Matematika pro
bystré a nadané žáky
Vyšlo také v tištěné verzi
Objednat můžete na
www.edika.cz
www.albatrosmedia.cz
Irena Budínová, Růžena Blažková,
Milena Vaňurová, Helena Durnová
Matematika pro bystré a nadané žáky – e-kniha
Copyright © Albatros Media a. s., 2016
Všechna práva vyhrazena.
Žádná část této publikace nesmí být rozšiřována
bez písemného souhlasu majitelů práv.
OBSAH
Úvod 5
1/ Nadané děti 6
1.1/ Nadané děti a jejich okolí 6
1.2/ Mýty o nadaných dětech 7
1.3/ Identifikace nadaných dětí 8
1.4/ Podvýkonnost 9
1.5/ Dvojí výjimečnost 10
1.6/ Škály charakteristik nadaných dětí 11
2/ Matematicky nadané děti 14
2.1/ Zkušenosti s nadanými žáky 15
3/ Tvorba úloh pro bystré a nadané děti 20
3.1/ Modifikace zadání 20
3.2/ Tvorba úloh s rostoucí náročností 24
4/ Úlohy 26
4.1/ Úlohy pro bystré a nadané prvňáčky 26
4.1.1/ Housenky 26
4.1.2/ Pyramidy 28
4.1.3/ Magické čtverce a sudočku 29
4.1.4/ Rovnoramenné váhy a houpačky 30
4.1.5/ Algebrogramy 31
4.1.6/ Slovní úlohy 32
4.2/ Schémata pro odvalování kostky 34
4.3/ Potrubí 36
4.4/ Hrajeme si s čísly 38
4.4.1/ Operace s čísly 38
4.4.2/ Rovnoramenné váhy 39
4.4.3/ Myslím si číslo 40
4.4.4/ Číselné obrazce a schémata 41
4.4.5/ Součty více čísel 42
4.4.6/ Jak jsou staří? 43
4.4.7/ Nahrazujeme písmena čísly – řešíme algebrogramy 44
4.4.8/ Úlohy o přelévání 44
4.4.9/ Skupiny o daném počtu 45
4.4.10/ Diofantické rovnice 46
4.4.11/ Úlohy se skupinami prvků 47
4.5/ Sledování zákonitostí 49
4.5.1/ Obrázkové řady 49
4.5.2/ Řady čísel 50
4.5.3/ Číselné řady sestavené do geometrických obrazců 51
4.5.4/ Slovní úlohy rozvíjející funkční myšlení 52
4.5.5/ Objevování zákonitostí, zobecňování 53
4.6/ Problémové úlohy 54
4.6.1/ Logické úlohy a matematické problémy 55
4.6.2/ Výměnný obchod 57
4.6.3/ Úlohy o penězích a o čase 58
4.6.4/ Úlohy o tyčinkách 59
4.6.5/ Matematická kouzla 59
4.7/ Rozvoj geometrické představivosti 60
4.8/ Početní geometrické úlohy 70
4.9/ Hledáme všechny možnosti 73
4.9.1/ Skupiny, ve kterých nejsou prvky uspořádány a neopakují se 74
4.9.2/ Skupiny, ve kterých záleží na pořadí prvků a prvky se neopakují 74
4.9.3/ Skupiny, ve kterých prvky nejsou uspořádány a mohou se opakovat 75
4.9.4/ Skupiny, ve kterých záleží na pořadí prvků a prvky se mohou opakovat 76
4.10/ Jednotažky a jiné grafy 78
4.10.1/ Kreslení grafů jedním tahem 78
4.10.2/ Hledání nejkratší cesty 81
5/ Výsledky cvičení 83
Literatura 95
Úvod — 5
ÚVOD
V problematice nadaných stále přetrvávají mýty jak mezi rodiči, tak mezi učiteli, které nadaným žákům
znesnadňují školní existenci. Tvrdí se například, že nadané děti nepotřebují zvláštní péči, protože si vystačí
samy. Nadané děti mohou mít všechna specifika jako ostatní děti a také různé poruchy učení.
