[7 ľ) Z7n vi/ 1 nr>^/0\iTli/7\nr>r\/7>\rii Lp ň if?) n n LD UQJLlLöLIUUcL uu ľ ^7, Jín Tesár Vypracoval: David Michálek 9908 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady Soustavy lineárních rovnic Příklad 2 /strana 6 Reste soustavu rovnic: 3xj + 6x2 x, -x, + 2x2 + 3x3 2xj + x. - 2xQ = 4 2 0 3 6 -1 41 / -1 2 3 2 ~ 2 1 -2 °J v 1 2 3 21 f 2 1 -2 0 ~ 3 6 -1 V v v hs=hr=n = 3 ^> soustava má jedno řešení 4 1 —x. =- 5 3 5 -12 3 21 / 0 5 4 4 ~ 0 12 8 loj n { / -1 2 3 21 0 5 4 4 ~ 0 6 4 5J v /■5 -4x3=l ^> xQ =-- 5x2+3-x3=4 5x2 + 4 5x2 -1 = 4 5x2 = 5 v t; -Xj + 2x2 +3-x3 = 2 -Xj+ 2-1 + 3' f i \ V *) -1 2 0 5 0 0-- x2=l = 2 -x,+2 — = 2 => x, = — 1 4 4 Soustava rovnic má jedno řešení f 4 4 Příklad 3 / strana 6 Řešte soustavu rovnic: 2xj - x2 + 3x3 = 3 3xj + x2 - 5x3 = 0 4x, x2 + Xl X2 2 -1 3 1 4 -1 *3 \ f 3 3 5 0 1 V v X, X 2 X3 xi \ f 1 -5 3 0 1 1 4 3 1 3 2 V v zV /-) Äq 1 0 0 n jedno řešení x, -5 3 -4 7 -2 5 f \ 0 3 3 J v X0 X, 1 0 0 X, -5 3 -4 7 o i 2 0 3 3 2y David Michálek strana 1 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady 3 3 -x,=- A2 2 l 2 3xj=3 ^> x1=l -4x3+7x1=3 -4x3 + 7-l = 3 - 4x3 + 7 = 3 -4x3 = -4 => x3=l \. rj JÄo \ J/ZVi — = 0 x2-5-l + 3-l = 0 x2-5 + 3 = 0 x2-2 = 0 => x2=2 Soustava rovnic má jedno řešení (1; 2; l). Příklad 4 /strana 6 Řešte soustavu rovnic: 3xj + 2x2 12 5xj + 4x2 — x3 = 17 Xi + 2x2 + 5x3 = 33 ( í1 2 5 33^ f\ 2 5 33^ '1 2 5 33^ 1 2 5 33 5 4 - -1 17 ~ 0 -6 -26 -148 /2~ 0 -3 -13 -74 ~ 0 -3 -13 -74 k3 2 0 U, ,0 -4 -15 -87y ^ -4 -15 -87J 0 0 7 35 V 3 3 K=K = n ^> jedno řešení 7 35 —x, =— / 3 3 3 •3 r* 7x3=35 ^> X3 = 5 -3x2 -13x3 = -74 -3x„-13-5 = -74 -3x.-65 = -74 -3x2 = -9 Xj + 2x2 + 5x3 =33 Xj + 2-3 + 5-5 = 33 Soustava rovnic má jedno řešení (2; 3; 5). Xj +31 = 33 Xj =2 x2=3 Příklad 5 / strana 6 Řešte soustavu rovnic: xl + X2 + 5x3 = = 1 3xj + 4x2 + 7x3 = = 2 6xl + 8x2 + 9x3 = = 4 '1 1 5 1] f 3 4 7 2 ~ .6 8 9 V v 1 1 5 1] f 0 1 -8 -1 ~ 0 2 -21 -v v 1 1 0 1 o o 5 -8 -5 -1 h = h, =n = 3 jedno řešení David Michálek strana 2 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady -5x3 =0 => x3 = 0 x2-8x3=-l x2-8-0 = -l ^> x2 = -l x1+x2 + 5x3=l Xj-1 + 5-0 = 1 Xl-l = l Soustava rovnic má jedno řešení (2; -1; 0) x, Příklad 6 /strana 6 Řešte soustavu rovnic: x, n + x2 + 2x3 = 4xj + x2 + 6x3 = 1 -4 -2 / 1 1 2 2-12 4 1 6 h =h =2 1^ f -4 ~ -v v 1 1 2 1] / 0 -3 -2 -6 ~ 0 -3 -2 "6J v 1 1 2 1^ 0 -3 -2 -6 0 0 0 °J n = 3 h = h„ nekonečně mnoho řešení -6 -3x„-2-l = -6 -3x, Soustava rovnic má oo řešení např.: x. 10 x, + — = 1 7 > V 3 3 x, = — y Příklad 7/strana 7 Řešte soustavu rovnic: 2xj + X2 — X3 + x4 = 1 3xj — 2x2 + 2x3 - 3x4 = 2 5xj + X2 - x3 + 2x4 = 1 2xj — X2 + x3 - 3x4 = 4 íXl X2 X3 x ^ x4 ^x2 X3 x4 xi \ ^x2 X3 x4 X! 1 rx2 X3 x4 Xj 2 1 -1 1 1 1 -1 1 2 1 1 -1 1 2 1 i -1 1 2 3 -2 2 -3 2 ~ -2 2 -3 3 2 ~ 0 0 -1 7 4 ~ 0 0 -2 4 5 1 -1 2 1 1 -1 2 5 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 ,2 -1 1 -3 4, ^ 1 -3 2 4, V° 0 -2 4 5, 1° 0 -1 7 David Michálek strana 3 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady Příklad 8 /strana 7 Reste soustavu rovnic: 3xj + + 2x3 2xj — X2 + 5x3 7Xl — 2x2 + 12x3 2x, + 2xc = 6x, x, 3x„ + 15x, - 2x4 + 4x5 = + 6xc = x. x. 3 0 2 2-15 7 -2 12 -2 6 -3 15 x4 X5 \ / -2 0 7 0 2 5 ~ -2 4 17 0 6 15J v X, x, x, -1 5 -2 12 -3 15 0 -2 0 0 2-2 / x. x, x xs x, -15 0 2 2 0 2-203 0 2-203 0 0 0 0 0 \ / 5 7 ~ 7 °J v X, x, x, X5 2 4 6 0 x. 7 5 17 15 xi 2 7 6 3 x, \ f 5 17 ~ 15 V v X, x, x, xs -1 0 0 0 5 2 0 2 0 -2 0 -2 2 0 0 0 xl 2 3 0 3 -15 0 2 2 0 2-203 