PŘEDNÁŠKA 5
Aplikace derivace: průběh funkce jedné proměnné
5.1. Vyšetření průběhu funkce – typické schema
Vyšetřit průběh funkce znamená analyticky zjistit co nejvíce jejich vlastností a tak si
zodpovědět otázku „Jak se tato funkce chová?“. Při vyšetřování průběhu funkce obvykle
provádíme řadu z následujících úkonů:
(1) Určíme definiční obor funkce a obor jejich hodnot.
(2) Určíme, jestli je funkce sudá, lichá nebo periodická;
(3) Zjistíme, jestli je omezená, vyšetříme jeji spojitost.
(4) Vypočítáme průsečíky s osou x a s osou y.
(5) Zjistíme intervaly, kde funkční hodnoty jsou kladné a kde záporné.
(6) Nalezneme extrémy funkce a zjistíme intervaly monotonnosti funkce.
(7) Nalezneme inflexní body a intervaly konvexnosti a konkávnosti.
(8) Určíme, zda má funkce asymptoty a pokud ano, vypíšeme jejich rovnice a je
graficky znázorníme.
(9) Načrtneme graf funkce.
U některých kroků podstatným způsobem využíváme pojmů limity a derivace.
5.2. Monotonnost a lokální extrémy
Pomocí pojmu derivace lze efektivně vyšetřovat charakter monotonnosti funkce jedné
proměnné a její extremální hodnoty.
5.2.1. Monotonnost funkce
Buď I otevřený interval. Monotonnost funkce lze ověřit podle znaménka směrnice
tečny.
Věta 5.1. Nechť má funkce f na I derivaci. Pak platí:
• je-li f′
(x) > 0 pro x ∈ I, pak je f je rostoucí na I;
• je-li f′
(x) < 0 pro x ∈ I, pak je f je klesající na I.
Důkaz. Důkaz je založen na vzorci
f′
(x) = lim
h→0
f(x + h) − f(x)
h
. (5.1)
Je-li f′
(x) > 0 v bodě x ∈ I, pak vzhledem k (5.1) existuje dostatečně malé δ > 0 takové,
že bude 1
h
(f(x+h)−f(x)) > 0 pro 0 < h < δ, což znamená, že je f rostoucí na (x, x+δ)
atd. □
1
(a) (b)
Obrázek 5.1
5.2.2. Lokální extrém funkce
Definice 5.1. Funkce f má v bodě x0 lokální minimum, jestliže všude v některém
okolí I bodu x0 (s výjimkou bodu x0) jsou hodnoty funkce větší než f(x0), tj.
f(x) > f(x0) pro x ∈ I \ {x0}.
Definice 5.2. Funkce f má v bodě x0 lokální maximum, jestliže všude v některém
okolí I bodu x0 (s výjimkou bodu x0) jsou hodnoty funkce menší než f(x0), tj.
f(x) < f(x0) pro x ∈ I \ {x0}.
Definice 5.3. Funkce má v bodě lokální extrém, jestliže je v tomto bodě její lokální
minimum nebo maximum.
Slovo „lokální“ v těchto definicích vyjadřuje skutečnost, že se jedná o chování funkce
v určitém malém okolí (má-li funkce v bodě x0 lokální maximum, neznamená to, že v
blízkosti tohoto bodu není jiný bod maxima, avšak v dostatečné malém okolí bodu x0
hodnoty funkce budou rozhodně menší, než f(x0)).
5.2.3. Stacionární body
Buď f : I → R funkce na intervalu I.
Definice 5.4. Bod x0 je stacionárním bodem funkce f, jestliže f′
(x0) = 0 nebo f′
(x0)
neexistuje.
Věta 5.2 (Férmat; nutná podmínka pro lokální extrém). Buď x0 vnitřní bod I takový,
že f v x0 nabývá lokálně maximální nebo minimální hodnoty. Pak, existuje-li f′
(x0), musí
být f′
(x0) = 0.
Např. f(x) = x2
+ 1 má minimum v x0 = 0. Je to stacionární bod pro f, jelikož
f′
(x0) = 2x0 = 0. Funkce g(x) = |x| má minimum v x0 = 0, tečna v bodě x0 = 0
neexistuje.
