PŘEDNÁŠKA 4
Diferenciál, věty o střední hodnotě, l’Hôpitalovo pravidlo
4.1. Derivace
Buďte f : I → R funkce na intervalu I a x0 je vnitřní bod I.
Definice 4.1. Existuje-li limita
lim
x→x0
f(x) − f(x0)
x − x0
= f′
(x0), (4.1)
nazýváme tuto limitu derivací funkce f v bodě x0 a značíme f′
(x0).
Je-li limita v (4.1) nevlastní, říkáme, že funkce f v bodě x0 má derivaci nevlastní. V
případě, když limita neexistuje, v daném bodě funkce derivaci nemá.
Substitucí x − x0 = h lze (4.1) přepsat na tvar
lim
h→0
f(x0 + h) − f(x0)
h
= f′
(x0). (4.2)
Alternativní způsoby zápisu derivace jsou f′
(x) = d
dx
f(x) = df(x)
dx
. Je-li y = y(x)
funkce proměnné x, pak lze psát
y′
=
dy
dx
(4.3)
a formálně chápat tento výraz jako podíl přírůstku hodnoty závisle proměnné v poměru
k nekonečně malému přírůstku nezávislé proměnné.
4.2. Diferencovatelnost a diferenciál
4.2.1. Diferencovatelnost funkce
Definice 4.2. Funkce f je diferencovatelná v bodě x0, jestliže existuje konstanta A
taková, že platí
lim
h→0
f(x0 + h) − f(x0) − Ah
h
= 0. (4.4)
Věta 4.1. Funkce jedné proměnné f : I → R je diferencovatelná v bodě x0 právě
tehdy, když má v tomto bodě konečnou derivaci.
Důkaz. Platí-li (4.4), bude
f(x0 + h) − f(x0) − Ah
h
= α(h),
1
kde α(h) → 0 pro h → 0. Proto f(x0 + h) − f(x0) − Ah = hα(h), f(x0 + h) − f(x0) =
(A + α(h)) h a tudíž
lim
h→0
f(x0 + h) − f(x0)
h
= lim
h→0
(A + α(h)) = A.
Toto znamená, že f′
(x0) existuje a f′
(x0) = A.
Naopak, existuje-li f′
(x0), pak dle (4.2) je
f(x0 + h) − f(x0)
h
= f′
(x0) + β(h),
kde β(h) → 0 pro h → 0, a tudíž
f(x0 + h) − f(x0) − f′
(x0)h
h
= β(h).
Takto jsme přišli k (4.4) s A = f′
(x0). □
Diferencovatelnost funkce znamená, že v okolí daného bodu ji lze libovolně přesně
aproximovat lineární funkcí, odpovídající tečné přímce (dle věty 4.1 A v (4.4) je rovno
f′
(x0), což je směrnice tečny v tomto bodě).
4.2.2. Diferenciál
Definice 4.3. Výraz f′
(x0) h (přesněji řečeno, lineární funkce h → f′
(x0) h) se nazývá
diferenciál funkce f v bodě x0.
Diferenciál f′
(x0) h vyjadřuje hlavní část přírůstku funkce f(x0 + h) − f(x0), odpovídajícího
změně argumentu h:
f(x0 + h) − f(x0) = f′
(x0) h + α(h),
kde α(h) → 0 pro h → 0. Zanedbáme-li α(h) pro malá h, vychází
f(x0 + h) − f(x0) ≈ f′
(x0) h. (4.5)
Vzorce (4.5) lze užit pro přibližný výpočet přírůstku funkce.
Poznámka 4.1. Výše uvedené umožňuje chápat výraz v (4.3) jako zlomek a psát
dy = y′
dx. (4.6)
4.3. Některé důležité věty
Buď f : I → R funkce na intervalu I.
Věta 4.2 (Férmat). Buď x0 vnitřní bod I takový, že f v x0 nabývá maximální nebo
minimální hodnoty. Pak, existuje-li f′
(x0), musí být f′
(x0) = 0.
Toto tvrzení lze snadno dokázat, odvodíme-li, že platí
Lemma 4.1. Nechť existuje konečná derivace f′
(x0).
(1) Je-li f′
(x0) > 0, pak pro x blízka x0, x > x0, platí f(x) > f(x0).
(2) Je-li f′
(x0) < 0, pak pro x blízka x0, x < x0, platí f(x) < f(x0).
