Fyzikální motivace pro výuku
matematiky 2
Břetislav Fajmon
Email: fajmon@ped.muni.cz
Pedagogická fakulta Masarykovy univerzity, Brno 2018
1
Obsah
1 Převody fyzikálních jednotek 14
2 Pohyb hmotného bodu po přímce 14
3 Vektory a některá jejich využití 14
4 Pohyb hmotného bodu v rovině a prostoru 14
5 Síla a pohyb – Newtonovy zákony 14
6 Síla a pohyb – tření, dostředivá síla 14
7 Kinetická energie při pohybu hmotného bodu 15
7.1 Kinetická energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
7.2 Práce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
7.3 Práce a kinetická energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
7.4 Práce tíhové síly G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7.5 Práce proměnné síly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
7.6 Funkce y = ln x, y = ex
a jejich vlastnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
7.7 Cvičení – neurčitý integrál – základní vzorce . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
7.8 Cvičení – neurčitý integrál – metoda per partes = po částech . . . . . . . . 41
7.9 Cvičení – neurčitý integrál – substituce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
7.10 Práce pružné síly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
7.11 Výkon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
7.12 Vztažné soustavy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
7.13 Otázky k opakování – práce a kinetická energie . . . . . . . . . . . . . . . 49
8 Potenciální energie, zákon zachování energie 53
8.1 Potenciální energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
8.2 Výklad – křivkový integrál prvního druhu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
8.3 Cvičení – křivkový integrál 1.druhu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
8.4 Výklad – křivkový integrál 2. druhu – orientovaný . . . . . . . . . . . . . . 64
8.5 Cvičení – křivkový integrál 2. druhu – orientovaný . . . . . . . . . . . . . . 71
8.6 Nezávislost práce konzervativních sil na trajektorii. Výpočet hodnot potenciální
energie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
8.7 Zákon zachování mechanické energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
8.8 Interpretace křivky potenciální energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
8.9 Práce vnějších a nekonzervativních sil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
8.10 Zákon zachování energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
8.11 Hmotnost a energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
8.12 Kvantování energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
8.13 Otázky k opakování – Potenciální energie, zákon zachování energie . . . . . 96
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 2 2
Místo úvodu
Důraz ja kladen na podstatu fyzikálních jevů a na odvozování zákonitostí, na užití matematického
aparátu v co největší možné šíři. ... Žák je veden k tomu, aby zejména chápal,
že přírodní jevy mají fyzikální příčiny, rozuměl různým typům fyzikálních dějů, uměl
tyto znalosti aplikovat, využíval matematický aparát pro odvození jednoduchých fyzikálních
vztahů, ...
ŠVP pro předmět fyzika na gymnáziu Jevíčko
Vedeme žáky k systematické práci při matematizaci reálných situací, ..., zadáváme
žákům aplikační úlohy z praxe a vedeme tím žáky k pochopení významu matematiky v
reálném životě.
ŠVP pro předmět matematika na gymnáziu Jevíčko
Na základě předchozích citátů ze školního vzdělávacího programu pro gymnázia mi
dovolte navrhnout osnovu předmětu Matematika a fyzika pro první ročník vyučovaného
jako jeden celek. Inspirováno pracovními listy v učebnici Matematika realisticky a Fyzika
realisticky (online 2010: realisticky.cz), dále řada fyzikálních příkladů je inspirována
učebnicí Halliday, Resnick, Walker (2000), tzv. HRW. Další inspirací byla série učebnic
Matematika pro gymnázia a části některých vysokoškolských materiálů, jejiž výčet v přehledu
literatury zatím není úplný.
1. Kapitola 1: Fyzikální jednotky. Základní fyzikální jednotky (metr, čas, kilogram)
a jednotky; menší či větší části těchto jednotek. Převod minut na hodiny a
naopak, převod rychlosti v metrech za sekundu na kilometry za hodinu a naopak.
Tabulka převodů řádů jednotek. Závěr: pro předávání poznatků měření musíme vždy
říci, a) jakou veličinu měříme, b) kolik jednotek této veličiny jsme naměřili.
2. Cvičení na převody jednotek podle sbírky: samostatná práce. Za domácí úkol: propočítat
část příkladů ze sbírky. Pokus: hustota a vazkost vody a oleje. Závěr: při
převádění složených jednotek převedem postupně každou z dílčích jednotek.
3. Kapitola 2: Přímočarý pohyb hmotného bodu. Funkce představuje vztah
mezi dvěma veličinami, kdy k jedné hodnotě veličiny x je přiřazena nejvýše jedna
hodnota veličiny y. Takový vztah mezi dvěma veličinami lze znázornit do grafu v
pravoúhlé soustavě souřadnic v rovině. Příkladem je pohyb po přímce: poloha x
tělesa u přímočarého pohybu v závislosti na čase t. Definiční obor funkce, obor
funkčních hodnot. Závěr: graf funkce nám ukazuje cestu od čísel na ose t (definiční
obor) k číslům na ose x (obor hodnot).
4. Kreslení grafů funkce různých vlastností. Závěr: graf funkce nesmí obsahovat dva
body nad sebou.
5. Průměrná rychlost při pohybu králíka ve směru svislé osy x v závislosti na čase t.
Označení ∆t, ∆x, grafické určení průměrné rychlosti pomocí přímky procházející
3
počáteční a koncovou polohou grafu funkce polohy x v závislosti na čase t. Příklady
1,2: průměrná rychlost řidiče nejprve jedoucího, pak jdoucího pěšky (příklady
kreslíme i graficky, je z nich vidět vztah mezi rychlostmi v jednotlivých částech.
6. Kreslení grafů lineární funkce. Nalezení významu konstant a,b v lineární funkcí
y=ax+b.
7. Lineární funkce – nalezněte předpis pro grafy funkcí nakreslených na obrázku (studenti
poprvé sestavují předpis na základě obrázku).
8. funkce absolutní hodnota
9. kreslení grafů funkce – metoda posunutí (kombinace lineární funkce a absolutní
hodnoty)
10. kreslení grafů funkce – metoda posunutí II (kombinace lineární funkce a absolutní
hodnoty)
11. kreslení grafů funkce – metoda rozdělení na intervaly (kombinace lineární funkce a
absolutní hodnoty)
12. kreslení grafů funkce – metoda rozdělení na intervaly II (kombinace lineární funkce
a absolutní hodnoty)
13. průměrná rychlost přímočarého pohybu je tangens jistého úhlu sečny (= směrnice
sečny = sklon sečny) ke grafu funkce polohy v závislosti na čase; tabulka goniometrických
funkcí základních hodnot ostrého úhlu (z Pythagorovy věty pro úhel 45◦
při
úhlopříčce čtverce, pro úhly 30 a 60◦
při vrcholu a výšce rovnoramenného trojúhelníku.
Výpočet jedné strany pravoúhlého trojúhelníku na základě znalosti jednoho
úhlu a jiné strany.
14. Příklady na užití goniometrických funkcí ostrého úhlu
15. průměrná rychlost – fyzikální příklady
16. okamžitá rychlost: motivační hodina, okamžitá rychlost se vypočte z průměrné rychlosti
limitím procesem při zkracování intervalu, na kterém průměrnou rychlost počítáme;
okamžitá rychlost jako derivace = směrnice tečny (= sklon tečny) ke grafu
funkce; derivace funkce x(t) v bodě t0 je tedy limita z jistého výrazu;
v(t) = x (t).
17. proces derivování v různých bodech zanášíme do grafu, dostaneme zase funkci; výpočet
derivace některých funkcí z definice (pomocí limity) – základní vzorce pro
derivování (pouze u polynomů a funkcí goniometrických), derivace součinu a podílu
funkcí
18. cvičení – výpočet derivace funkcí podle vzorců, derivace součinu a podílu funkcí;
sestavení rovnice tečny ke grafu funkce v jistém jeho bodě
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 2 4
19. cvičení – derivace složené funkce, příklady na procvičení; fyzikální procvičení: známe
polohu x(t), máme spočítat funkci udávající okamžitou rychlost v okamžiku t
20. popis pohybu kabiny výtahu – určitý integrál ve vztahu výpočtu polohy tělesa na základě
funkce jeho rychlosti; Odvození určitého integrálu jako limity z jistého součtu
obsahů u podgrafu spojité funkce. Vzorec
x(t2) − x(t1) =
t2
t1
v(t)dt.
Newton-Leibnizova formule vztahu mezi určitým integrálem a procesem integrování
(= inverzním procesem k derivování).
21. cvičení na výpočet určitého integrálu z rychlosti (= změny polohy) – graficky (HRW,
oddíl 2.4), pomocí vzorců pro derivování a užitím Newton-Leibnizovy formule (výpočet
jen zmínit, bude procvičeno více při dalším návratu k integrálům později; nyní
byl důraz na derivování).
22. průměrné zrychlení a a okamžité zrychlení a(t) přímočarého pohybu – směrnice
sečny a směrnice tečny ke grafu funkce v(t): vzorce
a(t) = v (t), v(t2) − v(t1) =
t2
t1
a(t)dt.
23. Zrychlení – fyzikální příklady: př 4: kabina výtahu ... grafy funkcí x(t), v(t), a(t);
příklad 6: dragster versus raketové saně; tíhové zrychlení; př. 7: výpočet rychlosti a
zrychlení z funkce polohy;
24. Zrychlení – fyzikální příklady II: HRW, kapit. 2.5.
25. rovnoměrně zrychlený (zpomalený) pohyb – klasické odvození vzorců
26. rovnoměrně zrychlený (zpomalený) pohyb – odvození vzorců na základě diferenciálního
a integrálního počtu
27. příklad na rovnoměrně zpomalený pohyb – brzdná dráha auta
28. rovnoměrně zrychlený pohyb – procvičení (HRW)
29. rovnoměrně zrychlený pohyb – procvičení II (HRW)
30. volný pád a svislý vrh: příklady 9 (opravář pustil klíče z šestého patra), 10 (chytání
míčku puštěného z letadla), 11 (vyhození míčku svisle vzhůru)
31. volný pád a svislý vrh: cvičení I
32. volný pád a svislý vrh: cvičení II
33. opakování celku 02 (přímočarý pohyb): zkoušení teoretické
5
34. opakování celku 02 (přímočarý pohyb): větší písemka praktická
35. Kapitola 3: Vektory a některá jejich využití. vektorové veličiny: úvod a motivace
(jsou určeny velikostí a směrem ... např. posunutí, rychlost, síla): Př. 12:
pohyb v jeskynním systému (tangens úhlu, Pythagorova věta pro výpočet velikosti
přepony pravoúhlého troj.); arctg úhlu ... práce s kalkulačkou (zatím jen zapnutí
funkce DEG)
36. sčítání vektorů a násobení vektorů skalárem – pouze graficky – prezentace (součet,
asociativní zákon, nulový vektor, opačný vektor)
37. sčítání vektorů a násobení vektorů skalárem – pouze graficky 2 – cvičení (příklady
z učebnice Matematika pro gymnázia – analytická geometrie, str. 36);
38. rozklad vektoru na součet dvou vektorů graficky (fyzikální motivace: rozklad síly
na součet dvou složek, jedna z nich je kolmá na směr posunutí, druhá působí práci
při posunutí tělesa ve směru vektoru s); příklad 14: start letadla, úhel, vzdálenost
od letiště, rozklad polohového vektoru na součet; HRW oddíl 3.3: složky vektoru
graficky – cvičení.
39. Stupňová a oblouková míra úhlu, orientace úhlu, základní velikost úhlu; rozšíření
goniometrických funkcí z ostrého úhlu na libovolný úhel pomocí oblouku délky x;
převod radiánů na stupně a naopak (význačné úhly i obecně); grafy a vlastnosti
funkcí sin x, cos x.
40. cvičení – převod radiánů na stupně a naopak; orientace úhlu základní velikost úhlu;
Matematika pro gymnázia – goniometrie, str. 40, př. 2.30: grafy funkcí sin x, cos x,
provnání funkčních hodnot na základě grafu; vlastnosti funkcí sinus a kosinus.
41. výpočet hodnot sinus a kosinus význačných úhlů pomocí jednotkové kružnice (tabulka
význačných úhlů a význačných hodnot); řešení jednoduchých goniometrických
rovnic pomocí jednotkové kružnice
42. cvičení k předchozímu – výpočet hodnot sinus a kosinus význačných úhlů pomocí
jednotkové kružnice (tabulka význačných úhlů a význačných hodnot); řešení jednoduchých
goniometrických rovnic pomocí jednotkové kružnice
43. periodická funkce
44. sudá a lichá funkce
45. grafy a vlastnosti funkcí tg x, cotg x; tabulka význačných hodnot ve význačých
úhlech doplněna o tyto funkce
46. cvičení – grafy a vlastnosti funkcí tg x, cotg x
47. souřadnice vektoru, rozklad vektoru na složky v souřadnicích (= algebraicky); jednotkové
vektory ve směru souřadných os; velikost vektoru pomocí souřadnic (z Pythagorovy
věty v dimenzi 2 i 3);
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 2 6
48. sčítání vektorů, násobení vektoru skalárem – pomocí souřadnic; př.15: vyjádřete
grafické skládání vektorů pro soutěžní trasu pomocí souřadnic;
49. cvičení k předchozímu: Matematika pro gymnázia – analytická geometrie, str. 15-
19 (vytvoření vektoru, velikost vektoru, střed úsečky); HRW: sčítání vektorů alge-
braicky;
50. Definice skalárního součinu dvou nenulových vektorů pomocí úhlu, který svírají;
aplikace: výpočet mechanické práce při posunu tělesa působením síly F ve směru
posunutí s;
51. cvičení: skalární součin nenulových vektorů (Matematika pro gymnázia – analytická
geometrie, str.49), výpočet mechanické práce (HRW, skalární součin + příklad na
výpočet práce)
52. Výpočet skalárního součinu pomocí souřadnic: odvození vzorce na základě jednotkové
báze navzájem kolmých vektorů i, j, k; pozn.: tento druhý způsob výpočtu
skalárního součinu je obecnější v tom, že některý nebo oba z vektorů vstupujících
do operace součinu může být nulový
53. vektorový součin vektorů – aplikace: moment síly vzhledem k ose otáčení; nejprve
vzorec pro vektorový součin dvou nenulových vektorů pomocí úhlu, který svírají
54. vektorový součin vektorů – výpočet pomocí souřadnic (determinant, Sarussovo pravidlo);
příklad 18: výpočet skalárního a vektorového součinu dvou zadaných vektorů,
včetně obrázku; příklad 19: výpočet vektorového součinu pomocí souřadnic
55. cvičení – vektorový součin vektorů (Matematika pro gymnázia – analytická geometrie,
str. 60; HRW, výpočet vektorového součinu + příklad na výpočet momentu
síly vzhledem k ose otáčení); v rámci cvičení je obsažen vzorec pro význam vektorového
součinu jako obsahu rovnoběžníku, tj. jako důsledek obsah trojúhelníku jako
polovina předchozího obsahu pomocí vzorce S = 1
2
ab sin γ)
56. Trojúhelník – obsah trojúhelníka různými způsoby
57. opakování celku 03 (vektory a některá jejich využití) – teoretické otázky;
58. opakování celku 03 – větší písemka praktická
59. Kapitola 4: Pohyb hmotného bodu v rovině a prostoru. Polohový vektor
r(t) v časovém okamžiku t; posunutí ∆r(t), trajektorie
60. parametrické a obecné vyjádření přímky v rovině a prostoru (Matematika pro gymnázia
– analytická geometrie, str. 63,64,67,74);
61. průměrná a okamžitá rychlost pohybu hmotného bodu v prostoru jako vektorové
veličiny; situace je vektorovým zobecněním případu pohybu po přímce z kapitoly 2;
7
62. průměrná a okamžitá rychlost pohybu v prostoru – cvičení (HRW); spojením matematiky
a fyziky je cílový příklad: napište rovnici tečny ke trajektorii pohybu v bodě
r(t0);
63. průměrné a okamžité zrychlení při pohybu v prostoru; příklad 21: pohyb králíka v
rovině, určení směru polohového vektoru pomocí funkce arctg y
x
64. cvičení – průměrné a okamžité zrychlení (HRW)
65. šikmý vrh – aplikace vektorového počtu, rozklad vektoru rychlosti do rovnoběžného
a svislého směru (obrázky)
66. šikmý vrh – matematický popis (rozepsání vektoru trajektorie do souřadnic)
67. parabola – funkce popisující trajektorii šikmého vrhu: kreslení grafů kvadratické
funkce (posuny ze základní polohy, doplnění na čtverec), hledání vrcholu paraboly
dvěma metodami (doplněním na čtverec a derivací kvadratické funkce)
68. cvičení: parabola – kreslení grafu funkce (Matematika pro gymnázia – funkce, str.
67 a 70)
69. součet vnitřních úhlů trojúhelníku je 180◦
; podobnost trojúhelníků;
70. podobnost trojúhelníků – cvičení (podobnost trojúhelníků bude potřeba v následující
hodině při odvození součtových vzorců cos(α + β) = . . . )
71. odvození doletu při výstřelu koule z děla – využití součtových vzorců; odvození
vzorce cos(α + β) = . . . , sin(α + β) = . . . (viz Odvárko, Goniometrické funkce)
rozdělené do dílčích úkolů Například: a) z podobnosti trojúhelníků odvoďte vztah
pro délku d z obrázku; b) dosaďte do vztahu
cos α =
cos(α + β)
cos β − d
za délku d a vyjádřete pak hodotu cos(α+β). Později (při probírání extrémů funkce)
lze ještě řešit extremální úlohu pro neupravený vzorec
R =
2 v0
2
· sin θ0 · cos θ0
g
a neupravovat jej do tvaru R = v0
2·sin(2θ0)
g
. Vzhledem k tomu, že už nyní je údaj o
maximálním doletu koule velmi zajímavý, bude asi použití součtových vzorců nyní
velmi užitečné pro konkrétní příklady.
72. poznámka o odporu prostředí při výstřelu koule z děla; další příklady na šikmý vrh
– prezentace; příklad 24: letoun háže záchranný vak
73. další příklady na šikmý vrh – prezentace 02: příklad 25 (přeskok na sousední dům
při filmové honičce), příklad 26 (výstřel z děla z pirátské lodi (několik úkolů);
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 2 8
74. šikmý vrh – cvičení 01 (např. HRW)
75. šikmý vrh – cvičení 02
76. šikmý vrh – cvičení 03
77. rovnoměrný pohyb po kružnici – délka oblouku při různých poloměrech; určení obvodu
kružnice poloměru r; popis rovnoměrného pohybu hmotného bodu po kružnici:
obrázek
78. rovnoměrný pohyb po kružnici – velikost a směr vektoru zrychlení
79. odvození limity výrazu sin θ
θ
pro θ jdoucí k nule – několika způsoby, také podle
l’Hospitalova pravidla
80. rovnoměrný pohyb po kružnici – prezentace příkladu (auto v zatáčce)
81. cvičení – rovnoměrný pohyb po kružnici
82. cvičení – výpočet limit funkcí (Matematika pro gymnázia, diferenciální a integrální
počet, str. 80-81)
83. cvičení – výpočet limit funkcí 2 (i pomocí l’Hospitalova pravidla)
84. vzájemný pohyb vzhledem k různých vztažným soustavám – pohyb po přímce
85. vzájemný pohyb vzhledem k různých vztažným soustavám – pohyb v rovině
86. vzájemný pohyb vzhledem k různých vztažným soustavám – pohyb při vysokých
rychlostech
87. vzájemný pohyb v jiných vztažných soustavách – cvičení
88. opakování celku 04 (pohyb hmotného bodu v rovině a prostoru) – teoretické otázky
89. opakování celku 04 (pohyb hmotného bodu v rovině a prostoru – větší praktická
písemka
90. Kapitola 5: Síla a pohyb – Newtonovy zákony (zatím není uvažováno
tření). Úvod do Newtonovské mechaniky, volná částice, čím je způsobeno zrychlení,
první Newtonův zákon
91. Inerciální vztažná soustava, definice jednotky 1 Newton, výslednice sil, vztah mezi
silou a zrychlením, jednotka hmotnosti 1 kg.
92. cvičení – výslednice sil, vztah mezi silou a zrychlením (HRW, oddíl 5.3)
93. Druhý Newtonův zákon ve vektorovém tvaru, tentýž vztah rozepsaný do složek
vektorů, příklad 35 (tažení saní), příklad 36 (přetahování o pneumatiku – výslednice
tří sil); příklad 37 (je známý směr výslednice tří sil, neznámá je jedna ze sil, tu máme
určit (její velikost i směr).
9
94. cvičení – druhý Newtonův zákon (HRW 5C, 7C, 9C, 11Ú)
95. Některé typy sil (rychlý přehled): tíhová síla, kolmá tlaková síla podložky, třecí síla,
tahová síla; příklad 38: tahová síla jako výslednice sil tíhové, tlakové a síly tažného
jedince pod určitým úhlem k vodorovnému směru.
96. Cvičení – některé typy sil (HRW 13C, 15C, 17C)
97. Třetí Newtonův zákon
98. příklady na Newtonovy zákony – Příklad 39 (klouzající kostka, kladka, zavěšená
kostka); příklad 40 (kostka tlačena tyčkou vodorovně bez tření);
99. příklady na Newtonovy zákony – Příklad 41 (kostka zavěšená na třech vláknech –
výslednice sil); příklad 42 (kostka na nakloněné rovině upevněná na vlákně); příklad
43 (kostka se utrhne, určete její zrychlení)
100. příklady na Newtonovy zákony – Příklad 44 (dvě kostky zavěšené na kladce); příklad
45 (nášlapná váha ve výtahu);
101. cvičení – příklady na Newtonovy zákony 01
102. cvičení – příklady na Newtonovy zákony 02
103. cvičení – příklady na Newtonovy zákony 03
104. opakování celku 05 (Newtonovy zákony) – teoretické otázky
105. opakování celku 05 (Newtonovy zákony) – větší praktická písemka
106. Kapitola 6: Síla a pohyb – tření, dostředivá síla. statická a dynamická třecí
síla, vlastnosti sil tření; příklad 46 (mince na nakloněné rovině začne klouzat při úhlu
13◦
, určete koeficient statického tření), příklad 47 (zablokují se kola automobilu a
ten klouže po silnici).
107. síla a pohyb s třením – příklady: příklad 48 (sáně na sněhu), příklad 49 (kladka,
nakloněná rovina s třením)
108. cvičení – síla a pohyb s třením 01
109. cvičení – síla a pohyb s třením 02
110. cvičení – síla a pohyb s třením 03
111. Odporová síla a mezní rychlost při volném pádu – padající kočka ze 32. patra (příklad
50), dešťová kapka (příklad 51)
112. cvičení – odporová síla a mezní rychlost
113. Rovnoměrný pohyb po kružnici 2 – dostředivá síla a tření; kosmická loď s kosmonautem
(příklad 52), spirála smrti během cirkusového představení (příklad 53)
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 2 10
114. dostředivá síla a tření – příklad 54 (kuželové kyvadlo), příklad 55 (smyk auta v
zatáčce a koeficient statického tření)
115. dostředivá síla a tření – příklad 56 (projíždění klopené zatáčky), příklad 57 (jízda
na rotorovém válci v zábavním parku)
116. cvičení – dostředívá síla a tření (pohyb po kružnici) 01
117. cvičení – dostředivá síla a tření (pohyb po kružnici) 02
118. opakování celku 06 (síla a tření) – teoretické otázky
119. opakování celku 06 (síla a tření) – větší praktická písemka
120. Kapitola 7: Kinetická energie hmotného bodu. Jednotka kinetické energie (1
Joule); kinetická energie dvou rozjetých lokomotiv těsně před srážkou (příklad 58);
práce jako změna kinetické energie tělesa ve směru posunutí se vypočte jako skalární
součin síly a posunutí
121. Vykonaná práce – příklady: zločinci posunují sejf (příklad 59), pokus o zabrždění
rozjetého vozíku (příklad 60)
122. cvičení – práce a kinetická energie
123. cvičení – práce a kinetická energie 02
124. práce tíhové síly – vzorce, zvedání činky (příklad 61); bedna vytahovaná na laně po
hladké nakloněné rampě (příklad 62)
125. práce tíhové síly – kabina výtahu (příklad 63)
126. práce tíhové síly – cvičení
127. práce proměnné síly – určitý integrál podruhé, výpočet práce při působení proměnné
síly; příklad 70 (proměnná síla působící při brždění klouzajícího hranolu)
128. práce proměnné síly – fyzikální cvičení (HRW, příklady 21C, 23C, 25Ú)
129. lineárně lomená funkce
130. lineárně lomená funkce – kreslení grafu
131. inverzní funkce – k lineární funkcí, k funkci y = x2
(odmocnina)
132. motivace logaritmické funkce ln x jako určitého integrálu z funkce 1
x
, k ní inverzní exponenciální
funkce; grafy a vlastnosti funkce y = ln x, y = ex
; integrační a derivační
vzorce pro funkce y = ln x, y = ex
;
133. vlastnosti exponenciální funkce y = ax
; pravidla pro mocniny; grafy funkcí y = 2x
,
y = 2−x
, porovnávání funkčních hodnot na základě grafu;
11
134. cvičení – exponenciální funkce
135. vlastnosti logaritmické funkce loga x; grafy funkcí y = log5 x, y = log1
5
x, porovnávání
funkčních hodnot na základě grafu
136. pravidla pro logaritmy, jednoduché vztahy s logaritmy; logaritmické a exponenciální
rovnice (příklad 67)
137. cvičení – logaritmické funkce
138. cvičení – logaritmické funkce 02
139. cvičení – logaritmické či exponenciální rovnice; včetně příkladů „ze života (vyučující
Irena, Boskovice: 1 m2
rybníka s plochou 50 m2
je zarostlý sinicemi; plocha
zarostlá sinicemi se každý den zdvojnásobí; za jak dlouho sinicemi zaroste celá plocha
rybníka?)
