PŘEDNÁŠKA 9
Funkce dvou proměnných: parciální derivace, diferenciál
9.1. Parciální derivace prvního řádu
Mějme funkci f dvou proměnných. Zapišme výraz f(x, y) a „zmrazme“ v něm y (to
jest budeme v tomto okamžiku považovat y za konstantní hodnotu). Zderivujme tento
vyraz podle x. Výsledkem bude tzv. parciální derivace funkce f vzhledem k proměnné x.
Značí se obvykle f′
x(x, y) nebo jinak ∂
∂x
f(x, y). Podobně se definuje f′
y(x, y) = ∂
∂y
f(x, y).
Poznámka 9.1. Máme-li předpis z = f(x, y), píšeme z′
x = ∂
∂x
f(x, y), z′
y = ∂
∂y
f(x, y)
a rozumíme každý ze symbolů z′
x, z′
y jako celek. Písmeno „d“ se zde tradičně zapisuje v
podobě „∂“, aby se zdůraznila odlišnost od derivace dz
dx
funkce jedné proměnné.
Pro výpočet parciálních derivací vesměs využíváme postupů, již známých pro derivaci
funkce jedné proměnné.
Příklad 9.2. Nalezněme parciální derivace 1. řádu funkce
f(x, y) = 3 x3
y2
− sin (x + 4 y) .
Řešení. Derivujeme podle x s konstantním y:
∂
∂x
f(x, y) = 9x2
y2
− cos(x + 4y).
Derivujeme podle y; pak je x konstantní:
∂
∂y
f(x, y) = 6 x3
y − 4 cos (x + 4 y) .
Příklad 9.3. Vypočtěme parciální derivace 1. řádu funkce
f(x, y) = arctg(x2
+ y2
).
Řešení. Podle vzorce pro derivaci složené funkce dostaneme
∂f
∂x
(x, y) =
1
1 + (x2 + y2)2
·
∂f
∂x
(x2
+ y2
) =
2x
1 + (x2 + y2)2
,
∂f
∂y
(x, y) =
1
1 + (x2 + y2)2
·
∂f
∂x
(x2
+ y2
) =
2y
1 + (x2 + y2)2
.
Všimneme-li si symetrického charakteru předpisu funkce (f(x, y) = f(y, x) pro všechna
x, y), můžeme ∂f
∂y
(x, y) obdržet záměnou x a y v již vypočítané derivaci ∂f
∂x
(x, y). □
Příklad 9.4. Pro x > 0 vypočtěme parciální derivace 1. řádu funkce
f(x, y) = xy
.
1
(a) (b)
Obrázek 9.1
Řešení. Dle proměnné x je to funkce mocninná, a tudíž bude
∂
∂x
(xy
) = yxy−1
.
Podle y pak derivujeme funkci exponenciální o základu x,
∂
∂y
(xy
) = xy
ln x.
9.2. Geometrický význam parciálních derivací
Parciální derivace funkce podle jednotlivých proměnných udávají směrnice křivek,
vznikajících v řezu grafu funkce rovinami rovnoběžnými s příslušnými osami. Toto znamená,
že v jakémkoliv bodě (x0, y0), kde má funkce f parciální derivace, hodnota
∂f
∂x
(x0, y0) (resp. ∂f
∂y
(x0, y0)) udává směrnici tečny ke grafu křivky z = f(x, y0) (resp.
z = f(x0, y)).
Parciální derivace ∂f
∂x
(x0, y0) udává rychlost změny funkce f v bodě (x0, y0) v kladném
směru osy x. Analogicky pro ∂f
∂y
(x0, y0). Geometrické znázornění je na obrázku 9.1.
9.3. Diferencovatelnost a totální diferenciál
Nechť má funkce f : R2
→ R v okolí nějakého bodu (x, y) spojité parciální derivace
1. řádu. Analogicky případu funkce jedné proměnné, jejíž diferenciál df udává přírůstek
hodnoty funkce, způsobeny nekonečné malou změnou argumentu, je přirozené zavést
diferenciál funkce dvou proměnných.
Intuitivní „definice“ 9.5. Totálním diferenciálem funkce f je výraz
df =
∂f
∂x
dx +
∂f
∂x
dy, (1)
jenž vyjadřuje přírůstek hodnoty f, odpovídající nekonečné malým přírůstkům argumentů
dx a dy.
