Algebra 3 (MA 0011)
RNDr. Břetislav Fajmon, Ph.D.
Katedra matematiky Pedagogické fakulty Masarykovy univerzity v Brně — verze 2024
3
Obsah
1 Otázka 01: Logika a teorie množin 5
2 Otázka 02: Relace, ekvivalence, uspořádání, zobrazení 6
3 Otázka 03: Struktury s jednou a se dvěma operacemi 7
4 Otázka 06: Polynomy 8
5 Otázka 04: Vektorové prostory a lineární zobrazení 9
6 Otázka 05: Soustavy lineárních rovnic, matice a determinanty 11
7 Některé části otázky číslo 4 z geometrie 13
8 K Otázkám 01, 02, 03 (logika a teorie množin, relace na množině, operace na množině): Booleho algebra 14
9 Otázka 07: Číselné obory a jejich konstrukce 15
Algebra 3 (MA 0011)
4
Úvod
Tento textík je zčásti seznamem otázek k opakování algebraických předmětů na pedagogické fakultě MUNI, zčásti by mohl být textem krátce uvádějícím do pojmu Booleho algebra, a také možná někdy (aspoň v mírné formě prezentované v knize Pinter: The Book of Abstract Algebra) pokusem o prezentaci důkazu, že existují polynomické rovnice stupně pátého a vyššího, které nelze řešit přesným vzorcem.
Břetislav Fajmon,
verze textu únor 2025, text bude během výuky doplňován
5
1    Otázka 01: Logika a teorie množin
• Uveďte negaci výroku:
Vn £ N : (6|n  &   (2\n A 3|n))
(pozor, kvantifikátor patří k celé ekvivalenci, není součástí jen levé části ekvivalence, ale náleží celému výroku a neguje se nejprve ... pak až pokračujeme a negujeme danou ekvivalenci).
• Napište vlastnost neutrálního prvku algebraické operace (vlastnost 3) a vlastnost existence inverzí u algebraické operace (vlastnost 4) ... pečlivě i s kvantifikátory; a ve druhé fázi proveďte negaci těchto výroků.
Pojďme dále na témata a označení teorie množin:
• Pod pojmem vztahy mezi množinami si představte relaci C, nebo rovnost výrazů s množinami a množinovými operacemi (binárními a unárními). Typický množinový vztah je distributivní zákon:
Vi,ľ,ze2i:in(ľuz) = (inľ)u(in z),
který dokazujeme Vennovými diagramy nebo pomocí univerzálního prvku x. K množinám se vrátíme ještě u tématu Booleho algebry.
Algebra 3 (MA 0011)
6
2    Otázka 02: Relace, ekvivalence, uspořádání, zobrazení
• Co je to binární relace? Uveďte nějaké její vlastnosti a příklad relace, která má danou vlastnost.
• Jak binární relace reprezentujeme? a) výčtem jejích prvků jako množinu uspořádaných dvojic; b) pomocí orientovaného diskrétního grafu; c) pomocí matice; d) pomocí kartézského grafu.
• Co je to relace reflexivní? Co je to relace antireflexivní? Co je to relace symetrická? Co je to relace antisymetrická? Co je to relace tranzitivní? Co je to relace úplná?
• Co je to relace ekvivalence? Jak relaci ekvivalence reprezentujeme (pomocí určitého rozkladu množiny na podmnožiny, který vždy existuje: v jedné podmnožině rozkladu jsou právě ty prvky, které jsou navzájem v relačním vztahu.
• Co je to relace uspořádání? Jak relaci uspořádání reprezentujeme? (speciálně pomocí Hasseho diagramu - vysvětlete, jak v Hasseho diagramu značíme reflexivitu, antisymetrii a tranzitivitu). Uveďte dvě nebo tři velmi typické relace uspořádání.
• Co je to zobrazení? Jaké typy zobrazení známe?1 U každého typu uveďte nějaký příklad nejlépe reálné funkce, tj. zobrazení R —> R s danou vlastností.
• Některé základní funkce: u elementárních funkcí byste měli být schopni řešit úlohy následujících typů:
a) nakreslete pro zadaný vzorec graf (základní funkce lineárně lomené, mocninné-odmocninné, exponenciální, logaritmické, goniometrické, cyklometrické), a určete její definiční obor a obor hodnot;
b) vypočtěte vzorec funkce inverzní ze zadaného vzorce;
c) uveďte definici minima-maxima xq funkce fix)] funkce f(x) klesající-rostoucí
na intervalu; funkce fix) ohraničené zdola, shora, zcela; funkce f(x) periodické; funkce f(x) je sudá-lichá.
