(h,k) = 0, ale při h = k má být a(h,k) = —k, což nekonverguje k 0 rychleji než \Jh2 + k2 (tj. nesplňuje (9.5)): lim^^-^o.o) jf~2+k2 = — 1 0. Funkce tedy není v bodě (0,0) diferencovatelná. Geometricky to znamená, že v bodě (0,0) nemá graf této funkce tečnou rovinu (tento pojem rozebíráme v § 9.8). □ Příklad 10.4 ukazuje, že některé „nepříliš pěkné" funkce v určitých bodech mají parciální derivace, avšak nejsou v nich diferencovatelné (nelze je okolí takových bodů dobré přiblížit lineární funkcí, nemají tam diferenciál ani tečnou rovinu; viz § 9.8.2). Vzhledem k následující větě tyto případy lze však považovat za, v jistém smyslu, výjimečné.43 VĚTA 9.10. Jsou-li parciální derivace funkce / definovány v okolí bodu (xo, yo) a spojité, pak má funkce / v tomto bodě diferenciál. Diferencovatelnost funkce vyjadřuje hladkost jejího grafu v okolí daného bodu (viz dále § 9.8). Mimo jiné, diferencovatelná funkce je vždy spojitá. VĚTA 9.11. Je-li / diferencovatelná v bodě (x0, y o), pak je v tomto bodě spojitá. § 9.4. Využití diferenciálu pro odhad přírůstku funkce Zanedbáme-li v (9.4) malý člen a(h,k), dostaneme vzorec f(x0 + h,y0 + k)- f(x0,y0) = ^—(x0,yo)-h + —(x0,y0) ■ k, (9.9) ox oy jehož lze využit pro přibližný výpočet přírůstku funkce. PŘÍKLAD 9.12. Pomocí diferenciálu odhadněme absolutní a relativní chybu výpočtu objemu rotačního válce s poloměrem podstavy r = 5 a výškou H = 10, jsou-li rozměry r a H známy s chybami Ar < 0.02, AH < 0.01. Poznamenejme, že pro funkce jedné proměnné takové případy vůbec nejsou, jelikož existence derivace v bodě zaručuje v něm diferencovatelnost funkce. 90 Řešení. Objem rotačního válce s poloměrem podstavy r a výškou H je V = 7tr2H. (9.10) Jsou-li r a H známy s malými chybami Ar, AH, dle vzorce (9.9) bude výsledná chyba výpočtu objemu AV = V(r + Ar, H + AH) - V(r, H) přibližně rovna dV dV , AV = —Ar + —AH = InrHAr + nr2AH = nr(2HAr + rAH), ar oH což v uvažovaném případě dává (2 1 \ 225n 9ti AV = 5tt (20Ar + 5AH) < 5n 20--+ 5--= -= — = 7.07. v 7 v ioo íooy 100 4 Jelikož dle (9.10) pro dané rozměry válce je V = 250tt, relativní chyba bude přibližně 4^- = 971 = 0 009 □ 4-250JT v.vjvjs. i_i PŘÍKLAD 9.13. Pomocí diferenciálu vypočtěme přibližně hodnotu /(2.9, 3.8) pro funkci f(x, y) = x + y + ^x2 + y2. Řešení. Položme x0 = 3, y0 = 4. Vypočtěme parciální derivace 9/1 x df y = 1-- ?r = 1--. -ř-=\ dx 2yjx2 + y2 yjx2 + y2' dy yj x2 + y2 a využijme vzorce f(x, y) - f(x0, y0) = df(x0, y0)(x -x0,y - y0) s x0 = 3, _y0 = 4, x = 2.9, y = 3.8: f (x, y) - f(x0, y0) = d/(x0, y0)(x - x0, y - y0) df df = —(x0, y0) ■ (x - x0) + -r-(x0, y0) ■ (y - yo) ox oy df df = -f (3, 4) • (-0.1) + -^(3, 4) • (-0.2). ox oy Po vykonaní výpočtů dostaneme /(3,4) = 3 + 4— vj2 + 42 = 2, df 3 3 df 4 4 -^(3, 4) = 1--, = 1 - - = 0.4, -^(3, 4) = 1--, = 1 - - = 0.2. 