140. integrační metody – pomocí vzorce
141. integrační metody – integrace „per partes
142. integrační metody – substituce
143. aplikace neurčitého integrálu – model úbytku populace (= model úbytku radioaktivní
látky) ... řešení diferenciálních rovnic; práce s výsledkem: určení poločasu
rozpadu, určování stáří dřeva
144. aplikace neurčitého integrálu – model míchání solného roztoku
145. cvičení – řešení diferenciálních rovnic (obyčejné diferenciální rovnice se separovatelnými
proměnnými)
146. prezentace řešení lineární ODR prvního řádu metodou variace konstanty
147. cvičení – lineární ODR metodou variace konstanty 1
148. cvičení – lineární ODR metodou variace konstanty 2
149. neurčitý integrál, diferenciální rovnice – větší písemka
150. výpočet určitého integrálu – Matematika pro gymnázia, Diferenciální a integrální
počet, str. 156-př. 11, str. 157-př. 12
151. výpočet určitého integrálu – substituce a per partes pro určitý integrál
152. výpočet určitého integrálu – cvičení
153. výpočet obsahu plochy pomocí určitého integrálu
154. výpočet obsahu plochy pomocí určitého integrálu – cvičení
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 2 12
155. objem rotačního tělesa pomocí určitého integrálu – odvození vzorce, př. 6.20 ze
strany 178 (Diferenciální počet – matematika pro gymnázia)
156. objem rotačního tělesa – cvičení
157. určitý integrál a jeho aplikace – praktická větší písemka
158. aplikace integrálu při určení práce pružné síly pomocí Hookeova zákona
159. práce pružné síly – příklad 68 (protažení pružiny a síly), příklad 69 (klouzající kostka
narazí na volný konec pružiny a stlačuje ji)
160. práce pružných sil – cvičení
161. průměrný a okamžitý výkon, jednotka výkonu (watt); další vzorce pro výkon užitím
diferenciáního počtu pro posunutí x(t); výkon při působení sil na krabici (příklad
71)
162. výkon – cvičení
163. kapitola 7 – práce a kinetická energie – teoretické opakování
164. kapitola 7 – práce a kinetická energie – praktická větší písemka
165. Kapitola 8: Potenciální energie, zákon zachování energie mechanické soustavy.
Potenciální energie soustavy objektů, konzervativní a nekonzervativní síly
166. parametrické vyjádření funkce, přímky, úsečky, kružnice; typy křivek (jednoduché,
ukončené, hladké, po částech hladké); neorientovaný křivkový integrál = křivkový
integrál 1.druhu ... odvození (aplikace: např. délka křivky);
167. křivkový integrál 1.druhu přes jeden závit šroubovice (příklad 73) a obvod trojúhelníka
(příklad 74)
168. křivkový integrál 1. druhu – cvičení
169. vnejší a vnitřní orientace křivky (příklad 75), orientovaný křivkový integrál = křivkový
integrál 2.druhu (motivace: výpočet práce při přemístění částice po křivce l
silou F ... odvození
170. křivkový integrál 2. druhu přes jeden závit šroubovice na kuželové ploše (příklad 77)
a přes obvod trojúhelníka v rovině (příklad 76)
171. křivkový integrál 2. druhu – cvičení
172. křivkový integrál – větší praktická písemka
173. nezávislost práce konzervativních sil na trajektorii, výpočet hodnot potenciální energie:
příklad 78 (balíček klouže po skluzavce)
13
174. tíhová potenciální energie; pružná potenciální energie; příklad 79: Lenochod spadne
z větve na zem
175. cvičení – výpočet hodnot potenciální energie
176. zákon zachování mechanické energie: příklad 80 (dítě na skluzavce), příklad 81 (pružina
ve vzduchovce)
177. zákon zachování machanické energie: příklad 82 (bungee jumping)
178. zákon zachování mechanické energie – cvičení 01
179. zákon zachování mechanické energie – cvičení 02
180. interpretace křivky potenciální energie
181. práce nekonzervativních a vnejších sil: příklad 83 (robot je vytahován na laně po
šikmé ploše sopečného kráteru
182. práce nekonzervativních vnějších sil – cvičení
183. zákon zachování vnější i vnitřní energie: příklad 84 (pudl na skluzavce), příklad 85
(ocelová kulka je střelena do země a zaryje se do písku)
184. zákon zachování vnější i vnitřní energie – cvičení
185. kapitola 8 – potenciální energie, zákon zachování energie – teoretické otázky
186. kapitola 8 – potenciální energie, zákon zachování energie – větší praktická písemka
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 2 14
1 Převody fyzikálních jednotek
Probráno v předmětu FYMA 1 – jen krátká zmínka o základních principech převádění
jednotek.
2 Pohyb hmotného bodu po přímce
Probráno v předmětu FYMA 1 – pohybové a polohové rovnice odvozeny jak na základě
průměrné rychlosti a průměrného zrychlení, tak na základě diferenciálního počtu (vztahy
v(t) = x (t) a a(t) = v (t) = x (t)) a Newton-Leibnizovy formule. Základní funkce goniometrické
ostrého úhlu, funkce lineární a některé vlastnosti funkcí.
3 Vektory a některá jejich využití
Probráno v předmětu FYMA 1 – vektory probrány graficky i na základě souřadnic, rozklad
vektoru na součet složek je důležitý pro pojmy skalárního součinu vektorů (využití:
výpočet mechanické práce při přemístění tělesa silou F ve směru posunutí s) a vektorového
součinu vektorů (využití: výpočet momentu síly vzhledem k ose otáčení). Goniometrické
funkce rozšířeny na celou reálnou osu s využitím jednotkové kružnice (stupňová i oblouková
míra).
4 Pohyb hmotného bodu v rovině a prostoru
Probráno v předmětu FYMA 1 – pojmy a postupy v případě jedné dimenze (kapitola 2)
zobecněny na případ roviny nebo prostoru. Kromě stěžejních kapitol o šikmém vrhu a
pohybu po kružnici ještě pár poznámek o vzájemném pohybu v různých vztažných soustavách.
Vlastnosti kvadratické funkce a kreslení grafu kvadratické funkce, parametrické
rovnice přímky a křivky v rovině a prostoru. Poznámky o limitách, včetně l’Hospitalova
pravidla. Vzorce pro kosinu a sinus součtu dvou úhlů.
5 Síla a pohyb – Newtonovy zákony
Probráno v předmětu FYMA 1 – Newtonovy pohybové zákony představeny v rámci různých
typů sil, které na tělěsa působí. Zatím není uvažováno tření a odporová síla (např.
odpor vzduchu).
6 Síla a pohyb – tření, dostředivá síla
Probráno v předmětu FYMA 1 – situace podobné předchozí kapitole, ovšem tření a odpor
vzduchu (a dalších prostředí) je brán v úvahu!!!
15
7 Kinetická energie při pohybu hmotného bodu
Touto kapitolou začíná vlastní předmět FYMA 2. Při odvození mechanické práce
za proměnné síly je probrán určitý integrál. Dále je představena funkce y = ln x
jako funkce vzniklá při integraci nepřímé úměrnosti y = 1
x
, a funkce k ní inverzní
y = ex
– exponenciální a logaritmické funkce a jejich vlastnosti. Tedy logaritmická
funkce se objevuje jako řešení jistých jednoduchých diferenciálních rovnic, při integraci
elementárních funkcí!! Určitý integrál se dále používá pro výpočet obsahu plochy a
objemu rotačního tělesa. Aplikací integrálního počtu je odvození vzorce pro výpočet
práce pružné síly. Výkon, další vzorce pro výkon vznikají z diferenciálního počtu, pokud
posunutí, vzhledem k němuž práce probíhá, je dáno funkcí x(t).
Na Olympijských hrách v roce 1976 zvedl Vasilij Aleksejev činku o váze 2500 N (
.
=
2500
9,80665
.
= 255 kg) z podlahy nad hlavu do výšky 2 m. Téměř o 20 let dříve (kolem roku
1960) se Paul Anderson sehnul pod nákladní plošinu ze dřeva vyztužného ocelí, opřel si
ruce o stoličku a zády nadzvedl plošinu i s nákladem (celkem 27900 N
.
= 2845 kg) o jeden
centimetr. Je možné oba tyto výkony nějak porovnat?
7.1 Kinetická energie
Slovo „energie užíváme v běžné řeči, ale fyzikálně je není jednoduché definovat. Jednoduše
řečeno, ve fyzikální významu, energie je skalární veličina, která charakterizuje stav
tělesa nebo částice.
V celé této kapitole se budeme zabývat pojmem kinetická energie = skalární veličina,
která charakterizuje pohybový stav částice nebo tělesa.
Kinetickou energii Ek částice o hmotnosti m, která se pohybuje rychlostí v velmi malou
ve srovnání s rychlostí světla, vyjadřujeme (definujeme) vztahem
Ek =
1
2
m · v2
(7.1)
(a Ek ≥ 0, protože vždy m ≥ 0, v2
≥ 0). Stejný vzorec lze užít pro kinetickou energii Ek
tělesa nezanedbatelných rozměrů, pokud všechny jeho části se pohybují stejnou rychlostí
(tzv. posuvný = translační pohyb); těleso nesmí rotovat ani se deformovat.
Jednotkou kinetické energie je J = joule1
, pojmenovaný podle anglického vědce 18.
století (James Prescott Joule):
1 J = 1 kg · m2
· s−2
(7.2)
(tj. kinetickou energii 1 J má těleso o hmotnosti 1 kg, které se právě pohybuje rychlostí 1
ms−1
). V oblasti atomové fyziky jsou výsledky uváděny v elektronvoltech = eV:
1 eV = 1,6 · 10−19
J. (7.3)
1
Čti: džaul.
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 2 16
Příklad 7.1 Roku 1896 v Texasu provedli neobvyklý experiment – postavili dvě lokomotivy
na opačné konce trati dlouhé 6,4 km proti sobě a pustili je plnou parou (obě se zrychlením
0,26 ms−2
, každá vážila 1,2 · 106
N) proti sobě. Náraz sledovalo asi 30 000 lidí, několik z
nich bylo smrtelně zraněno. Jaká byla celková kinetická energie obou lokomotiv těsně před
srážkou?
Řešení: Každá z lokomotiv urazila 3,2 km, v0 = 0. Dosaďme údaje do rovnic (2.11),
(2.15) pro rovnoměrně zrychlený pohyb:
v = v0 + a · t : v = 0,26 · t;
x = x0 + v0 · t +
1
2
at2
: 3 200 =
1
2
· 0,26 · t2
(při řešení těchto dvou rovnic o dvou neznámých vypočteme t ze druhé rovnice a dosadíme
do první rovnice), dostaneme
t =
6 400
0,26
.
= 156,9 ⇒ v = 0,26 · 156,9
.
= 40,8 ms−1
.
Dále potřebujeme znát hmotnost m – tu určíme ze vztahu G = m · g:
m =
G
g
=
1,2 · 106
N
9,80665 ms−2
.
= 122 366 kg.
Celkem energie kinetická obou lokomotiv je rovna dvojnásobku Ek jedné lokomotivy,
tj.
2 · Ek = 2 ·
1
2
mv2
= 2 ·
1
2
· 122 366 kg · 40,82
m2
· s−2 .
= 203,7 · 106
J.
Tato energie je ekvivalentní výbuchu asi 45 kg trinitrotoluenu (TNT).
7.2 Práce
Pokud těleso může nějakou energii získat nebo ztratit, dochází k přenosu energie (formou
silového působení nebo tepelné výměny). Tepelnou výměnou se budeme zabývat později
(kapitola 19), zde si všimneme přenosu energie vlivem silového působení.
Práce se definuje jako změna kinetické energie částice (nebo tělesa) působením vnější
síly. Označujeme W ... z anglického work. Jiná definice říká, že práce je ta část kinetické
energie, kterou těleso získává (nebo ztrácí) prostřednictvím silového působení jeho okolí.
Fyzikální pojme práce je tedy něco jiného než fyziologická námaha. Pokud působíme
např. na stěnu silou, tak se namáháme, ale stěna se ani nepohne. Tj. na stěnu nebyla
vykonána žádná práce (i když jsme se namáhali), protože její Ek se nezměnila.
7.3 Práce a kinetická energie
Vyjádřeme nyní pojem práce rovnicí: vztah mezi prací a kinetickou energií lze psát ve
tvaru
W = ∆Ek = Ek,f − Ek,i, (7.4)
17
kde Ek,i = 1
2
mv2
0 je počáteční (= initial) kinetická energie, Ek,f = 1
2
mv2
je koncová (=
final) kinetická energie. Vzorec 7.4 lze přepsat do tvaru
Ek,f = Ek,i + W. (7.5)
Pokud při práci (ve fyzikálním smyslu) dojde ke snížení rychlosti částice, říkáme, že
působící síla práci spotřebovala (W < 0). Pokud ke zvýšení rychlosti, říkáme, že působící
síla práci vykonala (W > 0). Pokud rychlost částice (tělesa) se nezmění, říkáme, že
působící síla nevykonala na částici žádnou práci (W = 0).
Kontrola 1. Částice se pohybuje po ose x. Rozhodněte, zda se její kinetická energie
sníží, zvýší, nebo zachová, změní-li se rychlost částice a) z −3 ms−1
na −2 ms−1
, b) z −2
ms−1
na +2 ms−1
; c) pro každou z uvedených situací rozhodněte, zda je práce vykonaná
na částici působícími silami kladná, záporná, nebo nulová.
Obr. 7.1: Působením síly F se částice posune o vektor d.
Odvoďme nyní vztah mezi prací vykonanou na částici a působící silou F: nechť se
například částice posune o vektor d působením stálé síly F – viz obrázek 7.1 – takže
kinetická energie částice při posunutí vzrostla. Síla F samozřejmě není jedinou silou,
která na částici působí – jinak by se částice nepohybovala ve směru osy x, ale ve směru
síly F. Určitě kromě F působí ještě tíhová síla G (obr. 7.2):
Obr. 7.2: Rozklad sil působících na částici při jejím posunu o vektor d.
Napíšeme-li pohybové rovnice (2.11), (2.15) pro posunutí délky d, dostaneme:
v = v0 + a · t;
d = x − x0 = v0 · t +
1
2
at2
.
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 2 18
Umocněním obou stran první rovnice na druhou dostaneme
v2
= v2
0 + 2v0at + a2
t2
= v2
0 + 2a(v0t +
1
2
at2
),
a po dosazení druhé rovnice do pravé strany odvozeného vztahu obdržíme
v2
= v2
0 + 2ad. (7.6)
Vynásobením vztahu 7.6 hmotností m částice máme mv2
− mv2
0 = mad a vydělením
této rovnosti dvěma
1
2
mv2
−
1
2
mv2
0 = m · a · d. (7.7)
Vztah 7.7 už na levé straně udává změnu W kinetické energie a na pravé straně se vyskytuje
síla Fx o velikosti Fx = m · a, a protože platí Fx = F · cos ϕ, celkem máme
m · a = F · cos ϕ, a tedy dosazením do pravé strany vztahu 7.7 obdržíme pro práci
konstatní síly
W = F · d · cos ϕ, (7.8)
kde ϕ je úhel mezi vektory F a d.
Dále můžeme říci, že pro ϕ < 90◦
kinetická energie částice roste (W > 0), pro 90◦
<
ϕ < 180◦
kinetická energie částice klesá (W < 0) a pro ϕ = 90◦
se síla F nepodílí na práci
ve směru posunutí d, protože je kolmá na směr posunutí (W = 0).
Jednotkou práce je jeden Joule, v soustavě SI někdy také používáme jednotku Newtonkrát-metr,
tj.
1 J = 1 N · m = 1 kg · m2
· s−2
.
V britském systému jednotek je používána stopa-krát-libra, 1 J = 0,738ft · lb.
Pravá strana vztahu (7.8) je přesně ve tvaru vzorce (3.15) ve 3. kapitole, tj. s využitím
skalárního součinu vektorů můžeme vztah (7.8) psát jako (3.16): práci konstantní síly F
vykonanou při působení na částici ve směru konstantního vektoru d lze spočítat jako
W = F · d (o něco později v této kapitole uvedeme i vzorec pro práci W při působení
nekonstantní, proměnné síly F.
Poznámka: Vztah práce a kinetické energie. Tato poznámka se týká vztahů
(7.4), (7.5): počítat práci podle těchto vzorců jako změnu kinetické energie můžeme jen
tehdy, pokud se jedná o částici nebo bodový objekt.
Například pokud tlačíme postel na kolečkách, část energie se spotřebuje na
urychlení rotačního pohybu koleček – vzorce (7.4), (7.5) můžeme použít jen tehdy,
když považujeme energii potřebnou na urychlování koleček za zanedbatelnou (když
tuto energii zanedbáme, postel lze považovat za bodový objekt a můžeme užít (7.4), (7.5).
Kontrola 2. Na obrázku 7.3 vidíte čtyři možnosti působení síly konstantní
délky, ale různého směru na kostku, která klouže po dokonale hladké podložce směrem
doprava. Uspořádejte obrázky podle vykonané práce – od největší práce po nejmenší práci.
19
Obr. 7.3: Příklady práce různých sil působících na těleso.
Pokud působí na bodový objekt několik sil současně, výslednou práci lze určit podle
vztahu
W =
k
j=1
Fj · d =
k
j=1
Fj · d = F1 · d + F2 · d + · · · + Fk · d, (7.9)
protože výslednou sílu F lze rozložit na součet jednotlivých sil F1, F2, . . . , Fk.
Příklad 7.2 Dva zločinci posunují bankomat vymlácený ze zdi (o hmotnosti 225 kg) k
přistavenému nákladnímu autu po úsečce dlouhé 8,5 m (zpočátku byl bankomat v klidu).
Zločinec 001 působí silou F1 o velikosti 12 N a směru, který svírá s vodorovným směrem
posunutí úhel 30◦
a míří dolů. Zločinec 002 působí silou F2 o velikosti 10 N směrem vzhůru
40◦
od vodorovné roviny. Bankomat klouže bez tření (je zima, na zemi je led).
a) Jak velkou celkovou práci vykonají oba zločinci při posunutí bankomatu o 8,5 m?
b) Jakou práci Wg vykoná síla G při tomtéž posunutí?
c) Bankomat byl zpočátku v klidu. Jak velká je jeho rychlost na konci posunutí?
Obr. 7.4: Působení sil dvou zločinců v příkladu 7.2.
Řešení:
ad a) Podle vozrce (7.9) dostaneme
W = F1 · d + F2 · d = F1 · d · cos ϕ1 + F2 · d · cos ϕ2 =
= 12 · 8,5 · cos 30◦
+ 10 · 8,5 · cos 40◦ .
= 153,45 J.
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 2 20
ad b) Síly m · g a N jsou kolmé ke směru posunutí, tj. nekonají žádnou práci (neboť
cos 90◦
= 0). Tedy Wg = WN = 0 J.
ad c) Využijeme vztahu (7.4), potažmo (7.7), pro počáteční rychlost v0 = 0:
153,45 J = W =
1
2
mv2
−
1
2
m · 02
,
a tedy
v =
2 · 153,45
m
=
2 · 153,45
225
.
= 1,17 ms−1
.
Příklad 7.3 Ujíždějící vozík s bednami se rozjel z kopce a nyní jede po vodorovné zemi
směrem k ženě, která se jej snaží zabrzdit silou F = 2N · i − 6N · j a ustupuje před ním –
viz obrázek 7.5. Vozík s bednami se přitom posune o vektor d = −3 · i. Energii potřebnou
na pohánění či brzdění koleček vozíku zanedbejte.
a) Jakou práci vykonala síla F při posunutí d?
b) Jaká je kinetická energie vozíku s bednami, měla-li na začátku brždění hodnotu 10 J?
Obr. 7.5: Žena brzdí rozjetý vozík v příkaldu 7.3.
Řešení: Důležitá je pro nás pouze složka síly Fx působící proti směru posunutí (viz
obrázek 7.6); složka Fy je kolmá na směr posunutí, proto na velikost práce nemá vliv,
pokud zanedbáme tření koleček vozíku.
ad a) W = d · Fx = 3 · 2 · cos 180◦
= −6J. Práce má záporné znaménko, protože žena
danou silou vozík brzdila (působila proti směru jeho pohybu).
ad b) Při zanedbání tření koleček užijeme vzorce 7.5: Ek,f = Ek,i + W. Dosazením do
něj dostaneme
Ek,f = 10J − 6J = 4J.
Kinetická energie vozíku na konci posunutí je tedy 4J.
21
Obr. 7.6: Rozbor působících sil v př. 7.3.
7.4 Práce tíhové síly G
Zabývejme se nyní chvíli situacemi, kdy jistou nenulovou práci koná tíhová síla G = m · g
(vzorec 5.6) při pohybu bodového objektu ve svislém či šikmém směru.
Kombinací vzorců (5.6) a (3.16) dostáváme vzorec pro práci tíhové síly
Wg = m · g · d · cos ϕ. (7.10)
Obr. 7.7: Vrh svisle vzhůru.
Když například vyhodíme rajče svisle vzhůru (obrázek 7.7), tak po určité chvíli jeho
stoupání lze určit Wg, ta bude mít ovšem záporné znaménko, protože G působí proti
směru posunutí a snižuje kinetickou energii rajčete (ϕ = 180◦
).
Pokud naopak rajče pustíme z okna šestipatrové budovy, za chvíli bude mít Wg kladné
znaménko, protože d a g mají stejný směr.
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 2 22
Obr. 7.8: Vrh svisle dolů.
Nyní do našich úvah přidejme sílu F, kterou zvedáme těleso svisle vzhůru (obrázek
7.9), nebo kterou chytáme (zbržďujeme) padající těleso (obrázek 7.10).
Obr. 7.9: Zvedání tělesa. Obr. 7.10: Brždění (chytání) padajícího
tělesa.
Kombinací vzorců 7.4 a 7.9 pak dostáváme vztahy popisující tuto situaci:
W = ∆Ek = Ek,f − Ek,i = Wa + Wg = F · d + G · d.
Důležité je v této chvíli označení
• Wa ... práce vykonaná silou F;
• Wg ... práce vykonaná silou G.
Zajímavá je pro nás možná situace, kdy kinetická energie tělesa na začátku i na konci
posunutí je nulová, tj. celková vykonaná práce je nulová:
Wa + Wg = 0 (7.11)
(např. zejména tehdy, když těleso je na začátku pohybu i na konci pohybu v klidu);
Třeba když rajče pustíme dolů s nulovou počáteční rychlostí a ono spadne na zem; nebo
zvedneme knihu ze stolu a dáme ji do police nad stolem.
Když celková vykonaná práce je nulová, neznamená to, že např. člověk při zvedání
knihy nevykoná žádnou práci – on vykoná práci Wa, která překonává působení síly G.
Pouze práce Wa Wg mají opačná znaménka, takže jejich součet je roven nule.
23
Kombinací vzorců 7.10, 7.11 dostáváme vztah pro práci Wa vykonanou působením síly
F v situaci, kdy kinetická energie tělesa na začátku i na konci posunutí je stále stejná:
Wa = −m · g · d · cos ϕ. (7.12)
Je zajímavé, že vztah 7.12 platí, i když síla F není konstantní, ale proměnná: Například
když vzpěrač Vasilij Aleksejev zvedal nad hlavu rekordní činku o váze 2500N, musela se
jeho síla během tohoto úkonu výrazně měnit. Činka byla ovšem na začátku i na konci
úkonu v klidu, takže celkovou práci vzpěrače lze určit ze vztahu 7.12.
Příklad 7.4 a) Aleksejev zvedl činku o váze 2500N do výšky 2m. Jakou práci přitom
vykonala tíhová síla G?
b) Jakou práci vykonala síla, kterou působil na činku Aleksejev?
c) Jakou práci vykonala síla, kterou působil Aleksejev, když držel činku nad hlavou?
d) Jakou práci vykonal Anderson, když zvedl třicet osob o celkové váze 27900N o 1cm?
Řešení:
ad a) Podle 7.10 máme
Wg = 2500N · 2m · cos 180◦
= −5000J.
ad b) Podle 7.11 Wa = −Wg = +5000J.
ad c) Pokud by Aleksejev dokázal držet činku naprosto nehybně, tak nekoná žádnou práci
(Wa = 0); ovšem v nehybném stavu člověk držet činku nedokáže – ve skutečnosti
činka trochu klesá a vychýlí se, a tak musí konat neustále práci, aby činku posunul
ten kousek do její původní polohy. Proto je namáhavé i jen držet činku v poloze nad
hlavou.
ad d) Anderson sice působil obrovskou silou, ale vykonal menší celkovou práci než Alek-
sejev:
Wa = 27900 · 0,01 = 279J.
Příklad 7.5 a) Bedna o hmotnosti 15kg, která byla zpočátku v klidu, je vytahována po
dokonale hladké rampě až do výšky h = 2,5m nad zemí. Urazila přitom vzdálenost
l = 5,7m a pohyb tažného lana se zastavil. Jakou práci přitom vykonala tíhová síla?
b) Jakou práci vykonala tahová síla lana?
Řešení:
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 2 24
Obr. 7.11: Bedna vytahovaná na rampě.
Obr. 7.12: Bedna na rampě – rozbor sil.
ad a) Užijeme vztah 7.10 pro úhel
θ + 90◦
= arcsin
2,5
5,7
+ 90◦ .
= 26◦
+ 90◦
= 116◦
.
Pak dostaneme
Wg = mgl · cos 116◦
= 15kg · 9,80665ms−2
· 5,7m cos 116◦
= −368J
(tíhová síla zbržďuje pohyb bedny = koná zápornou práci).
ad a) jinak: Jiný způsob výpočtu: z obrázku 7.12 je patrný ještě jiný vzorec pro projekci
vektoru G do směru posunutí l:
Wg = −mgl sin θ.
Pak dostaneme z pravoúhlého trojúhelníku ABC, že sin θ = h
l
, a tedy
Wg = −mgl ·
h
l
= −mgh.
25
Z tohoto vzorečku
Wg = ±mgh (7.13)
(kladné znaménko užijeme pro posunutí h ve stejném směru jako G, tedy ve směru
dolů k zemi, záporné znaménko pro h ve směru vzhůru od země) je vidět, že velikost
tíhové práce nezávisí na délce uražené v šikmém směru2
, ale pouze na absolutní
změně h nadmořské výšky.
