Konstrukční geometrie Poslední aktualizace: 24. února 2025, Vojtěch Žádník https://is.muni.cz/el/1441/j aro202 5/MA0007/ Cíle ► připomenout, zorganizovat a rozšířit stávající poznatky ► něco udělat, udělané vysvětlit, ... Proces ^ zapamatovat a zopakovat ► pochopit a použít ► rozlišovat a vysvětlovat ► přetvářet a vytvářet Kulisy ► geometrie Přehled celkový ► jaro 2025: konstrukční geometrie („syntetická") — pravítko, kružítko, trpělivost ► podzim 2025 a jaro 2026: počítací geometrie („analytická") — soustavy rovnic, matice, determinanty Přehled aktuální ► klasická konstrukční geometrie: Základy, dotykové úlohy ► geometrická zobrazení: shodná, podobná, afinní, projektivní a pár dalších ► poznámky k zobrazování prostoru do roviny Materiály ► IS: osnova, přednáška, odkazy, staré písemky1 Zakončení ► úlohy —> písemka —> ústní zkouška Soutěž ► o nejpovedenější konstrukci/výkres/aplikaci použitelnou ve výuce ^—" 1https://is .mimi . cz/auth/el/ped/jaro2025/MA0007/index.qwarp Základy Úvod Obsahy a kvadratura mnohoúhelníku Trocha algebry a sestrojitelné veličiny Kosinová věta O kružnicích Pravidelný pětiúhelník a další Teorie podobnosti Trocha stereometrie Pravidelné mnohostěny Dotykové úlohy Geometrická zobrazení Poznámky k zobrazování prostoru do roviny Závěrečné shrnutí ~7 r\rr\\ts 4 4 15 24 35 37 45 57 72 78 87 103 178 196 ono Základy Úvod 5 = základy eukleidovské geometrie = geometrie Eukleidových Základů,^ ovšem s Hilbertovými upřesněními. i" — Základní pojmy: Základní vztahy/relace: f (0 // ^ / " ^— ~ ► Incidence, uspořádání, rovnoběžnost, shodnost, spojitost ' *--__uftct^ Základní definice: ' ► např. úfae/, pravý úhei, resp. kolmost přímek, trojúhelník, čtverec, kružnice, rovnoběžnost přímek,... * ^ ^ Základní tvrzení (axiómy/postuláty): ► několik ke každému ze základních vztahů... 2kolem -300, http://cs.wikipedia.org/wiki/Eukleidovy_Z%C3%Alklady 3kolem +1900, http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert's_axioms Eukleidovy geometrické axiómy (postuláty) Úvod 6 (I) Každé dva různé body spojuje fřt\í -1 £ 11 u (II) Každou přímku lze na každé straně libovolně \r*4\oU'i*h . . e*. *i i ic A g ah se protínají 3o° ^https://en.wikipedia.org/wiki/Parallel_postulate Eukleidovy všeobecné axiómy Úvod 7 ► Veličiny témuž rovné i navzájem rovny jsou. ► Když se přidají rovné veličiny k rovným, i celky jsou rovny ► apod. Dnes čteme jako: ► k = / a m = /I =) \k = m. ► k = / a m = n| rr) |k + m ► apod.5 = / + n. = Eukleidovy nevyslovené axiómy (Hilbertovo upřesnění) Úvod 8 Některé věci nejsou v Eukleidově systému explicitně formulovány... s / Typický axióm uspořádání je např Pro tři různé body ležící na jedné přímce platí, že právě jeden z nich je MQti zbylými dvěma. Axiómy spojitosti je možné nahradit jediným, tzv. Dedekindovým axiómem. Body na přímce neobsahují (vzhledem k výše zmíněnému P° í/oa^) Dedekindovy řezy typu „skok" a „mezera". .. jde zejména o upřesnění představy eukleidovské gřímky jakožto „reálné" přímky!6 I Tď l€SA As 6viz konstrukci tělesa reálných čísel (algebra) a problém sestrojitelných veličin (s. 28)r Co na postulátu (V) nezávisí Úvod 9 Věty SUS, SSS, USU, nerovnosti v trojúhelníku apod. Věta o vnějším úhlu trojúhelníku.7 r Shodné střídavé úhly implikují rovnoběžnost přímek8 (odtud rovnoběžky). v* a = 7 ^\h\\g 7Zde jsou poprvé potřeba axiómy uspořádání (viz s. 10). 