PŘEDNÁŠKA 6
Vysetřování průběhu funkce jedné proměnné
6.1. Asymptoty, jejich druhy a způsob určení
6.1.1. Asymptota
U některých funkcí lze pozorovat, že pro dostatečně velké hodnoty argumentu se
její vývoj postupně stabilizuje a čim dal, tím vice se graf podobá přímce. V takových
případech má funkce tzv. asymptotu. Znalost asymptoty významně pomáhá při zobrazení
funkce na grafu.
Buď f funkce definovaná na neohraničeném intervalu.
Definice 6.1. Asymptota je přímka, ke které se graf funkce v +∞ nebo −∞ neustále
blíží. Je-li y = kx + b rovnicí této přímky, znamená to, že platí
f(x) − kx − b → 0 (6.1)
pro x → +∞ (asymptota v +∞) anebo pro x → −∞ (asymptota v −∞).
6.1.2. Druhy asymptot
Asymptoty bývají se směrnicí anebo bez směrnice, to jest svislé.
6.1.2.1. Asymptoty se směrnicí
Definice 6.2. Asymptotou se směrnicí rozumíme asymptotu s rovnicí y = kx + b.
V závislosti na směrnicí může být taková asymptota šikmou anebo vodorovnou. Asymptotu
vodorovnou má funkce, pro níž existuje konečná limita v +∞ anebo −∞.
Příklad 6.1. Funkce f(x) = 2−x
, g(x) = 2−x
sin x mají vodorovnou asymptotu y = 0
pro x → +∞ (obrázek 6.1).
Asymptotu šikmou má funkce, jež konečnou limitu v ±∞ nemá, avšak chová se v +∞
nebo −∞ skoro jako lineární funkce. Přesněji řečeno, existují konstanty k a b takové, že
pro x → +∞ anebo x → −∞ platí (6.1). Vodorovná asymptota formálně je speciálním
případem šikmé pro směrnici k = 0.
Šikmé asymptoty hledáme podle následujícího pravidla.
Věta 6.1. Existují-li limity
lim
x→+∞
f(x)
x
= k, lim
x→+∞
(f(x) − kx) = b (6.2)
anebo
lim
x→−∞
f(x)
x
= k, lim
x→−∞
(f(x) − kx) = b (6.3)
pak je přímka s rovnicí y = kx+b asymptotou pro funkci f při x → +∞ (resp. x → −∞)
1
(a) limx→+∞
1
2x = 0 (monotonně) (b) limx→+∞
sin x
2x = 0 (nemonotonně)
Obrázek 6.1. Typ funkce, mající vodorovnou asymptotu: má konečnou
limitu v +∞ anebo −∞.
Pro určení šikmých asymptot ověřujeme existenci limit (6.2) a (6.3).
Poznámka 6.1. Může se stát, že má funkce různé asymptoty v +∞ a −∞.
Důkaz věty 6.1. Uvažujme pouze směr +∞. Nechť má funkce y = f(x) v +∞ asymptotu
y = kx + b. Znamená to, že se graf funkce f k této přímce ve směru +∞ neustále blíží a
tudíž musí platit
lim
x→+∞
(f(x) − kx − b) = 0.
Jinými slovy, f(x) − kx − b = h(x), kde limx→+∞ h(x) = 0. Pak f(x) − kx = b + h(x) a
tudíž
f(x)
x
− k =
b + h(x)
x
→ 0
pro x → +∞. Proto je limx→+∞
f(x)
x
= k. Hodnotu b pak nalezneme ze vztahu
lim
x→+∞
(f(x) − kx) = b,
jelikož dle předpokladu tato limita existuje. □
Příklad 6.2. Funkce f(x) = x+2−x
, g(x) = x+2−x
sin x mají asymptotu y = x pro
x → +∞ (obrázek 6.2).
Vysvětlení. Stačí si všimnout, že f(x) − x → 0 pro x → +∞. □
6.1.2.2. Asymptoty bez směrnice (svislé)
Svislá přímka s rovnicí x = x0 bude asymptotou funkce f pro x → x0±, jestliže
alespoň jedna z jednostranných limit limx→x0+ f(x), limx→x0− f(x) je nevlastní.
