8 Potenciální energie a zákon zachování energie Jedním z nebezpečných „sportů" je bungee-jnmping (v překladu „zaražené skákání"). Skokan, připoutaný za kotníky ke speciálnímu pružnému lanu, se vrhá dolů z velké výšky, většinou z vysokých mostních konstrukcí. Napínající se lano způsobí zbrzdění střemhlavého letu. Lze vůbec zjistit, jaké největší hloubky skokan dosáhne? Odpověď na tuto otázku je pochopitelně obecně zajímavá, pro skokana však navíc životně důležitá. 170 KAPITOLA 8 POTF.NCIÁLNÍ ENERGIE A ZÁKON ZACHOVÁNÍ ENERGIE 8.1 POTENCIÁLNI ENERGIE V kap. 7 jsme definovali kinetickou energii částice, resp. bodového objektu a přesvědčili jsme se, že její změny bezprostředně souvisejí se silami, jimiž na částici působí její okolí. Změna kinetické energie částice je totiž rovna výsledné práci všech těchto sil. Uvědomili jsme si také, že v případě soustavy částic či tělesa, které nelze považovat za bodový objekt, přispěje ke změně kinetické energie nejen práce sil, jimiž působí na částice soustavy její okolí, ale i práce interakčních sil, jimiž na sebe částice soustavy působí navzájem. V této kapitole se budeme problémem práce těchto vnitřních sil zabývat podrobněji a ukážeme, že za jistých podmínek lze pomocí ní definovat nový typ energie soustavy, tzv. potenciální energii Ep. Vzhledem k její souvislosti s konfigurací soustavy (tj. uspořádáním částic) hovoříme nčkdy o energii konfigurační. Mění-li se konfigurace soustavy, mění se i její potenciální (konfigurační) energie. Jedním z typů potenciální energie je tíhová, případně* gravitační potenciální energie, jež souvisí s konfigurací soustavy částic, které na sebe působí tíhovými (gravitačními) silami. Když Vasilij Aleksejev zvedal nad hlavu 5621ibrovou činku, zvyšoval tím vzdálenost mezi činkou a Zemí. Měnil tak konfiguraci soustavy činka + Země a tím i její tíhovou potenciální energii (obr. 8.1). Práce a potenciální energie Pro úvahy o souvislosti práce vnitřních sil působících v soustavě částic a změnách potenciální energie zvolíme nejprve nejjednodušší možný model, soustavu libovolné těleso-l-Země. Vraťme se proto k příkladu jablíčka, vrženého svisle vzhůru podle obr. 8.2. Pro jednoduchost zanedbejme otáčení Země kolem Slunce i její rotaci kolem vlastní osy a popisujme vše v takové inerciální soustavě, v níž jsou obě tělesa Země + jablíčko zpočátku v klidu. V kap. 7 jsme konstatovali, že ve fázi vystupuje práce Wg vykonaná tíhovou silou působící na jablíčko záporná a kinetická energie jablíčka vzhledem k Zemi klesá. A tíhová síla koná zápornou práci tíhová síla koná kladnou práci IjJJl Obr. 8.2 Rajské jablíčko je vrženo vzhůru. Při výstupu koná tíhová síla zápornou práci a kinetická energie jablíčka vzhledem k Zemi klesá. Roste však tíhová potenciální energie soustavy jablíčko + Země. Při sestupu je práce tíhové síly působící na jablíčko kladná, jeho kinetická energie vzhledem k Zemi roste a tíhová potenciální energie soustavy klesá. (a) (h) Obr. 8.1 Při zvedání činky nad hlavu zvyšoval V. Aleksejev její vzdálenost od Země a měnil tak konfiguraci soustavy činka + + Země z výchozí konfigurace (a) ve výslednou (b). Jiným typem potenciální energie je pružná potenciální energie, která souvisí se stavem napjatosti (protažení či stlačení) pružných těles, například pružin. Silou, která zde hraje podstatnou roli, je pružná síla. Stlačíme-li nebo napneme-li pružinu, měníme tím vzájemné polohy jejích závitů. Pružná síla působí proti takovým změnám a to vede ke zvýšení pružné potenciální energie pružiny. * Jemný rozdíl mezi nimi vyložíme v čl. 14.4. Můžeme zřejmě očekávat, žc potenciální energie soustavy jablíčko + Zcmč, kterou se snažíme definovat jako energii závislou na vzájemné poloze obou částic, roste právě na úkor kinetické energie. V další fázi pokusu se jablíčko zpomaluje, zastaví se a začíná padat, neboť je k Zemi přitahováno tíhovou silou. Při pádu se energiové poměry obrátí: práce Wg vykonaná tíhovou silou je nyní kladná, kinetická energie jablíčka roste a tíhová potenciální energie soustavy jablíčko+Země klesá. Úvahy z kap. 7 nyní zpřesníme. Při pohybu tělesa v blízkosti povrchu Země je zmčna AEp tíhové potenciální energie soustavy těleso + Země definována jako záporně vzatá práce vykonaná interakčními tíhovými silami Fg a —Fg. Píšeme AEp = -Wg. (8.1) Veličinu Ep nazýváme tíhovou potenciální energií soustavy těleso + Země nebo také potenciální energií tělesa 8.2 NEZÁVISLOST PRÁCE KONZERVATIVNÍCH SIL NA TRAJEKTORII 171 v tíhovém poli Země. Při užívání druhého z obou názvů bychom si měli neustále připomínat, že potenciální energie přísluší soustavě obou objektů, tělesa i Země, neboť je definována pomocí práce obou interakčních sil. Stejný vztahplatí pro soustavu kostka+pružina s upevněným koncem (obr. 8.3), přesněji řečeno pro soustavu kostka + Země s přidanou pružnou interakcí, zprostředkovanou pružinou. Jestliže náhle udeříme do kostky směrem vpravo a uvedeme ji tak do pohybu, koná pražná síla působící na kostku během pohybu vpravo zápornou práci. Kinetická energie kostky klesá a na její úkor roste pružná potenciální energie soustavy. (Vzhledem k tomu, že tato potenciální energie je určena výhradně změnou délky pružiny, hovoříme někdy stručně o potenciální energii pružiny.) Kostka se zpomaluje, zastaví sc a začne se vlivem pružné síly pohybovat v opačném směru. Směr energiových změn se obrátí, kinetická energie kostky roste na úkor pružné potenciální energie soustavy. -j--■-x -1-x 0 0 (a) (b) Obr. 8.3 Kostka, která je připevněná k pružině a je zpočátku v klidu v poloze x = 0, je uvedena do pohybu směrem vpravo, (a) Při pohybu kostky vpravo (vyznačeno šipkou) koná pružná síla působící na kostku zápornou práci. Kinetická energie kostky klesá a potenciální energie pružiny roste. Kostka se zastaví v okamžiku, kdy je její kinetická energie nulová, (b) Poté se kostka pohybuje zpět směrem k poloze x = 0, pružná síla koná kladnou práci, kinetická energie kostky roste za současného poklesu potenciální energie pružiny. Konzervativní a nekonzervativní síly Shrňme klíčové prvky diskuse týkající se předchozích dvou situací: 1. Soustava se skládá ze dvou nebo více objektů. 2. Sledovaná částice (jablíčko, resp. kostka) a zbytek soustavy na sebe navzájem působí interakčními silami. 3. Mění-li se konfigurace soustavy, konají interakční síly práci W\ a kinetická energie soustavy £k se mění. 4. Obrátí-li se směr změn konfigurace soustavy, konají interakční síly práci Wn. Jestliže za všech okolností platí Wj = — VV2, lze pomocí práce interakčních sil definovat potenciální energii soustavy. O interakčních silách hovoříme v takovém případě jako o silách konzervativních. Jak se dalo tušit, jsou tíhová i pružná síla silami konzervativními (jinak bychom nemohli mluvit o tíhové či pružné potenciální energii). Ne všechny síly jsou ovšem konzervativní. Představme si například kostku, jak klouže po podlaze, která není dokonale hladká. Při pohybu kostky koná dynamická třecí síla zápornou práci. Pohyb kostky sc zpomaluje, její kinetická energie klesá. Nakonec se kostka zastaví a její kinetická energie je nulová. Práce třecích sil, jimiž na sebe navzájem působí kostka a podlaha podél styčných ploch, se spotřebovala na zvýšení vnitřní energie soustavy kostka + podlaha (dokladem toho je zahřátí obou těles). Experimentálně je však prokázáno, že opačný proces není možný: kostku nedokážeme uvést do pohybu tím, že ji ochladíme. 1 když tedy v soustavě kostka + podlaha působí interakční (třecí) síly, které konají práci na úkor kinetické energie soustavy, nelze tuto práci vyjádřit jako změnu nějakého druhu potenciální energie. Vnitřní energie soustavy kostka + podlaha není energií potenciální, síly tření jsou silami nekonzervativ-ními. Působí-li na částici výhradně konzervativní síly, můžeme jinak složitý problém jejího pohybu značně zjednodušit. V následujícím článku formulujeme kritéria, na základě nichž lze rozpoznat konzervativní síly, a vyjasníme si, v čem zmíněné zjednodušení spočívá. 8.2 NEZÁVISLOST PRÁCE KONZERVATIVNÍCH SIL NA TRAJEKTORII K formulaci základního kritéria umožňujícího rozhodnout, zda daná sílaje či není konzervativní, dospějeme postupnými úvahami: předpokládejme nejprve pro jednoduchost, že na částici pohybující se po uzavřené trajektorii působí jediná síla. Počáteční a koncová poloha částice na uzavřené trajektorii splývají, částice vykoná „okružní cestu", která začíná a končí v tomtéž bodě. Síla působící na částici je konzervativní právě tehdy, je-li kinetická energie částice na počátku i na konci tohoto okruhu stejná. Práce, kterou síla vykoná při oběhu částice po uzavřené trajektorii je tedy nulová. Jako jeden z přirozených příkladů takové situace poslouží oběh Země kolem Slunce po prakticky kruhové trajektorii (nebo i komety po protáhlé eliptické trajektorii), který se skutečně děje vlivem jediné síly působící na planetu. Tou je gravitační síla, jíž na planetu působí Slunce. Jiným příkladem je pohyb jablíčka vrženého svisle vzhůru V tíhovém poli Země. Obecně bychom ovšem měli umět určit práci zkoumané síly F při pohybu částice po libovolné trajektorii. Sama síla F však k zajištění takového předem naplánovaného pohybu obvykle nestačí. Musíme proto doplnit další, vhodně zvolenou sílu. Je výhodné, je-li tato síla kolmá k požadované trajektorii, protože potom nekoná práci. Typic- 172 KAPITOLA 8 POTENCIÁLNI' ENERGIE A ZÁKON ZACHOVÁNÍ ENERGIE kým příkladem takové vazební síly je tlaková síla vhodně tvarované podložky umístěné v tíhovém poli Země, po níž pouštíme těleso jako po skluzavce. Předpokládejme tedy, že jsme studovanou sílu F doplnili vhodně zvolenou vazební silou. Sílu F nazveme konzervativní, je-li její příspěvek ke změně kinetické energie při každém oběhu částice po jakékoli uzavřené cestě nulový. Jinými slovy: Práce vykonaná konzervativní silou působící na částici pohybující se po libovolné uzavřené trajektorii je nulová. Experimenty ukazují, že tíhová síla toto kritérium splňuje. Příkladem je hra s jablíčkem na obr. 8.2. Jablíčko opouští výchozí bod s rychlostí o velikosti ľq a kinetickou energií i»ii>g. Tíhová síla Země jablíčko zpomaluje až do zastavení a jablíčko padá nazpět. V okamžiku návratu do výchozího bodu je velikost jeho rychlosti opět un a kinetická energie má hodnotu i m uq. Tíhová síla tedy během výstupu jablíčka spotřebovala stejně velkou práci (W\ < 0), jako vykonala při jeho zpětném pádu do výchozího bodu (Wi > 0, W{ = —W2). Tíhová síla, jíž působí Země na jablíčko, vykoná při jeho oběhu po uzavřené trajektorii celkově nulovou práci. I_ .« \__s*P ŕ / ŕ / (a) (b) Obr. 8.4 (a) Částice, na niž působí mj. konzervativní síla F, se pohybuje po okruhu z bodu A do bodu B po cestě 1 a vrací se zpět po cestě 2. (b) Částice může přejít z bodu A do bodu B jak po cestě 1, tak po cestě 2. Obr. 8.4a znázorňuje oběh částice po obecně zvolené uzavřené trajektorii. Jednou ze sil působících na částici je i síla F, jejíž konzervativnost studujeme. Částice se pohybuje z počátečního bodu A do bodu B po cestě 1 a vrací se do bodu A po cestě 2. Síla F koná jistou práci při pohybu částice po jakékoli trajektorii. Aniž bychom specifikovali, pro které části vyznačené trajektorie je tato práce kladná, resp. záporná, označme jako Waba práci, kterou uvažovaná síla vykonala při pohybu částice z bodu A do bodu B po cestě 1, a jako Wba.2 práci vykonanou při pohybu z B do A po cestě2..lc-li síla konzervativní, pak výsledná práce, kterou vykoná při pohybu částice po celém okruhu, musí být nulová: Waba + Wba.2 = 0, tj. WAB,\ = -%,2. (8-2) Vyjádřeno slovy, práce, kterou síla vykoná při cestě částice z bodu A do bodu B, musí být rovna záporně vzaté práci vykonané při návratu částice. Uvažujme nyní práci War.2, kterou síla vykoná při pohybu částice z bodu A do bodu B, avšak po cestě 2 (obr. 8.4b). Je-li síla F konzervativní, jc tato práce až na znaménko rovna práci Wba.2'- Wab.2 = -WBa,2- (8.3) Dosazením Wab.2 namísto —Wba.2 do vztahu 8.2 dostaneme WAB.\ ^ Wab.2- (8-4) Tato jednoduchá rovnost představuje velmi silný výsledek, neboť umožňuje zjednodušit obtížné problémy pohybu částic v případě, že na ně působí pouze konzervativní síly. Vyplývá z ní totiž, že práce konzervativní síly při pohybu částice z určitého počátečního bodu A do koncového bodu B nezávisí na tom, po jaké konkrétní cestě se tento pohyb děje. Práce konzervativní síly působící na částici při jejím pohybu mezi dvěma body je nezávislá na trajektorii částice. Předpokládejme, že potřebujeme vypočítat práci konzervativní síly působící na částici při jejím pohybu po určité trajektorii spojující dva zadané body. Může sc stát, žc přímý výpočet je pro tuto konkrétní trajektorii složitý. Výsledek však lze získat pro jinou trajektorii spojující oba body, avšak zvolenou způsobem, který vede k usnadnění výpočtu. Tuto skutečnost dokumentuje př. 8.1. PŘIKLAD 8.1 Obr. 8.5a znázorňuje balíček o hmotnosti 2,0 kg, jak klouže po dokonale hladké skluzavce z bodu A do bodu B. Celková dráha, kterou po skluzavce urazí, je 2,0 m. Svislá vzdálenost bodů A a B je 0,80 m. Jakou práci vykoná při pohybu balíčku tíhová síla? ŘEŠENÍ: Dejme tomu, že známe konkrétní tvar skluzavky %'. Počítejme práci tíhové síly podle vztahu (7.31): W — j mg - ár = j(0 • dx + {-mg) d v) = = -mg j dy - -mg(y{ - >■;). Integrál tedy na tvaru slduzavky vůbec nezávisí. Protože je tíhová síla konzervativní, můžeme určit hledanou práci mnohem snadněji. Pro výpočet vybereme jinou 8.3 určení hodnot potenciálni ľnľrgih 173 trajektorii spojující body A a B tak, abychom jej zjednodušili. Zvolme trajektorii složenou ze dvou přímých úseků, které jsou v obr. 8.5b vyznačeny přerušovanou čarou. Podél vodorovného úseku je úhel ip konstantní a je roven 90 . I když neznáme posunutí balíčku ve vodorovném směru, můžeme ze vztahu (7.16) usoudit, že práce tíhové síly po vodorovném úseku je nulová: Wh = mgd cos 90 = 0. Posunutí balíčku podél svislého úseku je d = 0,80 m. Úhel ip mezi vektory d a mg je opět konstantní a roven 0°. Podle (7.16) je tedy práce vykonaná tíhovou silou při pohybu balíčku po svislém úseku Wv = mgdcosQ* = (2.0kg)(9.8m-s-2)(0.80m)(l) = = 15,7 J. Celková práce vykonaná tíhovou silou působící na balíček při jeho pohybu z bodu A do bodu B po cestě vyznačené přerušovanou čarou je tedy W = Wh + Wy = 0 4 15.7.1 = 16 J. (Odpověď) Tato práce je ovšem stejná jako při pohybu balíčku z A do B po skluzavce. (a) (h) Obr. 8.5 Příklad 8.1. (a) Balíček klouže po dokonale hladké skluzavce z bodu a do bodu R. (b) Výpočet práce vykonané při tomto pohybu tíhovou silou je snazší pro případ trajektorie vyznačené přerušovanou čarou než pro skutečnou trajektorii. Výsledky jsou však stejné. J^ONTROLA 1: Obrázek ukazuje tři cesty spojující body A a B. Síla F působící na částici koná při pohybu částice po jednotlivých úsecích práci,jejíž hodnoty jsou v obrázku vyznačeny. Rozhodněte, zda je síla F konzervativní.* * Dokázali byste rozhodnout i v případě, že by údaj u nejníže zakresleného úseku byl —60J? 8.3 URČENÍ HODNOT POTENCIÁLNÍ ENERGIE Uvažujme nyní bodový objekt (třeba meloun), který náleží do soustavy (řekněme meloun+Země), v níž působí konzervativní interakční síly F a — F. Změna potenciální energie soustavy A£p při přechodu z počáteční do koncové konfigurace je rovna záporně vzaté práci, kterou při této změně konfigurace vykonaly interakční síly. Tuto skutečnost jsme již vyjádřili vztahem (8.1) (AEp = — W). Práce, kterou vykonají konzervativní interakční síly uvnitř soustavy přitom závisí pouze na její výchozí a výsledné konfiguraci, nikoli však na způsobu, jakým ke změně konfigurace došlo. V případě částice (meloun), jejíž pohyb neovlivní konfiguraci zbytku soustavy (Země), je konfigurace určena polohovým vektorem r(t) této částice vzhledem k vybranému bodu zbytku soustavy (polohový vektor melounu vůči středu Země). Zrněna potenciální energie soustavy při přesunu částice z polohy r, do polohy řf po křivce <čf je AEp = -W = - J F(r) ■ dr. (8.5) Tento integrál však díky konzervativnosti interakčních sil F(r) a —F(r) nezávisí na tvaru křivky c€ a změna potenciální energie souvisí pouze s polohou jejího počátečního a koncového bodu. Znamená to tedy, že každé konfiguraci soustavy lze přisoudil určitou hodnotu potenciální energie £p? Odpověď je kladná. Velmi často se setkáváme se zvlášť jednoduchými případy soustav, jejichž konfiguraci lze popsat jedinou skalární veličinou, tzv. konfigurační proměnnou. Označme ji pro jednoduchost symbolem x, i když nemusí nutně jít o .v-o vou souřadnici. (V případě soustavy meloun + Země jí může být například vzdálenost melounu od povrchu Země, pro soustavu vzniklou připoutáním tělesa k Zemi pružinou může mít x význam prodloužení pružiny, u soustavy planeta + Země pak význam vzdálenosti středů obou těles, apod.) Závisí-li navíc konzervativní interakční síly F a — F pouze na této jediné proměnné, velmi často se výpočet změny potenciální energie zjednodušuje do tvaru analogického rov. (7.27): A£p = - f ' F(x)dx. (8.6) Tíhová potenciální energie Uvažujme nyní částici o hmotnosti m pohybující se v blízkosti povrchu Země. Soustavu souřadnic zvolme lak, aby osa y směřovala svisle vzhůru. Za konfigurační proměnnou soustavy částice + Země můžeme zvolit y-ovou souřadnici částice. Při pohybu částice z bodu (x\, y\, zú do 174 KAPITOLA 8 POTENCIÁLNÍ ENERGffi A ZÁKON ZACHOVANÍ ENERGIE bodu (jcf, y f, Zí) závisí totiž práce interakčních sil mg a —mg pouze na hodnotách y; a yf (př. 8.1). Odpovídající změnu tíhové potenciální energie soustavy lze tedy určit užitím vztahu (8.6), v němž zaměníme x za y a dosadíme F — —mg. Dostáváme A E a tedy ryt ryt P = - / {-mg) dy = mg / dy Jví Jy\ AEp = mgiyf - >'i) = mgAy. (8.7) Fyzikální význam má pouze změna A Ep tíhové potenciální energie (či potenciální energie jiného typu). Abychom však zjednodušili výpočet i další diskusi, můžeme požadovat, aby s každou konfigurací soustavy byla spojena určitá hodnota potenciální energie. Řekněme, že v případě soustavy částice + Země označíme jako Ep hodnotu tíhové potenciální energie příslušnou té konfiguraci, při které je částice v poloze o souřadnici y. Přepišme vztah (8.7) do tvaru mg(y - }'i). (8.8) Hodnotu Epj pak chápeme jako tíhovou potenciální energii soustavy v tzv. referenční konfiguraci, při níž se částice nachází v referenčním bodč o y-ové souřadnici yt. Obvykle klademe Ep,\ = 0 pro y\ = 0. Podle vztahu (8.8) pak je a tedy £p - 0 = mgiy - 0). Ep(y) = mgy (tíhová potenciální energie). .9) Ze vztahu (8.9) je vidět, že tíhová potenciální energie soustavy částice+Země závisí pouze na svislé poloze y částice vzhledem k referenční poloze o souřadnici y = 0 (tj. na výšce částice nad referenčním bodem). Pružná potenciální energie Zabývejme se nyní soustavou kostka + (pružina) + Země, znázorněnou na obr. 8.3. Tuhost pružiny je k. Za konfigurační proměnnou soustavy zvolíme souřadnici x. Při pohybu kostky z bodu x\ do bodu Xf vykonají interakční pružné síly jistou práci. Odpovídající změna potenciální energie soustavy je opět dána vztahem (8.6), do kterého však tentokrát dosadíme F — —kx, A£n ■ J ' {-kx) áx = k j ' x dx = \k{x2Yl, tj- A£n jkxf o kX: . (8.10) Abychom mohli hovořit o potenciální energii Ep v obecné konfiguraci soustavy určené polohou kostky x, zvolme jako referenční bod rovnovážnou polohu kostky jq = 0 a přisuďme jí nulovou potenciální energii Ep<\ = 0. Ze vztahu (8.10) pak dostaneme 0 = \kx2 0. odkud EJx) (pružná potenciální energie). (8.11) RADY A NAMETY Bod 8.1: Užití pojmu „potenciální energie" Potenciální energie je spojena se soustavou jako celkem. Za jistých okolností ji však můžeme spojovat s některou z částí soustavy. Můžeme třeba říci: „Jablko na stromě má tíhovou potenciální energii 30 J." Taková tvrzení jsou často přijatelná (například u soustav tvořených dvěma částicemi s velmi rozdílnými hmotnostmi). Musíme však mít stále na paměti, že potenciální energie je charakteristikou celé soustavy, v našem případě soustavy jablko+Země. Dále nesmíme zapomínat, že hovořit o potenciální energii objektu či soustavy (v příkladu s jablkem na stromě hodnota 30 J) má smysl jen tehdy, je-li zvolené referenční konfiguraci přisouzena referenční hodnota potenciální energie. PŘIKLAD 8.2 Lenochod o hmotnosti 2,0kg se drží větve, která je 5,0 m vysoko nad zemí (obr. 8.6). (a) Jaká je tíhová potenciální energie Ep soustavy lenochod + +Země, volíme-li za referenční bod místo o souřadnici y = 0, ležící (1) na povrchu Země, (2) na podlaze balkonu, jejíž úroveň je ve výšce 3,0 m nad zemí, (3) na větvi, (4) ve výšce 1,0 m nad větví? Bodu y = 0 přisuzujeme nulovou hodnotu tíhové potenciální energie. ŘEŠENÍ: Pomocí vztahu (8.9) vypočteme Ev pro každou volbu polohy počátku souřadnicové osy y, y — 0. V případě (1) je lenochod v poloze y = 5,0 m a platí Ev = mgy = (2,0kg) • (9,8m-s~2)(5,0m) = = 98 J. (Odpověd) V dalších případech je (2) (3) (4) Ep EP = mgy mgy = mg(2,0m) = 39 J, mg(0) =01, mgy = -20J. : mg(— l,Qm) -19,6 J = (Odpověd) 8.4 ZÁKON ZACHOVÁNÍ MECHANICKÉ ENF.RGIF. 175 (b) Lenochod spadne na zem. Pro každou z předchozích možností volby referenčního bodu určete změnu potenciální energie soustavy lenochod + Země. ke které při pádu lenochoda došlo. ŘEŠENÍ: Ve všech čtyřech situacíchje Ay = — 5,0 m, takže pro každou z nich podle (8.7) platí A£p = mgAy = (2,0kg)(9,Sms~ = -98J. )(-5,0m) = (Odpověď) I když hodnota Ep závisí na volbě polohy počátku soustavy souřadnic, je změna potenciální energie na ní nezávislá. Připomeňme, že fyzikální význam má pouze změna A £p potenciální energie, nikoli samotná hodnota Ep, která je závislá na libovůli při volbě referenční konfigurace. (I) (2) (3) (4) Obr. 8.6 Příklad 8.2. Čtyři možností volby referenčního bodu y = = 0. Osa y je ve všech případech cejchována v metrech. I^O.NTROI A 2: Částice se pohybuje po ose x z bodu x — Odo bodu jq. Působí na ni konzervativní síla, která má směr osy x. Obrázek ukazuje tři případy závislosti této síly na souřadnici x. Uspořádejte tyto situace sestupně podle odpovídající změny potenciální energie. (1) (2) 8.4 ZÁKON ZACHOVANÍ MECHANICKÉ ENERGIE Mechanická energie E soustavy je definována jako součet její potenciální energie Ep a celkové kinetické energie Ejj všech jejích objektů: E — Ep + £jc (mechanická energie). (8.12) V tomto článku se budeme zabývat otázkou, co se děje s mechanickou energií soustavy, ve které působí výhradně konzervativní interakční síly. (Teprve později budeme uvažoval o vlivu sil nekonzervativních.) Uvažujme nyní soustavu částic, které neinteragují s okolními objekty (tzv. izolovaná soustava). Práce W, kterou konají konzervativní interakční síly, jimiž na sebe navzájem působí částice soustavy, určuje změnu kinetické energie soustavy. Současně ji však lze vyjádřit jako záporně vzatou změnu energie potenciální. Kinetická energie soustavy se tedy mění na úkor její energie potenciální. Skutečně, podle vztahu (7.4) je změna kinetické energie AEk = W (8.13) a pro změnu potenciální energie platí podle (8.1) W. (8.14) Kombinací posledních dvou vztahů dostáváme A£k = -AEp. (8.15) Jinými slovy, vzrůst jedné z obou forem energie je přesně vyvážen poklesem druhé. Vztah (8.15) lze přepsat takto: Ek.2 - £k,i = ~(Ep £p.i). (8.16) kde se indexy 1 a 2 vztahují ke dvěma různým okamžikům, tj. ke dvěma různým konfiguracím soustavy. Úpravou (8.16) dostaneme Ek.2 + Ep.2 = Evi + E (zákon zachování pl mechanické energie). (8.17) 176 KAPITOLA 8 POTENCIÁLNÍ ENĽRGIĽ A ZÁKON ZACHOVÁNÍ ENERGIE Levá a pravá strana rovnosti (8.17) představují mechanickou energii v různých okamžicích, a ledy ve dvou různých konfiguracích soustavy. Vztah (8.17) vyjadřuje rovnost obou hodnot: Působí-li v izolované soustavě pouze konzervativní interakční síly. mění se její kinetická a potenciální energie tak, že jejich součet, tj. mechanická energie soustavy, je stálý. Kdysi sc eskymáci z Aljašky nechali vyhazovat do vzduchu napnutou plachtou, aby po širé pláni dohlédli co nejdále. Dnes se to dělá jen pro zábavu. Všimněme si však, co se při lakovém pohybu (viz fotografie) děje z fyzikálního hlediska. Při vzestupu klesá kinetická energie dítěte vzhledem k Zemi a roste tíhová potenciální energie soustavy dítě + Země. Maximální výška výstupu odpovídá situaci, kdy je kinetická energie nulová. Během pádu se sled energiových změn obrací: kinetická energie roste na úkor energie potenciální. Tento výsledek vyjadřuje zákon zachování mechanické energie. (Z toho vidíme, jak vznikl termín „konzervativní" síla: uchovává (lat. conservare) energii.) Pomocí vztahu (8.15) můžeme zákon zachování mechanické energie ještě přepsat ve tvaru A£ = A£k + AEp = 0, (8.18) Tento zákon umožňuje řešit problémy, jejichž řešení pomocí samotných Newtonových zákonů by bylo obtížné: Zachovává-li se mechanická energie soustavy, můžeme porovnávat součet celkové kinetické a potenciální energie v různých okamžicích, aniž bychom uvažovali o pohybu soustavy v intervalu mezi těmito okamžiky a počítali práci interakčních sil částic soustavy. Obr. 8.7 znázorňuje případ, kdy je vhodné zákon zachování mechanické energie použít: kmity kyvadla v tíhovém poli Země. Při kmitavém pohybu kyvadla se mění kinetická i potenciální energie soustavy ky vadlo+Země tak, že součet Ek + Ep je konstantní. Známe-li tíhovou potenciální energii soustavy v konfiguraci, kdy je kulička kyvadla v nejvyšším bodě své trajektorie (obr. 8.7c, g), můžeme určit kinetickou energii kuličky (vzhledem k Zemi) v nejnižším bodě (obr. 8.7a, c) užitím vztahu (8.17). Zvolme například konfiguraci, při níž je kulička v nej-nižší poloze, za referenční a přisuďme jí potenciální energii Ep.2 = 0. Předpokládejme, že při této volbě referenční konfigurace odpovídá nej vyšší poloze kuličky potenciální energie £p. i = 20 J. Kulička má v nejvyšším bodě nulovou rychlost, takže její kinetická energie je = 0. Dosazením těchto hodnot do vztahu (8.17) zjistíme kinetickou energii £^,2 v nejnižším bodě: Eko +0 = 0 + 20J, tj. Ek.2=20J. Všimněte si, že tento výsledek jsme získali, aniž bychom se zajímali o pohyb kyvadla mezi nejnižším a nejvyšším bodem (např. obr. 8.7d) a aniž bychom museli počítat práci sil působících na tělesa soustavy. J^ONTROLA 3: Následující obrázek ukazuje čtyři situace. V prvé z nich kostka, která byla zpočátku v klidu, volně padá a v ostatních třech sjíždí po dokonale hladké skluzavce. Uspořádejte tyto situace sestupně podle (a) hodnoty kinetické energie kostky v bodě B a podle (b) velikosti rychlosti kostky v bodě B. PŘÍKLAD 8.3 Na obr. 8.8 sc dítě spouští z vrcholu vodní skluzavky. Dítě je zpočátku v klidu a nejvyšší bod skluzavky je ve výšce h = 8,5 m nad jejím ústím do bazénu. Předpokládejme, že 8.4 zákon zachování mechanické enf.rgie 177 v = +v„ Obr. 8.7 Kyvadlo, jehož hmot-noslje soustředěna v kuličce upevněné na konci vlákna, koná kmitavý pohyb. Obrázek zachycuje jednu periodu tohoto pohybu. Během periody sc hodnoty kinetické i potenciální energie soustavy kyvadlo + Země spojitě mění, ale její celková mechanická energie zůstává zachována. Pro názornost můžeme použít i takovou představu, že se celková energie E spojitě ..přelévá" z jedné formy v druhou (potenciální v kinetickou a naopak). Vc stavech (a) a (e) je celková energie dána pouze energií kinetickou. Kulička je v nejnižším bodě a má největší rychlost. Ve stavech (c) a (g) je naopak celková energie rovna energii potenciální, neboť kulička je v nejvyšším bodě a její rychlost je v tom okamžiku nulová. V případech (b), (d), (f) a (h) tvoří jak kinetická, tak potenciální energie právě polovinu energie celkové. Pokud by se při kmitech kyvadla uplatňovaly třecí síly v závěsu nebo odporová síla vzduchu, energie E by se nezachovávala a kyvadlo by se nakonec zastavilo. v = 0 0?) V ■■ mm H H (ŕ) fík; ■ £p fc'k (a) V — Vmax (b) v m m uh v = 0 E„ E\ p Ľk (C) skluzavka je dokonale hladká díky proudu vody, který po ní stéká. Určete, s jakou rychlostí dítě vklouzne do bazénu. Obr. 8.8 Příklad 8.3. Dítě sjíždí po vodní skluzavce z výšky h. ŘEŠENÍ: Pokud bychom chtěli tuto úlohu řešit pouze na základě znalostí z kap. 2 až kap. 6, museli bychom obecně pracoval s neznámým vyjádřením tvaru skluzavky a k výsledku, který jc na tvaru skluzavky nezávislý, bychom nakonec dospěli po zbytečných výpočtech. Užitím závěrů kap. 7 a kap. 8 ji však vyřešíme snadno. Nejprve si uvědomme, že zanedbáváme třecí sílu. Jedinou silou, kterou na dítě působí skluzavka, je tedy normálová (tlaková) síla, která je neustále kolmá k povrchu skluzavky. Dítě se ovšem pohybuje podél skluzavky. Normálová síla je proto stále kolmá k vektoru posunutí a nekoná práci. Při pohybu dítěte po skluzavce konají práci pouze tíhové síly, které jsou konzervativní. Mechanická energie soustavy dítě + Země se tedy při jízdě dítěte po skluzavce zachovává. Její hodnota EL\ v okamžiku, kdy je dítě v dolním bodě 178 KAPITOLA 8 POTENCIÁLNÍ ENERGIE A ZÁKON ZACHOVÁNÍ ENERGIE skluzavky, je stejná jako hodnota £v v okamžiku, kdy je na vrcholu, tj. Ei = Ev. Vyjádííme-li tuto skutečnost pomocí vztahu (8.17), dostaneme £p.d — Efc,v "T" £ p.v. imud + mgyd = imvv + mgy\. Po vydělení léto rovnice hmotností m a úpravě máme vd = L'v + 2^vVv - Vd) a po dosazení vv = 0 a vv — >'d = h dostaneme vA = Jlgh = v/2(9,8m-s 2)(8,5m) = = 13 m-s~'. (Odpověď) Stejně velké rychlosti by dítě dosáhlo, kdyby z výšky 8,5 m spadlo. Na skutečné skluzavce se však přece jen nějaké třecí síly uplatňují, takže rychlost dítěte nebude tak velká. Již jsme se zmínili, že řešení tohoto problému pomocí Newtonových zákonů by sice bylo možné, ale zbytečně zdlouhavé. Užitím zákona zachování mechanické energie jsme je získali velmi jednoduše. Kdybychom se však zajímali o to, za jak dlouho dítě po skluzavce sjede, pak by nás „energiová metoda" k výsledku nepřivedla. Abychom dobu jízdy zjistili, museli bychom znát tvar skluzavky a provést poměrně složitý výpočet. ľ-iUKLv:: J-:...i Pružina nabité vzduchovky je oproli výchozímu nenapjatému stavu stlačena o délku d = 3,2 cm. Náboj má hmotnost = 12g. S jakou rychlostí opustí náboj po výstřelu hlaveň? Tuhost pružiny je k = 7,5 N-cm_l. Předpokládejme, žc hlaveň je při výstřelu vodorovná, tření při pohybu náboje je zanedbatelné a že po výstřelu zůstane pružina v nenapjatčm stavu. ŘEŠENÍ: Označme E\ mechanickou energii soustavy náboj + puška v počátečním stavu (před výstřelem) a E% její mechanickou energii v koncovém stavu (poté, co náboj opustil hlaveň). V počátečním stavu je mechanická energie dána pouze potenciální energií stlačené pružiny Ep\ = jkd2, v koncovém stavu pak pouze kinetickou energií náboje Ek,f = \iiiv1. Poněvadž se mechanická energie soustavy zachovává, platí Ei = Ef, Ep,i + £k,i = EP,f + Ek.f, a tedy \kd2 +0 = 0+ jmir Řešením této rovnice vzhledem k neznámé v dostáváme (750 N-m-') - (0,032 m) V m y (12-10-3 kg) 8,0 m-s" (Odpověď) Vyznavač bungee-jumpingu sc chystá ke skoku z mostu vysokého 45,0 m. Jeho hmotnost je m = 61,0 kg a pružné lano, které hodlá použít, má v nenapjalém stavu délku L = 25,0 m. Předpokládejme, že se lano řídí Hookovým zákonem* a jeho tuhost je 160N-m_i. Tělo skokana považujeme při pohybu za bodový objekt. (a) Jaká je výška chodidel skokana nad hladinou řeky, tekoucí pod mostem, v okamžiku, kdy se jeho let zastaví v dolním bodě obratu? I Obr. 8.9 Příklad 8.5. Skokan bungee-jumpingu v dolním bodě obratu. ŘEŠENÍ: V souhlasu s obr. 8.9 označme d prodloužení lana v okamžiku dosažení bodu obratu. Změna tíhové potenciální energie soustavy skokan + Země vzhledem k počátečnímu stavu, kdy skokan stál na mostě, je A E p.g mgAy = —mg(L + d). Změna pružné potenciální energie je A£p.p = Ud2. Počátečnímu stavu i bodu obratu přísluší nulová kinetická energie. * Ve skutečnosti se guma chová mnohem složitěji. Nesvěřujte svůj život první aproximaci. 8.5 interpretace křivky potenciální energie 179 RADY A NÁMĚTY Bod 8.2: Zachovám mechanické energie Při řešení úloh pomocí zákona zachování mechanické energie si vždy položme následující otázky: Jak je definována soustava, na kterou hodláme zákon zachování mechanické energie aplikovat? Je třeba, abychom uměli vymezit soustavu a její okolí. Představme si vždy uzavřenou plochu zakreslenou tak, že všechno, co je uvnitř, patří do naší soustavy, zatímco všechno ostatní náleží jejímu okolí. V př. 8.3 tvoří soustavu dítě + Země. V př. 8.4 je to dvojice náboj + puška. V př. 8.5 pak skokan + (lano) + Země. Jsou ve hře třecí nebo odporové síly? Působí-li uvnitř soustavy třecí nebo odporové síly, její mechanická energie se nezachovává. Platí pro naši soustavu zákon zachování mechanické energie? Zákon zachování mechanické energie platí především pro izolované soustavy, ij. v situacích, kdy na objekty soustavy nepůsobí žádné vnější síly (částice soustavy neintera- Užitím (8.18) dostáváme pro soustavu skokan + Země vztahy AEk + A£p,p + A£p,g = 0, 0+ \kd2 - mg(L+d) = 0, \kd2 — mgL — mgd = 0. Dosazením zadaných údajů pak získáme kvadratickou rovnici i(160N-m ,)d2 - (61,0kg)(9,8m-s_2)(25,0m)-- (61,0kg)(9,8m-s-2)rf = 0. Jejím řešením dostaneme d - 17,9 m. (Druhý kořen rovnice je záporný a pro naši úlohu nemá význam.) Chodidla skokana tedy budou v hloubce (L + d) = = 42,9 m pod úrovní mostu, a tedy h = 45.0m - 42.9m = 2,1 m. (Odpoveď) Velmi vysoký skokan by se tedy mohl i namočit.* (b) Jaká je výsledná síla působící na skokana v nejnižším bodě? (Je nulová?) ŘEŠENÍ: Na skokana působí směrem dolů lihová síla mg o velikosti mg = 597,8 N a směrem vzhůru pružná síla, jejíž velikost v bodě obratu je podle Hookova zákona rovna * V případě, že výšku skokana / nepovažujeme za zanedbatelnou, měli bychom výpočet zpřesnit. Hmotný bod, kterým skokana nahrazujeme při použití zákona zachování mechanické energie, umístíme do jeho těžiště, které leží zhruba v polovině jeho výšky. Za předpokladu, že před seskokem odvážlivec na mostě stojí a v bodě obratu naopak visí na laně podle obr. 8.9, je Ay = — (L+d+l). V kvadratické rovnici pro neznámou veličinu d je pak třeba zaměnil člen —mgL za — mg(L+l), Proveďte tuto záměnu a rovnici vyřešte. Vezměte v úvahu přesnost zadání výchozích hodnot a posuďte, má-li toto zpřesnění vliv na výsledek. gují s jejím okolím). Pro soustavy neizolované jej lze použít ve speciálních případech, kdy vnější síly nekonají práci. Kdybychom třeba v př. 8.4 zvolili jako zkoumanou soustavu samotný náboj, nebylo by možné zákona zachování mechanické energie použít. Na náboj totiž působí pružná síla, která koná práci. Jeho mechanická energie, která jc shodná s jeho energií kinetickou, se nezachovává. Jaký je počáteční a koncový stav soustavy? Stav soustavy se s časem mění. Z jistého počátečního stavu (či konfigurace) dospěje soustava do stavu koncového. Při aplikaci zákona zachování mechanické energie obvykle využíváme skutečnosti, že mechanická energie má v obou těchto stavech stejnou hodnotu ŕ,'. Je však třeba si předem ujasnit, jak jsou tyto dva stavy definovány. 8.5 INTERPRETACE KŘIVKY POTENCIÁLNÍ ENERGIE Vraťme se k problematice izolované soustavy, v níž působí konzervativní interakční síly. Mechanická energie takové soustavy, daná součtem její celkové kinetické energie a všech typů její energie potenciální, se zachovává. Uvažujme velmi speciální situaci, kdy hmotnost jedné z částic soustavy je velmi malá ve srovnání s celkovou hmotností ostatních objektů, jako např. u soustavy typu jablko+Země. V tomto přiblížení (čl. 8.1) je změna kinetické energie soustavy dána změnou kinetické energie uvažované částice, tj. prací konzervativních sil působících na částici. Předpokládejme dále, že pohyb částice je vázán na osu .v. V uvedeném přiblížení lze vyjádřit potenciální energii soustavy £p(.\') jako funkci polohy částice x, která tak hraje roli konfigurační proměnné. Ukazuje se, že celou řadu informací F = kd = (160N-m_,)(17,9m) = 2 864N. Celková síla má velikost 2 864 N — 597.8 N = 2 270 N. (Odpověď) Výsledná síla, která působí na skokana v nejnižším bodě jeho trajektorie, je tedy v porovnání s jeho váhou téměř čtyřnásobná. Umíte si jistě představitjak to s ním „trhne" vzhůru. 180 kapitola 8 potenciální energie a zákon zachování energie o pohybu částice lze získat již z průběhu křivky Ep (x). Než se však do takové diskuse pustíme, potřebujeme ještě další vztahy. Analytické vyjádření síly Vztah (8.6) umožňuje vyjádřit potenciální energii v jednorozměrné situaci, známe-li sílu F(x). Uvažujme však opačný problém. Předpokládejme, že známe průběh potenciální energie Ev(x) a potřebujeme vyjádřit sílu. Síla F (x), působící na částici pohybující se podél osy x, vykoná při jejím posunutí o Ax práci W = F(x)Ax. Podle rov. (8.1) je A£p(x) = -W = -F(x)Ax. Vyjádříme F(x) a provedeme limitní přechod Ax —» 0. Dostaneme d£pU) F(x) =--(jednorozměrný pohyb). (8.19) djt Tento výsledek můžeme ověřit například pro pružnou potenciální energii Ep(x) — ifoc2. Podle očekávání dostaneme ze vztahu (8.19) výraz pro pružnou sílu F(x) = —kx, tj. Hookův zákon. Podobně pro tíhovou potenciální energii Ep(x) = mgx částice o hmotnosti m ve výšce x nad zemským povrchem dostaneme z (8.19) tíhovou sílu F{x) = —mg působící na částici. Předpokládejme, že hodnota E (mějme na paměti, že je konstantní) činí 5,0 J. Tato hodnota je vyznačena vodorovnou přímkou, která prochází značkou 5,0 J na energiové ose (obr. 8.10a). Ep (J), E (J) /-Ev(x) - ■ f bod obratu / r E = 5,0 J 5 J v bodě $2 < - 1 J pro .V > A; \ xi 2 Xi XA Xf, (a) E (n) / \ / \ / \ /1 \ X ] X2\ j A'_l A'A / (b) Ep (J). £ (J) Křivka potenciální energie Na obr. 8.10a vidíme graf závislosti potenciální energie Ep(x) na poloze částice, která koná jednorozměrný pohyb, při kterém na ni působí konzervativní síla F(x) (resp. konzervativní síly, jejichž výslednice jc F(x)). Průběh síly F(x) můžeme snadno určit graficky tak, že budeme zjišťovat směrnici křivky Ep(x) v jejích různých bodech (vztah (8.19)). Na obr. 8.10b je graf funkce F(x) získaný právě lakovým způsobem. Body obratu Nepůsobí-li v izolované soustavě nckonzervativní síly, její mechanická energie E se zachovává: £p(.r) + £k(.v) = £. (8.20) Funkce £kU") popisuje závislost kinetické energie částice na její poloze x. Vztah (8.20) můžeme přepsat do tvaru Ek(x) = E - Ep(x). (8.21) x X| X2 A'3 A'4 Xf, (C) Obr. 8.10 (a) Graf závislosti potenciální energie Ev(x) soustavy na poloze částice, která se pohybuje po ose x. Částice náleží do soustavy. Nepůsobí-li v soustavě třecí síly, zachovává se její mechanická energie, (b) Graf závislosti síly F(x), působící na částici, na její poloze. Graf je konstruován z hodnot směrnic tečen ke křivce Ev(x) v různých bodech, (c) Graf Ep(x:) s vyznačením tří různých hodnot energií E. Rovnice (8.21) dává návod, jak určit kinetickou energii částice v poloze x: na křivce Ep(x) najdeme hodnotu Ep odpovídající této poloze a odečteme ji od E. Je-li částice např. 8.5 interpretace křivky potenciální energie 181 v kterémkoli bodě vpravo od x$, je Ej; = 1,0 J. Nej vyšší hodnoty (5 J) nabývá E^, je-li částice v bodě X2 a ncjnižší (OJ), je-li v bodě x\. Protože kinetická energie nemůže být záporná (hodnota v1 je vždy kladná), nemůže se částice nikdy ocitnout vlevo od bodu x\ (v této oblasti poloh by byl rozdíl E — Ep záporný). Blíží-li se částice k bodu x\, její kinetická energie klesá, částice se zpomaluje. Při Ey = Oje její rychlost nulová. Všimněme si, že v okamžiku, kdy částice dosáhne bodu X], působí na ni síla, daná vztahem (8.19). Tato síla míří ve směru kladné osy x (směrnice dEp/áx jc záporná). To znamená, že částice nezůstane v klidu v bodě x\, ale začne se pohybovat doprava, tj. opačným směrem. Polohu x\ proto nazveme bodem obratu, tj. místem, kde kinetická energie částice nabývá nulové hodnoty a směr jejího pohybu se obrací. Vpravo od bodu x\ již žádný bod obratu není. Pohyb částice směrem vpravo bude pokračovat donekonečna. Rovnovážné konfigurace V grafu potenciální energie Ep(x) na obr. 8.10c jsou vyznačeny tři další hodnoty mechanické energie E. Všimněme si podrobněji jednotlivých situací, abychom zjistili, jaký vliv má volba hodnoty E na pohyb částice. Je-li E = 4,0 J (fialová čára), posune se bod obratu z polohy x\ do nové polohy, která leží mezi x\ a xi. Dále vidíme, že v každém bodě ležícím napravo od xs je potenciální energie konstantní a její hodnota splývá s hodnotou energie mechanické. Kinetická energie částice je nulová, stejně jako síla F(x). Částice setrvává v klidu. V takovém případě hovoříme o volné (neboli indiferentní) rovnovážné poloze. Příkladem je kulička ležící na vodorovném stole. Pro E — 3,0 J (růžová čára) existují dva body obratu. Jeden z nich leží mezi x j &x%, druhý mezi x4 a X5. V bodě x 3 je navíc E^ = 0. Nachází-Ii se částice právě v tomto bodě, je F{x) = 0 a částice setrvává v klidu. Při sebemenším vysunutí částice z této polohy na kteroukoli stranu (například působením náhodných vlivů) však vznikne nenulová síla F(x) ve směru původní náhodné výchylky a částice se začne pohybovat. Takovou polohu proto nazýváme vratkou (neboli labilní) rovnovážnou polohou. Ve vratké rovnovážné poloze je například malá kulička položená na vrch velké kulečníkové koule. Nakonec uvažujme chování částice při hodnotě E = = 1,0 J (zelená čára). Vložíme-li částici do polohy x\, částice v ní setrvá a sama od sebe se z ní nemůže vychýlit V žádném směru. Všem bodům v blízkém okolí X4 by totiž odpovídala záporná kinetická energie. Vysuneme-li částici / polohy X4 vlevo či vpravo, začne na ni působit vratná síla a částice sc bude pohybovat zpět k bodu x4. Hovoříme o tzv. stálé (neboli stabilní) rovnovážné poloze. Příkladem může být kulička na dně duté polokoule. Částice na dně potenciálové jámy tvaru „poháru" s minimem v bodě x2 se bude pohybovat v rozme/.í bodů obratu ležících někde mezi xi a x\, resp. x2 ax$. JCONTROLA 4: Na obrázku je křivka potenciální energie Ep(x) pro případ jednorozměrného pohybu částice, (a) Uspořádejte úseky AB, BC a CD sestupně podle velikosti síly působící na částici, (b) Jaký směr má síla působící na částici v úseku A 5? -i 3 C D -Jí' Mechanická energie dvoučásticové soustavy V tomto odstavci sc přesnějšími úvahami vracíme k problematice zákona zachování mechanické energie dvoučástico-vých izolovaných soustav s konzervativní interakcí a k podrobnější diskusi o oprávněnosti přiblížení, jichž jsme používali u soustav typu těleso + Země, charakterizovaných velmi malou hodnotou poměru hmotností m/M. Uvažujme tedy libovolnou izolovanou soustavu složenou ze dvou těles o hmotnostech m a M, která na sebe navzájem působí interakčními (vnitřními, interními) silami jakékoli povahy. Nechť FjrU je síla, jíž působí těleso M na m a —Fint označuje působení tělesa m na M. Při změnách konfigurace soustavy konají obě tyto síly práci. Práce síly Fint je podle vztahu (7.4) rovna změně kinetické energie tělesa m, zatímco práce síly —Fint určuje změnu kinetické energie tělesa M. Celková práce interakčních sil W-mt ledy představuje změnu kinetické energie soustavy vzhledem k libovolně zvolené inerciální vztažné soustavě. Předpokládejme nejprve pro jednoduchost, že jiné interakční síly než Fjnt a —Fjnt v naší soustavě nepůsobí, a označme zrychlení těles m a M jako a„, a om- Platí mam = Fjnt M a Odtud mam + Mom = O. Označíme-li Avm a Avm změny rychlosti těles m a M při určité změně konfigurace soustavy, vidíme, že mAvm + MAvM = 0 182 kapitola 8 potenciální energie a zákon zachování energie a veličina Veličina p = mvm + MvM, zvaná hybnost soustavy, se tedy zachovává. Tato skutečnost umožňuje zvolit pro řešení našeho problému takovou inerciální vztažnou soustavu* S?, ve které je p = 0. Opravdu, pokud bychom jako v,„ a v m označili rychlosti těles m a M vzhledem k inerciální vztažné soustavě 5?', na jejíž konkrétní volbu jsme nekladli žádné požadavky, bude celková hybnost soustavy lěles nulová v každé vztažné soustavě , která se vůči J5" pohybuje rychlostí mvm + M.Vf, m + M Tato rychlost bude konstantní, neboť celková hybnost p0 izolované soustavy dvou těles se zachovává. Rychlosti těles v nové vztažné soustavě jsou vm = vm — vq a vm = v m — vq. Platí p = mvm + MvM = m(v,„ -v0) + M(Vm - vo) = + M = m I v„,---- I + M I v u m + M m + M (mv,n + Mvm - mv,„ - MvM) m + M M H--—{mVM + Mvm - mvm - Mvm) = m + M mM _ _ mM _ _ ——-(ym - vM) H--—-(vm - vm) = 0. m + M m + M Rychlosti vm a vm nyní vyjádříme pomocí rychlosti v tělesa m vzhledem k tělesu M, v = vm - vm. Ve vztažné soustavě 5? platí mvm + Mvm = 0. Řešením posledních dvou rovnic vzhledem k neznámým a vM dostaneme Mv m + M mv vm = m + M Celková kinetická energie soustavy těles měřená vzhledem k.9' je pak Ek = \mv;t + \Mv2u = _ 1 m(Mvý 1 M(-mv)2 _ I mM 2 ~ 2 (m + M)1 + 2 (m + M)2 ~ 2 m + M " ' * Nazývá se těžišťová, protože vůči ní je v klidu těžiště soustavy; to však zavedeme až v čl. 9.2. Srovnej př. 9.10. m M '"reci M charakterizuje soustavu jako celek a nazývá se redukovaná hmotnost soustavy. Změna kinetické energie naší soustavy při změně její konfigurace je určena celkovou prací Wm interakčních sil Fjnt a — Flnt, tj. TmredA(ľ ) Win Tento závěr je platný bez ohledu na povahu interakčních sil. Pohybuje-li se během změny konfigurace soustavy tčlcso m po křivce %n a těleso M po křivce platí Wir J Fint ■ drm + j — Fint ' Označíme-li jako r = rm — fm vektor, který udává polohu tělesa m vzhledem k M a určuje tedy konfiguraci soustavy, dostaneme VFir dr, kde "íř je křivka, po které se pohybuje těleso m vzhledem k M. (Pro lepší pochopení předchozího výpočtu se vraťte k poznámce o křivkových integrálech v čl. 7.5.) Jsou-li však síly Fmt a —Fnt konzervativní, lze jejich práci IPjnt zapsat jako záporně vzatou změnu odpovídajícího typu potenciální energie soustavy: -AEn Dostáváme tak zákon zachování mechanické energie dvou-částicové izolované soustavy ve tvaru 1 mM 2 m + M A(v2) + A£p = 0. Působí-li v soustavě více typů konzervativních interakčních sil, je třeba náš výsledek zobecnit: 1 mM 2 m + M A(f2) + A£p., + A£p.2 + ... = 0. Vyjádření zákona zachování mechanické energie lze zobecnit i na vícečásticové soustavy. Pojem redukované hmotnosti, který je velmi užitečný při praktických výpočtech u dvoučásticových soustav, však nemá analogii u soustav vícečásticových. 8.6 PRÁCE VNĚJŠÍCH A NEKONZERVATIVNÍCH SIL 183 Mechanická energie dvoučásticové (resp. vícečásticové) izolované soustavy, v níž působí pouze konzervativní interakční síly, je definována jako součet kinetických energií obou (všech) částic a všech typů potenciální energie soustavy, příslušejících jednotlivým dvojicím konzervativních interakčních sil. Při změnách konfigurace soustavy se mechanická energie nemění. S pojmem redukované hmotnosti je užitečné se vrátit k úvahám o přiblíženích, o nichž jsme se již předběžně zmínili v článku 8.1 při rozboru energiové bilance soustav typu těleso + Země. Tyto soustavy se vyznačují mizivou hodnotou poměru m/M. Upravme výraz pro redukovanou hmotnost na tvar: m M m ľľlreá = - = -77T- m + M 1 + f Z tohoto vyjádření je ihned patrný vliv podílu m j M na odchylku redukované hmotnosti soustavy od hmotnosti tělesa m. Veličina x = ^ je velmi malá, takže v rozvoji funkce - = 1 - x + x1 - ... 1 +x lze členy s vyššími mocninami proměnné x zanedbat. Pro redukovanou hmotnost dvoučásticové soustavy pak dostáváme V M ' Náhradou redukované hmotnosti hmotností méně hmotného tělesa se tedy při výpočtu kinetické energie soustavy dopouštíme relativní chyby m/M. Tato hodnota například pro soustavu tvořenou tělesem o hmotnosti m = 5 kg a Zemí, jejíž hmotnost je M — 6T024 kg, je zhruba 10 24. Namísto o celkové kinetické energii soustavy těleso + Země pak můžeme hovořit o kinetické energii tělesa vzhledem k Zemi (kap. 7). Na závěr toho odstavce si uvědomme ještě jeden aspekt pojmu redukovaná hmotnost. Pozorovatel spojený s tělesem M a sledující pohyb částice m nemůže pro tuto částici přímo použít druhý Newtonův zákon, neboť vztažná soustava spojená s M je neinerciální (na těleso M působí síla —Fint)- Pomocí druhého Newtonova zákona lze však vyjádřit zrychlení am a o,v/ (viz výše) a určit zrychlení a částice m vzhledem k vztažné soustavě spojené s M: Fnt (— Fint) a — a,„ - a m =---—— = m M _ ( 1 1 \ 1 — I f" TT I Fint — -Fint, \m M J řWred odkud ttlred O = Fni. Tento vztah má formálně tvar zápisu druhého Newtonova zákona pro částici o hmotnosti mrec\, na kterou působí síla Fjnt. Neinerciálnost vztažné soustavy spojené s tělesem M, způsobenou přítomností tělesa m, lze tedy při formulaci pohybového zákona pro těleso m „vykompenzovat" záměnou jeho skutečné hmotnosti redukovanou hmotností soustavy. Víme již, že relativní chyba, které se dopustíme zanedbáním této neinerciálnosti a dosazením mred % m, je řádu m/M. Je-li v roli tělesa M Země, je tato nepřesnost opět zcela neměřitelná. Je zřejmé, že neinerciálnost laboratorní vztažné soustavy, spojené s povrchem Země, je v daleko větší míře způsobena pohybem Země kolem Slunce a především její vlastní rotací (pozn. pod čarou u čl. 5.2). 