PŘEDNÁŠKA 10
Lokální extrém funkce dvou proměnných
10.1. Lokální extrémy: definice a příklady
Definice 10.1. Funkce f : R2
→ R nabývá v bodě (x0, y0) lokálního minima, jestliže
existuje okolí G bodu (x0, y0) takové, že je
f(x, y) ≥ f(x0, y0) pro všechna (x, y) ∈ G.
Funkce f : R2
→ R nabývá v bodě (x0, y0) lokálního maxima, jestliže existuje okolí G
bodu (x0, y0) takové, že je
f(x, y) ≤ f(x0, y0) pro všechna (x, y) ∈ G.
Lokální maximum a minimum se nazývají lokální extrémy. Jsou-li nerovnosti ostré
pro (x, y) ̸= (x0, y0), jedná se o ostré lokální extrémy.
Příklad 10.2. Funkce f(x, y) = x2
+ y2
má v bodě (0, 0) lokální minimum.
Řešení. Je zřejmé, že f(0, 0) = 0 a f(x, y) > 0, je-li |x| + |y| > 0 (obrázek 10.1a). □
Příklad 10.3. Funkce f(x, y) = −x2
− y2
má v bodě (0, 0) lokální maximum.
Řešení. Je zřejmé, že f(0, 0) = 0 a f(x, y) < 0, je-li |x| + |y| > 0 (obrázek 10.1b). □
Příklad 10.4. Funkce f(x, y) = x2
− y2
v bodě (0, 0) lokální extrém nemá.
Řešení. V bodě (0, 0) je f(0, 0) = 0. Je-li |x| + |y| > 0, platí
f(0, y) = −y2
< 0, f(x2
, 0) = x2
> 0,
přičemž |x| a |y| mohou být libovolně malé. Toto znamená, že libovolné okolí bodu (0, 0)
obsahuje body (x, y), kde je f(x, y) > f(0, 0), a také body, kde je f(x, y) < f(0, 0)
(obrázek 10.1c). Extrém v tomto bodě není. □
Bod (0, 0) v příklade 10.4 je pro danou funkci tzv. sedlovým bodem.
10.2. Nutná podmínka pro lokální extrém
Definice 10.5. Stacionárním (nebo kritickým) bodem funkce f : R2
→ R je bod
(x0, y0), kde existují parciální derivace 1. řádu a platí
∂f
∂x
(x0, y0) = 0,
∂f
∂y
(x0, y0) = 0,
anebo alespoň jedna z parciálních derivací neexistuje.
Věta 10.6. Má-li funkce f v bodě (x0, y0) lokální extrém, pak všechny parciální
derivace této funkce, které v tomto bodě existují, jsou rovny 0.
Funkce tedy může mít lokální extrém pouze v nějakém stacionárním bodě.
1
(a) (b) (c)
Obrázek 10.1
10.3. Postačující podmínka pro lokální extrém
10.3.1. Postačující podmínka
Věta 10.7. Buď f : R2
→ R funkce mající v okolí bodu (x0, y0) spojité parciální
derivace 2. řádu. Nechť (x0, y0) je pro f stacionárním bodem. Položme
D(x0, y0) =
∂2
f
∂x2
(x0, y0)
∂2
f
∂y2
(x0, y0) −
∂2
f
∂x∂y
(x0, y0)
2
. (1)
(1) Jestliže D(x0, y0) > 0, pak má f v (x0, y0) ostrý lokální extrém (minimum, je-li
∂2f
∂x2 (x0, y0) > 0 a maximum, je-li ∂2f
∂x2 (x0, y0) < 0)
(2) Jestliže D(x0, y0) < 0, pak nemá f v (x0, y0) lokální extrém.
Poznámka 10.8. Jestliže D(x0, y0) = 0, pak v (x0, y0) muže, ale nemusí být lokální
extrém. Takové případy se musí vyšetřit zvlášť.
Tuto podmínku lze formulovat pomocí Hessovy matice funkce f v bodě (x0, y0).
Definice 10.9. Hessova matice H(x0, y0) pro f v bodě (x0, y0) je
H(x0, y0) =


∂2f
∂x2 (x0, y0) ∂2f
∂x∂y
(x0, y0)
∂2f
∂y∂x
(x0, y0) ∂2f
∂y2 (x0, y0)

 .