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 nekonečně mnoho řešení hs=hr=2 n = 5 hs=hr x3=0 -x2 + 5x3 + 0x4 + 2x5 + 2xj =5 - x2 + 5 • 0 + 0 • (-1) + 2- — + 2- — =5 18 « * « i -x2 H-----= 5 -x2 + 6 = 5 =^> x2=l 8 10 e x„ + - + — = 5 Soustava rovnic má °o řešení např.: 5 *\ -; i;«; -1;šJ Příklad 9 /strana 7 Řešte soustavu rovnic: 2x + 3y + z = 4 x + 2y + 2z = 6 5x + y + 4z = 21 David Michálek strana 4 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady (2 3 1 41 / 1 2 2 6 ~ ^5 1 4 2lJ v 2 2 61 f 1 4 21 ~ 3 1 V v 1 2 2 0 -9 -6 0 -1 -3 A -9 -8 /3 '1 2 2 61 f\ 2 2 6 0 -1 -3 -8 ~ 0 -1 -3 -8 .0 -3 -2 -v V° 0 7 21 hs=hr=n = 3 ^> jedno řešení 7z = 21 => z = 3 -y-3z = -8 -y-3-3 = -8 -y-9 = -8 => y = -l x + 2y + 2z = 6 x + 2-(-l) + 2-3 = 6 x-2 + 6 = 6 x + 4 = 6 Soustava rovnic má jedno řešení (2; -1; 3). x = 2 Příklad 10/strana 7 Řešte soustavu rovnic: 3x + 5y - z = 0 x - 2y + z = 5 4x + 3y 5 '3 5 -1 °] (\ -2 1 5^ 'l -2 1 5^ (\ -2 1 -2 1 5 ~ 4 3 0 5 ~ 0 11 -4 -15 ~ 0 11 k4 3 0 5, V3 5 -1 °, .0 11 -4 -15, .0 0 1 5^ 4 -15 0 °J hs = hr = 2 n = 3 hs = hr < n ^> nekonečně mnoho řešení volíme např.: z = 1 lly-4z = -15 lly-4-l = -15 lly-4 = -15 lly = -11 => y = -1 x-2y + z = 5 x-2-(-l) + l = 5 x + 2 + l = 5 x + 3 = 5 ^>x = 2 Soustava rovnic má oo řešení např.: (2; -1; l). Příklad 11 /strana 8 Řešte soustavu rovnic: 3x - 5y + z = 2x - 2y + 3z = x + y - z = \ f 3 2 1 -5 1 -2 3 1 -1 0 5 4 1 1 -1 3 -5 1 2-2 3 41 ( 0 ~ 5J \ 1 -8 -4 41 f -12 ~ -v v 1 -1 41 8 4 -12 4 5 -v David Michálek strana 5 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady (1 1 -1 41 '1 1 -1 41 ^ 1 -1 41 0 -4 5 -3 ~ 0 -4 5 -3 ~ 0 -4 5 -3 1° -8 4 -I2J J 0 -6 "6J /:(-6) J 0 1 V hs = hr = n = 3 ^> jedno řešení z matice vyplývá: z = l -4y + 5z = -3 -4y + 5-l = -3 -4y + 5 = -3 -4y = -8 => y = 2 x+y-z=4 x+2-l=4 x+l=4 ^> x=3 Soustava rovnic má jedno řešení (3; 2; l). Příklad 12 /strana 8 Řešte soustavu rovnic: x - 3y + 5z = -8 -x + y - z = 1 2x + y + z = 3 / \ 1 -3 5 -8 0 -2 4 -7 0 0 5 11 v 2J í 1 -3 5 "81 '1 -3 5 "81 -1 1 -1 1 ~ 0 -2 4 -7 l2 1 1 3J V° 7 -9 I9J hs = hr = n = 3 ^> jedno řešení z matice vyplývá: 11 11 / < 2 11 11 5z =-----1:5 => z = —— =-----= -1,1 2 5 10 -2y + 4z = -7 -2y + 4-(-l,l) = -7 -2y-4,4 = -7 -2y = -2,6 ^> y = 1,3 x-3y + 5z = -8 x-3-l,3 + 5-(-l,l) = -8 x-3,9-5,5 = -8 x-9,4 = -8 => x = l,4 Soustava rovnic má jedno řešení (1,4; 1,3; -1,1)- David Michálek strana 6 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady Příklad 13 /strana 8 Řešte soustavu rovnic: - 2x„ + 3xQ x, x, 4x, Xr x, + x, = + 3x, - 3x„ = 1 0 1 0 - 7x -2 1 3 -7 2 3 -1 0 + 3x -4 1 -3 1 0 0 0 -2 1 0 o 3 -1 2 -2 h =h =3 n 4 -3 1 -3 -4 1 -4 4 = 4 4^ -3 12 -12 h x4 = -2 1 5 -7 f\ 0 0 0 v h x3=2 x2=l x,-2 + 6 + 8 = 4 -2-2 =-3 x2-4 = -3 =; 4 Xl-2 + 3-2-4-(-2) = 4 4 ^> x1 = -8 Soustava rovnic má 00 řešení např.: (-8; 1; 2; - 2). ■4x, Příklad 15 / strana 9 Řešte soustavu rovnic: x + 2y — z = 0 3x - y + 2z = 0 llx + y + 4z = 0 ' 1 2-1 °] '1 2 -1 °] 3-12 0 ~ 0 -7 5 0 U 1 4 °, .0 -21 15 °, h =h =2 n h =h < n /:(-3) 1 2 0 -7 0 7 -1 °] / 5 0 ~ -5 °J V 1 2 0 -7 0 0 -1 5 0 0^ 0 o J nekonečně mnoho řešení David Michálek strana 7 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady volíme z = 1, z matice vyplývá: -7y + 5z = 0 -7y + 5-l = 0 -7y + 5 = 0 -7y = -5 : x + 2y-z = 0 x + 2---l = 0 x + 2---l = 0 x + - = 0 7 7 7 Soustava rovnic má oo řešení např.: y = => x = — ( 3 5 \ \ Y r i ) Příklad 16/ strana 9 Řešte soustavu rovnic: 3xj + xi - x. X, x, + x, + 3xQ + 2x„ = 5xj + 2x2 3x, + x, - x, = + 5x 3 1 -1 1 -1 3 5 2 3 0 