Dojdeme ke stejnému výsledku: Wg = −15kg · 9,80665ms−2
· 2,5m = −368J.
ad b) Na bednu působí tři síly:
• G ... tu jsme právě spočítali;
• N ... normálová síla podložky je kolmá na směr posunutí l, a proto nekoná
práci;
• T ... tahová síla lana.
Protože bedna je vklidu na začátku i na konci posunutí, platí vztah 7.11: WT +Wg =
0, a tedy WT lze určit jako WT = −(−368) = 368J (využili jsme vztahu 7.11 a
spočítali práci lana pomocí práce tíhové síly.
Kontrola 3. Bednu z příkladu 7.5 jsme vytáhli do stejné výšky, ale po delší rampě.
a) Jak se změní práce síly T – bude větší, menší či stejná?
b) Jak se změní velikost síly T – bude větší, menší či stejná?
Příklad 7.6 Kabina výtahu o hmotnosti 500kg klesá rychlostí vi = 4ms−1
. Tažné lano
začne najednou klouzat a pokles kabiny se urychluje, přičemž a = g
5
.
a) Jakou práci vykoná tíhová síla m·g působící na padající kabinu při posunutí d = 12m?
b) Jakou práci vykoná při témže posunutí tahová síla lana?
c) Jaká je celková práce všech sil působících na kabinu?
d) Jaká je kinetická energie kabiny na konci posunutí?
e) Jaká je velikost rychlosti vf na konci posunutí?
Řešení:
ad a) Podle vzorce 7.10 dostaneme
W1 = mgd cos 0 = 500kg · 9,80665ms−2
· 12m · 1
.
= 5,88 · 104
J.
2
Ještě jednou: pokud zatím neuvažujeme tření na nakloněné rovině v šikmém směru.
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 2 26
Obr. 7.13: Výtah klouzající se zrychlením směrem dolů.
ad b) Velikost výsledné síly F získáme jako výslednici součtu velikostí sil T a mg (viz
obr. 7.13), tj. F = ma = T − mg (kde a je zrychlení výsledné síly), protože síly
působí v navzájem opačném směru. Ze zadání víme, že a = −g
5
(protože zrychlení
nastává v opačném směru než působí tahová síla lana), tedy pro velikost T platí
T = mg + ma = m(g −
g
5
) = m ·
4
5
g
.
= 3920N.
Nyní můžeme spočítat práci tahové síly lana. Pozor! Na rozdíl od příkladů 7.4, 7.5
není kinetická energie na začátku a na konci posunutí stejná, tj. nelze použít vzorce
7.11, 7.12 – musíme užít vzorec 7.8 pro ϕ = 180◦
:
W2 = F · d · cos ϕ = 3920N · 12m · (−1) = −4,7 · 104
J.
ad c) W = W1 + W2 = 1,18 · 104
J. Jiný způsob výpočtu: Určíme nejprve výslednici sil
(respektive její velikost), což je jednoduché, protože máme zadáno výsledné zrych-
lení:
Fi = m · a = 500kg ·
−9,80665
5
.
= −980N.
Pak W = 980N · 12m · cos 0◦ .
= 1,18 · 104
J.
ad d) Ek,i = 1
2
· 500kg · (4ms−2
)2
= 4000J. Odtud
Ek,f = Ek,i + W = 4000J + 11800J = 15800J.
ad e)
Ek,f =
1
2
mv2
f ⇒ vf =
2Ek,f
m
=
2 · 15800J
500kg
.
= 7,9ms−1
.
27
7.5 Práce proměnné síly
Pokud síla F(x) působí na částici-těleso v kladném směru osy x, lze vztah polohy x
částice=tělesa a síly F(x) na částici-těleso působící vyjádřit grafem za kterého je vidět,
že (obrázek 7.14)
Obr. 7.14: Obsah plochy vyjadřuje vykonanou práci.
i) Síla F(x) je po celou dobu posunutí tělesa konstantní a je rovna hodnotě k (Newtonů).
ii) Práce, kterou síla F koná při posunutí tělesa z a do b, je rovna obsahu šrafované plochy
– obsahu obdélníka k · (b − a) s jednotkami N · m.
Pokud by síla F(x) nebyla po celou dobu posunutí konstantní, ale proměnlivá, jak
bychom spočetli celkovou práci při posunutí tělesa z polohy a do polohy b na ose x?
a) První strategií by mohlo být rozdělit interval a; b na několik menších, nahradit na
menším interválku ai; ai+1 funkci F(x) konstantou ki+1 a výslednou práci určit
přibližně (obsah obrazce mezi funkcí F(x) a osou x je přibližně roven součtu obsahů
vyšrafovaných obdélníků – viz obrázek 7.15):
W
.
= k1 · (a1 − a0) + k2 · (a2 − a1) + k3 · (a3 − a2).
b) Přesnější výpočet poskytne jemnější rozdělení intervalu a; b na interválky stejné
délky d = b−a
n
= xi+1 − xi (viz obrázek 7.16):
W
.
=
n−1
i=0
F(xi) · (xi+1 − xi).
c) Limitním přechodem pro d → 0 dostaneme3
práci jako přesnou hodnotu určitého
integrálu z funkce F(x) na intervalu a; b (viz obr. 7.17), který je pro nezápornou
3
Přesněji bychom měli říci, podobně jako v kapitole 2, tento určitý integrál v Riemannově smyslu
existuje tehdy, když daná limita nezávisí na výběru bodů ci z intervalů xi; xi+1 – a pokud můžeme
vybrat ci ∈ xi; xi+1 libovolně, tak vybereme například ci := xi, a tedy v dané limitě není uvedeno F(ci),
ale hned F(xi). Tento fakt vdy platí pro spojitou funkci F(x) na uzavřeném intervalu a; b .
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 2 28
Obr. 7.15: Hrubý výpočet obsahu pomocí součtu obsahů obdélníků.
Obr. 7.16: Přibližný výpočet obsahu pro menší dělení intervalu na podintervaly.
spojitou funkci F(x) roven obsahu šrafované plochy mezi funkcí F(x) a osou x na
intervalu a; b :
W = lim
d→0
n−1
i=0
F(xi) · (xi+1 − xi) =
b
a
F(x)dx.
Případ proměnné síly tedy řešíme podobnou technikou jako případ proměnné rychlosti
v kapitole 2:
• (kapitola 2) určitý integrál z rychlosti je roven délce dráhy přímočarého pohybu
tělesa (respektive stále uvažujeme hmotný bod, tj. rozměry tělesa vzhledem k délce
pohybu a působícím silám zanedbáváme);
• (nyní v kapitole 7) určitý integrál ze síly působící vkladném směru osy x je roven
množství práce při přímočarém posunutí tělesa.
29
Obr. 7.17: Určitý integrál jako obsah plochy mezi nekonstantní kladnou funkcí a osou x.
Oba právě popsané fyzikální významy lze přiřadit k matematickému (geometrickému)
významu výpočtu obsahu plochy mezi nezápornou spojitou funkcí a osou x na intervalu
a; b . Tomuto obrazci budeme říkat podgraf funkce F(x) na intervalu a; b .
Přesněji řečeno (viz též kapitola 2), význam určitého integrálu je trojí:
Algebraický význam určitého integrálu: určitý integrál = limita z jistého výrazu, a
sice
b
a
F(x)dx = lim
(xi+1−xi)→0
n−1
i=0
F(xi) · (xi+1 − xi) .
Geometrický význam určitého integrálu: určitý integrál = obsah mezi nezápornou
spojitou funkcí F(x) a osou x na intervalu a; b .
Fyzikální významy určitého integrálu: Fyzikálních významů určitého integrálu je
celá řada, zmiňme zatím ty, se kterými jsme se setkali:
• x(b) − x(a) =
b
a
v(t)dt ... délka dráhy (= změna polohy) = určitý integrál z
rychlosti (při přímočarém pohybu hmotného bodu);
• v(b) − v(a) =
b
a
a(t)dt ... změna rychlosti = určitý integrál ze zrychlení (při
přímočarém pohybu hmotného bodu)
• W = Ek(b) − Ek(a) =
b
a
F(x)dx ... vykonaná práce (= změna kinetické energie)
= určitý integrál z působící síly (v kladném směru osy x).
Pro výpočet práce při působení proměnné síly platí tedy obecně vztah
W =
xf
xi
F(x)dx. (7.14)
Pokud známe F(x), lze práci W spočítat podle vzorce (2.5) a integračních vzorců probraných
v kapitole 2 (viz cvičení za kapitolou 2) – protože integrace je proces opačný k
derivování, při výpočtu integrálů se užívají stejné vzorce jako při derivaci s tím rozdílem,
že nyní známe výsledek derivace a hledáme vzor, jehož derivováním výsledek vznikl.
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 2 30
Příklad 7.7 Těleso o hmotnosti 2kg se pohybuje vkladném směru osy x (rozměry tělesa
i tření zatím zanedbáváme). Toto těleso začneme zbržďovat proměnnou silou o velikosti
Fx = −6x Newtonů (působí proti směru pohybu tělesa). Rychlost tělesa v poloze x = 3m
je vx = 8ms−1
.
a) Jaká je rychlost tělesa v poloze x = 4m?
b) V jaké poloze má těleso rychlost vx = 5ms−1
?
Řešení: Viz obrázek 7.18:
ad a) Kombinací vzorců 7.14 a 7.4 máme
W3,4 =
4
3
(−6x)dx = Ek,f − E)k, i =
1
2
mv2
4 −
1
2
mv2
3.
Integrací levé strany podtržené rovnice a dosazením do její pravé strany dostaneme
−6 ·
x2
2
x=4
x=3
=
1
2
m(v2
4 − 82
),
−3(16 − 9) =
1
2
· 2 · (v2
4 − 64),
−21 + 64 = v2
4 ⇒ v4 =
√
43
.
= 6,557ms−1
.
ad b) Dosazením do podobného vztahu jako v (a), jen na intervalu 3; x0 máme
W3,x0 =
x0
3
(−6x)dx =
1
2
m · 25 −
1
2
m · 64 = Ek,x0 − Ek,3
−3(x2
0 − 9) = −39 ⇒ x2
0 = 13 + 9 = 22 ⇒ x0 =
√
22
.
= 4,69m.
Obr. 7.18: Příklad nekonstantní brzdicí síly.
31
7.6 Funkce y = ln x, y = ex
a jejich vlastnosti
Kromě vzorců integrace vycházejících ze vzorců pro derivování v kapitole 2 se při integraci
používají i další vzorce, které dosud nebyly zmíněny. Integrováním velmi jednoduché
funkce f(x) = 1
x
(nepřímé úměrnosti) získáme funkci, kterou označujeme jako ln x:
ln x :=
x
1
1
t
dt.
Při tomto označení máme dva často užívané vzorce pro hledání neurčitého integrálu:
1
x
dx = ln |x| + c,
ex
dx = ex
+ c,
kde funkce y = ex
(tzv. exponenciální funkce o základu e, což je Eulerovo číslo s
nekonečným neperiodickým desetinným rozvojem: e = 2,71828 . . . ) funkcí inverzní
k funkci y = ln x (tzv. funkce přirozený logaritmus z hodnoty x). Pojďme se nyní
zabývat těmito dvěma funkcemi (a funkcemi jim nejblíže příbuznými) podrobněji, tj.
exponenciálními a logaritmickými funkcemi.
Věnujme se tedy nyní vlastnostem funkcí y = ln x, y = ex
: Z obrázku 7.19
Obr. 7.19: Graf funkce y = ln x.
jsou patrny následující vlastnosti funkce y = ln x:
Definiční obor: Dy = R+
= (0; ∞) ... funkce ln x je definovaná pouze pro kladné
hodnoty x.
Obor funkčních hodnot: Hy = R ... funkce ln x nabývá všech možných hodnot z
množiny reálných čísel.
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 2 32
y je rostoucí: Z grafu vidíme, že pro rostoucí hodnoty proměnné x rostou funkční hodnoty
ln x (graf funkce „jde do kopce ).
Lokální etrémy: Funkce ln x nemá lokální etrémy (lokální minimum, loální maximum),
pouze pro kladné hodnoty x blízké nule klesají funkční hodnoty ln x k minus neko-
nečnu,
lim
x→0+
ln x = −∞
(čteme: limita z funkčních hodnot ln x pro x jdoucí k nule zprava je rovna minus
nekonečnu), naopak pro velké hodnoty x rostou funkční hodnoty ln x k plus neko-
nečnu:
lim
x→∞
ln x = ∞.
Funkce přirozeného logaritmu ln x souvisí s problematikou integrování: ln x lze
definovat jako určitý integrál
ln x :=
x
1
1
x
dx,
tj. lz říci, že vznikla při integrování funkce 1
x
. Současně ovšem funkce ln x souvisí s funkcí
ex
, kde konstanta e je tzv. Eulerovo číslo, které je iracionální (= nelze je vyjádřit ve tvaru
zlomku), má nekonečný neperiodický desetiný rozvoj. Prvních dvacet cifer Eulerova čísla
je
e = 2,71828 18284 59045 23536 . . .
(pro běžné výpočty si stačí pamatovat prvních pět cifer za desetinnou čárkou: e
.
=
2,71828). Eulerovo číslo e je takové číslo, že platí ln e = 1, neboli
e
1
1
x
dx = 1.
Nyní se podívejme na graf a vlastnosti funkce y = ex
, která je inverzní k funkci
ln x. Za chvíli si blíže vysvětlíme, co to znamená inverzní funkce, nyní zatím ať si čtenář
(student) pamatuje, že grafy funkcí navzájem inverzních jsou osově souměrné podle osy
y = x (viz obrázek 7.20).
Vlastnosti funkce y = ex
:
Definiční obor: Dy = R ... funkce ex
je definovaná pro jakékoli reálné číslo x.
Obor funkčních hodnot: Hy = R+
... funkce ex
nabývá pouze kladných reálných hod-
not.
y je rostoucí: Z grafu vidíme, že pro rostoucí hodnoty proměnné x rostou funkční hodnoty
ex
(graf funkce „jde do kopce ).
Lokální etrémy: Funkce ex
nemá lokální etrémy (lokální minimum, loální maximum),
pouze pro x blížící se minus nekonečnu funkční hodnoty ex
klesají k nule, tj.
lim
x→−∞
ex
= 0
33
Obr. 7.20: Grafy navzájem inverzních funkcí y = ln x a y = ex
.
(čteme: limita z funkčních hodnot ex
pro x jdoucí k minus nekonečnu je rovna nule),
dále pro velké hodnoty x rostou funkční hodnoty ex
k plus nekonečnu:
lim
x→∞
ex
= ∞.
Pro matematiku a matematické výpočty má význam nejen funkce y = ex
, ale také
y = 2x
, y = (1
2
)x
, atd., neboli funkce typu y = ax
, kde a je libovolná kladná konstanta a
x je proměnná. Tyto funkce se nazývají exponenciální funkce, protože proměnná x se
nachází v exponentu.
Obr. 7.21: Funkce y = ax
pro různé hodnoty konstanty a.
Graf exponenciální funkce y = ax
pro různé hodnoty reálné konstanty a lze vidět na
obrázku 7.21: pro a ∈ (0; 1) dostáváme klesající funkci, pro a = 1 konstantní funkci, a
pro a > 1 rostoucí funkci. Ve všech třech případech Df = R, tj. funkce exponenciální je
definována pro každé reálné číslo x.
Funkce y = 1x
není zajímavá, protože umocněním čísla 1 na jakékoli číslo x dostaneme
zase číslo 1, tj. Hf = {1} (a většinou se této funkci ani neříká exponenciální funkce,
protože jejím grafem je přímka). Pro zbývající dva typy a ∈ (0; 1) a a > 1 pro oba
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 2 34
platí, že Hf = R+
, tj. umocněním kladného čísla a na jakékoli (i třeba záporné!!) číslo x
dostáváme jako výsledek pouze kladné číslo.
Protože budeme u exponenciálních funkcí pracovat s mocninami, je nyní vhodné zopakovat
vzorce, které pro ně platí:
a) ax
· ay
= ax+y
; b) ax
·
1
ay
= ax−y
, speciálně
1
ay
= a−y
;
c) a
m
n = n
√
am; d) (am
)n
= am·n
; (7.15)
e) a0
= 1 pro a ∈ R; f) (a · b)x
= ax
· bx
, a podobně
a
b
x
=
ax
bx
.
Příklad 7.8 a) Nakreslete grafy funkcí y = 2x
, y = 2−x
.
b) Zjistěte pomocí grafu exponenciální funkce, zda číslo (7
3
)−0,5
je menší než 1.
c) Zjistěte pomocí grafu exponenciální funkce, zda 0,41,6
< 0,41,8
.
Řešení: Pro každý úkol nakreslíme graf exponeciálních funkcí nebo funkce.
ad a) Funkce y = 2x
má graf velmi podobný grafu y = ex
, protože se jedná o typ y = ax
pro a > 1 – viz obrázek 7.22.
Dále funkci y = 2−x
upravíme podle vzorce 7.15 (b) na tvar y = 1
2x = 1
2
x
, tj.
vidíme, že základ a = 1
2
, a tedy exponenciální funkce je klesajícího typu – obrázek
7.23.
Obr. 7.22: Graf funkce y = 2x
. Obr. 7.23: Graf funkce y = 2−x
.
ad b) Nakresleme graf funkce y = 7
3
x
pro a = 7
3
, což je hodnota větší než 1, tj. jedná
se o exponenciálu rostoucího typu – viz obrázek 7.24. Nyní protože
7
3
−0,5
= f(−0,5),
vzneseme kolmici k ose x z hodnoty −0,5 – tato kolmice protne graf naší funkce v
bodě, jehož odpovídající souřadnice y0, která je obrazem funkční hodnoty, je menší
než 1:
f(−0,5) = y0 < 1.
Z grafu dále vidíme, že f(x) < 1 pro jakékoli záporné x.
35
Obr. 7.24: Graf funkce y = (7
3
)x
.
ad c) Z grafu funkce y = 0,4x
vidíme, že se jedná o funkci klesající (obrázek 7.25). Pro
klesající funkci platí
x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2),
a tedy pro konkrétní hodnoty ze zadání máme
1,6 < 1,8 ⇒ 0,41,6
> 0,41,8
.
Obr. 7.25: Graf funkce y = 0,4x
.
Podobně jako y = ln x je inverzní funkcí k funkci y = ex
, existují i inverzní funkce k
ostatním exponenciálním funkcím a nazývají se logaritmické funkce:
y = loga x (čti: logaritmus o základu a z hodnoty x)
je funkce inverzní k funkci y = ax
. A protože graf inverzní funkce je vždy obrazem
původní funkce vzhledem k osové souměrnosti podle přímky y = x, bude mít graf funkce
loga x jiný průběh pro a ∈ (0; 1) a pro a > 1.
Vlastnosti funkce y = loga x pro a ∈ (0; 1) (graf viz levá část obrázku 7.26):
Definiční obor: Dy = R+
... logaritmus je definován jen pro kladné číslo x, jinak ne;
Obor funkčních hodnot: Hy = R;
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 2 36
y je klesající (pomůcka pro zapamatování: inverzní proces zachovává klesající průběh,
tj. pokud původní funkce ax
je klesající, také k ní inverzní loga x je klesající)
Lokální extrémy: Funkce loga x nemá lokální extrémy,
lim
x→0+
loga x = ∞
(čteme: limita z funkčních hodnot loga x pro x jdoucí k nule zprava je rovna nekonečnu),
dále pro velké hodnoty x rostou funkční hodnoty loga x k minus nekonečnu:
lim
x→∞
loga x = −∞.
Obr. 7.26: Grafy funkcí y = ax
a loga x.
Vlastnosti funkce y = loga x pro a > 1 (graf viz pravá část obrázku 7.26):
Definiční obor: Dy = R+
... logaritmus je definován jen pro kladné číslo x, jinak ne;
Obor funkčních hodnot: Hy = R;
y je rostoucí (pomůcka pro zapamatování: inverzní proces zachovává rostoucí průběh,
tj. pokud původní funkce ax
je rostoucí, také k ní inverzní loga x je rostoucí)
Lokální extrémy: Funkce loga x nemá lokální extrémy,
lim
x→0+
loga x = −∞
(čteme: limita z funkčních hodnot loga x pro x jdoucí k nule zprava je rovna minus
nekonečnu), dále pro velké hodnoty x rostou funkční hodnoty loga x k nekonečnu:
lim
x→∞
loga x = ∞.
37
Pokud bychom dokázali s funkcí loga x pracovat běžně, což dokážeme, protože funkce
ln x je součástí dnešních kalkulaček a platí vzorec převádějící logaritmus jakéhokoli základu
na přirozený logaritmus o základu e
.
= 2,71828
loga x =
ln x
ln a
, (7.16)
tak lze pomocí logaritmických funkcí řešit tzv. exponenciální rovnice (= rovnice, ve
kterých se vyskytují exponenciální funkce): například při řešení rovnice
3x
= 8
se na její levé straně nachází funkce y = 3x
; pokud chceme vyjádřit z této rovnice neznámou
x, použijeme inverzní proces, tj.
x = log3 8 =
ln 8
ln 3
=
2,07944
1,09861
.
= 1,89279.
Nebo při řešení rovnice
5−x
= 8
upravíme podle 7.15 (b) na tvar
1
5
x
= 8.
Pro exponenciální funkci y = (1
5
)x
použijeme funkci y = log1
5
x k ní inverzní a dostaneme
x = log1
5
8 =
ln 8
ln 1
5
.
= −1,292.
Příklad 7.9 a) Nakreslete grafy funkcí y = log5 x a y = log1
5
x.
b) Rozhodněte (pomocí grafu jisté funkce), zda platí log4 7 < log4 9.
c) Rozhodněte (pomocí grafů jistých funkcí), zda platí log10 12 ≤ log0,3 12.
Řešení:
ad a) Grafy obou funkcí lze najít v náčrtku na obrázku 7.27. Křivka grafu y = log5 x je
mírně jinak nakloněna než křivka grafu y = ln x, ovšem opět protíná vodorovnou
osu soustavy souřadnic v bodě 1, tj. log5 1 = 0, protože jdeme-li v inverzním směru,
platí 50
= 1. A vůbec, jak je z grafů patrno, pro oba typy exponenciální funkce
(klesající i rostoucí typ) platí loga 1 = 0, protože a0
= 1.
ad b) Nakresleme graf funkce y = log4 x, viz obrázek 7.28. Pro a = 4 bude mít funkce
rostoucí charakter. Tedy pro 7 < 9 platí, že funkční hodnoty zachovají stejné pořadí:
log47 < log4 9, tj. vztah ze zadání platí.
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 2 38
Obr. 7.27: Grafy funkcí y = log5 x a log1
5
x.
Obr. 7.28: Graf funkce log4 x.
Obr. 7.29: Grafy funkcí y = log10 x a log0,3 x.
ad c) Do jednoho obrázku 7.29 nakreslíme grafy funkcí y = log10 x (rostoucí průběh) a
39
y = log0,3 x (klesající průběh). Z grafů je jasně vidět, že pro x = 12 platí
log10 12 > 0 > log0,3 12,
tj. vztah ze zadání neplatí.
Z povahy funkce logaritmu jako inerzní funkce k exponenciální funkci plynou následující
pravidla pro počítání s logaritmy (tyto vlastnosti plynou v podstatě ze vzorců 7.15,
protože logaritmus funguje jako jakási mocnina, na kterou se umocňuje základ a):
a) loga x = taková hodnota, na kterou když umocníme základ a, dostaneme číslo x;
b) loga(x · y) = loga x + loga y (logaritmus součinu = součet logaritmů); (7.17)
c) loga
x
y
= loga x − loga y (logaritmus podílu = rozdíl logaritmů);
d) loga(xy
) = y · loga x (mocninu z argumentu logaritmu lze vytknout před logaritmus).
Protože y = loga x a y = ax
jsou navzájem inverzní funkce, tak pokud je použijeme
těsně za sebou, navzájem se zruší jejich účinek:
a) aloga x
= x;
b) loga (ax
) = x (7.18)
(vzorce platí pro a > 0, a = 1, x > 0).
Příklad 7.10 Vyřešte bez kalkulačky na základě právě probraných vzorců:
a) log2 8 = . . .
b) log10 0,01 = . . .
c) logaa = . . .
d) log8 t = 3 ⇒ t = . . .
e) Určete všechna a ∈ R, pro která platí loga 100 = 2.
f) 4 · log6 3 + 5 · log6 2 − log6 12 = . . .
g) V oboru reálných čísel řešte rovnici: 2 · log10(x − 1) = 0,5 · (log10 x5
− log10 x).
h) V oboru reálných čísel řešte rovnici:
1
3−(u+2)
− 2 = 3u
.
i) V oboru reálných čísel řešte rovnici (log v je označení pro log10 v, základ 10 se někdy v
tomto zápisu vynechává):
vlog v
= 100v.
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 2 40
Řešení: S využitím vzorců uvedenách v tomto oddílku můžeme počítat:
ad a) log2 8 = log2 23 7.17(a)
= 3.
ad b) log10 0,01
7.17(a)
= −2.
ad c) logaa
7.17(a)
= 1 pro a > 0, a = 1.
ad d) log8 t = 3 ⇒ t = 83
= 512.
ad e) loga 100 = 2 ⇒ a2
= 100, tj. a = 10 (číslo a = −10 není řešením, protože základ
logarimu musí být kladný).
ad f) S využitím vztahů 7.17 b),c),d) dostaneme
4·log6 3+5·log6 2−log6 12 = log6
34
· 25
12
= log6
34
· 25
3 · 22
= log6 33
· 23 7.15(f)
= log6 63
= 3.
ad g) Levou stranu rovnice upravíme pomocí 7.17(d), pravou stranu nejprve podle
7.17(c), a pak 7.17(d), dostaneme
log10(x − 1)2
= 0,5 · log10
x5
x
= 0,5 · log10 x4
= log10 x4·0,5
= log10 x2
.
Protože logaritmus je prostá funkce, nabývá pro každá různá x1, x2 různých funkčních
hodnot log10 x1, log10 x2, můžeme rovnost logaritmů nahradit rovností jejich
argumentů:
(x − 1)2
= x2
x2
− 2x + 1 = x2
1 = 2x ⇒ x =
1
2
,
ale x = 1
2
není řešením zadané rovnice, protože hodnota log10(1
2
−1) není definována
(1
2
− 1 je záporné reálné číslo, které nepatří do definičního oboru funkce logaritmu).