9x V32 + 42 5 3y V32 + 42 5 Pak bude f (2.9, 3.8) - f (3, 4) = ^(3, 4) • (-0.1) + ^(3, 4) • (-0.2) dx dy = 0.4 • (-0.1) + 0.2(-0.2) = -0.08, a vyjde f (2.9, 3.8) = /(3,4) — 0.08 = 1.92. Kontrola výsledku pomoci počítače dává: /(2.9, 3.8) = 1.9198____ □ 91 § 9.5. Parciální derivace složených výrazů Platí jistá zobecnění vzorce pro derivaci složené funkce. Mějme funkci s předpisem u = f (x, y, z) a uvažujme x, y, z jako funkce jiné proměnné t. Obdržíme tak funkci u = u(t). Pak, existují-li příslušné derivace a jsou-li spojité, bude du d f dx d f dy d f dz — = —---h——+ —--• (9.11) dt dx dt dy dt dz dt Závisí-li funkce pouze na jedné z proměnných, z (9.11) obdržíme obvyklé řetězové pravidlo pro derivování složené funkce jedné proměnné. § 9.6. Parciální derivace vyšších řádů Parciální derivace vyšších řádů vznikají postupným výpočtem jednotlivých parciálních derivací již nalezených parciálních derivací. Parciální derivace druhého řádu jsou d2f 3 fdf\ d2f 3 fdf\ d2f 3 fdf\ 32f 3 (df dx2 dx \dxJ dxdy dy \dxJ dydx dx \dyJ dy2 dy \dy Značíme je také fxx, fxy atd. VĚTA 9.14 (Schwarzova věta). Existují-li v bodě (x0,y0) smíšené parciální derivace |^j(xo, y0) a ££(x0, yo) a jsou-li v bodě (x0, y0) spojité, pak platí d2f d2f -(x0,yo) = 7T^(xo,yo). dxdy dydx § 9.7. Gradient Definice 9.15. Vypočítaný v bodě definičního oboru vektor grad/ = (^-, ^f- dx dy se nazývá gradientem funkce / : R2 —► R v tomto bodě. Jinak se značí44 grad / = V/. VĚTA 9.16. V každém bodě (xo, yo) ukazuje vektor grad /(xo, yo) směr největšího růstu funkce / a je kolmý vrstevnici, tímto bodem procházející. Idea důkazu. Představme si, že vrstevnice s rovnicí f(x, y) = c je dána parametricky: x = 0(0. y = Ý(0 a bod (xq, yo) odpovídá hodnotě parametru t = t0'- 0(ío) = x0, Ý(^o) = yo- Vektor (0;(řo), Ý'(to)) pak bude směrovým vektorem tečny k dané vrstevnici v bodě (xq, yo)-45 Dosadíme-li x = 0(ŕ)> y = Ý(0 do rovnice vrstevnice, obdržíme, že pro všechna t je f(. ľ f(r + tů)-f(r) — (r) = lim du t^o t du S odkazem na definici 4.1 derivace funkce jedné proměnné jinak by se dalo zapsat §£(r) jako ) = 1+(jt2+y2)2 a tudíž Velikost vektoru u je | u | normovaný směrový vektor bude -^u. Pak dle věty 9.25 d f 2 , 2 x + 2y du VŠ(i + (x2 + y2)2) VŠ 1 + (x2 + y2)2' § 9.11. Diferenciály vyšších řádů a Taylorův vzorec § 9.11.1. Případ funkce jedné proměnné Pro funkci jedné proměnné lze Taylorův vzorec zapsat pomocí tzv. diferenciálů vyšších řádů takto: 1 f{x) = f(x0) + df(x0)(x - xq) + — d f(x0)(x - x0) + ■■■+-dn f(x0)(x - xQ) + rn(x- Xq), (9.20) n\ kde d" f značí diferenciál řádu n. Pro funkci jedné proměnné diferenciály vyšších řádů v bodě Xq počítáme podle pravidla d" f = d(d"_1 / ): d2f = d(df) = d(f(xo)dx) = f(xo)(dx)2, dále d3 f = d(d2/) = //;/(x0)(dx)3 a obecně d"f(x0) = f("\x0)(dx)". Přesněji řečeno, d" f (x0) je funkce n-ho stupně d"f(xo)(h) = f("Xxo)-h". Pro n = 1 takto obdržíme již známý diferenciál prvního řádu d/(x0)(h) = f'(x0) ■ h, jenž je funkcí lineární. § 9.11.2. Případ funkce dvou proměnných V podobě (9.20) za obdobných podmínek lze Taylorův vzorec zobecnit pro funkce dvou proměnných: 1 fix, y) = f(x0, y0) + dfixo, y0)ix - x0, y - y0) + — d f(x0, y0)ix -x0,y - y0) + ••• +—dn fix0,y0)ix - x0,y - y0) + rnix - x0,y - y0), (9.21) n\ kde d" fixo, yo)ix — Xo, y — y o) je diferenciál řádu n v bodě (xo, y o) na přírůstcích x — Xo, y — yo- Připomeňme si, že pro funkci dvou proměnných je d/ =./; d.v -d r (9.22) anebo, přesněji řečeno, diferenciál v bodě (x0, y o) je lineární funkce dfixo, y0)ih,k) = fxixo, y0)-h + fý(x0, y0)-k. 97 Diferenciály vyšších řádů lze i v tomto