MA0004 Matematická analýza 1, 5. seminář
18. 3. 2025
□ S1 ~ =
Lukáš Másilko 5. cvičení 18.3.2025 1/8
Náplň cvičení
□ Výpočet limity s pomoci ĽHospitalova pravidla
Literatura a použité zdroje
■ Zemánek, P., Hasil, P. Sbírka řešených príkladu z matematické analýzy I. Brno, 2012. Dostupné z: https://is.muni.cz/elportal/?id=980552
□    g     - =
Lukáš Másilko 5. cvičení 18.3.2025 2/8
ĽHospitalovo pravidlo
ĽHospitalovo pravidlo
Věta: Buď xq G M*. Necht je splněna jedna z podmínek
■ limx^Xo f (x) = limx^Xo g (x) = 0,
■ limx^X0 \g(x)\ = oc.
Existuje-li (vlastní nebo nevlastní) limx^Xo ^r^, pak existuje také
lim
H*)
a platí
lim    \ \ — lim    j) \.
x^xq g (x)       x^xq g'[X)
Poznámka: ĽHospitalovo pravidlo lze využít pro výpočet limit z neurčitých výrazů
±00       0 n
-, oc-oc,   O-oo,   0°,   ocu, 1°°.
±oc 0
o
Lukáš Másilko
5. cvičení
18. 3. 2025
3/8
Použití ĽHospitalova pravidla
Limity typu ,   g  se řeší ĽHospitalovým pravidlem přímo,
přičemž jej můžeme použít opakovaně.
Limity typu [oc — oc] se řeší úpravou výrazu a převodem na výše uvedené typy, například takto:
Limity typu [0 • oo] se řeší úpravou
f(x).g(x)=f-^-
0
ô
0
ô
Limity typu [0°] , [oo0 , [1°°] se řeší úpravou
f(x)*M = elnf(x)«(x) = eg(x)-lnf(x) = ro-oo"
a následným výpočtem limity z výrazu g (x) • In f (x), což vede na předchozí případ. « = i ^
Lukáš Másilko
5. cvičení
18. 3. 2025
4/8
Příklady na použití ĽHospitalova pravidla
Příklad 1: Vypočtěte následující limity:
x2-4
1
2
3
lim lim
x2-x-2 1—cosx
x^O x'smx In x
lim
x^l cos
4. lim
In x
x^o+ cotsx lim ^
x—>-oo x
Lukáš Másilko
5. cvičení
18. 3. 2025
5/8
Příklady na použití ĽHospitalova pravidla
Příklad 1: Vypočtěte následující limity:
x2-4
1
2
3
lim lim
x2-x-2 1—cosx
x^O x'smx In x
lim
x^l cos
4. lim
In x
x^o+ cotsx lim ^
x—>-oo x
Výsledky:
1.
L 3 J '
2.
L 2 J '
3.
7T
, 4. [0], 5. [0]
Lukáš Másilko
5. cvičení
18. 3. 2025
5/8
Příklady na použití ĽHospitalova pravidla
Příklad 1: Vypočtěte následující limity: 6.   lim x3 • In -
x^0+
X
7.   lim x • e
x^0+
i
x
8.   lim (1 — sin x) • tgx
9.   lim x • In x
x^0+
10.   lim Inx- ln(x- 1)
x^l+
Lukáš Másilko
5. cvičení
18. 3. 2025
6/8
Příklady na použití ĽHospitalova pravidla
Příklad 1: Vypočtěte následující limity: 6.   lim x3 • In -
x^0+
X
7.   lim x • e
x^0+
i
x
8.   lim (1 — sin x) • tgx
9.   lim x • In x
x^0+
10.   lim Inx- ln(x- 1)
x^l+
Výsledky:
6. [0], 7. [oo], 8. [0], 9. [0], 10. [0]
Lukáš Másilko
5. cvičení
18. 3. 2025
6/8
Příklady na použití ĽHospitalova pravidla
Příklad 1: Vypočtěte následující limity:
11. lim (cos3x)
x^O
x'
12.   lim x1-
x^l+
x
13.   lim (cotgx)
x^0+
i
In x
14. lim x2
x^O v  x 7
15. lim (cosfx)
x—^l-
In x
Lukáš Másilko
5. cvičení
18. 3. 2025
7/8
Příklady na použití ĽHospitalova pravidla
Příklad 1: Vypočtěte následující limity:
11. lim (cos3x)
x^O
x'
12.   lim x1-
x^l+
x
13.   lim (cotgx)
x^0+
i
In x
14. lim x2
x^O v  x 7
15. lim (cosfx)
x—^l-
In x
Výsledky:
9
11.
e 2
12.
i
Le
, 13. [±1 , 14.
_ 1
e e
15. [1]
Lukáš Másilko
5. cvičení
18. 3. 2025
7/8
Příklady na použití ĽHospitalova pravidla
Příklad 1: Vypočtěte následující limity:
X
x-1
In x
16. lim
17. lim (—í--4j)
18. lim (i -
Lukáš Másilko
5. cvičení
18. 3. 2025
8/8
Příklady na použití ĽHospitalova pravidla
Příklad 1: Vypočtěte následující limity:
X
x-1
In x
16. lim
17. lim (—í--4j)
18. lim (i -
Výsledky:
16.
1
2
, 17. [I] , 18. [0]
Lukáš Másilko
5. cvičení
18. 3. 2025
8/8