Tedy závěr zní: rovnice na množině reálných čísel nemá řešení4
.
ad h) Nejprve pomocí 7.15(b) upravíme levou stranu zadané rovnice:
3n+2
− 2 = 3n
.
Nyní 3n+2
lze psát ve tvaru 9 · 3n
a po zavedení substituce 3n
= y dostaneme
9y − 2 = y
8y = 2
4y = 1
y =
1
4
subst.
= 3n
.
4
Z toho plyne poučení: při řešení rovnic, ve kterých se vyskytují logaritmy, nestačí jen slepě upravovat
vzorce – musíme se vždy přesvědčit, zda nalezené číslo x patří do definičního oboru funkcí, jež se v rovnici
vyskytují.
41
Tuto poslední podtrženou rovnost zlogaritmujeme podle základu 3, tj. před obě
strany rovnice přidáme operátor log3:
log3
1
4
= log3 3n
= n ⇒ n = log3
1
4
=
ln 1
4
ln 3
.
= −1,262.
ad i) Nejprve obě strany rovnice zlogaritmujeme, tj. před obě strany rovnice přidáme
operátor log10:
log10 vlog10 v
= log10(100 · v).
Dále podle 7.17(d) můžeme „vyjít s mocninou na levé straně v argumentu logaritmu
před logaritmus, pravou stranu upravíme podle 7.17(b):
log10 v · log10 v
=(log10 v)2
= log10 100
=2
+ log10 v.
Zaveďme nyní substituci y = log10 v a dostaneme:
y2
= 2 + y
y2
− y − 2 = 0
(y + 1)(y − 2) = 0 ⇒ y1 = −1, y2 = 2
Nyní se vraťme v substituci zpět a prozkoumejme obě hodnoty „podezřelé z řešení :
y1 = −1
log10 v = −1 ⇒ v1 = 10−1
= 0,1
y2 = 2
log10 v = 2 ⇒ v2 = 102
= 100.
Obě hodnoty v1, v2 leží v definičním oboru funkce log10 v, tj. obě jsou řešením
rovnice.
7.7 Cvičení – neurčitý integrál – základní vzorce
7.8 Cvičení – neurčitý integrál – metoda per partes = po částech
7.9 Cvičení – neurčitý integrál – substituce
Na konci oddílku integračních metod s využitím substituce uveďte vzorce a metody pro
integraci součinu funkcí sinus a cosinus, které nejsou součástí rukopisu (v učebnici Matematika
pro gymnázia – diferenciální a integrální počet nejsou řešeny dostatečně, i když
zbývá dodat jen malý krok).
a) V součinu funkcí se vyskytuje lichá mocnina sinu proměnné x ... substituce cos x = t.
b) V součinu funkcí se vyskytuje lichá mocnina cosinu proměnné x ... substituce sin x = t;
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 2 42
c) V součinu se vyskytují pouze sudé mocniny sinu a kosinu proměnné x ... jednodušší
než užití substituce je snížit mocninu goniometrických funkcí pomocí vzorců
sin2
x =
1
2
(1 − cos 2x), cos2
x =
1
2
(1 + cos 2x),
které získáme jako druhou stranu součtových vzorců funkcí sinus nebo cosinus dokazovaných
v kapitole 3 ve cvičení.
7.10 Práce pružné síly
Vraťme se nyní po exkurzi do intergrálního počtu a do vlastností funkcí ax
, loga x zpět k
výpočtu proměnné síly (tj. dané praktické aplikaci integrálního počtu.
V tomto oddíle se budeme zabývat pružnou silou neboli silou, kterou na částice působí
natažená nebo stlačená pružina. Je zřejmé, že v průběhu pohybu částice (tělesa) se bude
měnit natažení pružiny, a tím i působící síla.
Uvažujme kostku připevněnou na pružině (přičemž jeden konec pružiny je upevněn ve
zdi, se druhým je spojena kostka) – tato kostka se může nacházet v jednom ze tří stavů:
a) nenapjatý stav: Kostka s pružinou zůstávají v klidu – viz obrázek 7.30.
Obr. 7.30: Kostka připojená k pružině.
b) protažení průžiny: Pružina působí na kostku silou F a snaží se ji dostat zpět do
nenapjatého stavu – viz obrázek 7.31.
Obr. 7.31: Kostka na pružině natažené vnější silou.
c) stlačení pružiny: Kostku tlačíme směrem doleva, pružinu stlačujeme (viz obrázek
7.32).
43
Obr. 7.32: Kostka na pružině stlačené vnější silou.
Vztah mezi posunutím (= polohou) kostky a silou F lze vyjádřit tzv. Hookeho záko-
nem5
:
F = −k · d, (7.19)
kde k je kladná konstanta vyjadřující tuhost pružiny (její jednotkou je N ·m−1
, větší hodnota
této kladné konstanty k znamená tužší pružinu). Znaménko minus v právě uvedeném
vztahu vyjadřuje, že vratná síla působí vždy ve směru opačném než posunutí.
Vzorec 7.19 funguje v prostoru v jakémkoli směru, ve kterém pružinu natahujeme.
– pokud do směru protažení umístíme osu x a počátek této osy do nenapjatého stavu
pružiny (tak, jak je to na obrázcích), lze vzorec 7.19 psát bez vektorů pomocí velikostí
daných veličin
F(x) = −k · x, (7.20)
kde x je poloha kostky vzhledem k souřadné soustavě umístěné do směru posunutí, F(x)
je velikost síly pružiny v kladném směru osy x.
Když nyní do kostky udeříme směrem doprava (= v kladném směru osy x), tak jí
udělíme kinetickou energii a kostka se začne pohybovat směrem doprava. Síla F pružiny
pohyb kostky zpomaluje, kinetická energie kostky klesá. Za určitých předpokladů
(nehmotná pružina ... její hmotnost je zanedbatelná; ideální pružina ... řídí se Hookeho
zákonem) je změna kinetické energie určena výhradně pomocí síly F.
Práci pružiny určíme podle vzorce 7.14, do kterého dosadíme vyjádření F(x) ze vztahu
7.20:
Wp
7.14
=
xf
xi
F(x) dx
7.20
=
xf
xi
(−kx) dx = −k
xf
xi
x dx
(2.5)
=
= −k ·
x2
2
x=xf
x=xi
=
−k
2
(x2
f − x2
i ) =
1
2
kx2
i −
1
2
kx2
f .
5
Robert Hooke ... anglický vědec v 17. století.
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 2 44
Odvodili jsme tedy integračními metodami vzorec pro práci pružné síly
Wp =
1
2
kx2
i −
1
2
kx2
f (7.21)
Wp může být kladná nebo záporná, protože souvisí s celkovou změnou kinetické energie
kostky při jejím pohybu (v dané souřadné soustavě je jeden směr pohybu zvolen jako
kladný).
Pro xi = 0 vzorec 7.21 přechází do tvaru Wp = −1
2
kx2
f .
Další věc: pokud kostku stále posunujeme silou Fa, a ještě současně působí síla pružiny,
podle 7.9 je celková práce rovna součtu dílčích prací:
∆Ek = Ek,f − Ek,i = Wa + Wp.
Speciálně pokud kinetická energie na začátku i na konci působení je rovna nule, platí
Wa + Wp = 0, tj.
Wa = −Wp (7.22)
(práce vykonaná silou Fa je rovna záporně vzaté práci pružné síly).
Poznámka. Ve vzorcích 7.19, 7.20 nevystupuje délka pružiny, ale tato délka je jedním
z faktorů určujících tuhost pružiny k.
Příklad 7.11 Abychom pružinu na obrázku 7.31 udrželi protaženou o 12mm, musíme na
kostku (uchycenou na volném konci pružiny) působit silou Fa o velikosti |Fa| = 4,9N.
a) Jaká je tuhost pružiny?
b) Jakou silou bude pružina působit na kostku při protažení o 17mm?
c) Jakou práci vykoná pružná síla při protažení pružiny z nenapjatého stavu do polohy
protažení pružiny o 17mm ?
d) Pružinu protaženou o 17mm uvolňujeme přes nenapjatý stav do stavu stlačení o
12mm. Jakou práci vykoná pružná síla při celkovém posunutí kostky?
Řešení:
ad a) Ze vztahu 7.20 (F = −kx) vyjádříme
k =
−F
x
=
−(−4,9N)
12 · 10−3m
.
= 408,3Nm−1
(síla F působí v záporném směru, proto má záporné znaménko). Získali jsme tedy
vztah závislosti síly na poloze
F(x) = −408,3x.
45
ad b) F(0,017) = −408,3 · 0,017 = −6,94N (při kladném posunutí je síla záporná, a
naopak).
ad c) Užitím 7.21 pro xi = 0 dostaneme
Wp =
−1
2
k · x2
f =
−1
2
· 408,3Nm−1
· 0,0172
m2
= −0,059N · m
(jednotky metry se umocňují současně s hodnotou 0,017, jen tak budou jednotky
výsledku dobře). Wp při posunu z nenapjatého stavu je vždy záporná, protože má
vždy opačný směr než posunutí, ať už pružinu stlačíme nebo natáhneme.
ad d) Při celkovém posunutí kostky vykoná pružná síla práci
Ws =
1
2
kx2
i −
1
2
kx2
f =
1
2
· 408,3Nm−1
(0,0172
− 0,0122
)m2
= 0,0296N · m = 0,0296J
(práce W1 vykonaná při posunu z polohy 0,017 do polohy 0 je kladná, práce W2
vykona ná při posunu z nenapjatého stavu (= polohy 0) do polohy −0,012 je zá-
porná).
Kontrola 4. Je práce pružné síly pro interval polohy a) (−3cm, 2cm), b) (2cm, 3cm),
c) (−2cm, 2cm) kladná, záporná nebo nulová?
Příklad 7.12 Kostka o hmotnosti 5,7kg klouže po vodorovném dokonale hladkém stole
konstantní rychlostí o velikosti 1,2ms−1
. Narazí na volný konec pružiny (viz obrázek 7.33)
a stlačuje ji. Vypočtěte délku d, o kterou je pružina stlačena. Tuhost pružiny je k =
1500N · m−1
.
Obr. 7.33: Klouzající kostka narazí na pružinu.
Řešení: Užijeme 7.21 pro xi = 0, dostaneme Wp = −1
2
· k · d2
. Dále ze vztahů 7.1, 7.4
máme také
Wp = Ek,f − Ek,i = 0 −
1
2
mv2
.
Z tohoto dvojího vyjádření Wp lze sestavit rovnici −1
2
kd2
= −1
2
mv2
, a odtud
d2
=
mv2
k
⇒ d =
mv2
k
=
5,7kg
1500N
· 1,2ms−1 .
= 0,074m = 7, 4cm.
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 2 46
7.11 Výkon
Výkon představuje míru toho, jak rychle bude práce dané velikosti vykonána, tj. nezáleží
jen na tom, kolik práce se stihne, ale i na tom, za jakou dobu.
Úvahy při výpočtu rychlosti práce jsou podobné jako úvahy při výpočtu rychlosti
pohybu v kapitole 2: Průměrný výkon vypočteme podle vztahu
P =
∆W
∆t
(7.23)
(∆W je práce, kterou na těleso vykoná síla F za časový interval ∆t). Vzorec je podobný
vzorci pro průměrnou rychlost přímočarého pohybu v = ∆x
∆t
(průměrná rychlost pohybu
za dobu ∆t je rovna podílů změny plohy ∆x a intervalu ∆t).
Vzorec pro okamžitý výkon v okamžiku t pak získáme limitním přechodem ve vzorci
7.23 pro ∆t jdoucí k nule:
P(t) =
dW(t)
dt
, (7.24)
podobně jako když jsme okamžitou rychlost přímočarého pohybu získali jako v(t) = dx(t)
dt
.
Jednotkou výkonu v soustavě SI je joule za sekundu (J · s−1
). Tato veličina se ovšem
užívá tak často, že jednotka dostala svůj vlastní název watt (W) podle Jamese Watta,
který se věnoval výkonu parních strojů. V britském systému jednotek je jednotkou výkonu
„stopa · libra za sekundu (ft·lb·s−1
). Někdy se užívá i jednotka koňská síla (HP= horse
power, z angličtiny). Mezi jednotkami existují tyto převodní vzorce:
1W = 1J · s−1
= 0,738ft · lb · s−1
,
1HP = 550ft · lb · s−1
= 746W.
Ze vztahu 7.23 lze vidět, že práci lze vyjádřit jako součin výkonu a času, a z tohoto
pohled lze pak získat její často užívanou jednotku kilowatthodinu:
1kW · h = 103
W · 3600s = 3,6 · 106
J = 3,6MJ
(tedy kilowatthodina je naprosto obecná jednotka práce, netýká se jen práce v elektřině).
Výkon pro konstantní sílu pomocí skalárního součinu. Pomocí vzorců 7.24 a
7.8 lze pro konstantní sílu F při přímočarém posunu částice-tělesa odvodit
dW(t)
dt
=
d |F| · cos α · x(t)
dt
= |F| · cos α ·
dx(t)
dt
= F · cos α · v(t),
protože rychlost v(t) přímočarého pohybu definujeme jako derivaci polohy podle času.
Pak lze vzorec
dW(t)
dt
= F · v · cos α
47
pomocí vozrce pro skalární součin a · b = |a| · |b| · cos α upravit na tvar
dW(t)
dt
= F · v, (7.25)
kde v je vektor rychlosti tělesa ve směru jeho pohybu. Například pokud tahač táhne
naložený přívěs, lze v tétosouvisllsti nyní mluvit o výkonu tahače (nesmíme ovšem zapomenout
definiční vztah 7.24 ... výkon = rychlost práce neboli rychlost, s jakou síla koná
práci).
Příklad 7.13 Na obrázku 7.34 jsou vyznačeny konstantní síly F1, F2 působící na krabici,
která klouže bez tření po dokonale hladké ploše, |F1| = 2N, |F2| = 4N. Rychlost krabice
má v určitém okamžiku velikost |v| = 3ms−1
.
a) Jaký je výkon každé z obou sil v tomto okamžiku? Jaký je jejich celkový výkon (interpretujte
tuto hodnotu celkového výkonu)?
b) Řešte úlohu (a) znovu pro |F2| = 6N.
Obr. 7.34: Síly působící na krabici.
Řešení:
ad a) Užijeme vzorec 7.25 (a). Pro sílu F1 je α1 = 180◦
, tj.
P1 = 2N · 3ms−1
· cos 180◦
= −6Js−1
= −6W
(síla F1 „spotřebovává práci rychlostí 6Js−1
).
Pro sílu F2 je α2 = 60◦
, tj.
P2 = 4N · 3ms−1
· cos 60◦
1
2
= 6Js−1
= 6W
(síla F2 „koná kladnou práci rychlostí 6J za sekundu).
Další působící síly (G tíhová, T tlaková) nekonají práci, protože jsou kolmé na
směr posunutí a cos α = 0 pro ně.
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 2 48
Interpretace Pcelk: platí Pcelk = P1+P2 = 0W ... výkon v daném okamžiku je nulový,
kinetická energie se nemění. Výslednice všech působících sil je nulová. Pro souřadnice
vektoru výslednice sil F1, F2, G (gravitační síla), N (tlaková síla podložky)
dostaneme F = (Fx, Fy), kde
Fx = F1 · cos ϕ1 + F2 · cos ϕ2 = 2 · cos(180◦
) + 4 · cos(60◦
) ⇒ ax = 0;
a
Fy = F2 · sin α + N − mg = 4 ·
√
3
2
+ N − mg
(síly N, G působí pouze ve směru osy y, síla F1 působí pouze ve směru osy
x) a protože víme, že krabice se pohybuje pouze vodorovně, platí ay = 0, odtud
4·
√
3
2
+N−mg = 0, a tedy N = mg−2·
√
3 je velikost síly podložky v Newtonech.
Celkový výkon Pcelk a celková výslednice sil jsou tedy nulové trvale, nejen v jediném
okamžiku zadání úlohy.
ad b) Pro |F2| = 6N dostaneme
P2 = 6N · 3ms−1
· cos 60◦
= 9Js−1
Pcelk = P1 + P2 = −6 + 9 = 3Js−1
(celkový výkon v daném okamžiku je kladný, tj. roste kinetická energie, tj. i rychlost
pohybu – hodnoty ze zadání se tedy týkají pouze daného okamžiku).
Kontrola 5. Kostka je uvázána na provaze a pohybuje se rovnoměrně po kružnici,
v jejímž středu je druhý konec provazu upevněn. Rozhodněte, zda je výkon tahové síly
provazu kladný, záporný nebo nulový.
7.12 Vztažné soustavy
Při pomeňme si, že Newtonovy zákony platí v tzv. inerciálních vztažných soustavách
(viz kapitola 5), tj. v soustavách, které se navzájem pohybují rovnoměrně přímočaře.
Invariantní veličiny (= neměnné veličiny) jsou takové, které při měření v různých
inerciálních soustavách vykazují tytéž hodnoty6
. Jsou to např. síla, hmotnost, zrychlení,
čas.
Příklady veličin, které nejsou invariantní: posunutí x(t), rychlost v(t), práce W = F ·d
(protože ta závisí na posunutí), kinetická energie Ek (protože ta závisí na rychlosti a
rychlost dále na volbě vztažné soustavy).
Fyzikové dospěli k tzv. principu invariance: fyzikální zákony musí mít stejný tvar ve
všech inerciálních vztažných soustavách. Co to znamená pro veličiny, které nejsou invariantní?
V různých vztažných soustavách sice naměříme jejich různé hodnoty, ale ve stejném
poměru určeném daným fyzikálním zákonem.
6
V Newtonovské mechanice, tj. v mechanice, kde platí Newtonovy zákony.
49
Příklad 7.14 Soňa jede ve výtahu nahoru a drží v ruce knihu, Štěpán ji pozoruje z balkonu
(obrázek 7.35). Máme zde dvě různé inerciální soustavy – nepohyblivý balkon a
rovnoměrně se pohybující prosklený výtah. Jaká je platnost vztahů 7.4 a 7.5 mezi prací a
kinetickou energií?
Obr. 7.35: Balkon a pohybující se výtah.
a) Soňa: Vztažnou soustavou je zde skříň výtahu. Síla F ruky ani síla mg nekonají práci,
protože kniha je v klidu; tedy celkový práce všech sil působících na knihu je nulová.
Též kinetická energie je nulová a zachovává se (je stále nulová), vztahy 7.4, 7.5 tedy
platí.
b) Štěpán: Vztažno soustavou je zde balkon. Síla F vykoná práci Wf = F · h (kniha
je zvednuta do výšky h). Tíhová síla vykoná práci stejné velikosti, ale s opačným
znaménkem: Wa = −mgh. Celková práce je nulová: F ·h−mgh = 0; platí vztahy 7.4,
7.5. Kinetická energie knihy se tedy nemění a zachovává se (je stále rovna hodnotě
1
2
mv2
).
Vidíme tedy, že i když kinetická energie knihy v každé z těchto soustav je jiná, dané
zákony 7.4, 7.5 platí v každé ze soustav. Z toho plyne důležité poučení: při měření úlohy
je důležité používat stále tutéž vztažnou soustavu.
7.13 Otázky k opakování – práce a kinetická energie
Otázka 7.1 Oddíl 7.1. Co je to kinetická energie a jak se spočítá? (7.1)
Otázka 7.2 Co je jednotkou kinetické energie? (7.2)
Otázka 7.3 Oddíl 7.2. Co je to práce částice nebo tělesa?
Otázka 7.4 Oddíl 7.3. Jaký je vztah mezi prací a kinetickou energií? (7.4, 7.5)
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 2 50
Otázka 7.5 Odvoďte vztah (7.8) mezi prací W a působící silou F ... práce konstantní
síly.
Otázka 7.6 Jaký je vztah mezi F a W s využitím skalárního součinu? (vztah 3.16 opa-
kování)
Otázka 7.7 Co to znamená, že práce W je kladná (nulová, záporná)?
Otázka 7.8 Jak spočítáme práci při působení většího počtu sil? (7.9)
Otázka 7.9 Oddíl 7.4. Jaký vzorec platí pro velikost práce |Wg| tíhové síly? (7.10)
Otázka 7.10 Jak určíme znaménko práce Wg (tj. kdy je kladné a kdy záporné)?
Otázka 7.11 Jaké dva vzorce platí při působení další síly F, pokud změna kinetické energie
nenastane? (7.11, 7.12)
Otázka 7.12 Jak můžeme zjednodušit vzorce 7.10 a 7.12 a co z toho plyne? ((7.13) ...
práce tíhové síly (či práce jiné síly na překonání tíhové síly) nezávisí na délce uražené v
šikmém směru, ale pouze na změně nadmořské výšky)
Otázka 7.13 Oddíl 7.5. Jaký je geometrický význam práce při působení konstantní či
proměnné síly?
Otázka 7.14 Vyjádřete W při působení proměnné síly F vzorcem (7.14).
Otázka 7.15 Jaký je algebraický, geometrický a fyzikální význam určitého integrálu?
Otázka 7.16 Jaký je neurčitý integrál z funkce y = 1
x
a z funkce ex
?
Otázka 7.17 Oddíl 7.6. Nakreslete graf funkce y = ln x a určete její vlastnosti.
Otázka 7.18 Nakreslete graf funkce ln x a funkce k ní inverzní do jednoho obrázku.
Otázka 7.19 Nakreslete graf funkce y = ex
a určete její vlastnosti.
Otázka 7.20 Jak se definuje číslo e (vzorec bez čísla) a čemu se rovná (prvních šest
cifer)?
Otázka 7.21 Nakresletegrafy funkcí y = ax
pro a ∈ (0; 1), a = 1, a > 1.
Otázka 7.22 Jakých šest vzorců platí při počítání s mocninami? (7.15)
Otázka 7.23 Nakreslete graf funkcí y = 2x
, y = 2−x
a určete jejich vlastnosti.
Otázka 7.24 Nakreslete grafy funkcí y = loga x pro a ∈ (0; 1) a pro a > 1 a určete jejich
vlastnosti.
51
Otázka 7.25 Jak lze vyjádřit loga x pomocí tzv. přirozeného logaritmu ln? (7.16)
Otázka 7.26 Nakreslete grafy funkcí y = log5 x, y = log1
5
x a určete jejich vlastnosti.
Otázka 7.27 Uveďte definici loga x a další tři vzorce pro počítání s logaritmy. (7.17)
Otázka 7.28 Jaké dva vzorce plynou z toho, že exponenciální funkce a logaritmus jsou
navzájem inverzní procesy?
Otázka 7.29 Oddíl 7.10. Co je to pružná síla a nenapjatý stav?
Otázka 7.30 Co říká Hookeho zákon? (7.19)
Otázka 7.31 Co je to tuhost pružiny a jakou má jednotku?
Otázka 7.32 Jaký tvar má Hookeho zákon vzhledem k poloze x konce pružiny? (7.20)
Otázka 7.33 Odvoďte vzorec pro práci pružné síly z Hookeho zákona integrací (7.21).
Otázka 7.34 Jaký vzorec platí při působení další síly F (kromě pružné síly) na dané
těleso, když jeho kinetická energie na začátku a na konci sledovaného časového intervalu
je nulová? (7.22)
Otázka 7.35 Oddíl 7.11. Co je to výkon? V jakých jednotkách se udává?
Otázka 7.36 Uveďte vzorce pro průměrný a okamžitý výkon (7.23, 7.24).
Otázka 7.37 Odvoďte vztah mezi okamžitým výkonem a polohou x(t) při přímočarém
pohybu tělesa. Odpověď:
dW
dt
=
d(F · cos α · x(t))
dt
= F · cos α ·
dx(t)
dt
= F · cos α · v(t).
Otázka 7.38 Jaký je vztah mezi okamžitým výkonem a rychlostí tělesa? (7.25 a),b))
Otázka 7.39 Oddíl 7.12. Co jsou to inerciální vztažné soustavy?
Otázka 7.40 Co jsou to invarinatní veličiny? Uveďte příklad.
Otázka 7.41 Které čtyři veličiny (například) nejsou invariantní?
Otázka 7.42 Co je to princip invariance?
Otázka 7.43 Jaký vliv má princip invariance na veličiny, které nejsou invariantní?
Otázka 7.44 Příklad Soni s knihou ve výtahu jedoucím nahoru a Štěpána stojícího na
balkonu: vysvětlete hodnoty kinetické energie knihy a práce na ni vykonané z pohledu Soni
a z pohledu Štěpána.
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 2 52
Cvičení ke kapitole bude dodáno později, až po dokončení celého textu. Přehled cvičení
k této kapitole:
F.17 Oddíly 7.1, 7.2, 7.3: kinetická energie a práce.
F.18 Práce tíhové síly (7.4).
F.19 Práce proměnné síly (7.5).
M.12 Funkce y = ln x, y = ex
a jejich vlastnosti (7.6).
M.13 Neurčitý integrál, integrační metody.
M.14 Řešení některých jednoduchých diferenciálních rovnic (rovnice se separovatelnými
proměnnými, lineární rovnice 1. řádu).
M.15 Výpočet určitého integrálu.
M.16 Výpočet obsahu plochy.
F.20 Práce pružné síly (7.10).
F.21 Výkon (7.11).
53
8 Potenciální energie, zákon zachování energie
V rámci kapitoly je probrána parametrizace křivek v prostoru a křivkový integrál 1. a
2. druhu. Z fyzikálních témat je pozornost soustředěna na potenciální energii hmotného
bodu, zákon zachování energie mechanické soustavy. Kapitola pak končí úvahami o zákonu
zachování energie dané součtem vnější (= mechanické) a vnitřní (= tepelné) energie.
Jedním z nebezpečných sportů je bungee-jumping („zaražené skákání ). Skokan připoutaný
k speciálnímu pružnému lanu se vrhá dolů z velké výšky, většinou z vysokých
mostních konstrukcí. Napínající se lano způsobí zbrzdění střemhlavého letu. Jak lze zjistit,
jaké největší hloubky skokan dosáhne?
