PŘEDNÁŠKA 7
Přibližné určení hodnoty funkce
7.1. Diferencovatelnost a diferenciál
7.1.1. Diferencovatelnost funkce
Definice 7.1. Funkce f je diferencovatelná v bodě x0, jestliže existuje konstanta k
taková, že platí
lim
h→0
f(x0 + h) − f(x0) − kh
h
= 0. (7.1)
Věta 7.1. Funkce jedné proměnné f : I → R je diferencovatelná v bodě x0 právě
tehdy, když má v tomto bodě konečnou derivaci.
Diferencovatelnost funkce znamená, že v okolí daného bodu ji lze libovolně přesně
aproximovat lineární funkcí, jejíž grafem je tečna v tomto bodě (dle věty 7.1 číslo k v
(7.1) je rovno f′
(x0), což je směrnice tečny v tomto bodě).
7.1.2. Diferenciál
Nechť f má v bodě x0 derivaci. Diferenciálem funkce f v bodě x0 chápeme vyraz
df(x0) = f′
(x0) dx,
kde symboly dx a df(x0) mají následující vyznám:
(1) dx je nekonečné malý přírůstek argumentu v okolí bodu x0;
(2) df(x0) je odpovídající přírůstek hodnoty funkce f.
Uvedený vztah obdržíme, budeme-li vzorec
df(x0)
dx
= f′
(x0)
formálně chápat jako zlomek a vynásobíme obě dvě strany rovnosti členem dx. Matematicky
precizní definice diferenciálu zní takto.
Definice 7.2. Diferenciálem funkce f v bodě x0 se nazývá lineární funkce h →
df(x0)(h) = kh, kde hodnota konstanty k je taková, že platí
lim
h→0
f(x0 + h) − f(x0) − kh
h
= 0.
Víme-li, že má funkce f v bodě x0 derivaci, vzhledem k větě 7.1 lze definici 7.2 nahradit
následující.
Definice 7.3. Lineární funkce h → f′
(x0) h se nazývá diferenciálem funkce f v bodě
x0.
1
f(x) − f(x0)
α tg α = f′
(x0)
f(x0)
x0
f(x)
tečna
x0
f′
(x0) · h
x − x0 = h
Obrázek 7.1
Diferenciál f′
(x0) h vyjadřuje hlavní část přírůstku funkce f(x0 + h) − f(x0), odpovídajícího
změně argumentu h:
f(x0 + h) − f(x0) = f′
(x0) h + α(h),
kde α(h) → 0 pro h → 0. Zanedbáme-li α(h) pro malá h, vychází
f(x0 + h) − f(x0) ≈ f′
(x0) h.
Tohoto vzorce lze využít pro přibližný výpočet přírůstku funkce.
Věta 7.2. Má-li funkce f v bodě x0 derivaci, pak pro malé hodnoty h platí vzorec
f(x0 + h) − f(x0) ≈ df(x0)(h), (7.2)
přičemž chyba, jíž využitím tohoto vzorce dopustíme, směruje k 0 při zmenšení h.
Jinými slovy, pro x blízké k x0 platí
f(x) − f(x0) ≈ df(x0)(x − x0), (7.3)
kde člen df(x0)(x − x0) je přibližným vyjádřením chyby, jíž se dopustíme, nahradíme-li
f(x) hodnotou f(x0).
Diferenciál v bodě x0 je tedy lineární funkce, jež v tomto bodě napodobuje funkci f
nejlépe („lineární část“ funkce f). Lze pak dokázat, že k v definici bude rovné f′
(x0),
to jest směrnici tečny. Geometricky to znamená, že nahradíme-li část grafu funkce f v
malém okolí bodu (x0, f(x0)) nějakou přímkou, nejmenší chyby se dopustíme, když to
bude tečná přímka v tomto bodě.
7.1.3. Geometrická interpretace diferenciálu
Směrnice tečny v bodě (x0, f(x0)) je f′
(x0) = tg α (viz obrázek 7.1). Připomeňme si
také, že pro libovolné h je
f′
(x0)h = df(x0)(h).
Z obrázku 7.1 je patrné, že pro x blízké k x0 délky modré a červené úseček se liší
málo, tj. f(x) − f(x0) je blízké k hodnotě f′
(x0) · (x − x0), což je hodnota diferenciálu
df(x0)(x − x0).