případě počítat podle pravidla d" f = d(d"-1/), přičemž je pohodlné využít neformálního zápisu (9.22). Pro tento účel „d" v „d/ " chápeme jako operaci, jež tvoří součet parciálních derivací výrazu /, vynásobených diferenciálem příslušných proměnných, tj. derivujeme podle x a y a považujeme dx, dy za konstanty. Pro druhý diferenciál d2f takto vyjde49 d2f = d(d/) = d(/,' dx + /; dy) = (/,' dx + /; dy)'x ■ dx + (/,' dx + /; dy)'y ■ dy = f'x'x ■ (dx)2 + • dy ■ dx + f'x'y ■ dx ■ dy + • (dy)2 = • (dx)2 + if>;y ■ dx ■ dy + • (dy)2, což určuje kvadratickou funkci d2/(x0,y0)(h,k) = f^x(xo,y0) ■ h2 + 2f?y(x0,y0)-h-k + f;'y(x0,y0) ■ k2. (9.23) Nasleduje pak diferenciál třetího řádu d3 f = d(d2/), což po výpočtech vede na vzorec d3f(x0, yo)(h, k) = f£x{x0, yo) ■ h3 + 3fx"y{x0, y o) ■ h2k + 3f"y{x0, y o) ■ hk2 + f;;y(x0,yo)-k3 atd. Obecně lze postup výpočtu d" f vyjádřit vzorcem dnf(xo,yo)(h,k)=(h~+k--j^ f, (9.24) kde „umocnění" (h ■ ^ + k ■ J^J značí operaci, vznikající formálním násobením symbolů h. — + k-^\-(h- — + k-^\.....(h- — + k- — dx dy J \ dx dy J \ dx dy takto: 3 , 3 \2 „ /. 3 , 3 \ /. 3 , 3 \ h — + k-—) f = [h- — + k- — \- [h- — + k- — \ f dx dy J \ dx dy) \ dx dy) = (h2. A A + hk. A A + kh. A A + k2.JĽ)f V 3x 3x 3x dy dy dx dx) = (V.f 3 +2hk 3 3 +kh 3 3 +ť *), (9.25) V 3x dx dx dy dy dx dx J ,2 32/ ,, 32/ 32/ = /j2 ._±- _|_ 2hk ■ + k ■_— 3x2 3x3_y 3x2' dále pák(h-£+k- ^ f = (h ■ ^ + k ■ |j) (h ■ + k ■ ^ f atd. Můžeme si všimnout, že (9.25) skutečně vede na (9.23). Zde j^-^u = J^u = uxx, j^j^u = = u"xy apod., to jest násobení operací výpočtu parciálních derivací v (9.24) chápeme jako příslušnou parciální derivaci vyššího řádu. Připomeňme si, že podle Schwarzovy věty 9.14 bude fý'x — f 98 § io Lokální extrém funkce dvou proměnných Podobně případu funkce jedné proměnné je přirozené se zajímat i o lokálně extremální hodnoty funkcí dvou proměnných. Není překvapující, že vzhledem k přítomnosti další nezávisle proměnné technika vyšetřovaní lokálních extrému bude v tomto případě složitější. Odpovídající věty však vznikají jako logická zobecnění obdobných tvrzení z analýzy funkcí jedné proměnné a význam jednotlivých podmínek, byť vypadajících úplně jinak, je velmi podobný. § 10.1. Lokální extrémy: definice a příklady Definice 10.1. Funkce / : R 2 —► R nabývá v bodě (xo, yo) lokálního minima, jestliže existuje okolí G bodu (xo, yo) takové, že je f(x,y) > f(x0,yo) pro všechna (x, y) e G. Funkce / : R2 —► R nabývá v bodě (x0, y o) lokálního maxima, jestliže existuje okolí G bodu (xq, yo) takové, že je f(x,y) < f(x0,yo) pro všechna (x, y) e G. Lokální maximum a minimum se nazývají lokální extrémy. Jsou-li nerovnosti ostré pro (x,y) ^ (xq, yo), jedná se o ostré lokální extrémy. PŘÍKLAD 10.2. Funkce /(x, y) = x2 + y2 má v bodě (0,0) lokální minimum. Řešení. Je zřejmé, že /(0,0) = 0 a f(x,y) > 0, je-li \x\ + \y\ > 0 (obrázek 10.1a). □ PŘÍKLAD 10.3. Funkce f(x,y) = —x2 — y2 má v bodě (0, 0) lokální maximum. Řešení. Je zřejmé, že /(0,0) = 0a f(x,y) < 0,je-li \x\ + \y\ > 0 (obrázek 10.1b). □ PŘÍKLAD 10.4. Funkce /(x, y) = x2 — y2 v bodě (0,0) lokální extrém nemá. Řešení. V bodě (0,0) je /(0,0) = 0. Je-li \x\ + \y \ > 0, platí /(0,.y) = -y2<0, /(x2,0)=x2>0, přičemž \x\ a |j| mohou být libovolně malé. Toto znamená, že libovolné okolí bodu (0,0) obsahuje body (x,y), kde je /(x, y) > f (0, 0), a také body, kde je f(x,y)< f (0, 0) (obrázek 10. lc). Extrém v tomto bodě není. □ Bod (0, 0) v příklade 10.4 je pro danou funkci tzv. sedlovým bodem. 