8.1 Potenciální energie
Zatímco pohybová (kinetická) energie souvisí s výslednicí všech sil, které na danou částici
(bodový objekt) působí, potenciální energie souvisí s konfigurací (= vzájemnou polohou)
částice (objektu) s jiným objektem (například Zemí), se kterým na sebe navzájem působí
gravitačními silami.
Například: potenciální energie činky vzhledem k zemi – když vzpěrač drží činku ve
výšce 2 m nad zemí, je potenciální energie činky jiná, než kdyby činka ležela na zemi.
Konfigurace (neboli vzájemný vztah, vzájemná poloha) mezi činkou a Zemí je rozdílná v
obou situacích.
Jiný příklad: Protažená pružina má jinou potenciální energii (navzájem mezi svými
závity), než v nenapjatém stavu. Tyto situace představují odlišné konfigurace mezi sousedními
závity pružiny navzájem, respektive mezi kostkou natahující-stlačující pružinu a
upevněným koncem pružiny.
Vraťme se k příkladu jablka vrženého svisle vzhůru (viz oddíl 7.4 ... práce tíhové síly)
– jak už tam bylo řečeno, při stoupání jablka koná tíhová síla zápornou práci, kdežto při
klesání jablka kladnou. Nyní si položme další otázu: co lze říci o vzájemné konfiguraci
(poloze) jablka a země v obou fázích pohybu?
Pokud je jablko vrženo svisle vzhůru, tak při stoupání jablka
– tíhová síla koná zápornou práci;
– kinetická energie jablka klesá;
– potenciální energie jablka vzhledem k zemi roste.
Ve fázi klesání jablka
– tíhová síla koná kladnou práci;
– kinetická energie jablka roste;
– potenciální energie jablka vzhledem k zemi klesá.
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 2 54
Zpřesněme nyní tyto úvahy: Tíhová potenciální energie soustavy těleso + Země
je záporně vzatá práce vykonaná interakčními tíhovými silami Fg a −Fg;
označujeme ji Ep a pro její změnu ∆Ep platí vzorec
∆Ep = −Wg (8.1)
(vždy mějme na paměti, že potenciální energie se týká soustavy dvou těles či objektů).
Příklad stlačené či protažené pružiny (= vzájemné konfigurace kostky upevněné na
volném konci pružiny a pevného konce pružiny):
– pokud udeříme do kostky tak, že dojde ke stlačení pružiny, kinetická energie kostky
postupně klesá, ale roste pružná potenciální energie soustavy kostka–pružina;
– až se kostka se stlačenou pružinou zastaví, vlivem pružné síly se začne pružina
roztahovat, tj. roste kinetická energie kostky, klesá potenciální energie soustavy
kostka–pružina;
– v okamžiku, kdy se kostka vlivem stlačené pružiny zastavila, byla její kinetická
energie nulová, ale potenciální energie soustavy kostka–pružina byla maximální, co
se týká velikosti její absolutní hodnoty (když vezmeme v úvahu i znaménko, byla
maximálně kladná nebo maximálně záporná).
Shrňme si popisované dvě situace zavedením či upřesněním dalších pojmů:
1. Soustava = dva nebo více objektů;
2. Sledovaný objekt (jablíčko, kostka) a zbytek soustavy na sebe navzájem působí
interakčními silami;
3. Při změně konfigurace soustavy konají interakční síly práci W1 a mění se kinetická
energie Ek daného objektu;
4. Při obrácení směru konfigurace (= směru změn konfigurace) soustavy konají interakční
síly práci W2.
Interakční síly se nazývají konzervativní síly, jestliže za všech okolností platí
W1 = −W2. Příkladem jsou obě popisované situce – tíhová síla i pružná síla. V opačném
případě se interakční síly nazývají nekonzervativní.
Příkladem nekonzervativních sil jsou třecí síly: kostka se pohybuje po podlaze, která
není dokonale hladká. Vlivem třecích sil, kterými na sebe navzájem působí podlaha a
kostka podél styčných ploch, se kinetická energie kostky snižuje, až je nulová při zastavení
kostky – spotřebovala se na zvýšení vnitřní energie soustavy kostka–podlaha, což
se projevilo zvýšením teploty obou těles. ALE opačný proces není možný – ochlazením
kostky ji nelze znovu uvést do pohybu po podlaze (vnitřní energie soustavy podlaha +
kostka není potenciální energií).
55
8.2 Výklad – křivkový integrál prvního druhu
Vzorec 7.14 výpočtu práce vykonané při přesunu objektu po úsečce lze rozšířit i na situaci,
kdy objekt (či částici) přesunujeme po jakékoliv křivce v prostoru:
W =
l
F(x, y, z)dl. (8.2)
Vztah 8.2 představuje výpočet práce při působení síly F a přesunu objektu ve
směru orientované křivky l. Jedná se o tzv. křivkový integrál 2. druhu. Dovolte mi
podat ještě základní informaci o křivkách v prostoru a o tom, jaký je vztah mezi křivkovým
integrálem prvního a druhého druhu.
Pod křivkou budeme rozumět graf vektorové funkce ϕ(t) definované pro t ∈ a; b ;
pokud daná křivka leží v třírozměrném prostoru, platí
ϕ(t) = [ϕ1(t), ϕ2(t), ϕ3(t)] pro t ∈ a; b .
Funkce ϕ(t) se nazývá parametrizace křivky l.
Příklad 8.1 a) Určete parametrické vyjádření křivky zadané jako funkce y = x2
pro
x ∈ 1; 2 .
b) Určete parametrické vyjádření přímky procházející body A = [1, 2, 3], B = [5, 6, 8].
c) Určete parametrické vyjádření úsečky AB s krajními body A = [1, 2, 3], B = [5, 6, 8].
d) Najděte parametrizaci kružnice se středem [2, 5] a poloměrem 3 cm (jednotky na obou
osách v rovině jsou centimetry).
ad a) Křivka je částí grafu funkce jedné proměnné f(x) = x2
– viz obrázek 8.36. V tomto
Obr. 8.36: K příkladu 8.1(a) – křivka jako část grafu funkce.
případě lze parametrizaci vždy volit ve tvaru ϕ(t) = [t, f(t)]; v našem příkladu pro
f(x) = x2
máme ϕ(t) = [t, t2
] pro t ∈ 1; 2 .
Zde je možná vhodné dodat, že parametrizace křivky není jednoznačná – jednu
křivku můžeme popsat různými parametrizacemi. V našem příkladu je
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 2 56
– ϕ(t) = [t2
, t4
] pro t ∈ 1;
√
2 opět parametrizací křivky z obrázku 8.36;
– ϕ(t) = [t3
, t6
] pro t ∈ 1; 3
√
2 opět parametrizací křivky z obrázku 8.36;
– ϕ(t) = [t + 1, (t + 1)2
] pro t ∈ 0; 1 opět parametrizací křivky z obrázku 8.36.
Zkrátka pro danou křivku je možné svolit takovou parametrizaci z těch nekonečně
mnoha, která se vám líbí nejvíc (jak říká William Shakespeare, as you like it).
ad b) Přímka ve třírozměrném prostoru jiné než parametrické vyjádření nemá, snad se
tedy jedná o úkol čtenáři známý z analytické geometrie. Ke konstrukci parametrizace
ϕ budeme potřebovat souřadnice bodu ležícího na této přímce (vezměme třeba A =
[1, 2, 3]) a souřadnice směrového vektoru (vezměme třeba AB = (4, 4, 5)). Pak pro
parametr t ∈ R jsou parametrické rovnice této přímky
x = 1 + t · 4,
y = 2 + t · 4,
z = 3 + t · 5.
Nyní parametrizaci přímky vytvoříme, když tyto souřadnice přímky napíšeme do
vektoru:
ϕ(t) = [1 + 4t, 2 + 4t, 3 + 5t], kde t ∈ R.
ad c) Parametrizace úsečky je podobná jako parametrizace přímky v úkolu (b), pouze si
musíme dát pozor, abychom
– za vybraný bod volili jeden z krajních bodů úsečky, napříkald bod A;
– za směrový vektor volili takový vektor, který „posunuje vybraný bod A směrem
„po úsečce , např. AB.
Parametrizace je pak stejná, ϕ(t) = [1 + 4t, 2 + 4t, 3 + 5t] jako v příkladu (b),
ovšem parametr t nyní „neprobíhá celou reálnou osu, nýbrž jen určitý interval –
viz obrázek 8.37:
Obr. 8.37: K příkladu 8.1(c) – parametrizace úsečky.
57
t = 0: jedná se o bod A.
t = 1
4
: Bod A se posune o 1
4
délky vektoru AB, tj. do bodu C.
t = 1: Bod A se posune právě o vektor AB, tj. do bodu B.
Celkem tedy vidíme, že t ∈ 0; 1 .
ad d) Hledaná parametrizace vychází z popisu bodů na kružnici se středem v počátku a
poloměrem r – tyto body mají souřadnice [x, y] = [r · cos t, r · sin t] pro t ∈ 0; 2π
... to plyne z vlastností goniometrických funkcí (viz kapitoly 2 a 3) z pravoúhlého
trojúhelníka tvořeného bodem [x, y], počátkem soustavy souřadnic a patou kolmice
z bodu [x, y] na osu x.
Dále pokud střed kružnice neleží v počátku, ale v bodě [2, 5], tak celou konstrukci
vytvořenou výše (pro r = 3 pouze posuneme o hodnoty odpovídající souřadnicím
středu (obr. 8.38):
Obr. 8.38: K příkladu 8.1(d) – parametrizace kružnice.
x = 2 + 3 cos t,
y = 5 + 3 sin t, pro t ∈ 0; 2π .
Parametrizace má tedy tvar
ϕ(t) = [2 + 3 cos t, 5 + 3 sin t], pro t ∈ 0; 2π .
Křivku l (zadanou jako graf parametrizace ϕ(t) pro t ∈ I) nazýváme
• jednoduchou, pokud pro každé navzájem různé body t1, t2 ∈ I (přičemž aspoň
jeden z bodů t1, t2 je vnitřním bodem intervalu I) platí ϕ(t1) = ϕ(t2) ... jedná se
tedy o křivku, která sama sebe neprotíná v žádném vnitřním bodě;
• ukončenou, má-li l konečnou délku;
• uzavřenou, je-li l ukončená, I = a; b a platí ϕ(a) = ϕ(b);
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 2 58
• hladkou, je-li l ukončená a vektor derivace ϕ (t), který není pro žádné t ∈ (a; b)
roven nulovému vektoru, je vektorem spojitých funkcí;
• po částech hladkou, je-li l sjednocením dvou a více (ale konečně mnoha) hladkých
křivek.
V dalším se budeme zabývat jen křivkami ideálních vlastností, tj. jednoduchými po
částech hladkými křivkami.
Nyní můžeme už přistoupit k vysvětlení, co je to křivkový integrál 1. druhu –
jedná se o neorientovaný křivkový integrál v R3
(nebo R2
) ze skalární funkce f(x, y, z)
(nebo v případě R2
funkce f(x, y)).
Poďme se stručně podívat na označení, sestavení a výpočet křivkového integrálu 1.
druhu v prostoru R3
: Křivka l je zadaná parametrizací
ϕ(t) = [ϕ1(t), ϕ2(t), ϕ3(t)] pro t ∈ α; β
a je to hladká křivka se spojitou a nenulovou derivací ϕ (t) v intervalu α; β . Dále je
dána spojitá reálná funkce f(x, y, z) ohraničená na křivce l, která udává např. hustotu
rozložení hmoty (nebo hustotu rozložení elektrického náboje) na křivce l.
Chceme určit hmotnost křivky (nebo celkový obsah elektrického náboje na křivce) ...
označme tuto hodnotu jako křivkový integrál 1. druhu (= neorientovaný) l
f(x, y, z)dl.
Nyní nějaké dělení intervalu α; β na podintervaly ti−1; ti šířky d = ti − ti−1 = β−α
n
(viz obrázek 8.39), kde α = t0 a β = tn, rozdělí křivku l na části
Obr. 8.39: K odvození neorientovaného křivkového integrálu.
ϕ(t0)ϕ(t1), ϕ(t1)ϕ(t2), . . . , ϕ(tn−1)ϕ(tn). Pro dostatečné jemné dělení
t0, t1, t2, . . . , tn−1, tn intervalu α; β dostaneme dělení křivky l na dostatečně
59
malé části ϕ(t0)ϕ(t1), ϕ(t1)ϕ(t2), . . . , ϕ(tn−1)ϕ(tn), takže na každé z částí ϕ(ti−1)ϕ(ti)
nahradíme
a) proměnnou funkci f(x, y, z) konstantní hodnotou f(ϕ(ci)) neboli hodnotou
f(ϕ1(ci), ϕ2(ci), ϕ3(ci)), kde ci je nějaký bod (tzv. reprezentant) z intervalu
ti−1; ti ;
b) délku části křivky ϕ(ti−1)ϕ(ti) délkou úsečky vecvarphi(ti−1)ϕ(ti) neboli hodnotou
|ϕ(ti) − ϕ(ti−1)| (obrázek 8.40).
Obr. 8.40: Délku části křivky nahradíme zhruba délkou úsečky.
Pak hmotnost části křivky ϕ(ti−1)ϕ(ti) (resp. množství el. náboje na této části) se
přibližně rovná hodnotě
f(ϕ(ti)) · |ϕ(ti) − ϕ(ti−1)|,
a tedy součtem těchto hodnot přes jednotlivé části křivky dostaneme, že celková hmotnost
křivky l (resp. celkové možství náboje na křivce l) se přibližně rovná součtu
S
.
=
n
i=1
f(ϕ(ci)) · |ϕ(ti) − ϕ(ti−1)|.
Provedeme nyní drobnou úpravu, která nezmění hodnotu daného výrazu, a sice každý
člen součtu vynásobíme i vydělíme hodnotou (ti − ti−1), dostaneme
S
.
=
n
i=1
f(ϕ(ci)) ·
ϕ(ti) − ϕ(ti−1)
ti − ti−1
· (ti − ti−1).
Nyní limitním přechodem pro n → ∞, tedy pro d = (ti − ti−1) → 0, tj. pro stále
jemnější dělení křivky l na její části dostaneme:
S = n
i=1 f(ϕ(ci)) · ϕ(ti)−ϕ(ti−1)
ti−ti−1
·(ti − ti−1)
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
l
f(x, y, z)dl =
β
α
f(ϕ(t)) · |ϕ (t)| dt
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 2 60
(limitním přechodem pro d = β−α
n
→ 0, pokud tato limita existuje a nezávisí na
výběru reprezentantů ci z intervalů ti−1; ti , jsme odvodili vzorec pro výpočet křivkového
integrálu 1. druhu). Jedná se o vzorec pro vektory a funkce v dimenzi 3 (ovšem podobný
vzorec by platil i v dimenzi 2):
l
f(x, y, z)dl =
β
α
f(ϕ1(t), ϕ2(t), ϕ3(t)) · |(ϕ1(t), ϕ2(t), ϕ3(t))| dt. (8.3)
Připomeňme ještě, že velikost vektoru (ϕ1(t), ϕ2(t), ϕ3(t)) vypočteme klasicky jako
odmocninu ze součtu druhých mocnin jeho jednotlivých souřadnic (viz následující
příklad).
Ze vzorce 8.3 speciálně plyne, že délku křivky l spočteme, když zvolíme funkci
f(x, y, z) = 1, tj. na základě vztahu
d(l) =
l
dl =
β
α
|(ϕ1(t), ϕ2(t), ϕ3(t))| dt. (8.4)
Pomocí vzorce 8.3 se křivkový integrál prvního druhu převede na klasickou jednorozměrnou
integraci přes interval α; β (integrál z reálné fukce jedné reálné proměnné)
procvičovaný v kapitole 7.
Příklad 8.2 Vypočtěte
l
x2
y2
dl, kde l je závit šroubovice na válcové ploše s osou z a
poloměrem 4 (viz obr. 8.41 – závit prochází od bodu [4, 0, 0] do bodu [4, 0, 2], tj. jeho výška
je rovna 2 výškové jednotky).
Obr. 8.41: K příkladu 8.2 – šroubovice na povrchu válce.
61
Řešení: délku tohoto závitu lze určit zpaměti rozvinutím pláště válce do roviny –
pak je závit roven délce přepony troj[helníku, jehož výška je rovna 2 a délka základové
odvěsny je rovna 2π · r, tj. 8π. Ovšem pokud integrujeme nikoli hodnotu 1, ale funkci
f(x, y, z) = x2
· y2
, nevyhneme se výpočtu (nesmíme zapomenout, že popisujeme situaci
ve třírozměrném prostoru, přestože proměnná z ve vzorci funkce f nevystupuje).
(i) Budeme potřebovat nějakou parametrizaci ϕ(t) našeho závitu válcové plochy. Začněmě
průmětem závitu do roviny podstavy válce x, y: je to kružnice se středem v počátku
a poloměrem 4, kterou parametrizovat umíme, jelikož jsme se to naučili v příkladu
8.1 (viz obrázek 8.38). Pomocí tohoto průmětu
Obr. 8.42: K příkladu 8.2 – průmět šroubovice do roviny proměnných x, y.
lze popsat první dvě souřadnice parametrizace:
ϕ(t) = (4 · cos t, 4 · sin t, ??), t ∈ 0; 2π
(čili parametr t hraje roli měnícího se úhlu).
(ii) Třetí souřadnice bodů závitu rovnoměrně roste s výškou závitu ... a je potřeba tento
rovnoměrný růst vyjádřit pomocí t z intervalu 0; 2π , neboť tento interval je určující
pro první dvě souřadnice. Pravděpodobně bude třetí souřadnice ϕ3(t) parametrizace
křivky tvaru ϕ3(t) = const·t, protože funkce tohoto tvaru je funkcí přímé úměrnosti,
která vyjadřuje rovnoměrný nárůst. V krajních bodech intervalu 0; 2π bychom potřebovali
dosáhnout funkčních hodnot ϕ3(0) = 0 (pro počáteční t je „výška ϕ3
bodu křivky nulová), ϕ3(2π) = 2 (pro počáteční t je „výška ϕ3 bodu křivky maximální,
tj. je rovna hodně 2). Tyto požadavky odpovídají konstantě const = 2
2π
, tj.
ϕ3(t) = 2
2π
· t = 1
π
· t, pak totiž
ϕ3(2π) =
1
π
· 2π = 2,
tedy požadavek na to, abykoncový bod křivky byl dosažen pro t = 2π, je splněn.
Parametrizací našeho závitu je vektorová funkce
ϕ(t) = (4 · cos t, 4 · sin t,
t
π
) pro t ∈ 0; 2π ,
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 2 62
její derivací je vektorová funkce
ϕ (t) = (−4 · sin t, 4 · cos t,
1
π
),
jejíž velikost vypočteme na základě Pythagorovy věty7
jako
|ϕ (t)| = 42 sin2
t + 42 cos2 t +
1
π2
=
16π2 + 1
π2
=
√
16π2 + 1
π
.
(iii) Můžeme se pustit do výpočtu (do funkce f(x, y, z) dosadíme parametrizaci x =
ϕ1(t), y = ϕ2(t), z = ϕ3(t)). Pro integraci naší funkce využijeme vzorce pro snížení
mocniny goniometrických funkcí – viz kapitolka 7.9. Vzorec užijeme dokonce dvakrát
za sebou – pro náhradu funkcí cos2
t, sin2
t, a potom pro náhradu funkce cos2
2t:
l
x2
y2
dl
8.3
=
2π
0
16 cos2
t · 16 sin2
t ·
√
16π2 + 1
π
dt =
=
162
π
·
√
16π2 + 1 ·
2π
0
1
2
(1 + cos 2t) ·
1
2
(1 − cos 2t) dt =
64
π
·
√
16π2 + 1 ·
2π
0
(1 − cos2
2t) dt =
=
64
π
·
√
16π2 + 1 ·
2π
0
(1 −
1
2
−
1
2
cos 4t) dt =
64
π
·
√
16π2 + 1 ·
t
2
−
sin 4t
8
2π
0
=
=
64
π
·
√
16π2 + 1 · π = 64 ·
√
16π2 + 1.
Příklad 8.3 Vypočtěte
l
(x + y)dl, kde l je obvod trojúhelníka ABC pro A = [1; −1],
B = [2; −1], C = [1; 0].
Řešení: Obrázek 8.43 nám bude inspirací v našem postupu:
Křivka l není hladká, nýbrž po částech hladká – je složena ze tří hladkých částí. Každou
z částí l1, l2, l3 musíme popsat jinou parametrizací a užít vzorce, který zde dosud nebyl
řečen, ale snad je přirozený:
pro l = l1 ∪ l2 ∪ l3 :
l
f(x, y) dl =
l1
f(x, y) dl1 +
l2
f(x, y) dl2 +
l3
f(x, y) dl3. (8.5)
(křivkový integrál 1.druhu přes křivku l je roven součtu integrálů přes její tři navzájem
disjunktní části l1, l2, l3). Pojďme tedy sestavit parametrizace:
l1 : ϕ(t) = (t, −1) pro t ∈ 1; 2 ; ⇒ ϕ (t) = (1; 0) ⇒ |ϕ (t)| = 1;
l2 : ϕ(t) = (t, 1 − t) pro t ∈ 1; 2 ; ⇒ ϕ (t) = (1; −1) ⇒ |ϕ (t)| =
√
2;
l3 : ϕ(t) = (1, t) pro t ∈ −1; 0 ⇒ ϕ (t) = (0; 1) ⇒ |ϕ (t)| = 1.
7
Jsou studenti už schopni vypočítat délku tělesové úhlopříčky kvádru? Podle vzorce |(a, b, c)| =√
a2 + b2 + c2.
63
Obr. 8.43: K příkladu 8.3 – křivkový integrál přes obvod trojúhelníka.
Možná je užitečné zde dodat, že parametrizace jednotlivých úseček může být skutečně
libovolná, pouze při zápisu mezi pro parametr t Musíme postupovat přirozeně, tedy levá
= dolní mez musí být menší než pravá = horní mez. Pak můžeme provést výpočet:
l
(x + y) dl =
l1
(x + y) dl1 +
l2
(x + y) dl2 +
l3
(x + y) dl3 =
=
2
1
(t − 1) · 1 dt +
2
1
(t + 1 − t) ·
√
2 dt +
0
−1
(1 + t) · 1 dt =
=
t2
2
− t
2
1
+
√
2 + t +
t2
2
0
−1
=
=
−1
2
+ 1 +
√
2 + 1 −
1
2
= 1 +
√
2.
8.3 Cvičení – křivkový integrál 1.druhu
Úloha pro cvičení 01. Vypočtěte
l
x2
·ydl, kde l je čtvrtkružnice se středem v počátku
a krajními body [0; 3], [3; 0] – viz obr. 8.44.
Úloha pro cvičení 02. Vypočtěte
l
(
3
√
x4 + 3
y4)dl, kde l je asteroida daná
parametrizací ϕ(t) = (2 cos3
t, 2 sin3
t) – viz obr. 8.45 (nebo jednodušší úloha: vypočtěte
délku této asteroidy). Pozor, obrázek naznačuje, že asteroida má čtyři hroty, musíme
ji proto rozdělit na čtyři hladké části a celkový integrál určit jako součet křivkových
integrálů přes jednotlivé části.
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 2 64
Obr. 8.44: Ke cvičení 01 – křivkový integrál přes čtvrtkružnici.
Obr. 8.45: Asteroida – ke cvičení 02.
8.4 Výklad – křivkový integrál 2. druhu – orientovaný
V každé parametrizaci je obsažena jistá vnitřní orientace křivky l (neboli orientace zadaná
parametrizací) ... jedná se o to, že pro rostoucí hodnotu parametru t se „vykreslují body
křivky ϕ(t) v jistém směru, takže lze stanovit (t ∈ α; β )
– počáteční bod C křivky l ... C = ϕ(α);
– koncový bod D křivky l ... D = ϕ(β);
– vnitřní orientace křivky l je tedy dána od bodu C po křivce směrem k bodu D – viz
obr. 8.46.
Obr. 8.46: Vnitřní orientace křivky zadaná počátečním a koncovým bodem.
Vnitřní orientaci křivky l lze kromě počátečního a koncového bodu zadat také tečným
vektorem ϕ (γ) = (ϕ1(γ), ϕ2(γ), ϕ3(γ)) v nějakém boděγ ∈ (α; β), nebo jednotkovým tečným
vektorem s, který zkonstruujeme z vektoru ϕ (γ) vynásobením převrácenou hodnotou
65
Obr. 8.47: Tečný vektor ke křivce v bodě T.
jeho velikosti (viz obr. 8.47):
s =
1
|ϕ (γ)|
· ϕ (γ) =
ϕ1(γ)
|ϕ (γ)|
,
ϕ2(γ)
|ϕ (γ)|
,
ϕ3(γ)
|ϕ (γ)|
.
Zadání vnitřní orientace křivky tečným vektorem je výhodné například u uzavřené
křivky, kdy počáteční a koncový bod křivky splývají, tj. orientace tečným vektorem je
názornější.
Kromě vnitřní orientace křivky existuje i pojem vnější orientace křivky – ta je dána
fyzikálním významem (např. směrem pohybu částice po trajektorii l (takto budeme
křivku s vnější orientací značit), směrem působení síly, apod.). U uzavřených křivek v
rovině mluvíme dále o orientaci kladné (= proti směru pohybu hodinových ručiček na
ciferníku hodin) nebo záporné.
Pokud hraje v dané situaci roli vnější (= fyzikální) orientace křivky l, pro kombinaci
vnější a vnitřní orientace křivky mohou nastat dvě možnosti:
• Křivka je orientována souhlasně se svou parametrizací ... vnější orientace je ve
stejném směru jako vnitřní orientace křivky;
• Křivka je orientována nesouhlasně se svou parametrizací ... vnější orientace je
v opačném směru než vnitřní orientace křivky.
Orientace křivky hraje roli při výpočtu orientovaného křivkového integrálu, kdy je
důležité, v jakém směru se částice pohybovala, v jakém směru bylo působením síly těleso
přesunuto, apod.
Příklad 8.4 Vnější orientace závitu šroubovice z příkladu 8.2 je zadána tečným vektorem
τ(C) = 0,
−4π
√
16π2 + 1
,
−1
√
15π2 + 1
pro C = [4; 0; 0].