8.6 PRÁCE VNĚJŠÍCH A NEKONZERVATIVNÍCH SIL Působí-li v izolované soustavě pouze konzervativní interakční síly, je její mechanická energie konstantní. Jsou-li však interakční síly v soustavě nekonzervativní, nebo působí-li na částice soustavy vnější síly, které konají nenulovou práci, nebude se mechanická energie soustavy zachovávat. V takových případech nemůžeme použít vztahů (8.17) a (8.18). Co potom můžeme říci o změnách energie soustavy? Abychom na tuto otázku odpověděli, všimneme si odděleně obou situací, v nichž se mechanická energie soustavy nezachovává. Zvláštní pozornost budeme věnovat případu, kdy v soustavě působí třecí síly. Práce nekonzervativních interakčních sil Představme si, že zvedáme kuželkovou kouli svisle vzhůru. Soustavu koule+člověk+Země můžeme opět považovat za izolovanou. Můžeme si představit, že koule a Země takto interagují prostřednictvím vazby, kterou zajišťuje člověk. Púsobí-li člověk na kouli silou Fjnt, změní se tlaková síla, jíž působí na podložku pod svýma nohama, o vektor —Fint- Obě tylo síly jsou vnitřními silami soustavy. Při zvedání koule dochází ke změnám konfigurace soustavy. Tíhové síly při tom vykonají práci Wo, která určuje změnu tíhové potenciální energie soustavy A£p,c, = — Wg. Celkovou práci obou sil F;nt i —F;nt označme Wint. Pokud tyto síly nejsou konzervativní, nelze jim přisoudit potenciální energii. Víme, že mechanická energie soustavy je součtem kinetických energií všech objektů a všech druhů potenciální energie příslušných konzervativním interakčním silám. Mechanická energie naší soustavy je tedy součtem její tíhové potenciální energie a kinetických energií koule a zbytku soustavy. Ukážeme, že se nebude zachovávat, ale bude se měnit právě na úkor práce nekonzervativních sil 184 kapitola 8 potenciální energie a zákon zachování energie Fjnt a —Fint: vzhledem k zanedbatelnému poměru hmotnosti koule a zbytku soustavy je změna kinetické energie soustavy při zvedání koule dána změnou kinetické energie koule samotné. Ze zkušenosti víme, že kouli můžeme v rámci tohoto experimentu považovat za bodový objekt. Užitím vztahu (7.15) mezi prací a kinetickou energií dostaneme změnu kinetické energie koule: A£k = Wint + Wg. Tíhová síla je konzervativní, a tak můžeme práci Wg zapsat pomocí odpovídající změny tíhové potenciální energie soustavy koule + člověk + Země: W„ ■AE- Dosazením za Ws do rov. (8.22) dostaneme A£k + AE p.g Wř, (8.22) .23) Levá strana této rovnice představuje změnu AE mechanické energie soustavy koule + člověk + Země. Vlivem ne-konzervativních interakčních sil v soustavě se tedy obecně mění mechanická energie soustavy. Práce vnější síly Stejně jako v předchozím odstavci uvažujme i nyní soustavu koule + Zcmč. Místo člověka, který byl součástí soustavy a působil na kouli silou F-mt, bude však na kouli působit jiné těleso, které do soustavy nepatří (je součástí jejího okolí). Soustava koule + Země tedy nebude izolovaná a o síle Fext, kterou působí na kouli vnější těleso, budeme hovořit jako o síle vnější (externí). Označme Wcxt práci, kterou tato síla koná při změnách vzdálenosti koule od povrchu Země. Podle (7.15) opět platí AEk= We Wa. Užitím (8.22) dostaneme a nakonec AEk = Wax - A£p.g A E = We (8.24) Vidíme, že změna mechanické energie neizolované soustavy, v níž působí pouze konzervativní interakční síly, je rovna práci vykonané vnějšími silami. Získané závěry lze zobecnit i pro soustavy, které nej sou izolované a v nichž působí jak konzervativní, tak nekon-zervativní interakční síly: Změna mechanické energie soustavy je rovna celkové práci nekonzervativních interakčních sil soustavy a vnějších sil, jimiž na objekty soustavy působí její okolí. Platí A E = Wml + Ww .25) Tento vztah platí pro libovolnou soustavu, ať již je tvořena jediným objektem jako v kap. 7, nebo dvěma (či více) objekty, jako například u soustavy koule + Země. jíž jsme se zabývali před chvílí. Práce třecí síly Kostka o hmotnosti m na obr. 8.11 klouže po podlaze, která není dokonale hladká. Počáteční rychlost kostky má velikost vq. Vlivem dynamické třecí síly F i«Ce + 94Zr+n + n je neutron (n) zachycen jádrem uranu (- U). Vznikne nestabilní jádro, kterč sc rozštěpí na dvě menší jádra (140Ce a Zr) za současného uvolnění dvou neutronů. Hmotnosti zúčastněných elementů jsou hmotnost (235U) = 235,04 u. hmotnost (94Zr) = 93,91 u. hmotnost (l40Ce) = 1.39.91 u. hmotnost (n) = 1,008 67 u. (a) Jaká je relativní změna hmotnosti interagujících částic? ŘEŠENI: Změnu hmotnosti Am získáme odečtením hmotnosti částic, které vstupují do reakce od hmotnosti částic, které jsou výsledkem reakce: Am = (139.91 - 9.3.91 1 2 -1.00867) u -- (235.04+ 1.008 67) u = = -0.211 u. Hmotnost částic vstupujících do reakce je M = 235.04 u + 1.008 67 u = 236.05 u. Tomu odpovídá relativní úbytek hmotnosti |A;»| _ 0,211u M ~ 236,05 u ~ = 0,000 89, tj. asi 0,1%. (Odpověď) Jakkoli je tato veličina malá, je poměrně snadno měřitelná. (b) Jaká energie sc při štěpné reakci uvolní? 190 kapitola 8 potenciální energie a zákon zachování ľnergie RESEN1: Ze vztahu (8.40) dostaneme Q = - Am c2 = -(-0,211u)(931,5MeV.ir') = = 197 MeV. (Odpověď) Za c2 jsme dosadili hodnotu uvedenou ve vztahu (8.43). Uvolněná energie 197 MeV, připadající na jednu reakci, je mnohonásobně větší než typické hodnoty energie uvolněné při chemických reakcích, které se pohybují v jednotkách elek-tronvoltů. PRÍKLAD 8.10 Jádro atomu deuteria (tzv. těžký vodík) se nazývá deuteron. Je složeno z protonu a neutronu. Jak velká energie se uvolní, či absorbuje při procesu, při němž dojde k odtržení neutronu a protonu? Hmotnosti částic účastnících se reakce jsou: deuteron: m& = 2,013 55 u proton: mp = 1,007 28 u neutron: mn = 1,008 67 u 2.015 95 u ŘEŠENÍ: Vzhledem k tomu, že celková hmotnost volného protonu a volného neutronu je větší než hmotnost deuteronu, je při štěpení deuteronu nutno energii dodat. Přírůstek hmotnosti při reakci činí Am = (mp + mn) — = = (1,007 28+ 1,008-67) u - (2,01355) u = 0,002 40 u. Odpovídající energie je dána vztahem (8.40): Q = -Amc2 = -(0,002 40u)(931,5MeV-u_1) = = -2.24 MeV. (Odpověd) Znaménko minus ve výsledku potvrzuje, že při této reakci se energie absorbuje. Hodnota 2,24 MeV se nazývá vazební energie deuteronu. Vazební energie jádra je definována jako energie, kterou by bylo třeba jádru dodat, aby se rozštěpilo na volné protony a neutrony, resp. energie, která by se musela uvolnit, kdybychom měli jádro z volných protonů a neutronů vytvořit. j^ONTROLA 6: Představme si, že bychom nějakým způsobem dokázali přimět šest volných protonů a stejný počet volných neutronů, aby sc spojily v jádro uhlíkového atomu 12C. Byla by hmotnost jádra větší, či menší než celková hmotnost volných částic? 8.9 KVANTOVANÍ ENERGIE Dosud jsme předpokládali, že energie soustavy může nabývat jakýchkoli hodnot. Tento předpoklad je nepochybně rozumný u soustav, s nimiž se setkáváme v každodenním životě. Pro soustavy z oblasti mikrosveta, jako jsou atomy nebo i tzv. kvantové tečky (laboratorně vyrobené shluky elektronů, které se atomům podobají), však nevyhovuje. Vnitřní energie takových mikrosoustav je kvantována, může nabývat jen některých hodnot. Přísluší-li soustavě určitá hodnota energie, říkáme, že se soustava nachází v kvantovém stavu s touto energií. Obr. 8.17 ukazuje typický diagram hodnot energie (tzv. energiových hladin) atomu.* Energie je vynesena na svislé stupnici a každá z pěti nej nižších energiových hladin Eq, E\, ..., £4 je vyznačena vodorovnou čarou (odtud název hladiny). Energie atomu nemůže nabývat žádné hodnoty ležící mezi povolenými hladinami. Kvantový stav spojený s nejnižší hladinou, označenou na obr. 8.17 jako Eq, se nazývá základním stavem, atomu. (V obr. 8.17 je mu přisouzena nulová hodnota energie.) Kvantové stavy s vyšší energií se nazývají excitované. Stav s energií E\ je první excitovaný stav, stav s energií £2 druhý excitovaný stav atd. 0 - E4 £2 (druhý excitovaný stav) Ei (první excitovaný stav) . Eo (základní stav) Obr. 8.17 Diagram energiových hladin atomu, znázorňující kvantované hodnoty energie (energiové hladiny). Každá hladina odpovídá jistému kvantovému stavu atomu. Nejnižší energie, označená jako Eq, přísluší základnímu stavu. Šipka směřující vzhůru symbolizuje kvantový přechod atomu ze základního stavu do druhého excitovaného stavu, jemuž odpovídá energie En. Šipka směřující dolů odpovídá kvantovému přechodu z druhého do prvního excitovaného stavu o energii E\. Atomy mají tendenci zaujímat konfiguraci základního stavu, jemuž odpovídá nejnižší energie (podobně jako se koule kutálí po svahu dolů). Atom může přejít do excitovaného stavu s vyšší energií jen tehdy, je-li mu z vnějšího zdroje dodána energie daná rozdílem mezi excitovaným a základním stavem. Atom může tuto energii získat na- * I když ve zkratce hovoříme o energiových hladinách atomu, máme většinou na mysli možné hodnoty energie jednotlivých elektronů jeho elektronového obalu. PŘEHLED & SHRNUTÍ 191 příklad při srážce s jiným atomem nebo volným elektronem, případně při pohlcení (absorpci) světla. Každopádně je třeba, aby získaná energie postačovala pro přechod na některou z vyšších hladin. Kvantovány j sou tedy nejen hodnoty energie samotné, ale i jejich možné změny (přírůstky i ztráty). Při změnách energie dochází ke kvantovým přechodům neboli přeskokům atomu mezi jednotlivými ener-giovými hladinami. Šipka mířící v obr. 8.17 vzhůru představuje kvantový skok ze základního do druhého excitovaného stavu. Podle diagramu je pro takový přechod třeba, aby atom získal energii 2,5 cV. Při absorpci fotonu s touto energií foton zanikne a celá jeho energie přispěje k přírůstku energie atomu. Světlo tedy musí mít energii právě 2,5 eV, aby byl atom schopen je pohltit. Je-li energie světla o něco větší či menší, k absorpci nedojde. Aby došlo k absorpci světla atomem, musí být energie absorbovaného fotonu rovna rozdílu cnergiových hladin odpovídajících výslednému a výchozímu stavu atomu. Přejde-li atom do excitovaného stavu, nesetrvá v něm, ale je rychle deexcitován. Ztrácí energii buď při srážkách nebo vyzářením (emisí) světla. Světlo vyzářené při deex-citaci atomu při ní skutečně vzniká (předtím neexistovalo). Při kterémkoli z obou deexcitačních procesuje však třeba, aby atom ztratil přesně definovanou energii, a mohl tak přejít na některou z nižších energiových hladin. přehled Energie světla emitovaného atomem je vždy rovna rozdílu energií výchozí hladiny atomu a některé nižší hladiny. Šipka, směřující v obr. 8.17 dolů, označuje kvantový přechod z druhého do prvního excitovaného stavu. Energie světla vyzářeného při tomto přechodu je 1,0 eV. Poté atom přejde do základního stavu a znovu vyzáří světlo, tentokrát o energii 1,5 eV. Místo tohoto dvoustupňového procesu mohl také atom přejít do základního stavu rovnou a vyzářit světlo o energii 2,5 eV. j^ONTROLA 7: Bylo zjištěno, že kvantový systém vyzářil světlo čtyř různých energií, aniž byl mezitím znovu excitován. Tři hodnoty energie emitovaného světla byly změřeny: 1,1 eV, l,4eV a 2,8eV. Pořadí emisí není známo. Energiové hladiny systému jsou tyto: = 7,7 eV E5 = 4,8eV Ei = 2.7eV Ei = 6.6eV = 4.2eV Fa - 1.3eV E6 = 5.5 eV E} = 3,9 eV E0 = 0,0 eV (a) Jaký byl počáteční stav systému a (b) jakou energii mělo světlo vyzářené při čtvrté emisi? & shrnutí Konzervativní síly Síla působící na částici je konzervativní, je-li celková práce, kterou vykoná při pohybu částice po libovolné uzavřené trajektorii, nulová. Ekvivalentní vyjádření: Síla působící na částici je konzervativní, jestliže práce, kterou vykoná při přemístění částice mezi dvěma zadanými body. nezávisí na trajektorii, po které sc částice pohybovala. Tíhová síla a pružná síla jsou konzervativní. Dynamická třecí síla je nekonzervativní. Potenciální energie Potenciální energie souvisí s konfigurací soustavy, v níž působí konzervativní interakční síly. Změna potenciální energie soustavy je definována jako záporně vzatá práce, kterou konzervativní interakční síly vykonají při odpovídající změně konfigurace soustavy A£p = -Wg. (8.1) Je-li konfigurace soustavy (poloha částice vzhledem ke zvolenému bodu zbytku soustavy) určena jedinou skalární proměnnou x a závisí-li konzervativní síly F a — F popisující interakci částice se zbytkem soustavy pouze na této proměnné, je často možné vyjádřil změnu potenciální energie vztahem A£p = - jf f F(x) dx, (8.6) kde x; je počáteční a Xf koncová poloha částice. Tíhová potenciální energie Potenciální energie soustavy s tíhovou interakcí se nazývá tíhová potenciální energie. Jedná-li se o soustavu zahrnující Zemi a částici, která se pohybuje v blízkosti jejího povrchu, hovoříme o tíhové potenciální energii. Při přechodu částice mezi body ležícími ve výškách y, a yr nedaleko od povrchu Země jc změna tíhové potenciální energie soustavy částice + Země rovna A£p = mg(yf - yt) = mgAy. (8.7) Jc-li referenční konfigurace soustavy zvolena tak, že y; = 0, a je-li jí přisouzena nulová hodnota tíhové potenciální energie Ep.i = 0, můžeme tíhovou potenciální energii soustavy v obecné konfiguraci (resp. tíhovou potenciální energii částice v obecné poloze vzhledem k Zemi) vyjádřit vztahem Ep = mgy. (8.9) 192 kapitola 8 potenciální energie a zákon zachování energie Pružná potenciální energie Pružná potenciální energie je spojena se stavem napjatosti (při napínání či stlačování) pružných objektů. Pro pružinu, která vyhovuje lineárnímu vztahu pro pružnou sílu F(x) = — kx, je pružná potenciální energie Zip ( JC) — 2 .li) Tento vztah platí pro případ, že referenční konfigurace odpovídá nenapjaté pružině a je jí přisouzena nulová potenciální energie. Je tedy Ev = 0 pro x — 0. Mechanická energie Mechanickou energii E soustavy definujeme jako součet její kinetické energie E]( a potenciální energie Ep: E = £k (8.12) Kinetická energie soustavy je součtem kinetických energií všech jejích objektů. Potenciální energie je součtem všech příspěvků odpovídajících konzervativním interakčním silám uvnitř soustavy. Působí-li v izolované soustavě pouze konzervativní interakční síly. nemění se její mechanická energie £. Tuto skutečnost nazýváme zákonem zachování mechanické energie a píšeme £k.2 + £p.2 = £k.l + Bp,l- (8.17) Indexy 1 a 2 odpovídají různým okamžikům v průběhu energio-vých změn. Zákon zachování mechanické energie lze zapsat i ve tvaru AE = AEk + Afip = 0. (8.18) Křivky potenciální energie Je-li sledovaná částice v soustavě popsána svou polohou x a známe-li závislost potenciální energie Ep soustavy na této poloze, můžeme vyjádřit výslednou sílu, kterou zbytek soustavy působí na částici: £(x) dEp(x) dx (8.19) Při zadání funkce £p(x) grafem lze pro libovolnou hodnotu x zjistit hodnotu F(x) jako záporně vzatou směrnici tohoto grafu. Kinetickou energii částice lze pak spočítat ze vztahu Ek(x) = £ - EM), (8.21) kde E je mechanická energie soustavy. Bodem obratu rozumíme takovou polohu x, v níž se obrací směr pohybu částice (tj. £k = 0). Částice je v rovnováze v každém bodě, v němž je směrnice grafu funkce Ep(x) nulová (F(x) — 0). Práce vnějších a nekonzervativních sil Uvažujme částici, která je součástí soustavy. Působí-li na ni vnější síla F, která při změně konfigurace soustavy vykoná práci W, změní se o tuto hodnotu mechanická energie soustavy: W AEk + AE„ AE. (8.24, 8.25) Působí-li v soustavě dynamické třecí síly F& a —Fa, jc změna celkové mechanické energie soustavy dána vztahem AE = -Edd, (8.27) kde d je velikost posunutí sledované částice při změně konfigurace soustavy. O úbytku mechanické energie, k níž vlivem třecích sil došlo, hovoříme jako o energii rozptýlené třecími silami. Rozptýlená energie je rovna práci sil F^ a — F&. Zákon zachování energie V izolované soustavě může docházet ke změnám různých typů energie, avšak celková energie soustavy £ceik sc zachovává. Tento zákon zachování lze zapsat ve tvaru A£ceik = AEk + AEp + AEm AEC ■ 0. (8.34) A fint jc změna vnitřní energie soustavy a zahrnuje změny vnitřní energie všech jejích objektů. Není-li soustava izolovaná, dochází vlivem působení vnějších sil kc změnám její celkové energie. Změna celkové energie soustavy je rovna práci vykonané vnějšími silami W = AEceik = AEk + A£p + A£int 3.35) Výkon Výkon síly udává, s jakou „rychlostí" dochází při jejím působení ke změnám energie soustavy. Dojde-li za dobu Ar ke změně energie o AE (tato změna je rovna práci, kterou síla za dobu Ar vykonala), je průměrný výkon síly roven ľ AE At ' Okamžitý výkon síly je dán vztahem d£ P = dř (8.36) (8.37) Hmotnost a energie Energiovým ekvivalentem E hmotnosti m rozumíme energii danou vztahem E = mc2, (8.39) kde c jc rychlost světla ve vakuu. Pro výpočet energiového ekvivalentu v megaelektronvoltech je Iřeba údaj o hmol-nosli zadaný v atomových jednotkách (u) vynásobit faktorem 931,5 MeVu-1. Energii uvolněnou či pohlcenou při jaderných nebo chemických reakcích vyjadřujeme vztahem - Am ť (8.40) kde Am je odpovídající úbytek, či přírůstek hmotnosti. (Hodnota Q je kladná, jestliže se při reakci energie uvolňuje, a záporná, je-li reakce doprovázena pohlcením energie.) OTÁZKY 193 Kvantování energie Energie v mikroskopických soustavách, jakými jsou např. atomy, je kvantována (nabývá pouze některých hodnot). Soustava se může nacházet v kvantových stavech charakterizovaných povolenými hodnotami energie. Energie soustavy nenabývá žádných jiných hodnot. Nejnižší energie odpovídá základnímu stavu soustavy, vyšší hodnoty energie příslušejí jejím excitovaným stavům. Jestliže soustava získává, či ztrácí energii pohlcením (absorpcí), či vyzářením (emisí) světla, jc energie světla vždy rovna rozdílu některých povolených hodnot energie soustavy. OTÁZKY 1. Částice na obr. 8.18 se pohybuje mezi polohami (f) a (i), resp. (j) a (i) ve vyznačených směrech. Přitom na ni působí konzervativní síla F, která při jednotlivých přesunech částice vykoná práci, jejíž hodnoty jsou v obrázku rovněž vyznačeny. Jakou práci by síla F vykonala při přemístění částice z polohy (f) do polohy (j)? -20 J f 1J Obr. 8.18 Otázka 1 20 J 2. Částice na obr. 8.19 se může dostat z polohy (i) do polohy (f) různými cestami. V obrázku je vyznačena jedna přímá cesta a čtyři možnosti pohybu částice po lomených čarách. Při pohybu po přímé cestě a po třech ze čtyř lomených čar působí na částici pouze konzervativní síla Fc. Při pohybu po čtvrté trajektorii se přidá ještě působení nekonzervativní síly Fnc. Každý z přímých úseků jednotlivých lomených trajektorií je opatřen údajem o práci (v joulech), kterou vykonala výslednice sil působících na částici při jejím pohybu po tomto úseku, (a) Jakou práci vykonaly všechny síly působící na částici při jejím pohybu z (i) do (f) po přímé trajektorii? (b) Jakou práci vykonala nekonzervativní síla Fm: při pohybu částice po čtvrté trajektorii'? -30 Obr. 8.19 Otázka 2 3. Pružina je oproti nenapjatčmu stavu protažena o 3,0 cm. Uvažujeme čtyři možné koncové stavy pružiny: (a) protažena o 2.0 cm, (b) stlačena o 2,0 cm, (c) stlačena o 4,0 cm, (d) protažena o 4,0 cm. Uspořádejte tylo možnosti sestupně podle změny potenciální energie pružiny při přechodu z počátečního do koncového stavu. 4. Odvážný bruslařnaobr. 8.20 sjíždí po ledovém svahu se třemi různými sklony. Výška všech úseků je stejná a rovna d. Uspořádejte jednotlivé úseky sestupně podle (a) práce vykonané tíhovou silou působící na bruslařc, (b) změny jeho kinetické energie. 5. Kokosový ořech je vržen ze skalního útesu do širokého plochého údolí s počáteční rychlostí v o velikosti 8m-s . Ná- sklon 1 Obr. 8.2« Otázka 4 sklon 3 sklon 2 sledující možnosti volby směru počáteční rychlosti uspořádejte sestupně (a) podle počáteční kinetické energie ořechu, (b) podle kinetické energie ořechu při jeho dopadu na dno údolí: (1) vektor v směřuje téměř svisle vzhůru, (2) v směřuje vzhůru pod úhlem 45r vzhledem k vodorovné rovině, (3) směr vektoru ľ je vodorovný, (4) v směřuje dolů pod úhlem 45 ■ vzhledem k vodorovné rovině, (5) v směřuje téměř svisle dolů. 6. Na obr. 8.21 jsou tři švestky, které jsou vymrštěny z míst ležících na stejné vodorovné úrovni rychlostmi o stejných velikostech. Jedna z nich se pohybuje svisle vzhůru, druhá je vržena pod malým úhlem vzhledem ke svislému směru a třetí klouže po dokonale hladké nakloněné rovině. Uspořádejte tyto situace sestupně podle velikosti výsledné rychlosti švestek při dosažení úrovně vyznačené přerušovanou čarou. Obr. 8.21 Otázka 6 (1) (2) 7. Kostku pohybující se zpočátku po vodorovné podložce (obr. 8.22) je možné navést na kteroukoli zc tří vyznačených drah cílová čára LI v n> Obr. 8.22 Otázka 7 (1) (2) (3) 194 kapitola 8 potenciální energie a zákon zachování energie vedených v různých úrovních vzhledem k původní vodorovné rovině. Ve všech případech je podložka dokonale hladká. Kostku sledujeme do okamžiku, než dospěje k cílové čáře (zakreslena přerušovaně). Uspořádejte dráhy sestupně (a) podle velikosti rychlosti kostky v okamžiku průchodu cílovou čarou, (b) podle doby pohybu. 8. Malá krychlička je volně vypuštěna z bodu ve výšce 3,0 m nad základní úrovní po dokonale hladké trati (obr. 8.23). V obrázku jsou vyznačeny výšky vrcholků, které jsou na trati vymodelovány. Všechny pahorky mají v okolí nejvyššího bodu stejný kruhový tvar. Předpokládáme, že krychlička v žádném bodě neztratí kontakt s dráhou, (a) Přes který pahorek krychlička nepřejde? (b) Jaký bude její další pohyb? (c) Na kterém z vrcholků má krychlička největší dostředivé zrychlení a (d) na kterém z nich na ni podložka působí nejmenší tlakovou silou? 3,0 m Obr. 8.23 Otázka 8 9. Na obr. 8.24 vidíme dvě uspořádání dvou experimentů s dvojicí kostek. Kostky jsou spojeny lankem vedeným přes kladku zanedbatelné hmotnosti, která sc může otáčet bez tření. Podložka, po kterč sc pohybuje světlejší kostka, je v obou případech dokonale hladká. V obou případech visutá kostka po uvolnění soustavy klesá. Uvažujme celkovou energii kostek v časovém intervalu, během něhož kostka klesne o vzdálenost d. Rozhodněte, zda kinetická energie kostek v uspořádání (a) je po uplynutí tohoto intervalu větší, menší, nebo stejná jako v uspořádání (b). (d) mechanická energie soustavy tvořené jen kostkou a Zemí. (c) mechanická energie pružiny, (f) mechanická energie soustavy kostka + pružina + Země? Obr. 8.25 Otázka 10 11. Jakou hodnotu nesmí překročit mechanická energie E a kinetická energie E^ částice v kontrole 4, (a) má-li být částice uvězněna v potenciálové jámě, (b) má-li být umožněn pohyb částice pouze vlevo od bodu D? 12. Na obr. 8.26 je graf potenciální energie částice, (a) Uspořádejte úseky AS, BC, CD a DE sestupně podle velikosti síly působící na částici. Jakou hodnotu nesmí překročit mechanická energie částice E, má-li částice (b) být uvězněna v levé potenciálové jámě, (c) v pravé potenciálové jámě, (d) mít možnost pohybu mezi jámami, ale nedostat se vpravo za bod H'! V případě situace (d) určete, ve kterém z úseků má částice (e) největší kinetickou energii, (f) nejmenší rychlost. 8 6 S 5 I \ II ......ti AB CD E ľ G H Obr. 8.26 Otázka 12 (ä) (b) Obr. 8.24 Otázka 9 13. Kostka sjíždí po skluzavce znázorněné na obr. 8.27. Mezi body A a C je skluzavka dokonale hladká, mezi body C a D působí na kostku třecí síla. Rozhodněte, zda v jednotlivých úsecích dráhy kinetická energie kostky roste, klesá, nebo zůstává konstantní: (a) AB, (b) BC, (c) CD. (d) Jak je tomu v každém z těchto úseků s mechanickou energií kostky? ■ 10. Kostku zakreslenou na obr. 8.25 jsme v okamžiku t\ vypustili z klidu po dokonale hladké nakloněné rovině. V okamžiku ti narazí kostka na pružinu zanedbatelné hmotnosti, připevněnou k nakloněné rovině, a stlačuje ji. Stlačení pružiny je maximální v okamžiku U. Jak se v časovém intervalu od t\ do t3 mění (a) kinetická energie kostky, (b) tíhová potenciální energie soustavy kostka + Země, (c) pružná potenciální energie pružiny, 4V B Obr. 8.27 Otázka 13 c vičení & úlohy 195 iSTulo ODST. 8.3 Určení hodnot potenciální energie 1C. Častice náleží do soustavy, v níž působí pouze konzervativní interakční síly F a —F. Na částici působí síla F. Je-li částice v bodě A, je potenciální energie soustavy rovna 40J. Během pohybu částice z bodu A do bodu B vykonají interakční síly práci +25 J. Jaká je potenciální energie soustavy v okamžiku, kdy jc částice v bodě Bl 2C. Jaká jc tuhost pružiny, jejíž potenciální energie je 25 J při stlačení o 7,5 cm vzhledem k nenapjatému stavu? 3C. Student hodil kamarádovi z okna knihu, jejíž hmotnost je 2,00 kg. Přítel stojí pod oknem a drží nice ve výšce 1.5 m nad zemí, aby knihu zachytil (obr. 8.28). (a) Jakou práci vykonala tíhová síla působící na knihu od okamžiku jejího vypuštění do chvíle, kdy ji přítel chytil? (b) Jak se přitom změnila potenciální energie soustavy kniha + Země? Zvolme nulovou hladinu tíhové potenciální energie této soustavy na zemském povrchu. Jaká je potenciální energie soustavy v okamžiku (c) vypuštění knihy, (d) zachycení knihy? I0,0m 50 m Obr. 8.28 Cvičení 3 a 12 4C. Ledový úlomek o hmotnosti 2,00g jsme volně vypustili z bodu na vnitřním okraji polokulového poháru o polomem r = 22,0 cm (obr. 8.29). Tření mezi ledem a stěnou poháru je za- úlomek ledu , Obr. 8.29 Cvičení 4 a 13 nedbatclné. (a) Jakou práci vykonala tíhová síla působící na úlomek při jeho přesunutí na dno poháru? (b) Jak se přitom změnila potenciální energie soustavy úlomek + Země? (c) Konfiguraci, v níž je úlomek na dně poháru, přisoudíme nulovou potenciální energii. Jaká je potenciální energie soustavy v okamžiku vypuštění ledového úlomku? (d) Jaká je hodnota potenciální energie soustavy v okamžiku, kdy je úlomek na dně poháru, jestliže pro změnu přisoudíme její nulovou hodnotu konfiguraci, v níž je na jeho okraji? 5C. Vozík horské dráhy má hmotnost in a pohybuje se po dráze bez tření. Prvním vrcholkem dráhy (obr. 8.30) projíždí rychlostí vq. Jakoti práci vykoná tíhová síla, která působí na vozík, od tohoto počátečního okamžiku do okamžiku průjezdu vozíku (a) bodem A, (b) bodem B, (c) bodem Cl Tíhové potenciální energii soustavy vozík + Země přisoudíme nulovou hodnottt v konfiguraci, v níž je vozík v bodě C. Jaká je její hodnota při průjezdu vozíku (d) bodem B, (e) bodem AI ľ! první vrcholek , /......f r h /"> \ / i \sv Ohr.8.30 Cvičení 5 a 14 6C. Koule o hmotnosti m je upevněna na konci tenké tyčky o délce L (obr. 8.31), jejíž hmotnost je zanedbatelná. Druhý konec tyčky je uchycen tak, aby se koule mohla pohybovat po kružnici ve svislé rovině. Tyčku nastavíme do vodorovné polohy a udělíme kouli směrem dolů takovou rychlost, aby prošla částí kružnice vyznačenou na obrázku a dosáhla nej vyššího bodu právě s nulovou rychlostí. Určete práci, kterou vykonala tíhová síla působící na kouli mezi počátečním bodem a (a) nejnižším bodem trajektorie, (b) nejvyšším bodem trajektorie, (c) bodem ležícím na protilehlé straně trajektorie na stejné úrovni s počátečním bodem, (d) Konfiguraci soustavy koule + Země, v níž jc koule v počátečním bodě, přisoudíme nulovou hodnotu tíhové potenciální energie. Jaká hodnota tíhové potenciální energie odpovídá konfiguracím (a), (b) a (c)? Obr. 8.31 Cvičení 6 a 15 196 kapitola 8 potenciální energie a zákon zachování energie 7Ú. Pružina o tuhosti 3 200N-m je protažena tak, že její pružná potenciální energie je 1,44 J. (Pro nenapjalou pružinu klademe £p = 0.) Jaká bude změna pružné potenciální energie, změní-li se stav pružiny tak, že pružina bude (a) napjata o 2,0 cm, (b) stlačena o 2,0 cm, (c) stlačena o 4,0 cm? 8U. Sněhovou kouli o hmotnosti 1,50 kg házíme ze skály vysoké 12,5 m. Počáteční rychlost koule svírá s vodorovnou rovinou úhel 41,0°, míří vzhůru a má velikost 14,0 m-s (a) Jakou práci vykoná tíhová síla, která působí na kouli, od počátečního okamžiku do okamžiku jejího dopadu na vodorovný povrch pod skálou? (b) Jak se během letu koule změní tíhová potenciální energie soustavy koule+Zemč? (c) Konfiguraci, v níž je koule na vrcholku skály, přisoudíme nulovou hodnotu lihové potenciální energie soustavy koule 4- Země. Jaká je její hodnota při dopadu koule na zem? 9U. Tenká tyč délky L a zanedbatelné hmotnosti je na konci uchycena tak, aby se mohla otáčet ve svislé rovině, podle obr. 8.32, K jejímu druhému konci je upevněna těžká koule o hmotnosti m. Tyč odchýlíme od svislého směru o úhel 6 a volně vypustíme. Uvažme časový interval mezi uvolněním lyce a okamžikem, kdy koule prochází nejnižším bodem své trajektorie, (a) Jakou práci vykoná v lomto intervalu tíhová síla působící na kouli? (b) Jak se změní tíhová potenciální energie soustavy koule+Země? (c) Jaká hodnota tíhové potenciální energie odpovídá konfiguraci soustavy koule + Země, v níž je koule v krajní poloze, přisoudíme-li nejnižší poloze koule nulovou hodnotu této energie? Obr. 8.32 Úlohy 9 a 20 10U. Malá kostka o hmotnosti m může klouzat bez tření po dráze tvaru ,,smyčky smrti", znázorněné na obr. 8.33. Kostku vypustíme z klidové polohy v bodě ľ, který leží ve výšce /; = 5 R nade dnem smyčky. Jakou práci vykoná tíhová síla působící na kostku od okamžiku jejího vypuštění z bodu P do okamžiku průchodu (a) bodem Q, (b) vrcholem smyčky? Konfiguraci soustavy kostka + Země, v níž je kostka na dně smyčky, přisoudíme nulovou hodnotu tíhové potenciální energie. Jaká je tíhová potenciální energie soustavy, je-li kostka (c) v bodě P, (d) v bodě Q, (e) ve vrcholu smyčky? 11U. Částice se pohybuje podél osy x z bodu x = 1,0 m do bodu x = 4,0 m a pak zpět do výchozího bodu x = 1,0 m. Jednou Obr. 8.33 Úlohy 10 a 39 ze sil, které na ni při tom působí, je síla F, která má rovněž směr osy x. Jakou práci vykoná tato síla při každém takovém oběhu částice, jestliže její složka ve směru osy x nabývá při pohybu z počátečního bodu do bodu obratu, resp. při návratu, těchto hodnot: (a) pohyb k bodu obratu: Fx — 3,0 N, resp. pohyb zpět: Fx = —3,ON, (b) 5,0N, resp. 5,0 N, (c) 2,0x, resp. —2,0.y. (d) 3,0x2, resp. 3,0x2? Souřadnice x je zadávána v metrech a údaje o síle F v newtonech. (e) Ve kterých z uvedených případů by mohla být síla F konzervativní? ODST. 8.4 Zákon zachování mechanické energie 12C. (a) Jak velkou rychlost má kniha, o níž jsme uvažovali ve cvič. 3, v okamžiku, kdy ji zachytí člověk pod oknem? (b) Jaká by v okamžiku zachycení byla rychlost knihy, jejíž hmotnost by byla dvojnásobná? 13C. (a) Jak velkou rychlost má na dně poháru úlomek ledu. kterým jsme se zabývali ve cvič. 4? (b) Jak velkou rychlost by měl na dně poháru jiný úlomek, jehož hmotnost by byla dvojnásobná? 14C. Určete rychlost vozíku horské dráhy ze cvič. 5 v bodech (a) A, (b) B a (c) C. (d) Poslední, nejvyšší, pahorek již vozík nepřekoná. Do jaké výšky vyjede po jeho svahu? (e) Zodpovězte znovu otázky (a) až (d) pro vozík o dvojnásobné hmotnosti. 15C. (aj Jakou počáteční rychlost jsme udělili kouli ve cvič. 6? Jaká byla její rychlost (b) v nejnižším bodě trajektorie, (c) v bodě protilehlém k počátečnímu bodu? 16C. Člověk o hmotnosti 70,0 kg vyskočil z okna a dopadl do záchranné plachty rozestřené a uchycené v hloubce 11,0 m pod oknem. Během brzdění pádu se plachta napínala a v okamžiku, kdy člověk dosáhl nulové rychlosti, bylo její dno 1,50 m pod původní úrovní. Předpokládejme, že se mechanická energie soustavy člověk+plachta+Země během popsaného děje zachovává a že chování pružné plachty lze popsat pomocí modelu ideální pružiny. Určete pružnou energii plachty ve stavu, kdy je napjata o 1,50 m. 17C. Nákladní automobil s vadnými brzdami sjíždí po svahu (obr. 8.34). V okamžiku, kdy jej řidič navádí na bezpečnostní nájezd o sklonu 15°, ukazuje tachometr údaj 130km-h-1. Jakou nejmenší délku L by musel nájezd mít, aby na něm automobil CVIČENÍ & ÚLOHY 197 ještě dosáhl nulové okamžité rychlosti? Proč bývají bezpečnostní nájezdy obvykle pokryty silnou vrstvou písku, nebo štěrku? Obr. 8.34 Cvičení 17 18C. Proud sopečného popela se pohybuje po vodorovném povrchu a dorazí ke svahu sc stoupáním 10". Čelo proudu urazí podél svahu ještě 920 m a zastaví se. Dejme tomu, že plyny unášené proudem jej nadnášejí a minimalizují tak tření mezi částečkami popela a zemským povrchem. Předpokládejme také, že mechanická energie souboru částic v oblasti čela proudu se zachovává. Jaká je počáteční rychlost čela proudu? 19U. Balon naplněný vodou o hmotnosti 1,50 kg je vyhozen svisle vzhůru počáteční rychlostí 3,00 m-S-1. (a) Jakájc v tom okamžiku kinetická energie balonu? (b) Jakou práci vykoná tíhová síla působící na balon bčhcm jeho výstupu k bodu obratu? (c) Jak se během výstupu změní tíhová potenciální energie soustavy balon + Země? (d) Jaká je tíhová potenciální energie této soustavy v okamžiku, kdy balon dosáhne nejvyššího bodu, přisoudíme-li nulovou hodnotu této energie konfiguraci, v níž je soustava v počátečním okamžiku? (e) Položme naopak Ep = 0 v konfiguraci, v níž je balon v nejvyšším bodě své trajektorie. Jaká byla potenciální energie soustavy balon + Země v okamžiku vyhození balonu? (f) Jaké výšky nad povrchem Země balon dosáhne? 20U. Jaká je rychlost koule z úlohy 9 v nejvyšším bodě její trajektorie, je-li L = 2,00 m a 9 = 30°? 21U. (a) Určete velikost rychlosti sněhové koule z úlohy 8 v okamžiku jejího dopadu na vodorovný povrch pod skaliskem. Při řešení úlohy je samozřejmě možné použít výsledků kap. 4. Vyjděte však raději z cnergiových úvah. (b) Jak by se změnil výsledek úlohy (a), kdyby byla koule vyhozena opět pod úhlem 41,0° vzhledem k vodorovné rovině, avšak směrem dolů? 22Ú. Na obr. 8.35 je vyobrazen kámen o hmotnosti 8 kg spočívající na svislé pružině. Pružina je kamenem stlačena o 10,0 cm. (a) Jaká je tuhost pružiny? (b) Pružinu stlačíme o dalších 30,0 cm ... a uvolníme. Bod, v němž se kámen nachází v tomto okamžiku, označme U. Jaká je pružná potenciální energie soustavy bezprostředně před uvolněním pružiny? (c) Jaká zmčna tíhové potenciální energie soustavy kámen + Země odpovídá přemístění kamene z bodu U do nejvyššího bodu nad povrchem Země, jehož kámen dosáhne? (d) Jaká je největší výška kamene nad bodem VI 23Ú. Kulka o hmotnosti 5,0 g je vystřelena zc vzduchovky svisle vzhůru. Má-li kulka právě doletět k terči umístěnému ve výšce 20 m nad místem, v němž se nacházela před výstřelem (spočívala na horním konci stlačené svislé pružiny), musí být pružina před výstřelem stlačena o 8,0 cm. (a) Jak se změní tíhová potenciální energie soustavy kulka + Země během výstupu kulky? (b) Jak se změní pružná potenciální energie pružiny během výstřelu? (c) Jaká je tuhost pružiny? 24U. Graf závislosti pružné síly na prodloužení pružiny na obr. 8.36a odpovídá dětské špuntovce z obr. 8.36b. Pružina připravená k vystřeluje stlačena o 5,5 cm, hmotnost zátky sloužící jako náboj jc 3,8 g. (a) S jak velkou rychlostí opustí zátka hlaveň za předpokladu, že ztrácí s pružinou kontakt v okamžiku, kdy konec pružiny prochází polohou odpovídající nenapjatému stavu? (b) Předpokládejme pro změnu, že se zátka k pružině přilepila a ještě ji o 1,5 cm protáhne, než s ní ztratí kontakt. Jaká bude rychlost vystřelené zátky nyní? síla(N) Obr. 8.36 Úloha 24 25U. Dvoukilogramová kostka spočívá na dokonale hladké nakloněné rovině o úhlu sklonu 30.0° a proti sklouznutí je zajištěna pružinou (obr. 8.37). Pružinu, jejíž tuhost je 19,6N-cm-', stlačíme tak, aby její celkové stlačení bylo 20,0cm, a uvolníme, (a) Jakájc pružná potenciální energie stlačené pružiny? (b) Jak se změní tíhová potenciální energie soustavy kostka + Země od okamžiku uvolnění pružiny do okamžiku, kdy kostka dostoupí při pohybu podél nakloněné roviny do nejvyššího bodu své trajektorie? (c) Jakou dráhu urazí kostka podél nakloněné roviny během pohybu popsaného v části (b)? Obr. 8.37 Úloha 25 Obr. 8.35 Úloha 22 26Ú. Kostku o hmotnosti 12 kg položíme na nakloněnou rovinu o úhlu sklonu 9 — 30" a vypustíme s nulovou počáteční rychlostí. Na nakloněné rovině je připevněna pružina (obr. 8.38). jejíž tuhost je taková, že ji silou o velikosti 270 N dokážeme stlačit 198 kapitola 8 potenciální energie a zákon zachování energie o 2,0 cm. Kosíka narazí na pružinu a stlačuje ji. V okamžiku, kdy je rychlost kostky nulová, je pružina stlačena o 5,5 cm. (a) Jakou dráhu urazila kostka podél nakloněné roviny od okamžiku, kdy byla vypuštěna, do okamžiku, kdy dosáhla bodu obratu? (b) S jakou rychlostí narazila do pružiny? 12 kg Obr. 8.38 Úloha 26 27U. Střela o hmotnosti 0,55 kg je vystřelena z hrany skalního útesu s počáteční kinetickou energií 1 550 J. Nej vyšší bod, kterého střela dosáhne, leží ve výšce 140 m nad ústím hlavně, (a) Jaká je vodorovná složka rychlosti střely? (b) Jaká je svislá složka její rychlosti bezprostředně po výstřelu? (c) V jistém okamžiku má svislá složka rychlosti velikost 65 m-s 1. Jaká je v tomto okamžiku poloha střely vzhledem k ústí hlavně (vodorovná vzdálenost a výška, resp. hloubka)? 28U. Z okna vyletěl 50 g míček s počáteční rychlostí 8.0 m-s-1 vzhůru pod elevačním úhlem 30°. Pomocí energiové metody určete (a) kinetickou energii míčku na vrcholu jeho dráhy, (b) jeho rychlost v okamžiku, kdy je 3 m pod oknem. Závisí tato rychlost na (c) hmotnosti míčku, (d) počátečním úhlu? 29Ú. Pružina dětské vzduchovky má tuhost 7,0N-cm_1. Dítě vystřelilo kulku o hmotnosti 30g pod úhlem 30 šikmo vzhůru. Kulka dosáhla maximální výšky 1.8 m nad ústím hlavně, (a) Jakou rychlostí opustila kulka hlaveň? (b) Jaké bylo stlačení pružiny před výstřelem? 30U. Nakloněná rovina v experimentu na obr. 8.39 je dokonale hladká, kladka má zanedbatelnou hmotnost a může se otáčet bez tření. Tělesa spojená napjatou nepružnou šňůrou jsou nejprve v klidu a pak je uvolníme. Jaká je celková kinetická energie soustavy v okamžiku, kdy těleso o hmotnosti 2,0 kg pokleslo o 25 cm? Obr. 8.39 Úloha 30 31Ú. Sněhovou kouli o hmotnosti 1,50 kg jsme vyhodili šikmo vzhůru pod elevačním úhlem 34,0° s počáteční rychlostí o velikosti 20,0 m-s '. (a) Jaká je její počáteční kinetická energie? (b) Jak se změní potenciální energie soustavy koule + Země od počátečního okamžiku do okamžiku, kdy koule dosáhne nej větší výšky nad výchozím místem? (c) Určete tuto výšku. 32Ú. Kyvadlo je vyrobeno z kamene o hmotnosti 2,0 kg. který se může houpat na nehmotné šňůře o délce 4,0 ni. Při průchodu nejnižším bodem své trajektorie má kámen rychlost 8,0m-s"_1. (a) Jak velká je jeho rychlost v okamžicích, kdy šňůra svírá se svislým směrem úhel 60'? (b) Jaké největší hodnoty dosahuje během pohybu kyvadla úhel mezi šňůrou a svislým směrem? (c) Určete celkovou mechanickou energii soustavy kyvadlo + + Země, přisoudíme-li nulovou hodnotu její potenciální energie konfiguraci, v níž je kámen v nejnižší poloze. 33Ú. Délka šňůry kyvadla na obr. 8.40 je L = 120 cm. V bodě P je umístěn pevný kolík, jehož vzdálenost od bodu závěsu kyvadla je d = 75,0cm. Kuličku kyvadla zvedneme tak. aby šňůra byla vodorovná a volněji vypustíme (obr. 8.40). Kulička se pohybuje po trajektorii vyznačené v obrázku přerušovanou čarou. Jaká je její rychlost v okamžiku, kdy dosáhne (a) nejnižšího bodu trajektorie, (b) nejvyššího bodu poté. co sc šňůra zachytí o kolík. h-l--i V Obr. 8.40 Ulohv 33 a 41 34Ú. Kostka o hmotnosti 2,0 kg je upuštěna z výšky 40 cm a dopadne na svislou pružinu o tuhosti k = 1 960N-m_l (obr. 8.41). Určete největší stlačení pružiny. 2,0 kg r 1 40 cm I K/<= 1960N/m I Obr. 8.41 Úloha 34 35U. Na obr. 8.42 je nakresleno kyvadlo délky L. Kulička, která prakticky nese veškerou hmotnost kyvadla, má rychlost vo v okamžiku, kdy šňůra svírá se svislým směrem úhel %. (a) Odvoďte vztah pro rychlost kuličky v nejnižším bodě její trajektorie. Jaká je nejmenší možná hodnota vq, má-li kyvadlo (b) dosáhnout polohy, v níž je šňůra vodorovná, (c) projít nejvyšším bodem nad místem závěsu tak, aby se šňůra nepokrčila? vo Obr. 8.42 Úloha 35 36Ú. Dvě děti hrají hru, při níž se snaží kuličkou z dělské pušky, připevněné ke stolu, trefit do malé krabičky na podlaze (obr. 8.43). Krabička leží vc vzdálenosti 2,20 m od stolu. Honza stlačil pružinu pušky o 1,10 cm a kulička dopadla 27,0 cín před střed krabičky. Jak musí stlačit pružinu Eva, aby zasáhla cíl? Obr. 8.43 Úloha 36 37U. Velikost gravitační síly, jíž na sebe působí dvě částice o hmotnostech m \ a hit. je dána vztahem kde G je konstanta a x je vzdálenost částic, (a) Najděte odpovídající funkci pro potenciální energii £p(x). Předpokládejte, že Ep(x) —> 0 pro x —> oo. (b) Jakou práci vykonají síly, jimiž je třeba na částice působit, abychom jejich vzdálenost zvýšili ĺ hodnoty x\ na hodnotu .v = x\ + d (beze změny jejich kinetické energie)? 38Ú. Na těleso o hmotnosti 20kg, které je součástí izolované soustavy, působí ve směru osy x konzervativní síla F = = — 3,0.v — 5,0* , kde F je v newtonech a x v metrech. Potenciální energii soustavy spojenou s tímto silovým působením považujeme za nulovou při x = 0. (a) Jaká je potenciální energie soustavy pro x = 2.0 m? (b) V okamžiku, kdy je poloha tělesa určena souřadnicí x = 5,0m, má jeho rychlost velikost 4,0rJďS a je nesouhlasně rovnoběžná s osou x. Jakájc velikost rychlosti tělesa v okamžiku, kdy prochází počátkem soustavy souřadnic? (c) Odpovězte na otázky (a) a (b) za předpokladu, že konfiguraci x = 0 přisoudíme potenciální energii —8,0 J. 39U. (a) .Takaje výslednice sil, které působí na kostku z úlohy 10, v okamžiku jejího průchodu bodem Q'l (b) Z jaké výšky h je třeba kostku volně vypustit, aby ztratila kontakt sc smyčkou cvičení & úlohy 199 právě při průchodu jejím vrcholem? (Ztráta kontaktu se smyčkou je charakterizována tím, že tlaková síla smyčky na kostku se právě anuluje.) 40Ú. Představme si románového hrdinu Tarzana, jak se zhoupne zc skalního výběžku na liáně dlouhé 18 m (obr. 8.44). Nejnižší bod trajektorie leží 3,2 m pod úrovní výběžku. Liána vydrží zátěž 950 N, Tarzan váží 688 N. (a) Přetrhne se liána? (b) Jestliže ne, zjistěte, jak velká jc největší síla, která ji napíná během zhoupnutí. Obr. 8.44 Úloha 40 41Ú. Ukažte, že kulička na obr. 8.40 může oběhnout pevný kolík (při napjaté šňůře) jedině tehdy, je-li d > 3L/5. (Tip: Kulička musí mít v nejvyšším bodě kruhové trajektorie stále ještě nenulovou rychlost. Víte proč a jak velkou?) 42Ú. Kyvadlo je tvořeno kuličkou o hmotnosti m připevněnou na konci tuhé tyče délky L. Hmotnost tyče je zanedbatelná. Kuličku zvedneme lak, aby tyčka mířila přímo vzhůru, a pak uvolníme, (a) Jaká je rychlost kuličky v nejnižším bodě její trajektorie? (b) Jakou silou je napínána tyč při průchodu kuličky tímto bodem? (c) Kyvadlo nyní vychýlíme tak, aby tyč byla vodorovná, a opět uvolníme. Jaký úhel svírá tyč se svislým směrem v okamžiku, kdy jsou tíhová síla a tahová síla tyče působící na kuličku stejně velké? 430*. Řetěz přidržujeme na dokonale hladkém vodorovném stole tak, že jedna čtvrtina jeho délky visí přes okraj (obr. 8.45). Řetěz má délku /, a hmotnost m. Jak velkou práci musíme vykonat, abychom vytáhli celý řetěz zpět na stůl? Obr. 8.45 Úloha 43 200 kapitola 8 potenciální energie a zákon zachování energie 44Ú*. Kostka o hmotnosti 3,20 kg může klouzat po dokonale hladké nakloněné rovině o úhlu sklonu 30°. Na nakloněné rovině leží pružina o tuhosti 431 N-irT1, připevněná k jejímu spodnímu okraji (obr. 8.46). Kostka je vypuštěna s nulovou počáteční rychlostí z místa, jehož vzdálenost od volného konce pružiny, měřená podél nakloněné roviny, je d. Kostka narazí do pružiny a urazí ještě 21,0 cm, než se dostane do bodu obratu (její rychlost je v tom okamžiku nulová), (a) Určete vzdálenost d. (b) Určete vzdálenost mezi bodem prvního kontaktu kostky s pružinou a bodem, v němž je rychlost kostky nejvčtší. 3,20 kg 3 ^ 30.0C i Obr. 8.46 Úloha 44 45Ú*. Chlapec si sedl na vršek polokulového ledového náspu (obr. 8.47). Nepatrně se odrazil a začal klouzat dolů. Tření považujte za zanedbatelné a ukažte, že chlapec ztratil kontakt s ledovou polokoulí v bodě ležícím ve výšce 2Ä/3 nad vodorovnou podložkou. (Tip: Při ztrátě kontaktu se anuluje tlaková síla podložky.) \ Obr. 8.47 Úloha 45 ODST. 8.5 Interpretace křivky potenciální energie 46C. Na částici pohybující se podél osy x působí konzervativní síla F(x). Na obr. 8.48 je graf závislosti příslušné potenciální energie Ep na poloze částice, (a) Nakreslete závislost F(x). Použijte stejnou stupnici proměnné x jako na obr. 8.48. (b) Mechanická energie soustavy E je 4,0 J. Nakreslete graf závislosti kinetické energie E^(x) částice na poloze x. \ j \ \ ^ 0 12 3 4 5 6 x (m) Obr. 8.48 Cvičení 46 47Ú. Potenciální energie dvouatomové molekuly (např. rU nebo O2) je dána vztahem £P = A 7ň B kde r je vzdálenost atomů v molekule a A a S jsou kladné konstanty. Tato potenciální energie souvisí s interakčními (vazebními) silami, které drží molekulu pohromadě, (a) Určele rovnovážnou vzdálenost atomů, tj. vzdálenost, jíž odpovídají nulové interakční síly. Rozhodněte, zda je výsledná síla vzájemného působení atomů odpudivá, nebo přitažlivá, jestliže je vzdálenost atomů (b) menší, (c) větší než vzdálenost rovnovážná. 48Ú. Na částici o hmotnosti m = 2 kg pohybující se podél osy x působí konzervativní síla F(x). Graf odpovídající potenciální eneraie je na obr. 8.49. x (m) 10 15 & -10 -20 / Obr. 8.49 Úloha 48 V poloze x = 2,0m má částice rychlost vx = —1.5m-s-1. (a) Jakou velikost a směr má v této poloze síla F(x)1 (b) Mezi jakými krajními hodnotami x se částice pohybuje? (c) Jaká je rychlost částice v bodč x — 7,0 m? M ,- i ía) Obr. 8.50 Úloha 49 49U. Na obr. 8.50a je dvouatomová molekula. Hmotnosti atomů jsou m a Ař (m « M) a jejich vzdálenost je r. Na obr. 8.50b je graf závislosti potenciální energie molekuly Ep(r) na vzdálenosti r. Popište pohyb atomů, (a) je-li celková mechanická CVIČENÍ & ÚLOHY 201 energie molekuly E kladná (např. E\), (b) záporná (např. E2). Pro E\ — 1 -10—19 J a r = 0,3 nm určete (c) potenciální energii soustavy, (d) celkovou kinetickou energii obou atomů, (e) sílu (velikost a směr) působící na každý atom. Pro jaké hodnoty r je interakce atomů (f) odpudivá, (g) přitažlivá, (h) nulová? ODST. 8.6 Práce nekonzervativních sil 50C. Pes vleče svou boudu vodorovnou silou 8.0 N. Na boudu působí dynamická třecí síla o velikosti 5,0N. (a) Jakou práci vykoná síla, jíž působí na boudu pes, a (b) jak velká mechanická energie bude rozptýlena vlivem třecí síly při posunutí boudy o 0,70 m? 51C. Na kostku z umělé hmoty působí vodorovná síla o velikosti 15 N. Kostka se pohybuje po podlaze stálou rychlostí, přičemž je průběžně zaznamenávána její teplota. Zjistilo se, že při posunutí o 3,0 m se zvýšila vnitřní energie kostky o 20J. Jakou práci vykonala dynamická třecí síla působící na kostku? 52U. Dělník sune bednu o hmotnosti 27 kg po vodorovné podlaze stálou rychlostí. Síla, kterou na ni při tom působí, svírá s vodorovnou rovinou úhel 32° a míří dolů. (a) Jakou práci vykoná tato síla při posunutí bedny o 9,2 m, je-li koeficient dynamického tření mezi bednou a podlahou 0,20? (b) Určete mechanickou energii rozptýlenou třecími silami. 53U. Stroj tlačí kmen o hmotnosti 50 kg stálou rychlostí vzhůru po nakloněné rovině o úhlu sklonu 30'. Síla, kterou stroj na kmen působí, je stálá a má vodorovný směr. Koeficient tření mezi kmenem a nakloněnou rovinou je 0,20. (a) Určete práci, kterou vykoná síla stroje při posunutí kmenu o 6,0 m. a (b) práci tíhové síly působící na kmen. (c) Jaká energie je rozptýlena třecími silami? 54U. Kostka o hmotnosti 3,57 kg jc tažena na laně po vodorovné podlaze stálou rychlostí. Tahová síla lana má velikost 7,68 N a míří vzhůru po úhlem 15° vzhledem k vodorovné rovině. Vypočtěte (a) práci tahové síly lana při posunutí kostky o 4.06 m a (b) koeficient dynamického tření mezi kostkou a podlahou, (c) Jaká energie je přitom rozptýlena třecími silami? 55U. Žulový blok o hmotnosti 1 400 kg je tažen pomocí navijáku po nakloněné rovině stálou rychlostí 1,34 m-s-1 (obr. 8.51). Koeficient dynamického tření mezi blokem a nakloněnou rovinou je 0,40. Jaký je výkon tahové síly lana? Obr. 8.51 Úloha 55 ODST. 8.7 Zákon zachování energie 56C. Fotbalista o hmotnosti 70 kg běží rychlostí 10 m-s-1. sklouzne po trávníku a zastaví se vlivem třecích sil. (a) Jak velká energie je třecími silami rozptýlena'? (b) Jaká je změna vnitřní energie fotbalisty a podložky, po níž klouže? 57C. Dítě vyhodilo míček o hmotnosti 75 g z místa ve výšce 1,1 m nad zemí. Udělilo mu přitom rychlost o velikosti 12m-s-1. Ve výšce 2,1 m nad zemí měla rychlost míčku velikost 10,5 m-s-1. (a) Jakou práci vykonala tíhová síla působící na míček? (b) K jaké energiové ztrátě došlo vlivem odporu vzduchu? 58C. Brankář vyhodil míč rychlostí o velikosti 35 m-s-1. Bezprostředně před tím, než míč zachytil ve stejné výšce útočník, byla velikost rychlosti míče 28 m-s-1. Zjistěte, k jaké ztrátě energie míče došlo vlivem odporu prostředí. Hmotnost míče je 0,3 kg. 59C. Hráč vyhodil míč o hmotnosti 0,63 kg počáteční rychlostí 14 m-s-1. Míč vystoupil do výšky 8,1 m. Jakou energiovou ztrátu způsobil odpor prostředí? 60C. Střela o hmotnosti 9,4 kg byla vystřelena svisle vzhůru. Během jejího výstupu došlo vlivem odporu prostředí k energiové ztrátě 68 kj. O kolik metrů výše by střela vystoupila při zanedbatelném odporu prostředí? 61C. Výška peřejí na řece je 15 m. Velikost rychlosti toku řeky nad peřejemi je 3,2 m-s-1. pod nimi 13 m-s-1. Jaká část změny tíhové potenciální energie soustavy voda+Země (v procentech), k níž došlo při pádu vody, přispěla k přírůstku energie kinetické? {Tip: Úvahu proveďte pro zvolené množství vody, řekněme lOkg.) 62C. Niagarským vodopádem protéká přibližně 5,5-106 kg vody za sekundu, (a) K jak velkému poklesu tíhové potenciální energie soustavy voda + Země každou sekundu dochází, padá-li voda z výšky 50 m? (b) Představme si, i když je to nemožné, že by se této energie využilo pro výrobu elektřiny. Jak velký elektrický výkon by byl dodáván do sítě? (c) Kolik bychom získali ročně, kdyby cena jedné kilowatthodiny elektrické energie byla 30 haléřů? 63C. Vodopádem o výšce 100 m proteče 1 200 m3 vody za každou sekundu. Tři čtvrtiny kinetické energie, kterou voda získá pádem z této výšky, se využijí pro výrobu elektrické energie ve vodní elektrárně. Jaký je výkon generátoru'? 64C. Rozloha pevninské části USA je asi 8-106 km2, průměrná nadmořská výskaje 500 m. Průměrné roční srážky činí 75 cm. Dvě třetiny dešťové vody se opět odpaří do atmosféry, zbytek se dostává do oceánu. Představme si, že by odpovídající přírůstek tíhové potenciální energie soustavy voda + Země mohl být plně využit pro výrobu elektrické energie. Jaký by byl průměrný výkon pomyslné elektrárny? 65C. Výsadkář o hmotnosti 68 kg padá s konstantní mezní rychlostí 59 m-s-1. (a) Jak rychle klesá tíhová potenciální energie soustavy výsadkář + Země? (b) Jak rychle dochází ke ztrátám mechanické energie (energiová ztráta za sekundu)? 66C. Medvídek o hmotnosti 25 kg sjel ze stromu o výšce 12 m. V počátečním okamžiku byla jeho rychlost nulová, těsně před dopadem na zem měla velikost 5,6 m-s-1. (a) Jak se změnila 202 kapitola 8 potenciální energie a zákon zachování energie potenciální energie soustavy medvídek + Země? (b) Jakou kinetickou energii měl medvídek těsně nad zemí? (c) Jak velká průměrná třecí síla na něj působila? 67C. Kámen o hmotnosti 520 kg sjíždí po svahu dlouhém 500 m a vysokém 300 m. Kámen je zpočátku v klidu. Koeficient dynamického tření mezi kamenem a svahem je 0,25. Zvolme hladinu nulové tíhové potenciální energie soustavy kámen + Země na úpatí svahu, (a) Jaká byla potenciální energie soustavy, než sc kámen dal do pohybu? (b) K jaké ztrátě mechanické energie soustavy došlo během skluzu vlivem tření? (c) Jaká je kinetická energie kamene na úpatí svahu? (d) Jaká jc jeho rychlost? 68C. Střela o hmotnosti 30 g letící vodorovnou rychlostí o velikosti 500 m-s 1 se zaryla 12 cm hluboko do stěny, (a) Jak se změnila její mechanická energie? (b) Jaká byla velikost průměrné brzdící síly působící na střelu? 69U. Kostka o hmotnosti 3,5 kg na obr. 8.52 je urychlována stlačenou pružinou. Tuhost pružiny je 640 N-m-1. V okamžiku, kdy je pružina nenapjatá, ztrácí s ní kostka kontakt a pohybuje se dále po vodorovné podložce. Podložka je zčásti dokonale hladká, zčásti je vyrobena z materiálu, který působí na kostku třecí silou charakterizovanou koeficientem tření 0,25. Poloha rozhraní obou částí je shodná s polohou volného konce nenapjaté pružiny (obr. 8.52). Po ztrátě kontaktu s pružinou urazí kostka ještě 7,8 m a zastaví se. (a) K jaké ztrátě mechanické energie došlo při brzdění kostky vlivem třecích sil? (b) Jaká byla nej větší hodnota kinetické energie kostky? (c) Jaké bylo stlačení pružiny na začátku pokusu? bez tření -7,8 m - (iď = 0,25) Obr. 8.52 Úloha 69 70Ú. Kostka na obr. 8.53 se posune po nakloněné rovině z bodu A do bodu B, vzdáleného o 5,0 m. Kromě tíhové, tlakové a třecí síly působí na kostku ještě síla F o velikosti 2,0 N, rovnoběžná s nakloněnou rovinou. Velikost třecí síly je 10N. Při přesunu mezi body A a B vzrostla kinetická energie kostky o 35 J. Jakou práci vykonala tíhová síla? Obr. 8.53 Úloha 70 71Ú. Jeden konec pružiny upevníme kc stropu a na druhý připevníme hlávku zelí. Hlávku pomalu uvolňujeme, až přejde do rovnovážné polohy, v níž je pružná síla kompenzována silou tíhovou. Ukažte, že změna tíhové potenciální energie soustavy hlávka + Země je rovna dvojnásobku přírůstku pružné potenciální energie. Jak to, že se tyto dvě veličiny nerovnají? 