Toto lemma vyjadřuje skutečnost, že při f′
(x0) > 0 (resp., f′
(x0) < 0) funkce f v
bodě x0 roste (resp., klesá). Věty 4.2 podstatně užijeme, budeme-li vyšetřovati maximální
nebo minimální hodnoty funkce.
Věta 4.3 (Rolle). Buď f funkce spojitá na uzavřeném intervalu [a, b], přičemž ve
všech bodech z (a, b) má f konečnou derivaci. Je-li f(a) = f(b), pak existuje c, a < c < b,
takové, že f′
(c) = 0.
2
Důkaz. Předpokládejme, že f není konstantní. Dle Weierstrassovy věty spojitá f nabývá
svých maxima a minima v nějakých bodech z [a, b], přičemž vzhledem k tomu, že
f(a) = f(b), alespoň jeden z těch bodů c leží mezi a a b. Dle věty 4.2 bude f′
(c) = 0. □
Věta 4.4 (Lagrange; věta o střední hodnotě). Buď f funkce spojitá na uzavřeném
intervalu [a, b], přičemž ve všech bodech z (a, b) má f konečnou derivaci. Pak existuje c,
a < c < b, takové, že
f(b) − f(a)
b − a
= f′
(c). (4.7)
Důkaz. Položme f(b)−f(a)
b−a
= k a definujme pomocnou funkci
F(x) = f(x) − f(a) − k(x − a).
Je zřejmé, že y = f(a) − k(x − a) je rovnicí spojnice bodů (a; f(a)) a (b; f(b)). Pak bude
F(a) = 0, F(b) = f(b) − f(a) − k(b − a) = 0 a
F′
(x) = f′
(x) − k. (4.8)
Funkce F tak splňuje předpoklady Rolleovy věty 4.3 a proto mezi a a b existuje bod c,
kde je F′
(c) = 0. Vzhledem k (4.8) toto znamená, že jsme dokázali (4.7). □
Věta 4.5 (Cauchy; věta o střední hodnotě). Buďte f, g funkce spojité na uzavřeném
intervalu [a, b], přičemž ve všech bodech z (a, b) mají f, g konečné derivace a g′
̸= 0 na
(a, b). Pak existuje c, a < c < b, takové, že
f(b) − f(a)
g(b) − g(a)
=
f′
(c)
g′(c)
. (4.9)
Důkaz. Za daných předpokladů platí g(b) − g(a) ̸= 0, neboť v opačném případě dle
Rolleovy vety by bylo g′
(x0) = 0 v nějakém bodě x0 ∈ (a, b).
Definujme
F(x) = f(x) − f(a) −
f(b) − f(a)
g(b) − (a)
(g(x) − g(a));
pak bude F(a) = F(b) = 0,
F′
(x) = f′
(x) −
f(b) − f(a)
g(b) − (a)
g′
(x). (4.10)
Funkce F splňuje předpoklady Rolleovy věty 4.3 a proto existuje c ∈ (a, b), kde je F′
(c) =
0. Dosadíme-li v (4.10) x = c, obdržíme (4.9). □
4.4. L’Hôpitalovo pravidlo
Tvrzení, jemuž se říká l’Hôpitalovo pravidlo, poskytuje účinný nástroj, mnohdy umožnující
snadno vyšetřit neurčité výrazy typu 0
0
a ∞
∞
, to jest limity limx→a
f(x)
g(x)
, kde f(x) a
g(x) zároveň konvergují k 0 nebo do nekonečna.
Věta 4.6 (l’Hôpitalovo pravidlo pro 0
0
). Nechť v
limx→a
f(x)
g(x)
3
je limx→a f(x) = limx→a g(x) = 0, v okolí1
bodu a funkce f a g mají konečné derivace,
g′
̸= 0 a existuje pomocná limita limx→a
f′(x)
g′(x)
. Pak existuje i původní limita a platí
lim
x→a
f(x)
g(x)
= lim
x→a
f′
(x)
g′(x)
.
Obdobně pro ∞
∞
.
Schéma důkazu. Pro jednoduchost uvažujme případ, když hodnoty f a g v a jsou
definovány:
f(a) = g(a) = 0. (4.11)
Zvolme libovolné x v blízkosti bodu a. Dle Cauchyovy věty o střední hodnotě (věta 4.5)
mezi a a x lze najít bod c, kde platí
f(x) − f(a)
g(x) − g(a)
=
f′
(c)
g′(c)
.
