Test C
(skupina 04)
15. prosince 2005
1. (40 bodů) Analyzujte funkci definovanou předpisem
f(x) =
x(1+x)
1-x pro x < 0
xe- x2
2 pro x > 0
.
Přitom za úplnou odpověď se považuje graf popsaný a sestrojený na základě
řešení následujících úkolů (ne nutně v tomto pořadí):
a. definiční obor D(f)
b. sudost, lichost, . . .
c. spojitost, limity na hranici D(f), nulové body a pod.
d. diferencovatelnost, extrémy, rostoucnost, klesajícnost
e. vypuklosti, inflexní body a tečny v inflexních bodech
f. asymptoty
g. obor hodnot H(f)
1
Řešení C
aktualizováno 3. ledna 2006
Funkce je definovaná pomocí dvou jednoduchých funkcí,
f1(x) =
x(1 + x)
1 - x
a f2(x) = xe- x2
2 ,
takže přirozeně rozdělíme naši analýzu na dvě části. Než tak učiníme, odpovíme
aspoň na to, co je zřejmé už nyní:
a. Funkce je definovaná pro všechna x = 0, tj. D(f) = R \ {0}.
b. Dále, funkce je definovaná symetricky podle 0, takže pokud by měla být
sudá, příp. lichá, muselo by platit f1(-x) = f2(x), příp. f1(-x) = -f2(x), pro
všechna x > 0. To zřejmě není pravda, takže funkce není ani sudá ani lichá.
Nic dalšího asi říct neumíme, takže pokračujeme po částech:
1. interval (-, 0). Na tomto intervalu pracujeme s funkcí
f1 =
x(1 + x)
1 - x
,
jejíž definiční obor je D(f1) = R \ {1} a . . .
c1. . . . protože f1 je podíl dvou spojitých funkcí (polynomů), je funkce f1 taky
spojitá na celém definičním oboru, zejména tedy na intervalu (-, 0).
Nulové body funkce f1 jsou právě kořeny polynomu v čitateli, tj. čísla -1 a 0, z
nichž pouze -1 náleží do studovaného intervalu. Z předešlých řečí o spojitosti
aspoň máme
lim
x0-
f(x) = lim
x0-
f1(x) = lim
x0
f1(x) = f1(0) = 0.
Na intervalu (-, 0) je funkce ve jmenovateli kladná, takže o znamínku f1
rozhoduje právě znamínko funkce v čitateli. . .
Celkem tedy máme:
ˇ pro x  (-, -1) je f1(x) > 0
ˇ pro x = -1 je f1(x) = 0
2
ˇ pro x  (-1, 0) je f1(x) < 0
ˇ pro x  0- je f1(x)  0
To je taky asi všechno, co umíme o funkci f1 říct bez derivování.. .
První představa: Už teď však máme docela dobrou představu o možném/-ých
grafu/-ech funkce; zejména už teď je jisté, že někde na intervalu (-1, 0) musí mít
funkce f1 (aspoň jedno) lokální minimum! (ví každý proč?) Podobně vidíme, že
lokálně kolem -1 musí být funkce f1 klesající a lokálně kolem 0 (zleva) rostoucí,
což by se mělo potvrdit v následujícím odstavci.
d1. Další kus analýzy je založen na výpočtu a následném přemýšlení o derivaci
(tj. rychlosti změny hodnot) funkce f1:
f1(x) =
df1
dx
=
(x + x2
) (1 - x) - (x + x2
)(1 - x)
(1 - x)2
=
=
(1 + 2x)(1 - x) + (x + x2
)
(1 - x)2
=
1 + x - 2x2
+ x + x2
(1 - x)2
=
=
1 + 2x - x2
(1 - x)2
První jednoduché pozorování je D(f1) = D(f1) = R \ {1}, což česky znamená,
že funkce f1 je diferencovatelná (zejména tedy spojitá) všude, kde je definovaná.
Pro nás to hlavně znamená, že graf funkce f1 nemá nikde žádné hroty, zobáky
a pod.
Dál, funkce ve jmenovateli je na celém definičním oboru kladná, takže o zna-
mínku a nulovosti f1 rozhoduje zase jenom funkce v čitateli. Kořeny polynomu
1 + 2x - x2
jsou čísla 1 

2, z nichž pouze 1 -

2
.
= -0.41 leží v intervalu,
kde f1 analyzujeme.
Protože funkce f1 je spojitá (!) na celém svém definičním oboru, 1 