2
Tudíž pro x blízké k x0 platí vzorec
f(x) − f(x0) ≈ f′
(x0)(x − x0), (7.4)
jenž znamená totéž, co (7.3). Jelikož rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě x0 je
y = f(x0) + f′
(x0)(x − x0),
vzorec (7.4) lze obdržet i tak, že v okolí bodu x0 přibližně nahradíme křivku tečnou, to
jest místo f(x) vezmeme hodnotu y z rovnice tečny:
f(x) ≈ f(x0) + f′
(x0)(x − x0), (7.5)
což je shodné s (7.4).
7.2. Přibližné určeni hodnoty funkce pomocí diferenciálu
Pro přibližné určení hodnoty funkce v případech, když nám stačí aproximace pomocí
lineárních funkcí, lze využit věty 7.2.
Příklad 7.1. Určeme přibližně hodnotu 3
√
67.
Řešení. Využijme vzorce (7.2):
f(x0 + h) − f(x0) ≈ df(x0)(h).
Vezmeme-li f(x) = 3
√
x, pak zadaný ukol znamená, že přibližně počítáme f(67).
Zvolme x0 = 64. Pak f(x0) = 3
√
64 = 4. Body x = 67 a x0 = 64 lze považovat za
blízké, h = x − x0 = 3, a podle vzorce (7.2) bude
3
√
67 −
3
√
64 = f(x0 + h) − f(x0) ≈ df(x0)(h).
Jelikož f′
(x) = (x
1
3 )′
= 1
3
x−2
3 , máme
df(x0)(h) = f′
(x0) · h =
1
3
x
−2
3
0 · 3 =
1
3 · 16
· 3 =
1
16
= 0,0625
a proto 3
√
67 − 3
√
64 ≈ 1
16
, odkud obdržíme
3
√
67 ≈
3
√
64 +
1
16
= 4 + 0,0625 = 4,0625.
Pro porovnání, dle kalkulačky vychází 3
√
67 ≈ 4,0615 . . . . □
Příklad 7.2. Určeme přibližně hodnotu ln 2.
Řešení. Lze využit vzorce (7.3)
f(x) − f(x0) ≈ df(x0)(x − x0)
s f(x) = ln x. Pak bude ln 2 = f(2). Víme, že ln e = 1, proto zvolme x0 = e, x = 2.
Jelikož 2 < e < 3 (přesněji e ≈ 2,7), lze body 2 a e považovat za dostatečně blízké a
očekávat rozumnou přesnost vzorce. Zderivováním a dosazením obdržíme
f′
(x0) =
1
x0
=
1
e
,
a proto dle vzorce
f(x) ≈ f(x0) + df(x0)(x − x0) = f(x0) + f′
(x0) · (x − x0)
= f(e) +
1
e
(2 − e) = 1 +
1
e
(2 − e) =
2
e
.
Tak obdržíme odhad ln 2 = f(2) ≈ 2
e
≈ 0,74 (ve skutečnosti je ln 2 ≈ 0,693). □
3
7.3. Taylorův vzorec
Velmi důležitým nástrojem matematické analýzy je Taylorův vzorec, jenž umožňuje
hladkou funkci v okolí daného bodu libovolně přesně aproximovat polynomy.
7.3.1. Idea aproximace funkce polynomem
Vzorec (7.4), který vzniká při aproximaci hodnoty funkce pomocí diferenciálu, lze
zapsat ve tvaru (7.5), což znamená, že pro x v okolí bodu x0 je
f(x) ≈ p(x),
kde p(x) = f(x0) + f′
(x0)(x − x0). Takové p je lineární funkcí, to jest polynomem stupně
1, přičemž platí
f(x0) = p(x0), f′
(x0) = p′
(x0), (7.6)
a rozdíl mezi f(x) a p(x) směruje k 0:
lim
x→x0
(f(x) − p(x)) = lim
x→x0
(f(x) − f(x0) − f′
(x0)(x − x0)) = 0.
Platí dokonce silnější vlastnost
lim
x→x0
f(x) − p(x)
x − x0
= lim
x→x0
f(x) − f(x0) − f′
(x0)(x − x0)
x − x0
= limx→x0
f′
(x) − f′
(x0)
1
= 0. (7.7)
Poslední rovnost, kterou jsme obdrželi1
pomocí l’Hôpitalova pravidla pro limitu typu 0
0
,
znamená, že při x → x0 bude f(x) − p(x) → 0 rychleji, než x − x0 → 0.
