PŘEDNÁŠKA 8
Funkce dvou proměnných
8.1. Motivační úvahy
Mluvíme-li o funkci f jedné proměnné, představujeme si předpis
x → f(x), (1)
kde x ∈ D(f) ⊂ R. Vztah (1) obvykle zapisujeme formou y = f(x), což vyjadřuje
závislost veličiny y (závisle proměnné) na veličině x (nezávisle proměnné). Např. teplota
vozovky dálnice v závilosti na vzdálenosti od počátečního bodu (pro popis stačí pouze
jedna souřadnice, je to tedy závislost typu (1)).
Jedná-li se o teplotu podlahy v místnosti, pak pro určení polohy bodu je potřeba již
souřadnice dvě; funkční závislost by pak byla ve tvaru
(x1, x2) → f(x1, x2),
kde x1 a x2 jsou nezávisle proměnné veličiny, odpovídající souřadnicím uvažovaného bodu.
Každému bodu roviny se souřadnicemi (x1, x2) přiřazujeme hodnotu teploty f(x1, x2),
naměřenou v tomto bodě. Definičním oborem takové funkce bude množina v rovině:
D(f) ⊂ R2
.
Měříme-li teplotu půdy nebo vzduchu, musíme přidat i třetí souřadnici, jelikož taková
teplota závisí také na výšce resp. hloubce. Poloha měřeného bodu, a tudíž i naměřena
hodnota tedy závisí na třech parametrech, což vede na funkci tří proměnných:
(x1, x2, x3) → f(x1, x2, x3)
s definičním oborem v R3
. Kdybychom zde počítali i se změnou hodnoty v čase, musíme
přidat i čtvrtou proměnnou, určující časový okamžik měření, atd.
Takové vzorce vyjadřují funkce několika proměnných. Závislost sledované veličiny na
více faktorech přivádí k pojmu funkce více proměnných.
8.2. Funkce dvou proměnných
8.2.1. Základní pojmy
Dále se budeme zabývat pouze funkcemi dvou proměnných. V tomto případě je zvykem
značit nezávisle proměnné x a y, závisle proměnnou z a zapisovat předpis ve tvaru
z = f(x, y). (2)
Definice 8.1. Nechť M je nějaká neprázdná množina bodů v rovině R2
. Funkce f
dvou proměnných, definovaná na M, je předpis, který každé dvojici čišel (x, y) ∈ M
přiřazuje pravě jedno číslo f(x, y): (x, y) → f(x, y).
1
(a) (b)
Obrázek 1
Množině M, obsahující povolené hodnoty dvojice (x, y), říkáme definiční obor funkce
f a píšeme D(f) = M. Dosadíme-li za x, y nějaká konkretní čísla x0, y0, obdržíme číslo
f(x0, y0), jež je hodnotou funkce f v bodě (x0, y0).
Není-li obor M u předpisu (2) explicitně uveden, považujeme za definiční obor funkce
tzv. přirozený definiční obor, to jest nejširší množinu bodů (x, y), na níž lze tímto předpisem
funkci definovat.1
Příklad 8.2. Určeme definiční obor funkce s předpisem
z = xy(x2 + xy + y2).
Řešení. Obor není explicitně specifikován, jedná se tedy o nejširší množinu, kde má
vzorec smysl. Jediným omezením je podmínka nezápornosti výrazu pod druhou odmocninou.
Jelikož úpravou na úplný čtverec dostaneme
x2
+ xy + y2
= x2
+ 2x
y
2
+
y
2
2
+ y2
−
y2
4
= x +
y
2
2
+
3
4
y2
≥ 0,
bude výraz pod druhou odmocninou definován, je-li xy ≥ 0. Toto znamená, že musí být
buď x ≥ 0, y ≥ 0 anebo x ≤ 0, y ≤ 0 (obrázek 1a). □
Příklad 8.3. Určeme definiční obor funkce s předpisem
z = arcsin(3 − x2
− y2
).