Při své mnohaleté práci s nadanými žáky jsme se setkaly s několika dětmi mimořádně matematicky
nadanými, avšak s celou řadou dětí nadprůměrně nadaných nebo bystrých, a pak také s dětmi, které měly
k matematice velmi pozitivní vztah, přestože v ní nedosahovaly vynikajících výsledků. Každá tato skupina
byla velmi specifická a vyžadovala zvláštní přístup. Mimořádně matematicky nadané děti rády promýšlí
úlohy do hloubky, nerady používají nabízené algoritmy, mnoho úloh počítají „z hlavy“. Naproti tomu mezi
nadanými a bystrými dětmi byla většina těch, které rády kopírovaly naučený algoritmus, rády si „hrály
s čísly“, nepromýšlely problémy tolik do hloubky. Ani poslední skupinu dětí s pozitivním vztahem k matematice
nemůžeme přehlížet. Nejdůležitější je matematiku jim neznechutit, protože i tyto děti si mohou
zvolit profesi, v níž budou matematiku aktivně využívat.
Mezi dětmi dále byla řada dětí s tzv. dvojí výjimečností. Setkaly jsme se s žáky s kombinací nadání
a ADHD, či s poruchou učení, kteří se potýkali s nevstřícným přístupem vyučujících.
Potvrdily jsme si, že všeobecně nadané děti nemusí dosahovat v matematice takových výsledků, které
se od nich zpravidla očekávají. Matematicky nadané dítě obvykle vyniká jen v některých částech matematiky
– např. rádo počítá numerické výpočty (aritmetické myšlení), nebo se rádo zabývá závislostmi (algebraické
myšlení), nebo rádo zvažuje různé možnosti a hledá všechna řešení (kombinační myšlení), nebo
rádo řeší problémové a logické úlohy (rozvinutá logika), nebo rádo řeší početní geometrické úlohy, nebo
rádo maluje a rýsuje (geometrické myšlení). U některých dětí se setkáváme i s kombinací těchto přístupů,
avšak jen minimum nadaných dětí vyniká ve všech oblastech současně.
Pozorovaly jsme, jak děti přistupují k řešení problémů. Některá řešení byla velmi neočekávaná a originální.
Následuje teorie, která obsahuje některé v poznatky o nadaných dětech uvedené v literatuře, naše
zkušenosti, 34 řešených úloh a následně 294 neřešených úloh s výsledky pro nadané a bystré žáky.
Matematika pro bystré a nadané žáky6 —
1/ NADANÉ DĚTI
1.1/ Nadané děti a jejich okolí
Nadání je obtížně definovatelný pojem. V průběhu historie se definice nadání měnila podle toho, jak docházelo
k proměnám v chápání pojmu. Některé přístupy chápou nadání jako projev vynikajícího, nadprůměrného
výkonu, jiné jako potenciál podávat nadprůměrný výkon v jakékoli hodnotné oblasti, případně
jako potenciál rozvíjet svou kreativitu (Havigerová, 2011). Velmi častá je IQ definice, která jako nadaného
označuje každého, kdo má nadprůměrnou hodnotu inteligenčního kvocientu, obvykle IQ>130 (Havigerová,
2011). Tento přístup je výhodný z pohledu měřitelnosti a také srovnání výkonů nadaných jedinců.
Pro učitele matematiky však nemusí být příliš vypovídající, neboť nerozlišuje obor, ve kterém jedinec vyniká.
Také nezohledňuje motivaci jedince a zájem o matematiku.
My budeme nadání chápat jako dispozici k projevení nadprůměrných výkonů v jakékoli hodnotné oblasti
lidského snažení (Havigerová, Křováčová a kol., 2011, s. 5). Cílem výuky matematiky přitom je tento
potenciál objevit a rozvíjet jej tak, aby z něj dítě vytěžilo maximum.
Co ale znamená nadprůměrný výkon? Podle výše inteligenčního kvocientu lze odvozovat různé stupně
nadání. Inteligenční kvocient vyjadřuje hodnotu výkonu určitého jedince na stupnici, v níž číslo 100
znamená právě průměrný výkon. Čísla menší než 100 značí různé stupně podprůměrných výkonů a čísla
větší než 100 značí různé stupně nadprůměrných výkonů (Havigerová, 2011). Výkon lze rozdělit do určitých
intervalů. Ve výzkumech (např. Nordby, cit. dle Havigerová, 2011) jsou standardně užívány tyto
intervaly a označení:
IQ Označení úrovně kognitivních schopností jedince Výskyt v populaci
115–130 Bystrý jedinec 14 %
131–145 Nadprůměrně nadaný 2 %
141–160 Vysoce nadaný 0,1 %
161–175 Mimořádně nadaný1
176–190 Velmi vysoce nadaný
190+ „Nevyléčitelně“ nadaný
Toto rozdělení jsme shledaly jako velmi důležité, protože děti spadající do různých intervalů se odlišně
projevovaly v matematice. Bystré a nadprůměrně nadané děti měly tato specifika:
• Rády používaly osvojený algoritmus.