2 jsou
její jediné nulové body a např. f1(0) = 1 > 0, můžeme udělat následující závěr:
ˇ pro x  (-, 1 -

2) je f1(x) < 0, tj. funkce f1 klesá
ˇ pro x = 1 -

2 je f1(x) = 0, tj. stacionární bod
ˇ pro x  (1 -

2, 0) je f1(x) > 0, tj. funkce f1 roste
ˇ pro x  [ 0, ) nás to už nezajímá
Odtud je hlavně patrno, že v bodě 1-

2 nabývá funkce f1 lokálně (na intervalu
(-, 0) dokonce globálně) minimální hodnoty, která je přibližně f1(1 -

2) =
   =

8 - 3
.
= -0.17; zejména 1 -

2  (-1, 0), což potvrzuje náš dřívější
dohad. Podobně, diskuzi o lokálním chování kolem -1 a 0 můžeme snadno a
přesvědčivě ověřit jenom dosazením f1(-1) = -1
2 < 0 a f1(0) = 1 > 0. . .
e1. O případné další vlnitosti grafu funkce f1 budeme umět říct víc po spočítání
její druhé derivace f1 , které lidově říkáme zrychlení. Ze zkušenosti víme, že
3
funkce podobného typu jako f1 jsou velmi skromné, tj. žádné zbytečné vlnění
neočekáváme:
f1 (x) = (f1(x)) =
(1 + 2x - x2
) (1 - x)2
- (1 + 2x - x2
)((1 - x)2
)
(1 - x)4
=
=
(2 - 2x)(1 - x)2
- (1 + 2x - x2
)2(1 - x)(1 - x)
(1 - x)4
=
=
2(1 - x)3
+ 2(1 + 2x - x2
)(1 - x)
(1 - x)4
=
=
2(1 - x) (1 - x)2
+ (1 + 2x - x2
)
(1 - x)4
=
=
4
(1 - x)3
Skutečně, pro x < 0 je 1 - x > 0, takže f1 (x) > 0. To znamená, že funkce f1
nemá inflexní body a na intervalu (-, 0) je graf vypuklý jen jedním způsobem
a to dolů. Mimo jiné nás tento výsledek znova ujišťuje, že v bodě 1 -

2 má
funkce f1 lokálně minimální hodnotu (f1(x) = 0 a f1 (x) > 0 = x je lok. min.).
f1. Poslední, co je třeba diskutovat, abychom měli úplnou a dokonalou představu
o grafu funkce na intervalu (-, 0), je chování pro x  -. Zejména nás
zajímá, zda jsou hodnoty funkce f1 nějak shora omezné. O tom by mohla něco
prozradit limita
lim
x-
f1(x) = lim
x-
x + x2
1 - x
=    = , 1
takže funkce shora omezená není.
Funkce sice nekonverguje k žádné reálné hodnotě, přesto se pro x  -
může její průběh linearizovat, tj. může existovat přímka y = ax + b, k níž
se graf funkce f1 asymptoticky blíží. . . To nastane právě tehdy, když existuje
limita lim
x-
f1(x) (nebo ekvivalentně, když lim
x-
f1 (x) = 0) a směrnice a pak
bude rovna tomuto číslu.2
Alternativně lze směrnici asymptoty počítat jako
lim
x-
f1(x)
x a cvičně spočítáme všechny limity, které jsme dosud zmínili:
(a) Nejjednodušší ze všech je
lim
x-
f1 (x) = lim
x-
4
(1 - x)3
=
4

= 0,
takže asymptota bude!
(b) Směrnice poprvé:
a = lim
x-
f1(x) = lim
x-
1 + 2x - x2
1 - 2x + x2
=    = lim
x-
-1
1
= -1.
1uvědomte si, že pro x  - máme neurčitý výraz typu 

a že znáte aspoň tři způsoby,
jak tuto limitu řešit. . . . . .
2hodnota f1(x) je směrnice tečny ke grafu f1 v bodě x a asymptota je tečna v 
4
(c) Směrnice podruhé:
a = lim
x-
f1(x)
x
= lim
x-
1 + x
1 - x
=    = lim
x-
-1
1
= -1.
Hodnotu b teď získáme přímo z formálního popisu asymptotického chování
funkce f1, tj. ze vztahu lim
x-
(f1(x) - (ax + b)) = 0. Odtud
b = lim
x-
(f1(x) + x) = lim
x-
x(1 + x) + x(1 - x)
1 - x
= lim
x-
2x
1 - x
=    = -2.
Dohromady, asymptota ke grafu funkce f1 pro x  - je přímka
y = -x - 2.
g1. Uvědomte si, že skutečně až nyní známe obor hodnot funkce f1 na intervalu
(-, 0): pro x < 0 nabývá funkce f1(x) všech (!) hodnot z množiny
H1 = [