Řešení. Definičním oborem pro arcsin = sin−1
je obor hodnot funkce sin, to jest
uzavřeny interval2
[−1, 1]. Proto musí platit 3−x2
−y2
∈ [−1, 1], tj. −1 ≤ 3−x2
−y2
≤ 1,
1 ≥ x2
+ y2
− 3 ≥ −1, 4 ≥ x2
+ y2
≥ 2. Ve výsledku obdržíme
D(f) = {(x, y) : 2 ≤ x2
+ y2
≤ 4},
což je oblast mezi kružnicemi o poloměrech
√
2 a 2 a středem v počátku, a to včetně
hranice (obrázek 1b). □
1Toto znamená, že, obsahuje-li předpis výrazy, jež nejsou definovány ve všech bodech, je potřeba
předpis doplnit upřesněním definičního oboru, a sice vyloučením bodů, kde daným předpisem funkci
definovat nelze.
2Zde a všude dále uzavřené intervaly značíme hranatými závorkami.
2
(a) (b) (c)
Obrázek 2
Příklad 8.4. Popišme definiční obor funkce s předpisem
f(x, y) = 4 x2 + y2 − 6x
y − x2
.
Řešení. Pro (x, y) ∈ D(f) musí platit buď
y − x2
> 0, x2
+ y2
− 6x ≥ 0 (3a)
anebo
y − x2
< 0, x2
+ y2
− 6x ≤ 0. (3b)
Buďte D(3a) a D(3b) množiny všech (x, y), splňujících (3a) resp. (3b). Pak bude
D(f) = D(3a) ∪ D(3b). (4)
Pro zjištění struktury těchto množin popišme vyznám jednotlivých podmínek v (3a), (3b).
Pro (3a) máme
(1) y > x2
: bod (x, y) leží nad parabolou y = x2
(hranice vyloučena);
(2) x2
+y2
−6x = x2
−2·3x+9−9 = (x−3)2
+y2
−9 ≥ 0: bod (x, y) patří vnějšku
kruhu o poloměru 3 se středem v (3, 0);
jedná se o množinu D(3a), znázorněnou na obrázku 2a. Pro (3b) je situace opačná:
(1) y < x2
: bod (x, y) leží pod parabolou y = x2
(hranice vyloučena);
(2) x2
+ y2
− 6x = (x − 3)2
+ y2
− 9 ≤ 0: bod (x, y) patří vnitřku kruhu o poloměru
3 se středem v (3, 0),
což popisuje množinu D(3b) z obrázku 2b. Hledanou množinu D(f) dle (4) obdržíme
sjednocením dvou předchozích (obrázek 2c). □
8.2.2. Graf, vrstevnice
Funkce (x, y) → f(x, y) určuje množinu bodů (x, y, z) ∈ R3
, pro něž platí (2). Toto je
rovnicí plochy v R3
, jež je grafem funkce f.
Definice 8.5. Grafem funkce f : D(f) ⊆ R2
→ R je množina
{(x, y, f(x, y)) : (x, y) ∈ D(f)}.
Graf funkce dvou proměnných s předpisem
z = f(x, y)
3
je podmnožinou trojrozměrného prostoru a oproti funkcím jedné proměnné je grafické
znázorněni takovýchto funkcí výrazně složitější. Pro získání základní představy o grafu
lze použít jeho řezy soustavou rovin.
Vykonáme-li řez 3D grafu funkce f rovinami z = c, kde c je libovolné, obdržíme
soustavu rovinných křivek, jejichž rovnice mají tvar
f(x, y) = c.
Příklad je na obrázku 3. Zde lze pozorovat, že v průmětu do roviny z = 0 obdržíme
soustavy koncentrických kružnic.
Obrázek 3. Plocha s rovnicí z = x2
+ y2
a její řezy rovinami z = c pro
různá c
Toto připomíná vrstevnice v zeměpisu, což jsou rovinné křivky, tvořené body (x, y),
kde je nadmořská výška stejná (to jest z je konstantní, kde z = f(x, y) je nadmořská
výška v bodě (x, y)). Pro obecnou funkci f dvou proměnných vrstevnice jsou určeny
vzorcem
f(x, y) = c,
kde c je konstanta.