8Nepřímo pomocí věty o vnějším úhlu trojúhelníku (viz s. 11). Detail k větě o vnějším úhlu v trojúhelníku9 >___ o b i c ui ^ / /i/ěp L A- T / " " ' ( f/ /JOGA" /, PROP. M THEOR. trian- í*t_i) 'j- produced, tin external angle ( ) u greater than either of the internal remote angles A - A, In and (pr. io.). and produce it until —; draw 1 . and (conn, pr, 15.), .". W — pr. 4..), In like manner it can be fhown, that if —— ■■ produced, ^jjjjj^ ^- J^^^ * which is rz is C Q. E. D. 9http://www.math.ubc.ca/~cass/Euclid/bookl/byrne-16.html □ Detail k větě o existenci rovnoběžky 28 BOOK I. PROP. XXVII. THEOR. are parallel. IF a Jlraight lint trig tine other jlraight lines, (■■■■■■...... and ■■—.........) makes -with them the alternate angles ( ) equal, thefi tvso firaight lines If be not parallel to they (hall meet when produced. If it be poflible, let thofc lines be not parallel, but meet when produced ; then the external angle is greater than 1^^^. (pr. 16), but they are alfo equal (hyp.), which is abfurd : in the fame manner it may be (liown that they cannot meet on the other fide; .*, they are parallel. Q. E. D. http://www.math.ubc.ca/~cass/Euclid/bookl/byrne-28.html □ Co na postulátu (V) závisí ► Věta o střídavých úhlech11 (odtud (V) /**r<'*0°^ ÁXr Úvod 12 Jciía/oia/ala/osT rovnoběžky) a = y rŕi'i es? / ► Věta o součtu vnitřních úhlů v trojúhelníku A od-*' 12 1 m 1 lc ^ N g VLÁT)' ( 19 o ► Věty o rovnoběžnících a trojúhelnících a jejich obsazích.13 ► Pythagorova věta (a téměř vše co následuje)... 11 Nepřímo pomocí přičtení J3 a (V) postulátu (viz s. 13). 12Přímo pomocí věty o střídavých úhlech (viz s. 14). 13 Podrobněji od s. 16... □ s Detail k větě o střídavých úhlech Úvod 13 BOOKI. PROP. XXIX. THEOR. STRAIGHT line ( ' ) failing on tiao parallel jiralght lines (viwh. and ), maket the alternate angles equal to one another; and atjb (lie external equal to the internal and oppofte angle on the fame fide ; and the two interna/ angles en the fame jidc together equal to two right angles. and be ■ ■ -, ■ aking ' — ^fe^ ' Therefore ■■— [] (pr. 27.) and there- fore two fought lines which interfctt are parallel to the fame Anight line, which i& impoifible (ax. 12). Hence the alternate angles are not unequal, that is, they are equal: ~ 1 ^ (pr. 15); — ■ the externa] angle equal to the inter- nal and oppofite on the fame fide: if be added to both, then + m (pr. 13)- That is to fay, the two internal angles at the fame fide of the cutting line are equal to two right angles. Q. E. D. http://www.math.ubc.ca/~cass/Euclid/bookl/byrne-30.htmlrzi < rf i = >oq,o Detail k větě o součtu úhlů v trojúhelníku Úvod 14 BOOK L PROP. XXXII. THEOR. 33 F any fide ( — oj a triangle dated, the the fum of the tow interna Qppofite angles [ J^gfá, and _ mid the three interna/ ar^ every triangle taken togeth eoiml to net right angles. Through the point /\ draw - [J -(pr. 31.). Then s (pr. 29.), (ax 2.), and therefore Ipr- '3)- Q. E, D- 15http://www.math.ubc.ca/~cass/Euclid/bookl/byrne-32.htmln < \3 1 -r)c\cy Mezishrnutí — takto ! (pokračování na s. 51) 1- PATRO 5 V r FR. r a/ Základy Úvod —é> Obsahy a kvadratura mnohoúhelníku Trocha algebry a sestrojitelné veličiny Kosinová věta O kružnicích Pravidelný pětiúhelník a další Teorie podobnosti Trocha stereometrie Pravidelné mnohostěny Dotykové úlohy Geometrická zobrazení Poznámky k zobrazování prostoru do roviny Závěrečné shrnutí ~7 r\rr\\ts 4 4 15 24 35 37 45 57 72 78 87 103 178 196 ono Základní tvrzení o rovnostech obsahů16 wx Obsahy 16 Q ► Rovnoběžníky,(resp. trojúhelník]) se stejnými základnami a stejnými výškami mají Trojúhelník ABC a rovnoběžník ECGF mají a BC || AF): ^ ji r (kde E = střed BC 0 ■ f kojuut ^ (2) ► Rovnoběžníky BEFG a BALM mají úhlopříčce HK): (kde společný bod B e F_B / K II Ä ► Eukleidova věta o odvěsně/výšce, resp. věta fy^A^orM/*. 