Připomeňme si, že dle Schwarzovy věty, jsou-li f′′
xy a f′′
yx v (x0, y0) spojité, bude
f′′
xy(x0, y0) = f′′
yx(x0, y0). Pak je D(x0, y0) v (1) determinantem matice H(x0, y0):
D(x0, y0) =
f′′
xx(x0, y0) f′′
xy(x0, y0)
f′′
yx(x0, y0) f′′
yy(x0, y0)
.
10.3.2. Případ funkce jedné proměnné
Je-li f funkcí pouze jedné proměnné x (speciální případ, když f(x, y) nezávisí na y,
tj. f′
y = 0), bude
H(x0, y0) =
f′′
xx(x0, y0) 0
0 0
,
a typ lokálního extrému pak lze určit podle znaménka f′′
xx(x0, y0): minimum, pokud je
kladné, a maximum, pokud je záporné. Obdržíme tak již známou postačující podmínku
druhého řádu pro určení lokálního extrému funkce jedné proměnné. Uvedenou větu tedy
lze chápat jako její zobecnění pro případ funkce dvou proměnných. Roli derivace druhého
2
řádu pak hraje Hessova matice, jejíž kladnost nebo zápornost chápeme pomocí pojmu
pozitivní a negativní definitnosti tzv. kvadratických forem.
10.4. Postup určení lokálních extrémů
Potřebujeme-li určit lokální extrémy funkce dvou proměnných, obvykle postupujeme
takto.
(1) Ujistíme se, že má funkce v daném oboru spojité parciální derivace druhého řádu.
(2) Vypočteme parciální derivace 1. řádu a najdeme stacionární body z rovnic
f′
x(x, y) = 0, f′
y(x, y) = 0.
(3) Najdeme parciální derivace 2. řádu a v každém ze stacionárních bodů vypočteme
hodnotu determinantu Hessovy matice. V závislosti na výsledku s využitím
věty 10.7 rozhodneme o tom, zda v jednotlivých stacionárních bodech má
funkce extrémy. Je-li v určitém stacionárním bodě (x0, y0) extrém, vypočítáme i
hodnotu f(x0, y0), což bude hodnota maxima nebo minima.
10.4.1. Příklady
Příklad 10.10. Vyšetřeme extrémy funkce f(x, y) = x3
+ y3
− 3xy.
Řešení. Jelikož f′
x(x, y) = 3x2
− 3y f′
y(x, y) = 3y2
− 3x, stacionární body se určují
soustavou rovnic
3x2
− 3y = 0, 3y2
− 3x = 0,
to jest x2
= y, y2
= x; x4
− x = 0. Funkce tedy má dva stacionární body: (0, 0) a (1, 1).
Pro ověření existence extrému v těchto bodech vypočtěme parciální derivace druhého
řádu
f′′
xx(x, y) = 6x, f′′
yy(x, y) = 6y, f′′
xy(x, y) = f′′
yx(x, y) = −3
a zapišme Hessovu matici:
H(x, y) =
f′′
xx(x, y) f′′
xy(x, y)
f′′
xy(x, y) f′′
yy(x, y)
=
6x −3
−3 6y
.
V bodě (0, 0) je det H(0, 0) = 0 −3
−3 0 = −9 < 0, extrém tedy v (0, 0) není.
V bodě (1, 1) dostaneme det H(1, 1) = 6 −3
−3 6 = 36 − 9 = 27 > 0, a proto v (1, 1)
lokální extrém je (je to lokální minimum, neboť f′′
xx(1, 1) = 6 > 0).
Pomocí věty 10.7 jsme tedy zjistili, že v bodě (0, 0) funkce extrém nemá a v bodě
(1, 1) má lokální minimum o hodnotě f(1, 1) = −1 (obrázek 10.2). □
Příklad 10.11. Vyšetřeme lokální extrémy funkce f(x, y) = 3x2
y − x3
− y4
.
Řešení. Platí f′
x = 6xy − 3x2
, f′
y = 3x2
− 4y3
, a proto z rovnic
6xy − 3x2
= 0, 3x2
− 4y3
= 0,
obdržíme dva stacionární body: (6, 3), (0, 0). Po výpočtu parciálních derivací 2. řádu
f′′
xx = 6y − 6x, f′′
xy = 6x, f′′
yy = −12y2
obdržíme Hessovu matici
H(x, y) =
6y − 6x 6x
6x −12y2 .
3
(a) (b)
Obrázek 10.2
V bodě (6, 3) je
det H(6, 3) =
−18 36
36 −108
= 18 · 108 − 362
= 648 > 0,
a proto dle věty 10.7 v bodě (6, 3) funkce f lokální extrém má. Je to lokální maximum,
neboť f′′
xx(6, 3) = −18 < 0.