• Rády si „hrály“ s čísly, problémové úlohy jim činily potíže.
• Problémy nepromýšlely příliš do hloubky.
Mimořádně nadané děti se projevovaly odlišně:
• Nerady používaly osvojený algoritmus, snažily se najít vždy originální řešení. Úlohy, které pro ně byly
jednoduché či algoritmické, je obtěžovaly.
• Vyžívaly se v problémových úlohách. Problém rozebraly, našly řešení, které vždy nemuselo být správné.
• Nerady zapisovaly postup řešení, nebo neuměly zapisovat postup řešení, mnoho úloh (a to i těch náročnějších)
řešily „z hlavy“.
1 Dětí s IQ nad 160 je v populaci velmi malé procento, avšak i my jsme se s takovými dětmi setkaly.
Nadané děti — 7
1.2/ Mýty o nadaných dětech
Slovní spojení „nadprůměrný výkon“, které je často užíváno ve spojení s nadanými dětmi, vyvolává v mnoha
učitelích, rodičích a dalších dojem, že nadaní žáci se musí od raného dětství projevovat jednoznačně
pozitivně v oblasti svého nadání. To nadaným dětem velmi ztěžuje situaci. Jejich projevy zdaleka nemusí
být tak přímočaré, jak očekáváme, a nadání může zůstávat skryté.
Některé projevy nadaných dětí, jako jsou neobvyklé zájmy, zvláštní vzorce chování aj., vedly k tomu, že
se traduje mnoho názorů a předsudků o nadaných. Názory, resp. mýty o nadaných byly často dostatečným
důvodem k tomu, aby se nadaní lidé obávali přiznat a využívat svůj potenciál (Laznibatová, 2007).
Mezi rodiči a pedagogy vzniklo mnoho mýtů, které nadaným nepomáhají, ale naopak jejich vývoj
brzdí (Havigerová, Křováčová a kol., 2011, s. 10, Laznibatová, 2007):
• Nadaní dostali všechno bez námahy, zadarmo.
• Dokážou se uplatnit sami, bez pomoci a podpory okolí.
• Jsou od přírody samotáři, kteří nepotřebují ostatní, vystačí si sami.
• Vždy dokážou své schopnosti, vysoké nadání bez problémů ukázat, projevit.
• Musí být stejně dobří ve všech oblastech, např. ve všech předmětech ve škole, současně také ve sportu
atd.
• Musí být přísněji hodnoceni než ostatní.
• Vzhledem ke svému nadání musí být zodpovědnější než jejich vrstevníci a zodpovídat i za ně.
• Je pro ně velmi příjemný pocit, když jsou ostatním dáváni za vzor.
• Nejdůležitější je pro ně vysoké nadání.
• Pouze nadaní rodiče mohou mít nadané děti.
• Nadané děti jsou výtvorem ambiciózních rodičů.
• Z nadaných dětí se automaticky stávají géniové.
• Nadaní nemohou mít žádné problémy.
• Nadaní jsou schopní a úspěšní v praktickém životě.
• Nadaní se rádi učí, rádi chodí do školy.
• Nadaní dávají okázale najevo, že jsou lepší než ostatní.
• Pokud se budeme nadaným věnovat, budou ještě domýšlivější.
• Nadaní jsou sociálně nepřizpůsobiví.
• Nadaní jsou poslušní, spořádaní a „umějí se chovat“.
• Nadaní jsou u učitelů oblíbení a rádi s nimi pracují.
• Učitelé sami dokážou identifikovat nadané.
• Soustřeďování nadaných do speciálních tříd / škol vede k elitářství.
• Nebudou-li nadaní žáci začlenění v běžné třídě / škole, nenaučí se základním sociálním dovednostem.