1 5 3 \ f 0 o o o 1 -1 5 2 3 3 0 0 o -1 7 3 4 3 2 °] / -14 -11 0 -4 -6 0 -10 -5 °J v 3 1 0 5 1 -1 1 -1 2 °] / -1 0 0 0 1 °J v 1 -1 7 3 4 7 0 0 0 3 -14 2 -2 2 0 í 11 0 9 0 — 7 9 — 0 7 ) v 3 -14 -4 -10 1 -1 0 7 0 0 0 0 2 -11 -6 -5 0^ 0 o o 3 -14 2 0 2 -11 9 7 0 0^ o o o hs=hr=3 volíme x, 2x3-yx4=0 n = 4 hs=hr -2,8 , z matice vyplývá: 9 nekonečně mnoho řešení 2x3-----(-2,8) = 0 2x3+3,6 = 0 2x3 = -3,6 ^> x3=-l,8 7x2-14x3-llx4 = 0 7x2-14-(-l,8)-ll-(-2,8) = 0 7x2+ 25,2 + 30,8 = 0 7x2 + 56 = 0 7x2 = -56 => x2 = -8 x1-x2 + 3x3 + 2x4 = 0 x1 + 8 + 3-(-l,8) + 2-(-2,8) = 0 xl + 8-5,4-5,6 = 0 Xj -3 = 0 ^>Xj=3 Soustava rovnic má co řešení např.: (3; - 8; -1,8; - 2,8). David Michálek strana 8 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady Příklad 17 / strana 9 Řešte soustavu rovnic: 2xj 3xj 4Xl 5x, 3x, 4x2 5x 4 5 2 2 2 5 2 3 4 4 -6 2 + + + + + + + + 2x 3 4 5 2 3 3 1 0 0 26 hs =hr =n = 4 z matice vyplývá: 4x3 5x3 2x, 3x. + + + + 5x4 = 2x4 = 3x4 = 4xA = 261 f 25 24 23 Z.JJ v 5 -7 -2 30 2 0 0 0 26^ -28 0 112, 3 -0,5 4 -1 -1 -6 -5,5 -7 '2 0 0 0 1:2 26 25 24 23 5 -5,5 -7 -8,5 3 261 / -14 -28 -42J v 3 -1 -0,5 4 -6 -1 -5,5 -7 -1 0 0 4 -6 2 13 5 -7 -2 15 261 / -28 0 56y v 3 -1 0 0 jedno řešení 28x4 = 56 x4 = 2 5 -7 -5,5 -8,5 4 -6 2 0 26^ -28 -14 -42 5 -7 -2 28 J 26^ 28 0 56 J 2xQ-2x„ =0 2x^-2-2 = 0 2xQ-4 = 0 2x. x. -x2 - 6X3 - 7x4 = -28 -x2-6-2-7-2 = -28 -x2-12-14 = -28 -x2-26 = -28 -x2 = -2 =^> x2 = 2 2xj + 3x2 + 4x3 + 5x4 26 2x, +3 -2 + 4 -2 + 5 -2 = 26 2xx+ 6 + 8 + 10 = 26 2xj + 24 = 26 2xj = 2 ^> x1 = 1 Soustava rovnic má jedno řešení (l; 2; 2; 2). Příklad 18 /strana 9 Řešte soustavu rovnic: x + 3y + 2z = 0 2x - y + 3z = 0 3x - 5y + 4z = 0 x + 17y + 4z = 0 David Michálek strana 9 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady f\ 3 2 OWl 3 2 0] íl 2-130 0-7-10 0 3 -5 4 0 ~ 0 -14 -2 0 ~ 0 1 17 4 0 0 14 2 0 0 \ /V /V hs=hr=2 n = 3 hs=hr y = l x + 3y + 2z = 0 x + 3-l + 2-(-7) = 0 x + 3-14 = 0 Soustava rovnic má oo řešení např.: (11; 1; - 7). x = ll David Michálek strana 10 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady Vektory Příklad 1 /strana 17 Zjistěte, zda vektory a (2; 3; 0), b (5; 7; 0), c (-6; 0; 1) a d (1; 10; 1) jsou lineárně závislé. (2 3 0 0^ 5 7 0 0 -6010 1 10 1 0 O ío i ol A ío i ö\ 7 2 3 0 0 -6010 v5 7 0 0y 0 -17 -2 0 0 63 7 0 v0 -43 -A 0j (\ 10 1 Ö) 0 -17 -2 0 7 0 0 17 0 o o i? 0 17 (\ io l ö\ 0 -17 -2 0 0 0-70 0 0 18 0 7 (\ io l ö\ 0 -17 -2 0 0 0-70 0 0 0 0 7 J Hodnost matice h = 3 a počet uvažovaných vektorů n = 4 ^> h < n ^> vektory jsou lineárně závislé. Príklad 2 /strana 17 Zjistěte, zda vektory a (3; 2; 0; 1), b (1; 0; 0; 1), c (2; 4; 2; 1) a d (5; 2; 3; l)jsou lineárně závislé. 'i o o r '10 0 n '10 0 n ri 0 0 1 ^ 3 2 0 1 0 2 0 -2 0 2 0 -2 0 2 0 -2 2 4 2 1 rsu 0 4 2 -1 /^/ 0 0 2 3 /^/ 0 0 2 3 v5 2 3 1, v0 2 3 -4, v0 0 3 -2, v0 0 0 -6,5, Hodnost matice h = 4 a počet uvažovaných vektorů n = 4 => h = n ^> vektory jsou lineárně nezávi slé. Příklad 3 /strana 17 Zjistěte, zda vektory a (1; 0; 0), b (2; -1; 1) a c (1; 1; 3) jsou lineárně závislé. '1 0 0^ H 0 0^ H 0 0^ 2 -1 1 1 V J v -1 1 0 4 0 -1 1 0 1 3 Hodnost matice h = 3 a počet uvažovaných vektorů n = 3 lineárně nezávislé. h = n ^> vektory jsou David Michálek strana 11 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady Příklad 4 /strana 17 Zjistěte, zda vektory a (1; 0; -2), b (3; 1; 0) a c (-2; 1; 10) jsou lineárně závislé. f 1 0 -2Wl 0 -2^ (\ 0 -2^ 0 1 6 0 0 0 3 1 -2 1 0 10 0 1 0 1 6 6 Hodnost matice h = 2 a počet uvažovaných vektorů n = 3 ^> h vektory jsou lineárně závislé. Příklad 5 /strana 17 Zjistěte, zda vektory a (5; 2; -2), b (3; 1; -1) a c (-1; 0; 0) jsou lineárně závislé. f5 2 -2^ f-\ 0 0^ M 0 0^ í-l 0 0^ 0 1-1-0 1-1 0 2-2 3 1 -1 -10 0 v v v v v 3 1 -1 5 2-2 Hodnost matice h = 2 a počet uvažovaných vektorů n = 3 lineárně závislé. 