Zjistěte, zda je tato orientace souhlasná s parametrizací závitu.
Řešení: Vnitřní orientace (daná parametrizací) je určena počátečním bodem C =
[4, 0, 0] v rovině x,y a koncovým bodem D = [4, 0, 2]. Do obrázku 8.48 zbývá dokreslit
tečný vektor τ(C) a zjistit, zda leží ve směru „vykreslení křivky nebo ne. Můžeme uvážit,
že
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 2 66
Obr. 8.48: K příkladu 8.4 – orientovaná šroubovice na válcové ploše.
– druhá souřadnice vektoru τ je záporná, tj. vektor ukazuje do záporného směru osy y;
– třetí souřadnice vektoru τ je záporná, tj. vektor ukazuje do záporného směru osy z (=
klesá pod základní rovinu x,y).
Ze dvou možných tečných směrů ke křivce v bodě C je tedy hledaný směr vektoru τ
ten, co je vyznačen na obrázku – tedy vnější (fyzikální) orientace křivky je nesouhlasná s
její parametrizací.
Odvoďme nyní vzorec pro výpočet orientovaného křivkového
integrálu (= křivkového integrálu 2. druhu): Je dána vektorová funkce
E(x, y, z) = (E1(x, y, z), E2(x, y, z), E3(x, y, z)) intenzity elektrického pole a
chceme určit elektrické napětí U podél křivky l. Respektive (druhý příklad reálné situace
pro ty, kdo si neumí představit intenzitu) je dána síla F(x, y, z) působící na částici při
pohybu po orientované křivce l (vnější orientace) a chceme určit práci, kterou vykoná
vektorové pole F při přesunu částice po orientované křivce l.
Označmě dané elektrické napětí U =
l
E(x, y, z) dl, respektive označme danou
vykonanou práci W =
l
F(x, y, x) dl ... v obou příkladech se jedná o orientovaný
křívkový integrál = křivkový integrál 2. druhu. V dalším budeme pokračovat v odvození
výpočtu tohoto vzorce pro první z obou příkladů.
Dělení α = t0, t1, t2, . . . , tn = β určuje rozdělení křivky l na orientované části
ϕ(t0) → ϕ(t1) až ϕ(tn−1) → ϕ(tn) (obrázek 8.49).
Šipky udávají vnitřní orientaci křivky l, vnější orientace je zadána počátečním a koncovým
bodem, tedy ϕ(t0) → ϕ(tn) nebo ϕ(tn) → ϕ(t0) za předpokladu, že křivka není
uzavřená. Pak pro dostatečně jemné dělení křivky l můžeme na její části ϕ(ti−1) → ϕ(ti)
67
Obr. 8.49: K odvození orientovaného křivkového integrálu.
a) nahradit orientovaný oblouk ϕ(ti−1) → ϕ(ti) orientovanou úsečkou ϕ(ti−1)ϕ(ti) (obrázek
8.50);
Obr. 8.50: Náhrada orientované části křivky orientovanou úsečkou.
b) nahradit proměnnou vektorovou funkci E(x, y, z) konstantním vektorem (viz obrázek
8.51)
E(ϕ(ti)) = (E1(ϕ1(ti), ϕ2(ti), ϕ3(ti)), E2(ϕ1(ti), ϕ2(ti), ϕ3(ti)), E3(ϕ1(ti), ϕ2(ti), ϕ3(ti)))
Pak napětí podél orientovného oblouku ϕ(ti−1) → ϕ(ti) se přibližně rovná hodnotě
Ui
.
=
or. souhl. s param. : E(ϕ(ti)) · (ϕ(ti) − ϕ(ti−1))
or. nesouhl. s param. : E(ϕ(ti)) · (ϕ(ti−1) − ϕ(ti)) = −E(ϕ(ti)) · (ϕ(ti) − ϕ(ti−1))
Tedy vzorce se souhlasnou a nesouhlasnou vnější orientací křivky vzhledem k její vnitřní
parametrizaci se liší o znaménko. Celkové napětí U je nyní přibližně dáno součtem napětí
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 2 68
Obr. 8.51: Náhrada vektorové funkce konstantním vektorem.
na jednotlivých částech, tj.
U = Ui
.
=



or. s. : n
i=1 E(ϕ(ti)) · (ϕ(ti)−ϕ(ti−1))
ti−ti−1
· (ti − ti−1)
n→∞
−→
β
α
E(ϕ(t)) · ϕ (t)dt;
or. nes. : n
i=1 E(ϕ(ti)) · −(ϕ(ti)−ϕ(ti−1))
ti−ti−1
· (ti − ti−1)
n→∞
−→ −
β
α
E(ϕ(t)) · ϕ (t)dt
(nesouhlasná vnější orientace s vnitřní parametrizací křivky mění znaménko integrálu).
Odvodili jsme tedy vzorec pro výpočet orientovaného křivkového integrálu (= křivkového
integrálu 2. druhu). Tedy například v dimenzi 3 (v dimenzi 2 by chyběly třetí
souřadnice vektorů v následujícím vzorci) a pro vnější orientaci souhlasnou s parametrizací
(nesouhlasná orientace by změnila znaménko integrálu na záporné) platí:
l
E(x, y, z)dl
s.or.
= (E1(ϕ(t)), E2(ϕ(t)), E3(ϕ(t))) · (ϕ1(t), ϕ2(t), ϕ3(t))dt (8.6)
(výraz za znakem integrálu je vlastně skalární součin vektorů E a ϕ ). Tímto způsobem
se křivkový integrál 2. druhu v prostoru převedl pomocí parametrizace ϕ(t) převedl na
klasickou jednorozměrnou integraci funkce jediné proměnné t na intervalu α; β , kterou
jsme procvičovali v kapitole 7.
Někdy se označení integrálu
l
E(x, y, z)dl uvádí v jiném způsobu zápisu, ze kterého
jsou zřejmé jednotlivé souřadnice vektoru E:
l
E(x, y, z)dl =
l
(E1(x, y, z)dx + E2(x, y, z)dy + E3(x, y, z)dz) = . . . viz 8.6. (8.7)
Příklad 8.5 Vypočtěte
l
(x+y, 0)dl, což je vzhledem k zápisu 8.7 totéž jako
l
(x+y)dx+
0 · dy, kde l je obvod trojúhelníka ABC orientovaný kladně (A = [1; −1], B = [2; −1],
C = [1; 0]).
69
Obr. 8.52: K příkladu 8.5 – orientovaný obvod trojúhelníka.
Řešení: Křivka l je sjednocením tří hladkých částí (viz obrázek 8.52), užijeme vzorec
8.5 (křivkový integrál je součtem integrálů přes jednotlivé hladké části křivky).
Na obrázku je šipkou vyznačena vnitřní orientace dané části daná její parametrizací.
Jedná se o stejnou křivku jako v příkladu 8.3, tj. vezmeme tytéž parametrizace:
l1 : ϕ(t) = (t, −1) pro t ∈ 1; 2 ; ⇒ ϕ (t) = (1; 0) ⇒ |ϕ (t)| = 1;
l2 : ϕ(t) = (t, 1 − t) pro t ∈ 1; 2 ; ⇒ ϕ (t) = (1; −1) ⇒ |ϕ (t)| =
√
2;
l3 : ϕ(t) = (1, t) pro t ∈ −1; 0 ⇒ ϕ (t) = (0; 1) ⇒ |ϕ (t)| = 1.
Na rozdíl od příkladu 8.3 je nyní ještě zadána vnější (asi fyzikální) orientace jako
kladná (= proti směru pohybu hodinových ručiček), která je souhlasná s vnitřní orientací
křivky l1, ale nesouhlasná s vnitřní orientací křivek l2, l3, před jejichž integrály přidáme
znaménko MINUS. Tedy celkem dostaneme
l
(x + y, 0)dl =
l1
(x + y, 0)dl +
l2
(x + y, 0)dl +
l3
(x + y, 0)dl =
=
2
1
(t − 1, 0) · (1, 0)dt −
2
1
(t + 1 − t, 0) · (1, −1)dt −
0
−1
(1 + t, 0) · (0, 1)dt =
=
2
1
(t − 1)dt −
2
1
1dt −
0
−1
0dt =
t2
2
− t
2
1
− 1 =
−1
2
.
Při výpočtu je možné využít toho, že vektor (x + y, 0) je vždy kolmý na křivku l3, tj.
vždy je kolmý na její tečný vektor ϕ (t) = (0; 1), a tedy jejich skalární součin (součin dvou
kolmých vektorů) je roven nule, a tedy výsledek integrálu přes část l3 je roven nule – tak
to vyšlo i při našem dosazení do dané části integrace.
Příklad 8.6 Vypočtěte
l
(x, y, z)dl, kde l je jeden závit šroubovice na kuželové ploše (viz
obrázek 8.53; obrázek je součástí zadání, aby bylo patrno, jakým způsobem se závit vykresluje
a jakou má orientaci) s počátečním bodem C = [0; 0; 0] a koncovým bodem
D = [2π; 0; −2π].
Řešení: Pokusme se nejprve si představit kolmý průmět závitu do roviny x, y – viz
obrázek 8.54.
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 2 70
Obr. 8.53: K příkladu 8.6 – šroubovice na kuželové ploše.
Obr. 8.54: K příkladu 8.6 – kolmý průmět šroubovice do roviny proměnných x, y.
Pokud by vzdálenost bodů průmětu od počátku roviny x, y byla stále stejná, jednalo
by se o kružnici, kterou bychom mohli parametrizovat pro t ∈ 0; 2π ; ovšem vzdálenost
bodů průmětu od počátku rovnoměrně klesá (pohybujeme-li se od bodu D k bodu
C = C). Tedy pro dané t ∈ 0; 2π je potřeba příslušný bod na kružnici (cos t; sin t) vynásobit
hodnotou (2π − t), abychom zajistili neustále klesající vzdálenost bodů průmětu
od počátku při vykreslování průmětu od bodu D k bodu C = C:
ϕ(t) = ((2π − t) · cos t, (2π − t) · sin t), ??), t ∈ 0; 2π .
Zbývá určit třetí souřadnici naší parametrizace: z obrázku křivky v prostoru vidíme, že
třetí souřadnice je záporná a rovnoměrně roste k nule, pokud body křivky „vykreslujeme
= popisujeme směrem od bodu D k bodu C (musí to být stejný směr, jako „vykreslujeme
= popisujeme body průmětu; není možné, aby jedna souřadnice parametrizace byla vykreslována
v opačném směru jako ty ostatní dvě souřadnice). Mohli bychom ji tedy popsat
71
funkcí ϕ3(t) = t − 2π pro t ∈ 0; 2π . Celkem máme
ϕ(t) = ((2π − t) · cos t, (2π − t) · sin t, t − 2π), t ∈ 0; 2π .
Můžeme se pustit do výpočtu:
a) Porovnáním zadané vnější orientace křivky s konstrukcí její parametrizace vidíme, že
vnější orientace je s parametrizací nesouhlasná – před integrálem tedy bude znaménko
MINUS.
b) Tečný vektor ke křivce vypočteme derivací vektoru parametrizace (derivujeme podle
proměnné t, první dvě souřadnice derivujeme podle vzorce pro derivaci součinu
funkcí):
ϕ (t) = (− cos t − (2π − t) · sin t, − sin t − (2π − t) · cos t, 1).
c) Výpočet:
l
(x, y, z)dl =
= −
2π
0
(2π − t) · cos t, (2π − t) · sin t, t − 2π) · (− cos t − (2π − t) · sin t, − sin t − (2π − t) · cos t, 1)
= (t − 2π) · cos2
t − (t − 2π)2
sin t cos t
+(t − 2π) · sin2
t + (t − 2π)2
sin t cos t
+t − 2π
dt =
=
2π
0
(4π − 2t)dt = 4πt − t2 2π
0
= 4π2
.
8.5 Cvičení – křivkový integrál 2. druhu – orientovaný
Úloha pro cvičení 03. Vypočtěte
l
(x2
− 2xy, y2
− 2xy)dl, kde l je oblouk paraboly s
počátečním bodem C = [−1; 1] a koncovým bodem D = [1; 1] – viz obrázek 8.55.
Úloha pro cvičení 04. Vypočtěte
l
(x, y, x + y − 1)dl, kde l je úsečka s počátečním
bodem C = [1; 1; 1] a koncovým bodem D = [2; 3; 4] – viz obrázek 8.56.
8.6 Nezávislost práce konzervativních sil na trajektorii. Výpočet
hodnot potenciální energie.
Jiný způsob definice konzervativní síly můžeme vyslovit na základě uzavřené křivkové
dráhy, po které tato síla působí:
Práce vykonaná konzervativní silou na částici, která se pohybuje po libovolné (8.8)
uzavřené (po částech hladké) trajektorii, je nulová.
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 2 72
Obr. 8.55: Ke cvičení 03 – orientovaná část paraboly.
Obr. 8.56: Ke cvičení 04 – orientovaná úsečka.
Právě uvedený poznatek vlastně znamená, že kinetická energie tělesa-částice se v souhrnu
nezmění. Například:
– práce vykonaná gravitační silou Slunce při pohybu Země po eliptické oběžné dráze (při
jednom oběhu eliptické dráhy) je nulová;
– práce při pohybu po trajektorii, kterou opíše jablko vyhozené svisle vzhůru, je nulová.
Vyhodíme-li jablko rychlostí v0 svisle vzhůru, jeho počáteční kinetická energie je
1
2
mv2
0, během výstupu jablka tíhová síla spotřebovává práci W1 (W1 < 0), při jeho
zpětném pádu kinetická energie jablka roste a v okamžiku dopadu je opět rovna
1
2
mv2
0, při zpětném pádu tíhová síla vykonala práci W2 > 0, W2 = −W1.
Uzavřená trajektorie je obecně složena z částí 1, 2 – viz obr.8.57. Pokud je síla působící
přesun objektu-částice konzervativní, platí WAB,1 + WBA,2 = 0, kde WAB,1 je práce vykonaná
při přesunu objektu od A do B po křivce 1, WBA,2 je práce vykonaná při přesunu z
B do A po křivce 2. Můžeme analogicky psát
WAB,1 = −WBA,2 (8.9)
(slovně: práce, kterou vykoná konzervativní síla při cestě částice z bodu A do bodu B,
musí být rovna záporně vzaté práci při návratu částice).
Jinými slovy, pokud WBA,2 je záporně vzatá hodnota WAB,1, tak při pohybu po křivce
2 v opačném směru (tedy ve směru z A do B) musí být vykonána práce WAB,1 se stejným
73
Obr. 8.57: Příklad uzavřené trajektorie pohybu částice.
znaménkem: WAB,2 = −WBA,2, tj.
WAB,2 = WAB,1 (8.10)
(práce konzervativní síly při pohybu částice z bodu A do bodu B nezávisí na
trajektorii částice).
Příklad 8.7 Balíček o hmotnosti 2 kg klouže po dokonale hladké skluzavce z bodu A do
bodu B – viz obr. 8.58. Celková dráha (= délka orientované křivky l) je rovna 2 m, svislá
vzdálenost bodů A = [a1; a2], B = [b1; b2] je rovna (a2 − b2) = 0,8 m. Jakou práci vykoná
při pohybu balíčku tíhová síla?
Obr. 8.58: K příkladu 8.7 – balíček na skluzavce.
Řešení: Tíhová síla je příkladem konzervativní síly, proto vykonaná práce nezávisí na
tvaru trajektorie mezi body A, B. Proto místo křivky l můžeme zvolit jednodušší křivku
– např. orientovanou úsečku A → B (viz obr.8.59).
Abychom mohli využít vzorce 8.6 pro výpočet práce, musíme
a) zvolit soustavu souřadnic;
b) vymyslet parametrizaci křivky l2 (viz obrázek 8.59).
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 2 74
Obr. 8.59: K příkladu 8.7 – rozbor řešení.
Parametrizaci sestavíme obdobně jako v příkladu 8.1 (c): Uvažujme A = [0; 0,8] a vektor
−→
AB= (b1 − 0; 0 − 0,8) = (b1; −0,8).
Pak orientovaná úsečka A → B má parametrizaci ϕ(t) = A + t·
−→
AB, tj.
ϕ(t) = [0; 0,8] + t · (b1 − 0,8) pro t ∈ 0; 1 ,
a tedy
ϕ(t) = (0 + t · b1; 0,8 − t · 0,8), pro t ∈ 0; 1 .
Budeme také potřebovat tečný vektor (= vektor derivované parametrizace)
ϕ (t) = (b1; −0,8). Na základě vzorce 8.4 nyní platí
W =
l2
(0; −mg)dl2 =
l2
(0; −mg) · (b1; −0,8)dt =
=
1
0
[0 · b1 + mg · 0,8]dt = m · g · 0,8 ·
1
0
dt =
= 2 · 9,80665 · 0,8
.
= 15,7J.
Ukázali jsme, že pokud je skluzavka dokonale hladká, vykonaná práce nezávisí na
poloze b1, ale pouze na změně výšky (= druhé souřadnice) mezi body A, B.
Jiný způsob řešení: Protože výpočet práce nezávisí na křivce, lze místo l1 nebo l2
volit křivku l3, která je sjednocením křivek l31 ∪ l32 – viz obr.8.60. Parametrizujme křivku
75
l32: C = [b1; 0,8],
−→
CB= (b1 − b1; 0 − 0,8) = (0; −0,8), tedy
l32 : ϕ(t) = (b1 + t · 0; 0,8 − 0,8t) pro t ∈ 0; 1 .
Obr. 8.60: K příkladu 8.7 – jiný způsob řešení.
A můžeme počítat:
l
Gdl1 =
l31
Gdl31
= 0, protože vektory
G a l31 jsou kolmé
+
l32
Gdl32 =
1
0
(0; −mg)·(0; −0,8)dt = mg·0,8 = 15,7J.
Kontrola 1. Obrázek 8.61 ukazuje tři cesty spojující body A a B. Síla F vykoná při
působení na částici pohybující se po daných trajektoriích práci, jejíž hodnota je také v
obrázku vyznačena.
Obr. 8.61: Orientované trajektorie – ke kontrole 1 .
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 2 76
a) Rozhodněte, zda je síla F konzervativní.
b) Dokázali byste rozhodnout i v případě, že by údaj u nejníže zakresleného úseku byl
(−60) J?
Vraťme se nyní ještě k výpočtu potenciální energie: Kombinací vzorců 8.1, 8.2, 8.6
dostaneme
∆Ep = −
l
F(x, y, z)dl =



s.or.
= −
β
α
F(ϕ1(t), ϕ2(t), ϕ3(t)) · ϕ (t)dt;
nes.or.
=
β
α
F(ϕ1(t), ϕ2(t), ϕ3(t)) · ϕ (t)dt.
(8.11)
Navíc při působení konzervativních sil vzorec 8.11 nezávisí na dané křivce, tj. většinou
lze volit takový souřadný systém, že částice (objekt) se pohybuje ve směru osy x. Pak
– stačí zadat pouze počáteční xi a koncovou xf souřadnici polohy;
– též velikost síly F závisí pouze na hodnotě jediné proměnné x (a uvažujeme situaci,
kdy F působí ve směru osy x).
Při praktických výpočtech tedy většinou lze převést 8.11 do tvaru
∆Ep = −
xf
xi
F(x)dx (8.12)
(praktický výpočet změny potenciální energie ve většině případů, kdy síla F působí na
částici ve směru osy x, dále xi je počáteční a xf koncový bod její trajektorie).
Vzorec 8.12 vlastně nepotřebuje teorii křivkového integrálu 2. druhu probírané v této
kapitole, ale vystačí si se základními metodami kapitoly 7 (8.12 je vlastně „převlečený
vzorec 7.14, kombinací obou těchto vzorců dostaneme):
U konzervativních sil působících na částici (objekt) platí:
Pokud kinetická energie objektu naroste o ∆Ek, (8.13)
potenciální energie soustavy o stejnou hodnotu klesne, (tj.∆Ep = −∆Ek).
Podívejme se nyní na dva příklady situací, kdy docháze ke změně potenciální energie.
Situace A: Tíhová potenciální energie (= potenciální energie soustavy objekt +
Země). V příkladu 8.7 jsme viděli, že změna potenciální energie souvisí pouze se změnou
77
vzdálenosti objektu od Země, tj. změnou na svislé souřadné ose y. Proto je rozumnější
psát zde vzorec 8.12 spíše ve tvaru s proměnnou y, tj.
∆Ep = −
yf
yi
(−m · g)dy = m · g ·
yf
yi
dy =
(kap.7)
= mg · (yf − yi) = m · g · ∆y.
Dospěli jsme tedy ke vzorci
∆Ep = m · g · ∆y (8.14)
(změna potenciální energie soustavy ojekt – Země). Pokud pro zjednodušení vyjadřování
napevno zafixujeme referenční bod yi = 0 (souvisí s volbou počátku kladné osy) jako
hodnotu pro konfiguraci, kdy kinetická energie Ep soustavy objekt-Země byla nulová, pak
Ep = 0 + δEp a s využitím 8.14 můžeme psát
Ep(y) = m · g · y (8.15)
(vzorec pro výpočet tíhové potenciální energie, kde y = yf je aktuální poloha objektu =
výška objektu nad referenčním bodem).
Situace B: pružná potenciální energie (= potenciální energie soustavy kostka +
pružina + Země). Pro pružnou sílu platí Hookeův zákon F(x) = −k · x, a dosazením do
8.12 máme
∆Ep = −
xf
xi
(−k · x)dx = k ·
x2
2
x=xf
x=xi
=
1
2
kx2
f −
1
2
kx2
i . (8.16)
Pro zjednodušené vyjádření napevno zafixujeme referenční bod xi = 0 (nenapjatý stav)
jako hodnotu pro konfiguraci, kdy Ep soustavy pružina + kostka je nulová. Pak Ep =
0 + δEp a s využitím 8.15 můžeme psát
Ep(x) =
1
2
k · x2
(vzorec pro výpočet pružné potenciální energie, kde x = xf je aktuální vychýlení kostky
z nenapjatého stavu).
Poznámka. O potenciální energii objektu má smysl mluvit jen tehdy,když
– víme, vzhledem ke kterému druhému objektu je v konfiguraci;
– byl zvolen jakýsi referenční (= odkazový) stav konfigurace, kdy potenciální energie
konfigurace je nulová.
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 2 78
Příklad 8.8 Lenochod o hmotnosti m = 2kg se drží větve, která je pět metrů nad zemí.
a) Jaká je tíhová Ep soustavy lenochod + Země, volíme-li za referenční hodnotu místo o
souřadnici y = 0 ležící
1. na povrchu Země;
2. na balkóně 3 metry nad zemí;
3. na větvi;
4. ve výšce 1 metr nad větví?
b) Lenochod spadne na zem – pro každou referenční hodnotu z bodu (a) určete změnu
potenciální energie ∆Ep.
Řešení:
ad a) m · g
.
= 20 N. Odtud
1. y = 0 je na povrchu Země: Ep(5) = 5 · 20
.
= 100 J.
2. y = 0 je tři metry nad zemí: Ep(2) = 2 · 20
.
= 40 J.
3. y = 0 je na větvi: Ep(0) = 0 J.
4. y = 0 je metr nad větví: Ep(−1) = −20 J.
ad b) ∆Ep = mg · ∆y = 20 · (−5) = −100 J ... pro všechny volby referenčního bodu, tj.
změna ∆Ep není závislá na volbě referenčního bodu.
Kontrola 2. Částice se pohybuje po ose x z bodu x0 = 0 do bodu x1. Působí na ni
konzervativní síla F(x) ve směru osy x, jejíž velikost se mění podle obrázku 8.62 a),b)c).
Obr. 8.62: Pohyb částice – ke kontrole 2.
Uspořádejte tyto situace sestupně podle odpovídající změny potenciální energie.
79
8.7 Zákon zachování mechanické energie
Mechanická energie E soustavy je definována jako součet její potenciální energie a celkové
kinetické energie Ek všech jejích objektů.
E = Ep + Ek (mechanická energie soustavy) (8.17)
Izolovaná soustava je taková soustava, ve které působí výhradně konzervativní síly. V
izolovaných soustavách se energie mění na úkor potenciální energie, viz 8.13. Podle 8.12,
8.13 platí ∆Ek = −∆Ep. Jinými slovy, nárůst jednoho typu energie je přesně vyjádřen
poklesem energie druhého typu:
Ek,2 − Ek,1 = −(Ep,2 − Ep,1).
Přepisem tohoto vztahu lze postihnout zákon zachování mechanické energie:
Ek,1 + Ep,1 = Ek,2 + Ep,2 (8.18)
(je to vlastně jen přepis rovnice 8.13 v jiném tvaru) – součet kinetické a potenciální
energie izolované soustavy je stálý. Odtud vzniklo o označení konzervativní síly – tyto
síly uchovají stav mechanické energie soustavy. Jiný přepis vztahu 8.13 či 8.18:
∆Ek + ∆Ep = 0.
Tento zákon zachování mechanické energie nám umožňuje porovnávat množství mechanické
energie soustavy v různých okamžicích, aniž bychom uvažovali působící síly a
počítali práci v intervalu určeném těmito dvěma okamžiky.
Například při pohybu kyvadla – viz obrázek 8.63:
V nejzazší (= nejvíce vychýlené poloze) platí |v| = 0, tj. Ek = 0 a (například) Ep = 20
J. Na základě této znalosti Ep v nejvyšším bodě kyvadla lze určit Ek v nejnižším bodě:
Ek,1 + Ep,1 = Ek,2 + Ep,2
0 + 20J = Ek,2 + 0 ⇒ Ek,2 = 20J.
Tato informace byla získána bez výpočtu práce sil působících na objekty soustavy!!!
Kontrola 3. Obrázek 8.64 ukazuje čtyři situace. Ve všech byla kostka z počátku v
klidu – dále volně padá (situace 1) či klesá po dokonale hladké skluzavce (situace 2,3,4).
Uspořádejte tyto situace sestupně podle
a) hodnoty Ek kostky v bodě B;
b) velikosti rychlosti kostky v bodě B.