Poznámka 5.1. Existuje-li v stacionárním bodě tečna, je vždy vodorovná.
Poznámka 5.2. Splnění nutné podmínky f′
(x0) = 0 ještě nezaručuje, že je v daném
bodě x0 lokální extrém. Např. pro f(x) = x3
je f′
(0) = 0, avšak je to funkce neklesající
(mimo bod 0 ryze rostoucí) a tudíž lokální extrémy nemá. Podmínka je tedy skutečně
pouze nutnou, nikoliv postačující.
2
5.2.4. Určení lokálního extrému pomocí derivací
5.2.4.1. Určení lokálního extrému podle 1. derivace
Ověřit, zda v daném stacionárním bodě skutečně je lokální extrém, lze pomocí určení
znaménka první derivace vyšetřované funkce.
Věta 5.3. Nechť x0 je stacionárním bodem (f′
(x0) = 0). Funkce f má v x0:
(1) lokální maximum, jestliže v tomto bodě mění f′
znaménko z „+“ na „−“ (f
roste a poté klesá).
(2) lokální minimum, jestliže v tomto bodě mění f′
znaménko z „−“ na „+“ (f
klesá a poté roste).
Jestliže ke změně znaménka derivace v bodě x0 nedochází, nemá funkce v tomto bodě
extrém.
5.2.4.2. Určení lokálního extrému podle vyšších derivací
Věta 5.4. Nechť x0 je stacionárním bodem a existuje f′
(x0) = 0. Nechť má f v bodě
x0 druhou derivaci. Pak platí:
(1) jestliže f′′
(x0) < 0, pak má f v bodě x0 lokální maximum
(2) jestliže f′′
(x0) > 0, pak má f v bodě x0 lokální minimum.
Poznámka 5.3. Lze doporučit jednoduchou p o m ů c k u k z a p a m a t o v á n í
podmínky věty 5.4: f(x) = x2
má v 0 minimum (2 > 0), f(x) = −x2
má v 0 maximum
(−2 < 0).
Jestliže f′′
(x0) = 0, věta 5.4 neumožňuje rozhodnout o tom, zda v stacionárním bodě
x0 je nebo není lokální extrém funkce. V takových případech lze využit vyšších derivací.
Věta 5.5. Nechť má f v bodě x0 konečnou derivaci (n + 1)ho řadu (n > 1) a platí
f′
(x0) = 0, f′′
(x0) = 0, . . . f(n)
(x0) = 0, f(n+1)
(x0) ̸= 0.
Potom:
(1) je-li n liché, pak má f v bodě x0 lokální extrém (minimum pro f(n+1)
(x0) > 0,
maximum pro f(n+1)
(x0) < 0)
(2) je-li n je sudé, nemá f v bodě x0 lokální extrém.
Příklad 5.1. Pro funkci f(x) = x4
platí f′
(x) = 4x3
; f′
(x0) = 0 pro x0 = 0;
f′′
(x) = 12x2
, f′′′
(x) = 24x. Platí tedy f(4)
(x) = 24, f(4)
(0) = 24 > 0. Cislo n = 3 je
liché a tudíž f v bodě 0 má lokální minimum.
Příklad 5.2. Pro f(x) = x3
je f′
(x) = 3x2
; f′
(x0) = 0 pro x0 = 0; f′′
(x) = 6x,
f′′′
(x) = 6 > 0. Číslo n = 2 je sudé, a proto nemá f v bodě 0 extrém.
Obrázek 5.2 znázorňuje skutečnosti, uvedené v příkladech 5.1 a 5.2.
5.3. Konvexnost a konkávnost, inflexní body
Buď f reálná funkce na otevřeném intervalu I, která má v každém bodě derivaci.1
1Charakterizace konexnosti pomocí tečny vyžaduje existenci derivace funkce, tj. hladkost jejího grafu.
Bez použití derivace se dá konvexnost funkce popsat tak, že graf funkce na každém intervalu (x0, x1)
leží pod spojnicí krajních bodů tohoto intervalu. Obdobně pro konkávnost. Konkávanost a konvexnost
nehladké funkce zde vyšetřovat nebudeme.