Definice 8.6. Vrstevnice je kolmý průmět do roviny z = 0 křivky, vznikající řezem
grafu funkce f rovinou z = c.
8.3. Limita funkce jedné proměnné
Připomeňme si, že funkce jedné proměnné x → f(x) má vlastní limitu L = limx→x0 f(x),
jestliže pro každé ε > 0 existuje δε > 0 takové, že pro |x − x0| < δε platí
|f(x) − L| < ε.
Neexistenci limity limx→x0 f(x) lze dokázat:
(1) pomocí jednostranných limit (ukázat, že jednostranné limity limx→x0+ f(x) a
limx→x0− f(x) jsou různé anebo aspoň jedna z nich neexistuje);
4
(2) pomocí vybraných posloupností (sestrojit dvě posloupnosti {xn : n ≥ 1} a {¯xn :
n ≥ 1} tak, aby platilo limn→+∞ xn = limn→+∞ ¯xn = x0 a limn→+∞ f(xn) ̸=
limn→+∞ f(¯xn)).
8.4. Limita funkce dvou proměnných
Buďte f funkce dvou proměnných a L ∈ (−∞, ∞). Buď (x0, y0) nějaký bod (je možné,
že (x0, y0) ̸= D(f)). Zajímáme-li se o chování funkce f v okolí bodu (x0, y0), je přirozené
uvažovat limitu f(x, y) pro (x, y), blížící se k (x0, y0).
Definice 8.7. Číslo L je limitou funkce f při (x, y) → (x0, y0):
L = lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y), (5)
jestliže ke každému ε > 0 existuje δε > 0 takové, že pro všechna (x, y), splňující nerovnost
(x − x0)2 + (y − y0)2 < δε, platí
|f(x, y) − L| < ε.
Z geometrie víme, že hodnota (x − x0)2 + (y − y0)2 udává vzdálenost mezi body
(x, y) a (x0, y0). Zdůrazněme, že v (5) se (x, y) blíží k (x0, y0) libovolným způsobem, to
jest podle jakékoliv cesty. Výsledek tedy nesmí na volbě cesty záviset.
Poznámka 8.8. Vyšetřování limit funkcí dvou proměnných je složitější oproti případu
funkce jedné proměnné. Máme-li nějakou hypotézu ohledné možné hodnoty L, můžeme
ji zkusit ověřit pomočí definice. Pro důkaz existence limity a její výpočet se snažíme
využívat vhodných úprav a známých vztahů, popisujících chování elementárních funkcí v
určitých bodech (např. sin x ∼ x pro x → 0 apod.). Obecný postup formulovat nelze (viz
však § 8.5).
Příklad 8.9. Platí
lim
(x,y)→(0,0)
x − 3y + 4
3x + y − 7
= −
4
7
.
Řešení. Limitu lze vypočítat přímým dosazením do předpisu f(x, y) = x−3y+4
3x+y−7
hodnot
x = 0, y = 0, jelikož f(0, 0) je korektně definováno a v okolí bodu (0, 0) se funkce mění
spojitě. □
Příklad 8.10. Dokažme, že platí
lim
(x,y)→(0,0)
sin(x2
+ y2
)
x2 + y2
= 1.
Řešení. Neurčitý člen typu 0
0
. Uvedené platí, jelikož
lim
t→0
sin t
t
= 1,
a (x, y) → (0, 0) právě tehdy, když
√
x2 + y2 → 0. □
Příklad 8.11. Vypočítejme
lim
(x,y)→(0,0)
x2
+ y2
√
x2 + y2 + 1 − 1
= 2.
Řešení. Neurčitý člen typu 0
0
. Platí
x2
+ y2
√
x2 + y2 + 1 − 1
=
(x2
+ y2
)(
√
x2 + y2 + 1 + 1)
(
√
x2 + y2 + 1 − 1)(
√
x2 + y2 + 1 + 1)
5
=
(x2
+ y2
)(
√
x2 + y2 + 1 + 1)
x2 + y2 + 1 − 1
= x2 + y2 + 1 + 1.