Příklad 8.9 Dítě se spouští z vrcholu vodní skluzavky (obrázek 8.65). Je zpočátku v klidu
a nejvyšší bod skluzavky je ve výšce h = 8,5 m nad jejím ústím do bazénu (předpokládejme,
že skluzavka je dokonale hladká díky proudu vody, který po ní stéká). Určete, s jakou
rychlostí dítě vklouzne do bazénu.
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 2 80
Obr. 8.63: Rozbor pohybu kyvadla.
Obr. 8.64: Kostka na skluzavce – ke kontrole 3.
Řešení: Pokud bychom využívali pouze poznatků z kapitol 2 až 6, pracně bychom
museli bychom museli vyjadřovat tvar skluzavky. Ale na základě kapitol 7,8 víme, že
výsledek nezávisí na tvaru skluzavky, ale pouze na výšce h.
Uvědome si, že
– zanedbáváme třecí sílu;
– jedinou silou, kterou na dítě působí skluzavka, je normálová tlaková síla kolmá k povrchu
skluzavky (tj. kolmá k vektoru posunutí), takže tato síla nekoná práci;
– práci koná pouze tíhová síla, která je konzervativní (platí zákon zachování mechanické
energie pro soustavu dítě + Země): energie v nejvyšším bodě skluzavky (nahoře) =
81
Obr. 8.65: Dítě na skluzavce – k příkladu 8.9.
energie v nejnižším bodě skluzavky (dole):
Ek,n + Ep,n = Ek,d + Ep,d
1
2
m v2
n
=0
+mg · yn =
1
2
mv2
d + mg · yd
mg (yn − yd)
=8,5m
=
1
2
· m · v2
d / ·
2
m
2 · 9,80665 · 8,5 = v2
d
12,91m · s−1 .
= vd
Dítě by stejné rychlosti dosáhlo, kdyby z výšky 8,5 m spadlo. Protože ovšem skluzavka
není stoprocentně kluzká a dítě so občas chytne skluzavky a svůj pohyb zbrzdí, rychlost
dosažená na skluzavce bude reálně trochu nižší než rychlost dosažená při volném pádu.
Příklad 8.10 Pružina nabité vzduchovky je oproti výchozímu nenapjatému stavu stlačena
o délku d = 3,2 cm. Náboj má hmotnost m = 12 g. S jakou rychlostí opustí náboj po
výstřelu hlaveň? Tuhost pružiny je k = 7,5N · cm−1
. Předpokládejme, že hlaveň je při
výstřelu vodorovná, tření při pohybu náboje je zanedbatelné a po výstřelu zůstane pružina
v nenapjatém stavu.
Řešení: Označme
Ei ... mechanická energie soustavy náboj + puška před výstřelem;
Ef ... mechanická energie soustavy náboj + puška po výstřelu.
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 2 82
Ze zákona zachování mechanické energie Ei = Ef máme
Ek,i + Ep,i = Ek,f + Ep,f
0 +
1
2
kd2
=
1
2
mv2
+ 0 ⇒ v = d ·
k
m
= 0,032 ·
750N · m−1
0,012kg
.
= 8m · s−1
Při výpočtu jsme si museli dát pozor na dosazení jednotek odpovídajícího rozměru.
Je důležité si uvědomit, že soustava náboj + puška je izolovaná – pokud bychom chtěli
uplatňovat zákon zachování mechanické energie jen pro náboj samotný, tento zákon pro
něj neplatí, protože na náboj působí vnější pružná síla, která koná práci (jeho mechanická
energie se nezachovává).
Příklad 8.11 Vyznavač bungee jumpingu se chystá ke skoku z mostu vysokého 45 m.
Jeho hmotnost je 61 kg a pružné lano, které hodlá použít, má v nenapjatém stavu délku
L = 25 m. Předpokládejme, že se lano řídí Hookeovým zákonem (ve skutečnosti se guma
chová mnohem složitěji – nesvěřujte svůj život první aproximaci nějaké zákonitosti!!) a
jeho tuhost je 160N · m−1
. Tělo skokana považujeme při pohybu za bodový objekt.
a) Jaká je výška chodidel skokana nad hladinou řeky tekoucí pod mostem v okamžiku, kdy
se jeho let zastaví v daném bodě obratu?
b) Jaká je výsledná síla působící na skokana v nejnižším bodě? Je nulová?
Řešení:
ad a) Využijeme zákon zachování energie, ale v této situaci je novým prvkem to, že
uvažujeme obě soustavy v téže situaci dohromady:
Obr. 8.66: Bungee jumping z příkladu 8.11.
83
aa) soustava skokan + Země ... potenciální energie Ep,q;
bb) soustava skokan + lano ... potenciální energie Ep,p ... pružná potenciální ener-
gie.
Používáme tedy něco jako dva vztahy 8.13 dohromady:
∆Ek
=0
+
=mg∆y=mg(−L−d)
∆Ep,q + ∆Ep,p
= 1
2
kd2
= 0
(∆Ek = 0 ... kinetická energie skokana na začátku skoku i v dolní poloze skoku je
nulová; ∆Ep,q ... změna Ep v soustavě skokan – Země; Ep,p ... nárůst pružné síly v
dolní mezní poloze v soustavě skokan – lano). Celkem tedy máme rovnici
−mg(L + d) +
1
2
kd2
= 0
a stačí určit d, protože pak h = 45 − L − d. Právě uvedenou rovnost tedy chápeme
jako kvadratickou rovnici vzhledem k proměnné d:
1
2
kd2
− mgd − mgL = 0,
po dosazení
1
2
· 160 · d2
− 61 · 9,80665 · d − 61 · 9,80665 · 25 = 0;
80d2
− 598,20565d − 14955,14125 = 0.
Jedno za dvou řešení je záporné, to nemá smysl uvažovat. To jediné rozumné řešení
je
d =
598,20565 + 598,205652 + 4 · 80 · 14955,14125
2 · 80
.
= 17,91m.
Tedy h = 45 − 25 − 17,91 = 2,09 m (tj. velmi vysoký skokan by se mohl i namočit).
ad b) Viz rozbor sil na obrázku 8.67:
|F1| = mg = 61 · 9,80665
.
= 598,2N;
|F2| = kd = 160 · 17,91
.
= 2856,6N.
Tedy výsledná síla Fv směřuje směřuje vzhůru směrem k mostu a její velikost je
|Fv| = 2856,6 − 598,2 = 2267,4.
Tato síla je v porovnání s vahou skokana téměř čtyřnásobná; to znamená, že v mezní
poloze tato síla skokanem silně „trhne vzhůru .
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 2 84
Obr. 8.67: Rozbor sil při bungee jumpingu.
8.8 Interpretace křivky potenciální energie
V tomto oddílku ještě dodáme jednu drobnost k izolovaným soustavám, kde působí pouze
konzervativní síly.
Při působení síly F(x) ve směru osy x máme podle 8.1, 8.12 pro Ep,i = 0 a xi = 0
vzorec 8.12 ve tvaru
Ep(x) = −
x
xi
F(t)dt (8.19)
(vztah pro potenciální energii při působení síly F ve směru osy x pro xi = 0 a Ep,i = 0).
Zderivováním vztahu 8.19 podle proměnné x dostaneme
dEp(x)
dx
= −F(x) (8.20)
(vztah mezi Ep(x) a F(x) působící ve směru osy x; jedná se o analogii vztahu 8.12, resp.
8.19 – pouze vyjádření funkce z opačné strany rovnice pomocí integrálního počtu).
Pokud známe průběh funkce Ep(x), lze z něj vyčíst následující věci – vysvětlíme na
příkladě na obrázku 8.68:
• E = Ep(x)+Ek(x) = 5J ... například, viz vodorovná čárkovaná přímka na obr. 8.68
... zákon zachování energie v izolované soustavě (graf maximální možné hodnoty
součtu kinetické a potenciální energie).
• Pro x = x1 je Ep(x1) = 5J maximální, odtud Ek(x1) = 0 J, protože platí
Ek(x) = E − Ep(x) (8.21)
(vyjádření Ek ze zákona zachování mechanické energie).
• Pomocí 8.20 lze z grafu Ep(x) sestrojit graf funkce F(x) – viz obr. 8.69:
Sestavíme derivaci v bodě x a dáme před ni znaménko minus.
85
Obr. 8.68: Křivka potenciální energie Ep částice.
Obr. 8.69: Graf funkce F(x) pro daný průběh potenciální energie částice.
• Z grafu Ep lze určit bod obratu [x1, Ep(x1)]: Body nalevo od x1 nemohou v reálném
případě nastat, protože potenciální energie v nich by byla větší než součet Ep + Ek
(a Ek nemůže být záporná). V tomto bodě obratu sice Ek(x1) = 0, ale na částici
působí síla F(x1) (viz graf F(x1) na obr. 8.69), jejíž hodnota je kladná, tj. částice
se v bodě x1 obrátí a začne se pohybovat opačným směrem.
• Ek(x2) = 5 J podle vzorce 8.21.
Podívejme se na jiný příklad průběhu Ep – viz obrázek 8.70.
Tři čárkované čáry znázorňují tři různé hodnoty Emax = E = Ep(x) + Ek(x). Vzhledem
k tomu, která hodnota Emax platí, lze z grafu Ep(x) detekovat body na ose x (= při
pohybu po ose x) v různých typech poloh:
a) Emax,1 = čára 1 ... bod x6 je příkladem tzv. rovnovážné polohy volné ... částice
setrvává v klidu a nepůsobí na ni žádná síla (např. kulička na vodorovném stole):
Emax = Ep(x6) = 4J
Ek(x6) = 0J
F(x6) = 0 (podle 8.20)
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 2 86
Obr. 8.70: Jiný příklad potenciální energie částice.
b) Emax,2 = čára 2 ... bod x3 je příkladem tzv. rovnovážné polohy vratké:
Emax = Ep(x3) = 3J
Ek(x3) = 0J
F(x3) = 0
Hodnoty Ek a F jsou stejné jako v případě (a), ale při sebemenším vychýlení z
polohy x3 na částici začne působit síla F různá od nuly, která ji začne vzdalovat od
bodu x3 ... například malá kulička na vršku obrovského balónu.
c) Emax,3 = čára 3 ... bod x4 je příkladem tzv. rovnovážné polohy stálé
Emax = Ep(x4) = 1J
Ek(x4) = 0J
F(x4) = 0
Částice v poloze x4 setrvá sama od sebe a nemůže se vychýlit z této polohy jinak,
než působením další vnější síly (a při vychýlení z x4 na ni začne působit síla, která
ji vrací zpět do x4 ... např. kulička na dně mističky.
Čára 3, tj. úsečka AB je příkladem tzv. potenciálové jámy – částice kmitá mezi
dvěma body obratu A , B a nemůže dělat nic jiného.
Kontrola 4. Na obrázku 8.71 je křivka Ep(x) pro případ jednorozměrného pohybu
částice (= pohybu po ose x).
a) Uspořádejte úseky AB, BC, CD sestupně podle velikosti síly působící na částici.
b) Jaký směr má síla působící na částici v úseku AB?
87
Obr. 8.71: Graf potenciální energie ke kontrole 4.
8.9 Práce vnějších a nekonzervativních sil
A. Začněme nejprve úvahou o soustavě, ve které působí vnitřní nekonzervativní síly:
V soustavě (kuželková koule + člověk + Země) zvedá člověk kuželkovou kouli svisle
vzhůru ... působí na kouli silou Fint, která je vnitřní silou soustavy a není konzervativní.
Při působení člověka silou Fint na kouli se změní tlaková síla, kterou nohy stojícího
člověka působí na podložku, o vektor −Fint, což je též vnitřní nekonzervativní síla. Kombinací
vzorců 7.4 a 7.9 dostáváme vztah pro změnu kinetické energie koule:
∆Ek = Wint + Wg, (8.22)
kde Wint je práce vykonaná vnitřními silami, Wg je práce vykonaná tíhovou silou.
Připomeneme-li vztah 8.1 (∆Ep = −Wg), lze dosadit do 8.22 za Wg a dostaneme tvar
∆E = ∆Ek + ∆Ep,q = Wint (8.23)
(při vnitřních nekonzervativních silách není mechanická energie izolované soustavy
konstantní, ale změna této energie je rovna práci Wint).
B. Práce vnější síly
Uvažovaný model soustavy z bodu (A) jen lehce pozměníme v tom smyslu, že
– uvažujeme soustavu (koule + Země);
– tato soustava není izolovaná, ale na kouli působí nějaké vnější těleso, (ne nutně člověk)
silou Fext, která změní vzdálenost koule od povrchu Země (= změní Ep soustavy
koule + Země).
Pak podobně jako v 8.22 bude platit analogický vztah
∆Ek = Wext + Wg,
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 2 88
jenž s využitím 8.1 lze psát ve tvaru analogickém vztahu 8.23
∆Ek + ∆Ep,q = Wext,
neboli
∆E = Wext (8.24)
(změna mechanické energie neizolované soustavy je rovna práci vykonané vnějšími silami).
Spojením situací (A) i (B) lze celkově popsat změnu mechanické energie soustavy
vztahem
∆E = Wint + Wext (8.25)
(změna mechanické energie soustavy je rovna součtu práce nekonzervativních vnitřních
sil a práce vnějších sil).
C. Práce třecí síly
Uvažujme kostku pohybující se počáteční rychlostí v0 po podložce s nezanedbatelným
třením, které lze vyjádřit silou Fd působící proti směru pohybu kostky.
1. Vlivem tohoto tření (tzv. dynamické třecí síly) se kostka zpomaluje a po posunutí
d se zcela zastaví (viz obrázek 8.72.
Obr. 8.72: Práce třecí síly – orientované proti směru pohybu.
2. Třecí síla Fd je nekonzervativní: kinetická energie kostky se působením tření přeměňuje
na vnitřní (= tepelnou) energii kostky i podložky.
Při výpočtu toho, jakou změnu energie způsobí třecí síla, v podstatě použijeme vztah
7.8, kde F = Fd a ϕ = 180◦
(síla Fd působí proti směru pohybu):
∆Ek = W
7.8
= Fd · d cos 180◦
= −Fd · d.
89
Protože se nemění potenciální energie soustavy (výška kostky nad Zemí je konstantní),
lze právě uvedený vztah psát ve tvaru
∆E = −Fd · d (8.26)
(vztah pro rozptýlení mechanické energie soustavy kostka+Země na jiné druhy energie
působením třecí síly).
Příklad 8.12 Robot o hmotnosti m = 40kg je vytahován na laně z průzkumu v sopečném
kráteru (obrázek 8.73).
Obr. 8.73: K příkladu 8.12.
Stěna svírá s vodorovnou rovinou úhel 30◦
, tažná síla lana F má velikost |F| = 380N,
velikost dynamické třecí síly působící proti pohybu robota je 140N. Robot se posune o
vzdálenost d = 0,5 m podél stěny kráteru.
a) Jaká je ztráta mechanické enegrie soustavy robot+Země způsobená vlivem třecí síly při
posunutí robota o vektor d?
b) Jakou práci vykonají při posunutí robota tíhové síly?
c) Jakou práci vykonala síla F?
Řešení:
ad a) Ze vztahu 8.26 dostaneme
∆E = −140N · 0,5m = −70N · m = −70J.
ad b) Podle 8.1 a 8.14 máme (změna ve svislém směru ∆y = d · sin 30◦
):
Wg
8.1
= −∆Ep
8.14
= −m · g · ∆y = −40kg · 9,80665ms−2
· 0,5 · sin 30◦ .
= −98J.
ad c) Podle 7.8 pro ϕ = 0◦
(síla působí ve směru posunutí) dostaneme
Wint = F · d · cos ϕ = 380N · 0,5m · cos 0◦
= 190J.
Působením sil F (lana na robota) a −F (robota na lano) došlo k navýšení mechanické
energie soustavy o 190 J.
Kontrola 5. Obrázek 8.74 ukazuje tři možnosti pohybu kostky po nakloněné rovině,
která není dokonale hladká. Ve všech případech má vektor počáteční rychlosti stejnou
velikost (viz obrázek)
Uspořádejte tyto situace sestupně podle velikosti rozptýlené mechanické energie.
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 2 90
Obr. 8.74: Ke kontrole číslo 5.
8.10 Zákon zachování energie
Uvažujme soustavu (kostka + podložka + Země): protože jsme podložku zahrnuli do
soustavy, lze třecí síly považovat za vnitřní síly soustavy a formulovat zákon zachování
energie takto:
∆Ecelk = ∆Ek + ∆Ep + ∆Eint = 0 (8.27)
(zákon zachování energie pro izolovanou soustavu: součet změn kinetické, potenciální a
vnitřní (tepelné) energie izolované soustavy je roven nule).
Objevíme-li ještě další formy energie, lze 8.27 modifikovat dokonce na
∆Ecelk = ∆Ek + ∆Ep + ∆Eint + ∆Eostatní = 0. (8.28)
Tento zákon není dokázán žádným vyčerpávajícím důkazem, pouze vědci ani konstruktéři
neznají žádnou výjimku z tohoto zákona. Jedinou výjimkou je velký třesk: energie a
hmota vznikla při vzniku času a prostoru8
.
Čili existuje situace z historie vesmíru, kdy tento zákon neplatil. Tomuto závěru
někteří vědci vzdorují: říkají, že zákon zachování energie je nadřazen velkému třesku, a
že tedy při velkém třesku energie nevznikla, ale přitekla do nově vznikajícího prostoru a
času z nějakého jiného vesmíru.
Interpretace křesťana: Energie při velkém třesku nepřitekla z jiného vesmíru, ale stvořil
ji Bůh z ničeho. Zákon zachování energie začal platit až po stvoření vesmíru a stvoření
života (všech organických druhů).
Jinými slovy, křesťanský výklad říká, že realita tohoto vesmíru není izolovanou
soustavou, ale v určitých okamžicích (stvoření světa, stvoření organických forem života,
vzkříšení Ježíše Krista do stavu, kdy už neumírá a smrt nad ním nemá moc) do reality
tohoto vesmíru zasahuje zvnějšku Bůh.
Pokud soustava není izolovaná, lze 8.27, resp. 8.28 psát ve tvaru
W = ∆Ecelk = ∆Ek + ∆Ep + ∆Eint (8.29)
8
To plyne z důkazů velkého třesku – ze zbytkového záření a rudého posuvu. Viz také článek Existuje
Bůh? na stránce rozhovor.cz.
91
(změna energie je rovna celkové práci, kterou vykonají vnější síly na objekty soustavy).
Když přemýšlíme o různých typech energie, lze rozšířit i definici výkonu z kapitoly
7 (výkon = množství práce za jednotku času) na obecnější definici: zobecněný výkon =
množství změněné energie za jednotku času.
P =
∆E
∆t
(průměrný výkon) (8.30)
P(t) =
dE(t)
dt
(okamžitý výkon) (8.31)
Příklad 8.13 Cvičený pudl (viz obr.8.75) o hmotnosti 6kg vběhl na levý okraj skluzavky
rychlostí o velikosti v0 = 7,8m·s−1
ve výšce y0 = 8,5m nad podlahou. Při skluzu se dostal
do bodu obratu ve výšce y = 11,1m nad podlahou. Jaký byl přitom přírůstek vnitřní enegie
soustavy (pudl+skluzavka+Země)?
Obr. 8.75: Pudl na skluzavce – k příkladu 8.13.
Řešení: Soustavu lze považovat za izolovanou, a proto můžeme použít 8.27:
∆Ek + ∆Ep,g + ∆Eint = 0
(0 −
1
2
mv2
0) + mg(y − y0) + ∆Eint = 0
∆Eint =
1
2
mv2
0 − mg(y − y0) =
1
2
· 6 · 7,82
− 6 · 9,80665 · (11,1 − 8,5)
.
= 29,5J.
Příklad 8.14 Ocelová kulka o hmotnosti 5,2 g je vystřelena svisle dolů z výšky h1 = 18
m s počáteční rychlostí v0 = 14m · s−1
. Kulka se zaryje do písku a zastaví se v hloubce
h2 = 21 cm.
a) K jaké změně mechanické energie kulky přitom došlo?
b) Jaká je změna vnitřní energie soustavy (kulka+pískoviště+Země)?
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 2 92
Obr. 8.76: Výstřel kulky do písu z př. 8.14.
c) Jaká je velikost průměrné odporové síly F?
Řešení:
a) Máme určit levou stranu vzorce 8.23:
∆E = ∆Ek + ∆Ep,g =
= (0 −
1
2
mv2
0) + mg(−h2 − h1) =
= −
1
2
· 5,2 · 10−3
· 142
+ 5,2 · 10−3
· 9,80665 · (−18,21) = −1,438J.
Potenciální energie kulky (ve vztahu k Zemi a k jisté referenční hladiěn konfigurace)
poklesla o 1,438 J.
b) Podle 8.27 platí ∆Eint = −∆Ecelk = 1,438 J (vnitřní energie soustavy vzrostla o
hodnotu vypočtenou v bodě (a)).
c) Mechanická energie soustavy se mění pouze při zarývání kulky do písku. Pro odporovou
sílu platí 8.26 ve tvaru ∆E = −F · h2. Odtud
F = −
∆E
h2
=
−(−1,438)
0,21
.
= 6,85N.
Tuto poslední hodnotu lze experimentálně zjistit i na základě kapitoly 5 (tj. druhého
Newtonova zákona) ... určili bychom průměrné zrychlení a při brždění kulky v písku,
a pak vztah (5.1) – to je možná experimentálně náročnější, protože jednodušší je
změřit rychlost v0.
93
8.11 Hmotnost a energie
Jaký je vztah mezi zachováním hmotnosti soustavy a zachováním energie soustavy? Klasická
chemie předpokládá, že hmotnost soustavy se zachovává odděleně od energie soustavy,
ovšem v r. 1905 Albert Einstein upozornil na fakt
E = mc2
(8.32)
(kde E je energie ekvivalentní hmotnosti m), tj. ve skutečnosti se jedná o zachování
vztahu mezi energií a hmotností, který lze dobře měřit až při jaderných reakcích: hmotnost
soustavy se sníží, a přitom se uvolní energie.
V tabulce vidíme energiové ekvivalenty vybraných objektů:
Tabulka 8.1: Tabulka energiových ekvivalentů vybraných objektů.
objekt hmotnost (kg) energiový ekvivalent
elektron 9,11·!)−31
8,2 · 10−14
J (= 511keV )
proton 1,67 · 10−27
1,5 · 10−10
J (= 938meV )
atom uranu 4 · 10−25
3,6 · 10−8
J (= 225GeV )
prachové částice 10−13
104
J (= 2kcal)
mince 3,1 · 10−3
2,8 · 1014
J (= 78GW · h )
Při popisu chemických reakcí a výpočtu uvolněné energie je vhodné vztah 8.32 přepsat
do tvaru
Q = −∆m · c2
, (8.33)
kde Q je energie uvolněná (kladná hodnota), ∆m je úbytek hmotnosti (záporná hodnota),
nebo zcela naopak, tj. Q je záporná energie pohlcená a ∆m je kladná hmotnost narostlá.
Při jaderném štěpení (větší jádra se rozpadnou v jádra s nižším atomových číslem) ∆m
tvoří asi 0,1% původní hmotnosti.
Při praktických výpočtech se většinou u energie nepoužívá J (joule), ale elektronvolt
(eV) ze vztahu 7.3: 1eV = 1,6 · 10−19
J, a místo hmotnosti použ. tzv. atmovou hmotnost
(znač. u)
1u = 1,66 · 10−27
kg (8.34)
s převodními vztahy
c2
= 9,315 · 108
eV · u−1
= 9,315 · 105
keV · u−1
(8.35)
= 931,5MeV · u−1
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 2 94
Příklad 8.15 Při jaderném štěpení
n +235
U −→140
Ce +94
Zr + n + n
je neutron (n) zachycen jádrem uranu 235
U. Vznikne nestabilní jádro, které se rozštěpí na
dvě menší jádra (140
Ce a 94
Zr) za současného uvolnění dvou neutronů. Hmotnosti daných
elementů:
235
U : m = 235,04u
94
Zr : m = 93,91u
140
Ce : m = 139,91u
n : m = 1,00867u
a) Jaká je relativní změna hmotnosti interagujících částic?
b) Jaká energie se při štěpné reakci uvolní?
Řešení:
ad a) Změnu ∆m získáme jako hmotnost částice po reakci MINUS hmotnost částice před
reakcí:
∆m = (139,91 + 93,91 + 2 · 1,00867)u − (235,04 + 1,00867)u = −0,211u.
Hmotnost částic vstupujících do reakce je (235,04 + 1,00867)u = 236,05u, tedy
relativní změna
∆m
M
=
0,211u
236,05u
= 0,00089
.
= 0,001,
tj. asi 0,1%.
ad b) Ze vztahu 8.33 máme
∆Q = −∆m · c2
= −(−0,211) · 931,5MeV · u−1
= 197MeV.
Tato energie je mnohonásobně vyšší než energie uvolněná při běžných reakcích, kde
se uvolní zhruba jednotky elektronvoltů.
Příklad 8.16 Jádro atomu deuteria (tzv. těžký vodík) se rozpadne na neutron a proton.
Jak velká energie se uvolní či absorbuje při tomto procesu?
md = 2,01355 −→ mp(1,00728u) + mn(1,00867u)
celkem 2,01595u
Řešení: ∆m = 0,00240u, a tedy
Q = −∆mc2
= −0,0024u · 931,5MeV · u−1
= −2,24MeV
(minus ... při této reakci se energie absorbuje, aby jejím výsledkem byla částice s větší
hmotností). Hodnota 2,24MeV se nazývá vazebná energie deuteronu (vazebná energie =
energie, kterou je potřeba jádru dodat, aby se rozštěpilo na volné protony a neutrony).
Kontrola 6. Pokud bychom šest protonů a šest neutronů přiměli, aby se spojily v jádro
uhlíkového atomu 12
C, byla by hmotnost jádra větší nebo menší než součet hmotností
daných dvanácti volných částic?