99 (A) (b) (C) Obrázek 10.1 § 10.2. Nutná podmínka pro lokální extrém Definice 10.5. Stacionárním (nebo kritickým) bodem funkce / : R2 —► R je bod (xo, yo), kde existují parciální derivace 1. řádu a platí df df t-Oo, yo) = 0, -r-(x0, y0) = 0, ox oy anebo alespoň jedna z parciálních derivací neexistuje. VĚTA 10.6. Má-li funkce / v bodě (x0, y0) lokální extrém, pak všechny parciální derivace této funkce, které v tomto bodě existují, jsou rovny 0. Funkce tedy může mít lokální extrém pouze v nějakém stacionárním bodě. § 10.3. Postačující podmínka pro lokální extrém § 10.3.1. Postačující podmínka VĚTA 10.7. Buď / : R2 —► R funkce mající v okolí bodu (x0, y0) spojité parciální derivace 2. řádu. Nechť (x0, y0) je pro / stacionárním bodem. Položme d2f d2f íd2f v D(x0, y0) = -z-r(x0, )>o)^^Oo, yo) ~ tt^Oo, yo) ■ (10.1) ox2 oy2 \oxoy J (1) Jestliže D(xo,yo) > 0, pak má / v (xo,jo) ostrý lokální extrém (minimum, je-li £tOo, y o) > 0 a maximum, je-li 0(xo, _y0) < 0) (2) Jestliže D(xo, y o) < 0, pak nemá / v (xo, y o) lokální extrém. Poznámka 10.8. Jestliže D(xo, yo) = 0, pak v (xo, yo) muže, ale nemusí být lokální extrém. Takové případy se musí vyšetřit zvlášť. Tuto podmínku lze formulovat pomocí Hessovy matice funkce / v bodě (x0, yo). Definice 10.9. Hessova matice H(x0, yo) pro / v bodě (x0, yo) je V^é^O'^o) ^(xo,yo)J 100 Připomeňme si, že dle Schwarzovy věty, jsou-li fxy a fyx v (x0, y0) spojité, bude fxy(x0,y0) ■ fý'x(x0, yo)- Pak je D(x0, y o) v (10.1) determinantem matice H(x0, yo)'- nu vx fxx(xo,yo) fxy(xo,y0) V{x0,yo)- f„xiXotyo) fjyiXotyo) ■ § 10.3.2. Případ funkce jedné proměnné Je-li / funkcí pouze jedné proměnné x (speciální případ, když f(x,y) nezávisí na y, tj. /; = 0), bude H(x0,yo) = ^%°>^ °Q a typ lokálního extrému pak lze určit podle znaménka fxx(xo, y o): minimum, pokud je kladné, a maximum, pokud je záporné. Obdržíme tak již známou postačující podmínku druhého řádu pro určení lokálního extrému funkce jedné proměnné. Uvedenou větu tedy lze chápat jako její zobecnění pro případ funkce dvou proměnných. Roli derivace druhého řádu pak hraje Hessova matice, jejíž kladnost nebo zápornost chápeme pomocí pojmu pozitivní a negativní definitnosti tzv. kvadratických forem. § 10.4. Postup určení lokálních extrémů Potřebujeme-li určit lokální extrémy funkce dvou proměnných, obvykle postupujeme takto. (1) Ujistíme se, že má funkce v daném oboru spojité parciální derivace druhého řádu. (2) Vypočteme parciální derivace 1. řádu a najdeme stacionární body z rovnic f'(x,y) = 0, f;(x,y) = 0. (3) Najdeme parciální derivace 2. řádu a v každém ze stacionárních bodů vypočteme hodnotu determinantu Hessovy matice. V závislosti na výsledku s využitím věty 10.7 rozhodneme o tom, zda v jednotlivých stacionárních bodech má funkce extrémy. Je-li v určitém stacionárním bodě (xo, y o) extrém, vypočítáme i hodnotu / (xo, y o), což bude hodnota maxima nebo minima. § 10.4.1. Příklady