0 0 Oj > h vektory jsou Příklad 7/strana 18 Zjistěte, zda vektory a (2; 3; 0), b (5; 7; 0) a c (0; 1; 2) jsou lineárně závislé. f x y 2 3 5 0 z 0 7 0 1 2 / y i z 2 7 0 3 0 x] f 0 5 rSfc/ 2 J V y z i 2 0 -14 0 -6 X 0 5 2 y y i o v z 2 -14 0 0 x 0 5 \ 1 1J David Michálek strana 12 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady Hodnost matice h = 3 a počet uvažovaných vektorů n = 3 ^> h = n lineárně nezávislé. vektory jsou Příklad 8 /strana 18 Zjistěte, zda vektory a (2; 1; 0), b (3; 3; 2) a c (1; 2; 1) jsou lineárně závislé. ^2 1 Qľ\ fl 2 1} fl 2 1} fl 2 O 0 -3 -1 3 3 2 vl 2 1, 3 3 2 v2 1 0y v0 -3 -2, 0 -3 -1 v0 0 -1, Hodnost matice h = 3 a počet uvažovaných vektorů n = 3 lineárně nezávislé. h = n ^> vektory jsou Příklad 9 /strana 18 Určete z-ovou souřadnici vektoru a tak, aby vektory a (4; 1; az), b (2; -1; -3) a c (-1; 1; -1/2) byly lineárně závislé. 4 1 az 2 -1 -3 -1 -1 -I 2; r ■1 -1 n r 2 -1 -3 4 1 az -1 -1 -i 2 0 -3 -4 ~ 0 -3 (az-2) J 1 ^ -1 -1 0 -3 0 0 [(az-2) + 4] 2 ■4 a -2+4=0 a -2+4=0 a +2=0 a =-2 Příklad 10 / strana 18 Určete souřadnici x vektoru a tak, aby vektory a (ax; 1; -2), b (\;2; -3/2) (2; 2; 1) byly lineárně závislé. ŕ x y ax 1 1 2 ■2 3^ 2 2 2 1 z y x 1 2 2 -l 2 1 2 -2 1 a ^ / xy z y x 1 2 2 0 5 4 0 5 (ax+4)y z y 1 2 0 5 x 2 4 0 0 [(ax+4)-4l ac [(ax+4)-4]=0 a +4-4=0 a. =0 David Michálek strana 13 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady Příklad 12 /strana 19 Je dán bod M (5; -3; 4) [m], určete délku | OM | a jeho směrové úhly a výsledek ověřte. OM — -i ŕ2+ cos a = *1 OM cosß = - a2 OM a3 tu» j — OM yJ52+(-3)2+42 =V25 + 9 + 16=VŠO = 7,0711 m 7,0711 -3 7,0711 4 7,0711 = 0,7071 a = 45° = -0,4243 ß = 115°6 = 0,5657 y = 55° 33' Příklad 15 / strana 19 Síla F (2; 3; 2) [N] posunula těleso z bodu A (3; 0; 1) [m] po přímce do bodu B (1; 2; 3). Jakou přitom vykonala práci? i = ÄB = B-A = ((b1-a1);(b2-a2);(b3-a3)) = ((l-3);(2-0);(3-l)) = = (-2; 2; 2) W = F.s = (F1.s1) + (F2.s2) + (F3.s3) = 2.(-2) + 3.2 + 2.2 = -4 + 6 + 2 = 6J Příklad 16/ strana 19 Určete práci, kterou vykoná síla F (5; 3; 1) [N] působící z bodu X (0; 0; 1) [m] po přímé dráze do bodu Y (1; 1; 3) [m] a určete úhel, který svírá síla F a dráha s. í = XY = Y-X = ((y1-x1);(y2-x2);(y3-x3)) = ((l-0);(l-0);(3-l)) = = (1;1;2)[N] W = F.s = (F1.s1) + (F2.s2) + (F3.s3) = 5.1 + 3.1 + 1.2 = 5 + 3 + 2 = 10J W 10 10 W coscp => coscp 10 VŠŠ.Vó 5,9161.2,4495 14,4915 V52+32+l2.Vl2+l2+22 V25 + 9 + W1 + I + 4 0,6901 (p=46°2ľ David Michálek strana 14 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady Příklad 17 / strana 19 Chlapec táhne sáňky do kopce silou F (100; 0; 20) [N] po dráze s (20; 0; 1) [m]. Jakou vykoná práci a jaký úhel svírá Fas? W = F.s = (F1.s1) + (F2.s2) + (F3.s3) = 100.20 + 0.0 + 20.1 = 2000 + 0 + 20 = 2020 J W coscp => coscp 2020 2020 W 2020 2020 F.s >/l002+02+202.V202+02+l2 V10000 + 400.V400 + 1 2020 V10400.V4ÖT 101,9804.20,025 2042,1575 : 0,9891 cp = 8°28' Příklad 18 /strana 19 Určete práci, kterou vykoná síla F = 6 N o směrových úhlech 45°; 60°; 60° jestliže působí po dráze s= (5V2;-6;3)[m].Dále určete jaký úhel svírají Fas. cos a cosß: cosy f, = cos a. f2 = cos ß. f3 = cos y. 4l V2 cos45°.6 = —.6 = 6— 2 2 cos60°.6 = 0,5.6 = 3 cos60°.6 = 0,5.6 = 3 S 6—;3;3 2 5 w5 V ~ J [N] Ti W = F.s = (F1.s1) + (F2.s2) + (F3.s3) = 6 — .5>/2+3.