72Ú. Kostku o hmotnosti 2,0 kg přitiskneme k volnému konci vodorovné pružiny a stlačíme pružinu o 15 cm. Poté kostku uvolníme. Kostka bude klouzat po vodorovném stole a zastaví se ve vzdálenosti 75 cm od místa, kde byla uvolněna. Tuhost pružiny je 200 N-m-1. Určete koeficient tření mezi kostkou a deskou stolu. 73U. Kostka o hmotnosti 2,5 kg narazí na konec vodorovné pružiny o tuhosti 320 N-m-1 (obr. 8.54). V okamžiku, kdy je kostka v bodě obratu, jc pružina stlačena o 7,5 cm. Koeficient dynamického tření mezi kostkou a podložkou je 0,25. (a) Jakou práci vykonala pružná síla působící na kostku během jejího brzdění? (b) K jak velké ztrátě mechanické energie došlo vlivem třecích sil? (c) Jaká byla rychlost kostky v okamžiku nárazu na pružinu? 1 320 N/ 1 2,5 kg UuOOOuOuDUĎ 1 p Obr. 8.54 Úloha 73 74Ú. Výšky dvou zasněžených vrcholků nad údolím jsou 850 m a 750 m. Lyžař sjede z vyššího z nich, zamíří do protisvahu a vyjede na nižší vrcholek. Urazí přitom celkovou dráhu 3,2 km. Průměrný sklon obou svahuje 30° (obr. 8.55). (a) Předpokládejme, že lyžař odstartuje z vyššího vrcholku s nulovou rychlostí, a zanedbejme vliv tření. Jakou rychlost má ňa nižším vrcholku, neodráží-li se holemi? (b) Jaký by musel být koeficient tření mezi lyžemi a sněhovou pokrývkou, aby se lyžař na nižším vrcholku právě zastavil? 750 m 30°/ 850 m Obr. 8.55 Úloha 74 75Ú. V továrně došlo nešťastnou náhodou k uvolnění bedny o hmotnosti 0,2 tuny, která byla upevněna v nejvyšším bodě šikmé rampy. Rampa má délku 4,0 m a její úhel sklonu vzhledem k vodorovné podložce je 39°. Koeficient dynamického tření mezi rampou a bednou je 0,28. (a) Jaká je rychlost bedny na konci rampy? (b) Jak daleko bude bedna klouzat po vodorovné podlaze? (Předpokládáme, že kinetická energie bedny se v okamžiku sklouznutí z rampy na podlahu nezmění.) (c) Vysvětlete, proč jsou odpovědi na otázky (a) i (b) nezávislé na hmotnosti bedny? 76Ú. Dvč kostky spojené šňůrou podle obr. 8.56 jsou uvolněny z klidového stavu. Ukažte, že velikost rychlosti kostek je v zá- CVIČENÍ & ÚLOHY 203 vislosti na uražené dráze L dána vztahem j2(m2 - fd>n\)gL V m\ + m o kde /d je koeficient dynamického tření mezi kostkou mi a deskou stolu. Předpokládáme, že kladka má zanedbatelnou hmotnost a otáčí se bez tření. horní plošině je kostka brzděna třecí silou, charakterizovanou koeficientem dynamického tření fá = 0,60 a zastaví se poté, co urazila vzdálenost d. Určete tuto vzdálenost. /- f i = 0,60 Obr. 8.56 Úloha 76 77Ú. Balík o hmotnosti 4.0 kg je uveden do pohybu směrem vzhůru po nakloněné rovině o úhlu sklonu 30°. Jeho počáteční kinetická energie je 128J. Jak daleko bude balík klouzat po nakloněné rovině, je-li koeficient tření 0,30? 78Ú. Nádoba se pohybuje vzhůru po nakloněné rovině o úhlu sklonu 40°. V bodě ležícím ve vzdálenosti 0,55 ra od jejího dolního konce (měřeno podél nakloněné roviny) je rychlost nádoby 1,4 m-s . Koeficient dynamického tření mezi nádobou a nakloněnou rovinou je 0,15. (a) Jak daleko sc bude nádoba podél nakloněné roviny ještě pohybovat? (b) Jaká bude její rychlost poté, co opět sklouzne k dolnímu konci nakloněné roviny? 79U. Experimentátor zjistil, že pružina používaná k pokusům nevyhovuje Hookovu zákonu. Pružná síla (v newlonech) má při prodloužení o vzdálenost x (v metrech) velikost 52,%x + + 38,Ax" a působí proti prodloužení, (a) Vypočtěte práci potřebnou k prodloužení pružiny z hodnoty x — 0,500 ni na hodnotu .v = 1,00 m. (b) Jeden konec pružiny upevníme a k druhému připojíme částici o hmotnosti 2,17 kg. Pružinu protáhneme o x = 1,00 m a uvolníme. Určete rychlost částice v okamžiku, kdy je pružina prodloužena o x = 0,500 m. (c) Rozhodněte, zda síla, jíž působí pružina na částici, je konzervativní či nikoliv. Zdůvodněte. 80U. Dívenka vážící 267 N se vozí po dětské skluzavce. Skluzavka měří 6,1 m a svírá s vodorovnou rovinou úhel 20°. Koeficient dynamického tření je 0,10. (a) Jakou práci vykoná během jedné „jízdy" tíhová síla působící na holčičku? (b) Určete ener-giovou ztrátu způsobenou třecími silami, (c) Jak velkou rychlost bude míl holčička na konci skluzavky, jestliže na jejím vrcholu startuje s rychlostí o velikosti 0,457 m-s '? 81U. Kostka sc pohybuje po vodorovném úseku kolejnic na obr. 8.57 rychlostí vq = 6,0m-s projede dolíkem a vyjede na plošinu vyvýšenou nad původní úroveň o h = 1,1 m. Na Obr. 8.57 Úloha 81 82U. Velikost přitažlivých elektrostatických sil, jimiž na sebe vzájemně působí kladně nabité jádro (proton) a záporně nabitý elektron ve vodíkovém atomu, je dána vztahem kde e je velikost náboje elektronu a protonu, k je konstanta a r je vzdálenost elektronu od jádra. Předpokládejme, že jádro je nepohyblivé. Představme si, že elektron, který zpočátku obíhal kolem jádra po kružnici o poloměru n, náhle „přeskočí" na kruhovou dráhu o menším poloměru r? (obr. 8.58). (a) Určete změnu kinetické energie elektronu užitím druhého Newtonova zákona, (b) Na základě znalosti vztahu mezi silou a potenciální energií určete změnu potenciální energie atomu, (c) Jaký je pokles celkové energie atomu při tomto ději? (Celková energie atomu musí klesnout, neboť při popsaném přechodu elektronu vyzáří atom světlo.) v Obr. 8.58 Úloha 82 83U. Kámen o váze G (v newtonech) je vržen svisle vzhůru počáteční rychlostí vq. Předpokládáme, že na letící kámen působí stálá odporová síla vzduchu o velikosti F. (a) Ukažte, že kámen dosáhne maximální výšky (b) Dále ověřte, že rychlost kamene bezprostředně před dopadem na zem je /G~F\]/2 204 kapitola 8 potenciální energie a zákon zachování energie 84Ú. Skluzavka ve tvaru kruhového oblouku o poloměru 12 m je vysoká 4,0 m a dotýká se povrchu Země (obr. 8.59). Dítě o hmotnosti 25 kg sjede z vrcholu skluzavky. Při nulové počáteční rychlosti je velikost jeho rychlosti na konci skluzavky 6,2 m-s~'. (a) Jaká je délka skluzavky? (b) Jaká je průměrná velikost třecí síly působící na dítě? Představme si nyní, že by skluzavka byla umístěna tak, aby svislá přímka procházející jejím nejvyššim bodem byla tečnou ke kruhovému oblouku, (c) Jaká by byla v tomto případě délka skluzavky a (d) průměrná velikost třecí síly působící na dítě při skluzu? /A // Jlr 4 Oni g^W 'V Obr. 8.59 Úloha 84 85Ú. Částice může klouzat po kolejnici upravené do tvaru znázorněného na obr. 8.60. Střední vodorovný úsek má délku Zakřivené úseky kolejnice jsou dokonale hladké, v rovném úseku však na částici působí třecí síla charakterizovaná koeficientem tření f\\ = 0,20. Částice je volně vypuštěna z bodu A, ležícího ve výšce h = L/2 nad vodorovným úsekem. Kde se částice nakonec zastaví? Vi_y |--L--| Obr. 8.60 Úloha 85 86U. Ke konci tenké tuhé tyče o zanedbatelné hmotnosti a délce L je připevněna koule o hmotnosti m (obr. 8.61). Druhý konec tyče je nasazen na tenké osičce tak, aby se koule mohla pohybovat po kružnici ležící vc svislé rovině. Kouleje z výchozí polohy A, kdy je tyč vodorovná, uvedena do pohybu počáteční rychlostí o velikosti t>n, směřující dolů. Rychlost koule se anuluje právě v okamžiku jejího průchodu bodem D. (a) Vyjádřete Vq pomocí L, m a g. (b) Jakou silou je namáhána tyč, je-li koule právě v bodě B? (c) Osičku posypeme jemným pískem, aby otáčení tyče bylo poněkud brzděno třením, a uvedeme kyvadlo do pohybu stejným způsobem jako v předchozím pokusu. Koule však nyní dostoupí pouze do bodu C. Jak velká je ztráta mechanické energie způsobená třením? (d) Po několika kmitech se kyvadlo zastaví v poloze B. Určete celkovou energiovou ztrátu způsobenou třením od okamžiku vypuštění kyvadla z výchozí polohy A. 87Ú. Kabina zdviže na obr. 8.62 váží 20 000 N. Tažné lano zdviže se přetrhlo v okamžiku, kdy zdviž stála v prvním poschodí a její dno bylo ve vzdálenosti d = 4 m od konce tlumicí pružiny D H Obr. 8.61 Úloha 86 o tuhosti k -— 1,2-105 N-m-1. Při přetržení lana bylo uvedeno do chodu bezpečnostní zařízení, které sevřelo kabinu mezi svislé vodicí kolejnice. Na kabinu tak začala působit třecí síla o stálé velikosti 5 000 N, směřující proti jejímu pohybu, (a) Jaká byla rychlost kabiny těsně před nárazem na tlumicí pružinu? (b) Určete maximální stlačení x pružiny, (c) Jakou dráhu urazí kabina od okamžiku odskoku od pružiny do okamžiku, kdy se dostane do bodu obratu a začne opět padať? (d) Pomocí zákona zachování energie určete přibližně celkovou dráhu, kterou kabina urazí od okamžiku přetržení lana do úplného zastavení. Proč může být odpověď pouze přibližná? I 1 1 i-1 f d Obr. 8.62 Úloha 87 88U. Brusič tlačí kovový nástroj ke kotouči brusky silou o velikosti 180N. Kotouč má poloměr 20 cm a vykoná 2,5 otáčky za sekundu. Koeficient tření mezi nástrojem a kotoučem je 0,32. Jaký jc výkon třecí síly (energiová ztráta způsobená třecí silou za jednu sekundu, která se projeví přírůstkem vnitřní energie soustavy)? 89U*. Zboží z balírny se expeduje v krabicích na pásovém prepravníku. Hmotnost krabice se zbožím je 300 kg. Motor prepravníku udržuje velikost rychlosti pásu na stálé hodnotě 1.20 ms '. Balicí stroj uvolňuje krabice lak, aby na pás dopadaly kolmo (obr. 8.63). Koeficient dynamického tření mezi pásem a krabicí je 0,400. Po dopadu pás pod krabicí nejprve prokluzuje. Během velmi krátké doby At však prokluzování ustane a krabice se začne pohybovat spolu s pásem. Zvolte vztažnou soustavu spojenou s místností balírny a určete (a) kinetickou energii. CVIČENÍ & Úl.OH Y 205 kterou získá krabice za dobu Ar, (b) velikost dynamické třecí síly, kterou působí pás na krabici, (c) energii dodanou soustavě pás + krabice za dobu Ar motorem prepravníku, (d) Vysvětlete, proč se odpovědi (a) a (c) liší. Obr. 8.63 Úloha 89 ODST. 8.8 Hmotnost a energie 90C. (a) Jaká energie (v joulech) odpovídá hmotnosti 102g? (b) Kolik let by takový „zdroj energie" mohl zásobovat jednu domácnost, je-li k provozu domácnosti potřeba průměrný výkon 1,00 kW? 91C. „Mohutnost" zemětřesení M v tzv. Richterově stupnici souvisí s uvolněnou energií E (v joulech) vztahem log £ = 5,24+ 1,44M. (a) V roce 1906 bylo San Francisco postiženo zemětřesenímo velikosti 8,2 stupňů Richterovy stupnice (obr. 8.64). Kolik energie se při tomto zemětřesení uvolnilo? (b) Jak velká hmotnost je ekvivalentní této energii? 92C. Celková produkce elektrické energie v USA činila v roce 1983 2.3I-1012 kW-h. Určete odpovídající hmotnostní ekvivalent. 93U. Jaká nej menší energie je potřebná k rozštěpení jádra uhlíku l2C (hmotnost 11,996 71 u) na tři jádra helia 4He (hmotnost každého z nich je 4,001 51 u)? 94U. Jádro atomu zlata obsahuje 79 protonů a 118 neutronů. Jeho hmotnost je 196,923 2 u. Jaká je jeho vazební energie? Další potřebné údaje najdete v př. 8.10. 95Ú. Při jaderné fúzi popsané rovnicí d + t —> 4He + n se deuteron (označený symbolem d) sloučí s atomem tritia (označený symbolem t, obsahuje jeden proton a dva neutrony). Vzniká jádro helia (dva protony a dva neutrony) a volný neutron (n). Hmotnosti částic účastnících se reakce jsou tyto: d: 2,013 55 u 4He:4,00151u t: 3,015 50 u n: 1,008 67 u (a) Rozhodněte, zda při této reakci dochází k uvolnění energie, nebo k jejímu pohlcení, (b) Jak velká je uvolněná, resp. pohlcená energie? ODST. 8.9 Kvantování energie 96C. V následující tabulce jsou uvedeny energie pěti nejnižších energiových hladin tří typů hypotetických atomů v elektronvol-tech: Typ A Typ B Typ C 3,8 3,2 3,1 3,0 2,7 2,9 2,4 2,0 2 2 1.4 1,2 1,5 0 0 0 U každého z těchto „atomů" byly zaznamenány dvě emisní spektrální čáry: (a) 1,4 eV, (b) 1,5 eV. Pro každou z nich najděte odpovídající přechody elektronu v jednotlivých atomech. Obr. 8.64 Cvičení 91. Oblast Nob Hill v San Francisku zničená zemětřesením v roce 1906. Čára zlomu v oblasti San Andrcas měřila přes 400 km. 97C. Přístroj sledující chování hypotetického atomu zaznamenal pčt případů emise světla, aniž při tom došlo k nové excitaci atomu. Energie vyzářeného světla ve čtyřech z nich jsou 0,7 eV; 0,8 eV; 0,9 eV a 2,0 eV. Poslední hodnota a údaje o pořadí jednotlivých přechodů se ztratily chybou v počítači. Následující tabulka uvádí dvanáct nejnižších energiových hladin atomu v elektronvoltech: 6,5 4,1 2,6 5,3 3.8 2,0 4,9 3,4 1,5 4.5 2.9 0 (a) Jaká energiová hladina odpovídala kvantovému stavu excitovaného atomu před vyzářením? (b) Jaká byla hodnota energie vyzářeného světla, která se ztratila chybou v počítači? PRO POČÍTAČ 98U. Mezní rychlost kulky o hmotnosti 9.8 g při pohybu ve vzduchu je 7,3 m-s~'. Kulku vystřelíme svisle vzhůru počáteční rychlostí o velikosti 15m-s~'. Numerickou integrací s krokem 206 kapitola 8 potenciální energie a zákon zachování energie Af = 0,1 s určete polohu a rychlost kulky v libovolném okamžiku t„ = n ■ Ar od výstřelu do okamžiku jejího návratu k místu výstřelu. V každém z okamžiků tn určete kinetickou energii kulky, její potenciální energii v tíhovém poli Země (potenciální energie soustavy kulka + Země] a celkovou mechanickou energii. K jak velké ztrátě mechanické energie soustavy kulka+Země dojde při výstupu kulky vlivem odporu vzduchu? Jaká je ener-giová ztráta při pádu kulky? V okamžiku výstřelu přisuzujeme soustavě nulovou potenciální energii. 99Ú. Kostku o hmotnosti 700 g upustíme z výšky ho přesně nad koncem svislé pružiny. Pružina má zanedbatelnou hmotnost a její tuhost je k = 400 N-m-1. Kostka narazí na pružinu a stlačuje ji. V bodě obratu je pružina stlačena o 19,0cm. Jakou práci vykonala (a) síla, jíž působila kostka na pružinu, (b) síla, jíž působila pružina na kostku'? (c) Z jaké výšky ho kostka padala? (d) Jaké by bylo maximální stlačení pružiny, kdyby kostka padá-z dvojnásobné výšky? 100Ú. Kyvadlo je tvořeno tělesem o hmotnosti 300 g zavěšeným na niti dlouhé 1,4 m. Kyvadlo vychýlíme tak, aby napjatá n:: svírala se svislým směrem úhel 30° a uvolníme. Určete (a) rychlost tělesa v okamžiku, kdy nit svírá sc svislým směrem úhel 20:. a (b) nejvčtší rychlost, jíž těleso dosáhne, (c) Jaký úhel svírá nit se svislým směrem v okamžiku, kdy velikost rychlosti tělesa dosahuje jedné třetiny nej větší hodnoty? Potemnělé hlediště a ozářená scéna. Obecenstvo s obdivem sleduje sólový výstup primabaleríny. Je nadšeno zejména efektními skoky „grand jeté", při nichž se její hlava i trup pohybují takřka vodorovné téměř po celou dobu letu. Baletka se na scéně doslova vznáší. Laik v hledišti asi není podrobně obeznámen s problematikou gravitačního působení a pohybu těles v tíhovém poli Země. Ví však, že kdyby se sám pokusil takto vyskočit, bude dráha jeho trupu i hlavy spíše parabolická, podobně jako je tomu v případě vyhozeného kamene či fotbalového míče po brankářově výkopu. Na scéně se tedy zjevně děje něco velmi neobvyklého. Jak to baletka dokáže, že se jí gravitace příliš „netýká" ( 208 kapitola 9 soustavy částic 9.1 VÝZNAČNÝ BOD Fyzikové rádi přemýšlejí nad složitými problémy a hledají v nich něco jednoduchého a známého. Představme si například, že vyhazujeme do vzduchu baseballovou pálku. Pálka se otáčí. Její pohyb je tedy mnohem složitější než třeba pohyb míčku, který se chová jako hmotný bod (obr. 9.1a). Trajektorie jednotlivých elementů pálky jsou navzájem odlišné. Proto ji při popisu jejího pohybu nelze nahradit hmotným bodem. Pálku je třeba chápat jako soustavu hmotných bodů. Při podrobnějším zkoumání však zjistíme, že jeden z bodů pálky má význačné postavení. Pohybuje se totiž po jednoduché parabolické dráze, stejně jako se pohybuje částice při šikmém vrhu (obr. 9.1b). Jeho pohyb je přesně takový, j ako kdyby (1) vněm byla soustředěna veškerá hmota pálky a (2) působila v něm celková tíhová síla působící na pálku. Tento význačný bod se nazývá střed hmotnosti pálky neboli těžiště.* Obecně platí: Těžiště tělesa nebo soustavy těles je bod, který se pohybuje tak, jako by v něm byla soustředěna veškerá hmota tělesa (soustavy) a působily v něm všechny vnější síly působící na těleso (soustavu). Těžiště baseballové pálky leží na její podélné ose. Můžeme ho najít tak, že si pálku položíme vodorovně na napjatý prst a vy vážíme ji. Těžiště pak bude ležet na ose pálky právě nad prstem. 9.2 TĚŽIŠTĚ Zabývejme se nyní problémem, jak nalézt těžiště nejrůzněj-ších soustav. Začneme u soustavy složené pouze z několika částic a teprve pak budeme uvažovat o souborech obsahujících velké množství částic (např. baseballová pálka). Soustavy částic Na obr. 9.2a jsou zakresleny dvě částice o hmotnostech m i a mj. Jejich vzdálcnostjc d. Poěátekosy x, jehož volba není nijak omezena, jsme vybrali tak, aby splýval s částicí m\. Polohu těžiště této dvoučásticové soustavy definujeme vztahem m i xT =-'-—d. (9.1) m i + m 2 Abychom posoudili, nakolik je tato definice rozumná, uvažujme speciální případy. Zvolme nejprve mo — 0. Tato volba odpovídá soustavě s jedinou částicí m\. Její těžiště * V celé knize užíváme označení .,těžiště", „hmotný střed" a „střed hmotnosti" jako synonyma. V či. 13.3 najdele podrobné zdůvodnění. (a) (b) Obr. 9.1 (a) Míček vržený šikmo vzhůru se pohybuje po parabolické trajektorii, (b) Těžiště baseballové pálky (černá tečka) vyhozené do vzduchu se rovněž pohybuje po parabole, ostatní body pálky však opisují trajektorie komplikovanější. 9.2 TĚŽIŠTĚ 209 by mělo s touto částicí splývat. Z rov. (9.1) skutečně plyne xt = 0. Jc-li naopak m\ = 0, obsahuje soustava opět jedinou částici, tentokrát mi. Podle očekávání dostáváme Xj = d. Pro ni] = by mělo být těžiště uprostřed mezi částicemi. Skutečně tomu tak je, neboť z rov. (9.1) dostáváme xt = d/2. Ze vztahu (9.1) také vyplývá, že pro obecně zvolené nenulové hmotnosti obou částic leží hodnota xj vždy uvnitř intervalu (0, d). Těžiště tedy v každém případě leží někde mezi oběma částicemi. xT — (ä) -xT -—X\- -X2 — (b) Obr.9.2 (a) Vzdálenost dvou částic o hmotnostech m \ nmiytd. Bod označený symbolem T je těžištěm dvoučásticové soustavy, vypočteným z rov. (9.1). (b) Situace se od obr. (a) liší obecným umístěním počátku soustavy souřadnic. Těžiště je vypočteno z rov. (9.2). Poloha těžiště soustavy vzhledem k oběma částicím je v obou případech stejná. Na obr. 9.2b je znázorněna situace odpovídající obecnější volbě počátku soustavy souřadnic. Poloha těžiště je v takovém případě definována vztahem xt rn\x\ + mjX2 m\ + mi (9.2) Všimněme si, že pro x\ = 0 přejde rov. (9.2) na jednodušší tvar (9.1). Posunutí počátku soustavy souřadnic nemá vliv na polohu těžiště vzhledem k jednotlivým částicím. Přcpišme rov. (9.2) do tvaru xt >n 1 x i M (9.3) kde M je celková hmotnost soustavy, M = m\ + mi- Platnost tohoto vztahu lze snadno zobecnit na případ soustavy n částic umístěných na ose x. Celková hmotnost soustavy je M = m i + m% + ... + m„ a těžiště je v bodč o souřadnici xi ni\x\ + mixj + («313 + m„x„ M M ^ (9.4) 1=1 Sčílací index ; nabývá všech celočíselných hodnot od 1 do n. Představuje pořadové (identifikační) číslo částice a „čísluje" i její hmotnost a .r-ovou souřadnici. Jsou-li částice soustavy rozmístěny v trojrozměrném prostoru, jc poloha jejího těžiště určena trojicí souřadnic. Získáme ji zobecněním rov. (9.4) na trojrozměrný případ: (9.5) Polohu těžiště můžeme zapsat i použitím vektorové symboliky. Polohu -té částice lze totiž zadat buď jejími souřadnicemi x i, y, a z i, nebo polohovým vektorem r i = Xji + yJ + Zik. (9.6) Index /' označuje částici, i, j a k jsou jednotkové vektory kartézské soustavy souřadnic. Těžiště je zadáno polohovým vektorem rT = xTi + yrj + zi k. (9.7) Tři skalární rovnice (9.5) lze tak nahradit jedinou vektorovou rovnicí: r, 1 ~M 1=1 m i r;. (9.8) O její správnosti se můžeme přesvědčit dosazením z (9.6) a (9.7) a rozepsáním do souřadnic. Dostaneme skalární rovnice (9.5). Tuhá tělesa Běžné těleso, jakým jc například i baseballová pálka, obsahuje tak obrovské množství částic (atomů), že je přirozenější posuzovat je jako objekt se spojitě rozloženou hmotou. Takový objekt již není tvořen jednotlivými navzájem oddělenými částmi, nýbrž infinitezimálně malými 210 KAPITOLA y SOUSTAVY ČÁSTIC částicemi (elementy) o hmotnosti dm. Součty v rovnicích (9.5) je třeba nahradit integrály a souřadnice těžiště definovat vztahy M opět představuje celkovou hmotnost tělesa. Integrály symbolizují „sčítání" všech elementů v celém tělese. Jejich výpočet je ovšem třeba provádět v souřadnicích. Je-li těleso homogenní, lze jeho hustotu g (hmotnost jednotkového objemu) vyjádřit vztahem dm M Q = — = —, (9.10) dV V kde dV je objem elementu hmotnosti dm a V je celkový objem tělesa. V rov. (9.9) můžeme element dm nahradit výrazem q dV získaným z rov. (9.10) a dostaneme Integračním oborem těchto integrálů je objem tělesa, tj. útvar vymezený tímto tělesem v trojrozměrném prostoru (př.9.4). Celá řada těles má určitou geometrickou symetrii, například středovou, osovou nebo rovinnou. Poloha těžiště takového symetrického homogenního tělesa s jeho symetrií úzce souvisí. Je-li těleso středově symetrické, splývá jeho těžiště se středem symetrie. Těžiště tělesa s osovou (resp. rovinnou) symetrií leží na ose (resp. v rovině) symetrie. Těžiště homogenní koule splývá s jejím geometrickým středem. Těžiště homogenního kužele leží na jeho ose. Těžiště banánu, jehož rovina symetrie jej dělí na dvě zrcadlově stejné části, leží v této rovině. Těžiště však nemusí nutně ležet v tělese. Tak například v těžišti preclíku není žádné těsto a v těžišti podkovy není žádné železo. PŘIKLAD 9.1 Na obr.9.3 jsou tři částice o hmotnostech m\ = L2kg, mn = 2,5 kg a m3 = 3,4 kg umístěny ve vrcholech rovnostranného trojúhelníka o straně a = 140 cm. Určete polohu těžiště soustavy. ŘEŠENÍ: Zvolme souřadnicové osy x a y tak, aby jedna z částic byla umístěna v počátku a osa x splývala s jednou ze stran trojúhelníka. Částice mají tyto souřadnice: ČÁSTIC^ HMOTNOST (kg) x (cm) y (cm) m 1 1,2 0 0 rn 2 2.5 140 0 m 3 3,4 70 121 Díky vhodné volbě soustavy souřadnic jsou tři souřadnice v tabulce nulové. Výpočet bude velmi jednoduchý. Z rov. (9.5) plyne, že souřadnice těžiště jsou xT = — Vm,*, = m\x\ + m 2X2 + msxj, M (1,2 kg) (0) + (2,5kg)(140cm) + (3,4kg)(70cm) (7,1 kg) 83 cm (Odpověď) 1 v - m\y\ + m2>'2 + m3y3 1=1 M M í = 1 (l,2kg)(0) + (2,5 kg)(0) + (3,4kg)(121 cm) (7,1 kg) 58 cm. (Odpověd) Těžiště soustavy na obr. 9.3 je určeno polohovým vektorem rj o souřadnicích xj a yj. 150 L 00 «3 50 o Obr.9.3 Příklad 9.1. Tři částice s různými hmotnostmi tvoří rovnostranný trojúhelník o straně a. Polohový vektor těžiště je rT. PRIKLA O " 1 Najděte těžiště homogenní trojúhelníkové desky znázorněné na obr. 9.4. ŘEŠENÍ: Obr. 9.4a znázorňuje desku rozdělenou na úzké proužky rovnoběžné s jednou z jejích stran. Ze symetrie je 9.2 TĚŽIŠTĚ 211 zřejmé, že těžiště úzkého homogenního proužku leží v jeho geometrickém středu. Těžiště trojúhelníkové desky musí proto ležet někde na spojnici středů všech rovnoběžných proužků. Touto spojnicí je přímka spojující vrchol trojúhelníka se středem protilehlé strany, tj. je těžnicí trojúhelníka. Kdybychom desku podepřeli rovným ostřím nože přesně podél tčžnicc. byla by v rovnováze. Na obr. 9.4b, c jsme desku rozdělili na proužky rovnoběžné s dalšími dvěma stranami. V každém z těchto případů leží těžiště desky na přímce spojující středy proužků (na těžnici trojúhelníka), podobně jako na obr. 9.4a. Všechny tři těžnice mají společný průsečík. V něm leží těžiště desky (obr. 9.4d). Předchozí závěr můžeme ověřit jednoduchým pokusem. Využijeme při tom správnou intuitivní představu, že těleso zavěšené v jednom bodě zaujme takovou polohu, v níž jeho těžiště leží pod bodem závěsu. Zavěsíme tedy trojúhelníkovou desku postupně v jednotlivých vrcholech a podle obr. 9.4e vedeme z každého vrcholu svislou přímku. Těžiště desky splývá s průsečíkem těchto tří přímek. Kdybychom desku umístili do vodorovné polohy a podepřeli ji v těžišti hrotem, byla by v rovnováze. vlákno -\ < / \ / (<0 Obr.9.4 Příklad 9.2. Na obrázcích (a), (b) a (c) je trojúhelníková deska rozdělena na soustavu úzkých proužků rovnoběžných s některou její stranou. Těžiště desky leží na těžnici trojúhelníka, tj. na spojnici středů proužků, (d) Průsečík těžnic splývá s těžištěm desky, (e) Experimentální zjištění polohy těžiště. Trojúhelník postupně zavěšujeme v jeho vrcholech. fi 1: Na obrázku je nakreslena homogenní čtvercová deska, z níž byly odříznuty čtyři stejné čtverce, (a) Jaká je poloha těžiště původní desky? (b) Odhadněte polohu těžiště zbylého útvaru po odstranění čtverce 1, (c) čtverců 1 a 2, (d) čtverců 1 a 3, (e) čtverců 1, 2 a 3. (tj všech čtyř čtverců. Neprovádějte žádný přesný výpočet. Využijte pouze symetrie útvaru nebo naopak jeho asymetrie vzniklé odstraňováním čtverců a rozhodněte, v kterém z kvadrantů, na které ose či v kterém bodě těžiště leží. 1 2 4 3 PŘIKLAD 9.3 Obr. 9.5a znázorňuje zbytek homogenní kruhové kovové desky o poloměru 2R, z níž byl vyříznut kotouč o poloměru R. Vzniklé těleso označme X. Jeho těžiště leží na ose x a v obrázku je označeno tečkou. Určete jeho souřadnici. ŘEŠENI: Obr. 9.5b ukazuje desku C před vyjmutím kotouče D. Ze symetrie vyplývá, že těžiště desky C je v jejím středu (obr. 9.5b). Těleso C je složeno ze dvou částí, D a X. Můžeme předpokládat, že hmotnost každé z nich je soustředěna v jejím těžišti. Těžiště dvoučásticové soustavy Tn + T\ splývá s těžištěm tělesa C. Polohy těžišť těles C, D a X na ose x jsou vyznačeny v obr. 9.5c. Z rov. (9.2) vyplývá, žc tčžiště tělesa C je v bodě mvXD + mxx\ Xc kde xd a xx js0u souřadnice těžišť těles D a X. Vzhledem k tomu, že je xc — 0, platí xDmD (9.12) Označme q hustotu materiálu desky a d její (konstantní) tloušťku. Pak lR-Qd mx k(2R) gd — kR pd. Uvážíme-li navíc, že xv = -R. dostaneme z rov. (9.12) polohu těžiště tělesa X: (-R)(*R2od) I „ *x = - , -^l = oR- (Odpoveď) k(2R)zQd — iíRÁQd 3 212 KAPITOLA 9 SOUSTAVY ČÁSTIC Všimněme si, že konstantní hustota a konstantní tloušťka desky se při výpočtu vykradly. Na hodnotu x\ tedy nemají vliv. y Tx těleso X (a) y těleso C = D + X těleso D 7b Tc (b) .xx = \R • -R ~ (c) Obr.9.5 Příklad 9.3. (a) Těleso X, jehož těžiště je označeno Tx, vzniklo vyříznutím kruhového otvoru o poloměru R v kovovém kotouči o poloměru 2R.(b) Vyjmutý kotouč je označen symbolem D. Jeho těžiště Td leží v jeho geometrickém středu a má souřadnici xd = — R. Těleso Cje složeno z částí X a D. Jeho těžiště je v počátku soustavy souřadnic, (c) Těžiště všech tří těles. PŔÍKXAD SM Obr. 9.6a zachycuje mohylu Silbury Hill, postavenou na pláních nedaleko Stonehenge před 4 600 lety. Účel stavby není přesně znám, pravděpodobně sloužila jako pohřebiště. Má tvar komolého kužele (obr. 9.6b) o výšce A = 40ma poloměrech podstav r? = 16 m (horní podstava) arj = 88 m (základna). Jeho objem je V = 4,09-105 m3. Povrchové přímk\ kužele svírají s vodorovnou rovinou úhel 9 = 30°. lite (a) (b) Obr. 9.6 Příklad 9.4. (a) Mohyla Silbury Hill v Anglii pochází ĺ mladší doby kamenné. Její stavba si vyžádala asi 1,8-107 pracovních hodin, (b) Komolý kužel představující Silbury Hill. V obrázku je vyznačena vrstva o poloměru r s infinitezimální tloušťkou dz, ležící ve výšce z nad základnou kužele. (a) Určete polohu těžiště mohyly. ŘEŠENI: Mohyla je rotačně symetrická, takže její těžiště leží na její ose symetrie, ve výšce zt nad základnou kužele. K výpočtu této výšky použijeme poslední z rovnic (9.11) a integrál zjednodušíme užitím symetrie mohyly. Uvažme tenkou vodorovnou vrstvu zvolenou podle obr. 9.6b. Vrstva má poloměr r, tloušťku dz a leží vc vzdálenosti z od základny 9.3 VĚTA O HYBNOSTI 213 mohyly. Obsah její podstavy je nr2 a objem d V = wzdz (9.13) Mohyla je tvořena všemi takovými vrstvami, jejichž poloměr se mění od nej větší hodnoty r\, odpovídající poloměru základny, po hodnotu rn poloměru horní podstavy. Výšku celého kužele, z něhož náš komolý kužel vznikl, označme H (obr. 9.6b). Pro poloměr r libovolné vrstvy pak platí H IgO = - H (H - z) H (9.14) Dosazením z (9.13) a (9.14) do poslední z rovnic (9.11) dostaneme r/zdV = ^/v-Z)2dZ VH2 2Z3H 2 u4 r -rfh VH2 3 + 2 H H2 lh + Ih2 zrH1 -i* Pro zadané číselné hodnoty pak vychází 7i(88m)2(40m)4 ZT ~ (4,09-105 m3)(50,8m)2 ' "1 4 2(50.8 m) (50,8 m)2 3(40m) ' 2(40 m)2 = 12,37 m = 12 m. (Odpověď) (b) Předpokládejme, že průměrná hustota materiálu, z něhož je mohyla SilburyHill postavena, je q = 1,5-103 kg-m" 3. Jakou práci vykonali dělníci při vršení mohyly, jestliže zeminu zvedali z úrovně základny kužele? ŘEŠENÍ: K výpočtu elementární práce dVV" potřebné k vyzdvižení hmotného elementu dm do výšky z použijeme rov. (7.21), do níž dosadíme (p = 180°: dW -dm g z cos 180° = g z dm. Ze vztahu (9.10) vyjádříme dm = gdV a dosazením do předchozí rovnice dostaneme dW = Qgz dV. Celkovou práci vypočteme pomocí integrálu jako součet elementárních prací dW: W = J dW = J QgzdV = Qg j : dV. Ze vztahů (9.11) je zřejmé, že poslední integrál má hodnotu Vzt- Nakonec tedy dostáváme W =QVgZT- (9.15) Práce potřebná k navršení mohyly Silbury Hill je tedy stejná jako práce, kterou bychom museli vykonat při zvednutí stejně hmotného bodového objektu z úrovně základny do těžiště mohyly. Pro číselné hodnoty uvedené v zadání úlohy pak z rov. (9.15) dostaneme: W = (1.5T03kg-nT3)(4,09-105m3) ■ (9.8m-s-2)(12,37m) = = 7,4-1010J. (Odpověď) RADY A NAMETY Bod 9.1: Úlohy o těžišti V příkladech 9.1 až 9.3 jsme se seznámili se třemi různými způsoby zjednodušení úloh směřujících k výpočtu polohy těžiště: (1) Využití všech prvků symetrie zadaného tělesa (střed symetrie, osy symetrie, roviny symetrie). (2) Těleso lze pro účely výpočtu rozdělit na několik částí a každou z nich nahradit částicí umístěnou v jejím těžišti. (3) Vhodná volba souřadnicových os: volba souřadnic nemá vliv na polohu těžiště soustavy částic vzhledem k těmto částicím. Je proto vhodné volit počátek i osy soustavy souřadnic tak, aby se výpočet co nejvíce zjednodušil. Je-li zadaná soustava tvořena jen několika částicemi, volíme obvykle počátek soustavy souřadnic v některé z nich. Má-li soustava navíc osu symetrie, ztotožníme ji s některou ze souřadnicových os, například s osou x. 9.3 VETA O HYBNOSTI Slcdujeme-li srážku dvou kulečníkových koulí, z nichž jedna je zpočátku v klidu, přirozeně očekáváme, že i po srážce bude soustava nějak pokračovat v pohybu ve směru nárazu. Asi bychom se divili, kdyby se obě koule vrátily zpět nebo se třeba pohybovaly obě stejným směrem kolmým k pohybu první koule před srážkou. Bod, který se stále pohybuje kupředu bez ohledu na srážku, opravdu existuje. Je jím těžiště soustavy našich dvou koulí. Snadno se o tom přesvědčíme přímo při kulečníkové hře. Stačí si uvědomit, žc těžiště soustavy dvou stejně hmotných těles leží vždy uprostřed mezi nimi. Ať je srážka jakákoliv — přímá, nebo zcela obecná, těžiště se neochvějně pohybuje kupředu, jako by srážka vůbec nenastala. Sledujme tento jev podrobněji. Místo dvojice kulečníkových koulí vezměme v úvahu soustavu n částic, jejichž hmotnosti jsou obecně různé. Budeme se zabývat pohybem těžiště této soustavy, bez ohledu 214 kapitola 9 soustavy částic na pohyb jednotlivých částic. I když je těžiště pouze geometrickým bodem, můžeme o něm uvažovat jako o částici, jejíž hmotnost je rovna celkové hmotnosti soustavy. Můžeme mu přisoudit polohu, rychlost i zrychlení. Později ukážeme, že vektorová rovnice popisující pohyb těžiště soustavy částic, zvaná věta o hybnosti (soustavy částic) neboli první impulzová věta,* má tvar Mar = y>ext. (9.16) Vztah (9.16) má tvar druhého Newtonova zákona pro těžiště soustavy částic. Skutečně, má stejný tvar (ma = = J2 F) jako druhý Newtonův zákon pro částici. Veličiny vystupující v rov. (9.16) je však třeba správně interpretovat: Yl Fcxt je vektorový součet všech vnějších sil působících na soustavu, tj. všech sil, jimiž okolní objekty působí na jednotlivé částice soustavy. Síly, kterými na sebe působí jednotlivé částice, resp. části soustavy navzájem, se nazývají silami vnitřními. Ve vztahu (9.16) nevystupují, neboť podle třetího Newtonova zákonaje jejich součet roven nule: J2 Fint = 0. M jc celková hmotnost soustavy. Předpokládáme, že nedochází k výměně hmoty mezi soustavou a jejím okolím, takže M je konstantní. Taková soustava se nazývá uzavřená. ar je zrychlení těžiště soustavy. Vztah (9.16) nedává žádnou informaci o zrychlení jiných bodů soustavy. Jako každá vektorová rovnice je i rov. (9.16) ekvivalentní třem rovnicím skalárním pro složky vektorů VJ Fcxt a aj vzhledem ke zvolené soustavě souřadnic: MaT,x = ^2 Fexi,x, MaT,y = J2F™t,y> (9-17) MaTtZ = J2F^U- Vraťme se nyní k původnímu problému a zkoumejme chování soustavy dvou kulečníkových koulí. Po uvedení první koule do pohybu je výsledná vnější síla působící na soustavu nulová, tj. ^Fext = 0. Podle rov. (9.16) je tedy nulové i zrychlení těžiště soustavy (a-/ = 0). Těžiště soustavy koulí se tedy před srážkou pohybuje konstantní rychlostí. Při srážce na sebe koule působí silami, které jsou z hlediska soustavy silami vnitřními. Tyto síly mají sice vliv na pohyb každé z koulí, neovlivní však pohyb těžiště soustavy. Nepřispívají totiž k výrazu Y Fcxt, jehož hodnota * Její první název pochopíme později 7 jejího ekvivalentního zápisu (9.28). Druhý název souvisí s rovnicí (10.4). tak zůstává stále nulová. Těžiště soustavy se i po srážce pohybuje konstantní rychlostí, shodnou s jeho rychlostí před srážkou. Rov. (9.16) platí nejen pro soustavu částic, ale i pro tuhé těleso, jakým je např. baseballová pálka na obr. 9.1b. V tomto případě značí M v rov. (9.16) hmotnost pálky a ^ext představuje tíhovou sílu Mg, jíž na pálku působí Země. Obr. 9.7 ukazuje jiný zajímavý případ. Raketa vystřelená při ohňostroji se pohybuje po parabolické dráze a najednou se roztrhne na malé části. Kdyby k explozi nedošlo, raketa by pokračovala v pohybu po parabole, vyznačené v obrázku. Síly, které způsobily explozi, jsou z hlediska soustavy, tvořené nejprve raketou a poté všemi jejími částmi, silami vnitřními, tj. silami vzájemného působení jednotlivých částí soustavy. Zanedbámc-li odpor vzduchu, je výslednice vnějších sil působících na soustavu určena výhradně silou tíhovou: Y, ^ext = Mg, bez ohledu na to, zda raketa explodovala či nikoliv. Z rov. (9.16) je tedy zřejmé, že zrychlení těžiště soustavy úlomků (pokud jsou ještě všechny v pohybu ve vzduchu) je g a těžiště opisuje tutéž parabolickou trajektorii, po jaké by se pohybovala raketa, kdyby se neroztrhla. \ s \ Obr.9.7 Při ohňostroji exploduje raketa během letu. Zane-dbáme-li odpor vzduchu, opisuje těžiště soustavy úlomků původní parabolickou dráhu rakety, dokud některý z úlomků nedopadne na zem. Při figuře „grand jeté", zvedne baletka ruce a napne nohy do vodorovné polohy (obr. 9.8). Tím posune těžiště uvnitř svého těla co nejvýše. Těžiště samozřejmě věrně sleduje parabolickou trajektorii. Hmotnost tanečnice je však vůči němu rozložena tak, že se její hlava a trup pohybují takřka vodorovně. Odvození věty o hybnosti Věta o hybnosti je jednou ze dvou významných pohybových rovnic soustavy částic. V tomto odstavci se věnujeme jejímu odvození. Uvažujme soustavu n částic. Podle 9.3 VĚTA O HYBNOSTI 215 trajektorie hlavy tanečnice \ \ trajektorie těžiště Obr. 9.8 Baletní skok „grand jeté". (Převzato z Kennel Laws, The Physics of Dance, Schirmcr Books, 1984.) rov. (9.8) pro ni platí Mr-f = m\r\ + mír? + m 3 n + ... + m„r„, (9.18) kde M je její celková hmotnost, rj polohový vektor jejího těžiště. Derivováním rov. (9.18) podle času dostaneme Mv-r = m\V\ + míví + fft 3 V3 (9.19) Symbolem Vj (= dr; /dr) jsme označili rychlost i-té částice a ví (= drj jdť) představuje rychlost těžiště. Dalším derivováním rov. (9.19) vzhledem k času již dospějeme ke vztahu M07 = m [di +m.202 +«7303 + ... +m„an, (9.20) kdeo,- (= dv,/dř) jezrychlení/-té částice a a-j- (= dv//dl) zrychlení těžiště. Znovu si uvědomme, že těžiště je pouze geometrickým bodem. Má však smysl mu kromě polohy připisovat i rychlost a zrychlení, jako by sc jednalo o hmotnou částici. Podle druhého Newtonova zákona je součin w,o,: určen výslednicí F, všech sil působících na/'-tou částici. Vztah (9.20) můžeme tedy přepsat do tvaru MaT = Fl+F2+Fi + ...+F„, (9.21) Pravá strana rov. (9.21) zahrnuje kromě vnějších sil, jimiž na jednotlivé částice soustavy působí její okolí, i interakční síly, jimiž na sebe částice působí navzájem (vnitřní síly). Podle třetího Newtonova zákona je však součet vnitřních sil nulový, neboťjc tvořen dvojicemi typu akce — reakce, tj. dvojicemi stejně velkých opačně orientovaných sil. Na pravé straně rov. (9.21) tak zůstane pouze vektorový součet vnějších sil působících na soustavu, ve shodě s včtou ohybnosti (9.16). j^ONTROLA 2: František a Eva bruslí ve dvojici. Drží přitom v rukou opačné konce dlouhé tyče. František má dvakrát větší hmotnost než Eva, hmotnost tyče je zanedbatelná. Tření mezi bruslemi a ledem rovněž zanedbáváme. Bruslaři jsou zpočátku v klidu, (a) Potom František začne ručkovat k Evě, zatímco ona drží pevně v rukou svůj konec tyče. Určete polohu bodu, v němž se setkají, (b) Řešte tutéž úlohu za předpokladu, že se Eva přitahuje k Františkovi, a (c) za předpokladu, že ručkují oba. Soustavu souřadnic volíme tak, že její počátek umístíme do počáteční polohy těžiště soustavy a jednu z os namíříme podél tyče. PŘIKLAD 9.5 Na obr. 9.9a je soustava tří částic, které jsou zpočátku v klidu. Na každou z nich působí vnější síla, která je v obrázku rovněž vyznačena. Určete zrychlení těžiště soustavy. ŘEŠENI: Podle př. 9.1 vypočteme počáteční polohu těžiště soustavy (obr. 9.9a). Jak napovídá obr. 9.9b, zacházíme s ním jako s částicí o hmotnosti M, shodné s celkovou hmotností soustavy (16 kg), na niž působí všechny vnější síly působící na soustavu. Výslednice všech vnějších sil působících na soustavu Fexi představuje tedy výslednici všech sil působících na těžiště. Její x-ová, resp. y-ová složka jsou ^FeXt..v = (14N) - (6,0 N) + (12 N) cos 45° = 16,5 N, resp. fext.v = (12N) sin4.v = 8,49N. 216 KAPITOLA 9 SOUSTAVY ČÁSTIC Výsledná síla má velikost Pa, = \/(16,5 N)2 + (8,49 N)2 = 18,6N a svírá s osou x úhel 49 NN tg e 16,5N = 0,515, 0 = 21° (Odpověď) Tímto úhlem je určen směr zrychlení těžiště aj, jehož velikost je podle rov. (9.16) £Fcx, (18,6 N) _2 . aj — ——— = —— = l,16m-s = m (16 kg) = l,2m-s~'. 6,0 N ........< 6,0 ; 1 4< . r 14N -3 1 (i) Obr. 9.9 Příklad 9.5. (a) Na tři částice, které jsou zpočátku v klidu, působí vnější síly. Těžiště soustavy je v bodě označeném t. (b) Vnější síly umístíme do těžiště. Jeho pohyb se řídí stejnými zákonitostmi jako pohyb částice o hmotnosti m shodné s celkovou hmotností soustavy. Obrázek zachycuje výslednici vnějších sil i zrychlení těžiště soustavy částic. Pohyb každé z částic na obr. 9.9a je přímočarý a rovnoměrně zrychlený, stejně jako pohyb těžiště celé soustavy. Jednotlivá zrychlení jsou však navzájem různá. Poněvadž zpočátku byly částice v klidu, bude se každá z nich pohybovat s rovnoměrně rostoucí rvchlostí ve směru síly, která na ni působí. Těžiště se bude pohybovat po přímce rovnoběžné s vektorem aj. 9.4 HYBNOST Hybnost částice p je vektorová veličina definovaná vztahem p = mv, (9.22 kde m je hmotnost částice a v její rychlost. Hmotnost částice je kladná skalární veličina. Vektory p a v jsou tedy souhlasně rovnoběžné. Z rov. (9.22) je také zřejmé, že jednotkou hybnosti v soustavě jednotek SI jekg-m-s-1. Původní Newtonova formulace druhého zákona již pojem hybnosti obsahovala: Časová změna hybnosti částice je rovna výslednici sil. které na částici působí. Matematické vyjádření tohoto zákona má tvar Předpokládejme, že hmotnost částice je neproměnná. Dosazením za p z definičního vztahu (9.22) a úpravou pak dostaneme dp dř d ďf (mv) dv m— = ma. dř Vztahy V^F = dp/dř a V^F = ma tedy představují dvě ekvivalentní vyjádření druhého Newtonova zákona pro pohyb částice s konstantní hmotností v rámci klasické mechaniky. Hybnost při velmi velkých rychlostech Víme již, že pro částice s rychlostmi blízkými rychlosti světla nesouhlasí výsledky newtonovské mechaniky s experimenty. V takových případech musíme použít Einsteinovu speciální teorii relativity. Vztah dp/dř = F zůstane v platnosti i v rámci této obecnější teorie za předpokladu, že změníme definici hybnosti takto: m v v/l-OVc)2 (9.24) Člen . signalizuje relativistický charakter vztahu. 9.5 hybnost soustavy částic 217 Tabulka 9.1 Některé definice a zákony v klasické mechanice definice nebo zákon Jedna částice soustava částic Druhý Newtonův zákon Hybnost Druhý Newtonův zákon ma = J^F p = m v dt z- (5.1) (9.22) (9.23) m0r = £Fe)sl (9.16) P = Mvj (9.26) dP — =E>rext (9.28) Rychlosti běžných makroskopických objektů, jakými jsou například míče, projektily nebo kosmické sondy, jsou ovšem mnohem menší než rychlost světla, takže veličina (v/c) v rovnici (9.24) je prakticky nulová. V takovém případě lze (9.24) nahradit klasickou definicí (9.22) a Einsteinova speciální teorie relativity se redukuje na newto-novskou mechaniku. U elektronů a jiných subatomových částic lze však snadno dosáhnout rychlostí velmi blízkých rychlosti světla. Pak je nutné použít pro vyjádření hybnosti vztahu (9.24), a to dokonce i při rutinních technických výpočtech. 9.5 HYBNOST SOUSTAVY ČÁSTIC Uvažujme nyní soustavu n částic, z nichž každá je charakterizována svou hmotností, rychlostí a hybností. Částice mohou vzájemně interagovat a okolní objekty na ně mohou působit vnějšími silami. Soustavě přisoudíme celkovou hybnost P, definovanou jako vektorový součet hybností jednotlivých částic: P = pi + po + P3 + • • ■ + Pn = = m i V] + ni2V2 + W3V3 + ... + m„ v„. (9.25) Porovnáme-li tento vztah s (9.19), vidíme, že platí P = MvT. (9.26) Hybnost soustavy částic můžeme tedy vyjádřil i jinak: Hybnost soustavy částic je rovna součinu její celkové hmotnosti M a rychlosti jejího těžiště. Derivací rov. (9.26) dostaneme dP ávT — = M—- = MaT. (9.27) dt dt Porovnáním rov. (9.26) a (9.27) získáme nakonec ekvivalentní vyjádření věty o hybnosti ve tvaru dP x , Tento výsledek můžeme považovat za zobecnění druhého Newtonova zákona pro částici, zapsaného ve tvaru (dp/dí) = 5~JF, 113 případ soustavy částic. (Uvědomme si, že jsme při formulaci tohoto zobecnění použili i třetího Newtonova zákona.) Vtab. 9.1 jsou shrnuty důležité vztahy platné pro jednu částici a odpovídající vztahy odvozené pro soustavu částic. j£ONTROLA 3: Na obrázku je znázorněna casova závislost hybnosti částice pohybující se po přímce. Na částici působí síla ve směru této přímky, (a) Seřaďte čtyři označené oblasti sestupně podle velikosti této síly. (b) V které oblasti je částice brzděna? p f 4 PŘÍKLAD 9.6 Obr. 9.10a zachycuje dětské autíčko o hmotnosti 2,0 kg před a za zatáčkou. Velikost jeho rychlosti před zatáčkou je 0,50m-s_1, za zatáčkou 0,40m-s~'. Určete odpovídající změnu hybnosti AP. ŘEŠENI: K vyjádření počáteční a výsledné hybnosti aulíčka použijeme vztahu (9.26). Nejprve však musíme vyjádřit vektor jeho rychlosti v\ před zatáčkou a vektor rychlosti vt poté, co autíčko zatáčkou projelo. Zvolíme-li soustavu souřadnic podle obr. 9.10a, dostaneme v, = -(O.SOm-s-1)/ a vf = (0,40 nvs-1)/, Pro odpovídající hybnosti P, a Pf pak podle rov. (9.26) platí P = Mv, = (2.0kg)(-0,50m-s"l)y = (-l.OkgTn-s-1)/ a Pf = Mvf = (2,0kg)(0,40m-s"')i= (O.SOkg-m-s"1)/. Tyto hybnosti mají různý směr. Proto nemůžeme vyjádřit změnu hybnosti AP jako pouhý rozdíl velikostí vektorů Pf a Pj. Změna hybnosti je dána vektorovým vztahem AP = Pf-Pj, (9.29) 218 kapitola 9 soustavy částic tj- AP = (0,80kg-m-s (-l,Okg-m-s-1)/ = = (0,8/+ l,Q/)kg-ms (Odpověd) Na obr. 9.10b jsou vyznačeny vektory AP, Pf a —P\. Připomeňme si, že P; odečítáme od Pf tak, že k vektoru Pf přičteme vektor — P\. lim,:...... (a) (h) Obr. 9.10 Příklad 9.6. (a) Autíčko v zatáčce závodní dráhy, (b) Změna hybnosti AP autíčka je vektorovým rozdílem jeho výsledné hybnosti Pf a počáteční hybnosti P,. 9.6 ZÁKON ZACHOVÁNÍ HYBNOSTI Uvažujme soustavu částic, na kterou nepůsobí žádné vnější síly (soustava je izolovaná), anebo jc výslednice vnějších sil nulová. Předpokládejme, že částice soustavu neopouštějí ani do ní nevstupují z okolí (soustava je uzavřená). S uvážením skutečnosti, že Fext = 0, dostaneme z rov. (9.28) vztah áP/át = 0, tj. P = konst. (9.30) Tento důležitý výsledek představuj e zákon zachování hybnosti a lze jej vyjádřit také ve tvaru Pi = Pf. (9.31) Indexy (i), resp. (f) označují hybnost soustavy v počátečním, resp. koncovém okamžiku. Vztahy (9.30) i (9.31) vyjadřují, že celková hybnost soustavy částic se nemění, je-li výslednice vnějších sil působících na soustavu nulová. Toto tvrzení zahrnuje i méně obecnou, avšak rovněž důležitou formulaci zákona zachování hybnosti: hybnost izolované soustavy částic je stálá. Podobně jako v případě zákona zachování energie, formulovaného v kap. 8, sahá platnost zákona zachování hybnosti za rámec newtonovské mechaniky. Tento zákon totiž platí i v mikrosvete, kde již s Newtonovými zákony nelze počítat. Nebude porušen ani pro soustavy částic pohybujících sc velkými rychlostmi, pro něž je nutné nahradit new-tonovskou mechaniku Einsteinovou teorií relativity, pokud hybnost vyjádříme vztahem (9.24) namísto (9.22). Z rov. (9.26) (P = Mvj) je zřejmé, že v případě konstantní celkové hybnosti P je stálá i rychlost těžiště soustavy v[. Znamená to, že jeho zrychlení aj jc nulové, přesně ve shodě s větou o hybnosti uvedenou v tab. 9.1. Vztahy (9.30) a (9.31) mají vektorový charakter a každý z nich je proto ekvivalentní třem skalárním rovnicím, vyjadřujícím zachování jednotlivých složek vektoru celkové hybnosti. V závislosti na silovém působení okolí na uvažovanou soustavu částic mohou nastat i situace, kdy se zachovává jen jedna nebo dvě složky celkové hybnosti: Je-li některá složka výslednice vnějších sil působících na uzavřenou soustavu nulová, pak se odpovídající složka celkové hybnosti soustavy nemění. Pro ilustraci si představme letící míč. Při zanedbatelném odporu prostředí je jedinou silou, která na míč při jeho pohybu působí, tíhová síla mg. Ta ovšem směřuje svisle dolů. Svislá složka hybnosti míče se tedy mění, zatímco její vodorovná složka se zachovává. Znovu připomeňme, že celkovou hybnost uzavřené soustavy lze změnit jen působením vnějších sil. Působení vnitřních sil může sice vést ke změnám hybnosti jednotlivých částí soustavy, ke změně celkové hybnosti však nepřispívá. j^ONTROLA 4: Předmět spočívající v klidu na vodorovné dokonale hladké podložce explodoval a roztrhl se na dvě části. Jedna z nich se dala do pohybu podél kladné osy x. (a) Jaká byla celková hybnost soustavy po výbuchu? (b) Mohla se druhá část pohybovat po přímce svírající s osou x nenulový úhel? (c) Jaký byl směr vektoru hybnosti druhé části? PŘÍKLAD 9.7 Záhadná bedna o hmotnosti m — 6,0 kg klouže po dokonale hladké vodorovné podlaze podél kladné osy x. Velikost její rychlostijeu = 4,0 ms_l .Náhle bedna vybuchne arozpadne se na dvě části: jedna z nich, o hmotnosti m\ = 2,0kg, se dále pohybuje podél kladné osy x rychlostí o velikosti u, = 8,0m-s_l. Jaká je rychlost druhé části? ŘEŠENI: Soustava částic, kterou sledujeme, jc tvořena nejprve bednou a po jejím roztržení oběma jejími částmi. Jedná se sice o soustavu uzavřenou, nikoli však izolovanou. Na 9.6 ZÁKON ZACHOVÁNÍ HYBNOSTI 219 bednu samotnou i na každou její část působí totiž jednak tíhová síla, jednak tlaková síla podlahy. Všechny tyto síly jsou svisle a nepřispějí proto ke změně vodorovné složky celkové hybnosti soustavy. Síly, jimiž na sebe působí jednotlivé části bedny při explozi, neovlivní celkovou hybnost vůbec, neboť jsou vnitřními silami soustavy. Vodorovná složka hybnosti soustavy se tedy zachovává a platí pro ni vztah (9.31). Počáteční hybnost soustavy je určena hybností bedny P\ = mv. Hybnost soustavy Py po roztržení bedny je dána vektorovým součtem hybností obou částí: P [i = m ] V] a Pii = »iiV2; Pí = P u + Pli = in i V[ + miVT. Pro snazší vyjádření složek vektorů hybnosti spojíme soustavu souřadnic s podlahou a osu x zvolíme ve směru pohybu bedny. Všechny vektory hybnosti mají tedy směr osy x a jejich x-ové složky jsou dány přímo jejich velikostmi opatřenými příslušnými znaménky. Z (9.31) pak dostaneme Pl, = Pf,x, tj- mvx = rn\V\x -\-miV2x- Uvážíme-li, že hmotnost druhé části bedny je in; = m — — m\ = 4,0kg, a dosadíme-li do obecných vztahů vstupní číselné údaje, dostaneme nakonec (6,0kg)(4,0m-s-1) = (2,0kg)(8,0m-s"') + (4,0kg)u2j, odkud V2x — 2,Qm-s_1. (Odpověd) Výsledná hodnota je kladná. Znamená to, že se druhá část bedny pohybuje rovněž ve směru kladné osy x. PŘÍKLAD 9.8 Z děla o hmotnosti M = 1 300 kg byla ve vodorovném směru vypálena koule o hmotnosti m = 72 kg (obr. 9.11). Rychlost koule vzhledem k dělu jc v a má velikost v — 55 m-s . Při zpětnému rázu se dělo volně pohybuje vzhledem k Zemi rychlostí V. (a) Určete vektor V. ŘEŠENÍ: Uvažujme soustavu složenou ze dvou těles, děla a koule. Díky této volbě budou síly vzájemného působení děla a koule při výstřelu vnitřními silami soustavy a není třeba sc jimi zabývat. Vodorovné složky vnějších sil působících na soustavu jsou nulové a vodorovná složka celkové hybnosti soustavy se při výstřelu zachovává. Rychlost koule vzhledem k Zemi v% jc rovna vektorovému součtu rychlosti koule vzhledem k dělu a rychlosti děla vzhledem k Zemi, tj. V7; = V + V. Soustavu souřadnic spojíme se zemským povrchem a osu x namíříme vc směru hlavně (na obr. 9.11 vpravo). Všechny rychlosti mají směr osy x. (V obrázku směřuje rychlost V doleva, její skutečnou orientaci však dosud neznáme.) Pak '-/., - r, ■ \\. (9.32) Před výstřelem má soustava nulovou hybnost P\ — 0. Vodorovnou složku její hybnosti po výstřelu označme Pyx. Podle (9.32) pro ni platí P(.x = MVx+mvz,x - MV, +m(vx + Vx). První člen na pravé straně teto rovnosti představuje vodorovnou složku hybnosti děla a druhý vodorovnou složku hybnosti koule vzhledem k Zemi. Vodorovná složka celkové hybnosti se ovšem nemění, tj. Pf x = PÍX. Platí tedy 0 = MVX +m(vx + Vx). Řešením této rovnice vzhledem k neznámé Vx dostaneme mvx (72kg)(55 m-s-1) v ~ ~ M + m ~ ~ (1300 kg + 72 kg) ~ = -2,9 m-s"1. (Odpověd) Záporné znaménko potvrzuje očekávání, že se dělo při zpětném rázu pohybuje v opačném směru než koule (v obr. 9.11 vlevo). — vymezení soustavy M —,— -.