PŘÍKLAD 10.10. Vyšetřeme extrémy funkce f(x, y) = x3 + y3 — 3xy. Řešení. Jelikož fx(x,y) = 3x2 — 3y fý(x,y) = 3y2 — 3x, stacionární body se určují soustavou rovnic 3x2 - 3y = 0, 3y2 - 3x = 0, to jest x2 = y, y2 = x; x4 — x = 0. Funkce tedy má dva stacionární body: (0,0) a (1,1). Pro ověření existence extrému v těchto bodech vypočtěme parciální derivace druhého řádu y) = 6x, f;y(x,y) = 6y, f»y{x,y) = /;;<*,y) = -3 a zapišme Hessovu matici: y;'x(x,y) f"{x,y)\_(6x -3" H{X,y)~\fly(x,y) fl(x.y)) ~ \-3 6y V bodě (0,0) je det H(0, 0) = | _°3 "03 | = -9 < 0, extrém tedy v (0,0) není. V bodě (1,1) dostaneme det H(\, 1) = | _63 "3 | = 36 - 9 = 27 > 0, a proto v (1,1) lokální extrém je (je to lokální minimum, neboť fxx(l, 1) = 6 > 0). Pomocí věty 10.7 jsme tedy zjistili, že v bodě (0,0) funkce extrém nemá a v bodě (1,1) má lokální minimum o hodnotě f (1,1) = —1 (obrázek 10.2). □ 101 PŘÍKLAD 10.11. Vyšetřeme lokální extrémy funkce f(x,y) = 3x y — x r- Řešení. Platí fx = 6xy — 3x2, fý = 3x2 — 4y3, a proto z rovnic 6xy - 3x2 = 0, 3x2 - 4y3 = 0, obdržíme dva stacionární body: (6, 3), (0,0). Po výpočtu parciálních derivací 2. řádu fx = 6y-6x, f;ry = 6x, f;y = -\2y2 obdržíme Hessovu matici H(x,y) V bodě (6, 3) je deti/(6, 3) = 6y — 6x 6x 6x -12y2 -18 36 36 -108 = 18- 108 - 362 = 648 > 0, a proto dle věty 10.7 v bodě (6, 3) funkce / lokální extrém má. Je to lokální maximum, neboť /£(6,3) = -18<0. V bodě (0,0) věta 10.7 informaci neposkytuje, jelikož je deti/(0,0) 0 0 0 0 0. Charakter změny funkce v okolí tohoto bodu tedy musíme vyšetřit zvlášť. Uvažujme (x, y) ^ (0,0) z libovolného okolí bodu (0, 0) a vypočtěme /(0,.y) = -y4<0. (10.2) Vezmeme-li pak x < 0, y = 0, obdržíme f(x,0) = -x3 > 0. (10.3) Poznamenejme, že (10.2) a (10.3) platí pro x ^ 0, y ^ 0, avšak \x\ a \y \ mohou být libovolně malé. Z uvedeného plyne, že v libovolně malém okolí bodu (0, 0), v němž /(0, 0) = 0, nabývá funkce jak kladných, tak i záporných hodnot. Extrém zde není. Zjistili jsme, že v bodě (0,0) funkce extrém nemá a v bodě (6, 3) má lokální maximum o hodnotě f (6, 3) = 27 (obrázek 10.3). □ PŘÍKLAD 10.12. Určeme lokální extrémy funkce f(x,y) = x4 + y4 — 2x2 + 4xy — 2y2 + 3. 102 (A) (B) Obrázek 10.3 Řešení. Platí |£ = 4x3 — 4x + Ay, = Ay 3 + 4x — Ay, a stacionární body pak určujeme ze soustavy rovnic dy x3-x + y=0, _y3+x-y=0. (10.4) Sečteme-li tyto rovnice, bude _y3 + x3 = 0a dostaneme y3 = —x3, y = —x. Dosadíme-li y = —x do první rovnice v (10.4), bude x3 — x — x = 0, x3 — 2x = 0, x (x2 — 2) = 0. Pro x tedy obdržíme hodnoty x = 0, x = V2~, x = —\P1. Odpovídající hodnoty y jsou y = 0, y = —\fl, y = \ľl. Dostáváme stacionární body (0,0), (V2~, — V2~), (—\Í2, V2~). Parciální derivace 2. řádu jsou fxx = \2x2 — A, f ý' = 12y2 — A, fxy = 4 a determinant Hessovy matice je 1?r2 — 4 detH(x,y) = A ,2 12y2 -A V bodě (V5.