Cvičení A
Popište explicitně podmnožiny v R, tj. všude předpokládejte i£l: 1. {x : x < 2}   2.{i:x<2ai> -2}   3. {x : x - 2 < 0 nebo x > -2}   4. {x :x-2 < 3a;+1}   5. {x : x - 2 < 3x + 1 < 2x + 2}   6. {x : x - 2 < 3a; + 1 < 2x + 2 a 3x - 1 < x - 2 < 2x + 1}   7. {x : x2 - 2 < 0}   8. {x : (x - 2)2 > 0} 9. {x : |x - 2| > 0}    10b. {x : |x - 2| < 6}, pro nějaké obecné ô G R    11.
{x:(x + 2)(3x + l)<0}   12.{x:f^<0}    13. {x : ^+^+1) < °}    14"
{^f^ + f+i<o}
15t]. Najděte suprema a infima množin z předchozích příkladů.
16t]. Řešte stejnou úlohu s předpokladem, že všechny uvedené množiny jsou podmnožiny Q, Z, příp. N.
17. Umíte řešit podobné úlohy v C?
18b. Dokažte, že supremum je jediné, pokud existuje.
Najděte suprema, infima, největší a nejmenší prvky (pokud existují a pokud to
půjde) následujících podmnožin v R:
19.   {i:neN}    20.   {i : n G Z}    21.   {i : n G Q}    22.   {i : n G R}    23.
{(-1)":béN}   24. {(-l)"n : n e N}   25. |^^-:nGNJ   26. {l + (-l)n:
n G N}   27.{n+(-l)":tí6N}   28. {l + i;nGN}   29jj. {(l + i)" : n G N}
30.  {— : n,m G N a n < m}
t] Označte množinu z příkladu 30 jako Mo a analogicky pro libovolné c G Z definujte Mc = {— : n, m éN a c < n < m}. Potom
31.  najděte indexy c^d tak, aby Mc = Md 32. najděte indexy e a / tak, aby Me t^ Mf 33. najděte největší a nejmenší prvky, suprema a infima množin Mc v závislosti na c
34.  Popište sjednocení a průnik všech intervalů tvaru (0, —) pro n G N.
35.  Dělejte totéž pro uzavřené intervaly stejného tvaru.
36.  Totéž pro intervaly (— — ,—), (n, oo) a pod.
37.  Řešte tytéž úlohy pro 0 ^ n G Z, Q, příp. R. 38t]. Vysvětlete, proč je dělení 0 zapovězeno.
Uvědomte si, že nerovnost \a — b\ < c pro a,b,c,£ R znamená právě totéž, co tvrzení „vzdálenost a od 6 na reálné ose je menší než c". Pak řešte nerovnosti pro x G R:
1
39. \x+í\ >x+l 40. \x+í\ > \x\ + í 41. \x+í\ > \x+2\ 42. |3x+l| > |x+2| 43. 3x+l > \x\ > 3x-l 44. |x+l| + |x + 2| < 12 45. ||x+1| - |x + 2|| < 12 46. ]^±2l > 4   47. #±#,   < 5   48. |x(l - x)| < 0.05   49. \x2 - 41 > 0   50.
s+1                             3^+1    —                    i    v             yi                                 li
|x2-4|<l   51. |sinx| < 0.5   52. | sin2 x - 1| > 0   53. a podobně... 54t]. Dokažte, že pro libovolné a, 6 G R platí \a\ — \b\ < \a — b\.
55.  Pro která a, b platí rovnost?
56.  Uvědomte si, že úlohy „popište explicitně množinu {igl: x2 + x — 6 > 0}" a „řešte nerovnost x2 + x — 6 > 0 pro x G R" jsou úplně stejné. Pak řešte 15 a 16 vzhledem k zadáním 39 až 53.
571]. Dokažte, že pro každé 0<aGRanGN existuje jediné číslo 0 < x G R, pro které platí                které pak značíme symbolem %fa.