• Jedině v běžné třídě získá nadané dítě cit pro sociální rozdíly, handicapy a naučí se pomáhat druhým.
• Nadaní se v běžné třídě rozvíjejí tím, že dělají pomocníka učiteli.
• Není vhodné dávat nadaným zvláštní úkoly během vyučování, oni si sami něco najdou ve volném čase,
sami se rozvinou a prosadí.
U nadaných dětí je nezbytné znát jejich osobnost, vývoj jejich individuality, souvislosti a kontexty, v nichž
se nacházejí, jejich silné a slabé stránky (Havigerová, Křováčková a kol., 2011).
Velmi důležitý je také vliv vrstevníků. Nadaní žáci touží zařadit se do třídního kolektivu, ale odlišnosti
ztěžují jejich sociální zařazení. Významným činitelem v tomto procesu je učitel. Najde-li nadaný žák porozumění
a podporu u autority, má výrazně usnadněný proces začleňování mezi vrstevníky (Havigerová,
Křiváčková a kol. 2011, s. 18). Učitel, zejména v nižších ročnících, je nositelem postoje, který k nadanému
dítěti zaujmou ostatní děti ve třídě.
Matematika pro bystré a nadané žáky8 —
1.3/ Identifikace nadaných dětí
Nadané děti bývají velmi často vnímány jako děti, které své nadání dávají jednoznačně najevo. Proto se
očekává, že se budou projevovat jako elita a budou dosahovat cílů jako olympijští vítězové nebo housloví
virtuózové.
Zodpovědnost za identifikování nadaných žáků nese škola, konkrétně učitel. Avšak také učitelé vnímají
nadané žáky často jako ty, kteří dělají věci jednodušeji, rychleji a lépe ve srovnání s vrstevníky. Nadaní
žáci se obvykle projevují jinak nežli spolužáci, avšak ne vždy v pozitivním slova smyslu. Učitel by měl být
připraven na různé situace a projevy nadaných žáků, aby je mohl správně identifikovat.
Z pedagogického hlediska je dále velmi podstatné rozlišovat mezi dětmi bystrými a mimořádně nadanými.
Bystré děti jsou šikovné, dobře se učí a vyhovují jim běžně používané výukové postupy a formy
učení. Mimořádně nadané děti často nejsou uspokojovány běžnými postupy, vyžadují individuální přístup.
Havigerová (2011) uvádí základní specifikace bystrého a nadaného dítěte, které učiteli mohou pomoci
v identifikaci nadaných dětí (s. 84). Tabulka vychází z rozdílů mezi mimořádně nadaným a bystrým dítětem,
které uvádí Cvetkovič-Ley (1995, cit. dle Laznibatová, 2007).
Bystré dítě Mimořádně nadané dítě
Zná odpovědi Klade otázky
Zajímá se Je až neodbytně zvědavé
Má dobré nápady Má neobvyklé nápady
Odpovídá na otázky Zajímá se o detaily, rozpracovává, dokončuje
Je vůdcem skupiny Je samostatné, často pracuje samo
Se zájmem naslouchá Projevuje silné emoce, přitom naslouchá
Lehce se učí Všechno již ví
Je oblíbené u vrstevníků Má raději společnost starších dětí a dospělých
Chápe významy Samostatně vyvozuje závěry
Vymýšlí úlohy a úspěšně je řeší Iniciuje projekty
Přijímá úkoly a poslušně je vykonává Úkoly přijímá kriticky, dělá jen to, co ho baví
Přesně kopíruje algoritmy úloh Vytváří nová řešení
Dobře se cítí ve škole Dobře se cítí při učení
Přijímá informace, vstřebává je Využívá informace, hledá nové aplikace
Dobře si pamatuje Kvalitně usuzuje
Je vytrvalé při sledování Velmi pozorně sleduje
Je spokojené se svým učením a výsledky Je velmi sebekritické
Učitel provádí prvotní identifikaci a doporučí návštěvu odborného pracoviště, které provede přesnou identifikaci.
