Test O
(opravný)
10. ledna 2006
A1. (2 body) Najděte infimum množiny M = {x  R : x3
- 3 > 0}.
A2. (10 bodů) Zjistěte, pro která reálná čísla x platí nerovnost
x + 3
x - 3
< 3.
A3. (10 bodů) Dokažte, že pro libovolné přirozené číslo n platí
2 + 5 + 8 +    + (3n - 1) =
n
2
(3n + 1).
A4. (18 bodů) Podle definice pojmu limity dokažte, že
lim
n
n + 3
n - 3
= 1.
B1. (4 body) Rozhodněte, zda je funkce f(x) = log3(x - 1)3
sudá, lichá, . . .
B2. (6 bodů) Pro která reálná čísla x není funkce z předchozího příkladu spojitá?
B3. (15 bodů) Najděte podmnožinu P  R, na níž je funkce
f(x) = 1 +
3

3x
prostá. Pak najděte předpis pro inverzní funkci a určete její definiční obor.
B4. (15 bodů) Podle definice pojmu limity dokažte, že
lim
x1
x - 3
3
= -
2
3
.
C1. (40 bodů) Analyzujte funkci
f(x) =
x + 3
x - 3
2
.
Přitom za úplnou odpověď se považuje graf popsaný a sestrojený na základě
řešení následujících úkolů (ne nutně v tomto pořadí):
a. definiční obor D(f)
b. sudost, lichost, . . .
c. spojitost, limity na hranici D(f), nulové body a pod.
d. diferencovatelnost, extrémy, rostoucnost, klesajícnost
e. vypuklosti, inflexní body a tečny v inflexních bodech
f. asymptoty
g. obor hodnot H(f)
2