A poslední příklad z funkcí, který byste měli zvládnout, se týká následující tabulky nebo její části: Vyplňte ji tak že v každém sloupci je nějaký jiný úhel; tam, kde existují dvě možnosti, si vyberte jen jednu.
*(•)	0°							-30°
x (rad)			7T 2			2		
sin x				V3 2			1 2	
tg a;		1			není def.			
Opakování typů zobrazení, viz Základy matematiky, zaktualizovaný text, str. 69-71 včetně obrázku
7
3   Otázka 03: Struktury s jednou a se dvěma operacemi
• A = {1; 2; 3} je tříprvková množina. Co za vlastnosti splňuje algebraická struktura s jednou operací, a sice a) (2A,U); b) (2A,n); c) (2A,\); d) (2A,-^). Nazvěte tyto struktury z hlediska algebry. Uveďte u každé z nich, jaký konkrétně je neutrálni prvek. Jestliže neexistují některé inverzní prvky, najděte příklad prvku, který nemá inverzi.
• Dalšími zajímavými vlastnostmi jsou zákon krácení v grupě (vlastnost 7), zákon idempotence (vlastnost 8) a zákon absorbce (vlastnost 9) ... zejména vlastnosti 8 a 9 jsou pak důležitými při studiu Booleho algebry.
• Co je to polookruh (M, y,*)? Uveďte typický příklad (tedy příklad polookruhu, který není okruhem).
• Co je to okruh (M, Ví*)? Uveďte typický příklad (tedy příklad okruhu, který není oborem integrity).
• Co je to obor integrity (M, v, *)? Uveďte typický příklad (tj. příklad oboru integrity, který není tělesem). Jaký vztah splňují netriviální (či: nenuloví) dělitelé nuly?
• Co je to těleso (M, Ví*)? Uveďte typický příklad.
• Jakými strukturami jsou z algebraického hlediska následující množiny se dvěma operacemi?
a) (No,+,-);
b) (Z,+,-);
c) (Q,+,-);
d) (R,+,-);
e) (c,+,-y
f) (Ze,+,-y
g) (z7,+,-y
h) (^8,+,-);
i) (2A, U, n) pro A = {1; 2; 3}; j)   (2^,-,n)proA = {l;2;3}.
• Co je to homomorfismus grup? Co je to homomorfismus okruhů? Uveďte příklady tohoto homomorfismu.
• K čemu je ten homomorfismus dobrý? a) surjektivní homomorfismus ... měli byste znát; b) injektivní homomorfismus ... bude ještě vysvětlen v otázce 7.
Algebra 3 (MA 0011)
8
4   Otázka 06: Polynomy
• Co je to polynom? Jakou algebraickou strukturu tvoří množina všech polynomů s reálnymi koeficienty (R[x], +, •)?
• Co je to kořen polynomu? Co říká základní věta algebry?2 Co je to násobnost kořene?
• Formulujte pomocí rovnic Eukleidův algoritmus hledání NSD dvou polynomů.
• Uveďte význam Hornerova schématu na příkladu: a) najde kořen polynomu, a současně provede dělení (čeho čím? jaký je výsledek?); b) provede i dělení polynomu se zbytkem ... napište přesně rovnici, ve které jsou obsaženy oba polynomy, jejich podíl i zbytek.3
• Co říká věta o racionálních kořenech polynomu z (Q[x], +, ■)?
• Co říká věta o komplexně sdružených kořenech polynomu z (R[x], +, •)?
• Jak se odstraní z polynomu pix) vícenásobné kořeny? (nemusíte příklad, jen vysvětlení při dobrém označení)
• Co je to algebraický a goniometrický tvar komplexního čísla? Vysvětlete včetně označení a obrázku.
• Co říká Moivreho věta?
• Jakým způsobem vypočteme n—tou odmocninu z komplexního čísla c 6 Cl Uveďte vzorec, vyřešte binomickou rovnici z6 = 64 a binomickou rovnici zA = — 1 a vyznačte vždy všechna řešení dané rovnice v Gaussově rovině.