2
Chceme-li popsat tento pojem přesněji, lze říci, že diferenciál df(x, y) v bodě (x, y)
je tzv. „bilineární forma“ dvou proměnných h a k:
df(x, y)[h, k] =
∂f
∂x
(x, y) · h +
∂f
∂y
(x, y) · k, (2)
to jest výraz, obsahující proměnné h a k a lineární podle každé z nich. Toto však ještě
neurčuje jasně to, kdy a jakým způsobem df popisuje změnu f. Pro precizní zavedení
pojmu diferenciálu musíme hovořit o diferencovatelnosti funkce dvou proměnných.
Definice 9.6. Říkáme, že je funkce f v bodě (x0, y0) diferencovatelná, jestliže existují
konstanty A a B takové, že platí
lim
(h,k)→(0,0)
f(x0 + h, y0 + k) − f(x0, y0) − Ah − Bk
√
h2 + k2
= 0. (3)
Lineární funkce (h, k) → Ah + Bk se nazývá diferenciálem1
funkce f v bodě (x0, y0) a
značí se df(x0, y0): df(x0, y0)(h, k) = Ah + Bk.
Hovoříme-li o diferencovatelnosti funkce f v bodě (x0, y0), jedná se, v podstatě, o
existenci diferenciálu df(x0, y0), což znamená, že její přírůstek v okolí bodu (x0, y0) lze
vyjádřit ve tvaru
f(x0 + h, y0 + k) − f(x0, y0) = Ah + Bk + α(h, k), (4)
kde α(h, k) je výraz vyššího řádu malosti, než je velikost vektoru (h, k):
lim
(h,k)→(0,0)
α(h, k)
√
h2 + k2
= 0.
Ukáže se, že pro diferencovatelnou funkci výraz Ah + Bk je právě (2), to jest (2) je
diferenciálem f ve smyslu definice 9.6.
Věta 9.7. Je-li f diferencovatelná v bodě (x0, y0), pak má v tomto bodě parciální
derivace a v (3) je A = f′
x(x0, y0), B = f′
y(x0, y0).
Poznámka 9.8. Tvrzení, opačné větě 9.7, neplatí: z existence v daném bodě parciálních
derivací neplyne diferencovatelnost funkce v tomto bodě.
Věta 9.9. Jsou-li parciální derivace funkce f definovány v okolí bodu (x0, y0) a spojité,
pak má funkce f v tomto bodě diferenciál.
Diferencovatelnost funkce vyjadřuje hladkost jejího grafu v okolí daného bodu (viz
dále § 9.8). Mimo jiné, diferencovatelná funkce je vždy spojitá.
Věta 9.10. Je-li f diferencovatelná v bodě (x0, y0), pak je v tomto bodě spojitá.
9.4. Využití diferenciálu pro odhad přírůstku funkce
Zanedbáme-li v (4) malý člen α(h, k), dostaneme vzorec
f(x0 + h, y0 + k) − f(x0, y0) ≈
∂f
∂x
(x0, y0) · h +
∂f
∂y
(x0, y0) · k, (5)
jehož lze využit pro přibližný výpočet přírůstku funkce.
Příklad 9.11. Pomocí diferenciálu odhadněme absolutní a relativní chybu výpočtu
objemu rotačního válce s poloměrem podstavy r = 5 a výškou H = 10, jsou-li rozměry r
a H známy s chybami ∆r < 0.02, ∆H < 0.01.
1Říká se přesněji „totální“ anebo „Fréchetův“ diferenciál
3
Řešení. Objem rotačního válce s poloměrem podstavy r a výškou H je
V = πr2
H. (6)
Jsou-li r a H známy s malými chybami ∆r, ∆H, dle vzorce (5) bude výsledná chyba
výpočtu objemu ∆V = V (r + ∆r, H + ∆H) − V (r, H) přibližně rovna
∆V ≈ V ′
r ∆r + V ′
H∆H = 2πrH∆r + πr2
∆H = πr(2H∆r + r∆H),
což v uvažovaném případě dává
∆V ≈ 5π (20∆r + 5∆H) < 5π 20 ·
2
100
+ 5 ·
1
100
=
225π
100
=
9π
4
≈ 7.07.