Testy měřící nadání velmi často vycházejí z úrovně IQ. Jako hranice mezi bystrostí a nadprůměrným
nadáním byla mezinárodní organizací Mensa přijato IQ 130. Této hranice dosahují asi 2–3 % lidí
z celkové populace (Fořtík, Fořtíková, 2007, s. 14). Je však potřeba zopakovat, že o nadání nerozhoduje
pouze IQ, ale také například kreativita nebo některé charakterové a volní vlastnosti jedince. Inteligence
je vrozená kvalita každého jedince. Experti se dnes shodují, že vedle genů je stejně důležité prostředí, ve
kterém se jedinec nachází. Aby geny mohly být úspěšně využity, je potřeba podnětného prostředí, umožňujícího
správný vývoj (Dweck, 2006, s. 5).
Nadané děti — 9
Učitel by měl být připraven na to, že se u nadaných děti v důsledku jejich typických odlišností, jako
jsou např. úzkostlivější povaha, socioemocionální konflikty s okolním prostředím aj., mohou projevovat
různé problémy. Jsou to např. (Fořtík, Fořtíková, 2007, s. 36):
• Nerovnoměrný vývoj. Motorické schopnosti, zejména jemná motorika, často u nadaných dětí zaostávají
za rozumovými schopnostmi. Děti mohou vědět, co chtějí udělat, vyrobit nebo nakreslit, ale jejich
motorické schopnosti jim neumožňují stanoveného cíle dosáhnout. Důsledkem mohou být emocionální
výlevy nebo frustrace.
• Vrstevnické vztahy. Nadané děti se snaží organizovat své okolí, což nemusí být spolužákům příjemné.
• Rozsáhlá sebekritika. Nadané děti mívají vysoké cíle a uvědomují si, jak obtížná cesta vede k jejich
uskutečnění.
• Perfekcionismus. Nadané děti mají tendence plnit úkoly dokonale do posledního detailu, což je může
v některých ohledech brzdit.
• Vyhýbání se riskování. Nadaní žáci vidí mnohá úskalí v řešení určitých situací. To, že se vyhýbají
potenciálnímu problému, může vyústit v podvýkonnost.
• Multipotencialita. Nadané děti nezřídka vynikají ve více oblastech a mohou se angažovat v různorodých
aktivitách až do neúnosné míry. To může zásadně ovlivňovat chod rodiny.
• Dvojí výjimečnost. Fyzické handicapy mohou způsobovat sociální a emocionální problémy. Nadané
děti s postižením inklinují k sebehodnocení na základě svého postižení, nikoliv podle nadání, které by
mohlo tyto handicapy do jisté míry kompenzovat.
1.4/ Podvýkonnost
Podvýkonnými dětmi rozumíme nadané děti, které dlouhodobě školsky neprospívají a potřebují speciál-
ní péči.
Podvýkonnost nemusí být vždy znakem neschopnosti nebo znevýhodnění. Může se též jednat o projev
malého sebevědomí, touhy zapadnout do skupiny vrstevníků, nenaplnění očekávání od školního vzdě-
lávání.
Negativní indikátory podvýkonnosti můžeme rozdělit do tří kategorií (Thomson, 2006):
• Nižší výkon – výkon je nižší než intelektový potenciál, žáci odvádějí málo práce nebo téměř žádnou,
na které by byla patrná jejich mimořádná schopnost v určité oblasti.
• Odlišné chování – žáci mohou být agresivní, introvertní nebo vyrušující. Jejich skutečná schopnost
nemusí být jednoduše identifikovatelná kvůli negativnímu chování, které maskuje jejich potenciál.
• Znevýhodnění – žáci mohou trpět strachem ze selhání, nízkým sebevědomím nebo tlakem na přizpůsobení
a často potřebují podporu při poznávání obtíží spojených se znevýhodněním a pocitem
méněcennosti. Může se jednat o žáky pocházející ze znevýhodňujícího prostředí.
Základní znaky společné mnoha nadaným žákům, kteří se projevují jako podprůměrní, lze rozdělit do
charakteristik učení a chování. Jedná se zejména o následující (Thomson, 2006):
Charakteristiky nadaného žáka
• Má velmi vysoké IQ, avšak snaží se o přízeň vrstevníků, proto schopnosti zatajuje.
• Má chabé pracovní návyky, nedostatek snahy, nedokončuje práci.
• Obecně má malou schopnost koncentrace, ale dokáže se velmi zaujmout konkrétními činnostmi.
• Odmítá úlohy zadané učitelem, není schopen odpovídat na učitelova zadání.