Příklad 6.3. Svislá přímka x = 0 je asymptotou funkce f(x) = 1
x
pro x → 0± a
funkce g(x) = ln x pro x → 0+ (obrázek 6.3).
Příklad 6.4. Určeme asymptoty funkce
f(x) =
2x − 1
x + 1
.
2
(a) limx→+∞
1
2x = 0 (monotonně) (b) limx→+∞
sin x
2x = 0 (nemonotonně)
Obrázek 6.2. Typ funkce, mající šikmou asymptotu: skoro lineární v +∞
anebo −∞.
.
(a) limx→0−
1
x = −∞, limx→0+
1
x =
+∞
(b) limx→0+ ln x = −∞
Obrázek 6.3. Typ funkce, mající svislou asymptotu: má body nespojitosti;
v nějakém z bodů nespojitosti alespoň jedna z jednostranných limit
je nekonečná
Řešení. Funkce má bod nespojitosti a pravděpodobně i svislou asymptotu. Bodem
nespojitosti je x0 = −1. Vyšetřeme, jak se funkce chová v blízkosti bodu −1:
(1) pro x → −1 s x > −1 je 2x−1
x+1
= 2
x−1
2
x+1
< 0 a tudíž 2x−1
x+1
→ −∞;
(2) pro x → −1 s x < −1 je 2x−1
x+1
= 2
x−1
2
x+1
> 0 a 2x−1
x+1
→ +∞.
Je tedy limx→−1+
2x−1
x+1
= −∞, limx→−1−
2x−1
x+1
= +∞ a tudíž je přímka s rovnicí x = −1
pro tuto funkci asymptotou.
3
Obrázek 6.4
Dále je zřejmé, že má f konečnou limitu v +∞ a −∞:
lim
x→±∞
2x − 1
x + 1
= lim
x→±∞
2 − 1
x
1 + 1
x
= 2,
a proto je vodorovná přímka y = 2 pro tuto funkci asymptotou (obrázek 6.4).
Šikmé asymptoty funkce nemá (v rovnici y = kx + b je k = limx→±∞
1
x
2x−1
x+1
= 0, což
dává asymptotu vodorovnou). □
6.2. Příklady vyšetření průběhu funkce
Příklad 6.5. Vyšetřeme průběh funkce f(x) = 1
(x−2)2 + x
Řešení. Definičním oborem je (−∞, 2) ∪ (2, ∞). Je zřejmé, že limx→2 f(x) = +∞ a
svislá přímka s rovnicí x = 2 je asymptotou. Vypočtěme derivaci:
f′
(x) = −
1
(x − 2)4
2(x − 2) + 1 = −
2
(x − 2)3
+ 1 =
(x − 2)3
− 2
(x − 2)3
.
Stacionární body určeme z rovnice (x − 2)3
= 2, jediným stacionárním bodem je x =
2 + 3
√
2. Odhadněme přibližně hodnotu 3
√
2 pomocí diferenciálu funkce u(x) = x
1
3 , tj.
použijme vzorec u(x) − u(x0) ≈ u′
(x0)(x − x0), kde položme x = 2, x0 = 1:
3
√
2 ≈ 1 +
1
3
x
−2
3
0 (2 − 1) = 1 +
1
3
=
4
3
≈ 1,3.
Pak bude stacionární bod x = 2 + 3
√
2 ≈ 3,3. Typ extrému určeme podle druhé derivace,
jíž rovněž budeme potřebovat pro vyšetření konvexnosti. Máme
f′′
(x) = −2 (x − 2)−3 ′
= 6(x − 2)−4
> 0
pro x ̸= 2. Proto je funkce všude konvexní a nabývá ve stacionárním bodě 2+ 3
√
2 lokálního
minima o hodnotě
f(2 +
3
√
2) =
1
( 3
√
2)2
+ 2 +
3
√
2 =
3
√
2
( 3
√
2)2 3
√
2
+ 2 +
3
√
2 =
3
√
2
( 3
√
2)3
+ 2 +
3
√
2
4
Obrázek 6.5. Graf funkce f(x) = 1
(x−2)2 + x
= 2 +
3
2
3
√
2 ≈ 2 +
3
2
· 1,3 = 3,95.