(-6) + 3.3 = 30-18 + 9 = 21 J W cos cp ^> cos cp: 21 W 21 F.s 21 21 + 32+32.JÍ5>/2)2+(-6)2+32 21 V18 + 9 + 9.V50 + 36 + 9 >/36.>/95 6.9,7468 58,4808 : 0,3591 cp = 68°57' Příklad 19 /strana 20 Vypočítejte práci, kterou vykoná síla F (3; 2; 1) [N] působící po dráze s (1; 2; 3) [m]. Určete úhel, který svírají Fas. W = F.s = (F1.s1) + (F2.s2) + (F3.s3) = 3.1 + 2.2 + 1.3 = 3 + 4 + 3 = 10 J w___________10___________________10_______ 10 732+22+l2.Vl2+22+32 V9 + 4 + W1 + 4 + 9 VÍ4.VÍ4 w cos cp => cos cp: F.s 10 , = — = 0,7143 cp=44°24' (•Jüf 14 David Michálek strana 15 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady Příklad 20 /strana 20 Vypočítejte práci, kterou vykoná síla F (5; 1; 1) [N] působící po dráze s (3; 5; 5) [m] a určete úhel, který svírají Fas. W = F.s = (F1.s1) + (F2.s2) + (F3.s3) = 5.3 + 1.5 + 1.5 = 15 + 5 + 5 = 25 J w „ W 25 25 F 25 .cos (p => COS (p: 25 F.s V52+l2+l2.V32+52+52 V25 + 1 + W9 + 25 + 25 25 27.VŠ9 5,1962.7,6811 39,9128 0,6264 (p =51° 13' Příklad 21 /strana 20 Jakou potenciální energii (v homogenním gravitačním poli) získá těleso o hmotnosti m = 5 kg, pohybuj e-li se z počátku souřadnicového systému do bodu X (3; 1; 2) [m] ? Jaký úhel svírá dráha uvedeného pohybu svislým směrem daný osou z? Orientace gravitačního poleje dána kladným směrem osy z. Ep = m.g.h [J] g = (0;0;10)m.s~2 => F = m.g = 5.(0; 0; 10) = 5.0 + 5.0 + 5.10 = (0; 0; 50)[N] n = 0X = X-0 = ((x1-0);(x2-0);(x3-0)) = ((3-0);(l-0);(2-0)) = (3;l;2)[m] Ep =F.s = (F1.s1) + (F2.s2) + (F3.s3) = 0.3 + 0.1 + 50.2 = 0 + 0 + 100 = 100 J Příklad 23 /strana 21 Síla F = 4 N o směrových úhlech (60°; 60°; 45°) způsobí posunutí s = (-l;2;v2) [m]. Jakou při tom vykoná práci? cos a cosß: f, =cosa. f2 =cosß. cos y = -ťr => f3 = cos y. F cos60°.4 = 0,5.4 = 2 cos60°.4 = 0,5.4 = 2 V2 V2 cos45°.4 = —.4 = 4 — 2 2 2;2;4 v [N] 4i W = F.s = (F1.s1) + (F2.s2) + (F3.s3) = 2.(-l) + 2.2 + 4 —.V2=-2 + 4 + 4 = 6 J David Michálek strana 16 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady Příklad 24 /strana 21 Síla F (-3; -1; 0) [N] způsobí posunutí hmotného bodu po dráze s (-1; -3; 2) [m]. Jakou vykoná práci, jaký úhel svírá Fas. W = F.s = (F1.s1) + (F2.s2) + (F3.s3) = -3.(-1) + (-1).(-3) + 0.2 = 3 + 3 + 0 = 6 J W .coscp => coscp: 6 W VTÖ.VT5 3,1623.3,873 12,2476 ^(_3)2+(-l)2 + 02.^/(-l)2+(-3)2+22 V9 + 1 + 0.V1 + 9 + 4 0,4899 cp=60°39 Příklad 25 / strana 21 Hmotný bod se pohybuje z počátku do bodu M (10; -10; 20) [m] za působení stálé síly. Určete velikost této síly, jestliže svírá se směrem dráhy úhel a = 60° a vykoná práci W = 6 J. s = ÖM = M-0 = ((m1-0);(m2-0);(m3-0)) = ((lO-0);(-10-0);(20-0)) = (lO;-10;20)[m] W cos a W cos a ^io2+(-io)2+202.cos60° VlOO + 100 + 400.0,5 V6ÖÖ.0,5 24,4949.0,5 12,2475 0,4899 N Příklad 26/ strana 21 Určete skalární a vektorový součin vektorů a (3; -2; 0) a b (3; 0; 2). a-b = a1.b1+a2.b2+a3.b3 =3.3 + (-2).0 + 0.2 = 9 + 0 + 0 = 9 axb 1 J 3-1 3-9 3g t>! b2 b3 b2 b3 J- bi b3 + k- ai a2 \ b2 -2 0 0 2 -J- 3 0 3 2 + k- 3 -2 3 0 :(-4 + 0)i-(6-0)j + [0-(-6)]k = -4i-6j + 6k = (-4;-6; 6) David Michálek strana 17 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady Příklad 27 / strana 21 Vypočtěte: (a + bWa-b), pro a (2; -3; 1) a b (3; 0; 0). a + b = (a1+b1; a2+b2; a3+b3) = (2 + 3; -3 + 0; l + 0) = (5;-3; l) a-b = (a1-b1; a2-b2; a3-b3) = (2-3; -3-0; l-0) = (-l;-3;l) a + b = (a1+b1; a2+b2; a3+b3) = (2 + 3; -3 + 0; l + 0) = (5;-3; l) l-b = (&1-b1; a2-b2; a3-b3) = (2-3; -3-0; 