Jelikož dle (6) pro dané rozměry válce je V = 250π, relativní chyba bude přibližně
∆V
V
= 9π
4·250π
= 0.009. □
Příklad 9.12. Pomocí diferenciálu vypočtěme přibližně hodnotu f(2.9, 3.8) pro funkci
f(x, y) = x + y + x2 + y2.
Řešení. Položme x0 = 3, y0 = 4. Vypočtěme parciální derivace
∂f
∂x
= 1 −
1
2
√
x2 + y2
2x = 1 −
x
√
x2 + y2
,
∂f
∂y
= 1 −
y
√
x2 + y2
a využijme vzorce
f(x, y) − f(x0, y0) ≈ df(x0, y0)[x − x0, y − y0]
s x0 = 3, y0 = 4, x = 2.9, y = 3.8:
f(x, y) − f(x0, y0) ≈ df(x0, y0)[x − x0, y − y0]
=
∂f
∂x
(x0, y0) · (x − x0) +
∂f
∂y
(x0, y0) · (y − y0)
=
∂f
∂x
(3, 4) · (−0.1) +
∂f
∂y
(3, 4) · (−0.2).
Po vykonání výpočtů dostaneme f(3, 4) = 3 + 4 −
√
32 + 42 = 2,
∂f
∂x
(3, 4) = 1 −
3
√
32 + 42
= 1 −
3
5
= 0.4,
∂f
∂y
(3, 4) = 1 −
4
√
32 + 42
= 1 −
4
5
= 0.2.
Pak bude
f(2.9, 3.8) − f(3, 4) ≈
∂f
∂x
(3, 4) · (−0.1) +
∂f
∂y
(3, 4) · (−0.2)
= 0.4 · (−0.1) + 0.2(−0.2) = −0.08,
a vyjde f(2.9, 3.8) ≈ f(3, 4) − 0.08 = 1.92. Kontrola výsledku pomocí počítače dává:
f(2.9, 3.8) ≈ 1.9198 . . . . □
9.5. Parciální derivace složených výrazů
Platí jistá zobecnění vzorce pro derivaci složené funkce. Mějme funkci s předpisem
u = f(x, y, z) a uvažujme x, y, z jako funkce jiné proměnné t. Obdržíme tak funkci
u = u(t). Pak, existují-li příslušné derivace a jsou-li spojité, bude
du
dt
=
∂f
∂x
dx
dt
+
∂f
∂y
dy
dt
+
∂f
∂z
dz
dt
.
4
9.6. Parciální derivace vyšších řádů
Parciální derivace vyšších řádů vznikají postupným výpočtem jednotlivých parciálních
derivací již nalezených parciálních derivací. Parciální derivace druhého řádu jsou
∂2
f
∂x2
=
∂
∂x
∂f
∂x
,
∂2
f
∂x∂y
=
∂
∂y
∂f
∂x
,
∂2
f
∂y∂x
=
∂
∂x
∂f
∂y
,
∂2
f
∂y2
=
∂
∂y
∂f
∂y
.
Značíme je také f′′
xx, f′′
xy atd.
Věta 9.13 (Schwarzova věta). Existují-li v bodě (x0, y0) smíšené parciální derivace
∂2f
∂x∂y
(x0, y0) a ∂2f
∂y∂x
(x0, y0) a jsou-li v bodě (x0, y0) spojité, pak platí
∂2
f
∂x∂y
(x0, y0) =
∂2
f
∂y∂x
(x0, y0).
9.7. Gradient
Nechť f : R2
→ R.
Definice 9.14. Gradientem funkce f se nazývá vektor
grad f =


∂f
∂x
∂f
∂y

 .
Jinak se značí grad f = ∇f.
Věta 9.15. V každém bodě (x0, y0) ukazuje vektor grad f(x0, y0) směr největšího
růstu funkce f a je kolmý vrstevnici.
Zakreslíme-li v každém bodě (x, y) úsečku přímky ve směru gradientu grad f(x, y),
obdržíme tzv. pole gradientů funkce f.
Obrázek 9.2. Vrstevnice pro f(x, y) = x2
+ 4y2
− xy2
a pole gradientů.
Směr gradientu je vždy kolmý vrstevnici.
9.8. Tečná rovina a normála
Existence diferenciálu funkce jedné proměnné znamená existenci tečné přímky a vyjadřuje
hladkost grafu funkce v okolí daného bodu. Toto lze přirozeným způsobem zobecnit
pro případ funkce dvou proměnných, budeme-li mluvit o tečné rovině.