Ověřme, zda má funkce asymptoty, odlišné od již nalezené svislé procházející bodem
nespojitosti. Je-li pro x → +∞ asymptota ve tvaru y = kx + b, musí být
k = lim
x→+∞
f(x)
x
= lim
x→+∞
1
x (x − 2)2 + 1 = 1,
b = lim
x→+∞
(f(x) − kx) = lim
x→+∞
1
(x − 2)2 + x − x = 0.
Asymptotou je tedy přímka y = x. Znalost asymptot nám významné pomůže při sestrojení
grafu (obrázek 6.5).
Příklad 6.6. Vyšetřeme průběh funkce f(x) = xx
na množině (0, +∞).
Řešení. Definičním oborem je neomezený otevřeny interval (0, +∞), v bodě 0 není
funkce definována (vzniká tam neurčitý výraz typu 00
). V oboru (0, +∞) nabývá funkce
kladných hodnot. Abychom zjistili, jak se funkce chová, když x → 0+ a x → +∞,
potřebujeme určit odpovídajících limity. Pro x → 0+ bude
0∞
lim
x→0+
xx
= lim
x→0+
eln xx
= lim
x→0+
e
1
x
ln x
= elimx→0+ x ln x
= e0
= 1,
jelikož dle l’Hôpitalova pravidla je
0 · ∞
lim
x→0+
x ln x =
∞
∞
lim
x→0+
ln x
1
x
= lim
x→0+
1
x
− 1
x2
= − lim
x→0+
x = 0
a funkce x → ex
je spojitá. Pro x → ∞ je, samozrejmě, limx→+∞ xx
= +∞.
Vypočtěme derivaci:
f′
(x) = (xx
)′
= ex ln x ′
= ex ln x
(x ln x)′
= xx
(ln x + 1) = f(x) (ln x + 1) . (6.4)
Pro x > 0 je f(x) > 0, a tudíž znaménko derivace f′
(x) je určeno znaménkem výrazu
ln x + 1, jenž je kladný pro x > 1
e
a záporný pro x < 1
e
(jelikož logaritmus přirozený je
funkcí rostoucí, ln x > −1 znamená, že x > e−1
). V jediném stacionárním bodě x = 1
e
tedy je lokální minimum o hodnotě
f
1
e
=
1
e
1
e
=
1
e
1
e
. (6.5)
5
Obrázek 6.6. Graf funkce f(x) = xx
Pro zakreslení grafu je vhodné alespoň přibližně odhadnout hodnotu minima (6.5):
jelikož e ≈ 2,7 ≈ 3, bude f 1
e
= 1
e
1
e
≈ 1
3√
3
. Pro odhad 3
√
3 lze využít diferenciálu funkce
u(x) = x
1
3 :
u(x) − u(x0) ≈ u′
(x0)(x − x0)
s x = 3, x0 = 1: 3
√
3 ≈ 1 + 1
3
x
−2
3
0 (3 − 1) = 1 + 2
3
= 5
3
. Proto je f 1
e
≈ 1
3√
3
≈ 3
5
= 0,6.
Pro zjištěni směru zakřivení grafu vypočítáme druhou derivaci. K tomuto účelu použijme
již vypočtenou derivaci první (viz (6.4)):
f′′
(x) = f′
(x)(ln x + 1) + f(x)
1
x
= f(x) (ln x + 1)2
+ f(x)
1
x
> 0,
neboť f(x) > 0. Toto znamená, že je f na (0, ∞) konvexní.
Na základe zjištěných informací po přidaní vhodných pomocných bodů (např. f(1) =
1, f(2) = 4) lze schematicky načrtnout graf (obrázek 6.6). S růstem x roste tato funkce
mimořádně rychle. Např. f(4) = 256, f(5) = 3125.
Příklad 6.7. Vyšetřeme průběh funkce f(x) = x3
2x2+3
.
Řešení. Definičním oborem je (−∞, ∞). Pro všechna x ∈ (−∞, ∞) máme
f(−x) =
(−x)3
2(−x)2 + 3
=
−x3
2x2 + 3
= −
x3
2x2 + 3
= −f(x).
