PŘEDNÁŠKA 2
Limita funkce
2.1. Limita funkce v nevlastním bodě
Limitou výrazu f(x) v nevlastním bodě rozumíme hodnotu, k níž se f(x) blíží při
x → +∞ anebo x → −∞. Taková hodnota, obecně řečeno, existovat nemusí.
2.1.1. Vlastní limita v nekonečnu
Buď f funkce definovaná na (a, +∞). Limitu f(x) pro x → +∞ lze definovat podobně
definici limity číselné posloupnosti.
Definice 2.1. Číslo L ∈ R je limitou funkce f pro x → +∞:
L = lim
x→+∞
f(x),
jestliže k libovolně malému kladnému číslu ε existuje číslo Tε takové, že pro všechna
x ≥ Tε platí
|f(x) − L| < ε.
Zde hodnota L je reálné číslo, limita je vlastní. Limita pro x → −∞ se definuje
obdobně.
Příklad 2.1. Platí
lim
x→+∞
2−x
= 0.
Důkaz. Hodnota 2−x
= 1
2x klesá k 0 pro x → +∞ a tudíž bude L = 0. Aby platilo
|2−x
− L| = |2−x
− 0| = 2−x
=
1
2x
< ε
stačí, aby 2x
> 1
ε
= 2log2
1
ε , tj. (vzhledem k tomu, že x → 2x
je rostoucí) aby bylo x
dostatečně velké: x > log2
1
ε
. □
2.1.2. Nevlastní limita v nekonečnu
Limita je nevlastní, jestliže je L = +∞ nebo L = −∞.
Definice 2.2. (1) limx→+∞ f(x) = +∞, jestliže k libovolně velkému A existuje
rA takové, že pro všechna x ≥ rA platí f(x) > A.
(2) limx→+∞ f(x) = −∞, jestliže k libovolně velkému A existuje rA takové, že pro
všechna x ≥ rA platí f(x) < −A.
Limita pro x → −∞ se definuje obdobně.
Příklad 2.2. Platí
lim
x→+∞
2x
= +∞.
1
Důkaz. Hodnota 2x
je pro x → +∞ neomezeně rostoucí. Pro libovolně velké A bude
2x
> A, je-li 2x
> 2log2 A
, tj. x > log2 A. □
2.2. Limita funkce ve vlastním bodě
Mějme funkci f : I → R s definičním oborem I ⊂ R. Buď c ∈ R (je možné, že c ̸∈ I
a f(c) není definováno).
Definice 2.3. Říkáme, že bod c je hromadným bodem množiny I, jestliže v každém
okolí bodu c jsou nějaké body množiny I.
Táto vlastnost znamená, že se k bodu c lze jakkoliv těsně přiblížit pomocí bodů
množiny I.
Je-li c je hromadným bodem množiny I, má smysl uvažovat, jak se f(x) chová, když
se x ∈ I přibližuje k c.
Nechť dále c je hromadný bod pro I.
2.2.1. Limita funkce v bodě: definice jazykem “ε . . . δ”
Definice 2.4. Číslo L ∈ R je limitou funkce f v bodě c:
L = lim
x→c
f(x),
jestliže k libovolně malému kladnému číslu ε existuje δε takové, že pro všechna x splňující
|x − c| < δε platí
|f(x) − L| < ε.
Význam této vlastnosti: při x se blížícím k c se hodnota f(x) blíží k L.
2.2.2. Nevlastní limity
Definice 2.5. Říkáme, že f má v bodě c limitu rovnou +∞:
lim
x→c
f(x) = +∞,
jestliže k libovolně velkému číslu A existuje δA takové, že pro všechna x splňující |x−c| <
δA platí f(x) > A.
Obdobně se definuje limx→c f(x) = −∞.
2.2.3. Limita funkce v bodě: definice jazykem posloupností
Totéž lze definovat přes limity číselných posloupností:
Definice 2.6. L ∈ R, L = limx→c f(x), jestliže platí
lim
n→+∞
f(xn) = L
pro libovolnou posloupnost čísel {xn : n = 1, 2, . . . } takovou, že limn→+∞ xn = c.