5
9.8.1. Tečna ke grafu funkce jedné proměnné
Připomeňme si definici diferencovatelnosti funkce jedné proměnné: funkce f je diferencovatelná
v bodě x0, jestliže existuje konstanta A taková, že platí
lim
h→0
f(x0 + h) − f(x0) − Ah
h
= 0, (7)
přičemž se dokáže, že v (7) bude A = f′
(x0). Platí tedy, že je
f(x0 + h) − f(x0) − f′
(x0)h = α(h),
kde α(h) je veličinou řádu malosti vyššího, než h: limh→0
α(h)
h
= 0. Tento vzorec lze zapsat
ve tvaru
f(x0 + h) = f(x0) + f′
(x0)h + α(h).
Výraz f(x0) + f′
(x0)h je hodnotou v bodě x = x0 + h funkce x → f(x0) + f′
(x0)(x − x0),
jejíž grafem je tečna v bodě (x0, f(x0)). Diferencovatelnost funkce v x0 tedy znamená,
má funkce v bodě (x0, f(x0)) tečnu a lze ji v okolí tohoto bodu aproximovat příslušnou
lineární funkcí.
Tyto úvahy umožňují formulovat jinou definici tečny ke grafu funkce, jíž jsme původně
chápali jako limitní polohu sečny.
Definice 9.16. Přímka o rovnici y = ax+c, procházející bodem (x0, f(x0)), je tečnou
přímkou ke grafu funkce f v bodě (x0, f(x0)), jestliže platí
lim
x→x0
f(x) − ax − c
x − x0
= 0. (8)
Podle hořejšího vyjde2
v (8) a = f′
(x0), c = f(x0) − f′
(x0)x0, což odpovídá rovnici
tečny y = f(x0) + f′
(x0)(x − x0).
9.8.2. Definice tečné roviny
Přirozeným zobecněním definice 9.16 zavádíme pojem tečné roviny.
Definice 9.17. Říkáme, že rovina o rovnici z = ax + by + c, procházející bodem
(x0, y0, f(x0, y0)), je tečnou rovinou ke grafu funkce f v bodě (x0, y0, f(x0, y0)), jestliže
platí
lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) − ax − by − c
(x − x0)2 + (y − y0)2
= 0. (9)
Věta 9.18. Tečná rovina ke grafu funkce f v bodě (x0, y0, f(x0, y0)) existuje tehdy a
právě tehdy, když je f v (x0, y0) diferencovatelná. Rovnicí této tečné roviny je
z − z0 = f′
x(x0, y0)(x − x0) + f′
y(x0, y0)(y − y0), (10)
kde z0 = f(x0, y0).
2Vskutku, přímka y = ax + c prochází bodem (x0, f(x0)), a proto f(x0) = ax0 + c. Musí tedy být
c = f(x0) − ax0, což znamená, že má (8) tvar
lim
x→x0
f(x) − f(x0) − a(x − x0)
x − x0
= 0,
a dostaneme a = f′
(x0).
6
(a) (b)
Obrázek 9.3
Důkaz. Z předpokladu, že rovina y = ax + by + c prochází bodem (x0, y0, f(x0, y0)),
obdržíme f(x0, y0) = ax0 + by0 + c. Proto v (9) je c = f(x0, y0) − ax0 − by0 :
lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y) − f(x0, y0) − a(x − x0) − b(y − y0)
(x − x0)2 + (y − y0)2
= 0.
Táto vlastnost však znamená diferencovatelnost f v bodě (x0, y0), a proto a = f′
x(x0, y0),
b = f′
y(x0, y0). Dostáváme tak rovnici (10). □
Tečná rovina ke grafu z = f(x, y) v bodě (x0, y0, f(x0, y0)) je určena tečnými přímkami
o směrnicích f′
x(x0, y0), f′
y(x0, y0) křivek, vznikajících v řezu plochy rovinami x = x0 a
y = y0 (obrázek 9.3)
9.8.3. Normála
Rovnici (10) lze upravit na tvar
f′
x(x0, y0)(x − x0) + f′
y(x0, y0)(y − y0) + (−1)(z − z0) = 0,
což znamená, že vektor
⃗n = f′
x(x0, y0), f′
y(x0, y0), −1 (11)
je kolmý s vektorem (x − x0, y − y0, z − z0) pro každý bod (x, y, z) tečné roviny v bodě
(x0, y0, z0) (připomeňme si, že z0 = f(x0, y0)). Vektor ⃗n je tudíž kolmý s tečnou rovinou
v bodě (x0, y0, f(x0, y0)).