• Uveďte, jakým způsobem řešíme reciprokou rovnici
x5 - 2x4 + 3x3 + 3x2 - 2x + 1 = 0
(nemusíte vyřešit úplně, jen popište metodu řešení až do chvíle, kdy nám zbývá vyřešit rovnici kvadratickou ... tu už řešit nemusíte).
• Metodou půlení intervalu najděte řešení rovnice x3 — x — 2 = 0 na intervalu (1; 2). Nemusíte řešit moc podrobně, protože nemáte kalkulačku - proveďte jen dva kroky, z nichž bude jasné, jak se postupuje.
• Metodou Newtonovou (tečen) najděte řešení rovnice x3 —x—2 = 0 na intervalu (1; 2). Nemusíte řešit moc podrobně, protože nemáte kalkulačku - jeden krok vypočtěte a do druhého dosaďte, aby bylo jasné, jak se postupuje.
• odvoďte podrobně vzorec Newtonovy metody.
2Základní věta algebry je jakousi obdobou rozkladu přirozeného nebo celého čísla na součin prvočísel. 3V otázkách a) i b) nestačí jen projet Hornerovo schéma - musíte ještě v rovnici ukázat, co je důsledkem-výstupem Hornerova schématu.
9
5    Otázka 04: Vektorové prostory a lineární zobrazení
Jde převážně o zopakování pojmů, příklady těchto pojmů a jejich význam. Otázka sestává ze dvou celků. Prvním celkem je pojem vektorového prostoru a podprostoru.
• Co je to vektorový prostor V nad tělesem T?
• Uveďte příklad vektorového prostoru (prostor aritmetický, prostor polynomů stupně nejvýše 4, prostor polynomů jakéhokoli stupně, prostor spojitých reálných funkcí): jak se na daném VP definuje sčítání vektorů a jak se definuje násobení vektorů skalárem?
• Co je to vektorový podprostor vektorového prostoru?
• Uveďte příklad vektorového podprostoru nějakého vektorového prostoru.
• Co je to lineární kombinace vektorů?
• Co je to lineární závislá množina vektorů?
• Co je to báze (dimenze) vektorového prostoru?
• Co jsou to souřadnice vektoru vzhledem k zadané bázi vektorového prostoru?
• Co je to součet vektorových podprostoru a jak se definuje?
• Co říká věta o dimenzi součtu a průniku vektorových podprostoru?
Právě uvedená část otázky směřuje na zkoumání vlastností afinních podprostoru a studiu jejich vzájemné polohy (vlastnosti a vztahy afinních podprostoru jsou už ovšem jinou státnicovou otázkou z geometrie).
Druhá polovina otázky se věnuje technické podpoře pojmu lineární zobrazení mezi vektorovými prostory a podpoře pojmů vlastní čísla a vlastní vektory lineární transformace:
• Co je to lineární zobrazení ip mezi vektorovými prostory?
• Jak lze lineární zobrazení zadat (vysvětlete tři způsoby zadání na příkladu)?
• Uveďte příklad lineárního zobrazení geometricky, tj. nalezněte jeho matici, jestliže se jedná o osovou souměrnost v rovině nebo o rotaci v rovině se středem v počátku (například pro osovou souměrnost v rovině vzhledem k ose y = |).
• Co je to lineární transformace?
• Co jsou to vlastní čísla a vlastní vektory lineární transformace?
• Uveďte příklad vlastních čísel a vlastních vektorů geometricky, například u osové souměrnosti vzhledem k ose y = |.
Algebra 3 (MA 0011)
10
• Jak nalezneme vlastní čísla a vektory lineární transformace zadané maticí Al Vysvětlete algebraickou metodu (stačí postup bez příkladů, ale v postupu musí vše být dobře označeno).
• Příklad osové souměrnosti v rovině vzhledem k ose y = | ... nalezněte matici této lineární transformace a) vzhledem ke standardní bázi, b) vzhledem k ortonormální bázi vlastních vektorů.
• Jak se nazývají matice téže lineární transformace (viz a,b v předchozí odrážce) zadané pouze v různých bázích?
Tolik druhá část otázky - ta se tedy věnuje práci s lineárními zobrazeními (s využitím vlastních čísel, jestliže jsou vlastní čísla reálná různá, pak totiž je zaručeno, že příslušné vlastní vektory jsou navzájem ortogonální).