• Není motivován výsledky, pouze strachem ze selhání, v nových podmínkách se nesnaží o pokusy ře-
šení.
• Je frustrován nečinností a nedostatkem podnětů.
• Má nedostatek sebeúcty, negativní přístup k sobě a vrstevníkům.
• Stanovuje si nerealisticky vysoké cíle.
Matematika pro bystré a nadané žáky10 —
• Projevuje cynický přístup a emocionální frustrace.
• Jeho nadání je potlačováno nedostatkem kreativních příležitostí.
• Často o všem diskutuje, ale má malou dovednost naslouchat.
• Je sociálně izolovaný, ale navenek předstírá, že si vystačí sám.
• Je citlivý na kritiku, ze svých neúspěchů obviňuje druhé.
• Používá humor v nevhodných situacích.
Charakteristiky chování
• Nedodržuje pravidla třídy, je konfrontační.
• Projevuje nedostatek pozornosti, ignoruje potřeby druhých.
• Zabraňuje druhým zabrat se do učení, vyrušuje.
• Kvůli chování si může znepřátelit spolužáky.
• Může se jevit znuděný, frustrovaný, tvrdohlavý a nespolupracující.
• Může se zdát, že zabíjí čas a je duchem nepřítomný.
• Nemá trpělivost se spolužáky, kteří přemýšlí pomaleji.
• Má tendence vznášet námitky a ptát se indiskrétně.
• Nekomunikuje dostatečně se spolužáky či učitelem.
• Sní za bílého dne.
• Preferuje samostatnou práci a věnuje se vlastním zájmům.
• Často nesplní zadaný úkol.
• Nechápe, proč ostatní nerozumí jeho pokusům o humor.
• Nechápe, proč ostatní neberou vážně jeho myšlenky a pocity.
• Cítí se omezený restrikcemi, pracuje vlastním způsobem a tempem.
1.5/ Dvojí výjimečnost
Dvojí výjimečnost je kombinace nadání a určitého postižení či specifických potíží, které mohou ovlivnit
učení. Sociální a behaviorální obtíže do této kategorie spadají pouze jako část jiných podmínek ovlivňujících
učení (Thomson, 2006, s. 26).
V současné době se setkáváme se zvyšujícím se tlakem na inkluzivní vzdělávání, a proto se každý učitel
pravděpodobně setká s dětmi s dvojí výjimečností. Jedná se o nadané děti s vývojovými poruchami – dyslexií,
dyspraxií, autismem, příp. Aspergerovým syndromem, ADHD, poruchami řeči. Tyto děti vyžadují
velmi individuální přístup a velkou trpělivost od učitele.
Velice náročné je pro učitele nadání v kombinaci s tzv. Aspergerovým syndromem2
. Děti s Aspergerovým
syndromem mohou mít problémy v sociální oblasti, vykazují neobvykle zvýšený zájem o určitá
témata, mají neobvyklý profil schopností s pozoruhodnou dlouhodobou pamětí, výjimečnou koncentraci
v oblastech jejich zájmu, originální a nezvyklé metody řešení problémů. Zdánlivě nemají zájem o komunikaci
s druhými, přitom většina lidí s Aspergerovým syndromem po kontaktu s nimi touží. Problémem je
to, že neví, jak v daných situacích reagovat. Mnohdy proto reagují nevhodným způsobem (zahlcují druhé
lidi svým tématem, křičí apod.) (Bělohlávková, 2013, s. 9). Jestliže se jim kontakt s druhými opakovaně
nezdaří, cíleně ho již nevyhledávají, nebo se mu dokonce úmyslně vyhýbají. Dětem je potřeba pomoci nácvikem
sociálních dovedností, zejména v oblastech emocí, verbální a neverbální komunikace, komunikace
a vztahů s druhými lidmi.
2 Aspergerův syndrom je charakterizován následovně (Preissmann 2000, s. 243): „Porucha určité nozologické validity charakterizovaná
stejným typem kvalitativních poruch vzájemné sociální interakce, typických pro autismus, spolu s omezeným stereotypem,
opakujícím se repertoárem zájmů a činností. Primárně se liší od autismu tím, že se u této poruchy nevyskytuje celkové zpoždění
nebo retardace řeči ani kognitivního vývoje.“