3
(a) (b)
Obrázek 5.2
Definice 5.5. Funkce f se nazývá konvexní na I, jestliže její graf leží nad tečnou
sestrojenou v bodě (x, f(x)) pro každé x ∈ I. Funkce f se nazývá konkávní na I, jestliže
její graf leží pod tečnou sestrojenou v bodě (x, f(x)) pro každé x ∈ I.
Tyto vlastnosti určují směr zakřivení grafu funkce. Jejich geometrické znázornění nalezneme
na obrázku 5.3.
(a) konvexní (b) konkávní
Obrázek 5.3
Konvexnost a konkávnost lze rozlišit podle druhé derivace.
Věta 5.6. Nechť má funkce f na I druhou derivaci. Pak platí:
(1) je-li f′′
(x) > 0 pro x ∈ I, pak f je konvexní na I
(2) je-li f′′
(x) < 0 pro x ∈ I, pak f je konkávní na I.
Možná p o m ů c k a k z a p a m a t o v á n í podmínky věty 5.6 je podobná uvedené
v poznámce 5.3: f(x) = x2
je konvexní (f′′
= 2 > 0 a f(x) = −x2
je konkávní (f′′
=
−2 < 0).
Idea důkazu. Pro konvexní funkci směrnice tečny při zvetšení argumentu roste. Toto
znamená, že f′
je rostoucí funkce a tudíž (f′
)′
= f′′
> 0. □
Definice 5.6. Bod x0 je inflexní pro funkci f, jestliže v tomto bodě se konvexní
charakter chování mění na konkávní nebo naopak, konkávní na konvexní.
Příkladem inflexního bodu je bod x0 = 0 pro funkci f(x) = x3
(viz obrazek 5.2).
4
Věta 5.7 (nutná podmínka pro inflexní bod). Je-li x0 inflexní bod funkce f a existujeli
f′′
(x0), pak platí
f′′
(x0) = 0.
Při vyšetřovaní konvexnosti funkce je tedy vhodné začít určením bodů x0, podezřelých
z inflexe, tj. takových, kde f′′
(x0) = 0 nebo f′′
(x0) neexistuje. O tom, zda takový bod je
nebo není inflexním, rozhodneme podle znaménka druhé derivace funkce vlevo a vpravo
od x0 (věta 5.6): bod x0 bude inflexním, jestliže v něm dochází ke změně znaménka f′′
.
Jednu z postačujících podmínek inflexe poskytuje
Věta 5.8. Buď x0 bod podezřelý z inflexe: f′′
(x0) = 0. Jestliže
f′′′
(x0) ̸= 0,
pak je x0 inflexním bodem funkce f.
Následující věta je upřesněním věty 5.5.
Věta 5.9. Nechť má f v bodě x0 derivaci (n + 1)ho řadu (n > 1) a platí
f′
(x0) = 0, f′′
(x0) = 0, . . . f(n)
(x0) = 0, f(n+1)
(x0)̸=0.
Potom:
(1) je-li n liché, pak má f v bodě x0 lokální extrém (minimum pro f(n+1)
(x0) > 0,
maximum pro f(n+1)
(x0) < 0)
(2) je-li n sudé, pak je x0 inflexním bodem funkce f.
5.4. Příklady
Příklad 5.3. Vyšetřeme průběh funkce f(x) = x e−x
.
Řešení. Funkce je spojitá a má derivaci na (−∞, ∞). Je zřejmé, že f(x) > 0 pro
x > 0, f(x) < 0 pro x < 0 a f(0) = 0. Pro vyšetření intervalů růstu a poklesu vypočtěme
derivaci:
f′
(x) = x e−x ′
= e−x
−x e−x
= (1 − x) e−x
. (5.2)
Vzhledem k (5.2) je f′
(x) kladná pro x < 1 a záporná pro x > 1. Funkce je tedy rostoucí
na (−∞, 1) a klesající na (1, ∞). Je praktické si takové vlastnosti znázornit graficky
(obrázek 5.4).
1
Obrázek 5.4
Jelikož v bodě 1 se růst funkce mění na pokles, podle věty 5.32
má funkce f v tomto
bodě lokální maximum o hodnotě f(1) = e−1
≈ 0,3.