11
6   Otázka 05: Soustavy lineárních rovnic, matice a determinanty
Jde převážně o otázku, která se věnuje různým metodám řešení systému lineárních rovnic (dále zkratka: SLR), a pojmům které s tím souvisejí, tj. zejména maticovým operacím a výpočtu determinantu. Metody A,B,C lze vysvětlit na příkladu
x     — z  = 0, 3x + y =1, —x + y + z   = 4.
A) Gaussova eliminační metoda:     • Slovně stručně vysvětlete, v čem spočívá
Gaussova metoda (popřípadě Gaussova-Jordánova metoda) ... můžete i bez příkladu.
• Co jsou to elementární řádkové úpravy?
• Co je to schodový tvar matice?
• Jak se liší Gaussova a Gaussova-Jordánova metoda?
• Co říká Frobeniova věta o řešitelnosti a počtu řešení SLR? (jaké jsou různé případy počtu řešení a ve kterých situacích nastanou?)
B) Maticová metoda:     • Kdy lze matice sčítat a jaké algebraické vlastnosti má ope-
race sčítání matic? (neutrální prvek a inverzní prvky vysvětlete podrobně, na příkladu)
• Kdy lze matice násobit a jaké algebraické vlastnosti má operace násobení matic? (neutrální prvek a inverzní prvky vysvětlete podrobně, na příkladu)
• Otázka nenulových dělitelů nuly v okruhu čtvercových matic: vysvětlete podrobně na příkladu.
• Co je to hodnost matice? Definujte a) pomocí schodového tvaru získaného z matice A pomocí ERU; b) pomocí vektorového podprostoru generovaného řádky matice.
• Vysvětlete maticovou metodu řešení SLR - jen vysvětlete postup, nemusíte řešit konkrétní příklad. Pozor, tato metoda není Gaussova eliminace, to byla ta předchozí. Maticová metoda souvisí s násobením matic!!!
• Co je to matice singulární a matice regulární a jak souvisí a) s řešením SLR, b) s výpočtem determinantu, c) s výpočtem inverzní matice, d) s výpočtem hodnosti matice?
Algebra 3 (MA 0011)
12
C) Cramerovo pravidlo:     • Uveďte  definici  determinantu,  vysvětlete označení,
které s tím souvisí.
• Vypočtěte determinant
12 0 2 2 4 10 0 0-13 3-1 14
a) z definice (aspoň naznačte, vyčíslete jeden až dva členy součtu); b) Lapiaceho rozvojem pomocí řádku-sloupce (uvedený rozvoj proveďte, ale nemusíte ho dále vyčíslovat).
• Jaké jsou vlastnosti singulární-regulární matice vzhledem k pojmům a) determinant; b) hodnost matice; c) počet řešení SLR A ■ x = b; d) inverzní matice?
• Vysvětlete využití determinatů v matodě Cramerovo pravidlo na příkladu z úvodu této otázky.
• Jaké jsou vlastnosti determinantu? Zejména se soustřeďte na rozdíl mezi řádkovými úpravami matice a úpravami determinantu - které úpravy jsou stejné a které se liší a jak?
• Lze chápat determinant jako zobrazení? Jestliže ano, tak mezi kterými množinami („odkud kam")?
• Jestliže determinant lze chápat jako lineární zobrazení (což lze), tak z linearity zobrazení plyne i vlastnost linearity determinantu - vysvětlete vlastnost linearity determinantu na matici rozměru 2x2.
D) Pripcip superpozice:     • Ad nehomogenní SLR: Co říká Frobeniova věta o
řešitelnosti a počtu řešení SLR? (jaké jsou různé případy počtu řešení a ve kterých situacích nastanou?)
• Ad homogenní SLR: Jaké jsou různé případy počtu řešení a ve kterých situacích nastanou?
• Vysvětlete na konkrétním příkladu metodu principu superpozice:
x + y + 2z — 5w   = 1, 2x + 5y — z — 9w  = 4.
13
7   Některé části otázky číslo 4 z geometrie
Měli byste znát definici a příklad skalárního součinu vektorů:
• Skalární součin na vektorovém prostoru V nad tělesem T je symetrická pozitivně definitní bilineární forma ... vysvětlete každý z těchto čtyř termínů přesně matematicky.
• Jak se definuje skalární součin na aritmetickém vektorovém prostoru (Rn, +)?
• Jak se definuje skalární součin na vektorovém prostoru spojitých funkcí na intervalu (0;1)?