16 Ve všech důkazech vystačíme s větou o střídavých úhlech a shodnými trojúhelníky (viz s. 17, 18). Detail k větě o obsazích rovnoběžníků1' Obsahy 1 / 36 book 1. mor. xxxv. theor. Q. E, D. http://www.math.ubc.ca/~cass/Euclid/bookl/byrne-36. html □ Q, o Detail k větě o složených rovnoběžnících1 a obsahy 18 © i 4+ BOOKI. PROP. XLIII. THEOR. Q. E. D. http://www.math.ubc.ca/~cass/Euclid/bookl/byrne-44.htmln <^ i = *)c\(y Eukleidova věta o odvěsně, resp. Pythagorova věta 0 Věta Trojúhelník BAC je pravoúhlý a P je pata výšky z vrcholu A Potom platí Obsahy 19 , tudíž D L 19 https://www.geogebra.org/m/apubVUSe Eukleidova věta o odvěsně, resp. Pythagorova věta 0 Věta Trojúhelník BAC je pravoúhlý a P je pata výšky z vrcholu A Potom platí Obsahy 19 , tudíž D L e Důkaz. ► FBAG je čtverec a úhel BAC je pravý => body G,A,C leží na , a ta je > /=6 Odtud podle zákl. věty o obsazích, shodnosti trojúh. znovu podle zákl. věty o obsazích: pec obsah FBAr = obsah Fôc = obsah = obsah Proto má čtverec FBAG stejný obsah jako obdélník PBDL. Obdobně to funguje na druhé straně...19 □ 19https://www.geogebra.org/m/apubVUSe i □ i < S i -r)c\(y Detail k Eukleidově větě o odvěsně20 http://www.math.übe.ca/~cass/Euclid/bookl/byrne-47.htmln g Kvadratura mnohoúhelníku Obsahy 21 Kombinací předchozích poznatků zjišťujeme, že libovolný mnohoúhelník lze geometricky kvadraturovat = sestrojit čtverec se stejným obsahem.21 Navíc každou dílčí konstrukci lze doplnit názorným rozstříháním Věta (Wallaceova-Bolyaiova-Gerwienova) Dva mnohoúhelníky mají stejný obsah \ (==z) \ jeden lze rozstříhat na části, z nichž lze složit ten druhý. Kvadratura obecného trojúhelníku se stříháním 21 http://ggbtu.be/mkripDpYd Základy 4 Úvod 4 Obsahy a kvadratura mnohoúhelníku 15 9 Trocha algebry a sestrojitelné veličiny 24 Kosinová věta 35 O kružnicích 37 Pravidelný pětiúhelník a další 45 Teorie podobnosti 57 Trocha stereometrie 72 Pravidelné mnohostěny 78 Dotykové úlohy 87 Geometrická zobrazení 103 Poznámky k zobrazování prostoru do roviny 178 Závěrečné shrnutí 196 ~7 r\rr\\ts ono Geometrická algebra ... geometrické konstrukce vs. algebraická vyjádření. K L ■ * ■ / ' Trocha algebry 25 GftťSSdTWl: O H.6: Pokud je C střed úsečky AB a D je libovolný bod na téže přímce vpravo od B? potom ylatíjÁD- BBJ+CB2 = \CD2. Poznámky Při značení |>AB| =: b a \DB\ =: x lze předchozí tvrzení psát jako neboli x + bx + — = 5 2+X Uvedené úpravy známe jako tzv. Tyto úpravy jsou prvním krokem k vyjádření kořenů obecné kvadratické rovnice (s. 30). ^— Míříme k charakterizaci sestrojitelných veličin (s. 28)... Zlatý řez \-<-+—f Trocha algebry 26 Definice Bod H dělí úsečku AB ve zlatém řezu, pokud poměr celé úsečky k delší části řezu je stejný jako poměr delší části ke kratší, tzn. pokud BA : AHf = AHr HB, nebo AB : BH= BH : HA. Konstrukce (Eukleidova) (i) AC je kolmice k AB, přičemž AC = AB, (ii) E = středAC, (iii) F leží na polopřímce CA tak, že EF = EB, (iv) H leží na úsečce AB tak, že AH = AF => je delší částí zlatého řezu úsečky AB. •2. E ' V -Ni s N \ H \ V - 8 Důkaz a něco navíc Trocha algebry 27 Zdůvodnění konstrukce plyne z předchozího (s. 25) a z Pythagorovy věty (s. 19): CF-FA + ^2 = neboli CF-F>A=Aeí Tzn. obdélník CFGK a čtverec ABDC mají stejný obsah. Tyto však mají společnou část CKHA, takže taky čtverec AHGF a obdélník KDHB mají stejný obsah. To můžeme zapsat jako Důkaz a něco navíc Trocha algebry 27 Zdůvodnění konstrukce plyne z předchozího (s. 25) a z Dy1 hagorovy věty (s. 19) CF-FA+AE2=\ | = | I n ili OF ■ FA = AB2. Tzn. obdélník CFGK a čtverec ABDC mají stejný obsah. Tyto však mají společnou část CKHA, takže taky čtverec AHGF a obdélník KDHB mají stejný obsah. To můžeme zapsat jako neboli AH : BH = AB : AH. □ s v H \ -í* H-^ —-> Počítání................ Při označení \AB\ =: b#al>A/-/| =: x definice zlatého řezu zní: b : x = x : (£> - x) neboli ib(ib-x) = x2 neboli Postupně sestrojené veličiny jsou: . ..-...... |AE| = |£C| = , lEfíl 2- 9 I I \AF\ = \AH\ = x = Skutečně, x = je kořenem kvadratické rovnice Sestrojitelné veličiny Trocha algebry 28 Reálné veličiny — reprezentované úsečkami — umíme: ► sčítat a odčítat — pomocí přikládání a odebírání úseček na přímce, ► násobit a dělit — pomocí stejnoplochých rovnoběžníků, resp. podobných trojúhelníků, ► druhou odmocninu — pomocí Eukleidovy věty o odvěsně, resp. o výšce. Sestrojitelné veličiny Trocha algebry 28 Reálné veličiny — reprezentované úsečkami — umíme: ► sčítat a odčítat — pomocí přikládání a odebírání úseček na přímce, ► násobit a dělit — pomocí stejnoplochých rovnoběžníků, resp. podobných trojúhelníků, ► druhou odmocninu — pomocí Eukleidovy věty o odvěsně, resp. o výšce. Věta Reálné číslo je sestrojitelné eukleidovským pravítkem a kružítkem vyjádřit pomocí konečného počtu jej lze 1 + - V" ( ) Sestrojitelné veličiny Trocha algebry 29 Věta Reálné číslo je sestrojitelné eukleidovským pravítkem a kružítkem <^^> jej lze vyjádřit pomocí konečného počtu 1 + - v ( ) Důkaz. Začneme s úsečkou představující jednotku. Další sestrojitelné veličiny vznikají konstrukcemi v rovině, a to výhradně jako (a) průnik dvou přímek ^ soustava rovnic, (b) průnik přímky s kružnicí ^ soustava rovnice, (c) průnik dvou kružnic ^ soustava Eliminací jedné proměnné dostaneme rovnici; vyřešíme, dosadíme, ... rovnic. , nebo Kořen(y) lib. pomocí právě uvedených operací! rovnice umíme vyjádřit z jejích koeficientů □ Poznámka (víz s. 25) Trocha algebry 30 Algebraické vyjádření kořenů kvadratické rovnice xd + bx + c = 0 se dělá takto: x^ + bx + l-l = (^-\ -c neboli [x + =(^-\ -c, což po odmocnění a úpravě vede k dobře známému vzorečku Slavné problémy starověku Trocha algebry 31 (a) zdvojení krychle ^ x = ^2a, (b) rozvinutí kružnice ^ x = 2nr, (c) kvadratura kruhu ^ x = ^r, (d) roztřetění úhlu ^ x3 - 3ax2 - 3x + a = 0, (e) pravidelné mnohoúhelníky ^ ...... (s. 54) Problémy (b) a (c) jsou ekvivalentní; problémy (d) a (e) spolu úzce souvisí. Díky J.H. Lambertovi, resp. F. Lindemannovi víme, že n není racionální, resp. algebraické číslo.22 Z předchozího (a trochu následujícího) víme, že problémy (a), (b) a (c) řešitelné, problémy (d) a (e) řešitelné. 22 r. 1767, resp. 1882 Mascheroniovské a steinerovské konstrukce Trocha Eukleidovské konstrukce = konstrukce s kružítkem a pravítkem. Mascheroniovské konstrukce = konstrukce pouze s kružítkem. Steinerovské konstrukce = konstrukce pouze s pravítkem a jednou kružnicí. Příklad: Mascheroniovská a steinerovské konstrukce inverzního bodu Ar k bodu A vzhledem ke kružnici se středem O. Věta Konstrukce je proveditelná eukleidovsky je proveditelná mascheroniovsky I I je proveditelná steinerovsky Konstrukce neusis Trocha algebry 33 Konstrukce neusis = konstrukce s kružítkem a pravítkem se značkami (které se přikládají k přímkám, resp. kružnicím) Příklad: Archimedova trisekce úhlu s označeným pravítkem Poznámka Takto lze sestrojit (reálné) kořeny libovolné problémy (a), (d) a některé další (e) na s. 31 23 rovnice, tedy vyřešit 23http://en.wikipedia.org/wiki/Neusis_construction 34 Konstrukce elipsy pomocí neusis udělátka.