— —■—■-—-■-—X Obr. 9.11 Příklad 9.8. Dělo o hmotnosti M vypálilo kouli o hmotnosti m. Koule má rychlost vz vzhledem k Zemi a rychlost v vzhledem k dělu. Rychlost zpětného rázu děla vzhledem k Zemi je V. (b) Určete rychlost koule vzhledem k Zemi vj. ŘEŠENÍ: Z rovnice (9.32) vyplývá nz,x = vx + Vx = (55 m-s"1) + (-2,9 m-s"1) = = 52 m-s"1. (Odpověď) Vlivem zpětného rázu děla se koule pohybuje vzhledem k Zemi poněkud pomaleji, než kdyby ke zpětnému rázu nedocházelo. 220 KAPITOLA 9 SOUSTAVY ČÁSTIC Při řešení této úlohy jsme si mohli uvědomit důležitost vhodného vymezení studované soustavy částic (dělo + koule) i vhodné volby vztažné soustavy, vzhledem k níž vyjadřujeme složky vektorových veličin. (Ze dvou přirozeně sc nabízejících možností, spojit soustavu souřadnic buď s povrchem Země, nebo s pohybujícím se dělem, jsme rozumně zvolili prvou možnost.) -X -X (a) (b) Obr. 9.12 Příklad 9.9. (a) Vesmírná loď s přepravním modulem se pohybuje rychlostí v\. (b) Přepravní modul se odpoutal od lodi. Loď sc nyní pohybuje rychlostí Vf a modul rychlostí U. ŘEŠENÍ: Soustava tvořená lodí a modulem je uzavřená a izolovaná. Její celková hybnost se tedy zachovává, tj. Pi = Pi, (9.33) Indexy (i) a (f) označují hybnost soustavy před a po odpoutání modulu. Soustava souřadnic je volena tak, žc osa x směřuje ve směru pohybu lodi. Všechny vektorové veličiny popisující pohyb jednotlivých částí soustavy vc všech jeho fázích mají tedy nenulové pouze x-ové složky, které jsou navíc rovny velikostem příslušných vektorů. Platí Pi =Mví. (9.34) Označíme-li symbolem U rychlost uvolněného modulu vzhledem ke Slunci, můžeme výslednou hybnost soustavy Pf vyjádřit vztahem Pf = (0.20 A-/W + (0,80M)uf. (9.35) První člen na pravé straně odpovídá hybnosti modulu a druhý hybnosti lodi. Relativní rychlost vrcl lodi vzhledem k modulu je rovna rozdílu jejich rychlostí, tj. Viň = ví - U. Odtud U = v f - Vrel- Dosazením tohoto výrazu do rov. (9.35) a využitím vztahů (9.33) a (9.34) dostaneme My, = 0,20M(t)f - LVei) + 0,80M«f. Odtud již snadno získáme výslednou rychlost lodi: Vf = V\ + 0,20l>rel, ti- Vf = (2 100 km/h) + 0,20(500 km/h) = = 2200km/h. (Odpověd) J^ONTROLA 5: V následující tabulce vztahující se k příkladu 9.9 jsou uvedeny některé hodnoty určující rychlost vesmírné lodi a přepravního modulu vzhledem ke Slunci, resp. relativní rychlost lodi vzhledem k modulu. Doplňte chybějící údaje. RYCHLOSTI (km/h) MODUL LOĎ RELATIVNÍ RYCHLOST (km/h) (a) 1500 2000 (b) 3 000 400 (c) 1000 600 PŘÍKLAD 9.10 Dvě tělesa na obr. 9.13 jsou spojena ideální pružinou a mohou se pohybovat po dokonale hladké vodorovné podložce. Jejich hmotnosti jsou m\ ami. Tělesa nejprve oddálíme (pružina se napne) a poté uvolníme. vymezení soustavy v2 V] — ■> <- m 2 1 k m 1 j bez tření -X Obr. 9.13 Příklad 9.10. Dvě tělesa spojená pružinou a ležící na dokonale hladké vodorovné podložce nejprve oddálíme a poté uvolníme. Vektorový součet jejich hybností zůstává při jejich dalším pohybu nulový. V obrázku je vyznačen i způsob vymezení soustavy. (a) Jaký je poměr rychlostí V] jvi přibližujících se těles? PŘIKLAD 9.9 Představme si vesmírnou loď o celkové hmotnosti M vybavenou přepravním modulem, která letí vesmírem rychlostí Pi = 2 100 km/h vzhledem ke Slunci (obr. 9.12a). Poté, co se přepravní modul o hmotnosti 0.20M odpoutá od lodi pomocí malého výbuchu (obr. 9.12b), pohybuje se loď o 500 km/h rychleji než modul. (Velikost relativní rychlosti lodi vůči modulu je tedy vrei = 500km/h.) Určete velikost rychlosti lodi Vf vzhledem ke Slunci. U Vf -O -> HOP— , , , 0,20M 0.80AÍ prepravní modul 9.6 ZÁKON ZACHOVANÍ HYBNOSTI 221 ŘEŠENÍ: Sledujeme soustavu obou těles spojených pružinou. Vztažná soustava je spojena s podložkou a osa x směřuje podél pružiny. Počáteční hybnost P soustavy před uvolněním těles je nulová. V libovolném okamžiku po uvolnění těles lze hybnost soustavy zapsat ve tvaru Pf = m iv\ + D12V2- Ze zákona zachování hybnosti plyne rovnost p = Pf, tj. 0 = m\V\ + m2v2. (9.36) S ohledem na speciální volbu soustavy souřadnic můžeme psát (9.37) Vl.x lili m i ' Záporné znaménko vyjadřuje skutečnost, že rychlosti těles mají v každém okamžiku opačný směr. Rov. (9.37) platí v libovolném okamžiku po uvolnění těles bez ohledu na jejich okamžitou rychlost. (b) Jaký je poměr kinelických energií \ /£k.2 přibližujících se těles? ŘEŠENI: Poměr \lEu.i lze zapsat ve tvaru Dosazením za v\,_x/v2..\ z rov. (9.37) a úpravou dostaneme (9.38) f k.l _ mi Fk.i nu ' Zatímco se tělesa k sobě přibližují, zmenšuje se prodloužení spojovací pružiny. Pružná potenciální energie tak klesá vc prospěch kinetických energií těles. Hodnoty veličin Ekj a £k.2 rostou, jejich poměr se však nemění. Podle rov. (9.38) je lotiž v každém okamžiku určen podílem hmotností těles. Kinetická energie obou těles je nej větší ve chvíli, kdy je pružina opět nenapjatá. Poté se pružina začne stlačovat a pružná energie soustavy poroste na úkor energie kinetické. Vztah (9.38) však platí i v této fázi pohybu. Vztahy (9.36) až (9.38) platí i v jiných situacích, kdy se dvě tělesa přitahují (nebo odpuzují). Můžeme je použít například při sledování pádu kamene k Zemi. V analogii s př. 9.10 a obr. 9.13 bude kámen představovat těleso 1 a Země těleso 2. Vzájemné působení kamene a Země je ovšem popsáno nikoli pružnými, nýbrž gravitačními silami. Vztažnou soustavu spojíme s těžištěm dvojice kámen + Země (takzvaná těžišťová soustava). Z rov. (9.36) je vidět, že vzhledem k takto zvolené vztažné soustavě jsou hybnosti kamene a Země v každém okamžiku stejně velké. Z rov. (9.37) a (9.38) je pak zřejmé, že padající kámen má vzhledem k těžišťové soustavě mnohem větší rychlost i kinetickou energii než Země, neboť mi » m\. PRÍKLAD 9.11 Uvnitř tělesa o hmotnosti M, které leží na vodorovné dokonale hladké podlaze, je umístěna malá rozbuška. Výbuch roztrhne tčlcso na tři části, které se dají do pohybu po podlaze. Obr. 9.14 ukazuje pohled shora na situaci. Díl C o hmotnosti 0,30AÍ má po výbuchu rychlost o velikosti Dfx = 5,0 m-s"1. 100 80 B Vľf.B '130c (a) (b) Obr. 9.14 Příklad 9.11. Tři díly rozbitého tělesa se pohybují různými směry po dokonale hladké vodorovné podlaze, (a) Pohled na situaci shora, (b) Totéž s vyznačením soustavy souřadnic. (a) Jaká je rychlost dílu B o hmotnosti 0.20M? ŘEŠENÍ: Zvolme soustavu souřadnic podle obr. 9.14b: záporný směr osy x splývá se směrem vektoru rychlosti Kf.A-Osa x svírá s vektorem v^x: úhel 80" a s vektorem Vf.B úhel 50°. Obě složky celkové hybnosti soustavy, tvořené nejprve tělesem a po rozpadu všemi jeho částmi, se zachovávají. Síly působící při výbuchu jsou totiž vnitřními silami soustavy a vnější síly (tíhová a normálová) jsou kolmé k souřadnicové rovině xy. Při výpočtu rychlosti dílu B vyjdeme zc zákona zachování pro y-ovou složku celkové hybnosti: (9.39) Indexy (i) a (f) symbolizují jako obvykle počáteční a koncový stav soustavy. Složky počáteční hybnosti P-, jsou nulové, neboť těleso bylo zpočátku v klidu. Abychom získali Fy v, vyjádříme y-ové složky výsledné hybnosti všech dílů tělesa: Pf.A.v = 0, Pf.B.r = -0,20Aídi.b.v = -0,20Mi.'f,B sin50", Pf.c.y = 0,30;Wí,y.c:.v = 0,30Aíi'f.csin80o. (Uvědomme si. že vzhledem k speciální volbě os soustavy souřadnic je pí..\.y = 0.) Vztah (9.39) lze tedy přepsat do Iv aru P\,y = Pf.y = Pf.A,v + Pí.h.y + P\.c,y Dosazením i>f.c = 5.0m-s"' dostaneme 0 = 0- 0,20AřUf,B sin 50° + (0,30M)(5,0m-s_1) sin 80° 222 KAPITOLA 9 SOUSTAVY ČÁSTIC a odtud Uf.B = 9,64 m-s-1 = 9,6 ms"1. (Odpověď) (b) Jaká je rychlost části B? ŘEŠENI: Vzhledem k tomu, že se zachovává i x-ová složka celkové hybnosti, můžeme psát /' , = (9.40) Platí Pi.x = 0 (těleso bylo zpočátku v klidu). Vyjádříme x-ové složky výsledných hybností jednotlivých dílů tělesa (díl A má hmotnost 0,50M): Pi,a,x = -0,50Mi>f.A, pf B x - 0,20Muf,B.A. = 0,20A7!;f.Bcos50', pfCx = 0.30Muf.c.v = 0,30Muf,ccos80o. Vztah (9.40) nabývá tvaru P\,x - Pf,x = Pf.a.x + Pi.B.x + Pr.c.x- Dosadíme i'f.c = iOm-s"' a i>r,B = 9,64m.s_l a dostaneme 0 = -0,50Mur,A + 0>2t>M(9,64m-s~1)cos50o + + 0,30M(5,0m.s_1)cos 80°. Odtud již získáme velikost rychlosti dílu A: t>fjA = 3,0m-s '. (Odpověď) j^ONTROLA 6: Předpokládejme, že těleso v př. 9.11 je urychlováno ve směru záporné osy y (pohybuje se například po nakloněné rovině). Rozhodněte, zda se zachovává (a) x-ová složka jeho celkové hybnosti (podle (9.40)) a (b) y-ová složka jeho celkové hybnosti (vztah (9.39)). RADY A NÁMĚTY Bod 9.2: Zachování hybnosti Je vhodné vrátit se k bodu 8.2, který se týkal zákona zachování mechanické energie. Otázky, které v něm byly formulovány, stojí za zamyšlení i v souvislosti s úvahami o zákonu zachování hybnosti. Při výpočtech vycházejících ze zákona zachování hybnosti se především vždy ujistíme, zda soustava, pro niž chceme zákon zachování hybnosti použít, je uzavřená a izolovaná. Uzavřenost znamená, že si soustava nevyměňuje částice se svým okolím (žádná částice neprojde ze soustavy do okolí ani naopak). Soustavu považujeme za izolovanou, je-li její interakce s okolními objekty zanedbatelná. Z hlediska zákona zachování hybnosti se jako izolovaná chová i soustava, na kterou její okolí působí silami s nulovou výslednicí. Není-li soustava uzavřená nebo izolovaná, vztahy (9.30) a (9.31) neplatí. Připomeňme si, že hybnost je vektorová veličina. Má tedy smysl uvažovat o zachování každé z jejích složek odděleně. Daná složka celkové hybnosti soustavy se zachovává za předpokladu, že odpovídající složka výslednice vnějších sil, jimiž na částice soustavy působí její okolí, je nulová. V př. 9.8 byla nulová vodorovná složka výslednice vnějších sil působících na soustavu dělo + koule. Zachovávala se tedy vodorovná složka hybnosti soustavy. Svislá složka výsledné vnější síly ovšem nulová nebyla, neboť na letící kouli působila tíhová síla. Svislá složka hybnosti soustavy byla proměnná. Vybereme dva vhodné stavy soustavy (počáteční a koncový) a vyjádříme její celkovou hybnost v každém z nich. Přitom bychom si měli stále uvědomovat, v jaké vztažné soustavě pracujeme. Musíme dát pozor, abychom do celkové hybnosti neopomněli zahrnout hybnost některé z částí studované soustavy, nebo naopak do ní omylem nezapočítali hybnost objektů, které do soustavy nepatří. Tak třeba v př. 9.8 jsme se nejprve museli rozhodnout, zda použijeme vztažnou soustavu spojenou se Zemí, nebo s dělem, které se pohybuje vlivem zpětného rázu. Nakonec výrazy pro P a Pf porovnáme a řešením získané rovnice najdeme neznámou veličinu, požadovanou v zadání úlohy. jgf 9.7 SOUSTAVY S PROMĚNNOU HMOTNOSTÍ: RAKETA Prozatím jsme se zabývali soustavami, jejichž celková hmotnost byla konstantní. Tento předpoklad však nebývá vždy splněn. Uvažujme například startující raketu (obr. 9.15). Převážnou část její hmoty před startem tvoří pohonné látky, které se postupně spalují a proudí ven tryskou raketového motoru. Pro popis pohybu rakety s proměnnou hmotností použijeme větu o hybnosti, nikoli však pro raketu samotnou, nýbrž, pro soustavu, do níž kromě rakety zahrneme i zplodiny vzniklé spálením pohonných hmot, které raketu opouštějí. Hmotnost takto vymezené soustavy se nemění. Výpočet zrychlení rakety Sledujme raketu v pozdější fázi jejího pohybu v meziplanetárním prostoru, kde zanedbáme gravitační sílu i odpor prostředí. Přímočarý pohyb rakety budeme popisovat 9.7 SOUSTAVY S PROMĚNNOU HMOTNOSTÍ: RAKETA 223 -1 Obr. 9.15 Start rakety v projektu Mercury vymezení soustavy cas = t M i; Obr. 9.16b zachycuje situaci v pozdějším okamžiku t + dt. Raketa má nyní rychlost v + dv a její hmotnost je M + dM. Uvědomme si, že změna hmotnosti dM je záporná. Zplodiny vzniklé spálením pohonných látek v časovém intervalu df mají hmotnost — dM a opouštějí raketu rychlostí U měřenou ve zvolené inerciální vztažné soustavě. Uvažujme nyní soustavu tvořenou raketou a zplodinami, které ji opustily během časového intervalu dt. Tato soustava je uzavřená a izolovaná. Její hybnost se tedy v intervalu dt zachovává a platí ft. (9.41) Indexy (i) a (f) označují celkovou hybnost soustavy na začátku a na konci časového intervalu délky dr. Rov. (9.41) můžeme přepsat do tvaru Mv = -dMU+ (M+ dM)(v + dv), (9.42) kde první člen na pravé straně představuje hybnost zplodin vzniklých v časovém intervalu dř a druhý člen značí hybnost rakety na konci tohoto intervalu. Vztah (9.42) lze ještě zjednodušit zavedením relativní rychlosti u zplodin vzhledem k raketě. Tato rychlost je rozdílem rychlosti v + dv rakety na konci intervalu dr a rychlosti zplodin U: u = (v + dv) - U, tj. (a) vymezení soustavy čas = r + d, (b) Obr. 9.16 (a) Zrychlený pohyb rakety o hmotnosti M sledujeme v inerciální vztažné soustavě. Obrázek odpovídá okamžiku t. (b) Raketa v okamžiku t + dr. Obrázek znázorňuje i odpad vzniklý spálením pohonných hmot v časovém intervalu dr a vypuzený do prostoru. v inerciální vztažné soustavě a souřadnicovou osu x zvolíme ve směru tohoto pohybu. Označme M hmotnost rakety a v její rychlost (x-ová složka) v libovolném okamžiku r (obr. 9.16a). U = v + dv (9.43) Dosazením tohoto výrazu do rov. (9.42) dostáváme po malé úpravě -dMu = Mdv. (9.44) Vydělením rov. (9.44) délkou časového intervalu dř dostaneme: dM dv --u = M —. (9.45) dt dt J Výraz dM/dí vyjadřuje rychlost ubývání hmotnosti rakety. Označme jej symbolem — R, kde R (R > 0) je rychlost spotřeby paliva v kg/s. Nakonec si uvědomme, že výraz dv/dt v rov. (9.45) představuje zrychlení a rakety a přepíšeme rovnici ve tvaru Ma = Ru (rovnice Měščerského). (9.46) Rovnice (9.46) platí v libovolném okamžiku pro okamžité hodnoty hmotnosti M rakety, rychlosti R spotřeby paliva a zrychlení a rakety. 224 KAPITOLA 9 SOUSTAVY ČÁSTIC Její levá strana má rozměr síly (kg-m-s-2 = N) a závisí pouze na vlastnostech raketového motoru (na rychlosti R spotřeby paliva a na rychlosti u zplodin vzhledem k raketě). Výraz Ru na pravé straně rovnice nazveme tahem raketového motoru a označíme jej symbolem ľ. Rov. (9.46) získává při tomto označení formální podobu druhého Newtonova zákona M a = T, kde a je zrychlení rakety a M její hmotnost. Výpočet rychlosti rakety Položme si nyní otázku, jak se mění rychlost rakety při spalování pohonných hmot. Odpověď získáme integrací rovnice (9.44) upravené na tvar d ľ dM Dostaneme f ' dv = —u f Mj a M f představují počáteční a výslednou hmotnost rakety. Výpočtem integrálů dostaneme vztah Vf — (i; = « ln —- (vzorec Ciolkovského). (9.47) M; který vyjadřuje změnu rychlosti rakety při změně její hmotnosti z. hodnoty M\ na hodnotu Mf.* Dokumentuje rovněž výhodnost konstrukce vícestupňových raket, jejichž hmotnost Mf klesá nejen spalováním pohonných hmot, ale i uvolněním vyhořelých stupňů. Ideální raketu by v cíli jejího letu měl tvořil pouze užitečný náklad. PŘIKLAD 9.12 Raketa, jejíž počáteční hmotnost Ml je 850 kg, spotřebovává palivo rychlostí R — 2,3kg-s_l. Zplodiny opouštějí raketu relativní rychlostí u = 2 800 m-s 1. (a) Jaký je tah motoru? ŘEŠENÍ: Tah motoru je T = Ru = (2,3kgs-1)(2800m-s-1) = = 6 440 N = 6 400 N. (Odpověď) (b) Jaké je počáteční zrychlení rakety? ŘEŠENÍ: Z pohybové rovnice rakety dostáváme ľ (6 440 N) Mi (850kg) 7,6 m-s 2. (Odpověď) Při startu rakety z povrchu Země musí být tah T motoru větší než tíhová síla, kterou na raketu působí Země. Ta má v našem případě velikost M\g = (850 kg)(9,8m-s--) -= 8 300 N. Tah motoru je však pouhých T = 6 400 N. takže naše raketa nemůže odstartovat. Může však být do meziplanetárního prostoru vynesena nějakou silnější raketou. (c) Předpokládejme, že naše raketa startuje z vesmírné lodi. která sc již nachází v meziplanetárním prostoru. Gravitační síly tedy můžeme zanedbat. Po vyčerpání paliva má raketa hmotnost M f = 180 kg. Jaká je její rychlost vzhledem k lodi v tomto okamžiku? Předpokládejme, že hmotnost vesmírné lodi je tak velká, že start rakety její pohyb neovlivní. ŘEŠENÍ: Počáteční rychlost rakety vzhledem k vesmírné lodi je i;; = 0. Z rov. (9.47) dostaneme Di- — u In — = Mf = (2 800m-s-')ln (850 kg) (180 kg) = (2 800 m-s"1) ln 4,72 = 4300m-s (Odpověď) Všimněme si, že výsledná rychlost rakety může převýšit relativní rychlost zplodin u vzhledem k raketě. * Symbol „ln" v rovnici (9.47) značí přirozený logaritmus, tj. logaritmus o základu e (= 2,718.. 9.8 VNEJSI SILY A ZMENY VNITŘNÍ ENERGIE Krasobruslařka na obr. 9.17a sc odráží od mantinelu. Ten na ni působí silou Fcxt. svírající s vodorovnou rovinou úhel (f. Bruslařka, která byla zpočátku v klidu, získá vlivem této síly určitou rychlost, s níž se pak vzdaluje od mantinelu (obr. 9.17b). Působením síly se tedy zvýšila kinetická energie bruslařky. Případ bruslařky se liší od předchozích příkladů, kdy docházelo ke změně kinetické energie tělesa vlivem působení vnějších sil, ve dvou podstatných rysech: 1. V předchozích příkladech byla rychlost všech částí tělesa stejná (těleso jsme mohli při studiu jeho pohybu považovat za bodový objekt). V případě bruslařky již tomu tak není. Například pohyb jejích paží se liší od pohybu jejího trupu. 2. V předchozích příkladech se kinetická energie tělesa měnila vlivem působení vnějších sil na úkor energie okolí. V případě bruslařky dochází ke změně její kinetické energie na úkor energie vnitřní (biochemické). Vnější síla v tomto případě nekoná práci, neboť vektor posunutí jejího působiště je po celou dobu jejího působení nulový (síla působí na ruku bruslařky v pevném bodě mantinelu). Práci konají síly napínající svalstvo, tj. vnitřní síly soustavy. 9.8 VNĚJŠÍ SÍT.Y A ZMĚNY VNITŘNÍ ENERGIE 225 —> -> vr.o vT (c) Obr.9.17 (a) Bruslařka sc odráží od mantinelu, který na ni působí silou Fext. (b) Její těžiště má v okamžiku ztráty kontaktu s mantinelem rychlost vj. (c) Vnější síla fexl působící na brus-lařku při odrazu od mantinelu je zakreslena jako síla působící na její těžiště. Při posunutí těžiště o vektor cřy se jeho rychlost změní z vt.o na vj. Tato změna jc určena vodorovnou složkou síly Fext- Zdá se, že tyto rozdíly, odlišující popsaný případ brus-lařky od všech ostatních příkladů změny kinetické energie těles, kterými jsme se prozatím zabývali, jsou naprosto zásadní. Přesto však je možné formálně vyjádřit změnu kinetické energie bruslařkyjako práci síly Fex( působící na částici, jejímž pohybem lze nahradit pohyb bruslařkyjako celku, tj. její posuvný neboli translační pohyb. Touto „náhradní" částicí je těžiště bruslařky. Situaci ukazuje obr. 9.17c. Předpokládejme, že těžiště bruslařky se pohybuje vodorovně. Svislá složka výslednice sil působících na bruslařku, daná tíhovou silou Mg, tlakovou silou ledové plochy N a svislým průmětem síly Fcxt, je tedy nulová. Vodorovná složka Fextcos

•■ 226 kapitola 9 soustavy částic Podle vely o hybnosti je zrychlení těžiště bruslařky určeno výslednicí všech vnějších sil, které na ni působí, tj. tíhové síly, tlakové síly ledové plochy a tlakové síly mantinelu: MaT — Mg + N + Fext. Této vektorové rovnici odpovídají dvě skalární rovnice pro její složky: Maj,x = Fexi cosip, MaT,y = -Mg + N + Fexl sirup. Pro změnu kinetické energie bruslařky tedy dostáváme \Mvj - \Mvj0 = Fext cos(pdT.x + + (-Mg + N + Fext sin (p)dT,y. Výraz —Mgdr.y představuje práci tíhové síly, tj. záporně vzatou změnu tíhové potenciální energie soustavy brus-lařka + Země. Porovnáme-li předchozí vztah s rov. (9.53), můžeme psát AEk.T + AEp,T- - Fex, cos (9.5) (9.8) kde M je celková hmotnost soustavy. Je-li hmota soustavy rozložena spojitě, je poloha těžiště dána vztahy 1 f J 1 f 1 f xt = — / xdin, vt — — / y ům. zt = — / z dm. M J M J ■ M J (9.9) Je-1 i hustota tělesa (hmotnost jednotkového objemu) konstantní, lze rov. (9.9) přepsat ve tvaru xt = i jxdV, yT = i j ydV, zT = ^ j zdV, (9.11) kde V je objem tělesa o hmotnosti M. Věta o hybnosti pro soustavu částic Pohyb těžiště libovolné soustavy částic se řídí větou o hybnosti: MaT = ^Feitt- (9.16) Symbolem J2Fe\t jsme označili výslednici vnějších sil působících na soustavu, M je celková hmotnost soustavy a ar zrychlení jejího těžiště. Hybnost a věta o hybností Hybnost jedné částice p jc vektorová veličina definovaná vztahem p = mv. (9.22) Druhý Newtonův zákon pak můžeme pomocí hybnosti přepsat ve tvaru ňn - - (9.23) dp dt Pro soustavu částic mají předchozí vztahy tvar P = MvT dP dt ^—' Relativistická hybnost Relativistická delinice hybnosti má tvar (9.26) (9.28) P = Ví-(v/c)2 (9.24) Tuto definici, jejíž platnost je obecná, jc třeba použít pro částice pohybující se rychlostmi blízkými rychlosti světla c. Pro v < F(t)át. (10.2) Integrací levé strany předchozí rovnice dostáváme změnu hybnosti pf — p, tělesa P k níž při srážce došlo. Výraz na pravé straně závisí na časovém průběhu interakčních sil během srážky a nazýváme jej impulzem síly. Značíme Fit) dt (impulz síly). (10.3) Připomcneme-li si interpretaci určitého integrálu z kap. 7 (bod 7.1), vidíme, že velikost impulzu síly je číselně rovna velikosti plochy pod grafem funkce F(t) (obr. 10.4a). / W'(r) / J \ / \ i _ \ -Af- -Aí- (u) (b) Obr. 10.4 (a) Časová závislost velikosti proměnné síly F(t), která působí na těleso P při srážce znázorněné na obr. 10.3. Obsah plochy pod grafem funkce F(ť) určuje velikost impulzu J této síly. (b) Výška obdélníka představuje velikost F průměrné síly v časovém intervalu Ař. Obsah obdélníka je shodný s obsahem plochy pod křivkou F(t) na obr. (a), a tedy i s velikostí impulzu J. Ze vztahů (10.2) a (10.3) je zřejmé, že změna hybnosti tělesa při srážce je dána impulzem výslednice sil, které na toto těleso během srážky působí. Pí-Pi Ap = J (vztah mezi změnou hybnosti a impulzem síly). (10.4) Tyto síly jsou vnitřními silami soustavy těles L a P. Vnější síly na soustavu nepůsobí. Podle zákona zachování hybnosti je tedy změna celkové hybnosti soustavy nulová. Změnu hybnosti tělesa P, vystupující ve vztahu (10.4), jsme označili symbolem Ap. Změna hybnosti tělesa L je proto — Ap. Vztah (10.4) můžeme také rozepsat do složek: Pf.x - P\.x = A/?, = Jx, Pf,y ~ Pi,y = APy = Jy Pí,z ~ Pi,z = AP: = (10.5) (10.6) (10.7) Impulz síly i hybnost jsou vektorové veličiny a mají stejný fyzikální rozměr. Uvědomme si, že vztah (10.4) není nějakým novým fyzikálním zákonem či nezávislým tvrzením, nýbrž přímým důsledkem druhého Newtonova zákona, z něhož jsme jej odvodili. Je však velmi užitečný při řešení určitého typu fyzikálních úloh, podobně jako třeba zákon zachování mechanické energie. Označíme-li F velikost průměrné síly určenou z grafu na obr. 10.4a, můžeme velikost impulzu síly zapsat ve tvaru J = F At. (10.8) 240 KAPITOLA 10 SRÁŽKY kde Ař je doba trvání srážky. Hodnotu F najdeme jako výšku obdélníka o základně tvořené časovým intervalem od t\ do řf (obr. 10.4b), jehož obsah je shodný s obsahem plochy pod křivkou na obr. 10.4a. Kontrola i : výsadkář, jemuž se při seskoku neotevřel padák, měl štěstí. Dopadl na hustě zasněženou pláň, a tak utrpěl jen drobná poranění. Kdyby dopadl na holou zem, byla by doba nárazu 1 Okřát kratší a jeho zranění by mohla být i smrtelná. Jak ovlivní silná sněhová pokrývka (a) změnu hybnosti výsadkáře, (b) impulz brzdící síly a (c) její velikost? Opakované srážky Předpokládejme, že na těleso R pevně spojené s podlahou dopadá ve směru osy x ustálený tok částic o stejné hybnosti mv (obr. 10.5). Impulz J síly, jíž každá z dopadajících částic na těleso R působí, má stejnou velikost jako změna hybnosti částice Ap, avšak opačný smčr. Je tedy J = —Ap. Předpokládejme, že za dobu Ař narazí na těleso n částic. Celkový silový impulz za tuto dobu určuje podle vztahu (10.4) celkovou změnu hybnosti tělesa, tj. J = —nAp. (10.9) Po dosazení tohoto výsledku do rovnice (10.8) a malé úpravě získáme průměrnou sílu F působící při srážce na těleso R: — J n n F = — =--Ap =--mAv. (10.10) Ar Ař Ař Získaný vztah vyjadřuje F jako funkci frekvence dopadu částic n/At na těleso R a změny jejich rychlosti Ad. Pokud sc dopadající částice po nárazu zastaví, je třeba do vztahu (10.10) dosadit Ad = vf -v1=0-v = -v, (10.11) kde V[ = v a Vf = 0 jsou rychlosti částic před srážkou a po srážce. Pokud se však částice při srážce odrazí zpět se stejně velkou rychlostí, je Vf = —v. Pak dostaneme Ad — vf — u; = —v — v = —2v. (10.12) Celková hmotnost částic, které za dobu Ař narazí do tělesa R, je Am = nm. S ohledem na tuto skutečnost můžeme vztah (10.10) přepsat do tvaru — Am F =--Ad. (10.13) Ar Síla F je tak vyjádřena pomocí hmotnostního toku částic Am/Ař dopadajícího na těleso R. V závislosti na charakteru srážky můžeme do posledního vztahu dosadit za Ad buď —v (podle vztahu (10.11)), nebo — 2v (podle vztahu (10.12)). Obr. 10.5 Na pevné těleso R dopadají částice o stejné hybnosti. Jejich tok je ustálený. Průměrná síla F působící na těleso směřuje vpravo a její velikost závisí na hmotnostním toku dopadajících částic. PŘÍKLAD 10.1 Baseballový míč o hmotnosti 140 g letí těsně před odpálením vodorovně rychlostí v; o velikosti 39 m-s-1. Po úderu letí míč opačným směrem stejně velkou rychlostí Vf. (a) Určete impulz síly, která na míč při úderu působila. ŘEŠENÍ: Impulz síly vypočteme ze známé změny hybnosti míče vztahem (10.4), upraveným pro jednorozměrný případ. Za kladný směr osy x zvolíme směr pohybu pálky. Ze vztahu (10.4) dostaneme J = pf — p\ = mvf — mv.\ = = (0,14kg)(39m-s :) - (0,14kg)(-39m-s^1) = = 10,9kg-m-s_1 = llkg-m-s"1. (Odpověď) Ve shodě s naší volbou orientace souřadnicové osy x je počáteční rychlost míče (x-ová složka) záporná a výsledná rychlost kladná. Vypočtený impulz síly je kladný, vektor J má tedy, podle očekávání, stejný směr jako pohyb pálky při úderu. (b) Srážka míče a pálky proběhla za dobu Ař = 1,2 ms. Určete průměrnou sílu, která při srážce působila na míč. ŘEŠENÍ: Z rovnice (10.8) dostaneme - = J_ = (lO^kg-m-s-1) = Ař (0,001 2 s) = 9100N. (Odpověď) Uvědomme si, jak je tato síla obrovská. Její velikost je přibližně rovna váze tělesa o hmotností jedné tuny. Největší síla, která na míč v jistém okamžiku v průběhu srážky působila, musí být dokonce ještě větší. Průměrná síla má směr kladné osy x. Je tedy souhlasně rovnoběžná s vektorem impulzu síly. (c) Určete průměrné zrychlení míče. 10.3 PRUŽNÉ PŘÍMÉ SRÁŽKY 241 ŘEŠENÍ: Průměrné zrychlení určíme zc vztahu (9100N) = 6,5-104m-s~2. (Odpověď) m (0,14 kg) tj.« = 6600g. V dosavadních úvahách jsme předpokládali, že na tělesa nepůsobí při srážce žádné vnější síly. Tento předpoklad však při baseballové hře není splněn. Na míč totiž stále působí tíhová síla mg (během letu i při srážce s pálkou). Velikost tíhové síly však je pouhých 1,4 N, tedy zcela zanedbatelná ve srovnání s průměrnou silou o velikosti 9 100 N, jíž na míč při úderu působí pálka. Zcela oprávněně tedy můžeme soustavu míč + pálka považovat během srážky za izolovanou. Chyba, které se touto idealizací dopustíme, je jen velmi malá. PRÍKLAD 10.2 Baseballový míč letí stejně jako v př. 10.1 vodorovně, rychlostí o velikosti V[ = 39m-s_1. Nenarazí však na pálku kolmo, nýbrž se od ní odrazí pod elevačním úhlem 30° rychlostí o velikosti Df = 45 m-s~' (obr. 10.6). Určete průměrnou sílu F, kterou pálka na míč působila, proběhla-li srážka za 1,2 ms? ŘEŠENÍ: Z rovnic (10.5) a (10.6) určíme složky Jx a Jy impulzu síly: Jx = Pí.x - Pi.x = m(Vf,x - 1'i.r) = = (O.MkgH^Sm-s-'XcosSO0) - (-39m-s-1)] = = 10,92 kg-m-s-1 a Jy = Pf.y - Pij = m(Vf,y ~ 1'i.v) = = (0,14kg)[(45m-s-J)(sin30J) - 0] = = 3.150kg-m-s_1. Velikost impulzu síly J jc rovna / = Jj} + J} = = yj(10,92kg-m.s-')2 + (3,150kg-m-s ;)2 = = 11,37 kg-m-s-1. Z rovnice (10.8) určíme velikost průměrné síly F působící na míč při srážce: (11,37 kg-m-s^') - J F = — Ař (0,001 2 s) = 9 475 N = 9 500 N. (Odpovčd) Vektor impulzu síly J směřuje šikmo vzhůru a svírá s vodorovnou rovinou úhel 9; tg e Jy J, = 16° (3,150kg-m-s-1) (10,92 kg-m-s ') : 0.288, (Odpoveď) Průměrná síla F má stejný směr jako impulz síly J. Na rozdíl od př. 10.1 mají vektory F a J jiný směr než rychlost míče po srážce. \30° Obr. 10.6 Príklad 10.2. Míč se odráží od pálky. Počáteční rychlost je vodorovná, výsledná rychlost svírá s vodorovnou rovinou úhel 30°. J^ONTROLA 2: Následující obrázek ukazuje pohled shora na míč, který se odráží od zdi s nezměněnou velikostí rychlosti. Změnu hybnosti míče označme Ap. (a) Rozhodněte, zda složka (a) Apx, resp. (b) Apy je kladná, záporná, nebo nulová, (c) Jaký směr má vektor Ap? 10.3 PRUŽNE PRIME SRAZKY Nejjednodušším případem je přímá srážka (v některých případech zvaná také čelní nebo středová). Při ní leží počáteční rychlosti částic v téže přímce. Mají tedy směr jejich spojnice, u homogenních koulí pak směr spojnice jejich středů. Pevný terč Uvažujme přímou srážku dvou těles o hmotnostech m \ a ni2 (obr. 10.7) a pro jednoduchost předpokládejme, že jedno z nich je před srážkou v klidu (například m%, tj. U2,r = 0). Toto těleso budeme nazývat „terčem". Druhé těleso, s počáteční rychlostí v\\, bude představovat „střelu".* Dále předpokládejme, že soustava tvořená uvažovanými dvěma tělesy je uzavřená (žádné další částice do soustavy nepřibudou, ani ji neopustí) a izolovaná (na soustavu nepůsobí * Pokud by se terč vzhledem k laboratorní vztažné soustavě pohyboval stálou rychlostí, zvolíme pro popis srážky jinou inerciální vztažnou soustavu, v níž bude v klidu. Taková volba je vždy možná. 242 kapitola 10 srážky vnější síly). K oběma těmto přirozeným požadavkům přidejme ještě jeden, poněkud speciální: předpokládejme, že srážka nezměnila celkovou kinetickou energii soustavy. Taková srážka se nazývá pružná neboli elastická. Při pružné srážce se obecně mění kinetická energie jednotlivých těles, která se srážky účastní. Celková kinetická energie soustavy před srážkou i po srážce je však stejná. před srážkou v\ la) mi pn srazce (b) vt ■ po srazce ľi.i (c) V2 | III i ni2 Obr. 10.7 Pružná srážka dvou těles. Jedno z nich (terč o hmotnosti mi) je před srážkou v klidu. V obrázcích jsou zakresleny tyto rychlosti: (a) rychlosti obou těles před srážkou, (b) rychlost těžiště soustavy v jistém okamžiku probíhající srážky, (c) rychlosti obou těles po srážce. Velikosti vektorů odpovídají případu m\ = 3«?2. Je důležité si uvědomit, že hybnost uzavřené izolované soustavy se při srážce zachovává vždy, bez ohledu na to, je-li srážka pružná či nikoliv. Interakční síly působící při srážce jsou totiž vnitřními silami soustavy. Při srážce těles v uzavřené izolované soustavě se hybnost každého z nich může obecně měnit. Celková hybnost soustavy je však v každém okamžiku probíhající srážky stejná, a to bez ohledu na charakter srážky. Ze zákonů zachování hybnosti a kinetické energie dostáváme pro srážku dvou těles z obr. 10.7 wiit?i,i = m] Di,f + w?2i-'2,f (10.14) a \m\V\ j = \m\v\f + \m-2v\f. (10.15) V obou rovnicích jsme indexem (i) označili počáteční rychlosti a indexem (f) výsledné rychlosti těles. Známe-li hmotnosti těles a počáteční rychlost D|,; tělesa 1, zbývá vyřešit soustavu předchozích dvou rovnic a určit z ní neznámé rychlosti obou těles po srážce, tj. i'i.f a t^f*. Přepišme rov. (10.14) do tvaru a rov. (10.15) do tvaru* ;«i(di,j - Di.f)(Di.i + Di.f) = m2vjj. (10.17 Po vydělení rov. (10.17) rov. (10.16) a dalších úpravách dostaneme mi — mi vi,f=—-£di.í (10.18 i fit] + mi 2 m i V2,f=-—vij- (10.19) mi + mz Z rov. (10.19) je zřejmé, že hodnota V2,i je vždy kladná (terč o hmotnosti m2 se po srážce pohybuje ve směru nárazu střely). Hodnota d| r může být jak kladná, tak záporná (je-li m i > m2, pohybuje se střela po srážce původním směrem, při m i < m2 se odrazí zpět). 3: Určete výslednou hybnost terče na obr. 10.7, má-li střela počáteční hybnost 6kg-m-s_l a její výsledná hybnost je (a) 2kg-m-s '. resp. (b) —2kg-m-s-'. Jaká je výsledná kinetická energie terče, má-li střela před srážkou kinetickou energii 5 J a po srážce 2 J? Věnujme se nyní několika speciálním případům: 1. Shodné hmotnosti. Je-li m\ — »22, redukují se rovnice (10.18) a (10.19) na tvar Di f = 0 a v2.[ Při přímé srážce těles stejné hmotnosti se střela zastaví a terč získá stejnou rychlost, jakou měla střela před srážkou. Střela a terč si své rychlosti jednoduše „vymění". Tento výsledek je platný i v případě pohyblivého terče (těleso 2 se před srážkou pohybuje). 2. Těžký terč. V případě těžkého terče je m2^> mi. Příkladem takové srážky může být třeba náraz golfového míčku do dělové koule. Rov. (10.18) a (10.19) přejdou do tvaru (2«íi m 2 (10.20) Je vidět, že střela (golfový míček) se prostě odrazí zpět opačným směrem. Velikost její rychlosti se prakticky nezmění. Terč (dělová koule) se bude pohybovat v kladném směru velmi malou rychlostí, neboť výraz (2mi/m2) v rov. (10.20) je mnohem menší než jedna. Tyto závěry zcela jistě nejsou neočekávané. m 1 ( ľ i, j — i>i.f) = m2V2j (10.16) * Při těchto úpravách využíváme identity a2 — b1 = (a — b)(a +b). Řešení soustavy rovnic se tím značně zjednoduší. 10.3 PRUŽNÉ PŘÍMÉ SRÁŽKY 243 3. Těžká střela. Nyní střílíme dělovou koulí proti golfovému míčku, tj. m\ S> m2- Rov. (10.18) a (10.19) přejdou na tvar »i,f = «i,i a t>2,f = 2t'i.i- (10.21) Střela (dělová koule) se tedy pohybuje dále původním směrem a jen nepatrně se zpomalí. Terč (golfový míček) se odrazí zpět (v kladném směru) dvojnásobnou rychlostí než měla původně dělová koule. Skutečnost, že je rychlost terče po srážce právě dvojnásobná, lze poměrně jednoduše vysvětlit: vraťme se kc vztahům (10.20), které popisují případ těžkého terče. Rychlost lehkého tělesa (střely) se změnila z hodnoty +v na —v. Její změna byla tedy 2v. Také v případě těžké střely je změna rychlosti lehkého tělesa (terče) rovna 2v. Obr. 10.8 Série obrázků znázorňujících průběh pružné srážky střely s pevným terčem. Pro hmotnosti střely (těleso 1) a terče (těleso 2) platí — 3m \. V obrázcích j c vyznačena i rychlost těžiště soustavy. Všimněte si, že není srážkou vůbec ovlivněna. 4. Pohyb těžiště. Pohyb těžiště soustavy dvou těles není jejich srážkou nijak ovlivněn. Tato skutečnost je důsledkem zákona zachování hybnosti a vztahu (9.26). Tento vztah Mvj- — (mi + mi)vj, (10.22) vyjadřuje souvislost celkové hybnosti soustavy a rychlosti pohybu těžiště vf- Jelikož se celková hybnost P nemění, musí se zachovávat i rychlost těžiště. Těžiště se tedy pohybuje rovnoměrně přímočaře. Pro případ srážky střely s pevným terčem (obr. 10.7) má těžiště soustavy rychlost (vztah (10.22)) m i + mi m \ + mi (10.23) Na obr. 10.8 je posloupnost obrázků znázorňujících typický průběh pružné srážky. Je vidět, že těžiště se skutečně pohybuje konstantní rychlostí, která není srážkou nijak ovlivněna. Pohyblivý terč Vraťme se nyní k obecným úvahám o pražných srážkách a připusťme, že se obě tělesa před srážkou pohybují. ľ! Obr. 10.9 Pružná srážka dvou těles Pro soustavu těles na obr. 10.9 můžeme zapsat zákon zachování hvbnosti a zákon zachování energie takto: ni] t'l.j + OT2f2,i = M) D|,f + m2V2.f (10.24) j/jjit'ii + — \m\v\ f + jinjvlf. (10.25) Získali jsme soustavu dvou rovnic o dvou neznámých t'i.f a t'2,t', kterou nyní budeme řešit. Nejprve přepíšeme rov. (10.24) do tvaru m\(tii.i - L'i,f) = -m2(v2,i - t'2.f) (10.26) a rov. (10.25) do tvaru mi(v\.i - i'i.f)(t'i,i + ft.f) = -mi(V2.\ ~ U'2.f)(i'2,i + t'2.f)- (10.27) Rov. (10.27) vydělíme rov. (10.26) a po malých úpravách dostaneme m i — mi 2mi Dl.f = -■- Di,; H---— m\ + m 2 m\ + ni2 d2,í (10.28) 2m i m 2 — m i D2,f=-r1— VU + —.--vij- (10.29) fřt| + ffi2 m\ + m.2 Připomeňme, že jsme indexy 1 a 2 přiřadili tělesům zcela libovolně. Záměnou indexů na obr. 10.9 a v rov. (10.28) a (10.29) získáme zcela identickou soustavu. Položíme-li 244 KAPITOLA 10 SRÁŽKY navíc 112, i = 0, přejdou rov. (10.28) a (10.29) na tvar (10.18) a (10.19), který odpovídá situaci s pevným terčem 2. Z rov. (10.22) určíme ještě rychlost těžiště vj soustavy těles na obr. 10.9: m\ + m i m l lil,, + m2ľ2,i m.\ + m i (10.30) Naše soustava je uzavřená a izolovaná. Její hybnost P sc proto při srážce zachovává a její těžiště se pohybuje rovnoměrně přímočaře rychlostí 117-. j^ONTROLA 4: Počáteční hybnosti těles 1 a 2 na obr. 10.9 jsou lOkg-m-s"1 a-8 kg-m-s-1. Jaká je hybnost tělesa 2 po srážce, je-li výsledná hybnost tělesa 1 (a) 2kg-m-s~1, resp. (b) — 2kg-m-s"' ? PRÍKLAD 10.3 Dvě kovové koule jsou zavěšeny na svislých závěsech tak, aby se právě dotýkaly (obr. 10.10). Koule 1 má hmotnost mj = 30 g, hmotnost koule 2 je »11 = 75 g. Kouli 1 vychýlíme vlevo do výšky h \ =8,0 cm a uvolníme. (a) Určete rychlosl vij koule 1 těsně po srážce s koulí 2. ŘEŠENI: Označme v\.\ rychlost koule 1 těsně před srážkou. Bezprostředně po uvolnění je její kinetická energie nulová a tíhová potenciální energie má hodnotu m\gh\. Tčsnč před srážkou je kinetická energie rovna \m \ v\ ; a potenciální energie je nulová. Ze zákona zachování mechanické energie dostaneme m 1 u mighi Rychlost koule 1 těsně před srážkou je tedy vi.i = J2gh\ = v/2(9.8m-s-2)(0,080m) = l,252m-s-1. Koule 1 se sice pohybuje po oblouku, avšak v okamžiku srážky je její rychlosl vodorovná. Úlohu tedy můžeme řešit podle pravidel pro jednorozměrnou srážku. Rychlost koule 1 těsně po srážce je i>i.f. Určíme ji z rov. (10.18): rn 1 — m.7 = -" V{ m 1 + m2 (0,030 kg - 0,075 kg) , (1,252 m • s ) (0,030 kg+ 0,075 kg) -0,537 m-s"1 = -0,54 m-s"1 (Odpověd) Záporné znaménko výsledku signalizuje, že se koule pohybuje po srážce vlevo. (b) Do jaké výšky h\ vystoupí koule 1 po srážce? ŘEŠENÍ: Na počátku zpětného pohybu má koule 1 kinetickou energii \m\v\f a tíhová potenciální energie je nulová. Pohyb koule sc obrací v nejvyšším bodě trajektorie, tj. ve výšce h\. Zde je její kinetická energie nulová a potenciální energie má hodnotu m \ gh\. Ze zákona zachování mechanické energie dostaneme m\gh\ = \m\v\f. _ «,r _ (-0,537m-s"1) 1 ~ 2g" ~ 2(9,8m-s"2) = 0,0147m = l,5cm. (c) Jakáje rychlost koule 2 těsně po srážce? ŘEŠENÍ: Z rov. (10.19) dostaneme (Odpověď) 2m\ V2,f ---"Li = m 1 + m 2 2(0,030 kg) (0,030 kg+ 0,075 kg) (l,252m-s"') = 0.715 m-s" 0.72 m-s" (Odpověď) (d) Do jaké výšky I12 vystoupí koule 2 po srážce? ŘEŠENÍ: Koule 2 má těsně po srážce kinetickou energii 1)m2V2 f. V bodě obratu ve výšce ho má tíhová potenciální energie hodnotu m2gh2- Ze zákona zachování mechanické energie dostaneme m2gh2 = \ni2v1 f, 1% _ (0,715 m-s-'r 27 ~ 2(9,8 m-s 2) 0,026 lm = 2,6cm. (Odpověď) m\ m j Obr. 10.10 Příklad 10.3. Dvě kovové koule zavěšené na vláknech se v klidu právě dotýkají. Kouli 1 o hmotnosti m\ odchýlíme vlevo do výšky h\ a uvolníme. Po srážce vystoupí koule 2 do výšky hn. 10.4 NEPRUŽNÉ PŘÍMÉ SRÁŽKY 245 PRÍKLAD 10.4 Rychlé neutrony vznikající v jaderném reaktoru je třeba nejprve zpomalit, aby se mohly efektivně účastnit řetězové reakce. Děje se tak prostřednictvím jejich srážek s jádry atomů v tzv. moderátoru. (a) Určete, kolikrát se zmenší kinetická energie neutronu (hmotnost m\) při jeho přímé srážce s jádrem atomu o hmotnosti rn.2- Předpokládáme, že srážka je pružná a jádro je zpočátku v klidu. ŘEŠENÍ: Kinetická energie neutronu před srážkou a po ní je dána vztahy £k.i = 2mV\.i a Ek.í = 2! I lledaný poměr označme a. Platí £k,i ííí = i -'í.f -T.i Ze vztahu (10.18) dostáváme Vjj m\ — ni2 v i.i m i + ni2 (10.31) (10.32) Dosazením rov. (10.32) do (10.31) získáme po malých úpravách výsledek: Arnim (m\ + m2) (Odpověď) (10.33) (b) Vypočtěte hodnotu poměru a pro jádra olova, uhlíku a vodíku. Poměr hmotností jádra a neutronu (= ^J2-) pro olovo je 206, pro uhlík 12 a pro vodík přibližně 1. ŘEŠENÍ: Dosazením mi = km \ do rov. (10.33) dostaneme pro olovo (mo = 206mi) 4(206) (1 + 206)2 pro uhlík (»i2 = 1 Im \) 4(12 0,019, tj. 1,9%, (Odpověď) (1 + 12)2 a pro vodík (mi = m\) 4(1) a =-- (1 + D2 y =0.28, tj. 28 % (Odpověd) 1, tj. 100%. (Odpověd) Tyto výsledky naznačují, proč je například voda podstatně lepším moderátorem neutronů než olovo. 10.4 NEPRUŽNE PRIME SRAZKY Srážku nazýváme nepružnou, jestliže se při ní nezachovává celková kinetická energie soustavy zúčastněných těles. Gumová kulička, kterou jsme upustili na tvrdou podlahu, doskočí po odrazu téměř do původní výšky. Její kinetická energie během srážky s podlahou nepatrně klesla. Tento malý úbytek způsobil, že po odrazu již kulička nedostoupila přesně do té výšky, ze které spadla. Kdyby byla srážka pružná, ke ztrátě kinetické energie kuličky by při ní nedošlo a kulička by vyskočila přesně do původní výšky. Ve skutečnosti jc srážka gumové kuličky s podlahou vždy nepružná. Golfový míček ztrácí při dopadu na zem větší část své kinetické energie a odrazí se jen do 60 % původní výšky. Odraz je tedy výrazně nepružný. Upustímc-li na zem hroudu sklenárskeho tmelu, přilepí sc k zemi a neodrazí se vůbec. Srážku tohoto typu budeme nazývat dokonale nepružnou. Na úkor úbytku kinetické energie soustavy při srážce samozřejmě vzrostou hodnoty energií některých jiných typů, např. se těleso zahřeje. Hybnost uzavřené izolované soustavy sc však zachovává vždy, ať již je srážka pružná či nepružná. Hybnost i kinetická energie soustavy ovšem souvisejí s rychlostmi těles. Zákon zachování hybnosti vede proto k určitému omezení možných hodnot ztráty kinetické energie. K největší ztrátě dochází při dokonale nepružné srážce. Při ní se dokonce může stát, že soustava ztratí veškerou kinetickou energii. před srážkou - m i - - m-< v klidu po srazce ffl[ +ÍM2 Obr. 10.11 Dokonale nepružná srážka dvou těles. Před srážkou je těleso o hmotnosti m2 v klidu. Po srážce se obě tělesa pohybují společně. Společný pohyb je znakem dokonale nepružné srážky. Velikosti vyznačených vektorů rychlosti odpovídají případu m i = 3m2- Omezíme se zatím pouze na úvahy o dokonale nepružných srážkách. Na obr. 10.11 je znázorněna nepružná srážka dvou těles. Před srážkou bylo jedno z nich v klidu. Podle zákona zachování hybnosti je m i v = (m i + m%)V, V — v m\ + n%2 (10.34) (10.35) 246 KAPITOLA 10 SRÁŽKY Společnou rychlost obou objektů, které při srážce splynuly, jsme označili V. Z rov. (10.35) plyne, že tato rychlost je vždy menší než rychlost pohybujícího se tělesa před srážkou. Obr. 10.12 dokumentuje skutečnost, že pohyb těžiště soustavy není dokonale nepružnou srážkou ovlivněn (porovnejte tento obrázek s obr. 10.8). I když při nepružné srážce dochází ke ztrátě kinetické energie soustavy, zůstává kinetická energie těžiště nedotčena. Je tedy vůbec možné, aby při nějaké dokonale nepružné srážce došlo ke ztrátě veškeré kinetické energie soustavy? Vzhledem k tomu, že kinetickou energii soustavy po takové srážce lze vyjádřit jako kinetickou energii jejího těžiště, stačí spojit vztažnou soustavu, v níž sledujeme pohyb částic, právě s těžištěm. Zákon zachování hybnosti zaručuje, žc lato těžišťová soustava je inerciální. V případě srážky střely s těžkým terčem (m2 3> m\) těžiště soustavy prakticky splývá s polohou terče. Příkladem takové situace je třeba pád hroudy tmelu na zem. Terčem je v tomto případě sama Země. Veškerá kinetická energie hroudy tak „zmizí" ve prospěch jiných druhů energie. Jsou-li před srážkou obě tělesa v pohybu, nahradíme vztah (10.34) rovnicí m\v\ + mjV2 = (m\ +m2)V, (10.36) kde m \ v\ a ni2V2 jsou počáteční hybnosti tčlcs 1 a 2. Také v tomto případě je vztažná soustava spojená s těžištěm dvojice tčlcs inerciální a výsledná kinetická energie soustavy po srážce je vzhledem k ní nulová. Příkladem může být situace na obr. 10.13, zachycujícím výsledek téměř čelní nepružné srážky dvou stejných automobilů, které jely stejnou rychlostí. Před srážkou bylo těžiště soustavy vzhledem k Zemi v klidu. Vzhledem k pozorovateli na chodníku se tedy oba automobily bezprostředně po srážce zcela zastavily. j^ONTROLA 5: Určete výslednou hybnost soustavy dvou těles po dokonale nepružné přímé srážce. Počáteční hybnosti těles jsou (a) 10kg-m-s_' a 0, (b) 10kg-m-s-1 a 4kg-m-s_1, (c) lOkgms-1 a —4k2 f = ' ' . (10.30) nx i + m 2 Šikmé srážky Při šikmé srážce se hybnost soustavy opět zachovává. Tentokrát však zákon zachování hybnosti vede ke dvěma skalárním rovnicím: pro x-ovou a y-ovou složku vektoru hybnosti. Jejich řešením můžeme získat rychlosti těles po srážce pouze za předpokladu, že je srážka dokonale nepružná. V tomto případě máme totiž k dispozici důležitý údaj o pohybovém stavu těles po srážce: tělesa se pohybují stejnou rychlostí. Snadno pak určíme i energiovou zttátu, k níž při srážce došlo. V ostatních případech samozřejmě zákon zachování hybnosti a zákon zachování celkové energie soustavy (nikoli tedy jen kinetické) také platí. Neznáme-li však mechanismus srážky, nemůžeme o cnergiové bilanci předem říci nic bližšího. K vyřešení úlohy proto potřebujeme další údaje, například směr rychlosti některého z těles po srážce. Jaderné reakce a radioaktivní rozpad Při jaderné reakci nebo radioaktivním rozpadu jader se zachovává hybnost a celková energie soustavy. Proto i tyto děje řadíme do kategorie srážek. Jejich zvláštnost však spočívá v tom, že se při nich může měnit hmotnost soustavy i identita samotných částic. Změně celkové hmotnosti soustavy o hodnotu Am odpovídá energiový ekvivalent isme2. Odpovídající změna celkové energie soustavy je tedy dána vztahem Q = -Amc2. Je-li hodnota Q kladná, jedná se o tzv. exotermickou reakci. Energie Q. odpovídající hmotnostnímu schodku Am, se projeví přírůstkem výsledné kinetické energie částic. Při záporné hodnotě Q jde o reakci endotermickou. Kinetická energie částic při ní klesá ve prospěch energie odpovídající zvýšení celkové hmotnosti soustavy. otázky 1. Na obr. 10.20jsou znázorněny tři grafy časové závislosti síly, která působila na jisté těleso při srážce. Seřaďte je sestupně podle velikosti impulzu síly. 4F0 6ř0 3ř„ 12rn (a) (b) (c) Obr. 10.20 Otázka I 2. Obr. 10.21 ukazuje náraz golfového míčku do kmene stromu, viděný z nadhledu. Předpokládejme, že se velikost rychlosti míče při srážce nemění. Při nárazu působí kmen na míček silou F, odpovídající změna hybnosti míčku je Ap. Jak se změní následující veličiny, bude-li úhel 6 větší? (Předpokládejte, že doba trvání srážky zůstane stejná.) (a) Apx, (b) Apx, (c) velikost vektoru Ap, (d) Fx, (e) Fy a (Ij velikost síly F? 3. V následující tabulce jsou uvedeny hmotnosti (v kilogramech) a rychlosti (v metrech za sekundu) dvou částic z obr. 10.9. ve třech různých situacích. Ve kterých z nich je těžiště soustavy v klidu? SlTUACĽ m i n 1112 V2 a 2 3 4 -3 h 6 2 3 -4 c 4 3 4 -3 y Obr. 10.21 Otázka 4. (a) Jak se změní výška výstupu koule 1 z př. 10.3 po odrazu, zvýší-li se hmotnost koule 2? Do jaké výšky vystoupí po odrazu (b) koule 1, resp. (c) koule 2, je-li m\ = m%l 5. Dvě tělesa pohybující se podél osy x se pružně srazí. Grafy na obr. 10.22 představují časové závislosti jejich poloh a polohy 254 KAPITOLA 10 SRÁŽKY těžiště soustavy. Z grafu vyčtěte následující informace: (a) Je některé z těles před srážkou v klidu? Který z grafů přísluší poloze těžiště soustavy (b) před srážkou a (c) po srážce? (d) Rozhodněte, zda hmotnost tělesa, které bylo před srážkou rychlejší, je větší, menší, nebo stejná jako hmotnosi druhého tělesa. Obr. 10.22 Otázka 5 a kostka G vlevo. Velikost rychlosti každé z nich jc v = 3 m-s_:. Zbývající kostky jsou v klidu. Dojde k sérii pružných srážek. Určete vektory rychlosti všech kostek po poslední srážce. 9. Kostky A a B na obr. 10.26 se pohybují po dokonale hladké podložxe ve vyznačených směrech. Velikosti jejich hybností jsou 9kg-m-s 1 (kostka A) a 4kgm-s_1 (kostka B). (a) Určete směr pohybu těžiště soustavy, (b) Předpokládejme, že se obě kostky při srážce pevně spojí. Jakým směrem se bude pohybovat takto vzniklé těleso po srážce? (c) Experiment ukázal, že se těleso A pohybuje po srážce vlevo. Rozhodněte, zda je jeho hybnost větší, menší, nebo stejná jako hybnost tělesa B. hladký povrch —-v B 6. Na obr. 10.23 jsou grafy časové závislosti poloh dvou těles i polohy těžiště soustavy v případě přímé srážky. Zjistěte, který z nich odpovídá pohybu (a) rychlejšího tělesa před srážkou, (b) těžiště soustavy před srážkou a (c) po srážce, (d) každého z těles po srážce, (e) Rozhodněte, zda hmotnost tělesa, jehož rychlost před srážkou byla vyšší, je větší, menší, nebo stejná jako hmotnost druhého tělesa Obr. 10.23 OLázka6 7. Na obr. 10.24 jsou čtyři různé situace při srážce tří stejných kostek, které se pohybují po dokonale hladké vodorovné podložce. Při srážkách (1) a (2) jsou dvě z kostek slepeny. Rychlost v, která je v obrázku vyznačena, je ve všech případech stejná. Seřaďte jednotlivé situace sestupně podle (a) velikosti celkové hybnosti soustavy po srážce, (b) velikosti výsledné rychlosti kostky, která je nejdále vpravo. Obr. 10.26 Otázka 9 10. Na obr. 10.27 jsou čtyři grafy znázorňující časové závislosti polohy dvou těles pohybujících se podél osy x a časovou závislost polohy těžiště jejich soustavy. Tělesa se dokonale nepružně srazí. Pro případ grafu (1) zjistěte, zda se (a) obě tělesa a (b) těžiště soustavy pohybují v kladném, či záporném směru osy x. (c) Které z grafů představují fyzikálně nepřípustnou situaci? Obr. 10.27 Otázka 10 (1) n " n n (3) (2) nv n (4) Obr. 10.24 Otázka 7 8. Obr. 10.25 zachycuje sedm kostek na dokonale hladké vodorovné podložce. Kostky A a B se zpočátku pohybují vpravo B - C '-1 D - T tenisový míček !y--_ míč na košíkovou i (a) před srážkou (b) po srážce Obr. 10.28 Otázka 12 a úloha 37 Obr. 10.25 Otázka 8 11. Těleso Q s hybností pq = (2i — 3y)kg-m-s lse dokonale nepružne srazí s tělesem R, jehož hybnost je pr = (8/ + + 3/) kg-m-s '. Určete směr pohybu obou těles po srážce. 12. Vyzkoušejme si následující pokus: vezmeme postupně tenisový míček a basketbalový míč a každý z nich upustíme na tvrdou podlahu přibližně z výšky ramen. Míče se odrazí a vyskočí obecně do různých výšek. Poté uspořádáme pokus tak. že tenisový míček vypustíme za basketbalovým míčem s malým cvičení ODST. 10.2 Impulz síly a hybnost 1C. Hybnost automobilu o hmotnosti 1 500 kg vzrostla během 12 s o 9,0-103 kg-m-s 1. (a) Za předpokladu, že urychlující síla je konstantní, určete její velikost, (b) Určete přírůstek rychlosti automobilu. 2C. Kulečníkové tágo udeří do stojící koule průměrnou silou o velikosti 50 N. Uder trvá 10 ms. Jakou rychlost koule získá, je-li její hmotnost 0,20 kg? 3C. Výrobce automobilů testuje odolnost nových vozů při nárazu pomocí tzv. bariérových zkoušek. Při jedné z nich narazil automobil o hmotnosti 2 300kg do mostního pilíře rychlostí 15m-s~'a zastavil se za 0,56 s. Předpokládejme, že při nárazu působila konstantní síla. Jaká byla její velikost? 4C. Míč o hmotnosti m narazil kolmo do zdi rychlostí ľ a odrazil se zpět stejně velkou rychlostí, (a) Určete průměrnou sílu, kterou stěna působila na míč, trval-li náraz po dobu Ai. (b) Pro číselný výpočet použijte hodnoty m = 140g, v — 7,8m-s~'a At = = 3,8 ms. 5C. Nadhazovač hodil baseballový míč rychlostí 40m-s-1. Pálkař jej odehrál zpět přesně v opačném směru rychlostí 60m-s . Určete průměrnou sílu, jíž působila pálka na míč, trval-li úder 5,0 ms. 6C. Jako sedmnáctiletý ohromoval artista Henri LaMothe diváky skoky z výšky 12 m do vody hluboké pouhých 30 cm (obr. 10.29). Za předpokladu, že se jeho pád zastavil právě u dna vodní nádrže, vypočtěte průměrnou brzdnou sílu, která na artistu o hmotnosti 73 kg ve vodě působila. 