Lze dokázat, že definice 2.5 a 2.6 mají stejný vyznám.
2
2.3. Jednostranné limity
Jednostranná limita
lim
x→c+
f(x)
(čteme: “limita f(x) pro x → c zprava”) se definuje podobně limitě limx→c f(x) s tím
rozdílem, že x → c zprava, tj. x → c a vždy x > c. Obdobně se definuje limx→c− f(x).
Totéž lze formulovat jazykem číselných posloupností podobně odst. 2.2.3.
Definice 2.7. L ∈ R je limitou funkce f v bodě c zprava (L = limx→c+ f(x)),
jestliže limn→+∞ f(xn) = L pro každou posloupnost čísel {xn : n = 1, 2, . . . } takovou, že
limn→+∞ xn = c a xn > c pro všechna n.
Definice 2.8. L ∈ R je limitou funkce f v bodě c zleva (L = limx→c− f(x)), jestliže
limn→+∞ f(xn) = L pro každou posloupnost čísel {xn : n = 1, 2, . . . } takovou, že
limn→+∞ xn = c a xn < c pro všechna n.
Příklad 2.3. Platí
lim
x→0+
√
x = 0, lim
x→0+
ln x = −∞.
Řešení. Výsledky jsou zcela zřejmé; poznamenejme jen, že lze uvažovat pouze jednostrannou
limitu pro x → 0+, jelikož jsou funkce x →
√
x a x → ln x definovány pouze
pro x > 0.
Věta 2.1. Limita limx→c f(x) existuje tehdy a právě tehdy, když v bodě c existují
obě dvě jednostranné limity a
lim
x→c+
f(x) = lim
x→c−
f(x).
Příklad 2.4. Buď m přirozené číslo. Dokažme, že limita
lim
x→0
1
xm
je rovna +∞ pro m sudé a neexistuje pro m liché.
Řešení. Pro libovolné přirozené k
lim
x→0+
1
x2k
= +∞, lim
x→0−
1
x2k
= +∞
a proto limx→0
1
x2k = +∞. Budeme-li uvažovat 1
x2k+1 pro x → 0 (x > 0), obdržíme, že
0 < 1
x2k+1 = 1
x2k
1
x
→ +∞. Stejně tak obdržíme, že 0 > 1
x2k+1 = 1
x2k
1
x
→ −∞. Proto je
lim
x→0+
1
x2k+1
= +∞, lim
x→0−
1
x2k+1
= −∞
a dle věty 2.1 limita limx→0
1
x2k+1 neexistuje.
2.4. Neurčité výrazy
S využitím pojmu limity lze matematicky precizně vyšetřovat tzv. neurčité výrazy, jež
vznikají v důsledku dosazení do vzorce buď ±∞ nebo hodnoty, kde není výraz korektně
definován (viz tabulka1
2.1).
Např. 0 · ∞ znamená limitu tvaru
lim
x→c
f(x)g(x),
1I když v případě 1
∞ lze říci, že limx→c
1
g(x) = 0 vždy, když limx→c g(x) je +∞ nebo −∞, je správné
takové výrazy chápat pořád jako neurčité a neoperovat s +∞ a −∞ jako s čísly.
3
0
0
∞
∞
0 · ∞ ∞ − ∞ 1∞
∞0
00 1
0
1
∞
Tabulka 2.1. Neurčité výrazy
kde limx→c f(x) = 0 a limx→c g(x) je +∞ nebo −∞ (anebo takovou je nějaká jednostranní
limita). Je to výraz neurčitý, neboť pro různé funkce f a g se chování součinu f(x)g(x)
při x → c může lišit a tudíž výsledek obecně nelze jednoznačně určit. Vskutku, je-li c = 0,
(1) pro f(x) = x, g(x) = 1
x
bude
lim
x→0
f(x)g(x) = lim
x→0
x
1
x
= lim
x→0
1 = 1;
(2) pro f(x) = x2
, g(x) = 1
x
bude
lim
x→0
f(x)g(x) = lim
x→0
x2 1
x
= lim
x→0
x = 0;
(3) pro f(x) = x, g(x) = 1
x3 bude
lim
x→0
f(x)g(x) = lim
x→0
x
1
x3
= lim
x→0
1
x2
= +∞;
(4) pro f(x) = x, g(x) = 1
x2 limita
lim
x→0
f(x)g(x) = lim
x→0
x
1
x2
= lim
x→0
1
x
neexistuje,2
přičemž v každém z těchto případů se jedná o neurčitý výraz typu 0 · ∞.
