PŘEDNÁŠKA 3
Derivace funkce jedné proměnné
3.1. Pojem derivace: intuitivní představa
Buď f : R → R reálná funkce jedné reálné proměnné, jež popisuje vývoj určité
proměnné veličiny.
Intuitivní „definice“. Derivace funkce v bodě udává okamžitou rychlost růstu či
poklesu její hodnoty v daném bodě.
Poznámky:
(1) Výpočtem hodnoty funkce v bodě zodpovíme otázku „Čemu se rovná hodnota
uvažované proměnné veličiny v daném bodě?“
(2) Výpočtem hodnoty derivace funkce v bodě zodpovíme otázku „Jaká je okamžitá
rychlost změny uvažované proměnné veličiny v daném bodě?“
Okamžitou rychlost změny hodnoty funkce v bodě intuitivně chápeme jako míru
změny funkce v poměru k nekonečně malému přírůstku nezávisle proměnné v okolí tohoto
bodu.
3.2. Fyzikální interpretace derivace
3.2.1. Pohyb hmotného bodu: rovnoměrný pohyb
Pojem derivace přirozeně vzniká při řešení fyzikální úlohy o pohybu hmotného bodu.
Uvažujme přímočarý pohyb hmotného bodu; proměnné veličiny jsou čas, dráha, rychlost:
• t je čas (t ≥ t0)
• s(t) je dráha, kterou bod urazí za t jednotek času
• v(t) ?
Pro rovnoměrný pohyb je rychlost v(t) = v je konstantní:
s(t) = s(t0) + v(t − t0),
to jest v každém časovém okamžiku t platí
v =
s(t) − s(t0)
t − t0
.
3.2.2. Pohyb hmotného bodu: zrychlený pohyb
Pro zrychlený pohyb rychlost v(t) není konstantní. Jak v(t) určit?
Časový interval (t0, t); průměrná rychlost bude
v =
s(t) − s(t0)
t − t0
.
1
Obrázek 3.1. Příklady veličin, jež se mění s konstantní rychlostí (v = 1
2
a v = 1
5
)
Okamžitá rychlost v(t) v čase t? Je-li t blízko k t0, pak v(t) je přibližné rovná průměrné
rychlosti na intervalu mezi t0 a t:
v(t) ≈
s(t) − s(t0)
t − t0
.
Pro stanovení okamžité rychlosti v(t) se nabízí limitní přechod pro t → t0.
Zvolme libovolné t0. Okamžitá rychlost v t0 pak bude:
v(t0) = lim
t→t0
s(t) − s(t0)
t − t0
.
3.2.3. Definice derivace
Buďte f funkce a x0 bod z Df .
Definice 3.1. Existuje-li limita
limx→x0
f(x) − f(x0)
x − x0
= f′
(x0), (3.1)
nazýváme tuto limitu derivací funkce f v bodě x0 a značíme f′
(x0).
Je-li limita v (3.1) nevlastní, říkáme, že funkce f v bodě x0 má derivaci nevlastní. V
případě, když limita neexistuje, v daném bodě funkce derivaci nemá.
Postup nalezení derivace nazýváme derivováním.
Poznámka 3.1. Substitucí x − x0 = h lze (3.1) přepsat na tvar
lim
h→0
f(x0 + h) − f(x0)
h
= f′
(x0).
Poznámka 3.2. f′
je funkce x → f′
(x), přičemž Df′ ⊂ Df (je možné, že Df′ ̸= Df !)
3.2.4. Alternativní způsoby zápisu derivace
jsou f′
(x) = d
dx
f(x) = df(x)
dx
. Je-li y = y(x) funkce proměnné x, pak lze psát
y′
=
dy
dx
a formálně chápat tento výraz jako podíl přírůstku hodnoty závisle proměnné v poměru
k nekonečně malému přírůstku nezávislé proměnné.
2
Obrázek 3.2. Funkce y = |x| v bodě x = 0 derivaci nemá (není tečna).
Zápis dy
dx
preferujeme, chceme-li zdůraznit, že se derivuje podle x, nikoliv podle jiné
proměnné, již výraz y, možná, obsahuje. Např. d
dx
(αx3
+ x2
√
α) = 3αx2
+ 2
√
αx.
3.2.5. Existence derivace
Tvrzení 3.1. (1) Existuje-li pro funkci v nějakém bodě derivace, pak je její hodnota
určena jednoznačně.
