1 1.1 MA0008, Cvičení 01: Zpracování naměřených dat Máme 3 druhy průměru naměřených dat, které můžeme počítat: 1. Aritmetický průměr hodnot: x = ^ ^2í=i xi 2. Geometrický průměr hodnot: xq = x> * x> 2 * ... * x> n 3. Harmonický průměr hodnot: xjj = n En J_ 1=1 Xň Úloha 1.1 50 studentů psalo test z pravděpodobnosti. Jejich bodové zisky byly následující. 5 studentů získalo 4 body, 10 studentů 6 bodů, 12 studentů 8 bodů, 15 studentů 11 bodů a zbylí studenti 12 bodů. Vypočtěte aritmetický průměr bodů. Úloha 1.2 Hodnoty růstu firmy v procentech za posledních 5 let byly 2 Katedra matematiky PedF MUNI v Brně 101,3%, 108,5%, 100,6%, 98,7% a 102,3%. Vypočtěte průměrný roční nárůst za dané pětileté období. Úloha 1.3 Slon šel na vycházku po obvodu svého čtvercového výběhu o straně 2 km, po jedné straně šel rychlostí 1 km/h, druhou rychlostí 2 km/h, třetí rychlostí 4 km/h, a poslední opět lkm/h. Jaká byla jeho průměrná rychlost během jeho vycházky? Úloha 1.4 Měřením patnácti mužů byla získána jejich průměrná výška x\ = 184 cm, měřením devíti žen jejich průměrná výška = 171 cm. Vypočtěte průměrnou výšku všech čtyřiadvaceti lidí. ... jakýsi čtvrtý typ výpočtu průměru, vážený průměr. Úloha 1.5 Zpracujte statisticky údaje o 34 odpovědích na otázku, kolik má respondent sourozenců včetně 3 sebe, tj. kolik je v rodině sourozenců (x{ je počet sourozenců v dané rodině). Sestavte údaje do tabulky, kde v prvním sloupci budou naměřené hodnoty x2j ve druhém sloupci jejich absolutní četnosti ve třetím jejich absolutní kumulativní četnosti ve čtvrtém jejich relativní četnosti a v pátém jejich relativní kumulativní četnosti f i. A ještě jeden úkol: najděte 0,50-kvantil (tzv. medián), 0,80-kvantil, 0,90-kvantil pro toto měření. Zde jsou naměřená data: 3, 2, 2, 2, 6, 3, 2, 4? 2, 2, 2, 4? 3j 2, 2, 2, 3, 2, 5, 2, j. j Oj x/, j j j j Oj Oj j Oj j Oj Oj • * _ Úloha 1.6 Tento příklad je podobný předchozímu, ale v několika věcech se liší: Zpracujte statisticky údaje o 34 údajích o výšce studenta Pedagogické fakulty v centimetrech v roce 4 Katedra matematiky PedF MUNI v Brně 2023 (xi je tedy výška v centimetrech). Sestavte údaje do tabulky, kde v prvním sloupci budou naměřené hodnoty x^ (a zde bude změna: tyto tabulky četnosti mají mít maximálně sedm až deset řádků, tj. musíme ty hodnoty nějak seskupit do intervalů), ve druhém sloupci jejich absolutní četnosti rii, ve třetím jejich absolutní kumulativní četnosti c^, ve čtvrtém jejich relativní četnosti a v pátém jejich relativní kumulativní četnosti A ještě jeden úkol: najděte 0,50-kvantil (tzv. medián), 0,80-kvantil, 0,90-kvantil pro toto měření podle vzorce pro a-kvantil (n + 1) • a - ca xa = a H---—--• (b — a n(a: b Kde a - dolní mez intervalu, b -horní mez intervalu a ca - kumulace 5 v bodě dolní meze intervalu. Zde jsou naměřená data: 178, 176, 190, 176, 175, 171, 185, 166, 152, 200, 160, 183, 172, 163, 163, 162, 165, 166, 175, 165, 180, 178, 172, 170, 176, 169, 175, 182, 168, 166, 185, 164, 186, 178. Úlohy na procvičení: Úloha 1.7 V prodejně obleků prodali