Nabízí se otázka, jestli nemůžeme na stejný výsledek přijít, budeme-li se snažit v okolí
bodu x0 přiblížit f(x) nějakým polynomem stupně 1
p(x) = a1x + a0
tak, aby platily rovnosti (7.6) a limita v (7.7) byla rovna 0. Je tomu skutečně tak: jelikož
pro splnění (7.6) musí být f(x0) = a1x0 + a0, f′
(x0) = a1, obdržíme p(x) = f′
(x0)x +
f(x0) − f′
(x0)x0, což vede na již odvozený vzorec.
Takto bychom mohli postupovat pro získání aproximace ve tvaru kvadratického polynomu,
která bude, očividně, přesnější. Vskutku, budeme-li přibližovat f(x) polynomem
stupně 2 je logické požadovat, aby platilo
f(x0) = p(x0), f′
(x0) = p′
(x0), f′′
(x0) = p′′
(x0). (7.8)
Vzhledem k uvedenému je přirozené takovou kvadratickou aproximaci hledat rovnou ve
tvaru2
p(x) = f(x0) + f′
(x0)(x − x0) + A(x − x0)2
.
Jelikož p(x0) = f(x0), p′
(x0) = f′
(x0) + 2A(x0 − x0) = f′
(x0), p′′
(x0) = 2A, první dvě
podmínky v (7.8) jsou splněny, a pro splnění té třetí musí být A = 1
2
f′′
(x0). Obdržíme
tak, že pro x blízká k x0 je f(x) ≈ p(x) s
p(x) = f(x0) +
f′
(x0)
1!
(x − x0) +
f′′
(x0)
2!
(x − x0)2
. (7.9)
1za předpokladu, že f′
je spojitou funkcí v bodě x0
2Mohli bychom hledat p i ve tvaru p(x) = a2x2
+ a1x + a0. Vezmeme-li pro jednoduchost x0 = 0,
bude p(0) = a0, p′
(0) = a1, p′′
(0) = 2a2, a pro splnění (7.8) musí být a0 = f(0), a1 = f′
(0), a2 = 1
2 f′′
(0),
což vede na (7.9) s x0 = 0. Pro x0 ̸= 0 polynom (7.9) obdržíme z předchozího po substitucí x − x0 = t.
4
Navíc, podobně (7.7), dle l’Hôpitalova pravidla pro polynom (7.9) platí
limx→x0
f(x) − p(x)
(x − x0)2
= lim
x→x0
f(x) − f(x0) − f′(x0)
1!
(x − x0) − f′′(x0)
2!
(x − x0)2
(x − x0)2
= lim
x→x0
f′
(x) − f′
(x0) − f′′
(x0)(x − x0)
2(x − x0)
= lim
x→x0
f′′
(x) − f′′
(x0)
2
= 0,
je-li známo, že f′′
je v bodě x0 spojitá.
Má-li funkce f v bodě x0 spojité derivace vyšších řádů, takto můžeme pokračovat pro
získání aproximací polynomy stupňů 3, 4 atd.
7.3.2. Konstrukce Taylorova polynomu
Buď f funkce, jež má v bodě x0 derivace všech řádů. Vzhledem k uvedenému v § 7.3.1
je přirozené zkusit přiblížit f(x) v okolí bodu x0 polynomem stupně n
p(x) = an(x − x0)n
+ an−1(x − x0)n−1
+ · · · + a2(x − x0)2
+ a1(x − x0) + a0 (7.10)
tak, aby platilo
f(x0) = p(x0), f′
(x0) = p′
(x0), . . . , f(n)
(x0) = p(n)
(x0) (7.11)
a navíc aby při x → x0 směroval rozdíl f(x) − p(x) k 0 rychleji, než (x − x0)n
→ 0:
lim
x→x0
f(x) − p(x)
(x − x0)n
= 0. (7.12)
Zderivujeme-li p(x) v (7.10) opakovaně, po dosazení x = x0 dostaneme
p′
(x0) = a1, p′′
(x0) = 2!a2, p′′′
(x0) = 3!a3, . . . , p(n)
(x0) = n!an (7.13)
což znamená, že pro splnění rovností (7.13) máme zvolit
a0 = f(x0), a1 =
f′
(x0)
1!
, a2 =
f′′
(x0)
2!
, . . . an =
f(n)
(x0)
n!
.