(2) Existence derivace je lokální vlastnost (hodnota derivace v bodě popisuje rychlost
růstu nebo poklesu funkce v okolí daného bodu a není ovlivněna chováním funkce
v jiných částech definičního oboru).
Věta 3.1. Má-li funkce v bodě vlastní derivaci, pak je v tomto bodě spojitá.
Opačné tvrzení neplatí (tj. jsou spojité funkce, jež v nějakých bodech derivaci nemají).
Poznámka 3.3. Derivace funkce v některém bodě neexistuje, jestliže v tomto bodě
nelze sestrojit tečnu. Existence derivace tedy znamená určitou hladkost křivky.
Příklad 3.1. Pro f(x) = |x| hodnota f′
(0) neexistuje.
Řešení. Limita limh→0
f(0+h)−f(0)
h
neexistuje, neboť
lim
h→0+
f(0 + h) − f(0)
h
= lim
h→0+
|h|
h
= 1, lim
h→0−
f(0 + h) − f(0)
h
= lim
h→0−
|h|
h
= −1.
Proto funkce f(x) = |x| v bodě 0 derivaci nemá. V bodě (0, 0) křivka nemá tečnu.
Pozorujeme nehladký charakter změny hodnot funkce v okolí bodu 0 (viz obrázek 3.2).
3.2.6. Jednostranné derivace
Jednostranné derivace f′
+(x0) a f′
−(x0) se definují podobným způsobem, když v (3.1)
vezmeme jednostranné limity:
lim
x→x0+
f(x) − f(x0)
x − x0
= f′
+(x0), lim
x→x0−
f(x) − f(x0)
x − x0
= f′
−(x0).
Tvrzení 3.2. Derivace f′
(x0) existuje právě tehdy, když existují f′
+(x0) a f′
−(x0) a
navíc je
f′
+(x0) = f′
−(x0).
3
Příklad 3.2. Pro f(x) = |x| je f′
+(0) = 1, f′
−(0) = −1 (viz příklad 3.1).
Jednostranné derivace uvažujeme zejména v blízkosti koncových bodů intervalu, na
němž je funkce definována.
3.3. Derivace některých elementárních funkcí
Uveďme příklady důkazu vzorců pro derivace některých elementárních funkcí. Tyto a
další běžně využívané vzorce nalezneme v tabulkách.
3.3.1. Derivace lineární funkce
Buď f(x) = ax + b. Pak platí
f′
(x) = lim
h→0
f(x + h) − f(x)
h
= lim
h→0
a(x + h) + b − ax − b
h
= lim
h→0
ah
h
= a.
Takto odvodíme vzorce:
(ax + b)′
= a
(b)′
= 0
3.3.2. Derivace exponenciální funkce
Je-li f(x) = eax
, bude
f′
(x) = lim
h→0
f(x + h) − f(x)
h
= lim
h→0
ea(x+h)
− eax
h
= lim
h→0
eax+ah
− eax
h
= lim
h→0
eax eah
− 1
h
= lim
h→0
aeax eah
− 1
ah
= lim
h→0
aeax
· lim
h→0
eah
− 1
ah
= a lim
h→0
eax
· 1 = aeax
.
(eax
)′
= aeax
(ex
)′
= ex
3.3.3. Derivace druhé mocniny
Pro f(x) = x2
bude
f′
(x) = lim
h→0
f(x + h) − f(x)
h
= lim
h→0
(x + h)2
− x2
h
= lim
h→0
x2
+ 2xh + h2
− x2
h
= lim
h→0
2xh + h2
h
= lim
h→0
(2x + h) = 2x.
Derivace druhé mocniny:
(x2
)′
= 2x.
4
3.3.4. Derivace druhé odmocniny
Je-li f(x) =
√
x pro x ≥ 0, bude
f′
(x) = lim
h→0
√
x + h −
√
x
h
= lim
h→0
√
x + h −
√
x
h
·
√
x + h +
√
x
√
x + h +
√
x
= lim
h→0
x + h − x
h(
√
x + h +
√
x)
= lim
h→0
h
h(
√
x + h +
√
x)
=
1
2
√
x
pro x > 0. V bodě 0 se jedná o limitu zprava
lim
h→0+
√
h
h
= lim
h→0+
1
√
h
= +∞
a proto bude f′
+(0) = +∞.
Derivace druhé odmocniny:
(
√
x)′
=
1
2
√
x
.