8 - 3, ).
Poznámka: Ve všech úpravách, co jsme dělali s limitami, tři tečky znamenají
vždy některou z mnoha možných úprav/úvah, které za celý semestr ovládáme
(viz poznámka 1 pod čarou) a ani v písemce je není třeba nějak zvlášť rozepi-
sovat.. .
Závěr: Výsledek dosavadního počítání by měl být shrnut v grafu, který částečně
popíšeme. Funkci f1 jsme sice analyzovali na intervalu (-, 0), ale vždy máme
spočítáno o něco víc, viz obrázek 1. . . . . .
2. interval (0, ). Na tomto intervalu pracujeme s funkcí
f2(x) = xe- x2
2 ,
která je definovaná pro všechna x  R.
c2. Na celém definičním oboru je funkce f2 spojitá jakožto součin dvou spojitých
funkcí. Přitom funkce e- x2
2 je spojitá, protože je to složení spojitých funkcí ex
a -x2
2 , . . .
Protože e- x2
2 > 0 pro všechna x  R, má fukce f2 jediný nulový bod a to 0.
Odtud pro x > 0 je f2(x) > 0 a pro úplnost ještě dodejme
lim
x0+
f2(x) = f2(0) = 0,
tedy stejný výsledek jako v odstavci c1 zleva. Do celkové diskuze si tedy budeme
pamatovat, že
lim
x0
f(x) = 0.
5
Obrázek 1: funkce f1(x) = x(1+x)
1-x
Narozdíl od diskuze na intervalu (-, 0) neumíme z těchto informací utvo-
řit téměř žádnou představu o možném průběhu funkce f2. Proto, hnáni nedo-
čkavostí, spočítáme cvičně limitu lim
x
f2(x) a to záměrně ještě před tím, než
začneme derivovat!
Výpočet lim
x
f2(x): Pro x   dostáváme neurčitý výraz typu e-
= 0
a jediný přirozený způsob, jak takovou limitu dopočítat, je asi tento: Přepíšeme
xe- x2
2 =
x
e
x2
2
a výraz napravo je, pro x  , neurčitost typu 
 a samozřejmě vyzkoušíme
trik Guillauma Francoise Antoina de l'Hospitala: Obě funkce, které v podílu
vystupují, jsou diferencovatelné,
(x) = 1, e
x2
2 = e
x2
2
x2
2
= xe
x2
2
6
a
lim
x
1
xe
x2
2
=
1

= 0.
Celkem tedy platí
lim
x
f2(x) = lim
x
x
e
x2
2
= lim
x
1
xe
x2
2
= 0.
Důsledky a první představa: První důsledek předešlého výpočtu je úplné řešení
úlohy o asymptotách: protože funkce f2 je na intervalu (0, ) všude definovaná,
jediná asymptota tady je přímka y = 0.
Další závěr plyne z faktu, že f2(x) > 0 pro x  (0, ), limx0+ f2(x) = 0 a,
zejména, f2 je spojitá. Odtud funkce f2 musí být v nějakém (pravém) okolí 0
rostoucí, na studovaném intervalu bude mít (alespoň jedno) lokální maximum
a (aspoň jeden) inflexní bod. Všechny tyto předpovědi by se měly potvrdit v
nádledujících odstavcích. . .
d2. První derivování:
f2(x) = (x) e
-x2
2 + x e
-x2
2 = e
-x2
2 1 + x
-x2
2
= e
-x2
2 (1 - x2
)
Odtud zejména D(f2) = D(f2) = R, tj. funkce je diferencovatelná na celém
svém definičním oboru. Dále, e- x2
2 > 0 pro všechna x  R, takže o znamínku a
nulovosti f2 rozhoduje pouze druhý součinitel 1 - x2
. . .
ˇ pro x  (0, 1) je f2(x) > 0, tj. funkce f2 roste
ˇ pro x = 1 je f2(x) = 0, tj. stacionární bod
ˇ pro x  (1, ) je f2(x) < 0, tj. funkce f2 klesá
Takže x = 1 je lokální maximum s hodnotou f2(1) = e- 1
2 = 1
e
.
= 0,6. Všimněte
si, že f2(x) je opět spojitá funkce a lim
x0+
f (x) = f2(0) = 1, což je stejná
hodnota, jako v odstavci d1, počítáme-li zleva. Pro celkovou představu o funkci
f to znamená, že případná dodefinice f v 0 jako
f(0) := 0
by bylo nejen spojité, ale i diferencovatelné rozšíření funkce f. V obrázku bu-
deme toto pozorování reprezentovat společnou tečnou. . .
e2. Druhá derivace:
f2 (x) = e
-x2
2 (1-x2
)+e
-x2
2 (1-x2
) = e
-x2
2 -x(1 - x2
) - 2x = e
-x2
2 x(x2
-3)
Na intervalu (0, ) máme jediný inflexní bod