Příklad 2.5. Vypočtěme
lim
x→1
x − 1
x2 − 4x + 3
.
Řešení. Jelikož
x − 1
x2 − 4x + 3
=
f(x)
g(x)
,
kde f(1) = g(1) = 0, jedná se o neurčitý výraz typu 0
0
pro x → 1. Funkce f a g jsou
polynomy a pro každý z nich číslo 1 je kořenem. Platí g(x) = (x − 1)(x − 3) a proto
lim
x→1
x − 1
x2 − 4x + 3
= lim
x→1
x − 1
(x − 1)(x − 3)
= lim
x→1
1
x − 3
= −
1
2
.
Poznamenejme, že bez využití pojmu limity chováni funkce x → x−1
x2−4x+3
v okolí bodu 1
vyšetřit nedokážeme, neboť dosazení x = 1 vede na neurčitý výraz 0
0
.
2.5. Významné limity
jsou zejména tyto:
lim
x→0
sin x
x
= 1, lim
x→0
ex
− 1
x
= 1,
lim
x→0
ln(1 + x)
x
= 1, lim
x→+∞
1 +
1
x
x
= 1.
2viz příklad 2.4
4
2.6. Vlastnosti limit
Věta 2.2. Existují-li konečné limx→c f(x) a limx→c g(x), platí
limx→c
(f(x) + g(x)) = limx→c
f(x) + limx→c
g(x),
lim
x→c
(f(x)g(x)) = lim
x→c
f(x) · lim
x→c
g(x),
lim
x→c
f(x)
g(x)
=
limx→c f(x)
limx→c g(x)
(je-li lim
x→c
g(x) ̸= 0).
Příklad 2.6. Vypočtěme
lim
x→0
sin 2x
e2x − 1
.
Řešení. Jedná se o typ 0
0
. Úpravou obdržíme
lim
x→0
sin 2x
e2x − 1
= lim
x→0
sin 2x
2x
2x
e2x − 1
= lim
x→0
sin 2x
2x
· lim
x→0
2x
e2x − 1
= 1,
neboť limity limx→0
sin 2x
2x
a limx→0
2x
e2x−1
existují a jsou rovny 1 (pro x → 0 je 2x → 0 a
naopak; tudíž dle odst. 2.5 limx→0
sin 2x
2x
= limt→0
sin t
t
= 1).
Věta 2.3. Je-li funkce v omezená v okolí bodu c a limx→c u(x) = 0, pak bude
lim
x→c
u(x)v(x) = 0.
Důkaz. Dle předpokladu existuje K > 0 takové, že v nějakém okolí bodu c je |v(x)| ≤
K. Pak bude |u(x)v(x)| ≤ K|u(x)| → 0 pro x → c. □
Příklad 2.7. Vypočteme
lim
x→+∞
x cos(2x
)
3
√
x4 − 1
.
Řešení. U podílu x
3
√
x4−1
se jedná o výraz typu ∞
∞
. Zadání upravme takto:
lim
x→+∞
x cos(2x
)
3
√
x4 − 1
= lim
x→+∞
cos(2x
)
x
3
√
x4 − 1
= lim
x→+∞
cos(2x
)
x
3
x4 1 − 1
x4
= lim
x→+∞
cos(2x
)
x
x
4
3
3
1 − 1
x4
= lim
x→+∞
cos(2x
)
1
x
1
3
3
1 − 1
x4
.
