PŘEDNÁŠKA 11
Globální extrémy funkce dvou proměnných
11.1. Weierstrassova věta
Funkce jedné proměnné, jež je spojitá na ohraničeném uzavřeném intervalu, nabývá
na tomto intervalu své největší a nejmenší hodnoty (Weierstrassova věta). Tato věta platí
i pro funkce dvou a více proměnných. Pro formulaci je potřeba zavést některé definice.
Buď M množina v R2
.
Definice 11.1. Množina M je ohraničená, jestliže celá leží v nějaké kouli.
Definice 11.2. Bod P ∈ M je vnitřním bodem množiny M, jestliže spolu s P v
M leží i nějaké okolí tohoto bodu. Množina M se nazývá otevřena, je-li každý její bod
vnitřním.
V jistém smyslu opačnou vlastnost má tzv. bod hraniční.
Definice 11.3. Bod P je hraničním bodem pro množinu M, jestliže v každém okolí
bodu P jsou jak body patřící do M, tak i body, jež do M nepatří. Množina všech bodů,
jež jsou hraniční pro M, se nazývá hranicí množiny M.
Bod hraniční pro množinu M může ležet buď v M nebo mimo M.
Příklad 11.4. Hranicí množiny
M = {(x, y) : 1 < x2
+ y2
≤ 4}
je K1 ∪ K2, kde K1, K2 jsou kružnice se středem v (0, 0) o poloměrech 1 a 2. Přitom
K2 ⊂ M a K1 ∩ M = ∅.
Definice 11.5. Množina M je uzavřená, jestliže obsahuje svou hranici.1
Věta 11.6 (Weierstrassova věta o extremálních hodnotách). Funkce spojitá na ohraničené
uzavřené množině nabývá v ní své největší a nejmenší hodnoty.
Všechny předpoklady věty 11.6 jsou podstatné a nelze je vynechat.2
11.2. Největší a nejmenší hodnota funkce v ohraničené uzavřené oblasti
Řešení praktických úloh často přivádí k potřebě nalezení extremálních hodnot spojité
funkce na uzavřené omezené množině. Takových hodnot funkce nabývá buď v bodech
lokálního extrému nebo na hranici množiny, a pro jejich určení lze postupovat takto.
(1) Nalézt stacionární body a hodnoty funkce v těchto bodech.
1Z uvedených definic odvodíme, že otevřenou je množina, jež neobsahuje žádné body své hranice.
2Toto poznáme již pro funkce jedné proměnné. Např. funkce f1(x) = 1/x, f2(x) = 1 − x nenabývají
maximální hodnoty na M = (0, 1] (M není uzavřená); f3(x) = x
x+1 je omezená na M = [0, +∞), avšak
nenabývá tam maximální hodnoty (M je neomezená).
1
(2) Vypočítat největší a nejmenší hodnoty funkce na hranici oblasti.
(3) Vzít největší a nejmenší z nalezených hodnot.
11.3. Příklady
Příklad 11.7. Pro libovolné a > 0 najděme největší a nejmenší hodnoty funkce
f(x, y) = x2
− y2
+ 2a2
v kruhu x2
+ y2
≤ a2
.
Řešení. Jelikož f′
x = 2x, f′
y = −2y, jediným stacionárním bodem je (0, 0), v němž
f(0, 0) = 2a2
.
Nalezněme největší a nejmenší hodnotu f na hranici kruhu, tj. na kružnici x2
+y2
= a2
.
Pro (x, y) ležící na této kružnicí máme
f(x, y) = x2
− y2
+ 2a2
= x2
− (a2
− x2
) + 2a2
= 2x2
+ 2a2
,
a tudíž se jedná o minimalizaci a maximalizaci funkce jedné proměnné g(x) = 2x2
+ a2
pro −a ≤ x ≤ a (neboť body kružnice x2
+ y2
= a2
mají |x| ≤ a).
Stacionárním bodem g je x = 0, pak g(0) = a2
. V krajních bodech intervalu, tj. v
bodech x = ±a, máme g(±a) = 3a2
.
Pak odvodíme, že f nabývá největší hodnoty 3a2
v bodech (−a, 0) a (a, 0) a nejmenší
hodnoty a2
v bodech (0, −a) a (0, a). (Nejmenší hodnoty a2
funkce nabývá v bodech
kružnice x2
+ y2
= a2
pro x = 0, tj. y = ±a). □
Příklad 11.8. Určeme největší a nejmenší hodnotu funkce
f(x, y) = x2
y + xy2
+ xy
v uzavřené oblasti M ohraničené křivkami x = 1, x = 2, y = −3
2
, y = 1
x
.
Řešení. Zderivováním obdržíme f′
x(x, y) = 2xy + y2
+ y, f′
y(x, y) = 2xy + x2
+ x.
Stacionární body se pak určují ze soustavy rovnic 2xy + y2
+ y = 0, 2xy + x2
+ x = 0, tj.
y(2x + y + 1) = 0, x(x + 2y + 1) = 0.
Dostáváme stacionární body (0, 0), (−1, 0), (0, −1), dále pak z rovnic
2x + y + 1 = 0, x + 2y + 1 = 0.
obdržíme třetí bod (−1
3
, −1
3
). Žádný z těchto bodů však neleží v množině M (viz obrázek
11.1). Musíme tedy vyšetřovat hodnoty funkce na hranici oblasti M.
Vyšetřeme extremální hodnoty funkce na hranici množiny M. Hranicí je křivka sestavená
z úseků AB, BC, CD a DA, na nichž extremální hodnoty funkce vyšetříme zvlášť.