Funkce je lichá, její graf je souměrný podle počátku.
Pro vyšetření monotonnosti vypočtěme derivaci:
f′
(x) =
x3
2x2 + 3
′
=
3x2
(2x2
+ 3) − x3
4x
(2x2 + 3)2
=
2x4
+ 9x2
(2x2 + 3)2
.
Je zřejmé, že f′
(x) > 0 pro všechna x ̸= 0, proto je funkce neklesající na (−∞, ∞),
přičemž mimo bod 0 je funkce ryze rostoucí.
Jediným stacionárním bodem je x = 0. V tomto bodě lokální extrém není, neboť je
funkce f monotonní, a ke změně znaménka derivace nedochází. Lokální extrémy tedy
funkce nemá žádné.
Intervaly konvexnosti a konkávnosti zjistíme podle znaménka f′′
. Vypočtěme druhou
derivaci:
f′′
(x) =
(8x3
+ 18x)(2x2
+ 3)2
− (2x4
+ 9x2
)2(2x2
+ 3)4x
(2x2 + 3)4
6
=
(8x3
+ 18x)(2x2
+ 3) − 8(2x4
+ 9x2
)x
(2x2 + 3)4
=
−12x3
+ 54x
(2x2 + 3)3
=
−x(54 − 12x2
)
(2x2 + 3)3
.
Jelikož je vždy (2x2
+ 3)3
> 0, znaménko f′′
(x) určuje pouze člen −x(54 − 12x2
) =
−6x(9 − 2x2
). Intervaly konvexnosti a konkávnosti zjistíme podle znaménka derivace f′′
,
kterou upravíme takto:
f′′
(x) =
−x(54 − 12x2
)
(2x2 + 3)3
=
−6x(9 − 2x2
)
(2x2 + 3)3
=
−12x 9
2
− x2
(2x2 + 3)3
= 12
x x − 3√
2
x + 3√
2
(2x2 + 3)3
.
Rovnost f′′
(x) = 0 platí pravě pro x = 0, x = ± 3√
2
. V každém z těchto bodů nastává
změna znaménka f′′
, proto jsou to inflexní body (obrázky 6.7, 6.8b).
Obrázek 6.7. Změna znaménka f′′
Dále vypočtěme limity v nevlastních bodech +∞ a −∞:
lim
x→+∞
x3
2x2 + 3
= lim
x→+∞
x3
x3 2
x
+ 3
x3
= lim
x→+∞
1
2
x
+ 3
x3
= +∞,
lim
x→−∞
x3
2x2 + 3
= lim
x→−∞
1
2
x
+ 3
x3
= −∞.
Mimo jiné, je to funkce neomezená.
Zjistěme, zda má funkce asymptoty. Má-li funkce asymptoty tvaru y = kx + b pro
x → +∞, musí být
k = lim
x→+∞
f(x)
x
= lim
x→+∞
x3
x(2x2 + 3)
= lim
x→+∞
x3
2x3 + 3x
= lim
x→+∞
1
2 + 3
x2
=
1
2
,
b = lim
x→+∞
f(x) −
1
2
x = lim
x→+∞
x3
2x2 + 3
−
x
2
= lim
x→+∞
2x3
− 2x3
− 3x
2(2x2 + 3)
= −
3
2
lim
x→+∞
x
2(2x2 + 3)
= 0
Stejné hodnoty k a b vychází pro x → −∞. Asymptotou pro x → ±∞ je tedy přímka
y = kx + b s k = 1
2
, b = 0:
y =
x
2
.
Zjištěné vlastnosti lze uplatnit při sestrojení grafu funkce (obrázek 6.8). □
Příklad 6.8. Vyšetřeme průběh funkce
f(x) = arctg x − x.
Řešení. Definičním oborem je (−∞, ∞). Pro vyšetření monotonnosti vypočtěme de-
rivaci:
f′
(x) =
1
x2 + 1
− 1 =
1 − x2
− 1
x2 + 1
= −
x2
x2 + 1
< 0.