Pak dle věty 2.3 obdržíme
lim
x→+∞
x cos(2x
)
3
√
x4 − 1
= 0,
jelikož je vždy | cos(2x
)| ≤ 1 a limx→+∞ x
1
3
3
1 − 1
x4 = +∞.
2.7. Důkaz neexistence limity
2.7.1. S užitím jednostranných limit
Důkaz neexistence limity lze provést podle věty 2.1: limita limx→c f(x) neexistuje,
jestliže neexistuje alespoň jedna z jednostranných limit limx→c+ f(x), limx→c− f(x) anebo
obě dvě jednostranné limity existují, avšak mají různé hodnoty (viz příklad 2.4).
5
2.7.2. S užitím vybraných posloupností
Dle definice 2.6 limita limx→c f(x) existuje a je rovna L právě když
lim
n→+∞
f(xn) = L
pro libovolnou posloupnost {xn : n = 1, 2, . . . } takovou, že limn→+∞ xn = c. Tudíž, pro
neexistenci limity limx→c f(x) bude stačit, najdeme-li dvě posloupnosti {xn : n = 1, 2, . . . }
a {˜xn : n = 1, 2, . . . } s limn→+∞ xn = limn→+∞ ˜xn = c takové, že
lim
n→+∞
f(xn) = L, lim
n→+∞
f(˜xn) = ˜L
a L ̸= ˜L.
Příklad 2.8. Dokažme, že funkce f(x) = x sin x nemá limitu pro x → +∞ ani pro
x → −∞.
Řešení. Hodnoty funkce f při x rostoucím v kladných číslech neustále kolísají, přičemž
hodnoty funkce postupně zaplňují intervaly tvaru ⟨−A, A⟩, kde A roste neomezeně (viz
obrázek 2.1). Lze uplatnit myšlenku s vybráním dvou různých cest pro x → +∞, jež
vedou na různé výsledky pro hodnoty funkce.
Zvolme nekonečné posloupnosti {xn : n = 1, 2, . . . } a {˜xn : n = 1, 2, . . . }, např., tak,
aby platilo
sin xn = 1, sin xn = 0
pro každé n. Stačí vzít
xn =
π
2
+ 2πn, ˜xn = πn.
Je zřejmé, že limn→+∞ xn = limn→+∞ ˜xn = +∞. Pak bude
lim
n→+∞
f(xn) = lim
n→+∞
xn sin xn = lim
n→+∞
π
2
+ 2πn = +∞,
lim
n→+∞
f(˜xn) = lim
n→+∞
˜xn sin ˜xn = 0,
což dokazuje neexistenci limity limx→+∞ f(x). Navíc je funkce f sudá a tudíž neexistuje
ani limx→−∞ f(x).
Příklad 2.9. Dokažme, že funkce f(x) = sin 1
x
nemá limitu pro x → 0.
Řešení. Pro x → 0+ je 1
x
→ +∞. Proto funkce v okolí bodu 0 neustále kmitá
mezi hodnotami −1 a 1, přičemž při přiblížení k 0 intenzita kmitů porad narůstá (viz
obrázek 2.2). Zvolme posloupnosti {xn : n = 1, 2, . . . } a {˜xn : n = 1, 2, . . . } tak, aby bylo
sin
1
xn
= 1, sin
1
xn
= 0
pro každé n. Je zřejmé, že toto bude platit, jestliže
xn =
1
π
2
+ 2πn
, ˜xn =
1
πn
, (2.1)
přičemž obě dvě posloupnosti (2.1) jsou kladné a limn→+∞ xn = limn→+∞ ˜xn = 0. Pak
pro každé n bude
f(xn) = sin
1
xn
= sin
π
2
+ 2πn = 1, f(˜xn) = sin
1
˜xn
= sin πn = 0
6
Obrázek 2.1. Graf funkce y = x sin x
Obrázek 2.2. Graf funkce y = sin 1
x
a proto limn→+∞ f(xn) ̸= limn→+∞ f(˜xn). Dokázali jsme, že neexistuje limita zprava
limx→0+ f(x) a tudíž neexistuje ani3
limx→0 f(x) .