3.3.5. Derivace 1
x
Pro f(x) = 1
x
(x ̸= 0) bude
f′
(x) = lim
h→0
1
h
1
x + h
−
1
x
= lim
h→0
1
h
x
(x + h)x
−
x + h
x(x + h)
= lim
h→0
1
h
−h
x(x + h)
= − lim
h→0
1
x(x + h)
= −
1
x2
1
x
′
= −
1
x2
, (x−1
)′
= −x−2
3.4. Geometrický význam derivace
3.4.1. Směrnice přímky
Definice 3.2. Směrnicí přímky s rovnicí
y = kx + b (3.2)
nazýváme tangens úhlu ϕ, který přímka svírá s kladnou částí osy x.
Znázorníme-li přímku (3.2) na obrázku pro různé hodnoty k, snadno obdržíme, že je
směrnice tg α rovna k, přičemž pro k > 0 (resp. k < 0) přímka udává rostoucí (resp.
klesající) lineární funkci. Je-li k = 0, jedná se o přímku vodorovnou.
Velikost čísla k vyjadřuje rychlost růstu nebo klesání lineární funkce. Např., je-li k > 0
malé, bude přímka otočená ve směru růstu při zvetšení x a úhel α, jenž svírá s osou x,
bude malý.
5
x0x0
x1x1
f(x0)
f(x1)
f(x1) − f(x0)f(x1) − f(x0)
x1 − x0
tečna
sečna
αα1
0
Obrázek 3.3. Sečna a tečna
3.4.2. Sečna a tečna křivky
Sečna a tečna křivky jsou znázorněny na obrázku 3.3.
Definice 3.3. Sečna je spojnice bodů (x0, f(x0)) a (x, f(x)). Tečna ke grafu v bodě
(x0, f(x0)) vzniká jako limitní poloha této sečny pro x → x0.
Sestrojme sečnu v bodech (x0, f(x0)) a (x1, f(x1)). Rovnicí této sečny je
y − f(x0)
f(x1) − f(x0)
=
x − x0
x1 − x0
,
to jest
y = f(x0) +
f(x1) − f(x0)
x1 − x0
(x − x0)
Směrnicí této sečny dle odst. 3.4.1 je
tg α1 =
f(x1) − f(x0)
x1 − x0
.
Dle definice derivace je
lim
x1→x0
f(x1) − f(x0)
x1 − x0
= f′
(x0).
Limitní hodnotou směrnice sečny tedy je tg α = f′
(x0) (viz obrázek 3.3).
Tvrzení 3.3. Hodnota f′
(x0) udává směrnici tečny ke grafu funkce f v bodě
(x0, f(x0)). Je-li f′
(x0) nevlastní (tj. hodnota f′
(x0) je +∞ nebo −∞), bude tečna v
tomto bodě svislá.
Příklad svislé tečny nalezneme v odst. 3.3.4.
6
Obrázek 3.4. Tečna pro f(x) =
√
x v bodě (2,
√
2).
3.4.3. Rovnice tečny
Nechť má funkce f derivaci v bodě x0. Rovnicí tečny ke grafu této funkce v bodě
(x0, f(x0)) je
y = ax + b,
kde a = f′
(x0). Hodnotu b pak snadno určíme z podmínky, že bod (x0, f(x0)) je společným
pro křivku i tečnu:
f(x0) = f′
(x0)x0 + b
a tudíž b = f(x0) − f′
(x0)x0.
Tvrzení 3.4. Rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě (x0, f(x0)) je
y = f(x0) + f′
(x0)(x − x0).
Příklad 3.3. Najděme rovnici tečny pro funkci f(x) =
√
x v bodě (2,
√
2).
Řešení. Dle odst. 3.3.4 je f′
(x) = (
√
x)′
= 1
2
√
x
, f(2) =
√
2 ≈ 1.41, f′
(2) = 1
2
√
2
≈ 0.35.
Proto rovnice tečny v bodě (2,
√
2) je (viz obrázek 3.4)
y =
√
2 +
1
2
√
2
(x − 2).
3.4.4. Rovnice normály
Z geometrie víme, že směrnice k1 a k2 navzájem kolmých přímek splňují vztah
k1k2 = −1.
Proto dle tvrzení 3.4 platí
Tvrzení 3.5. Je-li f′
(x0) ̸= 0, pak rovnice normály ke grafu funkce f v bodě
(x0, f(x0)) je
y = f(x0) −
1
f′(x0)
(x − x0).