1-0) = (-l;-3;l) i j k 5 -3 1 -1 -3 1 :[-3-(-3)]i-[5-(-l)]j + [(-15-3)]k = 0i-6j-18k = (0;-6;-18) (a + bWa-b) -3 1 ^ 1 ^ -3 = 1- ~J' + k- -3 1 -1 1 -1 -3 Příklad 28 /strana 21 Vypočtěte: (uxv)xz , pro u (1; 2; 3), v (2; 3; 1) a z (3; 1; 2). íuxvlxz nejprve vypočítáme íux v) uxv i j k 2 3 1 3 1 2 1 2 3 = i- 3 1 -J- 2 1 + k- 2 3 2 3 1 :(2-9)i-(l-6)j + (3-4)k 7i + 5j-k = (-7;5;-l) i j k ! b2 b3 2 4 4 8 -1 4 + k i j k -12 4 5 4 8 -1 2 5 4 3-2 cIq b2 b3 J' 3.1 3g bj b3 + k- bj b2 (l6-16)i-(-8-20)j + (-4-10)k = 0i + 28j-14k = (0; 28; -14) a • b = al bl + a2.b2 + a3 .b3 = (-1) .5 + 2.4 + 4.8 = -5 + 8 + 32 = 35 David Michálek strana 18 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady Příklad 30/strana 22 Určete vektorový a skalární součin vektorů u (1; 2; 3) a v (2; 3; 4). u-u = u1.v1+u2.v2+u3.v3 =1.2 + 2.3 + 3.4 = 2 + 6 + 12 = 20 uxv i j k Ui u2 u3 i j k u2 u3 Ul u3 u. U2 = 1 2 3 = i- "I" + k- 2 3 4 V2 V3 Vl V3 vi V2 1- 2 3 3 4 1 3 2 4 + k- 1 2 2 3 :(8-9)i-(4-6)j + (3-4)k = -i + 2j-k = (-l;2;-l) Příklad 31 /strana 22 Určete vektorový a skalární součin vektorů x (-1; 2; 3) a y (2; 0; 5). xxy i j k X, i -1 j 2 k 3 = i- X2 x3 -i- xi x3 +k- xi X2 Yi y2 y3 2 0 5 y2 y3 Yi y3 Yi y2 2 3 0 5 -J- -1 3 2 5 + k- -1 2 2 0 (10 - 0) i - (-5 - 6) j + (0 - 4) k = 10i + lij - 4k = (10; 11; -4) ■y = x1.y1+x2.y2+x3.y3 = (-1) .2+ 2.0 + 3.5 = -2 + 0 + 15 = 13 Příklad 32 /strana 22 Jsou dány vektory a (-2; - 4; 1) a b (0; - 3; 8). Vypočítejte (axb)xa a (bxa)xb. í a x b I x a nejprve vypočítáme í a x b I axb i j k a, a2 a3 = b, b2 b3 i j k -2 -4 1 0-3 8 -4 1 -2 1 -2 -4 = 1- ~J' + k- -3 8 0 8 0 -3 :[-32-(-3)]i-(-16-0)j + (6-0)k = -29i + 16j + 6k = (-29;16;6) íaxbl xa: i j k 16 6 -29 6 -29 16 29 16 6 = i- -4 1 -J- -2 1 + k- -2 -4 -2 -4 1 = [l6-(-24)]i-(-29 + 12)j + (ll6 + 32)k = 40i + 17j + 148k = (40;17;148) íbxalxb nejprve vypočítáme íbxa) bxa i i k b, b2 b3 = a, a2 3.0 i j k 0-3 8 -2 -4 1 -3 8 0 8 0 -3 = 1- ~J' + k- -4 1 -2 1 -2 -4 :[-3-(-32)]i-[0-(-16)]j + (0-6)k = 29i-16j-6k = (29;-16; -6) David Michálek strana 19 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady i j k (bxa)xb=29 -16 -6 0 -3 = (-128-18)i-(232-0)j + (-87-0)k = -146i-232j-87k = (-146;-232;-87) -16 -6 29 -6 29 -16 = 1- ~J' + k- -3 8 Ü 8 Ü -3 Příklad 33 /strana 22 Pomocí vektorového počtu dokažte, že trojúhelník ABC, s vrcholy A (3; 6), B (-4; 3) a C (1; 1), je pravoúhlý a vypočtěte jeho obsah. A = (3;6),B = (-4;3),C = (1;1) B (-4; 3) a = BC = C-B = (l-(-4);l-3) = (5;-2) b = CA = A-C = (3-l;6-l) = (2;5) c = AB = B-A = (-4-3;3-6) = (-7;-3) Důkaz, zeje trojúhelník pravoúhlý provedeme s pomocí Pythagorovy věty c2 = a2 + b2. Nejprve zjistíme velikosti a = BC vektorů 4 a?,+a2 V52+(-2) :^+b;=V22+52 = V^=Vk>2+k>2=ä c = AB \x ' v ' A X> ' • x^ ' Xn c 2 - = - AB 2 2 + 52 =V29 C(l;l) b = CA a a b c = přepona Bude-li se 2 i^|2 i^|2 + b =c pak je a ABC pravoúhlý. (V29)2 + (V29)2 = (VŠŠ)2 29 + 29 = 58 A (3; 6) 58 = 58 a zároveň |a| = |b| => aABC je pravoúhlý rovnoramenný => a = ß = 45c AB a = - = 45c 2 a-va b-vb c-v ÖA= ----------- = ----------- = -------- aCAX je opět pravoúhlý rovnoramenný => vc C 2 2 58 14,5 David Michálek strana 20 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady Příklad 35 /strana 23 Určete obsah rovnoběžníku ABCD, je-li strana a = AB = (3; - 2; 1) a úhlopříčka i = AC = (5;-l;3) Nejprve vypočítáme úhel cp , který svírají strana a s úhlopříčkou e : ä-e _ 3.5 + (-2).