2.8. Substituce v limitě
Věta 2.4. Buďte f funkce definovaná v okolí bodu A a g funkce definovaná v okolí
bodu c. Existují-li
lim
x→A
f(x) = B, limx→c
g(x) = A,
pak bude existovat i
lim
x→c
f(g(x)) = B.
Příklad 2.10. Vypočtěme
lim
x→+∞
sin
1
x
.
3Vhledem k lichosti funkce f je jasné, že neexistuje ani limx→0− f(x).
7
Řešení. Pro f(x) = sin x je f(0) = 0 a veličina 1
x
klesá k 0 pro x → +∞. Proto lze
aplikovat větu 2.4 s g(x) = 1
x
, pro níž je limx→+∞ g(x) = 0:
lim
x→+∞
sin
1
x
= lim
x→+∞
f
1
x
= lim
x→+∞
f (g(x)) = 0.
Lze si také všimnout, že pro dostatečné velké x (x > 1
π
) bude 0 < 1
x
< π a tudíž
sin 1
x
> 0, tj. se křivka blíží k ose x shora (viz obrázek 2.2).
2.9. Spojitost funkce
Spojitou funkci si představujeme tak, že její grafem je křivka, kterou lze nakreslit bez
přerušení „jedním tahem“. Přesná definice využívá pojmu limity.
2.9.1. Spojitost funkce v bodě
Definice 2.9. Funkce f je spojitá v bodě c, jestliže f(x) → f(c) pro x → c:
lim
x→c
f(x) = f(c).
Funkce f je spojitá na otevřeném intervalu I, jestliže je spojitá v každém jeho bodě.
Věta 2.5. Buďte g funkce spojitá v okolí bodu c a f funkce spojitá v okolí bodu g(c).
Pak bude složená funkce x → f(g(x)) spojitá v v okolí bodu c.
Příklad 2.11. Funkce x → 2cos x
, x → sin(3−x
), x → 4
√
x2 + 1 jsou spojité na
(−∞, ∞). Funkce x → sin(ln x) je spojitá na (0, +∞).
2.9.2. Metoda bisekce
Věta 2.6. Je-li funkce f spojitá na intervalu (a, b) a platí f(a)f(b) < 0, pak existuje
bod ξ ∈ (a, b), v němž f(ξ) = 0.
Na tomto tvrzení je založena tzv. metoda bisekce přibližného určení řešení rovnice
f(x) = 0. (2.2)
Tato metoda spočívá v následujícím. Položme a0 = a, b0 = b a vypočtěme hodnotu f
v bodě 1
2
(a0 +b0) (střed intervalu (a0, b0)). Je-li f(a0)f(1
2
(a0 +b0)) < 0, vezměme a1 = a0,
b1 = 1
2
(a0 + b0), v opačném případě4
položme a1 = 1
2
(a0 + b0), b1 = b0. Pokračujme
obdobně na intervalu (a1, b1) atd. Obdržíme posloupnost zužujících se intervalů (an, bn)
takových, že platí
f(an)f(bn) < 0
pro všechna n = 0, 1, . . . . Jelikož
bn − an =
1
2n
(b − a) → 0, n → +∞,
budou an a bn konvergovat k řešení rovnice (2.2).
4Vyjde-li hodnota f ve středu intervalu 0, znamená to, že řešení rovnice (2.2) jsme již nalezli.
8
2.9.3. Druhy bodů nespojitosti
jsou následující:
(1) existuje limx→c f(x), ale limx→c f(x) ̸= f(c) nebo f(c) není definováno (odstranitelná
nespojitost)
(2) existují konečné jednostranné limity a limx→c− f(x) ̸= limx→c+ f(x) (typ I „skok“)
(3) alespoň jedna z limit limx→c− f(x) a limx→c+ f(x) je nevlastní nebo neexistuje
(typ II)
9