V bodě (0, 0) věta 10.7 informaci neposkytuje, jelikož je
det H(0, 0) =
0 0
0 0
= 0.
Charakter změny funkce v okolí tohoto bodu tedy musíme vyšetřit zvlášť. Uvažujme
(x, y) ̸= (0, 0) z libovolného okolí bodu (0, 0) a vypočtěme
f(0, y) = −y4
< 0. (2)
Vezmeme-li pak x < 0, y = 0, obdržíme
f(x, 0) = −x3
> 0. (3)
Poznamenejme, že (2) a (3) platí pro x ̸= 0, y ̸= 0, avšak |x| a |y| mohou být libovolně
malé. Z uvedeného plyne, že v libovolně malém okolí bodu (0, 0), v němž f(0, 0) = 0,
nabývá funkce jak kladných, tak i záporných hodnot. Extrém zde není.
Zjistili jsme, že v bodě (0, 0) funkce extrém nemá a v bodě (6, 3) má lokální maximum
o hodnotě f(6, 3) = 27 (obrázek 10.3). □
Příklad 10.12. Určeme lokální extrémy funkce f(x, y) = x4
+y4
−2x2
+4xy−2y2
+3.
Řešení. Platí ∂f
∂x
= 4x3
−4x+4y, ∂f
∂y
= 4y3
+4x−4y, a stacionární body pak určujeme
ze soustavy rovnic
x3
− x + y = 0, y3
+ x − y = 0. (4)
Sečteme-li tyto rovnice, bude y3
+ x3
= 0 a dostaneme y3
= −x3
, y = −x. Dosadíme-li
y = −x do první rovnice v (4), bude x3
− x − x = 0, x3
− 2x = 0, x (x2
− 2) = 0. Pro x
tedy obdržíme hodnoty x = 0, x =
√
2, x = −
√
2. Odpovídající hodnoty y jsou y = 0,
y = −
√
2, y =
√
2. Dostáváme stacionární body (0, 0), (
√
2, −
√
2), (−
√
2,
√
2).
4
(a) (b)
Obrázek 10.3
Parciální derivace 2. řádu jsou f′′
xx = 12x2
− 4, f′′
yy = 12y2
− 4, f′′
xy = 4 a determinant
Hessovy matice je
det H(x, y) =
12x2
− 4 4
4 12y2
− 4
.
V bodě (
√
2, −
√
2) je
det H(
√
2, −
√
2) =
12 · 2 − 4 4
4 12 · 2 − 4
= 400 − 16 = 384 > 0,
f′′
xx(
√
2, −
√
2) = 20 > 0. Je zde lokální minimum.
V bodě (−
√
2,
√
2) mají det H(−
√
2,
√
2) f′′
xx(−
√
2,
√
2) stejné hodnoty, jako v bodě
(
√
2, −
√
2). Jedná se o lokální minimum o hodnotě f(
√
2, −
√
2) = (−
√
2)4
+ (
√
2)4
−
2(−
√
2)2
+ 4 · (−
√
2)
√
2 − 2(
√
2)2
+ 3 = −5.
V bodě (0, 0) je det H(0, 0) = 0. Jelikož např.
f(x, 0) = x4
+ 04
− 2x2
+ 4x · 0 − 2 · 02
+ 3 = x4
− 2x2
+ 3 = x2
(x2
− 2) + 3,
f(x, x) = x4
+ x4
− 2x2
+ 4x · x − 2 · x2
+ 3 = 2x4
+ 3,
extrém zde není. □
10.5. Taylorův vzorec
Pro funkci jedné proměnné lze Taylorův vzorec zapsat pomocí diferenciálů vyšších
řádů takto:
f(x) = f(x0)+df(x0)(x−x0)+
1
2!
d2
f(x0)(x−x0)+· · ·+
1
n!
dn
f(x0)(x−x0)+Rn(x−x0).
V této podobě za obdobných podmínek lze ho zobecnit pro funkce dvou proměnných:
f(x, y) = f(x0, y0) + df(x0, y0)(x − x0, y − y0) +
1
2!
d2
f(x0, y0)(x − x0, y − y0) + . . .
+
1
n!
dn
f(x0, y0)(x − x0, y − y0) + Rn(x − x0, y − y0).
5
Diferenciály vyšších řádů počítáme podle pravidla d2
f = d(df) atd. Podrobněji se
tomuto tématu věnovat nebudeme.
6