Test B (výběr z bobulí) 23­24. listopadu 2005 1. (4 body) Rozhodněte, zda je funkce f(x) = log 2x2 +1 sudá, lichá, . . . 2. (6 bodů) Pro která reálná čísla x není funkce g(x) = |x + 1| x2 - 6x - 7 spojitá. 3. (15 bodů) Najděte podmnožinu P R, na níž je funkce h(x) = 1 - 4 + 3x prostá. Pak najděte předpis pro inverzní funkci a určete její definiční obor. 4. (15 bodů) Podle definice pojmu limity dokažte, že lim x1 (1 - 2x) = -1. 1 Řešení B aktualizováno 2. ledna 2006 1. Funkce f je definovaná pro všechna x R a pro všechna x D(f) umíme psát f(x) = (x2 + 1) log 2. Takto máme funkci f vyjádřenou jako součin sudé funkce a nějakého čísla, tedy f je krásně sudá. 2. Funkce g, jako podíl dvou spojitých funkcí, je spojitá všude, kde je definovaná. Jinými slovy, funkce g není spojitá právě pro x D(g), tj. x {-1, 7} (kořeny funkce ve jmenovateli). 3. (i) Funkce h je definovaná pro všechna x R a je prostá všude, kde je defi- novaná, tedy P = R. Toto tvrzení můžeme ozřejmit nejméně dvojím způsobem: Způsob 1: Funkce 3x , a tedy i 3x + 4, je všude definovaná, kladná (!) a všude rostoucí funkce. Odtud 3x + 4 je opět všude definovaná a všude (o něco po- maleji) rostoucí funkce. Odtud - 3x + 4, a tedy i h(x) = 1 - 3x + 4, je zase všude definovaná a všude klesající, zejména tedy prostá, funkce. Způsob 2: Dokážeme přímo implikaci h(x) = h(x ) = x = x , pro libovolné x, x D(h) = R: h(x) = h(x ) = 1 - 4 + 3x = 1 - 4 + 3x = = 4 + 3x = 4 + 3x = = 4 + 3x = 4 + 3x = = 3x = 3x = x = x . Uvědomte si, že používáme (jiným způsobem) stejné argumenty jako v přede- šlém způsobu řešení; zejména např. poslední implikace platí, protože funkce 3x je rostoucí, tj. prostá. Taky si uvědomte, že implikace x = x = h(x) = h(x ) platí triviálně a hlavně s prostostí zobrazení h nemá nic společného! Závěr: Ještě jednou, P = D(f) = R, takže inverze globálně existuje a v násle- dujícím odstavci pro ni hledáme předpis. . . (ii) K vyjádření předpisu pro inverzní funkci, definujeme novou (závislou) pro- měnnou y = h(x) a snažíme se odtud vyjádřit x v závislosti na y. Pokud se nám to podaří, máme x = h-1 (y) a jsme hotovi. Obvykle se počítá takto: y = 1 - 4 + 3x y - 1 = - 4 + 3x (y - 1)2 = 4 + 3x y2 - 2y - 3 = 3x log3(y2 - 2y - 3) = x 2 POZOR, polovina předchozích úprav není uplně ekvivalentní! Poslední, tj. čtvrtá, úprava je ekvivalence, pouze když y2 - 2y - 3 > 0, což budeme diskutovat za chvíli v odstavci (iii). Zásadnější neekvivalence je skryta v úpravě druhé: platí pouze implikace y-1 = - 4 + 3x = (y-1)2 = 4+3x , ale opačné tvrzení určitě neplatí, neboť stejně dobře máme taky y - 1 = 4 + 3x = (y - 1)2 = 4 + 3x ! Tušíte nějaký důsledek tohoto pozorování? Pokud ne, hledejte odpověď v od- stavci (iii). . . Závěr: V každém případě, inverzní funkce k funkci h bude (až porozumíme předchozím otazníkům) explicitně zadaná předpisem h-1 (y) = log3(y2 -2y -3) nebo, s obvyklejší proměnnou, h-1 (x) = log3(x2 - 2x - 3). (iii) Definiční obor funkce h-1 je charakterizován podmínkou x2 - 2x - 3 > 0. Kořeny polynomu nalevo jsou čísla -1 a 3 a standardní úvahou dostáváme: (x + 1)(x - 3) > 0 právě tehdy, když x < -1 nebo x > 3. Celkem se tedy zdá, že D(h-1 ) = (-, -1) (3, ), ale. . . . . . . . . Kvíz: Proč tento závěr není správný? Odpověď: Protože funkce h byla všude definovaná a spojitá (!), musí být množina H(h) všech jejích hodnot souvislá podmnožina R. Protože však H(h) = D(h-1 ) a množinu napravo jsme právě popsali jako sjednocení dvou disjunktních inter- valů, není něco v pořádku. Útěcha: Množina (-, -1) (3, ) je skutečně definiční obor funkce log3(x2 - 2x - 3) a i tento výsledek jsem v písemce hodnotil plným počtem bodů. Funkce