Také musíte znát definici velikosti vektoru a některé vlastnosti velikosti:
• Jak se definuje velikost vektoru pomocí skalárního součinu vektorů? (obecně pomocí vektorového součinu)
• Uveďte vlastnost pozitivní definitnosti velikosti.
• Uveďte vlastnost homogenity velikosti.
• Uveďte trojúhelníkovou nerovnost.
• Každý nenulový vektor lze normovat ... co to znamená?
• Jak se definuje velikost na vektorovém prostoru spojitých funkcí na intervalu (0; 1)? Otázku vektorového součinu vám řeknu (zopakuji) na začátku čtvrté výuky já sám:
• Jaký je geometrický význam skalárního součinu dvou vektorů?
• Jak se definuje vektorový součin vektorů (obecně, v dimenzi 2, v dimenzi 3)?
Algebra 3 (MA 0011)
14
8 K Otázkám 01, 02, 03 (logika a teorie množin, relace na množině, operace na množině): Booleho algebra
• Co je to svaz? Nakreslete svaz všech dělitelů přirozeného čísla 60, uspořádaný relací dělitelnosti.
• Nakreslete svaz všech dělitelů přirozeného čísla 72, uspořádaný relací dělitelnosti.
• Nakreslete svaz všech podmnožin pětiprvkové množiny (uspořádaný podle relace
9-
• Uveďte vlastnosti operací V, A ve svazu (nově: vlastnost idempotence, vlastnost absorbce).
• Poznámka: vlastnost neutrálního prvku nemusí u daných operací platit, protože v nekonečných svazech nemusí nej větší (nej menší) prvek existovat.
• Musí operace V, A splňovat distributivní zákon? Operace průniku a sjednocení distributivní zákon splňují, ale obecně ve svazu nemusí platit - příkladem jsou svazy M5 a N5.
• Naštěstí platí krásná matematická věta: Svaz je distributivní, právě když neobsahuje podsvaz M5 nebo N5.
• Definice komplementu, definice komplementárního svazu. Měli byste být schopni najít komplement prvku ve svazu, nebo říct, že neexistuje.
• Věta: Jestliže je komplementární svaz současně distributivní, tak všechny komple-menty jsou určeny jednoznačně.
• Příklad: Komplement v množinovém svazu (2A, U, n) je doplněk množiny, jak jsme zvyklí na unární operaci doplňku.
• Definice: Booleho algebra je každý komplementární distributivní svaz.
• Příklad: (2A, U, n) je Booleho algebra.
• Využití Booleho algebry: Zákonitosti v Booleho algebře dovolují modelovat a zjednodušovat logické výrazy nebo množinové výrazy.
• Co jsou to de Morganova pravidla a) v teorii množin, b) v logice, c) v Booleho algebře?
15
9   Otázka 07: Číselné obory a jejich konstrukce
Tato otázka vysvětluje vlastnosti jednotlivých množin čísel ve školské matematice, ale také uvádí algebraické konstrukce každé následné množiny v posloupnosti množin N, Z, Q, R, C pomoci množiny předchozí.
Peanova množina P, množina N přirozených čísel.
• uveďte nedůležité čtyři Peanovy axiomy, které se týkají rovnosti;
• uveďte důležitých čtyři až pět Peanových axiomů, které se týkají pojmu následníka;
• uveďte definici předchůdce, úseku a uspořádání na P;
• uveďte čtyři vlastnosti, které splňují operace sčítání a násobení, jež lze definovat na množině P;
• uvedte, jak lze strukturu (No, +, •) vystihnout algebraicky.
Algebraický popis, jak z N zkonstruujeme Z. Studenti by měli umět nakreslit obrázek a celou konstrukci popsat. Bude též zkoušeno na následujících dílčích otázkách:
• Co provedeme s množinou N nejdříve? Vytvoříme kartézský součin N x N.
• Jak definujeme relaci ekvivalence ~?
• Co je to N x N/^1 Popište tuto strukturu - jaké jsou její prvky?
• Jak na struktuře N x N/^ definujeme operaci sčítání? Jaké má tato operace vlastnosti? Uveďte minimálně, který prvek je neutrální a jak se najde inverze pro nějaký prvek různý od neutrálního.
• Jak se definuje zobrazení N —>■ N x N/ ^, jaké má vlastnosti a co zaručuje?