Směr zakřivení grafu této funkce (intervaly konvexnosti a konkávnosti) určeme podle
druhé derivace. Zderivováním vzorce (5.2) obdržíme
f′′
(x) = − e−x
−(1 − x) e−x
= (x − 2) e−x
. (5.3)
2Jelikož ve vzorci (5.3) je vypočítaná druhá derivace f′′
, lze využit i věty 5.4: v bodě 1 má funkce f
lokální maximum, neboť je f′′
(1) = − e−1
< 0.
5
Vidíme, že f′′
(x) právě tehdy, když x = 2, přičemž f′′
(x) < 0 pro x < 2 a f′′
(x) > 0
pro x > 2. Funkce je tedy konvexní na (2, ∞) a konkávní na (−∞, 2). Bod 2 je inflexním
bodem.
Nyní vyšetřeme, jak se funkce chová ve směru −∞ a ∞. Pro x → +∞ s využitím
l’Hôpitalova pravidla obdržíme
lim
x→+∞
f(x)
∞
∞
= lim
x→+∞
x
ex
= lim
x→+∞
1
ex
= 0,
přičemž f(x) je kladné pro kladná x. Pro x → −∞ bude
lim
x→−∞
f(x) = lim
x→−∞
x e−x
= lim
t→+∞
(−t) et
= − lim
t→+∞
t et
= −∞.
Zjištěné informace již umožňují načrtnout graf funkce. Kreslení grafu je vhodné začít
hodnotami funkce v důležitých bodech: f(0) = 0 (změna znaménka funkce), f(1) = 1/ e
(bod lokálního maxima), f(2) = 2/ e2
(inflexní bod); dále pokračujeme podle schématu
na obrázku 5.4 s využitím informací o směru zakřivení grafu. Výsledek je na obrázku 5.5.
Všimněme si různých směrů zakřivení grafu v okolí inflexního bodu (pro věrnější zakreslení
je vhodné sestrojit tečnu). □
Obrázek 5.5
Uveďme příklad využití vlastností derivace pro vyřešení jedné praktické úlohy.
Příklad 5.4. Továrna vyrábí hliníkové kanystry o objemu V . Kanystry jsou ve tvaru
válce. Je potřeba určit rozměry tak, aby náklady na použitý hliník byly nejnižší.
Řešení. Povrch válce S musí být minimální. Nechť má válec výšku h a poloměr podstavy
r. Dle vzorců platí
S = 2πr2
+ 2πrh, V = πr2
h.
Objem je vždy V , proto h = V
πr2 . Dosadíme-li to do vzorce pro povrch válce, obdržíme
funkci proměnné r > 0:
S(r) = 2πr2
+
2V
r
.
Zderivováním obdržíme
S′
(r) = 4πr −
2V
r2
=
2
r2
2πr3
− V , (5.4)
6
a rovnice pro určení stacionárních bodů bude mít tvar 2πr3
= V . Jediným stacionárním
bodem je r∗ = 3 V
2π
a tudíž pouze v tomto bodě r∗ se může měnit charakter monotonnosti
funkce S. Funkce r → r3
je rostoucí a proto, vzhledem k (5.4), je-li r > r∗ (resp. r < r∗),
bude S′
(r) > 0 (resp. S′
(r) < 0). Toto znamená, že r∗ je bodem lokálního minima pro S.
Žádná jiná minima tato funkce nemá.3
Dosadíme-li teď r = r∗ = V
2π
1
3
do vzorce pro h, obdržíme optimální hodnotu h = h∗:
h∗ =
V
πr2
∗
=
V
π V 2
(2π)2
1
3
=
4V 3
πV 2
1
3
=
4V
π
1
3
= 2
V
2π
1
3
= 2r∗.
Pro splnění stanovené podmínky optimální spotřeby materiálu se tedy musí vyrábět kanystry
ve tvaru válce, jehož výška je dvojnásobkem poloměru podstavy. □
3Zde lze využit limit v nekonečnu: je zřejmé, že
lim
r→0+
S(r) = +∞, lim
r→+∞
S(r) = +∞,
a tudíž v jediném stacionárním bodě r∗ > 0 bude funkce S mít minimální hodnotu.
7