během týdne 46 obleků. Velikosti prodaných obleků byly následující: 39 41 40 42 41 40 42 42 40 43 42 41 43 39 42 41 42 39 41 37 43 41 38 43 42 41 40 41 38 40 40 39 41 40 42 40 41 42 40 43 38 39 41 41 42 a 45. a) sestavte histogram četností a polygon četností z těchto dat b) sestavte tabulku relativních četností, kumulativních absolutních četností, kumulativních relativních četností pro tato data 6 Katedra matematiky PedF MUNI v Brně c) určete modus a medián, průměr, rozptyl a směrodatnou odchylku velikostí obleku d) určete variační rozpětí a me-zikvartilové rozpětí velikosti obleků e) určete 0,45 kvantil, 0,57 kvantil, 0,869 kvantil... (pomocí kumulativních relativních četností) Úloha 1.8 V největších 27 městech České republiky jsou následující ceny bytů v korunách za m2: 12736, 12975, 13829, 14316, 14546, 14897, 16343, 16369, 17217, 17327, 17332, 18200, 19221, 20162, 20319, 20864, 21456, 21794, 22083, 22215, 22425, 22768, 24567, 25078, 25436, 29031, 45061. Proveďte intervalové rozdělení četností (relativní, kum. absolutní, kum. relativní), průměr, rozptyl, směrodatnou odchylku, variační rozpětí, 0,25-kvantil a 0,85- 7 kvantil. Úloha 1.9 Politický představitel učinil výzkum u 77 lidi o kvalitě své práce. Každý z dotázaných (cizím slovem se takovým lidem říká respondenti, protože to, co dělají je „respond" - odpovídají) hodnotil číslem ze stupnice 1 až 5, kde 1 = hrozná kvalita práce, 5 = vynikající kvalita práce. Výsledky jsou v tabulce: 2 i 3 3 2 1 3 4 2 1 4 1 4 1 5 3 4 1 i 2 1 2 2 3 1 1 1 2 1 3 4 4 5 1 4 1 4 4 4 2 4 2 3 5 3 l 1 l 5 5 3 2 5 5 3 4 l 3 4 4 3 3 4 3 3 1 4 5 2 3 5 5 4 5 3 4 4 Určete a) rozděleni četnosti a rozděleni pravděpodobnosti kvality představitelovy práce; 8 Katedra matematiky PedF MUNI v Brně b) strední hodnotu, rozptyl a směrodatnou odchylku této kvality. Úloha 1.10 Četnosti měření hodnot x i jsou dány v tabulce: Xr[ Tli 1 2 3 5 5 7 6 10 8 6 10 3 a) Určete kumulativní relativní četnosti, dolní kvartil a 0,57— kvantil těchto hodnot. b) Vypočtěte průměr a rozptyl zadaných hodnot. Úloha 1.11 Intervalové rozdělení četností cen bytů za 1 metr čtvereční v CR je dáno v tabulce: 9 (x rii (23100 27600) 10 (27600 32100) 7 (32100 36600) 4 (36600 41100) 3 (41100 45600) 3 (45600 50100) 2 a) Určete kumulativní relativní četnosti, dolní kvartil a0fi7—kvantil těchto hodnot. b) Odhadnete průměr a rozptyl zadaných hodnot. Úloha 1.12 Zkuste se zamyslet nad následujícími otázkami: a) Velká část detí ve tŕíde A má velké problémy s matematikou, kdežto ve tŕíde B téměř nikdo. Přesto je průměrný výsledek počtu bodů na testech v obou třídách stejný. Jak je to možné? 10 Katedra matematiky PedF MUNI v Brně b) Průměrný počet bodů na prověrkách u studenta S\je stejný jako u studenta S2- Presto pani učitelka říká, že student S\ je objektivně lepší než student Sz* Jak je to možné ? Úloha 1.13 Výsledky bodů na prověrce od dvaceti studentů jsou 3,5,8,2,4,10,11,4,5, 7,2,4,8,8,10,1,5, 7,8,2. a) Určete medián a kvartilové rozpětí těchto hodnot. b) Vypočtěte průměr a odchylku počtu bodů.