-V2) je deti/(V2,-V2) 12-2-4 4 4 12-2-4 400 - 16 = 384 > 0, fxx(V2, - -n/2) = 20 > 0. Je zde lokální minimum. V bodě (-V2, V2) mají detH(—\f2, \pľ) fxx{—\/2, V2~) stejné hodnoty, jako v bodě (-n/2,--n/2). Jedná se o lokálni minimum o hodnotě /(VI,-VI) = (-VŽ)4 + (V2)4 -2(-V2)2 + 4-(-V2)V2-2(V2)2 + 3 = -5. V bodě (0,0) je det H(0, 0) = 0. Jelikož např. f (x, 0) = x4 + 04 — 2x2 + 4x • 0 — 2 • 02 + 3 = x4 — 2x2 + 3 = x2(x2 - 2) + 3, f (x, x) = x4 + x4 - 2x2 + 4x • x - 2 • x2 + 3 = 2x4 + 3, extrém zde není. □ 103 § 11 Globální extrémy funkce dvou proměnných § 11.1. Weierstrassova věta Funkce jedné proměnné, jež je spojitá na ohraničeném uzavřeném intervalu, nabývá na tomto intervalu své nej větší a nej menší hodnoty (Weierstrassova věta). Tato věta platí i pro funkce dvou a více proměnných. Pro formulaci je potřeba zavést některé definice. Buď M množina v R2. Definice 11.1. Množina M je ohraničená, jestliže celá leží v nějaké kouli. Definice 11.2. Bod P e M je vnitřním bodem množiny M, jestliže spolu s P v M leží i nějaké okolí tohoto bodu. Množina M se nazývá otevřena, je-li každý její bod vnitřním. V jistém smyslu opačnou vlastnost má tzv. bod hraniční. Definice 11.3. Bod P je hraničním bodem pro množinu M, jestliže v každém okolí bodu P jsou jak body patřící do M, tak i body, jež do M nepatří. Množina všech bodů, jež jsou hraniční pro M, se nazývá hranicí množiny M. Bod hraniční pro množinu M může ležet buď v M nebo mimo M. PŘÍKLAD 11.4. Hranicí množiny M = {(x, y) : 1 < x2 + y2 < 4} je Ki U K2, kde K\, K2 jsou kružnice se středem v (0,0) o poloměrech 1 a 2. Přitom K2 C M a Ki íl M = 0. Definice 11.5. Množina M je uzavřená, jestliže obsahuje svou hranici.50 VĚTA 11.6 (Weierstrassova věta o extremálních hodnotách). Funkce spojitá na ohraničené uzavřené množině nabývá v ní své největší a nejmenší hodnoty. Všechny předpoklady věty 11.6 jsou podstatné a nelze je vynechat.51 § 11.2. Největší a nejmenší hodnota funkce v ohraničené uzavřené oblasti Řešení praktických úloh často přivádí k potřebě nalezení extremálních hodnot spojité funkce na uzavřené omezené množině. Takových hodnot funkce nabývá buď v bodech lokálního extrému nebo na hranici množiny, a pro jejich určení lze postupovat takto. (1) Nalézt stacionární body a hodnoty funkce v těchto bodech. (2) Vypočítat největší a nejmenší hodnoty funkce na hranici oblasti. 50Z uvedených definic odvodíme, že otevřenou je množina, jež neobsahuje žádné body své hranice. 51Toto poznáme již pro funkce jedné proměnné. Např. funkce f\(x) — l/x, fi(x) — 1 — x nenabývají maximální hodnoty na M — (0, 1] (M není uzavřená); f$(x) — je omezená na M — [0, +00), avšak nenabývá tam maximální hodnoty (M je neomezená). 105 (3) Vzít největší a nejmenší z nalezených hodnot. § 11.3. Příklady PŘÍKLAD 11.7. Pro libovolné a > 0 najděme největší a nejmenší hodnoty funkce fix, y)=x2-y2 + 2a2 v kruhu x2 + y2 < a2. Řešení. Jelikož fx = 2x, fý = —2y, jediným stacionárním bodem je (0,0), v němž /(0,0) = 2a2. Nalezněme největší a nejmenší hodnotu / na hranici kruhu, tj. na kružnici x2 + y2 = a2. Pro (x,y) ležící na této kružnicí máme f(x, y) = x2 - y2 + 2a2 = x2 - (a2 - x2) + 2a2 = 2x2 + 2a2, a tudíž se jedná o minimalizaci a maximalizaci funkce jedné proměnné g(x) = 2x2 + a2 pro —a. < x < a (neboť body kružnice x2 + y2 = a2 mají \x\ < a). Stacionárním bodem g je x = 0, pak g(0) = a2. V krajních bodech intervalu, tj. v bodech x = ±a, máme g(±a) = 3a2. Pak odvodíme, že / nabývá největší hodnoty 3a2 v bodech (—a, 0) a (a, 0) a nejmenší hodnoty a2 v bodech (0, —a) a (0, a). (Nejmenší hodnoty a2 