95
8.12 Kvantování energie
Dosud jsme předpokládali, že množství energie může být jakékoli, ale to v mikrosvětě
neplatí – vnitřní energie mikrosvěta je kvantována = může nabývat jen některých
hodnot, tzv. kvantových stavů neboli energetických hladin a nenabývá nikdy hodnot
mezi těmito stavy (= hladinami). Viz obrázek 8.77:
Obr. 8.77: Kvantové hladiny atomů.
a) Atomy mají tendenci zaujímat konfiguraci základního stavu, jemuž odpovídá nejnižší
energie (podobně jako se koule kutálí ze svahu dolů).
b) Atom může přejít do excitovaného stavu s vyšší energií jen tehdy, když mu je dodána
(např. při srážce s jiným atomem nebo elektronem) energie odpovídající rozdílu
mezi základním a excitovaným stavem (tj. i přírůstky energie jsou kvantovány).
c) šipka 1: atom absorbuje foton s energií 2,5eV a přejde za základního do druhého
excitovaného stavu (pokud světlo má energii větší či menší než 2,5eV , k jeho absorbci
nedojde).
d) šipka 2: excitovaný atom na vyšší hladině většinou nesetrvá, ale ztrácí energii buď při
srážkách s jinými částicemi, nebo vyzářením (emisí) světla – pokud vyzáří světlo
a energii 1eV , přejde ze stavu E2 do E1 (vyzářené světlo skutečně vzniká, předtím
neexistovalo).
Kontrola 7. Bylo zjištěno, že kvantový systém vyzářil světlo čtyř různých energií,
aniž byl mezitím znovu excitován. Tři ze čtyř vyzářených hodnot byly změřeny: 1,1eV ;
1,4eV ; 2,8eV . Pořadí emisí = vyzáření není známo. Energetické hladiny systému jsou:
E8 = 7,7eV , E7 = 6,6eV , E6 = 5,5eV , E5 = 4,8eV , E4 = 4,2eV , E3 = 3,9eV , E2 = 2,7eV ,
E1 = 1,3eV , E0 = 0eV .
a) Jaký byl počáteční stav systému?
b) Jakou energii mělo světlo při čtvrté emisi?
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 2 96
8.13 Otázky k opakování – Potenciální energie, zákon zachování
energie
Otázka 8.1 Oddíl 8.1: potenciální energie. Co je to potenciální energie?
Otázka 8.2 Jak se mění kinetická a potenciální energie při hození jablka svisle vzhůru?
Otázka 8.3 Jak se mění kinetická a potenciální energie při stlačení kostky na pružině?
Otázka 8.4 Co to jsou interakční síly?
Otázka 8.5 Co jsou to konzervativní a nekonzervativní síly?
Otázka 8.6 Jaký je vztah mezi změnou ∆Ep potenciální energie a prací vykonanou tíhovými
interakčními silami? (8.1)
Otázka 8.7 Oddíl 8.2: křivkový integrál 1. a 2. druhu. Jaká je práce vykonaná při
přenosu objektu po křivce v prostoru? (8.2 ... je to křivkový integrál 2. druhu= orientovaný
integrál z vektorové funkce)
Otázka 8.8 Co je to křivka a parametrizace křivky? Uveďte příklad.
Otázka 8.9 Jaká je parametrizace přímky
↔
AB?
97
Místo závěru
Mezi fyzikou a matematikou existuje velmi pevný vztah a vzájemnou provázanost objektů
studia v těchto dvou předmětech lze pozorovat na mnoha místech. Matematika je jazykem
fyziky, i když matematika je více než jen jazyk – matematika je také vodítkem pro
logické myšlení a logický přístup k životu. Naopak fyzika je více než jen disciplína, která
využívá matematická odvozování – fyzika se svou odvahou experimentovat a objevovat
souvislosti ve viditelném i neviditelném (míněno např. pro lidské oko) světě je přístupem a
snahou popsat zákonitosti tohoto světa, a na základě těchto zákonitostí pak vede k jejich
praktickému využití pro život člověka.
Pokusme se shromáždit některá pro a proti v otázce, zda by bylo přínosem či pomocí
pro oba jmenované předměty, kdyby byly vyučovány jako jeden celek, přednostně
na gymnáziu s rozšířenou výukou matematiky (pod slovem „rozšířená výuka matematiky
mějme na mysli matematiku vyučovanou podle série všech jedenácti učebnic Matematika
pro gymnázia z nakladatelství Prometheus – to v době vzniku učebnic byla série představující
nikoli rozšířenou výuku matematiky, ale výuku normální). Odpověď na tuto otázku
je v jistém smyslu snadná: Díky klesající kvalitě studentů a díky faktu, že některé partie
matematiky, abstraktní to vědy, nesouvisí s konkrétním fyzikálním využitím, by nezazněla
některá matematická témata při výuce celku obou předmětů. Autor tohoto elektronického
textu přesto rozeslal na gymnázia v České Republice dotazník s následujícími otázkami:
1. Myslíte si, že na gymnáziu by bylo prospěšné vyučovat matematiku a fyziku v
rámci jednoho předmětu, aby byla patrná vzájemná provázanost obou předmětů
(mám na mysli pouze čtyřleté gymnázium, nebo poslední čtyři ročníky osmiletého
či šestiletého gymnázia)? Doplňte prosím svá „pro a „proti : co by společná výuka
obou předmětů získávala a co ztrácela?
2. Pokud jste učitelem fyziky v posledních čtyřech ročnících gymnázia, jaká témata z
matematiky zařazujete do svých hodin? Prosím o jejich vypsání – v rámci přípravy
učebnice, která systematicky představuje matematiku a fyziku v jejich vzájemném
vztahu, by mi to bylo pomocí:
3. Pokud jste učitelem matematiky v posledních čtyřech ročnících gymnázia, jaká témata
z fyziky zařazujete do svých hodin? Prosím o jejich vypsání – v rámci přípravy
učebnice, která systematicky představuje matematiku a fyziku v jejich vzájemném
vztahu, by mi to bylo pomocí:
4. Organizuje gymnázium, na kterém vyučujete, výuku matematiky rozšířenou o diferenciální/integrální
počet a analytickou geometrii v prostoru pro všechny žáky v
aspoň jedné třídě v rámci povinného kursu?
Pro ty, kdo se chtěli zamyslet více, byla určena delší verze dotazníku – nikoli delší
počtem otázek, ale další o dva texty, které jsou v otázkách uvedeny svými odkazy; respondenti
pak doplňovali argumenty uvedené v odkazovaných textech:
1. Myslíte si, že na gymnáziu (minimálně na gymnáziu s rozšířenou výukou matematiky)
by bylo prospěšné vyučovat matematiku a fyziku v rámci jednoho předmětu,
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 2 98
aby byla patrná vzájemná provázanost obou předmětů? V článku Fyzikální motivace
pro výuku matematiky (Fajmon, 2018) najdete některé příklady propojení
matematiky a fyziky, a také některé důvody pro a proti vzájemnému propojení jejich
výuky a možné reakce na ně. Přidejte prosím své vlastní argumenty v této diskusi.
2. V úvodu tohoto elektronického textu (str. 1-12) je uveden začátek osnovy možné
výuky matematiky a fyziky provázaných jako jednoho předmětu (prvních 180 hodin,
tedy cca první čtvrtina obsahu výuky); nejedná se tedy o celý návrh osnovy,
ale z dané části je patrno, jak jsou oba předměty provázány, cyklické opakování a
prohloubení některých témat matematiky, apod.; je jisté, že všechny partie matematiky
(zejména diskrétní matematiku) nelze „přidělit k výkladu fyziky, nicméně
si myslím, že u většiny osnovy matematiky je to možné – zbylé partie matematiky
by v takovém modelu výuky musely být probrány například ve čtvrtém ročníku už
odděleně od fyziky a celý provázaný předmět by byl časově vymezen jen v ročnících
prvním až třetím. Prosím o Vaše argumenty ve prospěch či neprospěch tohoto
modelu výuky.
Závěrem mi dovolte shrnout argumenty uvedené ve výše odkazovaném článku, ale také
v reakcích na právě uvedený dotazník. Reakce na dotazník lze v neupravené formě (od 27
respondentů převážně z řad učitelů gymnázia) najít na internetu (Výsledky, 2018). Celý
seznam následujících argumentů pro a proti jsem se snažil doplnit svými komentáři, a z
nich i z řazení jednotlivých argumentů vyplývá, že mým zájmem nebylo argumenty ankety
zpracovat nestranně, ale doplnit je svými argumenty z výše odkazovaného článku a použít
někdy i jen pozitivní myšlenky z reakcí na anketu, které jako celek vyznívají neutrálně
či negativně. Tj. mým cílem ani není poskytnout nějaké statictické zpracování dotazníku
pro gymnázia i mé vysokoškolské kolegy, ale spíše hledat v daných argumentech cestu ke
zdárnému spojení obou předmětů v jeden celek – zvážit všechny překážky, ale pak přece
hledat cestu k jejich zdolání.
Argumenty pro výuku matematiky a fyziky jako jednoho celku
Pro 01 Elegantní odvození vzorců pro popis přímočarého pohybu hmotného bodu užitím
diferenciálního počtu (podrobněji viz Fajmon, 2018, str. 2-3). Integrací vztahu a(t) =
v (t) na intervalu 0, t dostaneme pro rovnoměrně zrychlený pohyb
a(t − 0) = v(t) − v0, a tedy v(t) = v0 + at.
Další integrací tohoto vztahu na tomtéž intervalu dostaneme
x(t) − x0 = v0(t − 0) + a
t2
2
, a odtud x(t) = x0 + v0 · t +
1
2
at2
.
Na této a dalších situacích je vidět využitelnost diferenciálního a integrálního počtu.
Pro 02 Při definici skalárního součinu i vektorového součinu je vhodné přímo uvést příklad
jejich fyzikální interpretace. Například (podrobněji viz Fajmon, 2018, str. 3-6)
práci při přesunu tělesa ve směru vektoru s působením síly F lze spočítat jako
99
skalární součin těchto vektorů, a s využitím odchylky ϕ mezi vektory vyjádřit ve
tvaru
W = F · s = F · s · cos ϕ.
Na druhé straně, příkladem vektorové fyzikální veličiny, která vznikne jako vektorový
součin, je moment M síly F vzhledem k ose otáčení, kde kolmý průvodič od
osy otáčení směrem k místu působení síly F je zadán vektorem r. Moment síly je
určen vztahem M = r × F a s využitím odchylky ϕ mezi vektory r a F lze velikost
tohoto momentu vyjádřit jako
M = r · F · sin ϕ.
Srovnáním obou těchto příkladů lze vidět, že skalární součin využívá promítání
vektoru F do směru rovnoběžného s vektorem s (pomocí funkce cos ϕ), kdežto
velikost vektorového součinu využívá promítání vektoru F do směru kolmého
k vektoru r (pomocí funkce sin ϕ). Doplněním fyzikálního využití, nikoli jen geometrického
významu, získávají studenti ucelenější představu o významu skalárního
součinu, vektorového součinu a rozdílech mezi nimi.
Pro 03 Studenti vidí příklady využití konkrétních matematických objektů, např. využití
kvadratické funkce při popisu polohy rovnoměrného přímočarého pohybu hmotného
bodu, při popisu trajektorie šikmého vrhu, apod.
Pro 04 Studenti vidí využití konkrétních matematických postupů tehdy, když jsou potřeba
ve fyzice, tj. je ilustrována potřebnost obou oborů. Například při výpočtu
doletu R dělové koule lze vzorec
R =
v0
2
· 2 · sin θ0 · cos θ0
g
upravit na tvar R =
v0
2
· sin(2θ0)
g
,
odkud je hned vidět, že maximální dolet získáme pro θ0 = 45◦
. Jedná se o netriviální
důležité využití vzorce sin(2α) = 2 sin α · cos α.
Pro 05 Svět je jen jeden a někdy je chybou, že se žáci stejné problémy izolovaně a
nedokážou znalosti z matematiky ve fyzice použít (Výsledky ankety, 2018, str. 2).
Moje reakce: Souhlasím – s tím, že může být použito proti mně, že jsem sám absolvoval
výuku matematiky odděleně od fyziky, a to mi možná pomohlo se ji naučit
pořádně a později jsem se mohl učit vidět matematické souvislosti ve fyzice. Pak by
celý projekt propojené výuky směřoval na jinou kolej, a sice jak dobře učit fyziku
... v tomto případě si myslím, že fyzika by měla být prezentována s větší propojeností
k matematice už na střední škole. Stále ovšem zůstává v platnosti existence
předmětu Fyzikální motivace pro výuku matematiky, protože zde se budoucí učitelé
matematiky dozvědí o vynikající učebnici fyziky (Halliday, Resnick, Walker, 2000
nebo 2013), která lépe představuje fyziku než dříve dostupné české učebnice.
Pro 06 Jako výhodu spojení lze vidět to, že by se zřejmě celkově omezil počet hodin
pro tento jeden předmět například na 5 hodin týdně (volně podle Výsledky ankety,
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 2 100
2018, str. 3). Tj. žákům by se ulevilo a další hodina by mohla být věnována na jiné
předměty.
Moje reakce: Tento důvod by byl spíše argumentem pro lidi matematice a fyzice
nepřející, ovšem je logický a určitě by byl při sloučení předmětů vysloven. Z tohoto
důvodu se zřejmě nikdo nepokusí myšlenku společného celku propagovat nějak oficiálně,
tj. celý nápad učit matematiku a fyziku provázaně by mohl být realizován jen
ojedinělě – vyučující, kteří uvidí důležitost tohoto propojení, si k realizaci najdou
cestu i při stávajícím stavu středních škol v ČR. Celý nápad totiž nepředpokládá
snížení hodinové dotace na některý z předmětů, protože chce právoplatně zahrnout
i diferenciální a integrální počet, který je často ze škol vyloučen i při velké dotaci
pro oba předměty.
Argumenty proti výuce matematiky a fyziky jako jednoho celku
Proti 01 Výuka některých fyzikálních témat by byla zdlouhavá, kdyby mezi ně byly vkládány
matematické partie. Jeden z anonymních recenzentů tohoto oddílu doplňuje:
Myšlence provázat fyziku s matematikou a dalšími předměty (například v rámci
semináře) fandím. Pouze bych nabádal k opatrnosti. Krása fyziky je v tom snažit
se vysvětlit věci snadno, jak to uměl například R. Feynman. Odvození vzorce pro
rovnoměrně zrychlený pohyb pomocí integrace dle mého krásu fyziky naprosto ničí.
Moje reakce: Předchozí reakce je cenná a jsem za ni vděčný a kvůli ní jsem celou
anketu dělal, protože sám nemám fyzikální vzdělání. Je mi jasné, že jednoduchost
je ve věcech tehdy, když jsou kratší nebo když složitější aparát nepotřebujeme.
Tento názor ale obchází záměr matematického předmětu se složitějším aparátem
studenty seznámit – a musíme též po pravdě přiznat, že fyzika by bez složitějšího
matematického aparátu nedošla ve svém poznání světa tak daleko. Asi bychom měli
říci, že fyzika doplněná matematikou ztrácí svou eleganci. Nicméně mám za to, že
by fyzika a matematika vyučované jako jeden celek podávaly pravdivější obraz o
vědecké práci i o složitostech, na které při zkoumání světa narážíme.
Moje reakce: Výuka všech témat by byla pro mnohé studenty zdlouhavá, jako i celé
studium, ale nepřesáhla by čtyři roky (pokud máme na mysli výuku na čtyřletém
gymnáziu).
Proti 02 Některá témata matematiky by při společném procházení matematiky a fyziky
jako jednoho celku nebyla probrána.
Moje reakce: Tento argument je vážný a znamená, že výuka matematiky a fyziky
jako jednoho celku by nemohla pokrýt celé čtyři roky gymnaziální výuky, nýbrž by
pokrývala pouze dva nebo tři roky, a poslední rok by musel být věnován probrání
těch témat matematiky, které nebyly dosud pokryty. Souběžně by se fyzika mohla
věnovat opakování a experimentům, které při výuce provázaného celku nebyly zdůrazněny
či realizovány.
Proti 03 Učitelé na gymnáziu často nemají na matematiku a fyziku současně aprobaci,
takže by nemohli vyučovat provázaný celek.
101
Moje reakce: Opět vážný argument, který bude možná nepřekonatelnou překážkou
při realizaci výuky provázaného celku. Bylo by možné řešit v ojedinělých případech,
kdy učitel má aprobaci na oba předměty, nebo velmi těsnou spoluprací učitele matematiky
s učitelem fyziky. Mám spíše na mysli takovou formu spolupráce, která je
užší než jen seskládání témat matematiky a témat fyziky do jiného pořadí – to by
nefungovalo, protože jednotlivé celky jsou skutečně různé dlouhé. Užší spolupráce
by zahrnovala, aby učitel fyziky odvozoval a přednášel veškerou teorii provázaného
celku a učitel matematiky procvičoval veškeré příklady provázaného celku. Oba spolupracující
vyučující by byli garanti výuky svého předmětu, ale podíl na výuce by
víceméně sdíleli v každém tématu, ať už fyzikálním, nebo matematickém.
Proti 04 Asi nejvážnějším argumentem proti je systematičnost, kterou by ztratila matematika,
pokud by oba předměty byly vyučovány v jednom celku (Fajmon, 2018,
str.8). Například při studování vlastností funkce matematika zachází pouze s proměnnými
x, y, zatímco fyzika už při popisu přímočarého pohybu zachází s hodnotami
x0, x(t), v0, v(t), t, a(t). Zkrátka postihnout fyziku je nesmírně náročné, protože
téměř každý týden výuky se zabývá modelem jiné situace, s veličinami označenými
jinými písmeny, zatímco matematika stále systematicky vynáší na vodorovnou osu
soustavy souřadnic hodnotu proměnné x a na svislou osu hodnotu proměnné y. Matematika
vytváří systém pomocí označení proměnných x a y, kdežto fyzika zkoumá
reálný svět, provádí experimenty, objevuje hranice nemožného.
Moje reakce: Toto je argument, který zřejmě znemožní vyučovat matematiku a
fyziku jako jeden celek prvotně, tj. na střední škole. Na vysoké škole spojení těchto
předmětů už bude možné, protože to bude znamenat už druhé setkání s probíranými
tématy. Nicméně stále si říkám, zda na vysoké škole na představení souhry
matematiky a fyziky bude někdy čas, jedná se totiž o obsah přibližně šesti či sedmi
semestrů, tj. pro vysoké školy učivo objemem nerealizovatelné. Pokud mixování matematiky
a fyziky neprospívá v jistém smyslu oběma předmětům, znamená to, že
jejich vzájemný vztah tedy vyučován nebude nikdy, jen pro studenty fyziky? Studenti
matematických směrů často o fyzikálním využití nemají informace. Stále v
mysli vidím ideální střední školu jako tu, která vyučuje matematiku a fyziku provázaně,
i když to pro učitele bude znamenat novou formu spolupráce.
Proti 05 Propojení matematiky s fyzikou by pro většinu studentů mělo odstrašující účinek.
Matematika občas baví i slečny, kterým fyzika nahání husí kůži – o ty bychom
přišli (Výsledky ankety, 2018, str. 4).
Moje reakce: V podstatě souhlasím, i když celý argument by bylo možné i obrátit:
lepší porozumění fyzice vyučované v provázanosti s matematikou by mohlo některé
studenty fyziky získat.
Proti 06 Spojovat předměty není možné, protože máme žáky, jejichž znalosti upadají. O
tom, jak upadly (Výsledky ankety, 2018, str. 4), svědčí to, že nyní nemusí probírat
komplexní čísla, takže nemusí umět ani správně odmocňovat. Dokonce lze říci, že
mnozí absolventi ZŠ nedokáží bez kalkulačky sčítat, odčítat, násobit a dělit velká či
malá čísla, vyjádřená pomocí mocnin deseti.
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 2 102
Moje reakce: Ano, to by mohl být problém. Na druhé straně, obsah učiva by měl
být určen shora učiteli a těmi, kdo správně tuší, co budou studenti potřebovat. Z
toho důvodu je smutné, že komplexní čísla se na řadě škol neučí vůbec. Minimálně
při řešení kvadratické rovnice by měla být komplexní čísla řádně probrána, aby
studenti byli schopni počítat druhou odmocninu správně v každém případě.
Proti 07 Fyzika je jedna z mnoha přírodních věd, které matematiku potřebují – jistě
nejvíc ze všech. Matematice bych ale ponechal její výlučné postavení mimo vědy
přírodní i společenské (Výsledky ankety, 2018, str. 8).
Moje reakce: To je též pádný argument – matematika má výlučné postavení v
jistém smyslu, není pouze jazykem přírodních věd, ale např. logika je návodem k
filozofii a ke správnému myšlení vůbec. Podobně v britském školství existuje matematika
jako předmět odděleně, pak další přírodní vědy fyzika, biologie, chemie jsou
vyučovány v rámci jednoho předmětu Science (= Věda).
Proti 08 Propojení předmětů by bylo didakticky chaotické, nevynikl by systém. Možná
by bylo dobré spíše zaměřit se na fyzikální seminář s využitím vyšší matematiky
– ovšem vyžadovalo by to, aby takový předmět učil učitel s aprobací matematikafyzika,
aprobace jen fyzika nestačí kvůli didaktice matematiky (Výsledky ankety,
2018, str. 11).
Proti 09 Učit matematiku a fyziku v rámci jednoho celku od 1. ročníku SŠ by vyžadovalo,
aby žáci současně vstřebali (či měli umět) učivo tří ročníků matematiky
podle většiny současných osnov, a sice rovnice, funkce a diferenciální počet – a to
je nereálné (Výsledky ankety, 2018, str. 8).
Moje reakce: Jako člověk, který prošel systematickou výukou matematiky, nemám
zřejmě právo navrhovat, aby se krásná struktura matematiky představovala
studentům jinak než ve své čisté formě, s aplikacemi maximálně v geometrii a jinak
nikde. Ovšem pokud uvážíme, že jedním ze základních kamenů studia matematiky
na střední škole jsou funkce a že témata rovnice i diferenciální počet jsou jen doplněním
tématu funkce, tak osnova představená v úvodu tohoto elektronického textu
se už nejeví tak nereálná.
Shrnutí: Věřím, že lepší provázanost matematiky a fyziky by pomohla zejména při studiu
fyziky. Pokud je nepřijatelné sloučit na gymnáziu matematiku v rozsahu 4-4-4-4
a fyziku v rozsahu 2-2-2-2 v jeden celek, věřím, že pro ideální znalosti z fyziky
by pomohlo přesunout jednu hodinu matematiky týdně do fyziky (tj. matematiku
učit v rozsahu 3-3-3-3 a fyziku též v rozsahu 3-3-3-3) a věnovat tuto hodinu nikoli
experimentům nebo praktické části, ale spíše teoretickým východiskům a matematickým
souvislostem, integrálnímu a diferenciálnímu počtu, apod. Aby byla zajištěna
správná návaznost v takto vytvořeném předmětu „lépe vysvětlená fyzika , musela
by didaktická část matematiky pokryta dobrou učebnicí, která zatím v češtině neexistuje.
Pro ta gymnázia, která věnují matematice ve čtyřletém součtu 12 a méně
dotačních hodin, by se nic nezměnilo – jen by přibyla jedna hodina fyziky tam, kde
103
by si důležitost provázanosti uvědomovali a chtěli na ni položit důraz. Pro gymnázia,
která věnují matematice čtyři a fyzice dvě dotační hodiny týdně, by jedna
hodina matematiky byla v tomto ideálním modelu studia „věnována fyzice. Pokud
by byla sestavena dobrá učebnice, která didakticky rozumně propojuje fyziku s
matematickými tématy, pro učitele fyziky by tento model mohl být přijatelný.
Další možností by bylo nechat stranou citlivou otázku hodinové dotace a přidat na
některých školách pro zájemce seminář Fyzikální motivace pro matematiku ve 3.
a 4. ročníku gymnázia (tj. vyučovaný v době, kdy studenti už prošli téma rovnice
a téma reálné funkce, tj. jsou připraveni ke vstřebání tématu diferenciální počet a
dalších fyzikálních aplikací matematiky), jak tomu na některých gymnáziích je –
tato varianta ovšem není ideální, protože předpokládá procházení řadu věcí z učiva
fyziky důkladněji než jen v rámci opakování.
Fyzikální motivace pro výuku matematiky 2 104
Literatura
[1] Bednařík, M., Široká, M.: Fyzika pro gymnázia – mechanika. Praha, PROMETHEUS
2000.
[2] Fajmon, B.: Fyzikální motivace pro výuku matematiky. Příspěvek na konferenci
Trendy ve vzdělávání 2018, zveřejněn v písemné formě na adrese
http://matematicky.rozhovor.cz/predmety/mafy/Fajmon-Bretislav-prispevek.docx.
[3] Fuchs, E., Hrubý, D.: Postavení matematiky ve školním vzdělávacím programu na
čtyřletém gymnáziu. PROMETHEUS 2006.
[4] Halliday, D., Resnick, R., Walker, J.: Fyzika. VUTIUM Brno a PROMETHEUS Praha,
2000 1.vydání, 2013 2.přepracované vydání.
[5] Hrubý, D., Kubát, J.: Matematika pro gymnázia – diferenciální a integrální počet.
PROMETHEUS, Praha 81997.
[6] Krynický, M.: Matematika realisticky. Online učebnice 2010, matematika vyučovaná
na gymnáziu, www.realisticky.cz.
[7] Musilová, J., Musilová, P.: Matematika pro porozumění i praxi I. VUTIUM Brno,
2009.
[8] Musilová, J., Musilová, P.: Matematika pro porozumění i praxi II. VUTIUM Brno,
2012 (dva svazky, samostatně neprodejné).
[9] Musilová, J., Musilová, P.: Matematika pro porozumění i praxi III. VUTIUM Brno,
2018 (tři svazky, samostatně neprodejné).
[10] Odvárko, O.: Matematika pro gymnázia – funkce. PROMETHEUS 1993, Praha.
[11] Odvárko, O.: Matematika pro gymnázia – goniometrie. PROMETHEUS 1994, Praha.
[12] Události na VUT 9-2001, str. 7 (představení učebnice Fyzika autorů Halliday, Resnick,
Walker; rozhovor s Jiřím Grygarem).
[13] Výsledky ankety o možné propojenosti předmětů matematiky a fyziky při výuce
do jednoho celku. Uvedeno v červenci 2018 v nezpracované formě na adrese
http://matematicky.rozhovor.cz/predmety/mafy/vysledky-ankety.pdf.