Pak je lim(x,y)→(0,0)
x2+y2
√
x2+y2+1−1
= lim(x,y)→(0,0)
√
x2 + y2 + 1 + 1 = 2. □
8.5. Důkaz existence limity přechodem do polárních souřadnic
Pro vyšetření dvojné limity lim(x,y)→(x0,y0) f(x, y) je občas vhodné přejít k polárním
souřadnicím se středem v bodě (x0, y0): x = x0 + r cos φ, y = y0 + r sin φ.
Věta 8.12. Existují-li konstanta L a funkce g : [0, +∞) → [0, +∞) takové, že
limr→0+ g(r) = 0 a pro libovolné φ, 0 ≤ φ ≤ 2π, platí
|f(x0 + r cos φ, y0 + r sin φ) − L| ≤ g(r), (6)
pak lim(x,y)→(x0,y0) f(x, y) = L.
Důkaz. Skutečnost, že se bod (x, y) blíží k (x0, y0), znamená, že se jejich vzdálenost
blíží k 0. Zavedeme-li polární souřadnice x = x0 +r cos φ, y = y0 +r sin φ, táto vzdálenost
je (x − x0)2 + (y − y0)2 = r, a tudíž (x, y) → (x0, y0) znamená, že r → 0+.
Jelikož limr→0+ g(r) = 0, k libovolnému ε > 0 lze najít δε tak, aby pro r < δε bylo
g(r) < ε. Proto dle (6) platí |f(x, y) − L| < ε, je-li vzdálenost bodu (x, y) od (x0, y0)
menši, než δε. Stačí se odkázat na definici 8.7. □
Na odhad (6) typicky přijdeme, obdržíme-li po zavedení polárních souřadnic vztah
tvaru
f(x0 + r cos φ, y0 + r sin φ) = L + g(r)h(r, φ), (7)
kde limr→0+ g(r) = 0 a |h(r, φ)| ≤ K pro (r, φ) ∈ (0, r0] × [0, 2π] s nějakým r0.
Příklad 8.13. Platí
lim
(x,y)→(0,0)
x2
y
x2 + y2
= 0.
Řešení. Zavedeme-li polární souřadnice x = r cos φ, y = r sin φ, bude
x2
y
x2 + y2
=
r2
r cos2
φ sin φ
r2
= r cos2
φ sin φ,
to jest pro f(x, y) = x2y
x2+y2 platí (7) s L = 0 a g(r) = r a h(r, φ) = cos2
φ sin φ. Jelikož
|h(r, φ)| = cos2
φ |sin φ| ≤ 1, dle věty 8.12 je lim(x,y)→(0,0) f(x, y) = 0. □
Poznámka 8.14. Podmínka (6) věty 8.12 je podstatná. Zjistíme-li totiž, že limita
limr→0+ f(x0 +r cos φ, y0 +r sin φ) má stejnou hodnotu pro libovolná φ, toto samo o sobě
ještě neznamená existenci limity lim(x,y)→(x0,y0) f(x, y) (viz příklad 8.21, poznámka 8.22).
8.6. Dvojnásobné limity
Může se zdát, že přechod (x, y) → (x0, y0) v (5) lze provést i tak, že vypočítáme
např. limx→x0 f(x, y) a následně přejdeme k limitě pro y → y0. Toto ovšem může vést na
nesprávný výsledek, jelikož limity
lim
y→y0
lim
x→x0
f(x, y), lim
x→x0
lim
y→y0
f(x, y), (8)
jimž se říká dvojnásobné, obecně řečeno, nemusí být shodné s lim(x,y)→(x0,y0) f(x, y). Na
rozdíl od (8), limitě lim(x,y)→(x0,y0) f(x, y), chápané dle definice 8.7, se říká limita dvojná.
Věta 8.15. Nechť existuje lim(x,y)→(x0,y0) f(x, y). Pak platí následující.
