MA0004 Matematická analýza 1, 2. seminář
25. 2. 2025
Lukáš Másilko 2. cvičení 25. 2. 2025 1 / 6
Náplň cvičení
1 Hromadné body posloupnosti
Literatura a použité zdroje
Došlá, Z., Kuben, J. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné. MU:
Brno, 2004.
* Samková, L. Materiály k výuce v zimním semestru - Matematická
analýza 3. 2019. Dostupné zde:
http://home.pf.jcu.cz/~lsamkova/ma3.htm
# Voldánová, A. Posloupnosti a jejich hromadné body. Bakalářská
práce, 2007. Dostupné zde:
https://is.muni.cz/th/150974/prif b/
Lukáš Másilko 2. cvičení 25. 2. 2025 2 / 6
Hromadné body posloupnosti
Příklad 1: Vysvětlete, co je to hromadný bod posloupnosti. Pokud nevíte,
podívejte se sami do svých poznámek z přednášky, případně na mobilu.
Čas na rešerši: 3 minuty.
Lukáš Másilko 2. cvičení 25. 2. 2025 3 / 6
Hromadné body posloupnosti
Příklad 1: Vysvětlete, co je to hromadný bod posloupnosti. Pokud nevíte,
podívejte se sami do svých poznámek z přednášky, případně na mobilu.
Čas na rešerši: 3 minuty.
Vybraná podposloupnost a hromadný bod
Definice: Nechť {an}∞
n=1 je posloupnost a nechť {nk}∞
k=1 je rostoupcí
posloupnost přirozených čísel. Pak posloupnost {ank
}∞
k=1 se nazývá
vybraná podposloupnost z posloupnosti {an}∞
n=1.
Definice: Číslo a ∈ R∗ se nazývá hromadný bod posloupnosti {an}∞
n=1,
jestliže pro každé okolí O(a) existuje nekonečně mnoho indexů n ∈ N, pro
které platí, že an ∈ O(a).
Věta: Číslo a ∈ R∗ je hromadným bodem posloupnosti {an}∞
n=1 právě
tehdy, když existuje vybraná podposloupnost {ank
}∞
k=1 taková, že
limk→∞ ank
= a.
Lukáš Másilko 2. cvičení 25. 2. 2025 3 / 6
Hromadné body posloupnosti
Příklad 2: Najděte všechny hromadné body daných posloupností a určete
limitu superior a limitu inferior daných posloupností:
(a) an = (−1)n+3
(b) an = (−2)n
(c) an = (−1)n
n + 1+(−1)n
2
(d) an = (−1)n
· 2n
n+1
(e) an = tg (2n + 1) · π
4
(f) an = 1 + n
n+1 cos nπ
2
(g) an = sin n · π
3
(h) an = n−1
n+1 cos 2nπ
3
(i) an = 5 + 4 · cos n · π
3
(j) an = 5 + 4 · cosn n · π
3
Lukáš Másilko 2. cvičení 25. 2. 2025 4 / 6
Výsledky Příkladu 2
(a) H (an) = {−1, 1} , lim inf an = −1, lim sup an = 1
(b) H (an) = {−∞, ∞} , lim inf an = −∞, lim sup an = ∞
(c) H (an) = {0, 1} , lim inf an = 0, lim sup an = 1
(d) H (an) = {−2, 2} , lim inf an = −2, lim sup an = 2
(e) H (an) = {−1, 1} , lim inf an = −1, lim sup an = 1
(f) H (an) = {0, 1, 2} , lim inf an = 0, lim sup an = 2
(g) H (an) = −
√
3
2 , 0,
√
3
2 , lim inf an = −
√
3
2 , lim sup an =
√
3
2
(h) H (an) = −1
2, 1 , lim inf an = −1
2, lim sup an = 1
(i) H (an) = {1, 3, 7, 9} , lim inf an = 1, lim sup an = 9
(j) H (an) = {1, 5, 9} , lim inf an = 1, lim sup an = 9
Lukáš Másilko 2. cvičení 25. 2. 2025 5 / 6
Hromadné body posloupnosti
Příklad 3: Když máme tak hezké datum...
Udejte příklad posloupnosti, která má právě tři hromadné body 0, 2, 5.
Lukáš Másilko 2. cvičení 25. 2. 2025 6 / 6