(-l) + 1.3 _ 15 + 2 + 3 cos cp: a e ^32+(-2)2 + l2.752 + (-l)2 + 32 V9 + 4 + W25 + 1 + 9 20 ^.V35 sinq) = 0,9035 cp = 25°22' a >/Í4; e = V35 XC xc Va = sin (p = sin25°22S/35= 2,5345 So= a Va = ^32 + (-2)2 +12 • 2,5345 = V9 + 4 +1 • 2,5345 = VÍ4 • 2,5345 = 9,483 David Michálek strana 21 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady Příklad 36/strana 23 Určete vnitřní úhly a plochu trojúhelníku ABC, je-li A (2; -4; 9), B (-1; -4; 5); C (6; -4; 6). Nejprve z bodů A, B a C určíme vektory AB, BC a AC: ä = BC = C-B = (6-(-l);-4-(-4);6-5) = (7;0;l) b = ÄC = C-A = (6-2;-4-(-4);6-9) = (4;0;-3) c = AB = B - A = (-1 - 2;-4 - (-4);5 - 9) = (-3;0;-4) b-c _ 4.(-3) + 0.0 + (-3).(-4) -12 + 0 + 12 cosa = 0 b-c V25.V25 0 cosß a-c a c ^42 + 02 + (-3)2.^(-3)2 + 02 + (-4)2 V16 + 0 + 9.V9 + 0 + 16 a = 90° ^> a ABC je pravoúhlý 7.(-3) + 0.0 + l.(-4) V72 + 02 + l2.^/(-3)2 + 02 + (-4)5 -25 C (6; -4; 6) = -21-4 = -25 =.A ß = i35o V49 + 1.V9 + 16 VŠO.V25 2 ß = 135° ^> ß = je vnější úhel vektorů a,c ß'=180o-ß = 180°-135o = 45° pro součetúhlů v aABC platí: a + ß'+y = 180° y = 180° - a - ß'= 180° - 90° - 45° = 45° ß'= y = 45° => aABC je pravoúhlý rovnoramenný c a-v„ b-vb c-vc , v Sa=------ =------ =------ musíme vypočítat va b = AC A (2; -4; 9) v„ sin ß'= va = sin ß' Sa= a ■ v„ va = sin ß'- Í2 = sin45°-V25=^--V25 2 V72 + 02+l2-^-V25 2 V5Ö-V2-V25=50 = 125 4 4 David Michálek strana 22 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady 2. způsob výpočtu obsahu aABC: Vektorový součin dvou vektorů je obsah rovnoběžníku, přičemž polovina obsahu rovnoběžníku je obsah trojúhelníku tvořený těmito vektory. i j k So=bxc= 4 0-3 -3 0 -4 = 0i + 25j + 0k = (0;25;0) = Vo + 252 + 0 = V251 = 25 c = AB 0 -3 4 -3 4 0 = 1 -j + k Ü -4 -3 -4 -3 Ü 0i-(-16-9)j-0k: 25 12,5 Příklad 37/ strana 23 Vypočtěte obsah trojúhelníku určeného vektory a (3; -2; 1) a b (-2; 1; -1). i j k 3 -2 1 Sd= a x b = -2 1 -1 +(3-4)k = i + j-k = (l;l;-l) So =>/l2 + l2 + (-l)2=V3 -2 1 3 1 3 -2 = 1 -j + k 1 -1 -2 -1 -2 1 = (2-l)i-(-3 + 2)j + => Sa= V3" = 0,866 David Michálek strana 23 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady Příklad 38 /strana 23 Určete plochu trojúhelníka určeného vrcholy A (1; -2; 3), B (2; 1; 0) a C (0; 2; 1). b = ÄC = C-A = (0-l;2-(-2);l-3) = (-l;4;-2) c = ÄB = B-A = (2-l;l- (-2); 0 - 3) = (l; 3; - 3) i j k So=bxc=-l 4 -2 1 3 -3 = (-12 - (-6))i - (3 - (-2))j + (-3 - 4)k = -6i - 5j - 7k = (-6; - 5; - 7) |Šo| = yj(-6)2 + (-5)2 + (-7)2 = V36 + 25 + 49 = VľlÔ 4 -2 -1 -2 -1 4 = 1 -j + k 3 -3 1 -3 1 3 Sa= VTTÖ 10,4881 5,24405 = 5,24 c = AB Príklad 39 /strana 23 Jsou dány vektory a (3; 1; -2) a b (0; -2; 1). Určete vektor c, který je kolmý na rovinu, v níž leží vektory a a b. Určete úhel, který spolu svírají vektory a a b a plochu trojúhelníka vymezeného vektory a a b. David Michálek strana 24 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady c = Sd= a x b = i j k a, 3.2 a^ i j k 1 -?, 3 -?, 3 1 3 1 -2 = 1 -j + k -?, 1 0 1 0 -?, 0 -2 1 bi b2 b3 = (l-4)i-(3-0)j + (-6-0) = -3i-3j-6k = (-3;-3;-6) a-b _ 3-0 + l-(-2) + (-2)-l _ 0-2-2 coscp = a b ^32+l2 + (-2)2-7o2 + (-2)2+l2 V9 + 1 + 4-V4TT >/Í4-V5 = -0,4781 (p = 118°33 Sa= axb _ V(~3)2 + (~3)2 + (~6)2 _V9 + 9 + 36_V54^ 3,6742 2 2 2 2 2 Příklad 40/strana 23 Určete obsah, obvod a úhel a v aABC, je-li dáno: A (1; 1), B (3; 4) a C (-1; 4). a = BC = C-B = (-l-3;4-4) = (-4;0) b = ÁC = C-A = (-l-l;4-l) = (-2;3) c = ÄB = B - A = (3 -1; 4 -1) = (2; 3) BC = yj(-4)2 + O2 = VÍ6 = 4 ÄC = 7(-2)2 + 32 = V4 + 9 = VÍ3 = V22 + 32=V4 + 9=VÍ3 b-c -2-2 + 3-3 c = AB b = AC c = AB AB -4 + 9 cosa = b-c >/(-2)2 + 32-V22T3ľ >/Í3->/Í3 5 = —= 0,3846 