funkce nabývá v bodech kružnice x2 + y2 = a2 pro x = 0, tj. y = ±a). □ PŘÍKLAD 11.8. Určeme největší a nejmenší hodnotu funkce f(x,y) = x2y + xy2 + xy v uzavřené oblasti M ohraničené křivkami x = l,x = 2, _y = —|,_y = -. Řešení. Zderivováním obdržíme fx(x, y) = 2xy + y2 + y, fý(x, y) = 2xy + x2 + x. Stacionární body se pak určují ze soustavy rovnic 2xy + y2 + y = 0, 2xy + x2 + x = 0, tj. y(2x + y + l)=0, x(x + 2y + l) = 0. Dostáváme stacionární body (0,0), (—1,0), (0, —1), dále pak z rovnic 2x + y + 1 = 0, x + 2y + 1 = 0. obdržíme třetí bod (—-|, —|). Žádný z těchto bodů však neleží v množině M (viz obrázek 11.1). Musíme tedy vyšetřovat hodnoty funkce na hranici oblasti M. Vyšetřeme extremální hodnoty funkce na hranici množiny M. Hranicí je křivka sestavená z úseků AB, BC, CD a DA, na nichž extremální hodnoty funkce vyšetříme zvlášť. NaúsekuABjex = hfihy) = y2+2y =: ^(j;),kde-| < y < 1.Pak#;(>>) = 2>>+2, stacionární bod je y = — 1. Hodnoty funkce g\ v stacionárním bodě a v koncových bodech intervalu jsou gli-l) = -l, £i(l) = 3, gl(-?j=-l (11.1) NaBCjey = -, / (x, -) = x + I + 1 =: g2(x), kde 1 < x < 2. Pak^(x) = 1 -stacionární body jsou x = ± 1. V intervalu [1,2] leží pouze bod x = 1. Dostaneme hodnoty #2(1) = 3, g2Í2)=7-. (11-2) 106 (A) (b) Obrázek 11.1. Oblast ohraničená křivkami x = 1, x = 2, y = —f, y 3 v = x ' Na CD je x = 2, f (2, y) = 2y2 + 6y =: g3(y), kde -§ < _y < I. Pak s'3(x) = 4y + 6, stacionární bod je j = — |. Dostaneme hodnoty * (-1)=4 * GH- <1U) Nakonec, na DA je y = —|, / (x, — §) = — §x2 + |x =: ^(x), kde 1 < x < 2. Pak g^(x) = — 3x + |, stacionární bod je x = \, ten však neleží v [1,2]. Proto vypočtěme hodnoty v koncových bodech intervalu: *4(1) = ~, S4(2) = ~. (H.4) Porovnáme-li hodnoty vypočtené v (11.1), (11.2), (11.3), (11.4), obdržíme - fín f - f (>> _l\ - /max / l ' 2 / 2' min I 2/ 2* Extremálních hodnot tedy funkce nabývá v bodech hranice uvažované množiny. □ příklad 11.9 (úloha o maximálním zisku). Vyrábí se dva druhy zboží, jejichž ceny jsou P\ a P2 za jednotku. Popište, jak určit maximální zisk z prodeje vyrobeného zboží, je-li známa funkce výrobních a vedlejších výdajů S. Určete maximální zisk za předpokladu, že Px = 8, P2 = 10 a funkcí výdajů je S(Xi,X2) = X2 + X\X2 + x\. Řešení. Buďte x\, x2 množství vyrobeného zboží každého z druhů. Funkce zisku je f(xi, x2) = Pi Xi + P2x2 - S(xi, x2), kde ^(xi, x2) jsou související výdaje. Maximalizovat zisk znamená najít maximum veličiny /(xi,X2),kdexi > 0, x2 > 0. Jelikož = Pi—S'x,i = 1,2, rovnice pro určení stacionárních bodů budou Pi = S'Xl(Xl,x2), P2 = S'X2(Xl,x2). Pro stanovené konkrétní parametry úlohy cílovou funkcí, jejíž maximum hledáme, bude f(xi, x2) = 8xi + 10x2 — x\ — X\X2 — x\. (H-5) 107 Jelikož fx1(xi,X2) = 8 — 2xi — x2 a fX2(x\,x2) = 10 — 2x2 — X\, rovnice pro stacionární body budou 2x\ + x2 = 8, 2x2 + X\ = 10. Z těchto rovnic najděme stacionární body: x2 = 8 — 2x\, 2 (8 — 2x\) + X\ = 10, 6 — 3x\ = 0, X\ = 2, x2 = 8 — 2xi = 4. Jediným stacionárním bodem je tedy (x0,y0) = (2,4). Pro určení typu extrému zapišme derivace druhého řádu flXl = (8 — 2xi — x2)'Xi = —2, fx[X2 = (8 — 2xi — x2)'X2 = —1, fx[X2 = (10 — 2x2 — X\)'X2 = —2 a sestrojme Hessovu matici H(2 4) - (K*s2>*> fUQ>*>\ - (~2 -M (' J~U'U(2'4) f^A))-\-l -2)' Jelikož \ H{2, 4)| = 4 — 1 = 3>0, extrém v tomto bodě je, přičemž je to lokální maximum, neboť 7^(2,4) =-2 <0. Zjistili jsme, že v bodě (2, 4) má cílová funkce (11.5) lokální maximum o hodnotě f (2, 4) = 16 + 40 — 4 — 8 — 16 = 28. Bod (2, 4) je jediným bodem lokálního extrému, všude jinde tečna rovina není ve vodorovné poloze (obrázek 11.3). 