Definice 9.19. Vektor (11) se nazývá normálním vektorem plochy z = f(x, y) v
bodě (x0, y0, f(x0, y0)). Přímka, protínající plochu z = f(x, y) v bodě (x0, y0, f(x0, y0))
ve směru tohoto vektoru, se nazývá normálou.
Parametrické rovnice normály jsou
x = x0 + tf′
x(x0, y0), y = y0 + tf′
y(x0, y0), z = z0 − t.
9.9. Věta o střední hodnotě
Pro funkce dvou proměnných platí obdoba Lagrangeovy věty o střední hodnotě.
Věta 9.20. Buď f funkce dvou proměnných, definovaná na nějakém obdélníku M =
[a1, a2]×[b1, b2] a mající parciální derivace v každém bodě z M. Pak pro libovolná (x0, y0)
7
a (x, y) v M platí
f(x, y) − f(x0, y0) =
∂f
∂x
(ξ, y0)(x − x0) +
∂f
∂y
(x0, η)(y − x0),
kde ξ, η jsou jisté body takové, že ξ leží mezi x0 a x a η leží mezi y0 a y.
Důkaz. Stačí přírůstek f(x, y) − f(x0, y0) upravit do podoby
f(x, y) − f(x0, y0) = f(x, y0) − f(x0, y0) + f(x, y) − f(x, y0)
a dvakrát využit Lagrangeovy věty pro funkce jedné proměnné. □
9.10. Směrová derivace
Mějme nenulový vektor ⃗u ∈ R2
a f : R2
→ R. Zaveďme ⃗r =
x
y
; pak máme ⃗r → f(⃗r).
Parciální derivace funkce f podle x udává rychlost změny její hodnoty podle proměnné
x, neboli, jinak řečeno, ve směru jednotkového vektoru⃗i vodorovné souřadné osy. Podobné
lze říci ohledné f′
y. Směrová derivace udává rychlost změny hodnoty funkce ve směru
nějakého jednotkového vektoru ⃗u v obecné poloze.
Definice 9.21. Derivace funkce f ve směru ⃗u je
∂f
∂⃗u
(⃗r) = lim
t→0
f(⃗r + t⃗u) − f(⃗r)
t
.
Jinak by se dalo zapsat ∂f
∂⃗u
(⃗r) jako ϕ′
(0), kde ϕ(t) = f(⃗r + t⃗u).
Věta 9.22. Má-li funkce f v bodě (x, y) derivaci, pro libovolný vektor ⃗u o velikosti
1 platí
∂f
∂⃗u
(x, y) = (grad f(x, y), ⃗u). (12)
Zde je (grad f, ⃗u) = ∂f
∂x
u1 + ∂f
∂y
u2 (skalární součin). Vzorec (12) lze zapsat ve tvaru
∂f
∂⃗u
=
∂f
∂x
cos α +
∂f
∂y
sin α,
vyjádříme-li souřadnice jednotkového vektoru ⃗u přes úhel α, jenž tento vektor svírá s kladným
směrem vodorovné osy. Potřebujeme-li počítat derivaci ve směru ⃗u, kde je velikost
|⃗u| vektoru ⃗u odlišná od 1, použijeme normalizovaný vektor 1
|⃗u|
⃗u.
Příklad 9.23. Pro funkci
f(x, y) = arctg(x2
+ y2
)
vypočtěme ∂f
∂⃗u
, kde je ⃗u =
1
2
.
Řešení. Dle příkladu 9.3 je ∂f
∂x
(x, y) = 2x
1+(x2+y2)2 , ∂f
∂y
(x, y) = 2y
1+(x2+y2)2 a tudíž
grad f =
2
1 + (x2 + y2)2
x
y
.
Velikost vektoru ⃗u je |⃗u| =
√
5, normalizovaný směrový vektor bude 1√
5
⃗u. Pak dle
věty 9.22
∂f
∂⃗u
=
2
√
5(1 + (x2 + y2)2)
(x · 1 + y · 2) =
2
√
5
x + 2y
1 + (x2 + y2)2
.
8