V případě, když f′
(x0) = 0, je v bodě (x0, f(x0)) normála svislá a má rovnici x = x0.
7
3.5. Výpočet derivace
Derivace základních elementárních funkcí nalezneme v tabulkách. Derivaci funkce, jež
je kombinací základních elementárních funkcí pomocí součtu, součinu, podílu a složení,
odvodíme s užitím odpovídajících vlastností derivace.
3.5.1. Derivace součtu
Tvrzení 3.6. Mají-li funkce f a g v bodě x derivaci, platí
(f(x) + g(x))′
= f′
(x) + g′
(x).
Příklad:
(3x3
− 2x2
+ 70)′
= (3x3
)′
− (2x2
)′
+ (70)′
= 9x2
− 4x.
3.5.2. Derivace součinu
Tvrzení 3.7. Mají-li funkce f a g v bodě x derivaci, platí
(f(x)g(x))′
= f′
(x)g(x) + f(x)g′
(x).
Důkaz. Vzorec pro derivaci součinu lze odvodit přibližné takto: přidáním a odečtením
výrazu f(x + h)g(x) obdržíme
f(x + h)g(x + h) − f(x)g(x)
h
=
f(x + h)[g(x + h) − g(x)] + [f(x + h) − f(x)]g(x)
h
= f(x + h)
g(x + h) − g(x)
h
+ g(x)
f(x + h) − f(x)
h
,
následně přejdeme k limitě pro h → 0. □
Příklad:
(x ln x)′
= x′
· ln x + x · (ln x)′
= ln x + x ·
1
x
= ln x + 1.
Důsledkem je pravidlo vytknutí konstantního činitele: pro libovolnou konstantu k platí
(kf(x))′
= kf′
(x).
3.5.3. Derivace složené funkce
Nejdůležitějším je pravidlo derivování složené funkce. Buďte f : Df → Hf , g : Dg →
R, kde Dg ⊂ Hf (obor hodnot f). Pak je definovaná složená funkce x → f(g(x)).
Věta 3.2 („Řetězové pravidlo“). Nechť funkce g má vlastní derivaci v bodě x0 a
nechť funkce f má vlastní derivaci v bodě g(x0). Pak má složená funkce x → f(g(x)) v
bodě x0 vlastní derivaci a platí:
(f(g(x0)))′
= f′
(g(x0)) g′
(x0).
Jinými slovy, existují-li g′
(x) a f′
(g(x)), platí
(f(g(x)))′
= f′
(g(x)) g′
(x).
8
Důkaz. Důkaz je založen na úpravách
(f(g(x))′
= lim
h→0
f(g(x + h)) − f(g(x))
h
= lim
h→0
f(g(x + h)) − f(g(x))
g(x + h) − g(x)
·
g(x + h) − g(x)
h
a rovností f′
(g(x)) = limb→g(x)
f(b)−f(g(x))
b−g(x)
. □
3.5.4. Derivace výrazu 1
g(x)
Tvrzení 3.8. Existuje-li g′
(x) a je-li g(x) ̸= 0, platí
1
g(x)
′
= −
g′
(x)
(g(x))2
.
Důkaz. Platí q(x) = 1
g(x)
= f(g(x)), kde f(t) = 1
t
. Již víme, že (1
t
)′
= − 1
t2 , proto
můžeme q zderivovat jako složenou funkci:
q′
(x) = (f(g(x)))′
= f′
(g(x)) g′
(x) = −
1
(g(x))2
g′
(x),
což je kýžený výsledek. □
3.5.5. Derivace podílu
Tvrzení 3.9. Existují-li f′
(x), g′
(x) a je-li g(x) ̸= 0, platí
f(x)
g(x)
′
=
f′
(x)g(x) − f(x)g′
(x)
(g(x))2
.
Důkaz. Stačí napsat f(x)
g(x)
= f(x) · 1
g(x)
a využit tvrzení 3.7, 3.8. □
3.5.6. Derivace inverzní funkce
Věta 3.3. Nechť funkce f je spojitá a ryze monotonní na intervalu I. Nechť x0 je
vnitřní bod intervalu I a nechť má f v bodě x0 konečnou derivaci f′
(x0) ̸= 0. Pak má
inverzní funkce g = f−1
v bodě f(x0) derivaci a platí
g′
(f(x0)) =
1
f′(x0)
.