7C. V únoru 1955 byla zaznamenána pozoruhodná událost: jistému parašutistovi se po seskoku z výšky 366 m nepodařilo otevřít padák. Naštěstí spadl do sněhu, a tak byla jeho zranění jen nepatrná. Předpokládejme, že velikost jeho rychlosti měla bezprostředně před dopadem hodnotu 56m-s_1, jeho hmotnost činila 85 kg a velikost největší brzdné síly, kterou může člověk přežít, je 1,2-103 N. Určete nejmenší tloušťku sněhové pokrývky, v níž tehdy let parašutisty tak šťastně skončil. 8C. Při srážce trvající 27 ms působila na ocelovou kouli o hmotnosti 0,40kg a rychlosti 14m-s_1stálá síla o velikosti 1 200N. Určete výslednou rychlost koule, púsobila-li síla přímo proti směru jejího pohybu. CV1ČBNÍ & Úl OHY 255 časovým odstupem, avšak přesně nad ním (obr. 10.28a). Výsledek pokusu bude zcela jiný než v předchozím případě, možná na první pohled poněkud překvapivý, (a) Rozhodněte, zda výška výstupu basketbalového míče bude ve srovnání s výsledkem prvního pokusu větší, nebo menší (obr. 10.28b). (b) Rozhodněte, zda výška, do které po odrazu vystoupí tenisový míč, převýší součet výšek výstupu obou míčů po samostatných odrazech (úloha 37). & úlohy Obr. 10.29 Cvičení 6 9C. Medicinbal o hmotnosti 1,2 kg dopadne kolmo na podlahu rychlostí 25m-s~'a odrazí se v opačném směru rychlostí 10m-s" . (a) Vypočtěte impulz síly, která na míč při odrazu působila, (b) Za předpokladu, že míč byl s podlahou v kontaktu 0,020 s, určete průměrnou sílu působící na míč během srážky. 10C. Hráč golfu odpálí míček rychlostí o velikosti 50 m-s~1 pod elevačním úhlem 30 . Předpokládejme, že míč má hmotnost 46 g a je v kontaktu s golfovou holí po dobu 1,7 ms. Určete (a) impulz síly, kterou při úderu působí hůl na míček, (b) impulz síly, která působí na golfovou hůl, (c) průměrnou sílu působící na míček a (d) práci, kterou vykonala síla působící na míček. 11U. Automobil o hmotnosti 1 400 kg jede na sever (kladný směr osy y) rychlostí 5.3 m-s . Po průjezdu pravoúhlou pravotočivou zatáčkou (do kladného směru osy x), který trval 4,6 s, ztratí řidič na okamžik pozornost. Vůz narazí do stromu a zastaví 256 KAPITOLA 10 SRÁŽKY se za 350 ms. Pomocí jednotkových vektorů kartézské soustavy souřadnic zapište vektor impulzu síly, která působila na vůz (a) při zatáčení, (b) při srážce. Jaká je velikost průměrné síly působící na vůz (c) při zatáčení a (d) při srážce? (e) Jaký úhel svírá průměrná síla vypočtená v části (c) s kladným směrem osy xl 12Ú. Velikost síly, která působí na těleso o hmotnosti 10 kg, rovnoměrně vzroste za 4,0 s z nulové hodnoty na hodnotu 50 N. Jakou rychlostí se těleso pohybuje na konci tohoto časového intervalu, bylo-li zpočátku v klidu? 13Ú. Při střelbě z brokovnice do terče připevněného k nepohyblivé stěně dopadá na stěnu 10 broků za sekundu. Brok má hmotnost 2,0 g a do stěny narazí rychlostí 500 m-s-1. (a) Jaká je jeho hybnost a (b) kinetická energie? Určete velikost průměrné síly, jíž působí na zeď (c) jednotlivý brok, (d) proud broků. Předpokládáme, že srážka každého broku se zdí trvá 0,6 ms. Proč se hodnoty získané v částech (c) a (d) tak výrazně liší? 14Ú. Při střelbě ze samopalu používaného při natáčení filmů vyletují kulky o hmotnosti 50,0 g rychlostí 1 000 m-s-1. Herec dokáže na samopal působit silou o velikosti nejvýše 180 N. Kolik ran za minutu může vypálit, aby samopal ještě udržel? 151. Filmového Supermana nelze zastřelit. Všechny střely se totiž, od jeho hrudi odrazí (obr. 10.30). Předpokládejme, že zločinec vystřelí na Supermana 100 ran za minutu. Každá kulka má hmotnost 3 g a letí rychlostí 500 m-s-1. Od Supermana se odráží zpět stejně velkou rychlostí. Jakou průměrnou silou působí tok kulek na Supermanovu hrud*.' 16U. Při mohutné bouři dopadají na zem kroupy o průměru 1,0 cm rychlostí 25 m-s-1. Lze odhadnout, že v krychlovém metru vzduchuje asi 120 krup. (a) Jakou hmotnost má jedna kroupa (hustota 0,92 g/cm3)? (b) Jakou průměrnou silou působí krupobití na vodorovný terén o obsahu 10 m x 20 m? Předpokládáme, že se kroupy po dopadu neodrážejí. 17U. Voda proudí kolem nepohyblivé turbínové lopatky ve tvaru misky podle obr. 10.31. Počáteční rychlost vodního proudu jc v a výsledná —v (obr. 10.31). Hmotnostní průtok vody je H kg/min. Jakou silou působí voda na lopatku? lopatka Obr. 10.31 Úloha 17 18U. Voda proudí z hadice přímo proti zdi. Určete průměrnou sílu, kterou působí vodní proud na zeď. vytéká-li z hadice každou sekundu 300 cm3 vody rychlostí 5,0m-s-1. Předpokládáme, že voda se od zdi neodráží. Jeden krychlový centimetr vody má hmotnost 1,0 g. Obr. 10.30 Úloha 15 19Ú. Na obr. 10.32 je přibližný prtíbčh časové závislosti síly.. která působila na tenisový míček o hmotnosti 58 g při jeho nárazu do zdi. Míček dopadl na zeďkolmo rychlostí 34m-s~'a odrazil se přesně opačným směrem se stejně velkou rychlostí. Určete největší hodnotu velikosti síly fmax, která při této srážce na míček působila. čas (ms) Obr. 10.32 Úloha 19 20Ú. Míček o hmotnosti 150 g narazí na stěnu rychlostí 5,2 m-s-1 a odrazí se v opačném směru. Jeho kinetická energie sc při odrazu zmenší na polovinu, (a) Vypočtěte rychlost míčku bezprostředně po odrazu, (b) Určete velikost impulzu síly, kterou CVIČENÍ & ÚLOHY 257 působil míček na stěnu, (c) Určete velikost průměrné síly, kterou působil míček na stěnu, trvala-li srážka 7,6 ms. 21Ú. Na obr. 10.33 je míček, který narazil do podlahy rychlostí o velikosti 6,0m-s"'pod úhlem 9 = 30°. Po odrazu měl míček stejně velkou rychlost, která svírala s podlahou úhel 30;. Srážka trvala 10 ms. (a) Vypočtěte impulz síly, která při srážce působila na míček, (b) Jakou průměrnou silou působil míček na podlahu? /V Obr. 10.33 Úloha 21 22Ú. Automaticky řízená kosmická sonda o hmotnosti 2 500 kg letí stálou rychlostí o velikosti 300m-s '. V jistém okamžiku se zažehnou raketové motory, které mají tah 3 000 N. Zážeh trvá 65,0 s. (a) Určete změnu hybnosti sondy, směřuje-li tahová síla motorů vpřed, vzad nebo kolmo k okamžitému směru pohybu, (b) Pro každý z těchto případů určete odpovídající změnu kinetické energie sondy. Předpokládáme, že hmotnost paliva spotřebovaného při tomto krátkém zážehu je zanedbatelná vzhledem k hmotnosti sondy. 23Ú. Těleso o hmotnosti m se pohybuje po přímce počáteční rychlostí v. Vlivem síly, která na těleso po jistou dobu působí ve směru jeho pohybu, sc jeho rychlost mění. Výslednou rychlost označme u a odpovídající impulz působící síly J. Ukažte, že práce vykonaná touto silou za uvedenou dobu je dána vztahem W = \ j(u + v). 24U. Po řízeném výbuchu nálože ve speciálních spojovacích šroubech se kosmická lod rozdělí na dvě části o hmotnostech 1 200 kg a 1 800 kg. Obě části na sebe tedy po jistou dobu silově působí. Odpovídající velikost impulzu každé z interakčních sil je 300 N-s. Jakou vzájemnou rychlostí se od sebe oddělené části vzdalují? 25U. Na obr. 10.34 je graf časové závislosti síly, která působila při odpálení kriketového míčku o hmotnosti 0,5 kg. Před úderem byl míček v klidu. Jakou měl míček rychlosl bezprostředně poté, co velikost síly klesla k nulové hodnotě? 26Ú. Fotbalista odkopne míč o hmotnosti 0,45 kg, který leží na zemi. Noha fotbalisty je s míčem v kontaktu po dobu 3,0-10-3 s a časová závislost síly působící na míč má tvar F(t) = [(6,0- 106)> - (2,0- 109)r]N pro 0 í í ž 3,0-10 ~3 s. Čas / je měřen v sekundách. Určete velikosti následujících vektorů: (a) impulz síly, která působila na míč, (b) průměrnou a (c) maximální sílu, kterou při výkopu působila na míč noha fotbalisty, (d) rychlost míče těsně po výkopu. 27U. Kosmická loď Voyager 2 (hmotnost m a rychlost v vzhledem ke Slunci) se přibližuje k planetě Jupiter (hmotnost M a rychlost V vzhledem ke Slunci), jak ukazuje obr. 10.35. Loď »000 1 500 i* 1000 500 1 2 čas (ms) Obr. 10.34 Úloha 25 obletí planetu a vrací sc zpět v protisměru (gravitační prak). Určete výslednou rychlosl lodi vzhledem ke Slunci. Předpokládáme, že ľ = 12km-s~' a v = 13km-s_1 (oběžná rychlost Jupitera). Hmotnosl Jupitera je mnohem větší než hmotnost kosmické lodi. M 3> m. V M Obr. 10.35 Úloha 27 ODST. 10.3 Pružné přímé srážky 28C. Kostky na obr. 10.36 kloužou po dokonale hladké podložce, (a) Určete rychlost levé kostky po srážce, (b) Je srážka pružná? (c) Předpokládejme nyní, že rychlost pravé kostky před srážkou má opačný směr než na prvním obrázku. Jc možné, aby v takovém případě měla rychlost v levé kostky směr vyznačený na druhém obrázku, znázorňujícím situaci po srážce? 5,5 m-s 1 2,5 m-s-1 1,6 kg 2,4 ks před srážkou 4,9 m-s 1,6 kg po srazce Obr. 10.36 Cvičení 28 29C. Do mouchy vznášející se slále nad tímtéž místem zemského povrchu narazí rozzuřený slon rychlostí 2,1 m-s . Jakou 258 KAPITOLA 10 SRÁŽKY rychlostí se moucha odrazí, je-li srážka pružná? V tomto případě je střela (slon) mnohem lěžší než terč (moucha). 30C. Elektron se srazí s atomem vodíku, který byl zpočátku v klidu. Srážka je přímá a pružná. Kolik procent původní kinetické energie elektronu získá atom? Atom vodíku má 1840krát větší hmotnost než. elektron. 31C. Vozíček o hmotnosti 340 g se pohybuje na vzduchové lavici (pohyb bez tření) rychlostí 1,2 m-s~'. Pružně narazí do druhého vozíčku, který je zpočátku v klidu. Po srážce se první vozíček pohybuje původu ím směrem rychlostí 0,66 m- s~1. (a) U rčete hmotnost druhého vozíčku a (b) jeho rychlost po srážce, (c) Jakou rychlostí se pohybuje těžiště soustavy dvou vozíčků? 32C. Částice a (hmotnost 4 u) se srazí s jádrem atomu zlata (hmotnost 197 u), které bylo před srážkou v klidu. Srážka je přímá a pružná. Určete ztrátu kinetické energie a-částice v procentech. 33C. Střela o hmotnosti 2 kg narazí do klidného terče a po pružné srážce se pohybuje v původním směru čtvrtinovou rychlostí, (a) Určete hmotnost terče, (b) Jakou rychlostí se pohybuje těžiště soustavy, má-li počáteční rychlost střely velikost ^Om-s"1? 34U. Ocelová koule o hmotnosti 0,500 kg je upevněna na závěsu délky 70,0cm. Kouli vychýlíme tak, aby byl napjatý závěs vodorovný, a uvolníme (obr. 10.37). V nejnižším bodě své dráhy narazí koule na ocelový hranol o hmotnosti 2,5 kg, spočívající na dokonale hladké vodorovné podložce. Srážka je pružná. Určete (a) rychlost koule i (b) rychlost hranolu těsně po srážce. Obr. 10.37 Úloha 34 35Ú. Proud částic dopadá na misku digitální váhy z výšky 3,5 m. Srážky částic s miskou jsou pružné a každá částice se odrazí zpět se stejně velkou rychlostí. Zjistěte, jaký údaj váha ukazuje, má-li každá částice hmotnost 110 g a dopadne-li na misku za každou sekundu 42 částic. Předpokládáme, že po odrazu již částice zpět na misku nedopadají. 36U. Dvě titanové koule se pohybují proti sobě stejně velkými rychlostmi a srazí se. Srážka je přímá a pružná. Po srážce se jedna z koulí, jejíž hmotnost je 300 g, zastaví, (a) Jaká je hmotnost druhé koule? (b) Určete rychlost těžiště soustavy, měla-li velikost rychlosti koulí před srážkou hodnotu 2,0 m-s-1. 37U. Míček o hmotnosti in umístíme těsně nad větší míč o hmotnosti M (obr. 10.28a). Oba míče současně volně pustíme z výšky h. (Předpokládáme, že jejich poloměry jsou mnohem menší než výška h.) Velký míč se nejprve odrazí od podlahy a potom narazí do míčku. Obě srážky jsou pružné, (a) Při jakém poměru m/M se velký míč M po druhé srážce zastaví? (Řešení přibližně vyhovuje dvojici míčů z otázky 12.) (b) Do jaké výšky pak vystoupí menší míč? 38Ú. Kvádr o hmotnosti m\ leží v klidu na dlouhém, dokonale hladkém stole, jehož jeden konec je zapřen o stěnu. Druhý kvádr o hmotnosti m-2 umístíme mezi kvádr m\ a stěnu a udělíme mu rychlost vi.i směrem k m \ (obr. 10.38). Nejprve nastane srážka obou kvádrů a pak narazí kvádr mi do stěny. Obě srážky jsou pružné. Při jaké hodnotě poměru »??/'«i budou výsledné rychlosti obou kvádrů stejné? Stěnu považujeme za těžký terč (hmotnost kvádruje ve srovnání s její hmotností zanedbatelná). m i *2,i | m i | 1 1 Obr. 10.38 Úloha 38 39Ú. Na vzduchové lavici stojí vozíček (terč) o hmotnosti ffl2 = 350 g ve vzdálenosti d = 53 cm od konce lavice. Druhý vozíček (střela) o hmotnosti m i = 590 g narazí do terče rychlostí i'i j = — 75cm-s_l(obr. 10.39). Terč se dá do pohybu a odrazí se od krátké pružiny uchycené na konci lavice. Dožene střelu a narazí do ní. Všechny srážky jsou pružné. Určete, v jaké vzdálenosti od konce lavice dojde k druhé srážce terče se střelou. Obr. 10.39 Úloha 39 ODST. 10.4 Nepružné přímé srážky 40C. SoučasnápředstavaovznikukráteruvArizoně(obr. 10.1a) je taková, že byl způsoben dopadem meteoritu asi před 20 000 lety. Hmotnost meteoritu se odhaduje na 5 -10'0 kg a jeho rychlost před dopadem na 7 200 m-s~'. Určete rychlost, kterou by Země za těchto podmínek získala při přímé srážce. 41C. Krabice o hmotnosti 6 kg klouže po ledě rychlostí 9,0 m/s. Balík o hmotnosti 12 kg padá volným pádem a spadne přímo do krabice. Určete výslednou rychlost krabice s balíkem. 42C. Kulka o hmotnosti 5,20 g letí vodorovně rychlostí 672 m/s. Narazí do dřevěného kvádru o hmotnosti 700 g, který spočívá na dokonale hladké podlaze. Po průletu kvádrem se velikost rychlosti kulky zmenší na hodnotu 428 ms~1. Určete (a) rychlost kvádru po srážce a (b) rychlost těžiště soustavy. 43C. Tělesa A a B o stejných hmotnostech 2,0 kg se pohybují rychlostmi = 15/ + 30/ a vr = —10/+ 5,0/a srazí se. Rychlost tělesa A po srážce je v\ = —5,0/ + 20/. Všechny rychlosti CVIČENÍ & ÚLOHY 259 jsou zadány v metrech za sekundu, (a) Jakou rychlost má po srážce těleso B? (b) Určete změnu kinetické energie soustavy, k níž při srážce došlo. 44C. Kulka o hmotnosti 10 g narazí do balistického kyvadla o hmotnosti 2 kg a uvázne v něm. Kyvadlo vystoupí do výšky 12 cm. Vypočtěte počáteční rychlost kulky. 45C. Kulka o hmotnosti 4.5 g je vystřelena vodorovně a narazí do dřevěného kvádru o hmotnosti 2,4 kg. který leží na vodorovné podložce. Koeficient dynamického tření mezi kvádrem a podložkou je 0,20. Kulka v kvádru uvázne a ten se zastaví ve vzdálenosti 1,8 m od své původní polohy, (a) Jakou rychlostí se kvádr pohybuje v okamžiku, kdy se kulka vzhledem k němu zastaví? (b) Jaká je počáteční rychlost kulky? 46C. Dvě kostky o hmotnostech 5,0 kg a 10 kg se pohybují stejným směrem rychlostmi 3,0 m-s~' a 2,0 m-s-1. Dojde ke srážce, po níž hmotnější kostka pokračuje v pohybu v původním směru, avšak rychlostí 2,5 m-s-1. (a) Jakou rychlostí sc tčsnč po srážce pohybuje méně hmotná kostka? (b) Zjistěte, k jaké energiové ztrátě při srážce došlo, (c) Rozhodněte, jak by se změnila odpovědna otázku (b), kdyby se hmotnější kostka pohybovala po srážce rychlostí 4,0 m-s-1, a (d) výsledek zdůvodněte. 47U. Dva automobily A a B přijíždějí ke křižovatce a snaží se na zledovatělé silnici zabrzdit. Oba se dostanou do smyku se zablokovanými koly. Hmotnosti vozů jsou 1 100 kg (A) a 1 400 kg (B). Koeficient dynamického tření mezi zablokovanými koly a silnicí je v obou případech 0,13. Vozu A se těsně před křižovatkou podaří zastavit. Vůz B, který jede za ním, však již zabrzdit nestačí a dojde k nárazu. Automobil A znovu zastaví ve vzdálenosti 8,2 m od místa srážky, vůz B urazí ještě 6,1 m. (obr. 10.40). (a) Určete rychlosti automobilů bezprostředně po srážce, (b) Pomocí zákona zachování hybnosti zjistěte rychlost, kterou vůz B narazil do A. Je možné mít v tomto případě pochybnost o platnosti zákona zachování hybnosti? Zdůvodněte. před srážkou Vij -8,2m- --6,1 m B O ' © Obr. 10.40 Úloha 47 48Ú. Závaží o hmotnosti 3 000 kg dopadne z výšky 6,0 m na pilot o hmotnosti 500 kg a zarazí jej 3,0 cm do skály. Srážka je dokonale nepružná. Určete průměrnou velikost odporové síly, kterou na pilot působí skála po dobu, než se jeho pohyb zcela zastaví. 49Ú. Na dokonale hladké vodorovné podložce leží dvě kostky o hmotnostech m a 2m. Jsou umístěny tčsnč vedle konců stlačené vodorovné pružiny a přidržovány zarážkami, aby se pružina nemohla uvolnit. Potenciální energie stlačené pružiny je 60 J. V určitém okamžiku zarážky odstraníme. Určete kinetickou energii každé z kostek v okamžiku, kdy ztratí kontakt s pružinou (pružina je v té chvíli v nenapjatém stavu). 50U. Na dokonale hladké vodorovné podlaze leží dvě kostky o hmotnostech 1,20 kg a 1,80kg. Kulka o hmotnosti 3,50 g jc vystřelena ve vodorovném směru a zasáhne první kostku. Proletí jí a teprve ve druhé kostce uvázne (obr. 10.41). První kostka sc po průletu střely pohybuje rychlostí o velikosti 0,630 m-s-1, velikost výsledné rychlosti druhé kostky je 1,40ms-1 (obr. 10.41b). Určete (a) rychlost, kterou kulka vylétla z první kostky a (b) počáteční rychlost kulky. Zanedbejte změnu hmotnosti první kostky způsobenoti průletem střely. i- hladký povrch UM 1,20 kg 1,80 kg (/» ) —> 0,630 m-s-1 1,40 m-s" -------- Obr. 10.41 Úloha 50 51U. Těleso o hmotnosti m se pohybuje v kosmickém prostoru stálou rychlostí v. Najednou vybuchne a rozpadne se na dvě části. z nichž jedna má třikrát větší hmotnost než druhá. Po rozpadu zůstane lehčí úlomek v klidu. Zjistěte, k jak velkému přírůstku kinetické energie soustavy došlo na úkor energie uvolněné při výbuchu. (Soustava je tvořena nejprve tělesem a po jeho rozpadu oběma úlomky.) 52U. Na váhu položíme krabici a vynulujeme ukazatel. Poté začneme do krabice sypat kuličky, z nichž každá má hmotnost m. Kuličky padají z výšky h s frekvencí R kuliček za sekundu. Zjistěte, jaký údaj (v kilogramech) ukáže váha po uplynutí doby /, lze-li každý dopad kuličky do krabice považovat za dokonale nepružnou srážku. Pro číselné řešení použijte hodnoty R = 100 s-1, A = 7,60 m, m = 4,50 g a t = 10,0 s. 53Ú. Nákladní vagon o hmotnosti 35 tun se srazí se stojícím služebním vozem. Při srážce se vagony pevně spojí. Ztráta kinetické energie soustavy, k níž při této srážce dojde (ve prospěch zahřátí, energie zvukového vlnění atd.), činí 27 %. Určete hmotnost služebního vozu. M_____________vi Obr. 10.42 Úloha 54 54Ú. Kulička o hmotnosti m vletí do hlavně pružinové pistole s hmotností M, která spočívá na dokonale hladké vodorovné podložce (obr. 10.42). Kulička náhle uvázne v hlavni ve chvíli, kdy je stlačení pružiny největší. Třecí síly působící proti pohybu kuličky v hlavni jsou zanedbatelné, (a) Určete rychlost pistole v okamžiku, kdy se kulička vzhledem k hlavni zastaví, (b) Jakou 260 KAPITOLA 10 SRÁŽKY část původní kinetické energie kuličky představuje potenciální energie stlačené pružiny? 55Ú. Dva hranoly o hmotnostech m\ = 2,0kg a mn = 5,0kg se pohybují v téže přímce po dokonale hladké vodorovné desce rychlostmi o velikostech vij = 10m-s 1 a vi,\ = 3,0m-s~'. K hranolu m2 je upevněna velmi lehká pružina o tuhosti k = 1 120N/m (obr. 10.43), do níž hranol nt\ narazí. Určete největší stlačení pružiny při této srážce. {Tip: V okamžiku nej-většího stlačení pružiny se obě tělesa pohybují stejnou rychlostí.) Vij vmw m Obr. 10.43 Úloha 55 56Ú. Kostka o hmotnosti 1,0 kg leží na dokonale hladké podložce a je nenapjatou pružinou (k = 200 N/m) spojena sc stěnou (obr. 10.44). Hranol o hmotnosti 2,0kg do ní narazí rychlostí 4,0m-s~1rovnoběžně s pružinou a pevně se s ní spojí. Určete stlačení pružiny v okamžiku, kdy je společná rychlost těles nulová. Obr. 10.44 Úloha 56 kinetické energie soustavy, (c) Také by byly výsledné rychlosti vozů, kdyby srážka byla pružná? ODST. 10.5 Šikmé srážky 60C. Částice a se srazí s jádrem atomu kyslíku, které bylo před srážkou v klidu. Její výsledná rychlost svírá s původním směrem jejího pohybu úhel 64,0°. Kyslíkové jádro se po srážce pohybuje rychlostí o velikosti 1,20-105 m-s-1, která svírá s původním směrem pohybu a-částice úhel —51,0°. Určete (a) výslednou a (b) počáteční rychlost a-částice. (Hmotnost a-částice je 4,0 u a hmotnost kyslíkového jádra 16 u.) 61C. Proton (střela) letí rychlostí 500m-s~'a pružně sc srazí s jiným protonem (terč), který byl zpočátku v klidu. Siřela se od původního směru svého pohybu odchýlí o 60:. Určete (a) směr pohybu terče a (b) velikost rychlosti terče i střely po srážce. 62C. Atomové jádro, které je v klidu, sc náhle rozpadne na tři části. Dvě z nich jsou zachyceny detekčním zařízením, které je schopno určit jejich rychlosti a hmotnosti (obr. 10.46). (a) Určele hybnost třetí částice, jejíž hmotnost je 11,7-10~27 kg, a vyjádřete ji pomocí jednotkových vektorů kartézské soustavy souřadnic, (b) Jaká je celková kinetická energie částic po rozpadu? y I 16,7-10"27 kg — -t>-x 6,00-106m-s-' ' původní jádro 57Ú. Dvoje stejné sáně o hmotnostech 22,7 kg stojí těsně za sebou podle obr. 10.45. Kočka o hmotnosti 3,63 kg, která na jedněch sáních seděla, přeskočí najednou na druhé sáně a hned zase zpět. Při obou skocích má rychlost kočky vzhledem k zemi velikost 3,05 m-s . Určete výsledné rychlosti sání. st Obr. 10.45 Úloha 57 58Ú. Automobil o hmotnosti 1 200 kg má nárazník konstruován tak, aby čelní náraz do zdi rychlostí 5,00 km/h byl ještě bezpečný. Vůz jede rychlostí 70 km/h a zezadu narazí do druhého automobilu, který jede rychlostí 60 km/h stejným směrem a má hmotnost 900 kg. Rychlost druhého vozu po srážce je 70 km/h. (a) Jaká je rychlost prvního automobilu bezprostředně po nárazu? (b) Určete poměr ztráty kinetické energie soustavy dvou automobilů při popsané srážce a kinetické energie, při níž je náraz prvního automobilu do zdi ještě bezpečný. 59Ú. Nákladní vagon o hmotnosti 32 tun jede rychlostí 1,5 m/s. Narazí do jiného vagonu, který má hmotnost 24 tun a jede stejným směrem rychlostí 0,9m-s~'. Oba vozy se při srážce spojí. Určete (a) společnou rychlost vozů po srážce a (b) změnu celkové 8,35-10 -'kg 8,00-10fi m-s 1 Obr. 10.46 Cvičení 62 63C. Bílá kulečníková koule narazí do červené, která je zpočátku v klidu. Rychlost bílé koule má po srážce velikost 3,50m-s_1a svírá s původním směrem pohybu úhel 22,0°. Červená koule odletí rychlostí o velikosti 2,00 m-s-1. Určete (a) směr rychlosti červené koule po srážce a (b) počáteční rychlost bílé koule, (c) Je srážka pružná? 64C. Dva automobily A a B se blíží ke stejnému místu v navzájem kolmých směrech. Při srážce se do sebe zaklíní. Vůz A (hmotnost 1200 kg) se před srážkou pohyboval rychlostí 64 km/h a vůz B (hmotnost 1 600 kg) rychlostí 96 km/h. Určete velikost a směr společné rychlosti obou vraků po srážce. 65C. Kulečníková koule narazí rychlostí V do těsně uspořádané skupiny patnácti stojících koulí. Dojde k sérii srážek koulí mezi sebou i s obrubou stolu. Shodou okolností má velikost rychlosti všech šestnácti koulí v jistém okamžiku stejnou hodnotu v. Všechny srážky považujeme za pružné a zanedbáváme vliv rotačního pohybu koulí. Vyjádřete ľ pomocí V. 66U. Těleso o hmotnosti 20,0 kg se pohybuje v kladném směru osy .v rychlostí 200 m-s-1. Najednou vybuchne a roztrhne se CVIČENÍ & ÚLOHY 261 na tři čásli. První z nich má hmotnost 10,0kg a odletí rychlostí 100 m-s-1 v kladném směru osy y. Druhý úlomek (hmotnost 4,00 kg) se vrací zpět podél záporné osy x rychlostí o velikosti 500m-s-1. (a) Určete rychlost (směr a velikost) třetího úlomku, který má hmotnost 6,00 kg. (b) Určete celkovou kinetickou energii všech úlomků po srážce. (Vliv tíhové síly zanedbejte.) 67Ú. Míč B narazí rychlostí v do míče A, který byl v klidu. Hmotnosti míčů jsou různé. Po srážce sc míč B pohybuje poloviční rychlostí kolmo k původnímu směru svého pohybu, (a) Určete směr pohybu míče A po srážce, (b) Je možné zjistit ze zadaných údajů i velikost rychlosti míče A? Odpověď zdůvodněte. 68U. Neutron se při pružné srážce s klidným deuteronem odchýlí o 90° od původního směru svého pohybu. Ukažte, že neutron ztratil při srážce dvě třetiny své kinetické energie, kterou naopak deuteron získal. (Hmotnost neutronu je 1,0 u a hmotnost deuteronu 2,0 u.) 69U. Dvě stejně rychlá tělesa o stejných hmotnostech se při srážce pevně spojí (dokonale nepružná srážka). Velikost rychlosti vzniklého objektu je ve srovnání s počáteční rychlostí každého z obou těles poloviční. Určete úhel mezi vektory počátečních rychlostí těles. 70U. Obr. 10.47 znázorňuje výchozí situaci před srážkou dvou kyvadel o délce /.Po uvolnění narazí kyvadlo m \ do kyvadla mj. Srážka je dokonale nepružná. Odpor prostředí a hmotnosti závěsů považujeme za zanedbatelné. Do jaké výšky vystoupí těžiště soustavy spojených kyvadel? Vil / T 1 3 Obr. 10.48 Úloha 72 73Ú. Nákladní loď o hmotnosti 1,50-105 kg pluje v husté mlze po proudu řeky rychlostí o velikosti 6,2 m-s-1. Náhle narazí do boku druhé lodi, která přeplouvá řeku napříč (obr. 10.49). Druhá loď má hmotnost 2,78-105 kg a pluje rychlostí 4,3 m-s-1. Těsně po srážce se kurs druhé lodi odchýlí o 18"' od původního směru a velikost její rychlosti vzroste na 5,1 m-s-1. Rychlost toku řeky je zanedbatelná, (a) Určete rychlost první lodi (velikost a směr) po srážce a (b) úbytek celkové kinetické energie soustavy. 18; směr proudu řeky Obr. 10.49 Úloha 73 0Í ÄÍJDST. 10.6 Jaderné reakce a radioaktivní rozpad 74C. Hmotnosti všech částic v jaderné reakci p+l9F->« + 160 jsou známy velmi přesně: Obr. 10.47 Úloha 70 71U. Kulečníková koule narazí rychlostí 2,2 m-s~'do jiné koule, která byla v klidu. Po srážce se jedna z koulí pohybuje rychlostí o velikosti 1,1 m-s-1 ve směru, který svírá s původním směrem pohybu střely úhel 60°. (a) Určete rychlost druhé koule (velikost a směr), (b) Připouštějí zadané hodnoty možnost nepružné srážky? 72U. Koule 1 (střela) narazí počáteční rychlostí 10m-s~'do dvojice stejných koulí, které jsou v klidu a dotýkají se. Spojnice jejich těžišť je kolmá na směr letící koule (obr. 10.48). Střela míří přesně do místa dotyku dvojice terčů. Určete rychlosti všech tří koulí po srážce. Třecí síly zanedbejte. (Tip: Při zanedbatelném tření mají impulzy sil, jimiž na sebe koule působí při srážce, směr spojnice jejich středů.) otp = 1,007 825 u, mF = 18,998 405 u. ma = 4.002 603 u, m0 = 15.994915 u. Vypočtěte energii Q, která se při reakci uvolnila. 75C. Elementární částice S~ (sigma minus) se samovolně rozpadne podle schématu + n. Hmotnosti částic jsou m-L = 2340.5;;;c. m„ — 273,2me, mn — 1 838,65me, kde me = 9,11 -10 3] kg je hmotnost elektronu, (a) Určete celkovou kinetickou energii částic po rozpadu, (b) Porovnejte hybnosti obou produktů rozpadu (n~ a n). (c) Která z částic získá větší část celkové kinetické energie? 262 KAPITOLA 10 SRÁŽKY 76Ú*. Částice a s kinetickou energií 7,70 MeV narazí do jádra atomu '7N, které jc v klidu. Vznikne jádro gO a proton. Proton vyletí kolmo k počáteční rychlosti c-částice a má kinetickou energii 4,44MeV. Hmotností jednotlivých částic jsou: a-částicc — 4,002 60u; '7N — 14,003 07u; proton — 1,007 825 ua'^O- 16,999 14u. (a) Určete kinetickou energii kyslíkového jádra a (b) energii Q uvolněnou při reakci. 77U*. a rozpad rádia (Ra) na radon (Rn) probíhá podle rovnice 226Ra -> u + 222Rn. Hmotnosti jednotlivých částic jsou: 2ggRa — 226,025 4u; a-částicc — 4,002 6u; 222Rn — 222,017 5 u. (a) Určete energii Q uvolněnou při reakci, (b) .(akou hodnotu Q bychom získali, kdybychom při výpočtech zaokrouhlili hmotnosti částic na tři platná místa? Určete kinetickou energii (c) a -částice a (d) jádra radonu. (Pro výpočet částí (c) a (d) je možné použil zaokrouhlených hodnot. Zdůvodněte.) PRO POČÍTAČ 78Ú. Model rakety má hmotnost 6,00 kg a letí vodorovně směrem k jihu rychlostí 20,0m-s_l. Při výbuchu se náhle rozpadne na dvě části. Rychlost prvního úlomku (hmotnost 2,00 kg) je rovna vi = (-12,0m-s"')/ + (30.0 m-s_l)j - (15,0 m-s"1)*, kde jednotkové vektory /, j a k směřují po řadě k východu, k severu a svisle vzhůru, (a) Určete hybnost druhého úlomku a zapište ji pomocí jednotkových vektorů, (b) Jakou kinetickou energii má druhý úlomek? (c) Určete přírůstek kinetické energie soustavy při výbuchu. 11 Rotace Sledovali jste někdy zápas v judu? Pak jste si jistě všimli, ze vítězství v tomto sportu není jen záležitostí fyzické zdatnosti sportovce, judista, který je obeznámen se základními zákony fyziky nebo jich dokáže alespoň intuitivně využívat, může totiž bez velkých problémů porazit většího a silnějšího protivníka. Např. judista při chvatu o goši svého soupeře nadzdvihne, otočí kolem svého boku a položí ho na žíněnku. Zdálo by se, že tento chvat vyžaduje značnou sílu, a nemusel by se vůbec podařit. Opravdu může fyzika pomoci i v tomto případě? A jak ( 264 KAPITOLA 11 ROTACE 11.1 POSUVNY A OTACIVY POHYB Jízdu krasobruslařky vnímáme samozřejmě především jako esteticky dokonale působivý celek. Přesto však v ní můžeme rozpoznat dva základní typy pohybu. Na obr. 11.1a zachytil fotograf krasobruslařku v situaci, kdy klouže po přímce takřka rovnoměrně. Takový pohyb je jedním zc speciálních případů tzv. posuvného (translačního) pohybu, zkráceně posuvu neboli translace. Obr. 11.1b naopak ukazuje bruslařku při piruetě, při níž se otáčí kolem svislé osy určitou úhlovou rychlostí. Koná tak otáčivý (rotační) pohyb, krátce nazývaný otáčení neboli rotace. V této kapitole sc budeme podrobněji zabývat právě otáčivým pohybem. Obr. 11.1 Krasobruslařka Kristi Yamaguchiová (a) při čisté translaci, (b) při čisté rotaci kolem pevné osy. (a) (b) Dosud jsme se převážně zabývali pohybem posuvným, často dokonce pouze přímočarým. K typickým případům otáčivého pohybu patří otáčení kol a převodových kol. pohyb částí motorů, hodinových ručiček, rotorů tryskových motorů, vrtulí vrtulníků. Rotují také tornáda, planety, hvězdy a galaxie. 11.2 VELIČINY CHARAKTERIZUJÍCÍ OTÁČIVÝ POHYB V této kapitole sc budeme zabývat rotací tuhého tělesa kolem pevné osy.* První z těchto požadavků znamená omezení výběru objektů, jejichž otáčivý pohyb budeme popisovat. Nebudeme se tedy zabývat například rotací Slunce, které si lze nejspíš představit jako plynovou kouli. Slunce modelu tuhého tělesa rozhodně nevyhovuje. Pomocí druhého omezení vyloučíme z našich úvah například valivé pohyby, neboť při nich těleso rotuje kolem osy pohyblivé v prostoru (kolo automobilu), ale také třeba pohyb závaží odstředivého regulátoru (může se vzdalovat od osy otáčení). osa -\ otáčení /- těleso vztažná přímka Obr. 11.2 Tuhé těleso obecného tvaru se otáčí kolem souřadnicové osy z. Poloha vztažné přímky vzhledem k tělesu je libovolná až na to, že je přímka kolmá k ose otáčení. Je spojena s tělesem a rotuje spolu s ním. Na obr. 11.2 je tuhé těleso obecného tvaru, které sc otáčí kolem pevné osy, zvané osa otáčení neboli osa rotace. Každý bod tělesa opisuje kružnici, jejíž střed leží na ose otáčení. V daném časovém intervalu opíší všechny body stejný úhel. (Naproti tomu se při posuvném pohybu pohybují všechny body tělesa po trajektoriích stejného tvaru, například po přímkách, a v daném časovém intervalu urazí tutéž vzdálenost. V dalším výkladu budeme posuvný a otáčivý pohyb často srovnávat.) Zabývejme se nyní veličinami, které charakterizují rotační pohyb obdobně, jako veličiny poloha, posunutí, rych- * Její poloha se nemění ani vůči tělesu, ani vůči okolí. 11.2 VELIČINY CHARAKTERIZUJÍCÍ OTÁČIVÝ POHYB 265 lost a zrychlení popisují translaci. Půjde o tzv. úhlové veličiny (úhlovou polohu, úhlovou rychlost a úhlové zrychlení). Místo slovního spojení „úhlové posunutí" užijeme termínu otočení. Úhlová poloha Všimněme si, že v obr. 11.2 je vyznačena vztažná přímka, kolmá k ose otáčení a pevně spojená s tělesem. Otáčí se tedy spolu s ním a umožňuje tak snadno popsat jeho pohyb pomocí úhlové polohy. Úhlovou polohou budeme rozuměl úhel, který vztažná přímka svírá s pevně zvoleným směrem ležícím v rovině kolmé k ose otáčení. Na obr. 11.3 je úhlová poloha 0 měřena vzhledem ke kladnému směru osy x. Pro úhel 0 platí 0 = - (v radiánech). (11.1) r Symbolem i jsme označili délku oblouku kružnice, který je ohraničen kladnou osou x a vztažnou přímkou, r je poloměr této kružnice. Hodnoty takto definovaného úhlu vyjadřujeme obvykle v tzv. obloukové míře, tj. v radiánech (rad). Hodnoty zadané ve stupních nebo pomocí počtu otáček snadno přepočteme. Všimněme si, že úhel v obloukové míře je určen poměrem délek a jc tedy bezrozměrovou veličinou. Obvod kružnice o poloměru r je 2r.r, takže jedna otáčka odpovídá změně úhlové polohy o 2n radiánu: 2r.r lot = 360° = — =27irad (11.2) r a odtud 1 rad = 57,3C =0,159 ot. (11.3) Na rozdíl od dohody zavedené v geometrii nebude v našem případč úhel 0=0 ekvivalentní hodnotám 2ti, 4ti atd. Po ukončené otáčce vztažné přímky se tedy hodnota její úhlové polohy nevy nuluje. Po ukončení první otáčky nabývá úhlová poloha hodnoty 2nrad, po druhé otáčce je 4ti rad atd. Úplnou informaci o posuvném pohybu tělesa například podél osy x lze získat na základě znalosti funkce x (t) popisující časovou závislost polohy některého jeho bodu, zvoleného zcela libovolně. Podobnejšou všechny myslitelné údaje o otáčivém pohybu tělesa kolem pevné osy obsaženy v časové závislosti 9(t) úhlové polohy vztažné přímky. Otočení Dejme tomu, že se úhlová poloha vztažné přímky tělesa na obr. 11.3, rotujícího kolem pevné osy, změní v určitém ' ... 'r 'S osa otáčení Obr. 11.3 Řez rotujícího tuhého tělesa z obr. 11.2 zobrazený v nadhledu. Osa otáčení je nyní kolmá k rovině nákresu a směřuje ke čtenáři. Rovina řezu je kolmá k ose otáčení, splývá tedy s nákresnou. Vztažná přímka svírá s osou x úhel 6. časovém intervalu z hodnoty 9\ na hodnotu O2 (obr. 11.4). Otočením tělesa v tomto časovém intervalu rozumíme veličinu A9, definovanou vztahem A0 = (h ii\. (11.4) Tato definice otočení se vztahuje nejen na tuhé těleso jako celek, ale i na každou jeho částici. Koná-li těleso posuvný pohyb, například podél osy x, může být jeho posunutí Ax jak kladné, tak záporné. Znaménko závisí na tom, zda se těleso pohybuje ve směru rostoucí či klesající souřadnice x. Také otočení A9 rotujícího tělesa může nabývat kladných i záporných hodnot. Jeho znaménkoje kladné, otáčí-li se těleso ve směru rostoucího úhlu 6 (proti směru otáčení hodinových ručiček). Při otáčení tělesa ve směru klesajících hodnot úhlové polohy (po směru otáčení hodinových ručiček) je naopak otočení záporné (obr. 11.3 a 11.4). JTiONTROL A 1: Kotouč na obrázku se může otáčet kolem své osy jako kolotoč. Rozhodněte, které z následujících dvojic počáteční a výsledné úhlové polohy odpovídají zápornému otočení: (a) —3 rad, +5 rad, (b) —3 rad, —7 rad, (c) 7 rad, —3 rad. I osa otáčení .—vztažná přímka nulová úhlová poloha í 266 KAPITOLA 11 ROTACE vztažná přímka v okamžiku t\ osa otacem Obr. 11.4 Vztažná přímka tuhého tělesa znázorněného na obrázku 11.2 a 11.3 má v okamžiku i\ úhlovou polohu 0\ a v okamžiku í2 úhlovou polohu 02. Rozdíl AO = O2 — 0\ představuje otočení tělesa v časovém intervalu Ař = t2 — t\. (Těleso není v obrázku zakresleno.) Úhlová rychlost V souhlasu s obr. 11.4 označme úhlovou polohu rotujícího tělesa v okamžiku íj jako 9\ a v okamžiku ř? jako #2. Průměrnou úhlovou rychlost tělesa v časovém intervalu Ař od ri do ti definujeme vztahem _ B2-9\ h AB Ař' (11.5) kde AO je otočení tělesa v časovém intervalu Ar. (Okamžitá) úhlová rychlost co, se kterou budeme pracovat nejčastěji, je limitou průměrné úhlové rychlosti, vyjádřené vztahem (11.5), při poklesu veličiny Ař k nulové hodnotě, tj. ,. Ad áO co = lim — = —. aí^o Ar dr (11.6) Známe-li časovou závislost úhlové polohy Q (i), můžeme úhlovou rychlost ca snadno určit jejím derivováním. Rov. (11.5) a (11.6) platí nejen pro rotující tuhé těleso jako celek, ale také pro každou jeho částici. Jako jednotku úhlové rychlosti používáme nejčastěji radián za sekundu (rad/s), někdy i počet otáček za sekundu (ot/s). Pohybuje-li se částice podél osy x, je její rychlost vx kladná, nebo záporná podle toho, zda se pohyb děje ve směru rostoucí, nebo klesající souřadnice x. Také úhlová rychlost může mít kladné, nebo záporné znaménko. V prvním případě se těleso otáčí ve směru rostoucího úhlu 9 (proti směru otáčení hodinových ručiček), v druhém případě ve směru klesajícího úhlu 9 (ve směru otáčení hodinových ručiček). Předchozí definici ještě upřesníme: úhlovou rychlost rotujícího tělesa definujeme jako vektor ui rovnoběžný s osou otáčení, jehož složka měřená podél této osy je dána vztahem (11.6). Velikost vektoru úhlové rychlosti značíme obvykle rovněž symbolem co. Se slovním spojením „úhlová rychlost" se tedy můžeme setkat dokonce v trojím významu. Může představovat vektor, jeho složku do osy rotace či jeho velikost. Nemusíme však mít obavu, že bychom tyto možnosti nedokázali v textu dobře rozpoznat. Věta „Uhlová rychlost mění směr" zcela jistě vypovídá o úhlové rychlosti jako o vektoru a věta „Uhlová rychlost činí 50 otáček za sekundu" se nepochybně týká její velikosti. Uhlové zrychlení V případech, kdy úhlová rychlost rotujícího tělesa není konstantní, má těleso nenulové úhlové zrychlení. Dejme tomu. že úhlová rychlost tělesa v okamžiku t\ je ia\ a v okamžiku ř2 má hodnotu mo. Průměrné úhlové zrychlení tělesa v časovém intervalu od t\ do tz pak definujeme vztahem r2 -1\ Aco ~aJ' (11.7) kde Aco je změna úhlové rychlosti v daném časovém intervalu délky Ař. (Okamžité) úhlové zrychlení e, se kterým budeme pracovat nejčastěji, je limitou průměrného úhlového zrychlení při poklesu hodnoty Ar k nule. Platí tedy Aw hm - Ar^o Ar ~ďt' (11.8) Rov. (11.7) a (11.8) platí nejen pro rotující tuhé těleso jako celek, ale i pro každou jeho částici. Nejužívanější jednotkou úhlového zrychlení je radián za sekundu na druhou (rad/s2), případně počet otáček za sekundu na druhou (ot/s2). Podobně jako u úhlové rychlosti můžeme i zde zavést vektor úhlového zrychlení: e — dw/dř. Jeho směr je dán osou a směrem otáčení. Situace je tedy obdobná jako u jednorozměrných vektorů v kap. 2. PŘIKLAD 11.1 Časová závislost úhlové polohy vztažné přímky rotujícího kola je dána vztahem e = ŕ 21í + 4, kde ř je v sekundách a 6 v radiánech. (a) Určete to(í) a DOŘEŠENÍ: Úhlovou rychlost a>(t) najdeme jako derivaci funkce 6(ť) podle času: d0(í) dř 3r -27. (Odpověď) 11.3 JSOU ÚHLOVÉ VELIČINY VEKTOROVÉ? 267 Dalším derivováním získáme úhlové zrychlení e(t): dcv(t) d(3r2 - 27) e = - = - = 6f. (Odpoved) df dt (b) Zjistěte, zda sc v některém okamžiku úhlová rychlost anuluje. Ve kterém? ŘEŠENÍ: Požadavek co(t) = 0 vede k rovnici 0 = 3í2 -27, jejíž řešení má tvar t = ±3. (Odpověd) Okamžitá úhlová rychlost kola je nulová v okamžicích/ = 3 s a t = — 3 s (3 sekundy před začátkem měření). (c) Popište pohyb kola pro t ^ 0. ŘEŠENÍ: Všimněme si podrobněji časových závislostí 9 (f), m(t) a e(t). V okamžiku t = 0 (začátek měření) má vztažná přímka úhlovou polohu 9 — 4 rad, kolo se otáčí úhlovou rychlostí —27 rad/s (tedy ve směru otáčení hodinových ručiček) a jeho úhlové zrychlení je nulové. V intervalu 0 < i < 3 s se kolo otáčí stále ve směru otáčení hodinových ručiček. Jeho úhlové zrychlení je kladné, a proto velikost jeho úhlové rychlosti klesá (otáčení se zvolňuje). Ověřte toto tvrzení například pro okamžik r = 2 s. V okamžiku t = 3 s je úhlová rychlost kola nulová (co = = 0) a kolo je v krajní úhlové poloze (vztažná přímka má v tomto okamžiku úhlovou polohu 9 = —50 rad). Pro / > 3 s úhlové zrychlení kola roste. Zvyšuje se i jeho úhlová rychlost, která je nyní kladná. Vzhledem k tomu, že veličiny oiat mají stejné (kladné) znaménko, roste i velikost úhlové rychlosti, a to poměrně rychle. PŘÍKLAD 11,2 Dětská káča se otáčí s úhlovým zrychlením s = 5r3 - At. Všechny veličiny jsou vyjádřeny v odpovídajících jednotkách SI (rad, s). V čase t = 0 má káča úhlovou rychlost 5 rad/s a její vztažná přímka má úhlovou polohu 9=2 rad. (a) Najděte časovou závislost úhlové rychlosti káči co(ť). ŘEŠENÍ: Z rov. (11.8) dostaneme vztah dw = e dt a jeho integrací získáme funkci a>= edt = / (5ř3 - At) dt = |/4 - \t2 + C. Pro výpočet integrační konstanty C použijeme podmínku a>(t = 0) = 5 rad/s, jejímž dosazením do poslední rovnice dostáváme 5rad-s~' = 0 - 0 + C. Je tedy C = 5 rad/s a co = f ŕ4 - 2?2 + 5. (Odpověd) (b) Najděte časovou závislost úhlové polohy káči DOŘEŠENÍ: Rov. (11.6) přepíšeme ve tvaru d9 = oj dt a integrací dostaneme hledanou časovou závislost 9(t): 9 = j mát = j (f f4 - 2r2 + 5)dr = = \ř - |ř3+5í + C' = = i#s - |f3 + 5ř + 2. (Odpověd) Konstantu C" jsme určili z podmínky 6(t = 0) = 2rad. 11.3 JSOU ÚHLOVÉ VELIČINY VEKTOROVÉ? Poloha, rychlost a zrychlení částice jsou typické vektorové veličiny. Vzpomeňme si však, že při popisu přímočarého pohybu částice jsme vektorovou algebru v plném rozsahu nepotřebovali. Dva možné směry pohybu částice jsme totiž dokázali rozlišit pouze znaménkem. Polohový vektor, rychlost i zrychlení byly zadány vždy jediným číselným údajem, představujícím složku vektoru měřenou podél přímky — trajektorie částice. V podobné situaci se ocitáme při popisu otáčivého pohybu tuhého tělesa kolem pevné osy. Těleso se může otáčet v některém ze dvou možných směrů, které opět odlišíme znaménky: ve směru kladném (proti směru otáčení hodinových ručiček), nebo záporném (ve směru otáčení hodinových ručiček). Znamená to, že můžeme otočení, úhlovou rychlost a úhlové zrychlení pokládat za vektorové veličiny? Odpověď na tuto otázku je pro případ úhlové rychlosti a úhlového zrychlení kladná. Otočení však vektorovou veličinou není. K podrobnějšímu rozboru této skutečnosti se vrátíme v závěru článku. Uvažujme úhlovou rychlost. Na obr. 11.5a je znázorněna gramofonová deska, která se otáčí kolem pevného trnu stálou úhlovou rychlostí ca = 33^ ot/min. Rovněž směr otáčení jc stálý a při pohledu shora se děje ve směru otáčení 268 KAPITOLA I 1 ROTACE hodinových ručiček. Úhlovou rychlost tedy můžeme definovat jako vektor u, rovnoběžný s osou otáčení (obr. 11.5). Délku tohoto vektoru znázorníme v nějakém vhodném měřítku, např. 1 cm bude odpovídat 10ot/min. Směr vektoru u definujeme pomocí pravidla pravé ruky podle obr. 11.5. Přiložíme pravou dlaň k rotující desce tak, aby prsty směřovaly ve směru otáčení. Natažený palec pak ukazuje směr vektoru úhlové rychlosti. Kdyby se deska otáčela opačným směrem, byl by směr vektoru úhlové rychlosti, určený pravidlem pravé ruky, opačný. 10 (a) (b) (c) Obr. 11.5 (a) Gramofonová deska se otáčí kolem svislé osy (trnu), (b) Uhlovou rychlost rotující desky lze chápal jako vektor w, rovnoběžný s osou otáčení a směřující dolů. (c) Směr vektoru úhlové rychlosti stanovíme pomocí pravidla pravé ruky. Prsty pravé ruky ukazují směr otáčení, palec ukazuje směr vektoru tu. Na vektorovou povahu úhlových veličin si zřejmě budeme chvíli zvykat. Intuitivně totiž cítíme, že by vektor měl udávat směr pohybu nějakého objektu. V případě úhlových veličin by však byla taková představa nesprávná. Tuhé těleso se otáčí kolem směru vektoru. Při rotačním pohybu určuje vektor směr osy otáčení, nikoli směr pohybu. I takový vektor však charakterizuje pohybový stav objektu. Samozřejmě i pro něj platí pravidla vektorové algebry, shrnutá v kap. 3. Předchozí úvahy se týkají jak úhlové rychlosti oj, tak úhlového zrychlení e. Poněvadž se v této kapitole zabýváme pouze otáčením tělesa kolem pevné osy, nemusíme za každou cenu pracovat s úhlovými veličinami jako s vektory. Úhlovou rychlost i úhlové zrychlení můžeme totiž v každém okamžiku zadat pouze číselnými údaji u> a e, směr vektoru je určen znaménkem příslušné číselné hodnoty. Při řešení složitějších úloh je však vektorový zápis vhodnější. Vraťme se nyní k možnosti popsat i otočení jako vektorovou veličinu. Pokud nejde o otočení velmi malé, není takový popis možný. Otočení není vektorovou veličinou. Jak jsme na to přišli? Každému otočení přece můžeme přiřadit velikost i směr, podobně jako v případě úhlové rychlosti tělesa na obr. 11.5. Možnost přisoudit veličině směr a velikost však ještě nezaručuje, že jde o veličinu vektorovou. Matematik by řekl, že je tím splněna pouze podmínka nutná, ne však postačující. Abychom totiž mohli nějakou veličinu prohlásit za vektorovou, musela by vyhovovat pravidlům vektorové algebry. Podle jednoho z nich je například součet vcklorů nezávislý na pořadí sčítání. Snadno však zjistíme, že otočení tomuto pravidlu nevyhovuje. Abychom se o tom přesvědčili, položme na stůl knihu podle obr. 11.6a. Otočme ji dvakrát po sobě o úhel 90:. nejdříve kolem vodorovné osy x,potom kolem svislé osy y. K určení kladného směru otočení použijeme pravidlo pravé ruky (obr. 11.5). v ■I -x SSi# (a) y (b) Obr. 11.6 (a) Knihu otočíme dvakrát o 90", nejdříve kolem vodorovné osy x, potom kolem svislé osy y. (b) Táž otočení provedeme v opačném pořadí. (Výchozí poloha knihy je v případech (a) i (b) stejná.) Pokud by otočení bylo vektorovou veličinou, neovlivnilo by pořadí otočení výslednou polohu knihy. Z obrázku je však zřejmé, že výsledná poloha knihy na pořadí provedených otočení závisí. Otočení není vektorová veličina, přestože jí můžeme přiřadit velikost a směr. Vraťme nyní knihu do původní polohy a proveďme tato dvě otočení v opačném pořadí (obr. 11,6b), tedy nejprve kolem osy y a teprve potom kolem osy x. Jak je vidět z obrázku, výsledná polohy knihy se v obou případech liší. Táž dvojice operací vede k různým výsledkům, jsou-li operace provedeny v různém pořadí. Skládání otočení není komutativní a otočení tedy nemůže být vektorovou veličinou. Jednoduchým pokusem však snadno ukážeme, že odlišnost výsledných poloh knihy je nepatrná, jsou-li provedená otočení mnohem menší než 90°. Infinitezimálně (neomezeně) malé otočení (například d0 v rov. (11.6)) již může být pokládáno za vektorovou veličinu. 11.4 ROVNOMĚRNÉ ZRYCHI JENY OTÁČIVÝ POHYB 269 Tabulka 11.1 Posuvný pohyb s konstantním zrychlením a otáčivý pohyb s konstantním úhlovým zrychlením ROVNICE POSUVNÝ CHYBĚJÍCÍ OTÁČIVÝ ROVNICE ČÍSLO POHYB VELIČINA POHYB ČÍSLO (2.11) v* - VQx +axt x (2.15) x = v0xt + \axt2 i',- (2.16) vl = vl+2axx t (2.17) x = í(v0x+vx)t ax (2.18) x = iv - W2 i;...v 11.4 ROVNOMĚRNĚ ZRYCHLENÝ OTÁČIVÝ POHYB Důležitým zvláštním případem posuvného pohybu po přímce je rovnoměrně zrychlený pohyb (například volný pád). Tab. 2.1 obsahuje souhrn rovnic, které se takového případu týkají. Pohyb s konstantním úhlovým zrychlením je zase významným speciálním případem pohybu otáčivého a vztahy mezi veličinami, které jej popisují, se rovnicím v tab. 2.1 velmi podobají, jak je zřejmé z tab. 11.1. Snadno jc můžeme získat z odpovídajících vztahů pro posuvný pohyb. Stačí, abychom v nich nahradili polohu, rychlost a zrychlení příslušnými úhlovými veličinami. Oba soubory rovnic, tj. (2.11), (2.15) až (2.18) a (11.9) až (11.13), shrnuje pro porovnání tab. 11.1. Pro jednoduchost jsme v nich položili xq = 0 a 9o = 0. Při takových počátečních podmínkách je posunutí Ax = x — xq dáno přímo souřadnicí x a otočení A9 = 9 — 6{) úhlovou polohou 9. J^ONTROLA 2: Časová závislost úhlové polohy rotujícího tělesa 9{t) může být vyjádřena některým z následujících vztahů: (a) 0(t) = 3f - 4, (b) 9(ť) = -5ř3 + + 4í2 + 6, (c) B{t) = 2/t2 - 4/í a (d) 9{ť) = 5t2 - 3. Pro který z nich lze použít tab. 11.1? PŘÍKLAD 11.3 Mlýnské kolo na obr. 11.7 se otáčí s konstantním úhlovým zrychlením e = 0,35 rad/s2. Roztáčí se z. klidové polohy (tj. con = 0), v níž je jeho vztažná přímka vodorovná (0q = 0). (a) Určete otočení vztažné přímky v okamžiku t — 18 s. ŘEŠENÍ: Z rov. (11.10) v tab. 11.1 (6 = co0t + \st2) dostaneme 9 = 0(18 s)+±(0,35 rad-s 2)(18s)2 = = 56.7 rad = 57 rad = 3 200 = 9,0 ot. (Odpověd) 6 oj = coq + st (11.9) co e = to0t + \st2 (11.10) t co2-- = a>Q + 2e6 (11.11) e o = + (Ů)t (11.12) 9 = a>t — 1st2 (11.13) ŘEŠENÍ: Z rov. (11.9) v tab. 11.1 (w = oůq + st) vyjde co =0+(0,35rad-s 2)(18s) = = 6.3rad-s~] = 3607 s = l,0ot/s. (Odpověd) -vztažná přímka Obr. 11.7 Příklady 11.3 a 11.4. Vztažná přímka mlýnského kola je v okamžiku t = 0 vodorovná. PŘIKLAD 11.4 Předpokládejme, že počáteční úhlová rychlost mlýnského kola z př. 11.3 je nyní ojq = —4,6 rad/s. Kolo se točí opět s úhlovým zrychlením (*■ = 0,35 rad/s2). Znaménka veličin io\) a e jsou opačná, otáčivý pohyb kola je tedy zpomalený. (a) Určete okamžik, kdy bude úhlová rychlost kola nulová. ŘEŠENÍ: Vyřešíme rov. (11.9) (o> = (úq + et) pro neznámou t a dostaneme oj - con 0 - (-4,6rad-s ') t=--= ' = 13 s. (Odpověď) s (0,35rad-s -) (b) Určete okamžik, kdy úhlová poloha kola odpovídá pěti otáčkám v kladném směru. (V tomto okamžiku má otočení vztažné přímky hodnotu 9=5 ot.) ŘEŠENÍ: Na počátku pohybu se kolo otáčí v záporném směru (ve směru otáčení hodinových ručiček) úhlovou rychlostí cúq = —4,6 rad/s. Jeho úhlové zrychlení je ovšem kladné (proti směru otáčení hodinových ručiček). Opačná znaménka počáteční úhlové rychlosti a úhlového zrychlení znamenají, že velikost úhlové rychlosti kola klesá. V určité chvíli se kolo na okamžik zastaví a začne se roztáčet v kladném směru. Poté, co se vztažná přímka vrátila do své počáteční úhlové polohy (b) Jakáje v tomto okamžiku úhlová rychlost kola? 270 KAPITOLA 11 ROTACL 8=0, musí kolo vykonat ještě dalších pět otáček, aby jeho úhlová poloha měla předepsanou hodnotu. Popis pohybu kola se nám může zdát poměrně složitý. Všechny jeho fáze jsou však „již obsaženy"' v rov. (11.10): 0 = ú>0r + ~eí2. Po vyjádření úhlu 9 v radiánech (8 = 5ot = 1 Oř. rad) a dosazení číselných údajů dostaneme 1 Ok rad = (-4,6 rad-s-1 )f + |(0,35 rad-s'2)/2. Je-li čas ř vyjádřen v sekundách, je získaná rovnice rozměrově správná. V dalším výpočtu jednotky pro jednoduchost vynecháme. Kvadratickou rovnici pro neznámou / přepíšeme do tvaru ř2-26,3f- 180 = 0 (11.14) a vyřešíme ji. Řešením úlohy je její kladný kořen ř = 32 s. (Odpověď) RADY A NÁMĚTY Bod 11.1: Neočekávané výsledky Při posuzování fyzikálního významu kořenů kvadratické rovnice bychom neměli postupovat unáhleně. I kořen, který se nám na první pohled jeví jako nepřípustný, může mít dobrý fyzikální smysl. Právě tak jc tomu i v př. 11.4. Rov. (11.14) má kořeny f = 32saŕ = —5,6 s. První z nich (kladný) jsme prohlásili za řešení úlohy a druhý zavrhli jako fyzikálně nevýznamný. Rozhodli jsme správně? Nikoliv! Záporná hodnota časové proměnné v tomto případě jednoduše udává jistý konkrétní okamžik předtím, než jsme začali pohyb kola sledovat, tj. než jsme stiskli vynulované stopky. Obr. 11.8 znázorňuje časový průběh úhlové polohy 8 vztažné přímky mlýnského kola (př. 11.4) pro kladné i záporné hodnoty časové proměnné. Představuje grafické vyjádření rov. (11.10) (8 = corjí + \et2) pro číselné hodnoty coq = —4,6rad/s a e = +0,35 rad/s2. Bod A odpovídá okamžiku t = 0, jemuž jsme přisoudili nulovou hodnotu úhlové polohy vztažné přímky. Od této chvíle se kolo točí v záporném směru až do okamžiku t = 13 s, kdy jeho úhlová rychlost dosáhne nulové hodnoty (v grafu bod B). Smčr otáčení se změní v opačný a vztažná přímka projde úhlovou polohou 8 = 0 v okamžiku, jemuž v grafu odpovídá bod C. Pak se kolo ještě pětkrát otočí (8 = 31,4rad,f = 32 s, bod D v grafu). Časový údaj ř = 32 s jsme v př. 11.4 přijali jako správné řešení úlohy. Všimněme si však, že vztažná přímka měla úhlovou polohu 8 = 5ot také v okamžiku t = —5,6 s, tj. před „oficiálně stanoveným" začátkem měření veličin charakterizujících pohyb kola. Fyzikální význam tohoto kořene kvadratické rovnice (11.14), reprezentovaného bodem E na obrázku, není tedy o nic menší než význam kořene odpovídajícího bodu D. Kromč posouzení právoplatnosti záporného kořene rov. (11.14) jsme předchozími úvahami také podrobněji popsali časový průběh otáčení kola. 8 (rad) 100 nu 60 .....40 31.4 rad (=f ot) /D / =5,6 sV A i -32 s -10 rv i 0 20 y 0 \ -TU 'í t (s) Obr. 11.8 Graf časové závislosti úhlové polohy 9(l) mlýnského kola podle př. 11.4. V grafu je znázorněna situace i pro záporné hodnoty časové proměnné (před okamžikem t = 0). Dva kořeny rov. (I 1.14) odpovídají bodům D a E. PŘÍKLAD 11.5 Při zkoumání pohybu rotoru vrtulníku se zjistilo, že se jeho úhlová rychlost změnila během doby 1,50 min z 320ot/min na 225 ot/min. (a) Určete průměrné úhlové zrychlení rotoru v uvedeném intervalu. ŘEŠENÍ: Z rov. (11.7) plyne a) - wq (225 ot/min) - (320 ot/min) 8 ~ At ~ ~ (1,50 min) = —63,3 ot/min2. (Odpověď) (b) Předpokládejme, že se otáčení rotoru zpožďuje rovnoměrně, takže je okamžité úhlové zrychlení v každém okamžiku shodné s průměrným. Jak dlouho potrvá, než se rotor zastaví, je-li jeho počáteční úhlová rychlost 320 ot/min? ŘEŠENÍ: Rov. (11.9) (co = mo + st) řešíme vzhledem k neznámé ( a dostaneme u> — cúo 0 — (320 ot/min) e ~ (-63,3 ot/min2) = 5,1 min. (Odpověď) (c) Kolik otáček vykoná rotor vrtulníku v úloze (b)? ŘEŠENÍ: Rov. (11.11) (ar = «5 + 2s8) nyní řešíme vzhledem k neznámé 9: _ (o2 - co2 _ 0 - (320 ot/min)2 _ ~ 2~e ~ 2(-63,3ot/min2) ~ = 809 ot. (Odpověď) 11.5 KORESPONDENCE OBVODOVÝCH A ÚHLOVÝCH VELIČÍN 271 11.5 KORESPONDENCE OBVODOVÝCH A ÚHLOVÝCH VELIČIN Připomeňme si čl. 4.7, kde jsme studovali rovnoměrný pohyb částice po kružnici. Částice se pohybovala obvodovou rychlostí v se stálou velikostí v. Takový pohyb však můžeme chápat i jako rotaci částice kolem pevné osy, vedené středem kružnice kolmo k její rovině. Otáčí-li se kolem pevné osy tuhé těleso (například kolotoč), pohybuje se každá jeho částice po své vlastní kruhové trajektorii. Osa otáčení tělesa je spojnicí středů všech těchto kružnic. Protože je těleso tuhé, trvá jeden oběh všech jeho částic stejnou dobu. Částice tedy mají stejnou úhlovou rychlost co. Čímje však částice vzdálenější od osy otáčení, tím větší je obvodjejí trajektorie a tedy i její obvodová rychlost. Tuto skutečnost si snadno uvědomíme třeba při jízdě na kolotoči. Uhlová rychlost otáčení to je nezávislá na vzdálenosti sedačky, na níž se vezeme, od osy kolotoče. Obvodová rychlost v (a nepříjemné pocity dané její změnou) je však tím větší, čímje sedačka od osy vzdálenější. Často je třeba mít k dispozici vztahy mezi obvodovými veličinami, tj. délkou oblouku s, obvodovou rychlostí v a obvodovým zrychlením a jednotlivých částic rotujícího tuhého tělesa a úhlovými veličinami 9, co a £, charakterizujícími otáčivý pohyb tělesa jako celku. Vztah obvodových a úhlových veličin je pro každou částici určen její vzdáleností r od osy otáčení, tj. poloměrem její kruhové trajektorie. Poloha Sledujme pohyb vybrané částice rotujícího tuhého tělesa. Při otočení vztažné přímky o úhel 0 urazí částice po oblouku své kruhové trajektorie dráhu s podle rov. (11.1) s=9r (6 je v rad). (11.15) Získáváme první vztah mezi obvodovými a úhlovými veličinami. Uhel 0 je třeba měřit v radiánoch, neboťrov. (11.15) představuje současně definici úhlové míry. Rychlost Derivujme rov. (11.15) podle času (při konstantní hodnotě r). Pak ds dO — = —r (9 je v rad), d/ d/ J ' Veličina ds/dt představuje obvodovou rychlost uvažované částice a d0/dt je úhlová rychlost co rotujícího tělesa. Je tedy v = tor (co je v rad/s). (1 1.16) Úhlovou rychlost to je opět nutné vyjádřit pomocí obloukové míry, tj. v jednotkách rad/s. Jak již víme, mají všechny částice tělesa stejnou úhlovou rychlost. Z rov. (11.16) pak snadno poznáme, že částice, které obíhají ve větší vzdálenosti r od osy otáčení, mají větší obvodovou rychlost v. Obr. 1 i.9a znázorňuje známou skutečnost, že vektor rychlosti částice je v každém okamžiku tečný k její kruhové trajektorii. .v v x («) (b) Obr. 11.9 Rez tuhým tělesem znázorněným na obr. 11.2 rovinou kolmou k ose otáčení. Každá částice tělesa (např. P) se pohybuje po kruhové trajektorii, jejíž střed leží na ose otáčení, (a) Vektor rychlosti v částice je tečný k její kruhové trajektorii, (b) Zrychlení a libovolné částice je součtem dvou průmětů, tečného (ot) a normálového (ar). Při otáčení tělesa stálou úhlovou rychlostí je podle rov. (11.16) časově neproměnná i obvodová rychlost každé jeho částice. Každá částice tělesa tedy koná rovnoměrný pohyb po kružnici. Doba oběhu T je pro všechny částice stejná a samozřejmě shodná s trváním jedné otáčky celého tělesa. Je vyjádřena vztahem (4.23) z něhož je patrné, že je podílem délky kruhové trajektorie částice (2~r) a její obvodové rychlosti (v). Po dosazení i> z rov. (11.16) a malé úpravě dostaneme 2ti T = — (Mjevrad/s). (11.18) to Tento výsledek je samozřejmě ekvivalentní s rov. (11.17). Vyjadřuje však společnou dobu oběhu všech částic pomocí veličin charakterizujících otáčivý pohyb tělesa jako celku, tj. jako podíl úhlu otočení tělesa (2r.rad) během jedné otáčky a jeho úhlové rychlosti (to). 