Na úseku AB je x = 1, f(1, y) = y2
+2y =: g1(y), kde −3
2
≤ y ≤ 1. Pak g′
1(y) = 2y+2,
stacionární bod je y = −1. Hodnoty funkce g1 v stacionárním bodě a v koncových bodech
intervalu jsou
g1(−1) = −1, g1(1) = 3, g1 −
3
2
= −
3
4
. (1)
Na BC je y = 1
x
, f x, 1
x
= x + 1
x
+ 1 =: g2(x), kde 1 ≤ x ≤ 2. Pak g′
2(x) = 1 − 1
x2 ,
stacionární body jsou x = ±1. V intervalu [1, 2] leží pouze bod x = 1. Dostaneme hodnoty
g2(1) = 3, g2(2) =
7
2
. (2)
2
(a) (b)
Obrázek 11.1. Oblast ohraničená křivkami x = 1, x = 2, y = −3
2
, y = 1
x
.
Na CD je x = 2, f (2, y) = 2y2
+ 6y =: g3(y), kde −3
2
≤ y ≤ 1
2
. Pak g′
3(x) = 4y + 6,
stacionární bod je y = −3
2
. Dostaneme hodnoty
g3 −
3
2
= −
9
2
, g3
1
2
=
7
2
. (3)
Nakonec, na DA je y = −3
2
, f x, −3
2
= −3
2
x2
+ 3
4
x =: g4(x), kde 1 ≤ x ≤ 2. Pak
g′
4(x) = −3x + 3
4
, stacionární bod je x = 1
4
, ten však neleží v [1, 2]. Proto vypočtěme
hodnoty v koncových bodech intervalu:
g4 (1) = −
3
4
, g4 (2) = −
9
2
. (4)
Porovnáme-li hodnoty vypočtené v (1), (2), (3), (4), obdržíme
fmax = f 2,
1
2
=
7
2
, fmin = f 2, −
3
2
= −
9
2
.
Extremálních hodnot tedy funkce nabývá v bodech hranice uvažované množiny. □
Příklad 11.9 (úloha o maximálním zisku). Vyrábí se dva druhy zboží, jejichž ceny
jsou P1 a P2 za jednotku. Popište, jak určit maximální zisk z prodeje vyrobeného zboží, jeli
známa funkce výrobních a vedlejších výdajů S. Určete maximální zisk za předpokladu,
že P1 = 8, P2 = 10, a funkcí výdajů je
S(x1, x2) = x2
1 + x1x2 + x2
2.
Řešení. Buďte x1, x2 množství vyrobeného zboží každého z druhů. Funkce zisku je
f(x1, x2) = P1x1 + P2x2 − S(x1, x2),
kde S(x1, x2) jsou související výdaje. Maximalizovat zisk znamená najít maximum veličiny
f(x1, x2), kde x1 ≥ 0, x2 ≥ 0. Jelikož f′
xi
= Pi − S′
xi
, i = 1, 2, rovnice pro určení
stacionárních bodů budou
P1 = S′
x1
(x1, x2), P2 = S′
x2
(x1, x2).
Pro stanovené konkretní parametry úlohy cílovou funkcí, jejíž maximum hledáme, bude
f(x1, x2) = 8x1 + 10x2 − x2
1 − x1x2 − x2
2. (5)
3
(a) (b)
(c) (d)
Obrázek 11.2. Hranice oblasti ohraničené křivkami x = 1, x = 2, y =
−3
2
, y = 1
x
.
Jelikož f′
x1
(x1, x2) = 8 − 2x1 − x2 a f′
x2
(x1, x2) = 10 − 2x2 − x1, rovnice pro stacionární
body budou
2x1 + x2 = 8, 2x2 + x1 = 10.
Z těchto rovnic najděme stacionární body: x2 = 8 − 2x1, 2 (8 − 2x1) + x1 = 10,
6 − 3x1 = 0, x1 = 2, x2 = 8 − 2x1 = 4. Jediným stacionárním bodem je (x0, y0) = (2, 4).
Pro určení typu extrému zapišme derivace druhého řádu f′′
x1x1
= (8 − 2x1 − x2)′
x1
= −2,
f′′
x1x2
= (8−2x1 −x2)′
x2
= −1, f′′
x1x2
= (10−2x2 −x1)′
x2
= −2 a sestrojme Hessovu matici
H(2, 4) =
f′′
x1x1
(2, 4) f′′
x1x2
(2, 4)
f′′
x2x1
(2, 4) f′′
x2x2
(2, 4)
=
−2 −1
−1 −2
.
Jelikož |H(2, 4)| = 4−1 = 3 > 0, extrém v tomto bodě je, přičemž je to lokální maximum,
neboť f′′
x1x1
(2, 4) = −2 < 0.
4
Obrázek 11.3
Zjistili jsme, že v bodě (2, 4) má cílová funkce (5) lokální maximum o hodnotě f(2, 4) =
16 + 40 − 4 − 8 − 16 = 28. Na hranici množiny M = [0, ∞) × [0, ∞), jež je sjednocením
kladných částí souřadných os, má funkce hodnotu 0: f(x1, 0) = f(0, x2) = 0. Bod (2, 4)
je jediným bodem lokálního extrému, všude jinde tečna rovina není ve vodorovné poloze
(obrázek 11.3).
Maximální zisk tedy zajistí volba x1 = 2, x2 = 4, to jest pro dosažení maximálního
zisku za daných podmínek je potřeba vyrobit 2 jednotky zboží 1. druhu a 4 jednotky
zboží 2. druhu. □
5