Jinými slovy,
d
dy
f−1
(y) =
1
f′(f−1(y))
v bodech y, kde pro x = f−1
(y) existuje konečná derivace f′
(x) ̸= 0.
Důkaz. Pro pohodlí zápisu buď g = f−1
funkce inverzní k f. Pro každé x z I platí
g(f(x)) = x.
Zderivováním tohoto vztahu obdržíme
1 =
d
dy
f−1
(f(y)) =
d
dy
g(f(y)) = g′
(f(y)) · f′
(y).
K požadovanému vzorci přijdeme, vezmeme-li y = f−1
(x0); potom x0 = f(y). □
9
Vztahu z věty 3.3 se užívá, mimo jiné, při důkazu vzorců pro derivace logaritmických
a cyklometrických funkcí. Ukažme příklady odvození některých tabulkových vzorců.
Příklad 3.4. Pro derivaci funkce x → arcsin x platí
(arcsin x)′
=
1
√
1 − x2
, |x| ≤ 1.
Důkaz. Pro |x| ≤ 1 je arcsin x = f−1
(x), kde f(x) = sin x. Dle věty 3.3
d
dy
f−1
(y) =
1
f′(f−1(y))
. (3.3)
Jelikož f′
(x) = (sin x)′
= cos x a cos2
x = 1 − sin2
x, platí
(arcsin y)′
=
1
f′(f−1(y))
=
1
cos(arcsin y))
=
1
1 − (sin(arcsin y))2
,
a stačí si všimnout, že v posledním vzorci sin(arcsin y) = y. □
Příklad 3.5. Pro derivaci funkci x → arctg x platí
(arctg x)′
=
1
1 + x2
.
Důkaz. Použijme (3.3), kde arctg x = f−1
(x), f(x) = tg x. Jelikož (tg x)′
= sin x
cos x
′
=
cos x·cos x−sin x(− sin x)
cos2 x
= 1
cos2 x
= cos2 x+sin2 x
cos2 x
= 1 + tg2
x, platí
(arctg y)′
=
1
f′(f−1(y))
=
1
1
cos2(arctg y))
=
1
1 + tg2
(arctg y)
=
1
1 + y2
,
což je kýžený výsledek. □
3.5.7. Logaritmické derivace
Derivace některých funkcí lze snadno vypočítat, přejdeme-li k vypočtu derivace logaritmu
daného výrazu.
Tvrzení 3.10. Platí
d
dx
u(x)v(x)
= u(x)v(x)
v′
(x) ln u(x) + v(x)
u′
(x)
u(x)
. (3.4)
Důkaz. Pro f(x) = u(x)v(x)
zapišme a zderivujme ln f(x) = ln u(x)v(x)
= v(x) ln u(x):
(ln f(x))′
=
d
dx
ln u(x)v(x)
=
d
dx
(v(x) ln u(x)) = v′
(x) ln u(x) + v(x)
u′
(x)
u(x)
. (3.5)
Dle vzorce pro derivaci složené funkce však platí
(ln f(x))′
=
f′
(x)
f(x)
(3.6)
a tudíž z (3.5) obdržíme f′
(x) = f(x)(ln f(x))′
= u(x)v(x)
v′
(x) ln u(x) + v(x)u′(x)
u(x)
.
Mohli bychom postupovat i takto:
u(x)v(x) ′
= ev(x) ln u(x) ′
= ev(x) ln u(x)
(v(x) ln u(x))′
(3.7)
atd. □
Není nutné si vzorec (3.4) pamatovat, stačí vědět o upravě (3.7).
Příklad 3.6. Zderivujme f(x) = x
√
x, x > 0.
10
Řešení. Dle (3.6) je f′
(x) = f(x)(ln f(x))′
. Jelikož
(ln f(x))′
=
d
dx
ln x
1
x =
d
dx
ln x
x
=
1
x
· x − ln x
x2
=
1 − ln x
x2
,
obdržíme
x
√
x
′
=
x
√
x
x2
(1 − ln x).
Příklad 3.7. Zderivujme f(x) = 8 1+x
1−x
.
Řešení. Jelikož
d
dx
ln f(x) =
1
8
d
dx
ln
1 + x
1 − x
=
1
8
d
dx
(ln(1 + x) − ln(1 − x))
=
1
8
·
2
1 − x2
=
1
4
1
1 − x2
,
obdržíme
d
dx
8 1 + x
1 − x
=
1
4
8 1 + x
1 − x
1
1 − x2
.
11