108 Obrázek 11.3 Na hranici množiny M = [0, oo) x [0, oo), jež je sjednocením kladných částí souřadných os, je f(xi,0) = Sxi — x2, f(0, x2) = 10x2 — x|. Jelikož g^-/(xi, 0) = 2(4 —Xi), jZ2 f(x\,G) = —2, při X\ = 4 má funkce X\ i-* /(xi,0) lokální maximum o hodnotě /(4,0) = 32- 16 = 16. Pro /(0,x2) mámeg|^/(0, x2) = 2(5 — x2), ^-/"(0,x2) = —2, a tudíž při x2 = 5 má funkce x2 i-* /(O, x2) lokální maximum o hodnotě /(O, 5) = 50 — 25 = 25. Hodnota /(2, 4) = 28 je vetší, než extremální hodnoty na hranici. Maximální zisk tedy zajistí volba X\ = 2, x2 = 4, to jest pro dosažení maximálního zisku za daných podmínek je potřeba vyrobit 2 jednotky zboží 1. druhu a 4 jednotky zboží 2. druhu. □ 109 Rejstřík asymptota, 54 bez směrnice, 56 se směrnicí, 54 asymptotická ekvivalence posloupností, 13 asymptotické vzorce, 68 bisekce, viz metoda bisekce bod hraniční množiny, viz hraniční bod množiny hromadný posloupnosti, 19 limitní množiny, 6 hromadný posloupnosti, viz hromadný bod posloupnosti inflexní, 51 izolovaný, viz izolovaný bod B olzanova-Cauchyova podmínka, 18 derivace funkce jedné proměnné, 29 fyzikální interpretace, 29 geometrická interpretace, 33 inverzní funkce, 37 parciální, 87 geometrický význam, 88 složené funkce, 36 směrová, 96 řetězové pravidlo, 36 diferenciál funkce dvou proměnných, 89 vyšších řádů, 97 funkce jedné proměnné, 63 geometrická interpretace, 64 diferencovatelnost funkce dvou proměnných, 88 funkce jedné proměnné, 63 dolní závora, 7 dvojnásobné limity, 81 gradient, 92 horní závora, 7 hranice množiny, 6 hraniční bod množiny, 6 hromadný bod posloupnosti, 19 infimum, 7 inflexe, 51 izolovaný bod, 6 l'Hôpitalovo pravidlo, 43 limes inferior, 20 limes superior, 20 limita funkce dvou proměnných, 79 funkce jedné proměnné v nekonečnu, 21 ve vlastním bodě, 22 jednostranná, 22 nevlastní, 22 limitní bod množiny, 6 lokální extrém funkce dvou proměnné, 99 funkce jedné proměnné, 48 metoda bisekce, 28 nejmenší horní závora, viz supremum nej větší dolní závora, viz infimum neurčité výrazy, 23 normála, 35, 93 okolí bodu, 5 směrnice přímky, 33 spojitost funkce dvou proměnných, 85 funkce jedné proměnné, 27 supremum, 7 Taylorův vzorec, 66 Lagrangeův tvar zbytku, 68 pro elementární funkce, 68 pro funkci dvou proměnných, 97 tečna, 34 rovnice, 34 tečná přímka definice, 93 rovina definice, 94 tečná rovina, 93 velikost vektoru, 5 vrstevnice, 77 vzdálenost bodů, 5 věta o konvergenci monotónní posloupnosti, 14 o střední hodnotě funkce dvou proměnných, Fermat, 42 o sevření, viz věta o sevření o střední hodnotě funkce jedné proměnné Cauchy, 43 Lagrange, 42 Rolle, 42 věta o sevření, 12 Weier straš sova věta, 85 pro funkci dvou proměnných, 105 závora dolní, viz dolní závora horní, viz horní závora nejmenší horní, viz nejmenší horní závora nej větší dolní, 7 112