272 KAPITOLA 11 ROTACE Obvodové zrychlení Derivací rov. (11.16) podle času (r je opět konstantní) dostáváme du dr» — = —r. (11.19) át dt V tuto chvíli je na místě jistá obezřetnost: veličina dv/dt na levé straně rov. (11.19) je časovou derivací obvodové rychlosti částice. Udává tedy časovou změnu velikosti vektoru její rychlosti a charakterizuje tak nerovnoměrnost jejího pohybu. Vraťme se na okamžik k čl. 6.4, který se zabýval výhradně rovnoměrným pohybem po kružnici. Vzpomeňme si, že zrychlení částice směřovalo v tomto případě neustále do středu její kruhové trajektorie, takže jeho tečný průmět (tečnézrychlení) byl nulový. Zdá se tedy, že tečné zrychlení nutně souvisí se změnou obvodové rychlosti a při nerovnoměrném pohybu již pochopitelně nebude nulové. Skutečně, výraz dv/dt představuje tečnou složku at vektoru zrychlení částice. Platí pro ni flt = sr (s je v rad/s ), (11.20) kde f, — dco/dt. (Při pohybu po kružnici nazýváme někdy tečnou složku zrychlení částice též obvodovým zrychlením.) Celkové zrychlení částice je součtem jeho dvou průmětů, tečného zrychlení ot a normálového (radiálního) zrychlení or. Při pohybu po kružnici směřuje normálové zrychlení do jejího středu a vystihuje změnu směru vektoru rychlosti v. Jeho velikost, tzv. normálová složka zrychlení, se řídí známým vztahem ar = V f r (rov. (4.22)). Dosazením t; z rov. (11.16) dostaneme pro ar vztah v 2 — - — r.\- r ar r (co je v rad/s). (11.21) Předchozí úvahy názorně shrnuje obr. 11.9b: zrychlení každé částice rotujícího tuhého tělesa je součtem svých dvou průmětů, tečného a normálového zrychlení. Tečné zrychlení at má směr vektoru rychlosti a normálové zrychlení a, směřuje do středu kruhové trajektorie. Normálová složka zrychlení je dána vztahem (11.21), a je tedy vždy nenulová (pokud těleso rotuje, je co ^ 0). Tečná složka at se řídí vztahem (11.20)) a je nenulová v případě, že je otáčivý pohyb tělesa nerovnoměrný, tj. jeho úhlové zrychlení je nenulové. j^ONTROLA 3: Moucha se veze na okraji kolotoče, jehož úhlová rychlost je konstantní. Rozhodněte, zdaje (a) normálová, resp. (b) tečná složka zrychlení mouchy nenulová, (c), (d) Zodpovězte předchozí otázky pro případ, že úhlová rychlost kolotoče klesá. PŘIKLAD 11.6 Na obr. 11.10 je vyfotografována centrifuga určená pro výcvik astronautů. Poloměr r kruhové trajektorie trénujícího astronauta je 15 m. Obr. 11.10 Příklad 11.6. Centrifuga pro výcvik astronautů v německém Kolíně. Při tréninku si astronauti zvykají na velká zrychlení, jimž jsou vystaveni při startu rakety. (a) Předpokládejme, žc sc centrifuga otáčí rovnoměrně. Jaká musí být její úhlová rychlost, má-li si astronaut zvykat na zrychlení lig? ŘEŠENÍ: Protože je úhlová rychlost centrifugy stálá, je její úhlové zrychlení s (= dco/dt) nulové. Podle rov. (11.20) je nulová i tečná složka zrychlení astronauta. Celkové zrychlení je tedy dáno pouze zrychlením normálovým. Užitím rov. (11.21) (aT — orr) a požadavku aT = 11 g dostaneme Ml(9,8m-s-2) V r V (15m) = 2,68rad-s~' =26ot/min. (Odpověď) (b) Určete tečné zrychlení pohybu astronauta za předpokladu, že úhlová rychlost centrifugy rovnoměrně vzroste během 120 s z počáteční nulové hodnoty na hodnotu vypočtenou v úkolu (a). ŘEŠENÍ: Poněvadž je úhlové zrychlení centrifugy podle předpokladu stálé, můžeme pro jeho výpočet použít rovnici (11.9). Dostaneme a>-eiM) (2,68rad-s^1 - 0) , _2 s = - = - = 0,022 3rad-s . t (120 s) Tečnou složku zrychlení astronauta pak již snadno určíme pomocí rov. (11.20): ax = sr = (0,022 3rad-s 2)(15m) = = 0,33m-s~2. (Odpověď) 11.6 KINETICKÁ ENERGIE TĚLESA PŘI OTÁČIVÉM POHYBU 273 Výsledná hodnota normálové složky zrychlení astronauta je značná (ac = 1 \g). Tečná složka při rozjezdu centrifugy jc v porovnání s ní mnohonásobně nižší (at = 0.034s>). ček, pokud jc užíváme konzistentně, tj. „nemícháme je". Ve vztazích vyžadujících použití obloukové míry není třeba vypisoval jednotku „radián" (rad) během celého výpočtu. Stačí ji uvést až ve výsledku. Takového zjednodušení zápisu jsme použili v př. 11.6. 11.6 KINETICKÁ ENERGIE TĚLESA PŘI OTÁČIVÉM POHYBU Rychle rotující kotoučová pila má určitě značnou kinetickou energii a jistě je možné ji určit. Ale jak? Známý vzlah Ek — \mv2 platí totiž pro částici. Pro výpočel kinetické energie rotujícího tělesa však není přímo použitelný už proto, že nevíme, kterou veličinu bychom měli dosazovat za v. Považujme kotoučovou pilu (a obecně každé rotující tuhé těleso) za soustavu částic pohybujících se různými rychlostmi. Kinetickou energii takového tělesa pak celkem přirozeně definujeme jako součet kinetických energií jednotlivých částic, tj. £k = \m\V2 + \nn-v2 + j'7'3t.'f + ... = Hmotnost i-té částice jsme označili symbolem m, a velikost její rychlosti 17. Součet zahrnuje všechny částice tělesa. Získaný vztah je ovšem pro praktický výpočet kinetické energie tělesa poněkud nepohodlný. Částice se totiž pohybují různými rychlostmi Vj. Uvědomíme-li si však, že rov. (11.16) umožňuje vyjádřit velikost rychlosti každé částice pomocí její vzdálenosti od osy otáčení a úhlové rychlosti, která charakterizuje otáčivý pohyb tělesa jako celku, můžeme se tohoto „nepohodlí" snadno zbavit. Užitím rov. (11.16) dostaneme £k = ^ \rrii(o)riÝ — \ (JTm,r2^ co2. (11.23) Hodnota oj je stejná pro všechny částice. Veličina v závorce po poslední úpravě rov. (11.23) závisí na rozložení hmoty tělesa vzhledem k ose otáčení. Nazýváme ji momentem setrvačnosti tělesa vzhledem k dané ose otáčení a značíme ji /. Všimněme si, že pro případ tuhého tělesa, které se otáčí kolem pevně zvolené osy, je moment setrvačnosti konstantní. Tato jeho vlastnost je velmi podstatná a usnadňuje všechny další úvahy. Volbu osy otáčení je ovšem nutno při výpočtu momentu setrvačnosti jasně zadat, neboť jeho hodnota na ní výrazně závisí. Pomocí momentu setrvačnosti 1 =J2"H>-f (H-24) získáme z rov. (11.23) pro Ek velmi jednoduchý výraz Ek = \Ico2 (oj je v rad/s). (11.25) Při jeho odvození jsme použili vztah v — cor. Uhlovou rychlost co v rov. (11.25) musíme proto zadávat v obloukové míře. Všimněme si podobnosti rov. (11.25) pro kinetickou energii otáčejícího se tuhého tělesa sc vztahem E^ = = \mv\, který vyjadřuje jeho kinetickou energii při posuvném pohybu. V obou vztazích se vyskytuje faktor i, Hmotnost m ve vztahu pro kinetickou energii posuvného pohybu představuje „míru setrvačnosti" tělesa. V případě otáčení se ve výrazu pro E k objevuje moment setrvačnosti /, který tak lze chápat jako „míru setrvačnosti" tělesa při jeho otáčení. V obou vztazích vystupuje druhá mocnina příslušné rychlosti (rychlosti posuvného, resp. úhlové rychlosti otáčivého pohybu). Oba výrazy vyjadřují stejný typ energie, energii kinetickou. Liší se pouze způsobem zápisu podle typu pohybu tělesa. Všimli jsme si již. že moment setrvačnosti tuhého tělesa závisí nejen na jeho hmotnosti, ale i jejím rozložení vzhledem k ose otáčení. Obr. 11.11 názorně ukazuje, jak můžeme rozdíly momentu setrvačnosti pocítit takřka „na vlastní kůži". Na obr. 11.1 la jsou dvě duté tyče, které na pohled vypadají úplně stejně. Jejich vnější rozměry i hmotnosti jsou shodné a obě tyče jsou v rovnováze, jsou-li podepřeny uprostřed. Žádný rozdíl nezpozorujeme ani tehdy, uchopíme-li je postupně do ruky a uvedeme do posuvného pohybu. Zcela odlišné pocity však zaznamenáme, zkusímc-li tyče rychle roztáčet. S jednou z nich to půjde velmi snadno, druhá se „bude bránit". Obr. 1 1.1 1 b, c odhalují podstatu RADY A NÁMĚTY Bod 11.2: Jednotky úhlových veličin Definice úhlové polohy ve tvaru (11.1) (0 — s/r) nás zavazuje k používání obloukové míry (radiány) ve všech vztazích mezi úhlovými a obvodovými veličinami. Otočení tedy musíme vyjadřoval vždy v radiánech, úhlové rychlosti v jednotkách rad/s nebo rad/min a úhlová zrychlení v jednotkách rad/s2 nebo rad/min2. Ve vztazích (11.15), (11.16), (11.18), (11.20) a (11.21) jsme tuto skutečnost explicitně zdůraznili. Tímto pravidlem se však nemusíme řídit ve vztazích obsahujících výhradně úhlové veličiny (vztahy v pravé části tab. 11.1). Můžeme v nich pracovat s libovolnými úhlovými jednotkami, tj. kromě radiánu také se stupni nebo počty otá- 274 KAPITOLA 11 ROTACE Tabulka 11.2 Momenty setrvačnosti některých homogenních tčlcs I = mR- l = \mR7 m L L2 osa 2i? Obruč se otáčí kolem své geometrické osy. (a) Plný válec (disk) se otáčí kolem své geometrické osy. (c) Tenká tyč se otáčí kolem osy vedené jejím středem kolmo k její délce. 00 Plná koule sc otáčí kolem osy vedené jejím středem. (?) \ / = im(R? + R|) V 2ft Dutý válec (prstenec) se otáčí kolem své geometrické osy. Plný válec (disk) se otáčí kolem osy vedené jeho středem kolmo k jeho podélné (geometrické) ose. Ul) Tenká tyč sc otáčí kolem osy vedené jedním z jejích konců kolmo k její délce. if) Kulová slupka se otáčí kolem osy vedené jejím středem. (h) osa Obruč se otáčí osa Deska se otáčí A kolem osy splývající I s jejím průměrem. kolem příčné osy vedené jejím středem. j i"—-a ~_j4 (0 l = ±m(a2+bz) (/) 11.7 VÝPOČET MOMENTU SETRVAČNOSTI 275 tohoto rozdílu. „Poslušná" tyč má uvnitř dvě závaží, která jsou umístěna blízko jejího středu, zatímco druhá tyč má stejná závaží připevněna na koncích. Hmotnosti tyčí jsou sice stejné, ale jejich hmota je jinak rozložena vzhledem k vyznačené ose otáčení. Proto jsou výrazně odlišné i hodnoty jejich momentu setrvačnosti vzhledem k této ose. osa otáčení l(«> 1IL>> V úlohách této kapitoly se budeme zabývat výpočty / pro oba typy těles. Obecně lze říci, že moment setrvačnosti tuhého tělesa vzhledem k dané ose otáčení závisí (1) na jeho tvaru, (2) na vzdálenosti jeho těžiště od osy otáčení a (3) na jeho orientaci vzhledem k ose otáčení. Tab. 11.2 shrnuje vztahy pro výpočet momentu setrvačnosti některých běžných homogenních těles vzhledem k různým osám otáčení. Všimneme si, jak rozložení hmoty vzhledem k ose otáčení ovlivní hodnotu /. Tak například u tyče na obrázku (ľ) je větší část hmoty dále od osy otáčení než u stejně dlouhé tyče na obrázku (e). Tyče mají stejnou hmotnost i délku, jejich momenty setrvačnosti jsou však rozdílné vlivem odlišné volby osy otáčení. Moment setrvačnosti tyče v situaci (f) je větší než v případě (c). (c) Obr. 11.11 (a) Vnější vzhled tyčí, jejichž vnitřek je znázorněn na obrázcích (b) a (c), jc totožný. Tyče se budou jevit stejné do chvíle, kdy se pokusíme je roztočit kolem osy procházející jejich středem. Tyč (c) se roztáčí snadno, tyč (b) „odolává". I když mají obě tyče stejnou hmotnost, jsou jejich momenty setrvačnosti vzhledem k dané ose otáčení výrazně odlišné vlivem různého rozložení jejich hmoty. Moment setrvačnosti tyče (b) je podstatně větší než moment setrvačnosti tyče (c). j^ONTROI .A 4: Částice na obrázku obíhají kolem svislé osy v daných vzdálenostech. Seřaďte je sestupně podle velikosti jejich momentu setrvačnosti vzhledem k této ose. otáčeni lm •#36 kg 2 m 9ka 3 ni •4kg 11.7 VYPOČET MOMENTU SETRVAČNOSTI Je-li tuhé těleso složeno z jednotlivých částic, lze jeho moment setrvačnosti snadno určit pomocí součtu (11.24). Jc-li však hmota tělesa rozložena spojitě, je třeba nahradit tento součet integrálem. Moment setrvačnosti je pak definován jako / = dm. (11.26) Steinerová věta Známe-li moment setrvačnosti Ir tělesa vzhledem k jisté ose jdoucí jeho těžištěm, můžeme snadno vypočítat jeho moment setrvačnosti vzhledem ke každé další ose téhož směru. Vztah mezi oběma momenty setrvačnosti se nazývá Steinerová věta. Platí I = IT + miř (11.27) kde m je hmotnost tělesa a h je vzdálenost uvažovaných rovnoběžných os. Slovně lze předchozí vztah vyjádřit takto: Moment setrvačnosti tělesa vzhledem k libovolně zvolené ose o je součtem jeho momentu setrvačnosti Ij vzhledem k rovnoběžné ose o' (o' \\ o), vedené jeho těžištěm, a momentu setrvačnosti mh2 veškeré hmoty soustředěné v těžišti vzhledem k ose o, kde h je vzdálenost os o. o'. Důkaz Steinerovy věty Uvažujme těleso obecného tvaru, které se může otáčet kolem obecně zvolené pevné osy. Těžiště tělesa označme T a umístěme v něm počátek soustavy souřadnic (O = T). Rez tělesa rovinou kolmou k ose otáčení a procházející těžištěm tělesa je znázorněn obr. 11.12. Průsečík osy otáčení s rovinou řezu označme P a jeho souřadnice a a b. Uvažujme objemový element tělesa v bodě o souřadnicích x a y a označme jeho hmotnost dm. Moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose vedené bodem P můžeme vyjádřit pomocí rov. (11.26) takto: j r2 dm = j [(. t — a) + (v — b) ] dm. 276 KAPITOLA 1 1 ROTACE osa olaceni r/ vedená , / bodem P \ / Pj£___ rx — a dm ZT / y- — osa otacem vedená těžištěm Obr. 11.12 Řez tuhým tělesem s těžištěm T v počátku O soustavy souřadnic. Steinerová věta (11.27) umožňuje vyjádřit moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose vedené bodem P jako součet momentu setrvačnosti vzhledem k ose téhož směru, procházející však těžištěm T, a výrazu mh , kde h je vzdálenost obou os. Osy jsou kolmé krovine nákresu. Tento integrál lze přepsat ve tvaru / = + v") dm — 2a I x dm -2b j y dm + j (a2 + b2) dm. (11.28) Uvědomíme-li si definiční vztah pro polohu těžiště tělesa (rov. (9.9)), ihned vidíme, že druhý a třetí integrál v rov. (11.28) představují, až na násobení konstantou, „v-ovou a y-ovou souřadnici těžiště. Jsou tedy nulové. Součet x2 + y2 můžeme označit jako R2, kde symbolem R rozumíme vzdálenost elementu dm od bodu O. Je zřejmé, že první integrál má význam momentu setrvačnosti tělesa vzhledem k ose procházející těžištěm, lj. Poslední člen v rov. (11.28) má hodnotu je mh2 (obr. 11.12), kde m je hmotnost tělesa. Získali jsme rov. (11.27), představující matematický zápis Steinerovy věty. j^ONTROLA 5: Těle so na obrázku (například kniha) se může otáčet kolem čtyř různých os. Všechny jsou kolmé k vodorovné základně tělesa. Seřaďte je sestupně podle odpovídajících hodnot momentu setrvačnosti tělesa. n__r IX. v (1) (2) (3) (4) PŘIKLAD 11.7 Tuhé těleso na obr. 11.13 jc tvořeno dvěma částicemi o hmotnosti m spojenými tyčí délky L, jejíž hmotnost je zanedbatelná. osa otacem vedená těžištěm (a) osa otacem vedená koncem tyče (b) Obr. 11.13 Příklad 11.7. Tuhé těleso je tvořeno dvěma částicemi o hmotnosti m spojenými tyčí zanedbatelné hmotnosti. (a) Určete moment setrvačnosti tohoto tělesa vzhledem k ose vedené kolmo k tyči jejím středem (obr. 11.13a). ŘEŠENÍ: Z rov. (11.24) plyne \mhL (Odpověď) (b) Určete moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose vedené koncem tyče rovnoběžně s osou zadanou v úloze (a) (obr. 11.13b). ŘEŠENÍ: Úlohu řešíme pomocí Steinerovy věty (11.27). Moment setrvačnosti lj jsme určili v části (a). Víme, že vzdálenost /; obou rovnoběžných os je polovinou délky tyče. Z rov. (11.27) tedy dostáváme / = IT + mh2 = \mL2 + (2m)(±L)2 = = mL2. (Odpovčd) Tento výsledek můžeme snadno ověřit přímým výpočtem podle rov. (11.24): / = J2mirí = (m)(0)2 + (m)(L)2 = = mL". (Odpověď) PŘIKLAD 11.8 Na obr. 11.14 je znázorněna tenká homogenní tyč o hmotnosti m a délce L. (a) Vypočtěte její moment setrvačnosti vzhledem k ose vedené kolmo k tyči jejím hmotným středem. 11.7 VÝPOČET MOMENTU SETRVAČNOSTI 277 ŘEŠENÍ: Zvolme osu x rovnoběžně s tyčí tak, aby její počátek ležel v těžišti tyče. Označme dx element délky tyče, umístěný v bodě o souřadnici x. Hmotnost úseku tyče jednotkové délky, tzv. lineární hustota, jc m/L, element áx má hmotnost dm = — dx. L Podle rov. (11.26) je pak f 2 ŕ12 2m I = I r" dm = I x' — d J i-LP. L m 3L btÍ2 m Tí D"-(-f)' (Odpověd) Výsledek se shoduje s údajem v tab. 11.2e. osa otáčení /-7" dx ~dm L 2 Obr. 11.14 Příklad 11.8. Homogenní tyč délky L a hmotnosti ni. (b) Určete moment setrvačnosti tyče vzhledem k ose vedené kolmo k tyči jejím koncovým bodem. ŘEŠENÍ: Použijeme výsledek části (a) a Steinerovu větu (11.27). Dostaneme, ve shodě s tab. 11.21", / = Ij + mn" = = j^mL2 + (m)(\L)2 = \mL2. (Odpověd) PŘIKLAD 11.9 Molekula chlorovodíku se skládá z atomu vodíku o hmotnosti mu = 1,01 u a atomu chloru o hmotnosti mc\ = 35,0u. Vzdálenost středů atomů je d = l,27-10~10m = 127pm (obr. 11.15). Vypočtěte polohu těžiště molekuly chlorovodíku vzhledem k ose vedené jejím těžištěm kolmo kc spojnici atomů. osa otáčení otci : A" J li .\ _, Obr. 11.15 Příklad 11.9. Schematicky znázorněná molekula chlorovodíku. Osa otáčení prochází jejím těžištěm a je kolmá je spojnici atomů. ŘEŠENÍ: Označme x vzdálenost atomu chloru od těžiště molekuly. Z obr. 11.15 a rov. (9.3) dostáváme 0 : tj. Odtud -mc\x + mH(d — x) mCi + oth mc\x = niH(d — x). '» H x =d- (11.29) '»ci + '"h Moment setrvačnosti molekuly vzhledem k ose jdoucí jejím těžištěm je (viz rov. (11.24)) / = nur2 = mu(d — xý + mox2. Dosazením za x ze vztahu (11.29) a po úpravě dostaneme , ,2 ">„ma n (l,01u)(35.0u) / = d"-= (127 pm) ffiH + m ci = 15,800 u-pm2. (1,01 u + 35.0 u) (Odpověd) Použité jednotky jsou pro vyjádření momentu setrvačnosti molekul přiměřené. Ještě vhodnější je délková jednotka angstrom (1Ä = 10~10 m), pomocí níž bude I = 1,58 u-A2. PŘIKLAD 11.10 Pomocí moderní techniky je možné zkonstruovat setrvačník, který může sloužit jako pohon automobilu. Setrvačník se nejprve roztočí motorem tak, aby kinetická energie jeho otáčivého pohybu byla dostatečná. Takto ..uložená" energie je pak postupně předávána automobilu prostřednictvím převodové soustavy. Představme si takový setrvačník jako plný válec o hmotnosti m — 75 kg a poloměru R = 25 cm. Zjistěte, jak velká energie je v něm „uložena", jc-li roztočen na úhlovou rychlost 85 000 ot/min. ŘEŠENÍ: Moment setrvačnosti válcového setrvačníku vyjádříme podle tab. 11.2c: / = \mR2 = i(75 kg)(0,25 m)2 = 2.34kg-m2. Uhlová rychlost setrvačníku je w = (85 000 ot/min) (2n rad/ot)(l min/60 s) = = 8 900rad-s~'. Z rov. (11.25) získáme jeho kinetickou energii Ek = i/cl = W. (11.40) Moment setrvačnosti částice je / = mr2 (rov. (11.24)). Jeho dosazením do rov. (11.40) dostaneme AEk Icot = W. (11.41) Vidíme, že v jednoduché situaci znázorněné na na obr. 11.17 je změna kinetické energie spojené s otáčivým pohybem tělesa dána prací síly F. Rov. (11.41) pro otáčivý pohyb je tedy obdobou vztahu mezi prací a změnou kinetické energie, získaného již dříve pro pohyb posuvný. Odvodili jsme ji sice pro případ jediné částice, platí však pro libovolné tuhé těleso rotující kolem pevné osy. Pro situaci na obr. 11.17 se nyní pokusíme vyjádřit práci W pomocí momentu síly F. Při elementárním otočení tělesa o úhel dO se částice posune podél své kruhové trajektorie o vzdálenost d.s\ Práci síly F při tomto posunutí vyjádříme pomocí rov. (7.11): dW = F-ds = Ftds = F^rdO. (11.42) (Připomeňme, že Ft j e tečná složka síly F.) Součin Ftr představuje podle rov. (11.31) moment M síly F. Rov. (11.42) tak získává tvar dW = Md6. (11.43) Práce vykonaná silou F při celkovém otočení tělesa z úhlové polohy 9\ do polohy 6f jc pak dána integrálem Tento vztah je „rotační" obdobou rov. (7.27) ľ j x\ W = Fdx. ' x\ Odvodili jsme jej opět pro jedinou částici, platí však pro libovolné tuhé těleso, podobně jako vztah mezi prací a kinetickou energií. Z rov. (11.43) můžeme zjistit, jaký je výkon síly působící na těleso při rotačním pohybu: dVV ~ď7 M- ,d0 M oj. (11.45) Tento výsledek, získaný pro otáčivý pohyb, je obdobou vztahu P — F v (rov. (7.49)), platného pro pohyb posuvný. Tab. 11.3 shrnuje základní vztahy, které j sme v této kapitole získali pro otáčivý pohyb tuhého tělesa kolem pevné osy a pro porovnání uvádí i odpovídající rovnice pro pohyb posuvný. PŘIKLAD 11.13 (a) O jaký úhel se otočí kotouč na obr. 11.18 za 2,5 s, rozbí-há-li se z klidu? ŘEŠENÍ: Dosazením oj0 = 0 do rov. (11.10) (9 = co0 + + i s t2) a použitím hodnoty g, kterou j sme získali v př. 11.11, vyjde 6=0 + i(-24rad-s-2)(2,5s)2 = = -75 rad. (Odpověď) (b) Jaká je úhlová rychlost kotouče v okamžiku t = 2,5 s? ŘEŠENÍ: Úhlovou rychlost vypočteme z rov. (11.9) (w = = coq + st). Dosadíme hodnotu úhlového zrychlení e, vypočtenou v př. 11.11 a nulovou hodnotu počáteční úhlové rychlosti (ďjq = 0). Dostáváme 0 + (-24rad-s 2)(2,5s) : -óOrad-s"1. (Odpověď) (c) Jak velkou kinetickou energii má kotouč v okamžiku t = 2.5 s? Tabulka 11.3 Posuvný a otáčivý pohyb Posuvný pohyb v daném směru Otáčivý pohyb kolem pevné osy poloha x úhlová poloha 9 rychlost v = dx/dt úhlová rychlost a> - = dO/dt zrychlení a = dv/dt úhlové zrychlení e = - da/ůt hmotnost in moment setrvačnosti I věta o hybnosti ma = F věta o momentu hybnosti Ie = M práce W = -- f Fdx práce W = f M de kinetická energie £k = kinetická energie Ek = \Pa? výkon P = F v výkon P - = Mco vztah mezi prací a změnou vztah mezi prací a změnou kinetické energie W = ~- A£k kinetické energie W = A£k 10 PRÁCE A KINETICKÁ ENERGIE PŘI OTÁČIVÉM POHYBU 283 ŘEŠENÍ: Kinetická energie rotujícího kotouče je dána vztahem (11.25), ij. E\ = ^Ior. Moment setrvačnosti kotouče vzhledem k jeho geometrické ose, která je v našem případě i osou otáčení, má hodnotu I = jinR2. Uhlovou rychlost ců v okamžiku / = 2,5 s jsme zjistili v části (b). Dosadíme číselné údaje: lla) — l(lmR2)co — = i(2,5kg)(0,20m)2(-60rad-s-')2 = 90 J. (Odpověd) Jiný způsob výpočtu kinetické energie nabízí vztah mezi prací a změnou kinetické energie. Určíme práci W, kterou vykoná tahová síla vlákna, které roztáčí kotouč. Ostatní síly působící na kotouč, tj. tíhová síla a tlaková síla v jeho ose, práci nekonají, jejich momenty vzhledem k ose otáčení jsou nulové. Při výpočtu práce tahové síly vyjdeme z rov. (11.44) a využijeme skutečnosti, že velikost tahové síly T i její moment M vzhledem k ose otáčení jsou konstantní. Dostáváme W = \ M dO = M Je-, Je-, do = Míýf-e,). Pro moment tahové síly T platí M = — T R. Dosadíme hodnoty T = -6,0 N (př. 11,11) aÄ = 0,20m, Rozdíl (9f - ft představuje úhlové otočení kotouče od počátku pohybu do okamžiku t = 2,5 s. Jeho hodnotu jsme již určili v části (a). S uvážením všech předchozích skutečností můžeme psát W = M(6S - &ů = —TR(8[ - 6>i) = -(6.0N)(0.20m)(-75rad) = = 90J. (Odpověd) Protože se kotouč rozláčí z klidu, jc jeho počáteční kinetická energie E\.\ nulová. V souladu s rov. (11.41) pak vypočtená práce určuje přímo kinetickou energii kotouče Ek v daném okamžiku. PŘIKLAD 11.14 Tuhá konstrukce, znázorněná na obr. 11.20, je sestavena z tuhého prstence o hmotnosti m a poloměru R = 0,15 m a dvou tenkých tyčí, z nichž každá má hmotnostm adélku L = 2,0/?. Může sc otáčet kolem vodorovné osy. která leží v rovině prstence a prochází jeho středem. (a) Vyjádřete moment setrvačnosti konstrukce pomocí m a R. ŘEŠENÍ: Podle vztahu (i) v tab. 11.2 má prstenec vzhledem k zadané ose moment setrvačnosti 7, prstenec \mR2. Moment setrvačnosti tyče A vypočteme pomocí Stcinc-rovy věty (11.27). Její moment setrvačnosti vzhledem k ose vedené jejím středem rovnoběžně s osou otáčení najdeme tab. 11.2e, Ij,a = mE2 j\2. Podle Steinerovy věty platí , mL2 ( E l\ = h.K + nthjK = —- + m I R + — = 4.33m R2. V předchozím výpočtu jsme již vzali v úvahu vztah Z. = 2.0R a symbolem h t, a = R + ^Lj sme označili vzdálenost těžiště tyče A od osy otáčení. Steinerovy věty použijeme i při výpočtu momentu setrvačnosti tyče B. Vůči své podélné ose má tyč nulový moment setrvačnosti, tj. //b = 0. Její moment setrvačnosti vůči zadané ose otáčení je tedy /b = Ir.B + mh2- B = 0 + mR2 = mR2, kde h j .b = R je vzdálenost tyče B od osy otáčení. Moment setrvačnosti / celé konstrukce vzhledem k zadané ose otáčení je součtem momentů setrvačnosti jejích jednotlivých částí, tj. I = /prstence + /a + h = \™ R2 + 4,33m/?2 + mR2 = (Odpověd) 5,83mfi2 = 5MiR2. tyč A í L/2 1 tyc B - í L/2 i osa otacent Obr. 11.20 Přiklad 11.14. Tuhá konstrukce tvořená prstencem a dvěma tyčemi se může otáčet kolem vodorovné osy. (b) Předpokládejme, že konstrukce je ve výchozí klidové poloze znázorněné na obr. 11.20. Tato poloha není stabilní. Po uvolnění se tedy konstrukce začne roztáčet vlivem nenulového momentu tíhové síly. Určete její úhlovou rychlost a> v okamžiku, kdy prochází dolní rovnovážnou polohou. ŘEŠENÍ: Ve výchozí poloze leží těžiště konstrukce ve vzdálenosti yx nad osou otáčení. Podle rov. (9.5) je yT = m(0) + mR + m(R + jL) 3m = R. Po uvolnění se konstrukce začne otáčet kolem zadané pevné osy a její těžiště klesá. V okamžiku, kdy konstrukce dosáhne rovnovážné polohy, jc její těžiště pod osou otáčení, opět ve 284 KAPITOLA 11 ROTACE vzdálenosti yj. Jeho posunutí je tedy Ayr = — ÍM. Odpovídající pokles tíhové potenciální energie soustavy konstrukce + Zcmč jc kompenzován přírůstkem kinetické energie otáčivého pohybu konstrukce. Změnu potenciální energie AEp vypočteme jako součin velikosti tíhové síly působící na konstrukci (3mg, celková hmotnost konstrukce je 3m) a svislé složky posunutí jejího těžiště Ayj-: AEp = 3mgAyr = 3mg(—2R) — —6mgR. Odpovídající změna kinetické energie je podle rov. (11.25) A£k = \lo? -0 = \lor. Ze zákona zachování mechanické energie, zapsaného ve tvaru E\ + E„ 0. dostaneme \loT - 6m.gR = 0. Dosadíme / = 5,83mÄ2 a vyjádříme ze získané rovnice úhlovou rychlost co: co = 12« / 12(9,8 m-s"2) 5,837? V 5,83(0,15m) 12rad-s . (Odpověď) přehled & shrnutí Úhlová poloha Pro usnadnění popisu otáčivého pohybu tuhého tělesa kolem pevné osy (tzv. osy otáčení) zavádíme vztažnou přímku kolmou k ose otáčení, kterou pevně spojíme s otáčejícím se tělesem. Měříme úhlovou polohu 0 této přímky vzhledem ke zvolenému směru. Je-li veličina 9 vyjádřena v radiánech, platí 9 = (0 je v rad), (11.1) Veličiny 57 au definují vektory rovnoběžné s osou otáčení, jejichž orientace je dána pravidlem pravé ruky, znázorněným na obr. 11.5. Vzhledem k tomu, že jejich směr je pevně zadán (směr osy otáčení), stačí k jejich vyjádření jen číselná hodnota udávající jejich velikost, opatřená kladným, resp. záporným znaménkem, otáčí-li se těleso ve směru kladném (proti směru otáčení hodinových mčiček), či záporném (ve směru otáčení hodinových ručiček). kde s je délka oblouku kruhové trajektorie s poloměrem r a středovým úhlem 6. Jednotka 1 rad souvisí s úhlovými jednotkami 1° a 1 otáčka (1 ot) vztahem 1 ol = 360: 2tc rad. (11.2) Otočení Změna úhlové polohy otáčejícího se tělesa z výchozí hodnoty na výslednou hodnotu 62 určuje jeho otočení AB = 02 - fJi. (11.4) Hodnota A(9 je kladná, otáčí-li se těleso v kladném směru, tj. proti směru otáčení hodinových ručiček, záporná je v opačném případě. Uhlová rychlost Podíl otočení tělesa A8 a délky Ar časového intervalu, během něhož k tomuto otočení došlo, představuje průměrnou úhlovou rychlost tělesa v daném intervalu A9 Ä7' (11.5) Okamžitá úhlová rychlost tělesa je definována vztahem dO ď? (11.6) Úhlové zrychlení Podíl změny úhlové rychlosti tělesa z hodnoty uii na hodnotu u/2 a délky At = t2 — h časového intervalu, v němž tato změna proběhla, definuje průměrné úhlové zrychlení tělesa? v daném intervalu: _ tx>2 — lO\ Ad/ tn — ti At ' (11.7) Okamžité úhlové zrychlení e tělesa je definováno vztahem dtt> dľ' (11.8) Veličiny e a e jsou vektorové. Vztahy pro otáčivý pohyb s konstantním úhlovým zrychlením Otáčení s konstantním úhlovým zrychlením (e = konst) je důležitým speciálním případem otáčivého pohybu. Je popsáno následujícími rovnicemi, které shrnuje také tab. 11.1: OJ = CO(j + st. 0-"-'1 1 2 coat st- ar = cúq + 2e0. ^(a>0 + co)t, (11.9) (11.10) (11.11) (11.12) (11.13) PŘF.HI.F.D & SHRNUTÍ 285 Vztah mezi obvodovými a úhlovými veličinami Každá částice tuhého tělesa, které se otáčí kolem pevné osy, se pohybuje po kružnici, jejíž poloměr je roven vzdálenosti částice od osy otáčení. Při otočení tělesa o úhel 9 opíše částice kruhový oblouk o délce s = 6r, (11.15) kde 6 je v rad. Vektor rychlosti částice v je tečný k její kruhové trajektorii. Jeho velikost (tzv. obvodová rychlost) je v = wr, (11.16) kde oj je úhlová rychlost tělesa vyjádřená v rad/s. Vektor zrychlení částice o je určen tečnou a normálovou složkou, které odpovídají jeho rozkladu do tečného a normálového směru k trajektorii. Tečnou složku lze zapsat ve tvaru (11.20) kde e je úhlové zrychlení tělesa vyjádřené v rad/s2. Normálová složka je dána vztahem v2 ar = — =co~r (oj je v rad/s). (11.21) r Pohybuje-li se částice po své kruhové trajektorii rovnoměrně, je její pohyb periodický s periodou T = — = — (wje v rad/s). (11.17,11.18) v o) Kinetická energie otáčivého pohybu a moment setrvačnosti Tuhé těleso otáčející se kolem pevné osy má kinetickou energii Ek = ileo (wje v rad/s), (11.25) kde / je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose otáčení. Pro soustavu částic (těleso s diskrétním rozložením hmoty) je delinován vztahem i = j2mir? c11-24) a pro těleso se spojitě rozloženou hmotou vztahem / dm. (11.26) Symboly r,-, resp. r v těchto vztazích představují vzdálenost /-té částice, resp. elementu tělesa od osy otáčení. Steinerová věta Steinerová věta popisuje souvislost mezi momentem setrvačnosti / tělesa vzhledem k libovolné ose otáčení a momentem setrvačnosti /■/■ téhož tělesa vzhledem k rovnoběžné ose vedené jeho těžištěm: / = /7 + mhl, kde h je vzdálenost obou os. (11.27) Moment síly Moment síly charakterizuje rotační účinek síly F, která působí na těleso při jeho otáčení kolem pevné osy. (Předpokládáme, že směr síly F leží v rovině kolmé k ose otáčení.) Označíme-li polohový vektor působiště síly F vzhledem k ose otáčení symbolem r, můžeme moment M této síly vzhledem k uvedené ose vyjádřit ve tvaru M = rxF. (11.33) (Počátečním bodem vektoru r jc průsečík osy otáčení s rovinou k ní kolmou a vedenou působištěm síly F.) Moment síly je vektor. Pro jeho velikost platí M = r Ft = r±F = r F sin cp, (11.30, 11.31, 11.32) kde Ft je tečná složka síly F,

= 3; (b) a> = 4t2 + 2i — 6; (c) u> = 3í - 4; (d) o.) = 5t2 - 3. 6. Obr. 11.23 představuje graf časové závislosti úhlové rychlosti otáčejícího se kotouče z obr. 11.21a. Zvolte libovolnou částici na jeho obvodu a seřaďte vyznačené okamžiky a, b, c a d podle velikosti (a) tečné složky jejího zrychlení (obvodového zrychlení), (b) normálové složky jejího zrychlení. ů) Obr. 11.23 Otázka 6 7. Obr. 11.24 znázorňuje převodovku se čtyřmi koly, která se otáčejí bez prokluzu. Poloměry kol 1, 2, 3 a 4 jsou po řadě 3R. R, 2R a 3R. Kolo 2 jc poháněno motorem. Seřaďte kola sestupně (a) podle obvodových rychlostí částic a (b) podle velikosti jejich úhlových rychlostí. Obr. 11.24 Otázka 7 8. Kruhové kotouče A a B mají stejnou hmotnost a tloušťku. Hustota kotouče A je však větší než hustota kotouče B. Rozhodněte, zdaje moment setrvačnosti kotouče A vzhledem k jeho ose symetrie (a) ležící v rovině kotouče, (b) kolmé k rovině kotouče větší, menší, nebo stejný jako moment setrvačnosti kotouče B. 9. Na obr. 11.25 jsou znázorněny tři homogenní kotouče se zadanými hmotnostmi a poloměry. Seřaďte je sestupně podle hodnot momentu setrvačnosti vzhledem k ose symetrie kolmé k rovině kotouče. R: 1 m 2 m 3 m M: 26 kg 7 kg 3 kg (a) (b) (c) Obr. 11.25 Otázka 9 10. Na obr. 11.26 jsou zakresleny půdorysné průměty pěti těles o stejné hmotnosti. Měřítko nákresu je pro všechna tělesa stejné a také jejich výskaje shodná. Tělesa však mohou být dutá a není jisté, zda jsou vyrobena z materiálu stejné tloušťky. Dokážete rozhodnout, které z nich má (a) nejvčtší, (b) nejmenší moment setrvačnosti vzhledem k ose vedené těžištěm kolmo k půdorysnému průmětu? CVIČENÍ & ÚLOHY 287 krychle válec trojhran koule Obr. 11.26 Otázka 10 11. Na obr. 11.27a je metrová tyč vyrobená napůl ze dřeva a napůl z oceli. Tyč sc může otáčet kolem čepu umístěného v bodě O na konci dřevěné části. V bodě A na konci ocelové části působí síla F. Situace na obr. 11.27b je opačná: tyč se otáčí kolem bodu O' na konci ocelové části a síla F působí v bodě A' na konci dřevěné části. Rozhodněte, zdaje úhlové zrychlení tyče na obr. 11.27a větší, menší, nebo stejné jako zrychlení tyče na obr. 11,27b. |;.0 A'» (a) ihi Obr. 11.27 Otázka 11 12. Obr. 11.28a znázorňuje vodorovnou tyč (nadhled), která se může otáčet kolem osy vedené vyznačeným bodem (čepem) kolmo k nákresu. Na tyč působí dvě síly, avšak tyč je v klidu. Z nějakých důvodů je potřeba úhel mezi tyčí a silou F^_ změnit. Jak je nutné upravit velikost síly F\, aby tyč zůstala v klidu? 13. Na obr. 11.28b je v nadhledu znázorněna vodorovná tyč, která se otáčí kolem osy vedené vyznačeným bodem (čepem) kolmo k rovině nákresu. Na opačných koncích působí na tyč vodorovné síly F\ a Fi. Síla Fi svírá s tyčí úhel tp. Seřaďte následující hodnoty úhlu (p podle velikosti odpovídajícího úhlového zrychlení tyče: 90°, 70° a 110°. čep -.. ..- čep -1 i i" F2A (a) (b) Obr. 11.28 Otázky 12 a 13 14. Úhlová rychlost kotouče znázorněného na obr. 11.21a se mění vlivem síly, působící na obvodu kotouče. Následující dvojice údajů představují hodnoty počáteční a výsledné úhlové rychlosti kotouče ve čtyřech různých situacích: (a) —2 rad/s, 5 rad/s, (b) 2 rad/s. 5 rad/s, (c) -2 rad/s, -5 rad/s, (d) 2 rad/s, -5 rad/s. Seřaďte tyto případy podle práce, kterou síla vykonala. 15. Připažte, přiložte dlaně ke stehnům a zpevněte zápěstí. Proveďte postupně tyto cviky: (1) Predpažte. (2) Z predpažení upažte a zápěstí udržujte zpevněné. (3) Nakonec připažte. Všimněte si. že vaše dlaň je otevřena směrem dopředu. Opakujte cviky (1) až (3) v pozměněném pořadí (2). (1), (3). Vysvětlete, proč nyní dlaň nesměřuje dopředu. CVIČENI STuLOHY ODST. 11.2 Veličiny charakterizující otáčivý pohyb 1C. (a) Určete středový úhel oblouku o délce 1,80 m a poloměru 1,20 m. Výsledek vyjádřete v radiánech. (b) Vyjádřete tento úhel také ve stupních, (c) Úhel mezi dvěma poloměry kružnice je 0,620 rad. Určete délku oblouku, který je těmito polomen' vymezen, víte-li, že obvod celé kružnice je 2,40 m. 2C. Úhlová poloha setrvačníku závisí na čase vztahem 6 = at+ + bl3 — cr4, kde a, b, c jsou konstanty. Vyjádřete (a) úhlovou rychlost a (b) úhlové zrychlení setrvačníku jako funkce času. 3C. Určete velikost úhlové rychlosti (a) sekundové, (b) minutové a (c) hodinové ručičky hodin. Získané hodnoty vyjádřete v jednotkách rad/s. 4C. Slunce je od středu naší Galaxie vzdáleno asi 2,3-104 světelných let a obíhá kolem něj po kružnici obvodovou rychlostí 250 km/s. (a) Jak dlouho trvá Slunci jeden takový oběh? (b) Kolik oběhů již Slunce vykonalo za dobu své existence, tj. za asi 4,5-109 let? 5C. Úhlová poloha 6 bodu na obvodu rotujícího kotouče závisí na čase r vztahem 6 = 4,Oř — 3,0r2 + f \ kde r je v sekundách a 9 v radiánech. (a) Vypočtěte úhlovou rychlost kotouče v okamžicích t = 2,0 s a r = 4,0 s. (b) Určete jeho průměrné uhlové zrychlení v časovém intervalu od t = 2.0 s do t = 4,0s a (c) okamžité úhlové zrychlení na počátku a na konci tohoto intervalu. 6C. Časová závislost úhlové polohy bodu rotujícího kola je popsána funkcí 8 = 2 + 4t~ + 2í3, kde 9 je v radiánech a t v sekundách. Jaká je (a) úhlová poloha tohoto bodu v okamžiku r — 0? (b) Určete úhlovou rychlost kotouče v okamžicích t = 0 a (c) / = 4,0 s. (d) Vypočtěte jeho úhlové zrychlení v okamžiku r = 2.0 s. (e) Rozhodněte, zdaje úhlové zrychlení kotouče stálé. 7Ú. Kolo se otáčí s úhlovým zrychlením s, jehož časová závislost je popsána funkcí s = 4a/3 — 3bt2 (a, b jsou konstanty). Počáteční úhlová rychlost kola je cůq. Najdčte časovou závislost (a) úhlové rychlosti a (b) otočení kola. 8Ú. Dobrý hráč baseballu může hodit míč rychlostí 53 km/h. Míč přitom rotuje úhlovou rychlostí 1 800 ot/min. Kolik otáček během letu vykoná, je-li cíl vzdálen 20 m? (Pro jednoduchost předpokládáme, že let míče je přímočarý.) 9U. Při skoku z desetimetrové věže provedl skokan před dopadem na vodní hladinu 2,5 otáčky. Předpokládejte, že svislá složka jeho počáteční rychlosti byla nulová, a vypočtěte úhlovou rychlost jeho otáčivého pohybu. 10Ú. Kolo s osmi loukotěmi na obr. 11.29 má poloměr 30 cm. Je upevněno na pevné ose a otáčí sc úhlovou rychlostí 2,5 ot/s. Hoši 288 KAPITOLA 1 1 ROTACE střílejí z luku ve směru osy kola a snaží se, aby šíp volně prolétl mezerou. Délka šípu je 20 cm. Předpokládáme, že šíp i loukotě kola jsou zanedbatelně tenké, (a) Určete nejmenší možnou rychlost šípu. (b) Zjistěte, zdaje rozhodující, do kterého místa mezi osou kola a jeho obvodem šíp míří. V kladném případě určete, kam je třeba mířit. Obr. 11.29 Úloha 10 ODST. 11.4 Rovnoměrně zrychlený otáčivý pohyb 11C. Údaj na otáčkoměru automobilového motoru (ot/min) rovnoměrně vzrostl během 12 s z 1200 ot/min na 3 000 ot/min. (a) Určete úhlové zrychlení motoru v ot/min-. (b) Určete celkový počet otáček motoru v daném časovém intervalu. 12C. Talíř gramofonu se otáčí úhlovou rychlostí 33^ ot/min a zastaví se za 30 s od okamžiku vypnutí motorku, (a) Určete jeho úhlové zrychlení v ot/min za předpokladu, že jeho úhlová rychlost klesá rovnoměrně, (b) Kolik otáček talíř během brzdění vykoná? 13C. Kotouč, který se zpočátku otáčel úhlovou rychlostí 120 rad/s, se začal zpomalovat s konstantním úhlovým zrychlením o velikosti 4,0rad/s2, (a) Jak dlouho trvalo, než sc kotouč zastavil? (b) O jaký úhel sc za tuto dobu otočil? 14C. Na obvodu kladky o průměru 8,0 cm je navinuto lano délky 5,6 m. Kladka se roztáčí z klidu s konstantním úhlovým zrychlením 1,5 rad/s2, (a) Jaké musí být otočení kladky, aby se celé lano rozvinulo? (b) Jak dlouho to bude trvat? 15C. Těžký setrvačník otáčející se kolem osy symetrie vedené jeho středem se začne zpomalovat vlivem tření v ložiscích. Na konci první minuty činí jeho úhlová rychlost 90 % původní hodnoty 250 ot/min. Předpokládáme, že třecí síla je stálá. Určete úhlovou rychlost setrvačníku na konci druhé minuty. 16C. Setrvačník motoru rotuje úhlovou rychlostí 25,0 rad/s. Po vypnutí motoru se začne zpomalovat s konstantním úhlovým zrychlením a zastaví se po uplynulí 20,0 s. Vypočtěte (a) úhlové zrychlení setrvačníku v rad/s2, (b) jeho otočení (v rad) od okamžiku vypnutí motoru, (c) celkový počet otáček od okamžiku vypnutí motoru. 17C. Kotouč, který se může otáčet kolem své osy, se roztáčí z klidu s konstantním úhlovým zrychlením. Za dobu 5,0 s se otočí o 25 rad. Určete jeho (a) úhlové zrychlení, (b) průměrnou úhlovou rychlost, (c) okamžitou úhlovou rychlost na konci páté sekundy, (d) otočení v intervalu od konce páté do konce desáté sekundy. 18Ú. Kolo se roztáčí z klidu s konstantním úhlovým zrychlením a v okamžiku t = 2,0s má úhlovou rychlost 5,0rad/s. Pohyb kola se dále urychluje až do okamžiku t = 20 s, kdy dojde k vypnutí pohonu. Určete otočení kola v časovém intervalu od t = 0doř =40s. 19U. V okamžiku / = 0 se kolo začne roztáčet z klidu s konstantním úhlovým zrychlením 2,00 rad/s2. V časovém intervalu délky At = 3,00 s, měřeném od okamžiku t do okamžiku t + Ar. se kolo otočilo o 90,0 rad. (a) Určete okamžik r a (b) odpovídající okamžitou úhlovou rychlost kola. 20Ú. Kolo se roztáčí z klidu s konstantním úhlovým zrychlením 3,0 rad/s2. V časovém intervalu (r, t + Ať) délky Ar = 4.0 s se otočilo o úhel 120 rad. Určete okamžik ř. 21Ú. Rotující setrvačník sc rovnoměrně zpomaluje. Od okamžiku t = 0, kdy je jeho úhlová rychlost 1,5 rad/s, do okamžiku zastavení vykoná 40 otáček. Určete (a) dobu brzdění a (b) úhlové zrychlení setrvačníku, (c) Za jakou dobu vykonal setrvačník prvních 20 otáček? 22U. V okamžiku i = 0 má setrvačník úhlovou rychlost 4,7 rad/s, jeho úhlové zrychlení je —0,25 rad/s2 a jeho vztažná přímka má úhlovou polohu 9q = 0. (a) Určete krajní úhlovou polohu #max (v kladném směru) vztažné přímky setrvačníku. Zjistěte, v kterém okamžiku má úhlová poloha vztažné přímky hodnotu (b) 6 — ^0max a (c) 8 = —10,5 rad. (Připouštíme kladné i záporné hodnoty časové proměnné r.) (d) Nakreslete graf funkce 6(t) a vyznačte na něm hodnoty vypočtené v částech (a) až (c). 23U. Kotouč se roztáčí kolem své osy se stálým úhlovým zrychlením. Jeho počáteční úhlová rychlost je nulová. V jistém okamžiku ?i je jeho úhlová rychlost a>i = 10 ot/s. Po dalších 60 otáčkách je jeho úhlová rychlost cúi = 15 ot/s. Vypočtěte (a) úhlové zrychlení kotouče, (b) dobu Ar = t% — t\, potřebnou k vykonání zmíněných šedesáti otáček, (c) dobu f j potřebnou k získání úhlové rychlosti 10 ot/s a (d) počet otáček kotouče za dobu i\. 24U. Kolo se roztáčí s konstantním úhlovým zrychlením. V určitém okamžiku stiskneme stopky a začneme měřit čas (ř = 0). Během prvních 15 s od počátku měření vykoná kolo 90 otáček. Jeho úhlová rychlost na konci tohoto intervalu je 10 ot/s. (a) Určete úhlovou rychlost kola v okamžiku, kdy započalo měření, (b) Jaká doba uplynula od okamžiku, kdy se kolo začalo roztáčet z klidu, do začátku měření? ODST. 11.5 Korespondence obvodových a úhlových veličin 25C. Určete zrychlení a (tečnou i normálovou složku) bodu na obvodu gramofonové desky o průměru 30 cm, která se otáčí úhlovou rychlostí 33 i ot/min. 26C. Gramofonovádeskaseotáčíúhlovourychlostí33 í ot/min. (a) Vyjádřete její úhlovou rychlost v rad/s. Určete obvodovou rychlost bodu desky v místě přenosové jehly (b) na počátku a (c) na konci nahrávky. Vzdálenost jehly od osy talíře gramofonu na začátku, resp. na konci nahrávky jc asi 150 mm, resp. 74 mm. CVIČENÍ & ÚLOHY 289 27C. Jaká je úhlová rychlost automobilu, který projíždí kruhovou zatáčku o poloměru 110 m rychlostí 50km/h? 28C. Setrvačník o průměru 1,20 m vykoná 200 ot/min. (a) Vyjádřete jeho úhlovou rychlost v rad/s. (b) Určete rychlost bodu na jeho obvodu, (c) Při jaké (konstantní) hodnotě úhlového zrychlení (v rad/min2) by se jeho úhlová rychlost zvýšila na 1 000 ot/min během 60 s? (d) Kolik otáček by setrvačník za tuto dobu vykonal? 29C. Uhlová rychlost bodu na obvodu brusného kotouče o průměru 0,75 m se změnila z 12 m/s na 25 m/s za dobu 6,2 s. Určete průměrné úhlové zrychlení kotouče v tomto časovém intervalu. 30C. Dráha Zcmč kolem Slunce je přibližně kruhová. Určete (a) úhlovou rychlost, (b) rychlost a (c) zrychlení Země vzhledem ke Slunci. 31C. Dne 30. června 1908 v 7h 14min ráno došlo na střední Sibiři, v místě o souřadnicích 61c sev. šířky a 102° vých. délky k obrovskému výbuchu, při němž bylo možné pozorovat oslnivý záblesk. Podle náhodného svědka této tunguzské záhady „pokryl záblesk obrovskou část oblohy". Jednalo se pravděpodobně o dopad kamenného asteroidu o velikosti asi 140 m. (a) Vezměte v úvahu pouze otáčení Země a vypočtěte, o jakou dobu později by musel asteroid vybuchnout, aby se výbuch odehrál nad Helsinkami, jejichž zeměpisná délka je 25° východně. (Takový výbuch by město úplně zničil.) (b) Kdyby se jednalo o kovový asteroid, mohl by dopadnout až na povrch Země. O jakou dobu později by musel asteroid přiletět, aby dopadl do Atlantického oceánu v místě se zeměpisnou délkou 20° západně? (Vzniklá vlna tsunami by v takovém případě vyhladila pobřežní osídlení na obou stranách Atlantiku.) 32C. Astronaut je testován na centrifuze. Centrifuga má poloměr 10 m a během roztáčení je časová závislost její úhlové polohy popsána funkcí 0(1) = 0,30/2, kde 9 je v radiánech a t v sekundách. Vypočtěte (a) úhlovou rychlost, (b) obvodovou rychlost, (c) velikost tečné složky zrychlení a (d) velikost normálové složky zrychlení astronauta v okamžiku / = 5,0 s. 33C. Vypočtěte (a) úhlovou rychlost, (b) normálovou složku zrychlení a (c) tečnou složku zrychlení vesmírné lodi letící obvodovou rychlostí 29 000km/h po kruhové dráze o poloměru 3 200 km. 34C. Mince o hmotnosti M leží ve vzdálenosti R od středu talíře gramofonu. Koeficient statického tření mezi mincí a talířem je /s. Uhlová rychlost talíře se pomalu zvětšuje na hodnotu wq, kdy mince z talíře sklouzne, (a) Vyjádřete a>n pomocí M, R. g a /s. (b) Nakreslete přibližně trajektorii mince po jejím sklouznutí z talíře. 35U. Setrvačník parního stroje se otáčí konstantní úhlovou rychlostí 150 ot/min. Po uzavření přívodu páry se pohyb setrvačníku začne vlivem tření a odporu prostředí rovnoměrně zpomalovat a za 2.2 h se setrvačník zastaví, (a) Určete úhlové zrychlení setrvačníku v ot/min2. (b) Kolik otáček ještě vykoná od okamžiku uzavření přívodu páry? V jistém okamžiku se setrvačník otáčí úhlovou rychlostí 75 ot/min. (c) Určete okamžitou hodnotu tečné složky zrychlení částice setrvačníku, která obíhá ve vzdálenosti 50 cm od jeho osy a (d) velikost okamžitého zrychlení této částice. 36Ú. Setrvačník gyroskopu o poloměru 2,83 cm se roztáčí z klidu s úhlovým zrychlením 14,2 rad/s2 až do okamžiku, kdy dosáhne úhlové rychlosti 2 760 ot/min. (a) Určete tečnou složku zrychlení bodu na obvodu setrvačníku, (b) Jaká je hodnota normálové složky zrychlení v okamžiku, kdy setrvačník dosáhne největší úhlové rychlosti? (c) Jakou dráhu urazí bod na obvodu během roztáčení setrvačníku? 37U. Vrtule letadla se otáčí s úhlovou rychlostí 2 000 ot/min, letadlo letí rychlostí 480km/h vzhledem k zemi. Zjistěte, jakou rychlostí sc pohybuje bod na špičce listu vrtule o poloměru 1,5 m (a) vzhledem k letadlu, (b) vzhledem k zemi. Rychlost letadla je rovnoběžná s osou otáčení vrtule. 38U. Jedna ze starších metod měření rychlosti světla používala rovnoměrně rotující ozubené kolo (obr. 11.30). Světelný paprsek prošel mezerou mezi zuby kola, odrazil se od zrcadla a dopadl zpět na rotující kolo tak, aby právě prošel následující mezerou. Ozubené kolo o poloměru 5,0 cm mělo na obvodu 500 zubů. Pomocí zrcadla umístěného ve vzdálenosti / = 500 m byla naměřena hodnota rychlosti světla 3,0-105 km/s. (a) Jaká byla úhlová rychlost kola? (b) Vypočtěte velikost rychlosti bodu na jeho obvodu. světelný paprsek zdroj < světla zrcadlo kolmé na paprsek rotující kotouč se štěrbinami Obr. 11.30 Úloha 38 39Ú. Automobil se rozjíždí z klidu po kruhové dráze o poloměru 30,0 m. Jeho tečné zrychlení má stálou velikost 0.500 m/s2, (a) Určete zrychlení automobilu v okamžiku / = 15,0s po rozjezdu, (b) Jaký úhel svírá v tomto okamžiku vektor zrychlení automobilu s vektorem jeho rychlosti? 40Ú. Poloha bodu na zemském povrchu je určena zeměpisnou šířkou 40". Určete úhlovou rychlost oběhu tohoto bodu kolem zemské osy. (b) Určete jeho obvodovou rychlost, (c) Řešte úlohy (a) a (b) pro bod na rovníku. 