Vzhledem k (4.11) toto znamená, že
f(x)
g(x)
=
f′
(c)
g′(c)
,
a stačí poznamenat, že při x → a bude i c → a, poněvadž c leží mezi a a x.
Není-li nějaká z funkcí f a g v bodě a definována (ať je to např. f), dodefinujeme ji v
bodě hodnotou limity limx→a f(x) = 0. Obdržíme tak spojitou funkci, k níž lze aplikovat
předchozí postup. □
Dosti často bývá vhodné použit L’Hôpitalovo pravidlo opakovaně.
Příklad 4.1. Při libovolném přirozeném m opakovaným využitím l’Hôpitalova pravidla
pro limitu limx→+∞
xm
ex typu ∞
∞
obdržíme
lim
x→+∞
xm
ex
= lim
x→+∞
mxm−1
ex
= lim
x→+∞
m(m − 1)xm−2
ex
· · · = lim
x→+∞
m!
ex
= 0.
Poznámka 4.2. Využití l’Hôpitalova pravidla je nevhodné, když pro danou limitu
lze doporučit nějaký jednodušší přistup. Je např. zřejmé, že
lim
x→+∞
x99
+ 1
x99 + x98 + · · · + x + 1
= lim
x→+∞
1 + 1
x99
1 + 1
x
+ 1
x2 + · · · + 1
x99
= 1.
Pro dosažení stejného výsledku výlučně pomocí l’Hôpitalova pravidla měli bychom ho
zcela zbytečně použit 99krát: limx→+∞
x99+1
x99+x98+···+x+1
= limx→+∞
99x98
99x98+98x97+···+1
atd.
Občas se stává, že l’Hôpitalovo pravidlo není účinné vzhledem k tomu, že při jeho
využití nedochází ke zjednodušení původní limity.
Příklad 4.2. Pro limitu limx→+∞
√
x2+1
x
= 1 využití l’Hôpitalova pravidla dává
∞
∞
lim
x→+∞
√
x2 + 1
x
= lim
x→+∞
2x
2
√
x2+1
1
= lim
x→+∞
x
√
x2 + 1
= lim
x→+∞
1
2x
2
√
x2+1
= lim
x→+∞
√
x2 + 1
x
atd. ad infinitum.
1Má se na mysli prstencové okolí bodu a, tj. okolí s vyloučeným bodem a (množina těch x ̸= a, pro
něž |x| < r nějakým r > 0).
4
4.5. Příklady využití l’Hôpitalova pravidla
4.5.1. Významné limity
Pomocí l’Hôpitalova pravidla lze snadno odvodit tyto „tabulkové“ limity typu 0
0
:
lim
x→0
sin x
x
= lim
x→0
cos x
1
= 1.
lim
x→0
ln(x + 1)
x
= lim
x→0
1
x+1
1
= 1.
lim
x→0
ex
− 1
x
= lim
x→0
ex
1
= 1.
lim
x→0
arctg x
x
= lim
x→0
1
x2+1
1
= 1,
lim
x→0
arcsin x
x
= lim
x→0
1√
1−x2
1
= 1.
4.5.2. Další příklady
∞
∞
lim
x→+∞
ln x
x
= lim
x→+∞
1
x
1
= 0
0∞
lim
x→0−
x2
1
x
∞
∞
= lim
x→0−
2
1
x
1
x
= lim
x→0−
2
1
x − 1
x2 ln 2
− 1
x2
= 0
∞0
lim
x→+∞
x
1
x = lim
x→+∞
(eln x
)
1
x = lim
x→+∞
e
ln x
x = e0
= 1
0 · ∞
lim
x→0+
x ln x
∞
∞
= lim
x→0+
ln x
1
x
= lim
x→0+
1
x
− 1
x2
= lim
x→0+
(−x) = 0
00
lim
x→0+
xx
= lim
x→0+
eln x x
= lim
x→0+
ex ln x
= e0
= 1
4.6. Derivace vyšších řádů
Buďte f : I → R funkce na intervalu I a x0 je vnitřní bod I a nechť existuje f′
(x0).
Pak je f′
funkcí, definovanou v okolí bodu x0. Existuje-li derivace funkce f′
, nazýváme
ji druhou derivace funkce f a značíme f′′
anebo d2f
dx2 . Obdobně se definují vyšší derivace
f′′′
, f(4)
atd.
5