• Jakým pojmem lze výslednou strukturu s operacemi sčítání a násobení vystihnout algebraicky?
Algebraický popis, jak ze Z zkonstruujeme Q. Studenti by měli umět nakreslit obrázek a celou konstrukci popsat. Bude též zkoušeno na následujících dílčích otázkách:
• Co provedeme s množinou Z nejdříve? Vytvoříme kartézský součin Z x Z*.
• Jak definujeme relaci ekvivalence ~?
• Co je to Z x Z* jrJl Popište tuto strukturu - jaké jsou její prvky?
• Jak na struktuře Z x Z*/^ definujeme operaci sčítání a operaci násobení? Jaké má tato operace vlastnosti? Uveďte u obou operací minimálně to, který prvek je neutrální a jak se najde inverze pro nějaký prvek různý od neutrálního.
Algebra 3 (MA 0011)
16
• Jak se definuje zobrazení Z-)2x Z*jaké má vlastnosti a co zaručuje?
• Jakým pojmem lze výslednou strukturu s operacemi sčítání a násobení vystihnout algebraicky?
Algebraický popis, jak z Q zkonstruujeme R pomocí řezů množiny Q.
• Co je to řez množiny M?
• Jaké čtyři typy řezů existují (a na jakých množinách)? Vysvětlete i graficky;
• Jak se „zkonstruuje" R z množiny Ql Čemu odpovídají řezy Q prvního druhu, čemu odpovídají řezy Q třetího druhu?
Algebraický popis, jak z R zkonstruujeme C. Studenti by měli umět nakreslit obrázek a celou konstrukci popsat. Bude též zkoušeno na následujících dílčích otázkách:
• Co provedeme s množinou R nejdříve? Vytvoříme kartézský součin R x R.
• Jak na struktuře R x R definujeme operaci sčítání a operaci násobení? Jaké má tato operace vlastnosti? Uveďte u obou operací minimálně to, který prvek je neutrální a jak se najde inverze pro nějaký prvek různý od neutrálního (a že tato inverze je opět komplexním číslem!!).
• Jak se definuje zobrazení R —>■ R x R, jaké má vlastnosti a co zaručuje?
• Jakým pojmem lze výslednou strukturu s operacemi sčítání a násobení vystihnout algebraicky?
17
Seznam literatury:
Beránek, 2011 Jaroslav Beránek: Vybrané kapitoly z algebry. Skriptum Pdf, počet stran 70. Doplnění obsahu předmětů Algebra 1 a Algebra 3 na PdF pro budoucí učitele 2.stupně. Brno 2011.
Budínová, I., 2013 Irena Budínová: Polynomy. Text určený studentům učitelství matematiky, Brno 2013. Počet stran 56.
Horák, 2002 P. Horák: Cvičení z algebry a teoretické aritmetiky I, Brno 2002. Sbírka příkladů na Přírodovědecké fakultě MU. Cvičení pokrývá zhruba látku v předmětech Základy matematiky, Algebra 1, Algebra 2 vyučovaných na Pedagogické fakultě.
Fajmon, 2022 B.Fajmon: Algebra 1. Doplnění přednášek, elektronický text.
Fajmon, 2023 B.Fajmon: Základy matematiky - verze 2023. Doplnění přednášek v předmětu MA0001, počet stran 153.
Fajmon, 2024 B.Fajmon: Algebra 2. Doplnění přednášek, elektronický text.
Kopka, J., 1991 Jan Kopka: Svazy a Booleovy algebry (Ústí nad Labem 1991, zejména str. 19-82). Pan profesor Kopka napsal svůj text z té pozice, že by rád přehledně a srozumitelně podal přehled pojmů algebry a diskrétní matematiky, aby byla vidět její krása. Kniha je hlubším rozvedením pojmu uspořádaná množina uvedeným v předmětu Základy matematiky.
Pinter, 2010 Charles Pinter: A book of Abstract Algebra, 2010. Jedná se o reprint druhého vydání z roku 1990. Neobyčejně čtivý text, napsaný z té pozice, že algebra je důležitá a má důležitá uplatnění.
Rosický, J., 2000 Jiří Rosický: Algebra - grupy a okruhy 2000, reprint textu z roku 1985. Tento text se hodně shoduje s osnovou předmětu Algebra 1 na PdF, nicméně jen až jako doplnění čtivější knihy (Pinter, 2010).