3 a přesně podle očekávání je
3 > 1. . . . . . Jednoduchá diskuze o znamínku vede k závěru:
7
ˇ pro x  (0,

3) je f2 (x) < 0, tj. f2 je vypuklá nahoru
ˇ pro x =

3 je f2 (x) = 0, tj. inflexní bod
ˇ pro x  (

3, ) je f2 (x) > 0, tj. f2 je vypuklá dolů
Tečna v inflexním bodě: Nejdřív spočteme
f2(

3) =

3e- 3
2 =

3

e3
,
f2(

3) = -2e- 3
2 =
-2

e3
.
Nyní tečna v (x, y) = (

3, f2(

3)) je přímka y = ax+b, kde a = f2(

3) = -2
e3
a b dostaneme po dosazení

3
e3
= -2
e3

3 + b, tedy b = 3

3
e3
(pokud počítám
dobře). Dohromady tečna v inflexním bodě je přímka
y =
-2

e3
x +
3

3

e3
.
f2. Už z odstavce c2 víme, že asymptota pro x   je přímka
y = 0.
Jinak y = ax+b a cvičně se každý rád přesvědčí, že a = lim
x
f2(x)
x = lim
x
f2(x) =
0. Odtud pak b = lim
x
f2(x) = 0, což je právě zmiňovaný výpočet. . .
g2. Pro x > 0 nabývá funkce f2 všech hodnot z intervalu
H2 = 0,
1

e
.
Závěr: Výsledky počítání opět zhodnotíme v grafu a protože je funkce f2 jasně
lichá, kreslíme jej rovnou celý, viz obrázek 2.
Závěr. Funkce f je definovaná pro všechna x = 0, tj.
D(f) = R \ {0},
není ani sudá ani lichá a je spojitá a diferencovatelná na celém definičním oboru.
Množina všech hodnot, kterých f nabývá, je sjednocením množin H1 a H2 shora,
tj.
H(f) = [

8 - 3, ).
Tímto odpovídáme na úkoly a, b, g a částečně c a d. Zbytek shrneme následu-
jícím přehledným způsobem a obrázkem:
c. první představa:
8
Obrázek 2: funkce f2(x) = xe- x2
2
ˇ pro x  - je f(x)  
ˇ pro x  (-, -1) je f(x) > 0
ˇ pro x = -1 je f(x) = 0
ˇ pro x  (-1, 0) je f(x) < 0
ˇ pro x  0 je f(x)  0
ˇ pro x  (0, ) je f(x) > 0
ˇ pro x   je f(x)  0
d. monotónnosti a extrémy:
ˇ pro x  (-, 1 -

2) funkce f klesá
9
ˇ pro x = 1 -

2 je hodnota f(x) =

8 - 3 lokálně minimální
ˇ pro x  (1 -

2, 0) funkce f roste
ˇ pro x  (0, 1) funkce f roste
ˇ pro x = 1 je hodnota f(x) = 1
e
lokálně maximální
ˇ pro x  (1, ) funkce f klesá
e. vypuklosti a inflexní body:
ˇ pro x  (-, 0) je f vypuklá dolů
ˇ pro x  (0,

3) je f vypuklá nahoru
ˇ pro x =

3 máme inflexní bod s tečnou y = -2
e3
x + 3

3
e3
ˇ pro x  (

3, ) je f vypuklá dolů
f. asymptoty:
ˇ pro x  - je asymptotou přímka y = -x - 2
ˇ pro x   je asymptotou přímka y = 0
10
Obrázek 3: funkce f (tlustě)
11