V následujících příkladech je k,n G N a a, b G R. Dokažte, že pro libovolné n
platí:
58. (ab)n = anbn    59.   \/ab =  vfä\/b, pokud výrazy smysl dávají   60b. 1 +
2 + ... + n = J2 k= ^n    61.   E fc2 = n(-n+1fn+1)    621].   E «fc = Ö
fc=l                                                    fc=l                                                                           fc=0
631]. {a + b)n = an + (vi)an-1b+ (™)an-2b2 +...+ (nn)bn 64. Napište předchozí výsledek jako Y, ■■ ■ 65ý. (1 + a)™ > 1+ na, pro a >-1 66jj. n™+1 > (n+1)™, pokudn>3   67tt.n!<(^!)"   68. if •• • ^ < ^i_
69t]. Pro n G N je n-tý člen posloupnosti a definován jako a„ = ;jry- Podle definice pojmu limity dokažte, že lima„ = l.1
Podobně, pro následující posloupnosti dokažte, že lim an = 0: 70. an = ^    71.an = ±    72. an = (-1)™ ■ 0.999™
73.  Podobně, pro an = lnn dokažte, že lima„ = oo.
74.  Podobně, pro an = (—í)nn dokažte, že lima„ neexistuje.
75ý. Rozmyslete si, zda platí liminf an = \imAn, kde An = infjafc : k > n}, a podobně pro lim sup...
ý Pro posloupnosti an, n G N, najděte supa„, inf an, lim sup an a liminf an, případně lima„, pokud existuje:
76.a„ = l-i    77. an = i»    78. an =  "l"2""^    79. an = (-1)™-1 (2 + 1) 80. a„  = n^1^      81. a„  =  ^-sinn2    82. an  =  l + nsin^      83. an = V^+T-v^     84. a„ = ^gg=f    85. «„ = -^±2=    86. an = £zl£l*    87. an = 1-2+3-4+i—2"    88. a„ = ("+1(^"+2)!    89. a další podobné příklady z doporučené literatury...
1 Symbolem liman se všude rozumí limita   lim  a„, pokud není výslovně řečeno něco jiného.
2
90. Vymyslete posloupnost, která konverguje k číslu ^.
91 tj. Dokažte, že pro každé 0<a€lac€R existuje ýa, tj. takové číslo
0<ieR,žein=c.
92jj. Dokažte, že posloupnost an = (l + —)    je rostoucí a shora ohraničená a
že posloupnost bn = (l + -) je klesající a ohraničená zdola. Pak ukažte, že obě posloupnosti mají stejnou limitu.2
Najděte následující limity:
93. lim(l-i)~™     94. lim (1 + ^)™     95. lim (l - f )5™~7
96jj. Pro libovolné k, n G N definujte an>k = 1+1+^ (l - i) + |r (l - i) (l - f)-
-----h^r (l — ^) (l — "i:)''" (l — ^7T") • Spočítejte  lim an^ a pokuste se vyjádřit
lim a„jfc.
fc—>oo
Pro a„fc z minulého příkladu dokažte:
97. an,'n = (1 + i)™   981]. an,fc < (l + £)", pro n > k > 2
99. Tlak v recipientu vývěvy klesne po jednom zdvihu pístu o 3%. Kolik se může udělat zdvihů, aby tlak neklesl pod 2/3 původní hodnoty?
100t]. Dokažte, že rozumíte paradoxu o Achilovi a želvě: předpokládejte např., že Achiles je 6-krát rychlejší a nechá želvě náskok 60 želvích kroků; spočítejte, jak daleko od startu želvu dohoní.
Poznámky. Seznam příkladů nemusí být úplný a během času se může ještě měnit—sledujte datum na první straně!
Symboly j}, \ a b slouží v textu k označení úloh, které by rozhodně neměly být přehlédnuty buď proto, že se k nim později vracíme, nebo jsou důležité a/nebo zajímavé samy o sobě. Použitý symbol současně naznačuje obtížnost řešení vzhledem k jeho obvyklému významu.
Jinak pro všechna n G N platí í Ľ-i-j         > 2
n+l
-1
2Tuto  limitu  budeme  všude  dál  značit  povědomým  symbolem  e,  tj.   lim (l H----)      =
lim (1 + ^)n+1 = e = 2.718281828459045235360287471352662497757247093699959.........
3