inverzní k h však bude definovaná pouze na jednom z těch intervalů. . . Správný závěr: V odstavci (i) jsme odvodili, že funkce h je klesající na celém de- finičním oboru. Protože, znova, h je spojitá a D(h) = R, jsou její hodnoty shora omezeny číslem lim x- h(x), pokud existuje, a zdola číslem lim x h(x), pokud existuje. Zpočítáme lim x- (1 - 4 + 3x) = 1 - 4 = -1 a lim x (1 - 4 + 3x) = 1 - = -, takže H(h) = D(h-1 ) = (-, -1). Cvičení: Druhá větev (tj. souvislá část) grafu funkce log3(x2 -2x-3) definovaná na intervalu (3, ) představuje inverzní funkci k funkci 1+ 4 + 3x, kterou jsme potkali v odstavci (ii); rozmyslete si podrobnosti a obrázek.. . 4. Označíme k(x) = 1 - 2x a dokážeme, že hodnoty funkce k konvergují k -1 pro x 1. Nikdo nepochybuje o správnosti tohoto tvrzení, neboť funkce k je všude spojitá, zejména tedy v 1, takže limx1 k(x) = k(1) = -1. Chceme tuto rovnost dokázat podle definice limity. . . Definice: Máme ukázat, že pro x dostatečně blízko 1 jsou hodnoty k(x) = 1-2x libovolně blízko číslu -1. Jinými slovy, chceme dokázat, že pro libovolné reálné číslo > 0 umíme najít nějaké (ryzí) okolí O bodu 1 tak, aby pro všechna x O platilo, že hodnoty k(x) jsou číslu -1 blíž než . Okolí O obvykle cha- rakterizujeme reálným číslem > 0, tj. uvažujeme O = (1 - , 1 + ) \ {1} = (1 - , 1) (1, 1 + ), a formálně předchozí úkol formulujeme takto: ,,Pro libovolné > 0 nejděte > 0 tak, aby pro všechna x R platilo 0 < |x - 1| < = |k(x) - (-1)| < ." (1) 3 Obrázek 1: k příkladu 3 (a) Nutnou podmínku, tj. nerovnost vpravo, můžeme ekvivalentně psát jako |(1 - 2x) - (-1)| < 2 |1 - x| < |x - 1| < 2 Zejména tedy platí implikace |x - 1| < 2 = |k(x) - (-1)| < , odkud je již zřejmé, že pokud pro libovolné > 0 definujeme = 2 (nebo jakékoli číslo menší), tak tvrzení (1) přesvědčivě platí. (b) Taky můžeme úlohu řešit tak, že aplikujeme proceduru, kterou jsme použí- vali pro (lokálně) monotonní funkce: ˇ funkce k(x) = 1-2x je spojitá a prostá na celém definičním oboru; předpis 4 pro inverzní funkci je k-1 (y) = 1 - y 2 ˇ najdou se mezní čísla x1 a x2, pro která je |k(x) - (-1)| = , tj. pro která platí k(x1) = -1 + a k(x2) = -1 - : x1 = k-1 (-1 + ) = 2 - 2 = 1 - 2 x2 = k-1 (-1 - ) = 2 + 2 = 1 + 2 ˇ spočítají se vzdálenosti x1, x2 od 1: 1 = |x1 - 1| = - 2 = 2 2 = |x2 - 1| = 2 = 2 ˇ jako výsledek se vezme menší delta: = min{1, 2} = 2 Závěr: Ať už jsme počítali jakkoli, pro libovolné reálné číslo > 0 skutečně existuje reálné > 0 (např. = 2 ) tak, že pro všechna reálná čísla x, která jsou 1 blíž než , jsou hodnoty 1 - 2x číslu -1 blíž než , tedy lim x1 (1 - 2x) = -1. Poznámky a cvičení: ˇ V našem případě byl postup (a) podstatně rychlejší než alternativa (b), ale obecně tomu tak nebývá. Jednak se pracuje s nerovnostmi a absolutními hodnotami, jednak je často třeba udělat nějaký chytrý odhad, tj. nahradit jednu nerovnost nerovností silnější (viz řešené příklady ve sbírce). Celkově, všechny úpravy v postupu (a) bývají dost formální, takže případné chyby se pak dost těžko hledají. ˇ Naopak, hlavní výhoda postupu (b) je, že přímo odpovídá názorné před- stavě, tj. obrázku. Samozřejmě, bez dodatečných modifikací je uvedený postup použitelný pouze pro limity v bodech, na jejichž nějakém okolí je studovaná funkce rostoucí nebo klesající (!), tedy např. spojitá a prostá, . . . ˇ V každém případě se snažte podobné úlohy vždy řešit (a výstupy srovná- vat) s konkrétním obrázkem. ˇ V našem případě, je výsledek (tj. závislost = 2 ) naprosto zřejmý už jen z obrázku, protože funkce k(x) = 1-2x, jejíž limitu počítáme, je obzvlášť jednoduchá, totiž lineární! 5 Obrázek 2: lim x1 (1 - 2x) = -1 z příkladu 4 6