41U. Poloměry kol A a C na obr. 11.31 jsou r,\ = 10 cm a rc = 25 cm. Kola jsou spřažena pásem B, který po nich neklouže. Uhlová rychlost kola A se rovnoměrně zvětšuje z počáteční nulové hodnoty s úhlovým zrychlením 1,6rad/s2. Zjistěte, 290 KAPITOLA I I ROTACE v kterém okamžiku bude mít kolo C úhlovou rychlost 100 ot/min. (Tip: Jestliže pás neklouže, jsou obvodové rychlosti bodů na obvodech kol shodné.) B----fe Obr. 11.31 Úloha 41 42U. Na obr. 11.32 jsou znázorněna čtyři kola spojená dvěma pásy. Hnací kolo A má poloměr 15 cm a otáčí se úhlovou rychlostí 10 rad/s. Kolo B o poloměru 10 cm je s kolem A spojeno pásem 1. Kola B' a B mají společnou osu. Kolo C o poloměru 25 cm je s kolem B' o poloměru 5 cm spojeno pásem 2. Vypočtěte (a) rychlost bodu na pásu 1, (b) úhlovou rychlost kola B, (c) úhlovou rychlost kola B', (d) rychlost bodu na pásu 2, (e) úhlovou rychlost kola C. (Použijte návod k úloze 41.) X'. \ A ^hnací kolo V ^^v^ 2\/ ' ■ % \. 1 c i Obr. 11.32 Úloha 42 43Ú. Talíř gramofonu sc otáčí s úhlovou rychlostí 33^ ot/min. Ve vzdálenosti 6,0 cm od jeho osy leží malé tělísko, (a) Vypočtěte zrychlení tělíska za předpokladu, žc je vzhledem k talíři v klidu (talíř nepodkluzuje). (b) Určete nejmenší přípustnou hodnotu koeficientu statického tření mezi talířem a tělískem, (c) Předpokládejme, že se talíř rovnoměrně urychloval po dobu 0,25 s, než získal zadanou úhlovou rychlost. Určete nejmenší možnou hodnotu koeficientu statického tření mezi tělískem a talířem, při níž ještě tělísko z talíře během urychlování nesklouzne. 44U. Pulzar je neutronová hvězda, která sc velmi rychle otáčí a vysílá při lom pulzy radiových vln přesně synchronizované se svým otáčivým pohybem. Během jedné otáčky vyšle jeden pulz. Periodu otáčivého pohybu hvězdy je tedy možné snadno zjistit měřením doby mezi dvěma pulzy. Měřením se zjistilo, že perioda otáčení pulzaru v centrální oblasti Krabí mlhoviny (obr. 11.33) je v současné době T = 0,033 s a pomalu narůstá o 1,26-10~5 s za jeden rok. (a) Vypočtěte úhlové zrychlení pulzaru v rad/s2, (b) Za kolik let se pulzar zastaví? (c) Pulzar vznikl výbuchem supernovy v roce 1054 n. 1. Jaká byla perioda jeho rotace v době vzniku? (Při řešení úlohy předpokládáme, že úhlové zrychlení pulzaru jc konstantní.) Obr. 11.33 Úloha 44. Krabí mlhovina vznikla výbuchem hvězdy, který byl pozorován v roce 1054 n. 1. Na obrázku jsou patrny plynné zbytky výbuchu. Kromě nich tehdy vznikla i rotující neutronová hvězda, jejíž poloměr je pouhých 30 km. ODST. 11.6 Kinetická energie tělesa při otáčivém pohybu 45C. Vypočtěte moment setrvačnosti kola, které se otáčí úhlovou rychlostí 602 ot/min a má kinetickou energii 24 400 J. 46Ú. Celková hmotnost molekuly kyslíku Cb je 5,30-10~26 kg. Její moment setrvačnosti vzhledem k ose kolmé ke spojnici atomů a vedené jejím středem je 1,94-10~46 kg-m2. Předpokládejme, že molekula plynného kyslíku má rychlost 500 m/s a kinetická energie jejího otáčivého pohybu je rovna dvěma třetinám kinetické energie pohybu posuvného. Určete úhlovou rychlost molekuly. ODST. 11.7 Výpočet momentu setrvačnosti 47C. Vypočtěte hodnoty kinetické energie dvou homogenních plných válců, které rotují kolem svých os symetrie. Válce mají stejnou hmotnost 1,25 kg a otáčejí se se stejnou úhlovou rychlostí 235 rad/s. První z nich má poloměr 0,25 m a druhý 0,75 m. 48C. Molekula má moment setrvačnosti 14000u-pm2 a otáčí se s úhlovou rychlostí 4,3-1012 rad/s. (a) Vyjádřete moment setrvačnosti molekuly v kg-m2. (b) Vypočtěte kinetickou energii jejího rotačního pohybu a vyjádřete ji v elektronvoltech. 49C. Družice o hmotnosti 1 210 kg má tvar plného válce o průměru 1,21 m a délce 1,75 m. Před vypuštěním z nákladového CVIČENÍ & ÚLOHY 291 prostoru raketoplánu byla družice roztočena úhlovou rychlostí 1,52 ot/s kolem osy válec (obr. 11.34). Vypočtěte její moment setrvačnosti vzhledem k ose otáčení a (b) její kinetickou energii spojenou s otáčivým pohybem. Obr. 11.34 Cvičení 49 50C. Dvě částice se stejnými hmotnostmi m jsou spolu spojeny a připevněny k ose otáčení O dvěma tenkými tyčemi o délkách / a hmotnostech M (obr. 11.35). Soustava se otáčí úhlovou rychlostí co. Odvodte výraz pro (a) moment setrvačnosti soustavy vzhledem k ose O a (b) kinetickou energii jejího otáčivého pohybu vzhledem k této ose. •^osa otáčení O Obr. 11.35 Cvičení 50 51C. Každý z trojice listů rotoru vrtulníku na obr. 11.36 má délku 5,20 m a hmotnost 240 kg. Rotor se otáčí úhlovou rychlostí 350 ot/min. (a) Jaký je jeho moment setrvačnosti vzhledem k ose otáčení? (List lze pokládat za tenkou tyč.) (b) Jaká je kinetická energie otáčivého pohybu rotoru? Obr. 11.36 Cvičení 51 a úloha 85 52C. Za předpokladu, že je Země homogenní koule, vypočtěte (a) její moment setrvačnosti a (b) její kinetickou energii spojenou s otáčivým pohybem, (c) Představme si, že by bylo možné tuto energii nějak využít. Jak dlouho by Země mohla dodávat výkon 1,0 kW každému člověku na planetě? (Počet lidí na Zemi je asi 6,4-109.) 53C. Vypočtěte moment setrvačnosti tyčového metru o hmotnosti 0,56 kg vzhledem k ose vedené značkou 20 cm kolmo k tyči. (Tyč lze pokládat za velmi tenkou.) 54Ú. Ukažte, že osa rotace, vůči níž má tuhé těleso nejmenší možnou hodnotu momentu setrvačnosti, musí procházet jeho těžištěm. 55U. Odvoďte výraz pro moment setrvačnosti prstence o hmotnosti m a poloměru R, uvedený v tab. 11.2a. 56Ú. Na obr. 11.37 je homogenní tuhý kvádr o hmotnosti m a rozměrech a,b ac. Vypočtěte jeho moment setrvačnosti vzhledem k ose splývající s jeho hranou. A Obr. 11.37 Úloha 56 57U. Následující trojice údajů představují hmotnost a souřadnice každé ze čtyř částic v rovině xy; 50 g, x = 2,0 cm, y = 2,0cm; 25 g, x = 0, y = 4,0cm; 25 g, x = —3,0cm, y = —3,0cm; 30 g, x — —2,0cm, y = 4,0cm. Vypočtěte moment setrvačnosti této soustavy částic (a) vzhledem k ose x, (b) vzhledem k ose v, (c) vzhledem k ose z. Momenty setrvačnosti označte I(, ly a (d) Vyjádřete lz pomocí lx a Iy. 58U. (a) Ukažte, že moment setrvačnosti plného válce o hmotnosti m apolomčru R vzhledem k jeho rotační ose symetrie je roven momentu setrvačnosti tenkého prstence o hmotnosti m a poloměru R/VŤ. vzhledem k jeho rotační ose symetrie, (b) Ukažte, že moment setrvačnosti libovolného tělesa o hmotnosti m vzhledem k libovolné ose je roven momentu setrvačnosti ekvivalentního prstence o stejné hmotnosti vzhledem k jeho rotační ose symetrie, má-li prstenec poloměr iT V m Poloměr ekvivalentního prstence se nazývá gyrační poloměr tělesa. 59U. Některé dodávkové automobily jsou poháněny setrvačníkem. Setrvačník má tvar plného homogenního válce o hmotnosti 500 kg a poloměru 1,0 m. Elektrickým motorem se setrvačník roztočí na úhlovou rychlost 200k rad/s. (a) Jak velká kinetická 292 KAPITOLA 11 ROTACE energie je „uložena"' v roztočeném setrvačníku? (b) Průměrný příkon takového automobilu je 8,0 kW. Jak dlouho může automobil jezdit, než se setrvačník zastaví? ODST. 11.8 Moment síly 60C. Délka ramene pedálu jízdního kola je 0,152 m. Chodidlo tlačí na pedál svislou silou o velikosti 111 N. Určete velikost momentu této síly vzhledem k ložisku, svírá-li rameno pedálu se svislým směrem úhel (a) 30;, (b) 90° a (c) 180°. 61C. Míč o hmotnosti 0,75 kg je připevněn k jednomu konci tyče o délce 1,25 m a zanedbatelné hmotnosti. Druhý konec tyče se může otáčet kolem vodorovného čepu. Určete velikost momentu tíhové síly vzhledem k čepu při vychýlení takto vzniklého kyvadla z rovnovážné polohy o úhel 30°. 62C. Cyklista o hmotnosti 70 kg tlačí pedál celou svou vahou v okamžiku, kdy se pedál pohybuje směrem dolů. Pedál opisuje kruhovou dráhu o poloměru 0,40 m. Vypočtěte maximální velikost momentu tlakové síly, kterou cyklista na pedál působí. 63Ú. Na tčlcso na obr. 11.38, které se může otáčet kolem bodu O, působí dvě síly. (a) Odvodtc výraz pro velikost výsledného momentu těchto sil vzhledem k bodu O a (b) vyčíslete jej pro hodnoty r\ = l,30m, r2 = 2,15m, F\ = 4.20N, F2 =4,90N, 0, =75,0° a 62 = 60,0°. ď F ?' (cm) 20 13 -6,0 -7,0 9,0 94Ú. Na obr. 11.49 jsou znázorněna dvě tělesa o hmotnostech m\ — 400 g a mi = 600 g. Tělesa jsou spojená vláknem zanedbatelné hmotnosti, vedeným přes homogenní kladku o hmotnosti M = 500 g a poloměru R = 12,0 cm. Kladka se může otáčet bez tření kolem vodorovné osy. Vlákno po obvodu kladky neklouže. Soustavu uvolníme z klidové polohy. Vypočtěte (a) velikost zrychlení těles, (b) tahovou sílu 7) v levé části vlákna a (c) tahovou sílu 7? v pravé části vlákna. Obr. 11.49 Úloha 94 Valení^ m 12 íly a moment hybnosti ic nejobtížnčjším varietním číslům patří bezesporu vícenásobná salta. Trojité salto se poprvé povedlo již v roce 1897 jednomu z tehdy populárních vzdušných akrobatů při skoku z visuté hrazdy, na čtyřnásobné si však milovníci těchto atrakcí museli počkat ještě dalších 85 let, do roku 1982. Migueli Vazquesovi se tehdy podařilo provést během letu celé čtyři otáčky, než ho zachytil jeho bratr Juan. Oba artisté byli v té chvíli svým výkonem téměř zaskočeni. Proč je vícenásobné salto tak obtížné? Může k jeho zvládnutí nějak napomoci znalost fyzikálních zákonů? 12.1 VALENÍ 297 Obr. 12.1 Fotografie valícího se kotouče získaná při dlouhé expoziční době. Na kotouči jsou připevněny dva bodové zdroje světla, jeden v jeho středu a jeden na obvodu. Světélko umístěné na obvodu opisuje křivku zvanou cykloida. 12.1 VALENI Všimněme si pohybu jednotlivých částí kola při jízdě cyklisty po přímé silnici. Středy obou kol se pohybují vpřed, jejich pohyb je posuvný. Trajektorie bodů na obvodu kol jsou však mnohem složitější (obr. 12.1). Ukážeme si, že pohyb valícího se kola lze chápat buď jako složení posuvného a otáčivého pohybu, nebo jako čistě otáčivý pohyb kolem vhodně zvolené osy. Valení jako kombinace posuvného a otáčivého pohybu Pozorujme bicyklové kolo, které se odvaluje stálou rychlostí po přímé dráze a neprokluzuje. Předpokládejme, že hmotnost kola je rozložena symetricky, takže jeho těžiště splývá s jeho geometrických středem O. Bod O se pohybuje vpřed stálou rychlostí vj podle obr. 12.2. Bod P, v němž se kolo dotýká silnice, je v každém okamžiku přesně pod bodem O. Pohybuje se tedy po silnici stejnou rychlostí vj jako těžiště kola. Obr. 12.2 Těžiště O valícího se kola se pohybuje rychlostí vT a za dobu t urazí dráhu s. Kolo se přitom pootočí o úhel 9. Bod dotyku P kola se zemí urazí za tuto dobu rovněž dráhu s. Za dobu / urazí body O a P dráhu s. Z pohledu cyklisty se při tom kolo otočí kolem svého středu o úhel 0. Také délka oblouku části pneumatiky, která během doby t přišla do styku se silnicí, je .v. Tuto dráhu urazil z pohledu cyklisty bod na pneumatice, který se dotýkal silnice na počátku měření. Vztah mezi délkou oblouku s a otočením 0 je velmi jednoduchý. Platí totiž rov. (11.15): R9, (12.1) kde R je poloměr kola. Rychlost středu kola vj má velikost ds/ál, úhlová rychlost kola oj vzhledem k ose vedené jeho středem je dd/dt. Derivováním rov. (12.1) podle času dostaneme vj = toR. (12.2) Uvědomme si, že rov. (12.2) platí pouze v případě, že se kolo valí bez prokluzování. Obr. 12.3 nás přesvědčí, že valení kola můžeme chápat jako složení posuvného a otáčivého pohybu. Obr. 12.3a znázorňuje pouze otáčení kola, tj. jeho pohyb z pohledu cyklisty, který vidí osu otáčení jako nepohyblivou. (Otáčivý pohyb kolem pevné osy jsme podrobně probrali v kap. 11.) Každý bod kola rotuje kolem této osy úhlovou rychlostí to. Libovolný bod na jeho vnějším obvodu má obvodovou rychlost vt, danou vztahem (12.2). Obr. 12.3b zachycuje pouze posuvný pohyb kola, který bychom pozorovali, kdyby se kolo vůbec neotáčelo. Každý jeho bod by se v takovém případě pohyboval doprava rychlostí vj. v — 2v-f Obr. 12.3 Valení kola jako kombinace posuvného a otáčivého pohybu, (a) Otáčení kola: všechny body kola obíhají se stejnou úhlovou rychlostí co. Body na jeho vnějším obvodu mají stejnou obvodovou rychlost v = vj. V obrázku jsou vyznačeny vektory rychlosti v nejvýše a nejníže položeného bodu kola V, resp. P. (b) Posuv kola: všechny body se pohybují doprava se stejnou rychlostí vj, shodnou s rychlostí středu O. (c) Valivý pohyb kola je složením pohybů (a) a (b). Složením pohybů na obr. 12.3a, b vznikne výsledný valivý pohyb, který vidíme na obr. 12.3c. Všimněme si, že body v bezprostřední blízkosti bodu P jsou téměř v klidu, zatímco body u vrcholu V se pohybují rychleji než kterákoli jiná část kola, rychlostí blízkou 2vt- Fotografie 298 KAPITOLA 12 VALENÍ, MOMENT SÍLY A MOMENT HYBNOSTI Obr. 12.4 Fotografie valícího se bicyklového kola. Obraz kovových paprsků v dolní části fotografie je podstatně ostřejší než nahoře. Pohyb paprsků v horní části kola je tedy rychlejší, ve shodě s obr. 12.3c. valícího se bicyklového kola na obr. 12.4 to dokumentuje velmi přesvědčivě. Obraz drátů u vrcholu kola je zcela rozmazán, zatímco dráty ve spodní části jsou zachyceny poměrně ostře. Valení libovolného tělesa kruhového průřezu lze tedy rozložit na „čisté" otáčení a „čistý" posuv, přesně podle obr. 12.3a, b. Valení jako otáčivý pohyb Jiný způsob pohledu na valivý pohyb nabízí obr. 12.5. Můžeme jej totiž interpretovat také jako „čisté" otáčení kolem okamžité osy, která jc kolmá k rovině kola a právě prochází bodem jeho dotyku se silnicí (bod P na obr. 12.5). Okamžité rychlosti jednotlivých bodů valícího se kola jsou v obr. 12.5 vyznačeny šipkami. Otázka: Jakou úhlovou rychlost přisoudí kolu pozorovatel v klidu, posuzujc-li jeho pohyb jako otáčení kolem této nové osy? Odpověď: Uhlová rychlost otáčivého pohybu kola vzhledem ke klidnému pozorovateli je stejná jako vzhledem k cyklistovi, který pozoruje „čistou" rotaci kola kolem osy vedené jeho středem. Abychom se o správnosti odpovědi na předchozí otázku přesvědčili, vypočtěme rychlost bodu V na vrcholu kola ve vztažné soustavě spojené s pozorovatelem v klidu. Vzdálenost vrcholu V od osy vedené bodem P na obr. 12.5 je rovna průměru kola 2R. Bod V se tedy podle rov. (12.2) osa otáčení vedená bodem P Obr. 12.5 Valivý pohyb může být chápán jako otáčení s úhlovou rychlostí co kolem osy, která v každém okamžiku prochází bodem P. Šipky znázorňují vektory okamžité rychlosti vybraných bodů na obvodu kola. Lze je získat sečtením odpovídajících rychlostí posuvného a otáčivého pohybu podle obr. 12.3. pohybuje rychlostí o velikosti "vrchol = (R, mohlo by se to podařit. Vzhledem k přesně „nastavenému" vztahu mezi úhlovou rychlostí kola a rychlostí jeho posuvného pohybu by kolo v bodč P samozřejmě neprokluzovalo, nešmýkalo by se po podložce. Popsaným způsobem však můžeme uvést kolo do valivého pohybu bez klouzání i v případě, že podložka nebude dokonale hladká. Kolo se po ní nebude smýkat ani v tomto případě. Zancdbáme-li tzv. valivý odpor podložky proti jeho pohybu, způsobený mírnými deformacemi obou objektů, snadno si uvědomíme, že jedinou silou, kterou by podložka mohla na kolo působit, je vodorovná síla statického tření. Posuvný pohyb kola jc však podle předpokladu rovnoměrný a žádnou další vodorovnou silou na kolo nepůsobíme. Statická třecí síla je proto nulová. Jiná situace nastane, pokusíme-li se změnil postupnou (vj) nebo úhlovou (co) rychlost kola. V Lakovém případě musíme na kolo působit určitou vodorovnou silou a připustit, že se kolo může v bodě P smýknout po podložce. Podložka bude na kolo působit v bodě P třecí silou. Pokud ke smyku kola ještč nedojde, bude tato síla F% mít povahu statického tření a bude směřovat „proti snaze" kola podklouznout. V případě smyku již půjde o tření dynamické a třecí síla Fj bude namířena proti směru skutečného skluzu. (a) (b) Obr. 12.6 (a) Kolo se valí bez klouzání po nakloněné rovině. V bodě P na ně působí síla statického tření Fs proti „snaze" kola sklouznout, tj. proti směru, ve kterém by kolo v bodč P uklouzlo, kdyby byla podložka dokonale hladká, (b) Kolo se valí vodorovně s narůstající úhlovou rychlostí. Bod P má v tomto případě snahu uklouznout směrem dozadu (představte si automobil, který se prudce rozjíždí na zledovatělém parkovišti). Síla statického tření F, působí na kolo v bodě P opět proti jeho možnému skluzu. Pokud by sc již kolo na obrázcích (a) a (b) smýkalo, působila by na ně podložka v bodč P silou dynamického tření Fci. Na obr. 12.6a se kolo valí po nakloněné rovině. V jeho těžišti na ně působí tíhová síla mg, jejíž rameno vzhledem k ose otáčení vedené těžištěm je nulové. Je tedy nulový i odpovídající silový moment. Tíhová síla nepřispívá k roztáčení kola, pouze se snaží kolo smýkal dolů po nakloněné rovině. V bodě P působí na kolo ještě třecí síla směřující proti jeho „tendenci ke skluzu", tj. vzhůru podél nakloněné roviny. Její rameno vzhledem k ose otáčení kola je nenulové a má velikost poloměru kola. Moment třecí síly roztáčí kolo vzhledem k ose vedené jeho středem. Na obr. 12.6b se kolo valí po vodorovné rovině s narůstající úhlovou rychlostí co. Při tom sc jeho spodní část snaží podklouznout doleva. (Abychom si tuto skutečnost lépe uvědomili, můžeme si představit automobil, jehož řidič se snaží o prudký rozjezd na zledovatělém parkovišti.) Třecí síla, jíž působí podložka na kolo v bodě P. směřuje opět proli očekávanému směru skluzu. Z hlediska soustavy cyklista+jízdní kolo je silou vnější a určuje zrychlení jejího těžiště. 300 kapitola 12 valení, moment síly a moment hybnosti PŘIKLAD 12.1 Tuhý homogenní válcový kotouč o hmotnosti m = 1,4 kg a poloměru i? = 8,5 cmse valí po vodorovném stole rychlostí v = 15 cm/s. (a) Vypočtěte rychlost bodu na jeho vrcholu. ŘEŠENI: „Rychlostí valícího se tělesa", v našem příkladu kotouče, rozumíme vždy rychlost jeho těžiště. Z obr. 12.3c je zřejmé, že rychlost bodu na vrcholu kotouče je v porovnání s rychlostí jeho těžiště dvojnásobná, tj. '•Vrchol LVj 2<15cm-s ) = 30 cms" (Odpověď) (b) Určete úhlovou rychlost kotouče co. ŘEŠENÍ: Z rov. (12.2) dostaneme vj (IScm-s-1) ÍŮ ~ ~R ~ (8,5 cm) 1.8 raď s : 0,28 ot/s. (Odpověď) Výsledek je nezávislý na volbě polohy osy otáčení: můžeme ji vést bodem P podle obr. 12.5 stejně dobře jako těžištěm kotouče. 1 d' (c) Vypočtěte kinetickou energii kotouče ŘEŠENÍ: Užitím vztahů IT nice (12.5) dostaneme Ek = \Eico1 + \mvj = = \(\mR2)(vTIR)2 + V;2 = f / = |(l,4kg)(0,15m-s-1)2 = = 0,024 J = 24 mJ. coR a rov- (Odpověd) (d) Jaká část celkové kinetické energie kotouče souvisí s jeho posuvným pohybem a jaká část přísluší otáčivému pohybu kolem osy vedené jeho těžištěm? ŘEŠENÍ: Kinetická energie posuvného pohybu odpovídá druhému členu v rov. (12.5), tj. \mv2ľ, a podle výsledku části (c) tedy představuje 67% (Odpověď) celkové kinetické energie. Zbývajících 33 % odpovídá pohybu otáčivému. Příspěvek posuvného a otáčivého pohybu k celkové kinetické energii valícího se tělesa závisí na jeho momentu setrvačnosti. V tab. 12.1 jsou shrnuty momenty setrvačnosti tří těles, prstence, válcového kotouče a koule, vzhledem k ose největší symetrie. Prstenec má svou hmotnost rozloženou ze všech těles nejdále od této osy. Poměrně velká část kinetické energie valícího se prstence proto připadá na otáčivý pohyb. Koule, jejíž hmotnost jc rozložena blízko osy otáčení, má moment setrvačnosti nejmenší. Příspěvek její rotace k celkové kinetické energii valivého pohybu je tedy malý. Moment setrvačnosti obecného rotačně symetrického tělesa je možné zapsat jako /S-násobek momentu setrvačnosti prstence stejné hmotnosti, jehož poloměr R jc shodným s poloměrem největšího řezu tělesa rovinou kolmou k ose symetrie. Je-li těleso homogenní, lze pomocí parametru vyjádřit zvlášť příspěvky posuvného a otáčivého pohybu k celkové kinetické energii valícího se tělesa. Odpovídající vztahy pro prstenec, válec a kouli jsou uvedeny v posledním řádku tab. 12.1. Pro prstenec, válec akouli nabývá parametr f> hodnot Lial. Tabulka 12.1 Podíl kinetické energie translačního a rotačního pohybu na celkové kinetické energii valivého pohybu těles Moment setrvačnosti přísp. k celk. energii těleso h translace rotace Prstenec Im R2 50% 50 % Válec, vále. kotouč \mR2 67% 33% Koule 71% 29 % Obecné těleso" ßmR2 100^% 100^ % " Hodnotu ß určíme jako ß = h l(rnR-). PŘIKLAD 12.2 Homogenní kuželková koule o poloměru R — 11 cm a hmotnosti m = 7,2 kg se valí dolů po nakloněné rovině o délce E = 2,1 m a úhlu sklonu 9 = 34c (obr. 12.7). Jakou rychlostí se bude koule pohybovat na konci nakloněné roviny? prstenec kotouč koule Obr. 12.7 Příklady 12.2 a 12.3. Prstenec, kotouč a koule sc valí dolů po nakloněné rovině o úhlu sklonu 6. Přestože tělesa uvolníme ve stejném místě a stejném okamžiku, dorazí na konec nakloněné roviny v různém pořadí. ŘEŠENÍ: Uvažujme pohyb koule od okamžiku jejího uvolnění v nejvyšším bodě nakloněné roviny až do chvíle, kdy dorazí k jejímu konci. Těžiště koule pokleslo během tohoto pohybu o svislou vzdálenost h — L sin 6*. Tíhová potenciální energie soustavy koule + Země se tak snížila o hodnotu mg L sin 9. O stejnou hodnotu však vzrostla kinetická energie 12.1 VALUNÍ 301 koule. Podle rov. (12.5) platí mgL sin 0 = \It<-o2 + \mv\. (12.6) Podle vztahu (g) v tab. 11.2 platí pro plnou kouli h = jinR^. Uhlovou rychlost co můžeme nahradit výrazem vt/R- Dosazením do rov. (12.6) dostáváme 1 2 mgL sm8 = — ■ -(m Z této rovnice vyjádříme vj'- *>(t)' I vT = yJfgLsin0 = = 7f(9.8m-s-2)(2Jm)sin34° = = 4.1m-s_l. (Odpověd) Všimněme si, že výsledek nezávisí ani na hmotnosti, ani na polomem koule. PŘIKLAD 12.3 Úvahy v př. 12.2 nyní zobecníme. Homogenní prstenec, kotouč a koule o stejné hmotnosti m a stejném poloměru R jsou současně uvolněny v nejvyšším bodě nakloněné roviny o délce L = 2.5 m a úhlu sklonu 0 = 12° (obr. 12.7). (a) Které z těles dorazí na konce nakloněné roviny nejdříve? ŘEŠENÍ: Odpověď snadno najdeme v tab. 12.1. U kouleje poměrný příspěvek posuvného pohybu k celkové kinetické energii ze všech tří těles největší (71 %). Koule tedy závod vyhraje. Jako druhý skončí kotouč a poslední bude prstenec. (b) Určete rychlost každého z těles na konci nakloněné roviny. ŘEŠENÍ: Těžiště každého z těles poklesne během „závodu" o tutéž svislou vzdálenost h. Stejně jako při volném pádu klesne potenciální energie soustavy těleso + Země o hodnotu mgh. O stejnou hodnotu vzroste kinetická energie tělesa. Na konci nakloněné roviny mají tedy všechna tělesa stejnou kinetickou energii. Pouze část této energie, závislá na rozložení hmotnosti tělesa, však připadá na posuvný pohyb. V rov. (12.5) položíme co = vt/R a dostaneme mgh = hlj co2 + Irniij- = = ^lľ(v2/R2) + \_mv2 = \(1T/R2)v\ + \mv\. (12.7) Po dosazení h = L sin 0 vyřešíme získanou rovnici vzhledem k neznámé v y: I 2eLsin<9 vt = J : * . (Odpověď) (12.8) V 1 + iT/mR- Řcšení je vyjádřeno pomocí momentu setrvačnosti tělesa Ij. Všimněme si, že rychlost tělesa nezávisí ani na jeho hmotnosti ani na poloměru, ale pouze na rozložení hmoty kolem osy jeho rotační symetrie. Tato skutečnost je z výsledku (12.8) patrná na první pohled. Moment setrvačnosti tělesa Ir v něm totiž vystupuje pouze v podílu lj/m R2. Dětská hrací kulička i kuželková koule budou mít na konci nakloněné roviny stejnou rychlost. Z nakloněné roviny se tedy skutálí za stejnou dobu. Koule v tomto závodě porazí kotouč libovolné hmotnosti a poloměru. Prstenec o libovolné hmotnosti i poloměru je naopak za všech okolností odsouzen k porážce. Pro prstenec (viz tab. 12.1) je h/mR- = 1. Jeho rychlost na konci „závodní dráhy" je podle rov. (12.8) vT j 2gLf,\nO \' 1 + h/mR2 2(9,8iTvs-2)(2,5m) sinl2c 1 + = 2,3mV (Odpověď) Podobně získáme vT = 2,6m-s~' pro kotouč {Ij/mR2 = \) a2,7m-s~' pro kouli (lT/mR2 = |).Tyto výsledky potvrzují náš odhad pořadí těles v části (a). PŘIKLAD 12.4 Uvažujme opět těleso o hmotnosti m a kruhovém průřezu o poloměru R, které se valí po nakloněné rovině o úhlu sklonu 0 (obr. 12.8). Při rozboru jeho pohybu se však nyní opřeme pouze o věty o hybnosti a o momentu hybnosti soustavy. Výsledek pak porovnáme s řešením př. 12.3, kde jsme použili zákon zachování mechanické energie. mgcosO mg Obr. 12.8 Příklad 12.4. Homogenní těleso kruhového průřezu o poloměru R se valí dolu po nakloněné rovině. Země na ně působí tíhovou silou mg, podložka pak normálovou silou N a třecí silou Fs. Třecí síla směřuje vzhůru podél nakloněné roviny. Působiště síly N jsme pro přehlednost přesunuli podél její vektorové přímky do středu tělesa. 302 KAPITOLA 12 VALENÍ, MOMENT SÍLY A MOMENT HYBNOSTI (a) Vypočtěte zrychlení valícího se tělesa. ŘEŠENI: Na obr. 12.8 jsou znázorněny síly. kterými na těleso působí okolní objekty: tíhová síla mg., normálová síla N a statická třecí síla Fs. Působištěm tíhové síly je těžiště tělesa. Je-li hmotnost tělesa rozložena symetricky vzhledem k ose o jeho geometrické rotační symetrie, splývá těžiště se středem geometrickým. Normálová síla a síla tření působí na nepatrnou plošku v okolí bodu P, kde se těleso dotýká nakloněné roviny. Momenty všech sil vztahujeme k ose o. Momenty tíhové a normálové síly vzhledem k této ose jsou ovšem nulové, a nepřispívají proto k urychlování otáčivého pohybu. Roztáčení tělesa ve směru chodu hodinových ručiček je způsobeno výhradně silou tření, jejíž moment je záporný. Rameno třecí síly vzhledem k ose o má délku R. Pro posuvný pohyb tělesa platí věta o hybnosti (ma = = 2tjf). V soustavě souřadnic, jejíž osa x směřuje vzhůru podél nakloněné roviny, má zápis x-ové složky této vektorové rovnice tvar ma1 = 2^ Fx = Fs — mg siné?. (12.9) Rovnice obsahuje dvě neznámé, Fs &ax. Potřebujeme pro ně další rovnici. Získáme ji z věty o momentu hybnosti (Is = — Y M) vztažené k ose o, v níž použijeme vztah e = a,/R (rov. (11.20)): V M = -FSR = ITs =II^l, (12.10) ^ R Z rov. (12.10) dostaneme výraz pro sílu tření Znaménko minus znamená, že vektor třecí síly Fs má opačný směr než vektor zrychlení o. Dosazením z rov. (12.11) do (12.9) a řešením vzhledem k neznámé veličině ax nakonec dostáváme ax =-. ,8jm,9 DZ- (Odpověď) (12.12) 1 + Ij jmR1 (Větu o momentu hybnosti le = M jsme v kap. 11 odvodili pro otáčivý pohyb tělesa kolem osy, kteráje v klidu vzhledem ke vhodně zvolené inerciální vztažné soustavě. Poměrně elementárním výpočtem však lze ukázat, že její platnost zůstane zachována i pro případ, že osa otáčení je nepohyblivá ve vztažné soustavě spojené s těžištěm tělesa, jejíž pohyb vzhledem k soustavám inerciálním je pouze posuvný. Uvědomme si, že tato speciální těžišťová vztažná soustava může být i neinerciální.) Při řešení úlohy bychom mohli vztáhnout větu o momentu hybnosti i k ose o p vedené bodem P, v němž se těleso dotýká nakloněné roviny. Moment třecí síly vzhledem k této ose je nulový. V roli výsledného momentu sil Y M vystupuje nyní moment tíhové síly mg, jejíž rameno vzhledem k ose op má hodnotu R siné). Dostáváme tedy M = -mg(RúxiO) = IpE = (12.13) kde //> je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose op, vedené bodem P. Vypočteme jej pomocí Stcinerovy věty íp = rT+m.R2. (12.14) Dosadíme za Ip z rov. (12.14) do (12.13) a vyjádříme neznámou ax, dostaneme opět výsledek (12.12). (b) Vypočtěte velikost třecí síly Fs. ŘEŠENÍ: Dosazením z rov. (12.12) do (12.11) dostaneme sin ŕ? F = mg---y—. (Odpověď) (12.15) 1 + mRíj l-p Z tohoto výsledku vyplývá, že síla tření je menší než průmět tíhové síly do směru nakloněné roviny, jehož velikost je mg sin 6. Těleso se proto valí dolů zrychleně. Například pro plný kotouč je podle tab. 12.1 IjjmR1 = = i. Pro zrychlení a velikost třecí síly pak z rov. (12.12) a (12.15) dostáváme 2 1 ax = —-# siné* a Fs = -mg sin (9, (c) Určete rychlost tělesa na konci nakloněné roviny o délce L. ŘEŠENÍ: Těleso sc pohybuje podél osy x s konstantním zrychlením. Platí tedy v2 — Uq + 2ax(x — xq). (12.16) Položíme-lix — X() = —Lavo = 0adosadíme-li zaax výsledek (12.12), získáme rov. (12.8), přesně ve shodě s výpočtem pomocí zákona zachování mechanické energie. JTONTROLA 2: Stejné kotouče A a B se valí po vodorovné podlaze stejnou rychlostí. Kotouč A najede na nakloněnou rovinu a valí se po ní bez prokluzu vzhůru až do bodu obratu, který leží nad úrovní podlahy ve výšce h. Kotouč B stoupá po stejné nakloněné rovině, kteráje však dokonale hladká. Rozhodněte, zdaje výška bodu obratu kotouče B nad úrovní podlahy větší, menší, či stejná jako h. 12.2 JOJO 303 12.2 JOJO Oblíbená hračka zvaná jojo, to je fyzikální laboratoř, která se vejde do kapsy. Nevěříte? Ukážeme si, co všechno lze pomocí pohybu joja demonstrovat. Představme si, že se jojo odvaluje podél vlákna dolů a urazí vzdálenost h. Potenciální energie soustavy jojo + Země při lom poklesne o hodnotu mgh, o kterou naopak vzroste energie kinetická. Tato změna přispěje ke zvýšení kinetické energie posuvného (Im v2-) i otáčivého (\ Ijor) pohybu joja. Při zpětném pohybu hračky je naopak pokles kinetické energie kompenzován vzrůstem energie potenciální. V modernějším provedení není vlákno joja pevně přivázáno k osičce, ale vytváří kolem ní volnou smyčku. Jakmile tělísko joja „narazí" na dolní konec vlákna, začne vlákno působit na osičku svislou silou směřující vzhůru. Tato síla zastaví pokles tělíska, které pak spočívá ve smyčce vlákna a otáčí se kolem své osy. Jeho celková kinetická energie bude v tuto chvíli dána pouze kinetickou energií otáčivého pohybu. Takové „spící" jojo můžeme opět „probudit" zatáhnutím za vlákno. Vlákno se třením zachytí za osičku a jojo po něm začne „šplhal" nahoru. Kinetickou energii otáčivého pohybu tělíska v nejnižší poloze (tedy ve spícím stavu) lze výrazně zvýšit, nebude-li se jojo roztáčet z klidu, ale udělíme-li mu určitou počáteční rychlost v-/ (směrem dolů) a určitou počáteční úhlovou rychlost co. Zabývejme se nyní podrobněji pohybem hračky na základě impulzových vět. Na obr. 12.9a vidíme idealizované jojo se zanedbatelnou tloušťkou vlákna. Obr. 12.9b představuje příslušný silový diagram, v němž je vyznačena pouze osička. Odvodíme vztah pro zrychlení o tělíska. Pro posuvný pohyb použijeme větu o hybnosti (ma = V soustavě souřadnic s osou x namířenou svisle vzhůru dostaneme max = Fx = T - mg. (12.17) Symbolem m jsme označili hmotnost tělíska a T představuje velikost tahové síly vlákna. Pro rotační pohyb máme k dispozici včtu o momentu hybnosti (Is = Yl kterou vztáhneme k ose vedené těžištěm joja: Ie = J2M = TRo> (12.18) kde Rq je poloměr osičky a / moment setrvačnosti joja vzhledem k ose vedené jeho těžištěm. Zrychlení a směřuje dolů (složka ax je tedy záporná). Síly působící na jojo jsou, včetně správné orientace, zakresleny v obr. 12.9b. Moment tíhové síly vzhledem k ose vedené těžištěm tělíska je nulový, moment síly tahové je orientován proti směru otáčení hodinových ručiček. Uhlové zrychlení e směřuje tedy rovněž proti směru otáčení hodinových ručiček (je kladné). -Äo mg (a) (b) Obr. 12.9 (a) Jojo. Vlákno zanedbatelného průměru je navinuto na osičce o poloměru Rq. (b) Silový diagram tělíska při pádu. Ve skutečnosti nelze průměr vlákna zcela zanedbat, a tak je třeba počítat s efektivní změnou poloměru osičky, v závislosti na okamžité délce navinutého vlákna. Veličiny a a e jsou proto spjaty vztahem ax = — eRq-Dosazením e = —qx/Rq do rov. (12.18) dostáváme TR0 Iax Z tohoto vztahu vyjádříme T a dosadíme do rov. (12.17). Nakonec získáme zrychlení tělíska ve tvaru (12.19) 1 + I/mRA Ideální jojo se tedy odvaluje podél vlákna dolů s konstantním zrychlením. Požadujeme-li, aby zrychlení bylo malé, potřebujeme lehké tělísko s velkým momentem setrvačnosti a malým poloměrem osičky. PŘIKLAD 12.5 Jojo je vyrobeno ze dvou mosazných kotoučů o tloušťce b = 8.5 mm a poloměru R = 3,5 cm, spojených krátkou osičkou o poloměru Rq = 3,2 mm. (a) Vypočtěte moment setrvačnosti joja vzhledem k jeho rotační ose symetrie. Při výpočtu zanedbejte moment setrvačnosti osičky. Hustota mosazi je g = 8400kg-m 3. ŘEŠENÍ: Moment setrvačnosti kotouče vzhledem k jeho ose symetrie je ImR2. S dvojicí souosých kotoučů můžeme 304 KAPITOLA 12 VALENÍ, MOMENT SÍLY A MOMENT HYBNOSTI pracovat jako s jediným diskem. Jeho celková hmotnost m, vypočtená pomocí jeho objemu V a hustoty q materiálu, je m = V q = 2nR2bQ = = 2i;(0,035m)2(0,008 5m)(8 400kg-nr3) = = 0,550 kg. Jeho moment setrvačnosti je pak / = \mR2 = i(0,550kg)(0,035m)2 = = 3,4-10"4 ks-m2. (Odpověď) (b) Vlákno navinuté na osičce má délku / = 1,1m, Jeho tloušťka je zanedbatelná. Zjistěte, s jakým zrychlením se jojo odvaruje dolů podél vlákna. ŘEŠENÍ: Podle rov. (12.19) je 1 1 + I/mít2 (9,8 m-s" :) (3,4-10-4kg-m2) 1 + (0,550 kg)(0,003 2m)2 -0,16m-s-2. (Odpověď) Vektor zrychlení směřuje dolů a jc nezávislý na tom, zda jojo právě klesá či stoupá. Všimněme si, že v rov. (12.19) vystupuje parametr fi = = I/itiRq, definovaný v lab. 12.1. V našem příkladu má tento parametr (ji = 60) hodnotu mnohem větší než pro tělesa uvedená v citované tabulce. Zrychlení joja je proto velmi malé. Odpovídá například valení prstence po nakloněné rovině s úhlem sklonu pouhých 1,9"! (c) Jak velkou tahovou silou působí na tělísko joja jeho vlák- ŔEŠENÍ: Tahovou sílu snadno vypočteme z rov. (12.17). Stačí dosadit za ax výraz (12.19). Po malé úpravě dostaneme pro T vztah mg mR2/I' (12.20) Tahová síla vlákna je tedy menší než síla tíhová. Pro číselné údaje uvedené v zadání úlohy dostaneme T=_(0,550 kg)(9,8m-s-2)_= 1 + (0,550kg)(0,003 2m)2/(3.4-10-4kg-m2) -5.3N. (Odpověd) Z výsledku je patrné, že ani tahová síla vlákna nezávisí na okamžitém směru pohybu joja. 123 JESTE JEDNOU MOMENT SILY V kap. 11 jsme definovali moment síly vzhledem k ose otáčení tuhého tělesa. Tato definice nebyla zcela obecná. Uvažovali jsme totiž výhradně o otáčivém pohybu tuhého tělesa kolem pevné osy, kdy se jednotlivé částice tělesa pohybují po kružnicích se středy na ose otáčení, ležících v rovinách k této ose kolmých. Další omezení, které umožňovalo definovat moment síly vzhledem k ose, spočívalo v předpokladu, žc vektorové přímky sil působících na těleso jsou kolmé k ose otáčení. Definici momentu síly však dokážeme zobecnit tak, aby byla použitelná i pro takové případy pohybu tělesa, kdy tvar trajektorií jednotlivých částic není takto omezen. Moment síly budeme nyní vztahovat k pevnému bodu. Obr. 12.10a znázorňuje silové působení na částici P v okamžiku, kdy je v souřadnicové rovině xy. Polohový vektor částice je r. Na částici působí jediná síla F, která leží y (a) (b) (c) Obr. 12.10 Deňnice momentu síly. (a) Síla F, působící na částici v bodě P, leží v souřadnicové rovině xy. (b) Moment této síly vzhledem k bodu O je M — r x F. Podle pravidel pro vektorový součin je tento vektor kolmý k rovině xy a má směr kladné osy z- Jeho velikost lze vyjádřit vztahem rF± (obr. b) nebo r i F (obr. c). 12.3 JEŠTĚ JEDNOU MOMENT SÍI.Y 305 v daném okamžiku rovněž v rovině xy. Momentem této síly M vzhledem k pevnému bodu O rozumíme vektorovou veličinu definovanou vztahem M — r x F. (12.21) K výpočtu vektorového součinu můžeme samozřejmě použít pravidel shrnutých v odst. 3.7. Abychom určili směr vektoru M, posuneme vektor F tak, aby jeho počáteční bod splynul s bodem O. (Velikost ani smčr vektoru při tomto posunutí nesmíme pochopitelně měnit.) Počáteční body vektorů Far jsou teď totožné (obr. 12.10b). Nyní již použijeme pravidlo pravé ruky pro vektorový součin (obr. 3.20a): Prsty pravé ruky směřují od vektoru r (první činitel ve vektorovém součinu) k vektoru F (druhý činitel). Natažený palec ukazuje směr vektoru M. Vektor M na obr. 12.10b je rovnoběžný s kladným směrem osy z. Pro velikost vektoru M platí obecný vztah (3.20) (c = = ab sin připomíná pohled na šíp zezadu). Kdyby síla f3 směřovala z obrázku k pozorovateli, označili bychom ji symbolem O (pohled na šíp zepředu). Pomocí pravidla pravé ruky určíme směr vektoru m3. Všechny momenty sil jsou vyznačeny v obr. 12.1 le. z Obr. 12.11 Příklad 12.6. (a) Na částici P působí tři síly rovnoběžné sc souřadnicovými osami. Úhel , je zadán v obr. (c). (Zadání úhlů je potřebné pro výpočet momentů sil.) (d) Moment třetí síly M3 je kolmý k vektorům r a Fs. Síla F) je kolmá k rovině nákresu a míří do obrázku), (e) Momenty sil působících na částici P, vztažené k bodu O. M2 = rF2 ún (12.30) Tento vztah představuje analogii druhého Newtonova zákona v úhlových veličinách. Slovy jej lze vyjádřit takto: 308 KAPITOLA 12 VALENÍ, MOMENT SÍLY A MOMENT HYBNOSTI Časová změna momentu hybnosti částice je rovna vektorovému součtu momentů všech sil na ni působících. Rov. (12.30) má smysl pouze tehdy, jsou-li silové momenty obsažené v součtu M a moment hybnosti L vztaženy k témuž bodu. Odvození věty o momentu hybnosti Základem výpočtu je definiční vztah (12.25) pro moment hybnosti. Platí L — m(r x v), kde r je polohový vektor částice a v je její rychlost. Derivováním* obou stran rovnice podle času dostáváme dl f dv dr \ — = m [r x--1--xv). (12.31) dř \ dt dt ) Ve výrazu dv/dt poznáváme zrychlení částice o, zatímco dr/dř je její rychlost v. Rov. (12.31) lze tedy upravit do tvaru dl — = m(r x a + v x v). dt Poněvadž je v x v = O (vektor v svírá sám se sebou nulový úhel), dostáváme dl — = m(r x o) = r x ma. dt Vzhledem k platnosti druhého Newtonova zákona (ma — = F) můžeme výraz ma nahradit vektorovým součtem sil působících na částici. Nakonec je t=rX&F)=yE>ir*F)- (12-32) Podle rov. (12.21) představuje výraz r x F moment síly F vzhledem k bodu O. Poslední úpravou rov. (12.32) tak dostáváme požadovanou „úhlovou" analogii druhého Newtonova zákona dl x - dt t—1 j^ONTROLA 5 : Na obrázku je znázorněna částice, jejíž poloha je v daném okamžiku určena vektorem r. Na částici působí síla, která může mít některý ze čtyř vyznačených směrů, ležících v rovině xy. Síla udílí částici zrychlení a. (a) Seřaďte možné směry podle odpovídající velikosti časové derivace momentu hybnosti částice dl/dí vzhledem k bodu O. (b) Rozhodněte, pro které z nich je tato derivace (vektorová veličina) nesouhlasně rovnoběžná s osou z. PŘÍKLAD 12,8 Tučňák o hmotnosti m stál na okraji jámy v místě A a spadl dolů. Vodorovná vzdálenost bodu A od počátku O soustavy souřadnic je d (obr. 12.14). y Obr. 12.14 Příklad 12.8. Tučňák o hmotnosti m volně padá z bodu A na okraji jámy. Moment tíhové síly M i moment hybnosti tučňáka vztažené k bodu O jsou kolmé k rovině obrázku a směřují do nákresny. (a) Vyjádřete moment hybnosti padajícího tučňáka vzhledem k bodu O v obecném okamžiku během jeho pádu. ŘEŠENÍ: Moment hybnosti jako vektor vyjádříme pomocí rov. (12.25)) (L = r x p). Jeho velikost je dána vztahem (12.26), tj. L = rmv %msp. Veličiny r a q> se během pádu tučňáka samozřejmě mění, výraz r sin cp však má v každém okamžiku stálou hodnotu d. Pro rychlost pádu platí v = gt. Pro velikost momentu hybnosti L tak dostáváme * Při derivování vektorového součinu nesmíme zaměnit pořadí vektorů v součinu. L = mgtd. (Odpověď) (12.33) 12.6 MOMENT HYBNOSTI SOUSTAVY ČÁSTIC 309 Vektor momenlu hybnosti L je kolmý k rovině vektorů r a p, vyznačených v obr. 12.14, a podle pravidla pravé ruky směřuje za nákresnu. Zvolme souřadnicovou osu z tak, aby byla orientována nesouhlasně s tímto směrem. V obrázku pak vyznačíme vektor L křížkem v kroužku ®. umístěným v počátku soustavy souřadnic. S časem se mění pouze velikost vektoru L. jeho směr a orientace se zachovávají. (b) Vypočtěte moment tíhové síly mg, působící na tučňáka, vzhledem k počátku soustavy souřadnic. ŘEŠENÍ: Moment síly je dán vztahem (12.21) (M = rxF), jeho velikost určíme pomocí rov. (12.22). Platí M — r F sin O (a) (b) Obr. 12.15 (a) Tuhé těleso se otáčí kolem osy z úhlovou rychlostí ui. Jedna z jeho částic hmotnosti ;n, opisuje kolem osy c kružnici o poloměru rř x- Její hybnost je p, a polohový vektor vzhledem k počátku soustavy souřadnic O je označen jako 17. Obrázek zachycuje polohu částice v okamžiku, kdy je vektor r^± rovnoběžný s osou .v. (b) Moment hybnosti ?-té částice vzhledem k bodu O je označen symbolem /.,, jeho průmět do osy z je L^z, tice L, jc kolmý k vektorům r, a p,. Podle obr. 12.15b jej můžeme vyjádřit jako součet jeho průmětu do osy otáčení (osa z) a průmětu do roviny kolmé kose otáčení (rovinaxy). Platí Li = + Z.,.n • Stejným způsobem lze rozložit momenty hybnosti všech částic tělesa, a tedy i celkový moment hybnosti soustavy: n L = Lz + l,v = £(!.,■ . +£,,_„.). i = l Momentem hybnosti tělesa vzhledem k ose otáčení nazveme průmět celkového momentu hybnosti L do této osy. V našem případě, kdy je osou otáčení osa z, jc tento průmět určen z-ovou složkou celkového momentu hybnosti soustavy, tj. n n n Lz = y^ Lj,z — y Li sin0i = VJ(>y sin0(-)(/«,• t.*,-) - /,ri,±miVi i=] .Setkali jsme se s ní už v př. 9.10. Vzhledem k platnosti vztahu u; = ťwr,,j_, můžeme psát n n n Lz = Lj,z = ^miťŕrŕ.i = m, (a>r,-, ±)r,,± = ('=1 (=1 ;'=] 12.7 MOMENT HYBNOSTI TUHÉHO TELESA VZHLEDEM K PEVNÉ OSE 311 Při úpravě posledního výrazu jsme využili skutečnosti, že úhlová rychlost co všech částic tuhého tělesa je stejná a vytkli jsme ji před součet. Ve výrazu Y^, mi >"?_i v rov. (12.38) poznáváme moment setrvačnosti tělesa vzhledem k pevné ose (rov. (11.24)). Rov. (12.38) můžeme tedy upravit do tvaru (moment hybnosti L: = Ia>, tj. L- = Iu> tuhého tělesa (12.39) vzhledem k pevné ose). Moment hybnosti v rov. (12.39) se vztahuje k ose otáčení tuhého tělesa. Budeme-li mít tuto skutečnost stále na paměti, můžeme index z i vynechat. Symbol L pak ovšem nesmíme zaměnit s velikostí momentu hybnosti vztaženého k pevnému bodu O. Moment setrvačnosti I je samozřejmě rovněž vztažen k ose otáčení. Promítneme-li do osy otáčení i výsledný moment vnějších sil působících na naše těleso, dostaneme odpovídající průmět rov. (12.37). vyjadřující větu o momentu hybnosti: Iw = M-, tj. leo = M-. Tento vztah se často nazývá věta o momentu hybnosti (druhá impulzová věta) pro otáčení tuhého tělesa kolem pevné osy. Jeho mimořádně jednoduchý tvar nás snad ani příliš nepřekvapuje. Je však možné zapsat tak prostým způsobem i průmět pohybové rovnice do roviny kolmé k ose otáčení? Abychom na tuto otázku odpověděli co nejpřesněji, pokusme se vyjádřit odpovídající průmět momentu hybnosti tělesa. Platí n n n Li>*y = = ~ Li.z) = X/r< - rŮ-L) x Pi = 1 = 1 1 = 1 1 = 1 n n - X/»"í.- x pi) = YJ(m,r,,r x v,). i'=l ŕ=i Průměty momentů hybnosti jednotlivých částic do roviny kolmé k ose rotace, tj. vektory L,.xy = m;r, - x Vj, mají velikosti m,-r;t;,-|cos0,- sinO,-| = mjrf(o\cos9j|. Jejich směry jsou však různé. Abychom je mohli sečíst, musíme je ještě rozložit do směrů os x a y. Označíme-li symbolem qn úhel, který svírá vektor r±j sc směrem osy x, dostaneme: n Lx — — y^(/n,r?|cos0i siné?;-1 cos, tp i) co = Ixa>, » Ly = — y^(/»ir?lcos0| siné*/! sin^,)oj = Iyco. r=i Všimněme si, že hodnoty sin tpt, cos tpi, sin Oj, cos Oj v předchozích součtech vyjadřujících veličiny Ix a Iy mohou být jak kladné, tak záporné. Při vhodném rozložení hmotnosti tělesa vzhledem k ose otáčení se tedy může stát, že se veličiny Ix a /v anulují. Veličiny 7V a 7V, v nichž je informace o symetrii či nesymetrii rozložení hmotnosti obsažena, se nazývají deviační momenty tělesa vzhledem k ose otáčení. Jsou-li nenulové, pak setrvačník rotující kolem upevněné osy silně namáhá svá ložiska (kolo „hází" a „vymílá" ložisko). Vyvažování kol automobilu olůvky má tedy za cíl vynulovat Ix a Iy. Jc-li hmotnost tělesa vzhledem k ose otáčení vhodně rozložena, průměty momentů hybnosti jednotlivých částic do roviny kolmé k ose otáčení se vyruší. Hovoříme pak o tzv. symetrickém rozložení hmotnosti tělesa vzhledem k ose rotace. (Jednoduchým příkladem je těleso tvořené dvěma stejně hmotnými částicemi umístěnými souměrně vzhledem k ose otáčení, nebo těleso složené ze dvou částic různé hmotnosti, umístěných na protilehlých stranách osy rotace ve vzdálenostech, jejichž poměr je převrácenou hodnotou poměru hmotností částic.) V takovém případě je průmět momentu hybnosti tělesa do roviny kolmé k ose otáčení nulový. Moment hybnosti tělesa vzhledem k ose otáčení splývá s celkovým momentem hybnosti a platí L = 7w. Tabulka 12.2 Posuvný a otáčivý pohyb, pokračování tab. 11.3 Posuvný pohyb v daném směru Otáčivý pohyb kolem pevné osy síla F moment sily M = r x F hybnost P moment hybnosti L = r x p hybnost" P = moment hybnosti" L = 2ZL, hybnost" P = m Vi moment hybnosti* L = [oj dP = 2J Fxi dL věta o hybnosti" dľ věta o momentu hybnosti" zákon zachování'' P = konst. zákon zachování' L = konst. " Pro soustavu částic i tuhé těleso jako její speciální případ. * Pro tuhé těleso otáčející se kolem pevné osy. L je složka momentu hybnosti ve směru této osy. ' Pro izolovanou soustavu. 312 KAPITOLA 12 VALENÍ, MOMENT SÍLY A MOMENT HYBNOSTI Tab. 12.2 jc pokračováním soupisu veličin a vztahů, které představují analogii při popisu posuvného a otáčivého pohybu (tab. 11.3). PŘIKLAD L2.9 Správný dřevorubec ví, jak má vyhodit sekeru, aby během letu vykonala celý počet otáček kolem svého těžiště a zasekla se do kmene stromu (obr. 12.16). Předpokládejme, že vodorovná složka počáteční rychlosti sekery má hodnotu vx = 20,0m-s~1, její dolet je d = 5,90m a sekera vykonala přesně jednu otáčku. Moment setrvačnosti I sekery vzhledem k ose vedené jejím těžištěm je 1,95-10 kg-m . I Obr. 12.16 Příklad 12.9. Dřevorubec hodil sekeru tak, aby se během letu otáčela kolem osy vedené jejím těžištěm (parabolický tvar trajektorie těžiště není na obrázku vyznačen). (a) Vypočtěte velikost momentu hybnosti letící sekery vzhledem k jejímu těžišti. ŘEŠENÍ: Sekera se otáčí stálou úhlovou rychlostí co vzhledem k ose vedené jejím těžištěm. Její moment hybnosti určíme podle rov. (12.39) (L = Ia>). Nejprve však vypočteme úhlovou rychlost. Podle rov. (11.5) je úhlová rychlost a> určena otočením A0 v časovém intervalu Ař| takto: A9 ~aT\ Nahradíme-li Aí\ výrazem d/vx a dosadíme-li za A0 hodnotu l.OOot = 2ti rad. dostaneme vxA0 _ (20,Om-s-|)(27trad) d ~ ~ (5,90 m) 21.3 rad-s" Pro získanou hodnotu co a zadaný moment setrvačnosti / dostaneme z rov. (12.39) výsledek: L = Im = (1.95-10"3kg-m2)(21.3rad-s_1) 4,15-10 -kg-m--s" (Odpověď) (b) Uvedení sekery do pohybu trvá dřevorubci A/? = 0,150 s. Určete průměrnou velikost momentu síly, jíž působí dřevorubec na sekeru, vzhledem k jejímu těžišti. ŘEŠENÍ: Souvislost změny momentu hybnosti sekery AL s průměrnou hodnotou M výsledného momentu sil, které ji během časového intervalu At2 uvedou do pohybu, je dána vztahem (12.37). — AL Lf-Li M = -= —--. A/n Aí2 Počáteční moment hybnosti sekery je nulový, tj. L, = 0, výsledný moment hybnosti jc Lf = —4,15-10 - kg-rm/s. Výsledná hodnota je záporná. Sekera na obr. 12.16 se totiž otáčí ve směru chodu hodinových ručiček. Dosazením těchto hodnot a zadané doby A/t do poslední rovnice dostaneme M (-4,15-10- kg-m2 (0,150 s) -0,277N-m. (Odpověď) J^ONTROLA 6: Tři tělesa znázorněná na obrázku (kotouč, obruč a plná koule) jsou tažena vlákny navinutými na jejich obvodu. Tažná síla F je ve všech případech stejná a působí po stejnou dobu t. Každé z těles se roztáčí z klidu kolem pevné osy vedené jeho středem. Hmotnosti i poloměry těles jsou shodné. Seřadíte tělesa (a) podle jejich momentu hybnosti vzhledem k ose otáčení a (b) podle jejich úhlových rychlostí v okamžiku t. kotouč koule 12.8 ZÁKON ZACHOVANÍ MOMENTU HYBNOSTI Prozatím jsme dokázali vyslovit dva důležité zákony zachování platné při pohybu těles: zákon zachování mechanické energie a zákon zachování hybnosti. Nyní se setkáme s dalším podobným zákonem, zákonem zachování momentu hybnosti. Jestliže je studovaná soustava částic izolovaná nebo je-li výsledný moment vnějších sil, které na ni působí, nulový, je podle rov. (12.37) (druhá impulzová věta) dl/dí = 0, tj. L = konst. (12.40) Tento výsledek, nazývaný zákon zachování momentu hybnosti, lze také přepsat ve tvaru k = if. (12.41) kde indexy (i), resp. (f) označují moment hybnosti soustavy L v počátečním, resp. koncovém okamžiku. Rovnice (12.40) a (12.41) lze vyjádřit takto: 12.8 ZÁKON ZACHOVÁNÍ MOMENTU HYBNOSTI 313 Moment hybnosti L se zachovává bez ohledu na případné změny probíhající uvnitř soustavy, pokud je výsledný moment vnějších sil působících na soustavu nulový. Rov. (12.40) a (12.41) jsou vektorové. Každá z nich je tedy ekvivalentní trojici skalárních rovnic, vyjadřujících zachování tří nezávislých kartézských složek momentu hybnosti soustavy. Mohou nastat případy, kdy se některá ze složek momentu hybnosti soustavy zachovává i při nenulovém momentu sil: Je-li některá ze složek výsledného momentu vnějších sil působících na soustavu nulová, zachovává se odpovídající složka momentu hybnosti soustavy, a to bez ohledu na změny, které uvnitř soustavy probíhají. Použijme tento zákon pro případ izolovaného tělesa na obr. 12.15, které se otáčí kolem osy z. Předpokládejme, že těleso bylo zpočátku tuhé, později se však rozložení jeho hmotnosti vzhledem k ose otáčení změnilo. Změnil se tím i jeho moment setrvačnosti vzhledem k této ose. Podle rov. (12.40) a (12.41) se však nezměnil moment hybnosti tělesa. Dosazením z rov. (12.39) pro moment hybnosti tělesa při rotaci kolem pevné osy do rov. (12.41) dostaneme zákon zachování momentu hybnosti ve tvaru Im = IfCOí. (12.42) Indexy (i) a (f) jsme označili hodnoty momentu setrvačnosti I a úhlové rychlosti co na počátku měření a po změně rozložení hmoty. Podobně jako předchozí zákony zachování (energie a hybnosti) jsou rov. (12.40) a (12.41) platné i mimo rámec newtonovské (klasické) mechaniky. Platí totiž i pro částice pohybující se rychlostmi blízkými rychlosti světla (které sc řídí relativistickou mechanikou) a dokonce pro částice subatomární, při jejichž popisu se neobejdeme bez kvantové mechaniky. Až dosud nebyl objeven žádný jev, který by platnost zákona zachování momentu hybnosti narušil. V dalším textu se budeme věnovat rozboru čtyř typických situací, v nichž lze tento zákon uplatnit. 1. Experimentátor na otočné stoličce. Experimentátor na obr. 12.17 sedí na stoličce, která se pomalu otáčí kolem svislé osy úhlovou rychlostí V upažených rukou drží dvě činky. Moment hybnosti L soustavy stolička + člověk je rovnoběžný s osou otáčení a směřuje vzhůru. Náhle člověk připaží a zmenší tak moment setrvačnosti soustavy z hodnoty I\ na hodnotu /f. Hmota soustavy je nyní rozložena blíže k ose otáčení. Uhlová rychlost otáčení se naopak zvýší z hodnoty w\ na wf. Upažením docílí experimentátor opětovného zpomalení otáčivého pohybu. Výsledný moment vnějších sil působících na soustavu člověk s činkami + stolička je nulový (společná vektorová přímka tíhové síly a tlakové síly podložky leží v ose otáčení). Moment hybnosti soustavy vzhledem k ose otáčení se proto zachovává bez ohledu na to, jak člověk činkami pohybuje. Úhlová rychlost soustavy zachycené v situaci na obr. 12.17a je malá a moment setrvačnosti velký. Podle rov. (12.42) je úhlová rychlost soustavy na obr. 12.17b větší. Její zvýšení totiž kompenzuje pokles momentu setrvačnosti soustavy, způsobený změnou rozložení její hmoty. L L rotační osa (a) (b) Obr. 12.17 (a) Soustava člověk + stolička má poměrně velký moment setrvačnosti a malou úhlovou rychlost, (b) Při poklesu momentu setrvačnosti se zvětší úhlová rychlost soustavy. Moment hybnosti L zůstává zachován. 