Takto přicházíme k definici Taylorova polynomu.
Definice 7.4. Buď f funkce, jež má v bodě x0 spojité derivace do řádu n včetně.
Polynom
Tn(x) = f(x0) +
f′
(x0)
1!
(x − x0) +
f′′
(x0)
2!
(x − x0)2
+ · · · +
f(n)
(x0)
n!
(x − x0)n
se nazývá Taylorův polynom stupně n pro funkci f v bodě x0. Je-li x0 = 0, polynom se
nazývá též Maclaurinův.
V případě, že je f polynomem stupně n, je Taylorův polynom Tn pro f shodný s f.
Není-li f polynomem, bude Tn(x) ≈ f(x) pouze přibližně.
Věta 7.3 (Taylorův vzorec). Buď f funkce, jež má v bodě x0 spojité derivace do řádu
n včetně. Pak pro x v okolí bodu x0 je
f(x) = f(x0) +
f′
(x0)
1!
(x − x0) +
f′′
(x0)
2!
(x − x0)2
+ · · · +
f(n)
(x0)
n!
(x − x0)n
+ rn(x),
kde pro zbytkový člen rn(x) platí
lim
x→x0
rn(x)
(x − x0)n
= 0. (7.14)
Idea důkazu. Koeficienty polynomu již byly nalezeny z podmínek (7.8). Rovnost nule
limity (7.14) se dokáže podobně § 7.3.1 opakovaným užitím l’Hôpitalova pravidla. □
5
Pro zbytkový člen rn(x) = f(x)−Tn(x) existují různá vyjádření, mimo jiné v Lagrangeově
tvaru: pro libovolné x v okolí x0 je
rn(x) =
f(n+1
(ξ)
(n + 1)!
(x − x0)n+1
, (7.15)
kde ξ je jistý bod, nacházející se mezi x0 a x. Z (7.15) je zřejmé, že pro rn platí (7.14).
7.3.3. Taylorův vzorec pro některé elementární funkce
S využitím věty 7.3 se dokáží tyto vzorce:
ex
= 1 + x +
x2
2!
+ · · · +
xn
n!
+ rn(x), (7.16a)
cos x = 1 −
x2
2!
+
x4
4!
− · · · + (−1)n x2n
(2n)!
+ r2n+1(x), (7.16b)
sin x = x −
x3
3!
+
x5
5!
− · · · + (−1)n−1 x2n−1
(2n − 1)!
+ r2n(x), (7.16c)
ln(1 + x) = x −
x2
2
+
x3
3
− · · · + (−1)n−1 xn
n
+ rn(x), (7.16d)
(1 + x)α
= 1 + αx +
α(α − 1)
2!
x2
+
α(α − 1)(α − 2)
3!
x3
+
· · · +
α(α − 1)(α − 2) . . . (α − (n − 1))
n!
xn
+ rn(x). (7.16e)
Jako důsledek lze z těchto rovností odvodit, mimo jiné, řadu významných limit, např.
lim
x→0
ex
− 1
x
= lim
x→0
x + x2
2!
+ . . .
x
= 1.
Takto rovněž odvodíme asymptotické vzorce typu sin x ∼ x, sin x ∼ x− x3
6
, 1−cos x ∼ x2
2
,
(1 + x)α
∼ 1 + αx, (1 + x)α
∼ 1 + αx + 1
2
α(α − 1)x2
pro x → 0, kde zápis u(x) ∼ v(x)
pro x → 0 znamená, že je limx→0
u(x)
v(x)
= 1.
Pro přibližný výpočet hodnoty funkce je Taylorův vzorec přesnější, než vzorec, využívající
diferenciálu.
Příklady jsou na obrázku 7.2. Vidíme, že např. vzorec
√
x + 1 ∼ 1 + 1
2
x − 1
8
x2
pro
x → 0 je přesnější, než
√
x + 1 ∼ 1 + 1
2
x; vzorec ex
≈ 1 + x + 1
2
x2
pro x → 0 je přesnější,
než ex
≈ 1 + x apod.
Příklad 7.3. Platí
0,992 = (1 − 0,008)
1
2 ≈ 1 −
1
2
0,008 = 0,996,
3
√
9 = 3
8 1 +
1
8
= 2
3
1 +
1
8
= 2 1 +
1
8
1
3
≈ 2(1 +
1
24
) ≈ 2,08.
6
(a) (b)
Obrázek 7.2
7