6
(1) Existuje-li limx→x0 f(x, y) pro libovolné y v okolí bodu y0, pak existuje i limita
limy→y0 limx→x0 f(x, y), přičemž platí
limy→y0
limx→x0
f(x, y) = lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y).
(2) Existuje-li limy→y0 f(x, y) pro libovolné x v okolí bodu x0, pak existuje i limita
limx→x0 limy→y0 f(x, y), přičemž platí
limx→x0
limy→y0
f(x, y) = lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y).
Věty 8.15 lze využít pro důkaz neexistence dvojné limity.
Důsledek 8.16. Jsou-li hodnoty limit limy→y0 limx→x0 f(x, y) a limx→x0 limy→y0 f(x, y)
různé, pak dvojná limita lim(x,y)→(x0,y0) f(x, y) neexistuje.
Důkaz. Dle věty 8.15 z existence třech zmíněných limit plyne, že všechny mají stejnou
hodnotu. □
Příklad 8.17. Vypočtěme dvojnásobné limity funkce
f(x, y) =
y − x
y + x
při x → 0, y → 0.
Řešení. Dle definice dvojnásobné limity je
lim
y→0
lim
x→0
y − x
y + x
= lim
y→0
y − 0
y + 0
= 1, lim
x→0
lim
y→0
y − x
y + x
= lim
x→0
0 − x
0 + x
= −1.
Hodnoty dvojnásobných limit jsou tedy různé. Dle důsledku 8.16 z toho lze odvodit, že
dvojná limita lim(x,y)→(0,0)
y−x
y+x
neexistuje. □
Obecně řečeno, nejenže se hodnoty dvojnásobných limit mohou lišit, nějaká z nich
nemusí ani existovat.
Příklad 8.18. Vypočtěme dvojnásobné limity funkce
f(x, y) = x sin
1
y
při x → 0, y → 0.
Řešení. Jelikož limx→0 x sin 1
y
= (limx→0 x) sin 1
y
= 0 pro libovolné y ̸= 0, platí
lim
y→0
lim
x→0
x sin
1
y
= 0.
Limita limx→0 limy→0 x sin 1
y
neexistuje, neboť pro x ̸= 0 neexistuje ani limy→0 x sin 1
y
. □
8.7. Případy neexistence limity
Skutečnost, že lim(x,y)→(x0,y0) f(x, y) = L, dle definice 8.7 znamená, že hodnota f(x, y)
se neomezeně přibližuje k L, když se vzdálenost bodu (x, y) od (x0, y0) blíží k 0. Rozhoduje
vzdálenost, nikoliv jednotlivé cesty, kudy (x, y) → (x0, y0). Hodnota f se tedy musí blížit
k L na každé cestě do (x0, y0). Této skutečnosti lze využit, máme-li podezření, že daná
limita s největší pravděpodobností neexistuje, a chtěli bychom to dokázat.
7
8.7.1. Různé limitní hodnoty funkce podle určitých cest
Pomocí uvedené úvahy neexistenci limity lim(x,y)→(x0,y0) f(x, y) dokážeme, najdeme-li
dvě cesty Γ1 a Γ2 tak, že při přibližování (x, y) k (x0, y0) podle Γ1 bude f(x, y) → L1
a podle Γ2 bude f(x, y) → L2 s L2 ̸= L1. Takové cesty lze často najít, uvažujeme-li
přibližování (x, y) → (x0, y0)
(1) podle přímek (to jest, uvažujeme-li (x, y) spojené vztahem y − y0 = k(x − x0),
kde k je konstanta);
(2) podle parabol (y − y0 = k(x − x0)2
).
8.7.2. Využití polárních souřadnic
Občas je vhodné přejít k polárním souřadnicím (r, φ) podle vzorců x = x0 + r cos φ,
y = y0 + r sin φ; pak bude (x − x0)2
+ (y − y0)2
= r2
, a (x, y) → (x0, y0) znamená,
že r → 0+. Obdržíme-li po přechodu k limitě v f(x0 + r cos φ, y0 + r sin φ) při r → 0+
výsledek závislý na směru φ, můžeme z toho odvodit, že lim(x,y)→(x0,y0) f(x, y) neexistuje.3
8.7.3. Dvojnásobné limity
Neexistenci dvojné limity dokážeme, zjistíme-li, že odpovídající dvojnásobné limity
nemají stejnou hodnotu (důsledek 8.16).
