PŘEDNÁŠKA 1
Číselná posloupnost
1.1. Opakování
Přirozená a celá čísla, racionální a iracionální čísla, reálná čísla, komplexní čísla
1.2. Definice, vlastnosti
Definice 1.1. Číselnou posloupností rozumíme nekonečnou posloupnost po sobě v
radě jdoucích čišel xn, n = 1, 2, . . . .
Příklady:
xn = n 1, 2, 3, . . .
xn =
1
n
1,
1
2
,
1
3
,
1
4
. . .
xn =
(−1)n
n
− 1,
1
2
, −
1
3
,
1
4
. . .
Číselná posloupnost xn, n = 1, 2, . . . . Ohraničená? Rostoucí, klesající? Má vlastní
(konečnou) limitu? Má nevlastní limitu (±∞)?
1.3. Limita
Definice 1.2. Číslo L ∈ R je limitou posloupnosti {xn : n ≥ 1}, jestliže k libovolně
malému kladnému číslu ε existuje Nε takové, že pro všechna n ≥ Nε platí |xn − L| < ε.
Zmíněné číslo značíme Nε, neboť jeho hodnota závisí na zvolené hodnotě ε.
1.4. Bolzanova-Cauchyova podmínka
Definice 1.3. Číselná posloupnost {xn : n ≥ 1} splňuje Bolzanovu-Cauchyovu podmínku,
jestliže ke každému libovolně malému kladnému ε lze najít Nε takové, že pro
všechna n, m ≥ Nε platí
|xn − xm| < ε.
Věta 1.1. Posloupnost {xn : n ≥ 1} splňuje Bolzanovu-Cauchyovu podmínku tehdy
a pravě tehdy, když existuje číslo L takové, že
lim
n→+∞
xn = L.
1
1.5. Srovnávací věta
Věta 1.2. Buďte {xn : n ≥ 1} a {yn : n ≥ 1} dvě číselné posloupnosti a nechť existují
limn→+∞ xn a limn→+∞ yn.
(1) Jestliže existuje N takové, že pro všechna n ≥ N platí xn ≤ yn, pak
lim
n→+∞
xn ≤ lim
n→+∞
yn.
(2) Jestliže
lim
n→+∞
xn < lim
n→+∞
yn,
pak lze najít N tak, aby pro všechna n ≥ N platilo xn < yn.
1.6. Věta o sevření („věta o dvou policajtech“)
Věta 1.3. Buďte {xn : n ≥ 1}, {yn : n ≥ 1} a {zn : n ≥ 1} číselné posloupnosti a
nechť existují limn→+∞ xn a limn→+∞ yn a jsou si rovné:
lim
n→+∞
xn = lim
n→+∞
yn = L.
Existuje-li N takové, že pro všechna n ≥ N platí
xn ≤ zn ≤ yn,
pak existuje limn→+∞ zn a
lim
n→+∞
zn = L.
1.7. Aritmetika limit
Aritmetika limit: existují-li lim xn = a, lim yn = b, pak lim(xn +yn) = ab, lim(xnyn) =
ab a pro b ̸= 0 i lim xn
yn
= a
b
.
1.8. Limita monotónní posloupnosti
Monotónní posloupnost: rostoucí (neklesající) nebo klesající (nerostoucí). Rostoucí
nebo klesající: ryze monotonní.
Věta 1.4. Monotónní posloupnost má vždy limitu (možná nevlastní). Limita omezené
monotónní posloupnosti je vždy vlastní.
1.9. Podposloupnosti
Buď {xn : n ≥ 1} číselná posloupnost. Její podposloupnost je posloupnost typu
{xkn : n ≥ 1}, kde k1 < k2 < k3 < . . . je nekonečna posloupnost přirozených čišel.
Příklady:
{x2n−1 : n ≥ 1}, liché cleny: x1, x3, x5, . . .
{x2n : n ≥ 1}: x2, x4, x8, . . .
Věta 1.5. Číselná posloupnost má limitu tehdy a pravě tehdy, když všechny její
podposloupnosti konvergují a jejich limity jsou stejné.
Dokázat, že jistá posloupnost limitu nemá: najít dvě podposloupnosti konvergující k
různým limitám.
Věta 1.6 (Bolzanova–Weierstrassova). Z každé omezené posloupnosti lze vybrat podposloupnost
mající vlastní limitu.
2
1.10. Hromadné body
Definice 1.4. Hromadným bodem posloupnosti {xn : n ≥ 1} nazýváme bod, v jehož
libovolně malém okolí se nachází nekonečně mnoho členů posloupnosti.
Tvrzení 1.1. (1) Každá posloupnost má hromadné body (je možné, že nevlastní).
(2) Posloupnost má limitu tehdy a právě tehdy, když má jediný hromadný bod.
(3) Bod c je hromadným bodem posloupnosti tehdy a právě tehdy, když v dané
posloupnosti existuje nějaká konvergentní podposloupnost, pro níž je c limitou.
1.11. Limes superior a limes inferior
Limes superior (horní limita) a limes inferior (dolní limita): největší resp. nejmenší
hromadný bod dané posloupnosti.
Definice 1.5. Buď {xn : n ≥ 1} nekonečná posloupnost. Je-li ohraničená shora,
lim sup
n→∞
xn = lim
n→∞
sup
k≥n
xk
a pro shora neohraničenou klademe lim supn→∞ xn = +∞.
Je-li ohraničená zdola,
lim inf
n→∞
xn = lim
n→∞
inf
k≥n
xk
a pro zdola neohraničenou klademe lim infn→∞ xn = −∞.
Tvrzení 1.2. (1) Vždy je lim infn→∞ xn ≤ lim supn→∞ xn;
(2) lim infn→∞ xn = lim supn→∞ xn právě tehdy, když existuje limn→∞ xn;
(3) lim supn→∞(−xn) = − lim infn→∞ xn.
Příklad 1.1. Vyšetřeme hromadné body posloupnosti
xn =
1
2
(2 + (−1)n+1
), n = 1, 2, . . .
Řešení. Pro libovolné přirozené k je
x2k =
1
2
(2 + (−1)2k+1
) =
1
2
(2 − 1) = −
1
2
,
x2k−1 =
1
2
(2 + (−1)2k−1+1
) =
1
2
(2 + 1) =
3
2
,
přičemž tyto vzorce vyčerpají všechny možnosti. Hromadné body jsou
−
1
2
= lim inf
n→∞
xn,
3
2
= lim sup
n→∞
xn.
Limita limn→∞ xn neexistuje.
3