7
(a) (b)
Obrázek 6.8
Tudíž je funkce f všude klesající. Lokální extrémy proto nejsou. Dále pomocí druhé
derivace zjistěme směr zakřivení grafu. Jelikož
f′′
(x) = −
2x
(x2 + 1)2
,
je funkce konkávní pro x > 0 a konvexní pro x < 0. Inflexním bodem je x = 0.
Podívejme se, jak se funkce chová v ±∞. Vzhledem k tomu, že limx→±∞ arctg x = ±π
2
,
můžeme si všimnout, že1
platí
lim
x→+∞
f(x) −
π
2
+ x = lim
x→+∞
arctg x −
π
2
= 0,
lim
x→−∞
f(x) +
π
2
+ x = lim
x→−∞
arctg x +
π
2
= 0,
to jest přímka y = π
2
− x je pro f asymptotou při x → +∞ a y = −π
2
− x je asymptotou
při x → −∞.
Kreslení grafu (obrázek 6.10a) začneme nějakým jeho významným bodem. Přichází v
úvahu nulový bod (0, 0) (jelikož f(0) = 0). Navíc je funkce lichá. Jiné nulové body funkce
nemá vzhledem k tomu, že je ryze klesající. □
Uvažujme ještě jeden podobný příklad (všimneme si však odlišnosti!).
Příklad 6.9. Vyšetřeme průběh funkce
f(x) = arctg x −
x
2
.
Řešení. Definičním oborem je (−∞, ∞). Jelikož
f′
(x) =
1
x2 + 1
−
1
2
=
2 − x2
− 1
2(x2 + 1)
=
1 − x2
2(x2 + 1)
.
má funkce dva stacionární body x = ±1. Znaménko derivace určíme, zapíšeme-li ji ve
tvaru f′
(x) = −(x−1)(x+1)
2(x2+1)
. Obdržíme, že f′
(x) < 0 pro x ∈ (−∞, −1)∪(1, ∞) a f′
(x) > 0
1Samozřejmé, mohli bychom zde postupovat i bezprostředně podle věty 6.1: platí limx→±∞
f(x)
x =
limx→±∞
arctg x
x − 1 = −1, limx→+∞ (f(x) − x) = limx→+∞ arctg x − x − (−x) = limx→+∞ arctg x = π
2 ,
limx→−∞ (f(x) − x) = limx→−∞ arctg x = −π
2 , odkud obdržíme asymptoty y = −x + π
2 pro x → +∞ a
y = −x − π
2 pro x → −∞.
8
pro x ∈ (−1, 1). Výsledné intervaly monotonnosti si můžeme označit graficky (obrázek
6.9). V bodě −1 pak bude lokální minimum a v 1 lokální maximum.
1−1
Obrázek 6.9. Diagram monotonnosti funkce f(x) = arctg x − x
2
.
Zderivujeme-li podruhé, vychází f′′
(x) = − 2x
(x2+1)2 . Funkce je konkávní pro x > 0 a
konvexní pro x < 0, bod 0 je inflexním.
Podobně příkladu 6.8 zjistíme asymptoty y = −x
2
+ π
2
pro x → +∞ a y = −x
2
− π
2
pro
x → −∞.
Kreslení grafu začneme nulovým bodem (0, 0), dále použijme bod lokálního maxima
(1, f(1)), kde je f(1) = arctg 1 − 1
2
= π
4
− 1
2
≈ 0,3. Bod lokálního minima bude
(−1, f(−1)) = (1, −f(−1)) (funkce je lichá).
Při poklesu od hodnoty lokálního maxima v bodě x = 1 s růstem x se křivka neustále
přibližuje k asymptotě y = −x
2
+ π
2
. Jelikož hodnota maxima je kladná a funkce f je
spojitá, musí existovat nějaký bod ξ > 1, kde je f(ξ) = 0. Asymptota y = −x
2
+ π
2
osu
x protíná při x = π, tudíž je 1 < ξ < π. Na (−∞, 0) křivku kreslíme podle souměrnosti
(obrázek 6.9). □
(a) f(x) = arctg x − x (b) f(x) = arctg x − x
2
Obrázek 6.10
9