8.7.4. Příklady
Ukažme užití hořejšího na příkladech.
Příklad 8.19. Limita
lim
(x,y)→(0,0)
xy
x2 + y2
neexistuje.
Řešení 8.19.1. Limita neexistuje, neboť změna hodnoty xy
x2+y2 záleží na cestě, podle
jaké (x, y) → (0, 0). Nechť (x, y) → (0, 0) např. tak, že (x, y) = (x, 0). Pak je vždy
xy
x2 + y2
=
x · 0
x2 + 02
= 0.
Vezmeme-li (x, y) = (x, x), kde x → 0, obdržíme
xy
x2 + y2
=
x2
2x2
=
1
2
.
Limita tedy existovat nemůže. □
Řešení 8.19.2. Jiný způsob: zaveďme polární souřadnice
x = r cos φ, y = r sin φ.
Potom
√
x2 + y2 = r2 cos2 φ + r2 sin2
φ = r, a tudíž
√
x2 + y2 → 0 znamená, že r → 0.
Nesmí tedy záležet na uhlu φ (tj. směru). Vyjádříme-li výraz pod limitou pomocí polárních
souřadnic, dostaneme
f(x, y) =
xy
x2 + y2
=
r2
cos φ sin φ
r2
= cos φ sin φ =
1
2
sin 2φ. (9)
Při φ = 0 vychází f(x, y) = f(r cos 0, r sin 0) = f(r, 0) = 0 pro libovolné r ≥ 0. Vezmemeli
φ = π
4
, dle (9) dostaneme f(x, y) = 1
2
sin π
2
= 1
2
. □
3Můžeme si všimnout, že, je-li φ ∈ [0, π
2 ) pevně dané, pohyb bodu (x0 + r cos φ, y0 + r sin φ) při
r → 0+ odpovídá přibližování k (x0, y0) podle přímek y = y0 + k(x − x0) se směrnicí k = tg φ. Při φ = π
2
se jedná o přibližování podle svislé souřadné osy.
8
Řešení 8.19.3. Zkusme (x, y) → (0, 0) podle přímek y = kx, to jest zvolme (x, y) ve
tvaru (x, y) = (x, kx). Pak bude
xy
x2 + y2
=
kx2
x2 + k2x2
=
k
1 + k2
.
Vidíme, že se funkce blíží k různým hodnotám, zvolíme-li např. k = 0 ( xy
x2+y2 = 0) a k = 1
( xy
x2+y2 = 1
2
). Pro tyto hodnoty směrnice k obdržíme řešení 8.19.1, jež je tudíž speciálním
případem stávajícího. □
Příklad 8.20. Vyšetřeme
lim
(x,y)→(0,0)
x2
− y2
x2 + y2
.
Řešení 8.20.1. Položme f(x, y) = x2−y2
x2+y2 . Funkce f je definována na R2
\ {(0, 0)}.
Jelikož
f(x, x) = 0, f(0, y) =
−y2
y2
= −1
pro y > 0, lze usoudit, že limita neexistuje. □
Řešení 8.20.2. Pro důkaz neexistence lze využít dvojnásobných limit. Jelikož
lim
y→0
lim
x→0
x2
− y2
x2 + y2
= lim
y→0
lim
x→0
x2
x2
= 1, lim
x→0
lim
y→0
x2
− y2
x2 + y2
= lim
x→0
lim
x→0
−y2
y2
= −1,
dvojná limita neexistuje dle důsledku 8.16. □
Řešení 8.20.3. V polárních souřadnicích x = r cos φ, y = r sin φ pro libovolné r bude
f(r cos φ, r sin φ) =
cos2
φ − sin2
φ
cos2 φ + sin2
φ
= cos 2φ,
což explicitně závisí na hodnotě φ. □
Příklad 8.21. Vyšetřeme
lim
(x,y)→(0,0)
xy2
x2 + y4
.