2. Skokan. Obr. 12.18ukazujeskokdovodysjednímapúl saltem vpřed. Podle očekávání se těžiště skokana pohybuje po parabole. Skokan opustí odrazový můstek s určitým momentem hybnosti L vzhledem k ose jdoucí jeho těžištěm. Vektor L je kolmý k rovině obrázku a směřuje za nákresnu. Jedinou silou, která na skokana během jeho letu působí, je síla tíhová. Její moment vzhledem k těžišti sportovce je však nulový. Moment hybnosti skokana se tedy zachovává. Pokrčením paží a nohou docílí akrobat poklesu momentu setrvačnosti vzhledem k ose vedené jeho těžištěm. Podle rov. (12.42) tím urychlí rotaci svého těla (zvýší úhlovou rychlost). Natažením paží i nohou ke konci letu opět moment setrvačnosti zvýší a rotaci zpomalí natolik, že voda při doskoku téměř nevystříkne. Moment hybnosti skokana se samozřejmě zachovává co do velikosti i směru i při složitějších skocích se salty a výkruty. 3. Orientace kosmické lodi. Na obr. 12.19 je znázorněna kosmická loď s pevně uloženým setrvačníkem. Obrázek zachycuje změnu orientace lodi. Jestliže se loď ani setrvačník neotáčí, je celkový moment hybnosti L soustavy kosmická 314 KAPITOLA 12 VALENÍ. MOMENT SÍLY A MOMENT HYBNOSTI Obr. 12.18 Moment hybnosti skokana L . . f &ÍS je během skoku stálý. Na obrázku je zná- í i ájp zorněn symbolem ©. Je kolmý k rovině obrázku a směřuje za nákresnu. Všimněme si, že se těžiště skokana pohybuje po parabole. I setrvačník (b) Obr. 12.19 (a) Zjednodušený náčrtek kosmické lodi se setrvačníkem. Roztočíme-li setrvačník např. ve směru otáčení hodinových ručiček, roztočí se loď směrem opačným. Celkový moment hybností soustavy musí totiž zůstat nulový, (b) Jestliže setrvačník uvedeme opět do klidu, zastaví se i loď. Její osa sc však vůči své původní orientaci natočila o úhel A9. loď+ setrvačník nulový a díky její izolovanosti se zachovává. Roztočíme-li setrvačník podle obr. 12.19a, roztočí sc loď opačným směrem, nebof celkový moment hybnosti sou- stavy musí zůstat nulový. Zastavíme-li setrvačník, zastaví se i rotace kosmické lodi. Loď však už zůstane ve změněné poloze (obr. 12.19b). Nežádoucí účinky zákona zachování momentu hybnosti se projevily při letu kosmické lodi Voyager 2 kolem planety Uran (v roce 1986). Loď se roztočila pokaždé, když se její magnetofonové záznamové zařízení přepnulo na vyšší rychlost. Řízení letu v Jet Propulsion Laboratory muselo během letu naprogramovat palubní počítač lodi tak, aby při každém zapnutí či vypnutí magnetofonové jednotky došlo k zážehu korekčních motorů. 4. Neuvěřitelná hroutící se hvězda. Vyhasíná-li hvězda, tj. dochází-li jí jaderné „palivo", začne se postupně smršťovat a tlak v jejím nitru roste. Smršťování může pokračovat tak dlouho, až se původní poloměr hvězdy (srovnatelný např. s poloměrem našeho Slunce) zmenší na pouhých několik kilometrů. Hvězda se přemění v neutronovou hvězdu, jejíž hmota je stlačena v neuvěřitelně hustý plyn složený z neutronů. Hvězda je izolovanou soustavou a její moment hybnosti L se zachovává. Moment setrvačnosti hvězdy se během jejího smršťování podstatně zmenší. Její úhlová rychlost při tom vzroste až na hodnotu zhruba 600 až 800 otáček za sekundu. Pro srovnání uveďme, že naše Slunce, které můžeme považovat za typickou hvčzdu, vykoná asi jednu otáčku na měsíc! J^ONTROLA 7: Brouk sedící na obvodu kolotoče začne lézt k jeho středu. Rozhodněte, zda následující veličiny, vztažené k ose otáčení kolotoče, vzrostou, klesnou, nebo zůstanou zachovány: (a) moment setrvačnosti soustavy brouk + kolotoč, (b) moment hybnosti soustavy a (c) úhlová rychlost kolotoče s broukem. roztočí. Jakým směrem a jakou úhlovou rychlostí se bude člověk na stoličce otáčet? Moment setrvačnosti /o soustavy člověk + stolička+kolo vzhledemkose otáčení je 6,8 kg-m2. ŘEŠENÍ: Vnější síly působící na soustavu člověk + stolička + kolo (tíhová síla a tlaková síla podlahy) mají vzhledem k libovolnému vztažnému bodu ležícímu na ose otáčení nulové momenty. Další síly na soustavu nepůsobí a její moment PŘÍKLAD 12.1(1 Experimentátor na obr. 12.20 sedí na stoličce, která se může otáčel kolem svislé osy. Drží v rukou bicyklové kolo, podél jehož obvodu je ohnut olověný prut. Moment setrvačnosti kola vzhledem k ose vedené jeho středem je / = 1,2 kg-m2. Zpočátku je člověk na stoličce v klidu a kolo se otáčí úhlovou rychlostí w\ = 3,9ot/s proti směru chodu hodinových ručiček (viděno z nadhledu). Osa otáčení kola jc svislá a jeho počáteční moment hybnosti L\ směřuje vzhůru. Experimentátor otočí kolo o 180' podle obr. 12.20b a stolička se s ním 12.8 ZÁKON ZACHOVANÍ MOMENTU HYBNOSTI 315 hybnosti se proto zachovává. Počáteční moment hybnosti soustavy L\ je shodný s momentem hybnosti otáčejícího se kola. 1 při převrácení osy kola se zachová velikost a směr celkového momentu hybnosti soustavy. (a) Obr. 12.20 Príklad 12.10. (a) Experimentátor drží bicyklové kolo, které se otáčí kolem své svislé osy. (b) Člověk kolo převrátí a začne se otáčet, (c) Celkový moment hybnosti soustavy sc zachovává. -L, mg:. -y _m (b) -t, počáteční stav výsledný stav (.0 Moment hybnosti kola po jeho převrácení jc —Člověk a stolička získají moment hybnosti L. Podle obr. 12.20c musí platit Li = L + ( — Li), ledy L = 1L\ = Iqú), kde o) je úhlová rychlost otáčení člověka na stoličce po převrácení osy kola. Dostáváme _ 2L| _ 2M _ W ~ To ~ 1c7 ~ 2(l,2kg-m2)(3,9ot/s) (6,8kg-m2) = l,4ot/s. (Odpověď) Kladná hodnota výsledku znamená, že se člověk na stoličce otáčí proti směru chodu hodinových ručiček (viděno z nadhledu). K zastavení rotace stačí otočit kolo do původní polohy. Při překlápění kola působí člověk na jeho osu určitou silou, jejíž moment je obecně nenulový. Stejně velkou, avšak opačně orientovanou silou působí osa kola na ruku člověka. Tyto síly jsou z hlediska soustavy člověk + stolička + kolo silami vnitřními, a neovlivní tedy její celkový moment hybnosti. K řešení úlohy můžeme zvolit i jiný přístup. Za soustavu můžeme zvolit samotného člověka na stoličce a kolo považovat za součást jejího okolí. Člověk působí na osu kola silou s nenulovým momentem. Osa působí na ruku člověka silou opačnou, která však jc z hlediska soustavy člověk + stolička silou vnější. Vlivem jejího momentu se mění moment hybnosti soustavy a stolička s člověkem se roztočí. Vidíme, že třídění sil a jejich momentů na vnitřní a vnější závisí na volbě posuzované soustavy částic a že vhodnou volbou zkoumaného systému lze řešení úlohy zjednodušit. PŘIKLAD 12.11 Akrobat na visuté hrazdě provede během skoku trvajícího / = = 1,87 s trojité salto. Během první a poslední čtvrtiny otáčky se akrobat otáčí v natažené poloze podle obr. 12.21. Jeho moment setrvačnosti vzhledem k ose vedené jeho těžištěm je při lom /j = 19,9 kg-m2. Ve střední části letu se akrobat Obr. 12.21 Příklad 12.11. Trojité salto 316 KAPITOLA 12 VALENÍ, MOMENT SÍLY A MOMENT HYBNOSTI skrčí a jeho moment setrvačnosti sc sníží na hodnotu h = = 5,50 kg-m2. (a) Jakou má akrobat počáteční úhlovou rychlost coi, oláčí-li se kolem osy procházející jeho těžištěm? ŘEŠENI: V napjaté poloze absolvuje akrobal dvě čtvrtiny otáčky za dobu t\. Odpovídající úhel otočení je tedy (9, = = 0,500 ot. Uhel oločení ve skrčené poloze je di = 2,50 ot, odpovídající dobu letu označme t2- Pro tylo časové intervaly platí 6\ (h ři = — a t2 = —, (12.43) CO] 0)2 kde Ĺt>2 je úhlová rychlost akrobata ve skrčené poloze. Protože se moment hybnosti akrobata během skoku zachovává, můžeme úhlovou rychlost určit pomocí rov. (12.42): I2CO2 = I] co] . tj- oj] . (12.44) Celková doba letu akrobata je t = h + Po dosazení z rov. (12.43) a (12.44) dostaneme 91 e2h t = — + — co] co] I\ 1 / h — [Oi +92f (12.45) Pro zadané číselné hodnoty je 1 / 5.50kgm2 (1,87 s) = — 0.500 ot +2,50 ot--—r ců] \ 19,9 kg-m2 Z poslední rovnice pak získáme výsledek co] = 0,636 9 ot/s = 0,637 ot/s. (Odpovčd) (b) Podaří-li se akrobatovi ještě více se skrčit, může se pokusil o čtyřnásobné salto při stejných hodnotách co\ a t. Jaký musí být jeho moment setrvačnosti ve skrčené poloze? ŘEŠENI: Úhel oločení ve skrčené poloze je nyní (h = = 3,50ot. Podle rov. (12.45) je nyní (1.87s) = (0,636 9 ot/s) 0,500 ot + 3,50 ot 19,9 kS-m2 odkud h_ = 3.929 kg-m2 = 3,93 kg-m2. (Odpověď) Menší hodnota I2 umožní rychlejší otáčení ve skrčené poloze. Nemusí však již být v silách akrobata jí docílit. Pokud by se akrobat chtěl pokusil o čtyřapůlnásobné salto, musel by buď prodloužit dobu lelu nebo zvýšit svou počáteční úhlovou rychlost. Pokud by se rozhodl pro druhou možnost, riskoval by. žc se jeho kolegovi nemusí podařit ho zachytit. (Víte proč?) (c) Určete periodu otáčení akrobata během čtyřnásobného salta ve skrčené poloze. ŘEŠENI: Z rov. (12.44) nejprve vypočtěme úhlovou rychlost 0)2 ve skrčené poloze: (úo = -cü\ (3,929 kg-m = 3,226 ol/s. Periodu T již určíme velmi snadno: _ 1 ot _ 1 ot (02 3,226 ot/s (19.9 kg-m2) ^——-—f - (0,636 9 ot/s) = 2\ 1 = 0,310s. (Odpověď) Jednou z příčin mimořádné obtížnosti čtyřnásobného salta je skutečnost, že otáčení je velmi rychlé. Artista při něm nestačí sledovat své okolí a jemně regulovat svou úhlovou rychlost vzájemnou polohou trupu a končetin — tedy změnou svého momentu setrvačnosti. PŘIKLAD 12.12 Čtyři tenké tyče, každá o hmotnosti m a délce d = 1,0 m jsou pevně spojeny do tvaru rovnoramenného kříže. Soustava se volně otáčí ve vodorovné rovině kolem svislé osy vedené jejím středem. Počáteční úhlová rychlost je o>\ = —2,0 rad/s, tj. ve směru otáčení hodinových ručiček (obr. 12.22). Koule z bláta o hmotnosti m = 111/3 a počáteční rychlosti Ví = — 12 m-s~1 narazí na konec jedné tyče a přilne k ní. Jaká je výsledná úhlová rychlost soustavy kříž + koule? Uvažujme čtyři různé trajektorie koule podle obr. 12.22: trajektorie 1 — koule dopadá kolmo na tyč, trajektorie 2 — koule dopadá v radiálním směru, trajektorie 3 — koule dopadá kolmo na tyč v opačném směru než v případě 1, trajektorie 4 — koule dopadá na tyč pod úhlem 60 měřeným od kolmice k tyči. i 2 ■7 osa —/ otáčení |60=N4 3 Obr. 12.22 Příklad 12.12. Čtyři pevně spojené tyče sc volně otáčejí kolem svislé osy. Blátivá koule může dopadnout na tyč čtyřmi různými způsoby a po dopadu zůstane k tyči přilepena. Obrázek představuje půdorysný průmět situace. ŘEŠENÍ: Celkový moment hybnosti L soustavy kříž + + koule vzhledem k ose otáčení se během srážky koule s rotujícím křížem zachovává, tj. Lf = /.,. (12.46) Indexy (i) a (f) představují počáteční a výslednou hodnotu. Označme /+ moment setrvačnosti kříže vzhledem k ose otáčení. Podle vztahu (/) v tab. 11.2 jc /+ =M\md2). Moment setrvačnosti blátivé koule přilepené na jedné z tyčí vzhledem k ose otáčení je /bk = m'd2. Označme jako L, moment hybnosti kotde vzhledem k ose otáčení před dopadem na tyč a ojf výslednou úhlovou rychlost soustavy. Pomocí známého vztahu L = Ico přepíšeme rovnici (12.46) do tvaru I+cůi + IbkOJf = I+o); + Li, a ledy (\md2)co{ + (m'd2)ojf = (±md2)a>x + L,. (12.47) Dosadíme m = 3m' a u>\ = —2,0 rad/s a získanou rovnici vyřešíme vzhledem k neznámé a>f: ojf = ——r (4m'icos60°. Dosazením zadaných číselných hodnot vypočteme L\ pro každý z případů 1 až 4 a výsledek dosadíme do rov. (12.48). Nakonec dostáváme dráha 1: cůf = -4,0rad-s_l: dráha 2: cůf = — 1,6 rad-s ; dráha 3: cůf — 0,80rad-s ; dráha 4: a>f = -0,40 rad-s"1. (Odpověd) 12.9 kvantovaný moment hybnosti 317 12.9 KVANTOVANÝ MOMENT HYBNOSTI Říkáme, že fyzikální veličina je kvantovaná, může-li nabývat jen určitých hodnot, jejichž množina jc diskrétní. Všechny ostatní hodnoty jsou zakázány. Prozatím jsme se setkali se dvěma příklady kvantované veličiny z oblasti fyziky mikrosveta: kvantování hmotnosti (čl. 2.9) a energie (čl. 8.9). Třetím příkladem, spadajícím rovněž do mikrosveta, je moment hybnosti. Elementární částice, jakými jsou například elektron nebo proton, mají vždy jistý vnitřní (spinový) moment hybnosti, jako by se neustále otáčely okolo své osy jako káča. (Ve skutečnosti se nejedná o žádné otáčení v mechanickém smyslu. Spinový moment hybnosti je veličina daleko abstraktnější než třeba moment hybnosti káči. který postihuje její skutečné otáčení.) Spinový moment hybnosti S je kvantován, jeho složka v libovolném směru (který označíme z) je dána vztahem Sz=msh, (12.49) kde h = 1,056-lfr34 J-s je redukov aná Planckova konstanta a ms je kvantové číslo. V případě elektronů, protonů, pozitronů a antiprotonů nabývá toto číslo pouze dvou hodnot: +i a —i. Je-li m s = +A, říkáme, že částice má spin nahoru a její spinový moment hybnosti jc S~ = +\h. Je-li m s = — i, má spin dolů a Sz — Při srážkách a reakcích elementárních částic (zahrnujících i změny jejich identity) na jiné elementární částice se spinový moment hybnosti jejich soustavy zachovává. Například se může stát, že při srážce protonu (p) a antiprotonů (p) obě částice anihilují a vzniknou jiné elementární částice, a to 4 kladné piony (jt+) a 4 záporné piony (n~): p + p 4tt+ +4ji~. Všechny piony mají ms — 0. Po anihilaci p + p podle této reakce je celkový spinový moment hybnosti soustavy nulový. Při anihilaci se však celkový spinový moment hybnosti zachovává. Má-li tedy uvedená reakce proběhnout, musí mít proton a antiproton spiny orientovány opačně (jeden nahoru, druhý dolů), aby jejich součet byl roven nule. 318 KAPITOLA 12 VALENÍ, MOMENT SÍLY A MOMENT HYBNOSTI PŘEHLED & SHRNUTÍ Valivý pohyb těles Pro kolo o poloměru R valící sc bez klouzání platí vT = coR. (12.2) kde vt je rychlost středu kola a co je úhlová rychlost kola (vzhledem k libovolnému bodu, např. k jeho středu). Valení kola lze také popsat jako otáčení kolem okamžité osy rotace procházející bodem dotyku P kola s podložkou. Úhlová rychlost otáčení kola kolem tohoto bodu je stejná jako kolem středu kola. Valící se kolo má kinetickou energii Ek = {lTco2 + jinv2-, (12.5) kde lj je moment setrvačnosti kola vzhledem k ose vedené jeho středem a m je jeho celková hmotnost. Moment síly jako vektor Moment síly M je vektorová veličina definovaná vzhledem k pevnému bodu (obvykle počátku soustavy souřadnic) vztahem M = rxF, (12.21) kde F jc síla působící v bodě o polohovém vektoru r vzhledem k vztažnému bodu (např. počátku soustavy souřadnic). Velikost vektoru M je dána vztahem M = rFúncp = rF± = r±F, (12.22-12.24) kde tp je úhel mezi vektory F a r, F± jc složka vektoru F v rovi ně kolmé k vektoru r a r± je rameno síly F. Směr vektoru M je určen pravidlem pravé ruky pro vektorový součin. Moment hybnosti částice Moment hybnosti L částice s hybností p, hmotností m a rychlostí v je vektorová veličina definovaná vzhledem k pevnému bodu (většinou počátku soustavy souřadnic) vztahem L = r x p = m (r x v). (12.25) Velikost vektoru L je L = rmv sin^o = rp± = rmv± = rj_p = r±mv, (12.26-12.28) kde

, (12.30) dr ^—' kde 2~^M jc výsledný moment všech sil působících na částici a Ĺ je její moment hybnosti. Moment hybnosti soustavy častíc Moment hybnosti i soustavy částic je vektorovým součtem momentů hybnosti jednotlivých částic: n L = Ll+L2 + L2 + ... + L„ = J^Li. (12.35) í=i Jeho časová změna je dána vektorovým součtem momentů všech vnějších sil působících na částice soustavy (tj. momentů sil popisujících působení objektů, které do soustavy nejsou zahrnuty, na částice soustavy): di v-^ ď7 = EM«t. 02.37) Moment hybnosti tuhého tělesa Složka momentu hybnosti tuhého tělesa otáčejícího se kolem pevné osy do směru této osy je L = Ito. (12.39) Zákon zachování momentu hybnosti Moment hybnosti L soustavy se zachovává, je-li výsledný moment vnějších sil působících na soustavu nulový (zákon zachování momentu hybnosti): t = konst., (12.40) nebo Li=Lf. (12.41) Zákon zachovám momentu hybnosti je jedním ze základních zákonů zachování. Jeho platnost byla ověřena i pro soustavy, v nichž Newtonovy zákony v klasickém tvaru neplatí (např. částice pohybující se velkými rychlostmi, subatomární částice). Kvantovaný moment hybnosti Spinový moment hybnosti 5 elementárních částic je kvantován. Jeho složka v libovolném směru má velikost S = msh, (12.49) kde h — 1,056-10"'l4 J-s jc redukovaná Planckova konstanta a ms je kvantové číslo. Orientace spinu nahoru, resp. dolil odpovídají hodnotám ms = -t-^resp. — \. Spinový moment hybnosti soustavy elementárních částic se zachovává při jejich srážkách nebo reakcích. OTÁZKY 319 OTÁZKY 1. Kvádr na prvním z obr. 12.23 klouže dolů po dokonale hladké nakloněné rovině s úhlem sklonu 9. Koule na vedlejším obrázku má stejnou hmotnost jako kvádr a bez klouzání se valí po nakloněné rovině se stejným úhlem sklonu. Obě tělesa byla po nakloněné rovině volně vypuštěna z bodu A a dorazila do bodu B. (a) Rozhodněte, zda tíhová síla působící na kvádr vykonala při jeho pohybu z bodu A do bodu R větší, menší, nebo stejnou práci jako tíhová síla působící na kouli, (b) Které z obou těles má v bodě B větší kinetickou energii připadající na posuvný pohyb? (c) Které z nich má v bodě B větší rychlost? Obr. 12.23 Otázka I 2. Dělová koule a dětská kulička se valí bez klouzání po nakloněné rovině. Obč tělesa byla zpočátku v klidu, (a) Rozhodněte, zda doba. za kterou dorazí dělová koule na konec nakloněné roviny, je větší, menší, či stejná jako v případě malé kuličky, (b) Zjistěte, zda část kinetické energie dělové koule připadající najejí posuvný pohyb je větší, menší, nebo stejnájako u kuličky. 3. Dělová koule se valí bez klouzání nejprve po nakloněné rovině o úhlu sklonu (9, poté po jiné rovině stejné výšky, avšak s menším úhlem sklonu. Rozhodněte, zda (a) doba potřebná k dosažení konce nakloněné roviny a (b) kinetická energie posuvného pohybu na konci nakloněné roviny je při druhém experimentu větší, menší, nebo stejnájako v prvním případě. 4. Dva plné válce, mosazný a dřevěný, mají shodný poloměr i hmotnost (dřevěný válec je tedy delší). Oba jsou volně vypuštěny po nakloněné rovině a valí se bez klouzání, (a) Dorazí některý z nich na konec nakloněné roviny dříve? Pokud ano, který? (b) Pro další pokus byly válce upraveny lak, aby měly stejnou délku a hmotnost. Dřevěný válec byl zkrácen a v mosazném válci byl podél osy jeho rotační symetrie vyvrtán otvor vhodného průměru. Jak dopadne závod válců po nakloněné rovině nyní? 5. Skladnice na obr. 12.24 valí válcový soudek pomocí desky o délce L. Soudek se valí bez klouzání a urazí dráhu L/2. Deska po povrchu na soudku rovněž neklouže, (a) Jak dlouhá část desky přišla během pohybu do styku s povrchem soudku? (b) Jakou vzdálenost přitom ušla skladnice? Obr. 12.24 Otázka 5 6. Polohový vektor částice r. vztažený k bodu O, má délku 3 m. Na částici působí síla F o velikosti 4 N. Jaký úhel svírají vektory r a F, jestliže velikost momentu síly vzhledem k bodu O (a) je nulová, (b) má hodnotu 12N-m? 7. Na obr. 12.25 je rozmístěno pět vztažných bodů, jejichž polohy jsou určeny souřadnicemi (x, y). Částice, která jc v obrázku rovněž zakreslena, se pohybuje stálou rychlostí v. Seřaďte vztažné body sestupně podle velikosti odpovídajícího momentu hybnosti částice. A (-3,1)»------- C. (1.3) ..... v E ----»(9. 1) D »(4,-1) B (-1.-2)» Obr. 12.25 Otázka 7 8. (a) V kontrole 4 sc částice 1 a 2 pohybují rovnoměrně po kružnicích. V obou případech určete moment dostředivé síly vzhledem k bodu O. (b) Částice 3.4 a 5 sc pohybují po přímkách zleva doprava. Pro každou z nich rozhodněte, zda velikost jejího momentu hybnosti vzhledem k bodu O roste, klesá, nebo zůstává stejná. 9. Na obr. 12.26 jsou znázorněny tři stejné částice pohybující se ve vyznačených směrech stejně rychle. Tyto částice tvoří soustavu. Vztažné body a, B, c a D leží ve vrcholech čtverce, bod E je v jeho středu. Seřaďte body (sestupně) podle velikosti celkového momentu hybnosti soustavy částic. E Obr. 12.26 Otázka 9 10. Následující funkce představují časovou závislost momentu hybnosti částice ve čtyřech různých situacích: (1) L(t) = 3í + + 4. (2) L(t) = -6r2, (3) Lit) = 2, (4) L(i) = 4/7. Ve které 7. nich je výsledný moment sil působících na částici (a) nulový. 320 KAPITOLA 12 VALENÍ. MOMENT SÍLY A MOMĽNT HYBNOSTI (b) kladný a konstantní, (c) záporný s rostoucí velikostí (pro t > 0), (d) záporný s klesající velikostí (pro t > 0)? 11. Bolaso se skládá ze tří lěžkých koulí spojených třemi stejně dlouhými pevnými lany (obr. 12.27). S předmětem se zachází takto: jednu kouli držíme nad hlavou a zbývající dvě roztočíme tak, aby obíhaly po kružnici (obr. 12.27a). V určitém okamžiku střední kouli uvolníme. Rozložení koulí se změní podle obr. 12.27b. Rozhodněte, zda se (a) moment hybnosti a (b) úhlová rychlost bolasa během této změny zvětší, zmenší, případně nezmění. C Wh id) (b) Obr. 12.27 Otázka 11 12. Brouk sedí na obvodu kolotoče, který se otáčí proti směru chodtt hodinových ručiček. V určitém okamžiku začne brouk lézt po obvodu ve směru otáčení. Rozhodněte, zda následující veličiny při pohybu brouka rostou, klesají, nebo se nemění: (a) moment hybnosti soustavy kolotoč + brouk, (b) moment hybnosti a úhlová rychlost brouka a (c) moment hybnosti a úhlová rychlost kolotoče? (d) Jak se změní odpovědi na předchozí otázky, poleze-li brouk proti směru otáčení kolotoče? 13. Spodní kotouč na obr. 12.28 se volně otáčí kolem vyznačené (1) 20 jednotek ve směru otáčení hodinových ručiček, (2) 10 jednotek proti směru otáčení hodinových ručiček, (3) 10 jednotek ve směru otáčení hodinových ručiček a (4) 60 jednotek ve směru otáčení hodinových ručiček. Po dopadu se kotouče vlivem třecích sil spojí a celek se nakonec otáčí stejnou úhlovou rychlostí, (a) Jaký je výsledný moment hybnosti soustavy kotoučů? (b) V jakém pořadí je třeba kotouče přidávat, aby nastal okamžik, kdy je úhlová rychlost spojených kotoučů nulová? 14. Vodorovná obdélníková deska na obr. 12.29 se může otáčet kolem svislé osy procházející jejím středem O. Zpočátku je deska v klidu. Dítě hází na desku stejné kousky žvýkačky, které se s ní po dopadu spojí. V obrázku jsou vyznačeny možné trajektorie kousků dopadajících na desku ve vyznačených bodech jejího obvodu. Velikost rychlosti žvýkaček bezprostředně před dopadem je rovněž stejná, (a) Seřaďte vyznačené trajektorie podle velikosti úhlové rychlosti, kterou se budou otáčet soustava deska + žvýkačka po dopadu žvýkačky, (b) Pro kterou z nich bude moment hybnosti desky s kouskem žvýkačky záporný? 1 Obr. 12.29 Otázka 14 15. Jojo na obr. 12.30 je zpočátku v klidu. Promyslete, jak se bude pohybovat, bude-li na vlákno působit tažná síla (a) Fi, jejíž vektorová přímka prochází bodem dotyku joja s podložkou, (b) F\ s vektorovou přímkou ležící nad bodem dotyku, (c) F\ s vektorovou přímkou procházející vpravo od bodu dotyku. aF3 Obr. 12.28 Otázka 13 osy proti směru chodu hodinových ručiček. Jeho moment hybnosti vzhledem k jeho ose otáčení je 50 jednotek. Čtyři další rotující kotouče jsou postupně spuštěny po ose a dopadnou na spodní kotouč. Jejich momenty hybnosti před dopadem jsou Obr. 12.30 Otázka 15 CVIČENI STuLOHY ODST. 12.1 Valení 1C. Tenkostenná trubice se valí po podlaze. Určete poměr kinetické energie jejího posuvného pohybu a kinetické energie otáčivého pohybu vzhledem k její podélné ose. 2C. Prstenec o hmotnosti 140kg sc valí po vodorovné podlaze. Jeho těžiště má rychlost 0,150m-s_1. Jakou práci je třeba vykonat, aby se prstenec zastavil? 3C. Automobil jede rychlostí 80,0 km/h. (a) Určete úhlovou rychlost pneumatik vzhledem k jejich osám, víte-li, že průměr pneumatiky je 75,0 cm. (b) Řidič automobilu zastavil bez pro-kluzu kol. Od okamžiku, kdy začal rovnoměrně brzdit, vykonala kola 30,0 otáček. Určete jejich úhlové zrychlení, (c) Jakou dráhu automobil během brzdění urazil? 4C. Vůz o hmotnosti 1 000kg má čtyři kola. Hmotnost každého z nich je 10 kg. Jaká část celkové kinetické energie vozu připadá na otáčivý pohyb jeho kol? Při výpočtu momentu setrvačnosti CVIČENÍ & ÚLOHY 321 považujeme kolo za homogenní kotouč. Proč nepotřebujete znát poloměr kol? 5C. Kolo o poloměru 0,250 m se valí bez klouzání s počáteční rychlostí 43,0 ms"' a zastaví se na dráze 225 m. Vypočtěte jeho (a) zrychlení a (b) úhlové zrychlení, (c) Moment setrvačnosti kola vzhledem k ose vedené jeho středem je 0,155 kg-nr. Vypočtěte vzhledem k této ose moment třecích sil, které na kolo při brzdění působí. 6C. Automobil o celkové hmotnosti 1 700 kg se rozjíždí z klidu a za dobu 10 s dosáhne rychlosti 40 km/h. Každé jeho kolo považujeme za homogenní kotouč o hmotnosti 32 kg. Vypočtěte (a) kinetickou energii otáčivého pohybu každého kola vzhledem k jeho ose, (b) celkovou kinetickou energii každého kola, (c) celkovou kinetickou energii automobilu na konci desáté sekundy pohybu. 7C. Homogenní koule se valí dolů po nakloněné rovině, (a) Jak jc třeba zvolit úhel sklonu roviny, aby se těžiště koule pohybovalo se zrychlením o velikosti 0,10#? (b) Jaké by bylo zrychlení tělesa, které by po této nakloněné rovině klouzalo bez tření? 8C. Plná koule o hmotnosti 4,00 kg se valí vzhůru po nakloněné rovině se sklonem 30.0 . Počáteční rychlost jejího těžiště má velikost 5,0 rms-1. (a) Vypočtěte počáteční kinetickou energii koule, (b) Jakou dráhu koule po nakloněné rovině urazí, než vystoupí do bodu obratu? (c) Závisí odpověď na otázku (b) na hmotnosti koule? 9U. Na kolo o hmotnosti 10 kg a poloměru 0,30 m působí stálá vodorovná síla o velikosti 10N (obr. 12.31). Kolo se valí bez klouzání po vodorovné rovině a zrychlení jeho těžiště je 0,60m-s~2. (a) Určete velikost a směr třecí síly působící na kolo. (b) Vypočtěte moment setrvačnosti kola vzhledem k ose vedené jeho těžištěm kolmo k jeho rovině. Obr. 12.31 Úloha 9 10Ú. Automobil jede rychlostí 80 km/h ve směru kladné osy x. Průměr pneumatik je 66 cm. Vc vztažné soustavě spojené s automobilem určete rychlost a zrychlení (a) středu kola, (b) bodu na vrcholu pneumatiky, (c) bodu dotyku pneumatiky se silnicí, (d) Úlohy (a), (b) a (c) řešte i ve vztažné soustavě spojené se silnicí. 11Ú. Těleso o poloměru R a hmotnosti m se valí bez klouzání po vodorovné podlaze rychlostí v. V určitém okamžiku najede na nakloněnou rovinu a začne podél ní stoupat. Bod obratu leží ve výšce h = 3v2/(4g) nad úrovní podlahy, (a) Určete moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose vedené jeho těžištěm, (b) O jaké těleso se pravděpodobně jedná? 12Ú. Homogenní koule je uvolněna z klidové polohy v nej-vyšším bodě dráhy znázorněné na obr. 12.32 a valí se po ní bez klouzání. Dráha končí nad bodem A, který je v obrázku vyznačen. V okamžiku, kdy koule opustí dráhu, má její rychlost vodorovný směr. Pro hodnoty H = 6,0 m a h = 2,0m zjistěte, jak daleko od bodu A dopadne koule na podlahu. T A i Obr. 12.32 Úloha 12 13U. Kulička o poloměru r a hmotnosti m se může valit bez klouzání po vnitřním povrchu nádoby polokulovčho tvaru o poloměru R. Kuličku uvolníme z klidové polohy na okraji nádoby. (a) Určete její kinetickou energii v nejnižším bodě trajektorie. (b) Jaká část vypočtené hodnoty odpovídá otáčivému pohybu kuličky vzhledem k ose vedené jejím těžištěm? (c) Určete fla-kovou sílu, jíž působí kulička na polokouli v nejnižším bodě své trajektorie. Předpokládejte, že poloměr kuličky r je mnohem menší než poloměr nádoby R. 14U. Válec o poloměru 10 cm a hmotnosti 12 kg byl volně puštěn po šikmé střeše se sklonem 30° (obr. 12.33) a valí sc po ní bez klouzání. Poté, co urazí dráhu 6,0 m, dospěje k okapu a spadne, (a) Určete jeho úhlovou rychlost vzhledem k ose vedené jeho těžištěm v tomto okamžiku, (b) Stěna domu je vysoká 5.0 m. Jak daleko od okapu dopadne válec na zem? Obr. 12.33 Úloha 14 15Ú. Malá plná kulička o hmotnosti m a poloměru r se valí bez klouzání po nakloněné rovině zakončené smyčkou podle obr. 12.34. Kulička byla uvolněna ve výšce h nad úrovní vodorovné podlahy, (a) Určete nejmenší hodnotu h. při které kulička ještě projde vrcholem smyčky. Poloměr R smyčky je mnohonásobně větší než poloměr /• kuličky, (b) Pro hodnotu h = 6R vypočtěte vodorovnou složku síly, kterou působí dráha na kuličku v bodě Q. 322 KAPITOLA 12 VALENÍ, MOMENT SÍLY A MOMENT HYBNOSTI Obr. 12.34 Úloha 15 16U. Koule o poloměru R = 11 cm byla vržena po vodorovné podlaze s počáteční rychlostí vo = 8,5 m-s-1 a nulovou počáteční úhlovou rychlostí coo = 0. Koeficient dynamického tření mezi koulí a podlahou j c 0,21. Zpočátku koule po podlaze klouže. Vlivem dynamické třecí síly (obr. 12.35) F(i a jejího nenulového Obr. 12.35 Úloha 16 momentu vzhledem k těžišti je nenulové jak zrychlení těžiště koule, tak její úhlové zrychlení. Velikost rychlosti posuvného pohybu koule v klesá a její úhlová rychlost co naopak roste. V určitém okamžiku přestane koule po podlaze klouzat a začne se valit. Rychlost jejího těžiště vj i úhlová rychlost co se od té chvíle přestanou měnit, (a) Zapište vztah mezi „ustálenými" hodnotami vj a co. Zjistěte, (b) s jakým zrychlením se pohybovalo těžiště koule a (c) jaké bylo její úhlové zrychlení do okamžiku, než se začala valit bez klouzání, (d) Jak dlouho koule klouzala a (e) jakou dráhu přitom urazila? (f) Určete hodnotu vj v okamžiku, kdy se koule začala valit. ODST. 12.2 Jojo 17C. Jojo o hmotnosti 120 g mámoment setrvačnosti950 g-cm. Poloměr jeho osičky 3,2 mm a vlákno má délku 120 cm. Jojo je zpočátku v klidu a po uvolnění se odvaluje podél vlákna dolů. (a) Určete jeho zrychlení, (b) Určete okamžik, kdy jojo dospěje na konec vlákna, a zjistěte hodnoty následujících veličin v tomto okamžiku: (c) rychlost, (d) kinetickou energii posuvného pohybu, (e) kinetickou energii otáčivého pohybu, (f) úhlovou rychlost. 18U. Předpokládejme, že na rozdíl od předchozího cvičení nebylo jojo uvolněno z klidové polohy, ale vrženo svisle dolů počáteční rychlostí o velikosti 1,3 m-s~'. (a) Za jak dlouho dorazí jojo na konec vlákna nyní? Vypočtěte v tomto okamžiku jeho (b) celkovou kinetickou energii, (c) rychlost, (d) kinetickou energii posuvného pohybu, (e) úhlovou rychlost a (f) kinetickou energii otáčivého pohybu. ODST. 12.3 Ještě jednou moment síly 19C. Pro r = xi + yj + zk a F = Fxi + Fyj + Fzk dokažte, že moment síly M = r x F je dán vztahem M = (yFz - zF,)i + (ZFX - xFz)j + (xFy - yFx)k. 20C. Dokažte následující tvrzení: Průmět momentu síly M — — r x F do roviny vektorů r a F je nulový. 21C. Na malý míček umístěný v bodě (—2,0 m; 0; 4,0 m) působí síla F, která má nenulovou pouze jedinou složku. Určete velikost a směr momentu této síly vzhledem k počátku soustavy souřadnic v následujících případech: (a) Fx = 6,0N, (b) Fx = —6,ON, (c) F- = 6,0N a (d) Fz = -6,0N. 22C. Na částici v bodě o souřadnicích (0; —4.0 m; 3,0 m) působí (a) síla F o složkách F]x = 2,ON a F]y = F\z = 0, (b) síla F2 o složkách F2x = 0, F2y = 2,0 N a F2: = 4,0 N. V obou případech vypočtěte velikost a směr momentu síly vzhledem k počátku soustavy souřadnic. 23Ú. Síla F = (2.0.N)/ - (3,0N)fc působí na kamínek, jehož poloha vzhledem k počátku soustavy souřadnic je dána vektorem r = (0,50m)/ — (2,0m)/r. Vypočtěte moment této síly (a) vzhledem kpočátku soustavy souřadnic, (b) vzhledem kbodu o souřadnicích (2,0m; 0; —3,0m). 24Ú. Na částici v poloze určené souřadnicemi (3,0 m; —2,0 m; 4.0m) působí (a) síla F, = (3,ON)/ - (4, ON)/ + (5,0N)fr, (b) síla F2 = (-3,0N)i - (4,ON)/ - (5,0N)fe, (c) výslednice sil F\ a Fz. Ve všech případech vypočtěte moment síly vzhledem k počátku soustavy souřadnic. 25Ú. Na částici v bodě o souřadnicích (0; — 4,0m; 5.0m) působí síly F\ = (3,QN)fe a F2 = (-2,0 N)/. Vypočtěte jejich výsledný moment vzhledem k počátku soustavy souřadnic. 26U. Na částici o poloze r = (3,0 m)/ + (4,0m); působí síla F = (-8,0N)/+ (6,0 N)y. Vypočtěte (a) moment léto síly vzhledem k počátku soustavy souřadnic a (b) úhel mezi vektory r a F. ODST. 12.4 Moment hybnosti 27C. Soustava na obr. 12.36 je složena ze dvou pohybujících se těles. Vypočtěte její celkový moment hybnosti vzhledem k bodu O. 6,5 kg 2,2 m/s 1,5 m 3,6 m/s -2,8 m - 3,1 kg Obr. 12.36 Cvičení 27 28C. Letadlo o hmotnosti 1 200 kg letí rychlostí 80m-s"1. Letí po přímce ve stálé výšce 1.3 km nad zemí. Vypočtěte velikost jeho momentu hybnosti vzhledem k bodu, který leží na zemském povrchu přímo pod ním. 29C. Částice o hmotnosti 2,0 kg je právě v poloze určené vektorem r (r = 3,0 m) a má rychlost v (v = 4,0m-s_l) (obr. 12.37). Síla F (F = 2,0 N), která na ni působí, leží v rovině vektorů r a v. Vypočtěte vzhledem k počátku soustavy souřadnic (a) moment hybnosti částice a (b) moment síly F. CVIČENÍ & ÚLOHY 323 x Obr. 12.37 Cvičení 29 30C. Pomoci rov. (12.26) lze ze zadaných hodnot r, p a cp určit moment hybnosti částice. V některých případech jsou však místo velikostí vektorů rapa úhlu mezi nimi zadány pouze jejich složky (x, y, z) a (vx, vv. vz). (a) Dokažte, že složky momentu hybnosti částice I jsou dány vztahy Lx = m(yvz — zvy), Ly = = m(zvx — xvz) a Lz = m(xvy — yvx). (b) Dokažte, že při pohybu částice v rovině xy má její moment hybnosti nenulovou jedině z-ovou složku. 31C. Částice má v bodě o polohovém vektoru r = 2,0/ — 2,0 0 vyjádřete (a) moment hybnosti autíčka vzhledem k počátku soustavy souřadnic a (b) moment síly, která na ně působí, vzhledem k témuž vztažnému bodu. Opakujte výpočet (a) a (b) pro vztažný bod o souřadnicích (c) (2,0m; 5,0m; 0), (d) (2,0m; -5,0m. 0). 40Ú. V okamžiku / = 0 je poloha částice o hmotnosti 2,0 kg dána polohovým vektorem r = (4,0 m)/— (2,0 ní)/. Její rychlost závisí na čase vztahem v = (—6,0/. m-s-1)/ + (3,0m-s_l)}. Pro libovolný okamžik t > 0 vyjádřete (a) moment hybnosti částice, (b) výsledný moment sil, které na ni působí. Za vztažný bod pro výpočet momentů zvolte počátek soustavy souřadnic, (c) Výpočet částí (a) a (b) zopakujte pro vztažný bod (-2.0 m; -3,0 m; Om). 41Ú. Kulka o hmotnosti m je vystřelena ze země počáteční rychlostí o velikosti vq pod elevačním úhlem 9q. (a) Vyjádřete její moment hybnosti vzhledem k místu výstřelu v závislosti na čase. (b) Jak rychle se moment hybnosti mění? (c) Vypočtěte velikost vektoru r x F přímo a porovnejte ji s výsledkem úlohy (b). Proč jsou oba výsledky shodné? ODST. 12.7 Moment hybnosti tuhého tělesa vzhledem k pevné ose 42C. Brusný kotouč s momentem setrvačnosti 1,2-10~3 kg-m2 je připojen k motoru, který na něj působí silou s momentem 16 N-m. Určete (a) moment hybnosti kotouče vzhledem k ose vedené jeho středem a (b) jeho úhlovou rychlost po uplynutí doby 33 ms od zapnutí motoru. 43C. Velikost momentu hybnosti setrvačníku vzhledem k ose vedené jeho středem se během 1,50 s zmenšila z 3,00kg-m2/s na 0.800 kg-m /s. Těleso má vzhledem k této ose moment setrvačnosti 0.140kg-m'. (a) Určete průměrný moment sil, které na setrvačník při jeho brzdění působily, vzhledem k ose otáčení, (b) Vypočtěte celkový úhel otočení setrvačníku během brzdění 324 KAPITOLA 12 VALENÍ, MOMENT SÍLY A MOMENT HYBNOSTI za předpokladu, že bylo rovnoměrné, (c) Jakou práci vykonaly brzdné síly? (d) Jaký byl jejich průměrný výkon? 44C. Tři čáslice se stejnými hmotnostmi m jsou navzájem spojeny třemi vlákny délky / a připojeny k ose otáčení vedené bodem O (obr. 12.38). Hmotnost vláken je zanedbatelná. Soustava částic se otáčí kolem této osy s úhlovou rychlostí co tak, že čáslice leží na přímce. Pomocí veličin m, l a co vyjádřete (a) moment setrvačnosti soustavy vzhledem k bodu O, (b) momenl hybnosti prostřední částice vzhledem k témuž bodu a (c) celkový moment hybnosti soustavy vzhledem k bodu O. Obr. 12.38 Cvičení 44 45C. Homogenní tyč se otáčí ve vodorovné rovině kolem svislé osy vedené jejím koncem. Délka tyče je 6,00 m, tíhová síla má velikost 10,0 N. Tyč se otáčí úhlovou rychlostí 240 ot/min ve směru otáčení hodinových ručiček při pohledu shora, (a) Vypočtěte moment setrvačnosti tyče vzhledem k ose otáčení a (b) její moment hybnosti vzhledem k této ose. 46Ú. Na obr. 12.39 je znázorněno tuhé těleso, které se skládá z kruhové obruče o poloměru R = 0,50 m a hmotnosti m = = 2.0 kg a ze čtverce vyrobeného ze čtyř stejných tenkých tyčí o délce R a hmotnosti m. Těleso se otáčí konstantní úhlovou rychlostí kolem svislé osy s periodou 2,5 s. Vypočtěte (a) moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose otáčení a (b) jeho moment hybnosti vzhledem k této ose. -osa otáčení Obr. 12.39 Úloha 46 47U. Kola A a B na obr. 12.40 jsou spojena neprokluzujícím řemenem. Poloměr kola B je třikrát větší než poloměr kola A. Určete poměr momentů setrvačnosti kol /a//b víte-li, že mají (a) stejný moment hybnosti vzhledem k osám otáčení, nebo (b) stejnou kinetickou energii otáčivého pohybu. 48U. Síla F (i) působí po krátkou dobu Aŕ na rotující tuhé těleso s momentem setrvačnosti /. Ukažte, že platí / Obr. 12.40 Úloha 47 kde R je rameno síly, F průměrná hodnota síly F v časovém intervalu Af a to\, oj( jsou úhlové rychlosti tělesa na začátku a na konci intervalu At. (Veličina f M dl = FRAi st nazývá, impulz momentu síly, v analogii s impulzem síly F At.) 49Ú*. Dva válce s poloměry R\ a Rj se mohou volně otáčet kolem svých os (obr. 12.41). Odpovídající momenty setrvačnosti vzhledem k těmto osám jsou /] a h. Zpočátku se větší válec otáčí úhlovou rychlostí coq. Menší válec je v klidu a v určitém okamžiku se dotkne většího válce. Vlivem třecí síly se začne rovněž roztáčet. Po jisté době přestanou válce klouzat a od té chvíle se budou otáčet stálými úhlovými rychlostmi v opačných směrech. Vyjádřete úhlovou rychlost &>2 menšího válce pomocí veličin I\, F, R\, R% a coq. (Tip: Moment hybnosti soustavy ani její kinetická energie sc nezachovávají. Použijte vztah pro impulz momentu síly z úlohy 48.) h ...... Obr. 12.41 Úloha 49 Mát = FRAt = l(co( - cd,), ODST. 12.8 Zákon zachování momentu hybnosti 50C. Rotor elektrického motoru má vzhledem k ose své rotační symetrie moment setrvačnosti Im = 2,0-10~3 kg-m2. Motor je umístěn na palubě vesmírné sondy a slouží ke změně její orientace. Moment setrvačnosti sondy vzhledem k její ose, rovnoběžné s osou motoru, je 7S = 12 kg-m2. Vypočtěte, kolik otáček musí rotor vykonal, aby se sonda pootočila kolem své osy o úhel 30°. 51C. Člověk stojí s upaženýma rukama na desce, která se otáčí bez tření úhlovou rychlostí 1,2 ot/s. V každé ruce drží závaží. Moment setrvačnosti soustavy človčk+závaží+podložka vzhledem k ose otáčení má hodnotu 6,0 kg-m2. Člověk připaží a zmenší tak moment setrvačnosti soustavy na hodnotu 2.0 kg-m2. (a) Jakou úhlovou rychlostí se potom bude deska otáčet? (b) Určete poměr výsledné a počáteční kinetické energie soustavy, (c) Odkud se vzala „přebytečná" kinetická energie? 52C. Dva kotouče jsou připojeny k ose pomocí ložisek a mohou se volně otáčet bez tření. Posouváním kotoučů podél osy lze docílit jejich spojení v jedno těleso, (a) První kotouč, jehož moment setrvačnosti vzhledem k ose otáčení je 3,3 kg-m2, byl roztočen úhlovou rychlostí 450 ot/min. Druhý kotouč s momen- CVIČENÍ & ÚLOHY 325 tem setrvačnosti 6,6 kg-m2 má uhlovou rychlost 900 ot/min. Kotouče se otáčejí souhlasně, (a) Určete společnou úhlovou rychlost kotoučů po jejich spojení, (b) Zodpovězte otázku (a) pro případ, že se kotouče před spojením otáčejí úhlovými rychlostmi 900 ot/min v opačných směrech. 53C. Kolo se volně otáčí úhlovou rychlostí 800 ot/min. Druhé kolo má dvakrát větší moment setrvačnosti a je zpočátku v klidu. V jistém okamžiku připojíme druhé kolo k hřídeli prvního kola. Hřídel má zanedbatelný moment setrvačnosti, (a) Určete výslednou úhlovou rychlost soustavy kol na hřídeli, (b) Určete změnu kinetické energie soustavy při spojení kol. 54C. Moment setrvačnosti rotující hvězdy se zmenšil na jednu třetinu své původní hodnoty. Určete poměr výsledné a počáteční kinetické energie otáčivého pohybu hvězdy. 55C. Předpokládejme, že by Slunce spotřebovalo všechno jaderné palivo a náhle se smrštilo v bílého trpaslíka s poloměrem shodným s poloměrem Země. Jaká by byla nová perioda otáčení Slunce za předpokladu, že by se při smršťování neztratila žádná sluneční hmota? Současná perioda otáčení Slunce je asi 25 dní. 56C. Malý kolotoč má poloměr 1,20 m a hmotnost 180 kg. Jeho gyrační poloměr (úloha 58 v kap. 11) je 91,0 cm. Kolotoč je zpočátku v klidu. Chlapec o hmotnosti 44,0 kg běží rychlostí 3,00 m-s~' po přímé dráze, která se dotýká obvodu kolotoče. V bodě dotyku hoch na kolotoč naskočí. Zanedbejte tření v ložiscích a vliv hřídele kolotoče a vypočtěte (a) moment setrvačnosti kolotoče vzhledem k ose otáčení, (b) moment hybnosti běžícího chlapce vzhledem k ose otáčení kolotoče a (c) výslednou úhlovou rychlost kolotoče a chlapce. 57C. Vodorovná kruhová deska se otáčí bez tření kolem svislé osy vedené jejím středem. Deska má hmotnost 150kg, poloměr 2,0 m a moment hybnosti 300kg-m2 vzhledem k ose otáčení. Člověk o hmotnosti 60 kg pomalu kráčí od obvodu desky k jejímu středu. V okamžiku, když se nacházel na obvodu desky, byla úhlová rychlost soustavy deska + člověk 1,5 rad/s. Určete úhlovou rychlost soustavy v okamžiku, kdy je člověk vzdálen od osy otáčení o 0,50 m? 58C. Ráfek bicyklového kola má hmotnost 3,79 kg a poloměr 34,7 cm. Může se otáčet v ložisku bez tření. Člověk stojí na otočné stoličce a drží kolo nad hlavou tak, aby jeho osa byla svislá. Kolo se otáčí úhlovou rychlostí 57,7 rad/s ve směru chodu hodinových ručiček při pohledu shora. Otočná stolička je zpočátku v klidu. Moment setrvačnosti soustavy kolo + člověk + stolička vzhledem ke společné ose otáčení je 1,36 kg-m2. Člověk volnou rukou náhle zastaví otáčení kola (vzhledem ke stoličce). Určete výslednou úhlovou rychlost (velikost a směr) soustavy. Moment setrvačnosti loukotí a středního ložiska kola zanedbejte. 59Ú. Dva bruslaři o hmotnostech 50kg se přibližují po rovnoběžných přímých drahách vzdálených o 3,0 m. Rychlosti brus-lařů mají stejnou velikost l,4m-s~l, jsou však opačně orientovány. První bruslař svírá v rukou konec dlouhé tyče zanedbatelné hmotnosti. Druhý bruslař uchopí tyč v okamžiku, kdy ji míjí (obr. 12.42). Tření mezi bruslemi a ledem považujeme za zanedbatelné, (a) Popište kvantitativně pohyb bruslařů po je- jich spojení, (b) Ručkováním podél tyče se bruslaři přiblížili na vzdálenost 1,0 m. Určete výslednou úhlovou rychlost soustavy. (c) Vypočtěte kinetickou energii bruslařů ve stavech (a) a (b). (d) Odkud se vzala „přebytečná" kinetická energie? Obr. 12.42 Úloha 59 60Ú. Dvě děti o stejných hmotnostech m sedí na opačných koncích úzké desky o délce L a hmotnosti m shodné s hmotností dítěte. Deska se může otáčet bez tření kolem svislé osy vedené jejím středem, (a) Vypočtěte moment setrvačnosti desky s dětmi vzhledem k ose otáčení, (b) Určete moment hybnosti soustavy, otáčí-li se úhlovou rychlostí &>o ve směru otáčení hodinových ručiček při pohledu shora. Určete směr vektoru momentu hybnosti, (c) Během otáčení se děti posunuly podél desky a zmenšily svou vzdálenost od osy otáčení na polovinu původní hodnoty. Vyjádřete výslednou úhlovou rychlost soustavy pomocí lůq. (d) Vypočtěte změnu kinetické energie soustavy. Jak vznikla „přebytečná" kinetická energie? Při výpočtech nahraďte desku tenkou tyčí. 61U. Koleje dětského vláčku leží na velkém kole o hmotnosti m a poloměru R, které se může volně otáčet bez tření kolem svislé osy (obr. 12.43). Na kolejích stojí vláček o hmotnosti m'. Soustava je v klidu. Vláček uvedeme do pohybu rychlostí v vzhledem ke kolejím. Vypočtěte úhlovou rychlost w kola. Při výpočtu nahradťe kolo obručí a zanedbejte hmotnost loukotí a středního ložiska. Obr. 12.43 Úloha 61 62Ú. Moucha o hmotnosti m se pohybuje proti směru chodu hodinových ručiček po obvodu kruhového talíře, který se může bez tření otáčet kolem svislé osy. Talíř má poloměr R a moment setrvačnosti /. Rychlost mouchy vzhledem k zemi je u, talíř se otáčí úhlovou rychlostí cůq ve směru chodu hodinových ručiček. Moucha se najednou zastaví, (a) Jaká je výsledná úhlová rychlost talíře? (b) Zachovala se mechanická energie soustavy? 326 KAPITOLA i 2 VALENÍ, MOMENT SÍLY A MOMENT HYBNOSTI 63Ú. Děvče o hmotnosti m stojí na obvodu kolotoče o poloměru R a momentu setrvačnosti /. Kolotoč se může otáčet bez tření kolem svislé osy, zpočátku je však v klidu. Děvče hodí kámen o hmotnosti m' vodorovným směrem tečně k obvodu kolotoče. Rychlost kamene vzhledem k zemi je v. Vypočtěte (a) výslednou úhlovou rychlost kolotoče a (b) obvodovou rychlost děvčete na kolotoči. 64U. Gramofonová deska o hmotnosti 0,10 kg a poloměru 0,10 m se otáčí kolem svislé osy vedené jejím středem úhlovou rychlostí 4,7 rad/s. Moment setrvačnosti desky vzhledem k ose otáčení je 5,0-10 kg-m2. Na desku spadne hrudka tmelu o hmotnosti 0,020 kg a zůstane přilepena na jejím obvodu. Určete úhlovou rychlost desky po dopadu tmelu. 65U. Tenká homogenní tyč o délce 0,50 m a hmotnosti 4,0 kg se může otáčet ve vodorovné rovině kolem svislé osy vedené jejím středem. Tyč je zpočátku v klidu. Na konec tyče narazí střela o hmotnosti 3,0 g. Dráha střely je vodorovná a svírá s osou tyče úhel 60° (obr. 12.44). Střela se do tyče zaryje a roztočí ji úhlovou rychlostí 10 rad/s. Jakou rychlostí střela do tyče narazila? osa otáčení -\ Obr. 12.44 Úloha 65 66U. Moucha o hmotnosti m sedí na obvodu homogenního kotouče o hmotnosti 10,Om, který se může volně otáčet kolem svislé osy vedené jeho středem. Zpočátku se kotouč s mouchou otáčí úhlovou rychlostí »o- Moucha přejde po kotouči směrem k jeho středu a zastaví se v bodě vzdáleném od středu o polovinu polomčru kotouče, (a) Určete změnu úhlové rychlosti Aco soustavy kotouč + moucha, (b) Vypočtěte poměr E^/E^o výsledné a počáteční kinetické energie soustavy, (c) Jak vznikl přírůstek kinetické energie? 67U. Homogenní kotouč o hmotnosti 10m a poloměru 3,0r se může volně otáčet kolem pevné svislé osy vedené jeho středem. Menší homogenní kotouč o hmotnosti m a poloměru r leží na povrchu většího kotouče tak, že jejich osy symetrie splývají. Zpočátku se oba kotouče otáčejí společně úhlovou rychlostí o velikosti 20 rad/s. Vlivem malé poruchy se menší kotouč vychýlí ze své původní polohy a klouže po velkém kotouči až k jeho obvodu, kde sc zachytí. Poté se oba kotouče opět otáčejí společně, bez prokluzování. (a) Vypočtěte výslednou úhlovou rychlost velkého kotouče, (b) Vypočtěte poměr -Ek,f/£)c.i výsledné a počáteční kinetické energie soustavy kotoučů. 68U. Znečištění atmosféry prý může způsobit zvýšení průměrné teploty a roztavení polárních čepiček. Kdyby se polární ledové čepičky Země rozpustily a voda se vrátila do světového oceánu, zvětšila by sc hloubka oceánu asi o 30 m. Jaký vliv by tato změna měla na otáčení Zemč? Odhadněte, jak by se změnila délka dne. 69Ú*. Částice o hmotnosti m klouže po dokonale hladké skluzavce na obr. 12.45. Narazí na homogenní svislou tyč a spojí se s ní. Po nárazu se tyč otočí kolem bodu O o úhel 6. Vyjádřete tento úhel pomocí veličin uvedených na obrázku. Obr. 12.45 Úloha 69 70Ú*. Dva míče o hmotnostech 2,00 kg jsou připevněny ke koncům tenké tyče délky 50,0 cm zanedbatelné hmotností. Tyč se může otáčet bez tření kolem vodorovné osy vedené jejím středem. V okamžiku, kdy má tyč vodorovnou polohu, dopadne na ni hrudka tmelu o hmotností 50,0g rychlostí 3,00m-s_1 a zůstane s ní spojena (obr. 12.46). (a) Určete výslednou úhlovou rychlost tyče. (b) Vypočtěte poměr výsledné a počáteční kinetické energie soustavy tyč s míči + hrudka, (c) Vypočtěte úhlovou výchylku tyče z vodorovné polohy v okamžiku, kdy je její okamžitá úhlová rychlost nulová (bod obratu). kousek tmelu osa otáčení —, \ 1 Obr. 12.46 Úloha 70 ODST. 12.9 Kvantovaný moment hybnosti 71C. Jakou hodnotu má složka spinového momentu hybnosti elektronu do libovolného pevného směru? 72C. Kladný pion se může spontánně rozpadnout na kladný mion (p.+) a neutrino (v): 7T+ -» /2+ + V. Má-li neutrino ms = +i, vypočtěte (a) kvantové číslo ms a (b) spinový moment hybnosti .S' kladného mionu. 73C. Dva protony, které se sráží velkými rychlostmi, se mohou přeměnit na tři protony a antiproton: p + p-^p + p + p + p. Vypočtěte orientaci spinového momentu hybnosti produktů reakce (nahoru nebo dolů), víte-li, že oba protony mají spinové momenty hybnosti orientovány nahoru. CVIČENÍ & ÚLOHY 327 PRO POCITAC 74Ú. Kuželková koule se obvykle bezprostředně po vrhu nejprve smýká a teprve pak se valí bez klouzání. Během smýkání na ni působí dynamická třecí síla, která zpomaluje její posuvný pohyb a urychluje její otáčení. Koule se přestane smýkal v okamžiku, kdy je wR = v. kde co je úhlová rychlost, R je poloměr koule a v rychlost jejího těžiště. Na kouli působí třecí síla o velikosti F = fúN, kde /j je koeficient dynamického tření a íV je velikost normálové síly. Protože je dráha koule vodorovná, platí N = mg, kde m je hmotnost koule. Moment třecí síly je M = F R. Koule má hmotnost 7,25 kg a poloměr 10,9 cm, její moment setrvačnosti přibližně odpovídá momentu setrvačnosti homogenní koule. Sestavte počítačový program pro výpočet časových závislostí úhlové rychlosti a rychlosti těžiště koule a vypočtěte tyto hodnoty s krokem 0,1 s od okamžiku vrhu až do doby, kdy se koule začne valit. Za koeficient dynamického tření dosaďte 0,35 a za počáteční hodnotu rychlosti koule 20 ms-1. Sestrojte grafy závislostí úhlové rychlosti a rychlosti koule na čase. Určete okamžik, kdy se koule přestane smýkat, a velikost její rychlosti v tomto okamžiku. (Touto rychlostí narazí koule do kuželek, neuvažujeme-li malý pokles rychlosti způsobený odporem vzduchu). Výpočty proveďte pro kouli, která (a) se zpočátku neotáčela, (b) byla vržena s počáteční úhlovou rychlostí 150 rad/s a otáčela se stejným směrem jako po skončení smýkání, (c) byla vržena se stejnou velikostí úhlové rychlosti jako v (b), ale směr otáčení byl opačný, (d) Jak musíme kouli hodit, aby narazila na kuželky největší možnou rychlostí? 75Ú. Střela o hmotnosti 0,15 kg je vypálena počáteční rychlostí 50ms~' pod elevačním úhlem 35". Odpor vzduchu je zanedbatelný, (a) Sestavte počítačový program pro výpočet časové závislosti momentu hybnosti střely vzhledem k místu výstřelu. Použijte numerické integrace. Moment hybnosti tabelujte s krokem 0,1 s až do okamžiku, kdy střela dopadne na vodorovnou rovinu. Sestrojte graf závislosti velikosti momentu hybnosti střely na druhé mocnině času a ověřte, že jc přímkový. Znázorněte závislost velikosti momentu tíhové síly na čase a ověřte, že i v tomto případě je grafem přímka. Při výpočtu použijte vztah M = r x F, kde r je polohový vektor střely vzhledem k vztažnému bodu a F je tíhová síla, která na ni působí. Platí pro získané výsledky také vztah M = analogický druhému Newtonovu pohybovému zákonu? (b) Započtěme nyní i vliv odporu vzduchu. Předpokládejme, žc mezní rychlost střely je vm = 75 m-s 1 a že zrychlení střely může být vyjádřeno ve tvaru a = —gj—bvv, kde b = g/v^„. Bude i nyní velikost momentu hybnosti přímo úměrná druhé mocnině času? Je velikost momentu síly opět lineární funkcí času? Pro obecně zvolený okamžik rozhodněte, zda je velikost výsledného momentu sil působících na střelu větší, nebo menší než v případě bez odporu vzduchu. Získané numerické výsledky fyzikálně interpretujte. 76Ú. V určitém okamžiku jc poloha částice vzhledem k počátku soustavy souřadnic dána vektorem d = (2,00 m)i + + (4.00 m); - (3,00 m)