Řešení. Blíží-li se bod (x, y) k (0, 0) podle parabol x = ky2
, bude
f(ky2
, y) =
ky4
k2y4 + y4
=
k
k2 + 1
,
což závisí na hodnotě k, a tudíž limita neexistuje. □
Poznámka 8.22. Zavedeme-li v příkladě 8.21 polární souřadnice x = r cos φ, y =
r sin φ, dostaneme
f(r cos φ, r sin φ) =
r3
cos φ sin2
φ
r2 cos2 φ + r4 sin4
φ
=
r cos φ sin2
φ
r cos2 φ + sin4
φ
→ 0 (10)
pro r → 0+, a to při libovolném φ. Limita limr→0+ f(r cos φ, r sin φ) tedy nezávisí na
hodnotě φ. Limita lim(x,y)→(0,0) f(x, y) však neexistuje. Zdánlivý spor s větou 8.12 rozřešíme,
všimneme-li si, že i když dle (10) pro f(r cos φ, r sin φ) platí (7) s L = 0, g(r) = r
9
a h(r, φ) = cos φ sin2 φ
r cos2 φ+sin4 φ
, nemůžeme zde zaručit4
omezenost výrazu h(r, φ) pro všechna
0 < r ≤ r0 a 0 ≤ φ ≤ 2π.
8.8. Spojitost funkce dvou proměnných
Definice 8.23. Funkce f je spojitou v bodě (x0, y0), jestliže
lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) = f(x0, y0).
Podle analogie s funkcí jedné proměnné, graf funkce spojité v bodě (x0, y0), v okolí
tohoto bodu představuje nepřerušenou plochu bez děr a trhlin.
Řada dříve uvažovaných vlastností spojitých funkcí platí i v případě funkce dvou proměnných
(např. součet a součin spojitých funkcí je funkce spojitá). Platí rovněž tvrzení,
podobná některým větám, využívajícím spojitost funkce jedné proměnné. Uveďme pouze
Weierstrassovu větu o extrémních hodnotách spojité funkce.
Věta 8.24 (Weierstrassova věta). Funkce spojitá na omezené uzavřené5
množině nabývá
na ní svých největší a nejmenší hodnot.
Příklad 8.25. Funkce
f(x, y) =



x2−y2
x2+y2 pro x ̸= 0, y ̸= 0
1 pro x = y = 0
není spojitá v (0, 0), neboť dle příkladu 8.20 limita lim(x,y)→(0,0) f(x, y) neexistuje.
Příklad 8.26. Funkce
f(x, y) =



x2y
x2+y2 pro x ̸= 0, y ̸= 0
0 pro x = y = 0
je spojitá v (0, 0), neboť f(0, 0) = 0 a dle příkladu 8.19 lim(x,y)→(0,0) f(x, y) = 0.
Body nespojitosti funkce nemusí být izolované a mohou sestavovat i souvislé množiny.
Příklad 8.27. Funkce
f(x, y) =
3x − y + 1
y − x2
je spojitá všude, kromě bodů paraboly y = x2
.
Příklad 8.28. Funkce
f(x, y) =
1
5
√
y2 − x2
je spojitá všude, kromě bodů přímek y = x a y = −x.
4Všimněme si, že pro h(r, φ) = cos φ sin2
φ
r cos2 φ+sin4 φ platí
lim
φ→0+
lim
r→0+
h(r, φ) = lim
φ→0+
cos φ sin2
φ
sin4
φ
= lim
φ→0+
cos φ
sin2
φ
= +∞
a tudíž nemůže být h(r, φ) omezené v okolí bodu (0, 0).9
5Uzavřenou množinou v rovině rozumíme množinu, obsahující svoji hranici. Přesnější vyjádření této
vlastnosti zde rozebírat nebudeme.
10