a = 67° 22 v„ = sina.lbl = siní 12°37'-VÍ3 = 3,3283 •vc VÍ3-3,3283 = 6 Oa= a + + = n/i3 + Vi3 + 4 = 11,2 Příklad 41 /strana 23 David Michálek strana 25 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady Vypočtěte pomocí vektorového součinu vektorového součinu plochu aABC, je-li A (3;-1; 5), B (2; 1; 4) a C (-3; 2; 1). a = BC = C-B = (-3-2;2-l;l-4) = (-5;l;-3) b = ÁC = C-A = (-3-3;2-(-l);l-5) = (-6;3;-4) c = AB = B-A = (2-3;l-(-l);4-5) = (-l;2;-l) Sd= a x b = i j k a, a2 a3 bi b2 b3 i j k 1 -3 -5 -3 -5 1 -5 1 -3 = 1 -j + k 3 -4 -6 -4 -6 3 -6 3 -4 = (-4-(-9))i-(20-18)j + (-15 + 6)k = 5i-2j-9k = (5;-2;-9) c N |axb| J52 + (-2)2+(-9)2 ^25 + 4+81 VITO 10,49 . B „^ Sa= j—- =-------- = —--------------------------=-----------------=--------=--------= 5,245 Příklad 44 /strana 24 Určete objem rovnoběžnostěnu, kterýje tvořen vektory a (3; 2; 1), b (-1; 2; 3) a c(l;-3;2). V = í a x b I • c (smíšený součin vektorů, kde V je reá In é číslo) axb = i J k a< 3.2 a^ bi b2 b3 i j k 2 1 3 1 3 2 3 2 -1 2 1 3 = i 2 3 -J -1 3 + k -1 2 = (6 - 2)i - (9 - (-1))j + (6 - (-2))k = 4i - lOj + 8k = (4; -10; 8) V = (a x b) ■ c = 4 ■ 1 + (-10) ■ (-3) + 8.2 = 50 Příklad 45 /strana 24 Určete objem trojbokého hranolu určeného vektory a (3;-2; 1), b(l;3;-l)a c(l;l;5). David Michálek strana 26 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady TT __ Q obecně podstavy So_axb trojbokého hranolu ^» ^» axb i J k a, 3.2 a.. b, b2 i j k -2 1 3 1 3 -2 3 -2 1 = 1 -j + k 3 -1 1 -1 1 3 1 3 -1 (2 -3)i - (-3 -1)j + (9 + 2)k = -i + 4j + Ilk = (-1; 4; 11) c So 2 —;2; — V J v íaxbj' í i N\ v ^J 11 1 55 4 + 2-1 + — 5 = — + 2 + —= 29 2 2 2 Příklad 46/ strana 24 Určete, zda vektory a (1; -3; 0), b (2; 1; -2) a c (-1; -4; -2) jsou lineárně závislé. Pokud nejsou, vypočtěte objem čtyřstěnu, který určují. 1 -3 0^ 0 7-2 0 0 -4, ' X y z ax ay az bx by bz ^ S CJ 1 -3 °1 / 2 1 -2 ~ -1 -4 "2J v 1 -3 °1 / 0 7 -2 ~ 0 -7 "2J v Hodnost matice h = 3 a počet uvažovaných vektorů n = 3 lineárně nezávislé. h = n ^> vektory jsou David Michálek strana 27 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady Včtyřstěnu = - • kl • |b| - lei - sin cpx • coscp2 6 i i i i i i = ,/(ax )2 + (a, f + (a, )2 = Jŕ + (~3)2 + O2 = VI79 = M = ^(cx)2 + (cy)2 + (cJ2=V(-l)2+(-4)2 + (-2)2=VÍTT6T4 = V2l cp1 je úhel, který svírají vektory a a b cp2 je úhel, který svírá vektor c s í ax b j axb i j k -3 0 I 0 I -3 1 -3 0 = 1 -j + k 1 -7, 7, -7, 7, 1 2 1 -2 (6 _ o)i - (-2 - 0) j + (1 - (-6))k = 6i + 2j + 7k = (6;2;7) axb coscpj coscp2 V, Vó2 + 22 + 72 = V36 + 4 + 49 = VŠ9 a-b l-2 + (-3)-l + 0-(-2) 2-3 >/ÍÔ-V9 9,4868 9,4868 (axb)-c 6-(-l) + 2-(-4) + 7-(-2) 28 axb c VŠ9-V21 43,2319 -0,1054 cp1 = 96°03 0,6477 (p2 = 130°21 1 čtyřstěnu y- -27,9908 a b c N/ÍO-V9-V2T-sin(96°03')-cos(l30°2ľ) smcpj -cosq)2 =---------------------};--------------};---------- = 6 -4,6651=4,7 Příklad 48 /strana 24 Vypočtěte objem čtyřstěnu s vrcholy 0 (0; 0; 0), A (5; 2; 0), B (2; 5; 0) a C (1; 2; 4). David Michálek strana 28 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady ä = ÖA = A - 0 = (5 - 0; 2 - 0;0 - 0) = (5;2;0) b = OB = B - 0 = (2 - 0;5 - 0; 0 - 0) = (2;5;0) c = ÖC = C-0 = (l-0;2-0;4-0) = (l;2;4) V, i-(axb). axb čtyřstěnu /- = 0i-0j + 21k = (0;0;2l) 0-1 + 0-2 + 21-4 0 + 0 + 84 •lax bl-c = 1 J k 2 0 5 0 5 2 5 2 0 = i 5 0 -J 7 0 + k 7 5 2 5 0 (0-0)i-(0-0)j + (25-4)k Včtyřstěnu=--(axb)-c = - = 14 Příklad 49 /strana 24 Určete objem jehlanu ABCO, je-li A (3; 2; 1), B (-1; -2; -3); C (0; 0; 5) a O (0; 0; 0). \7 — C jehlanu ^ p „ „ So axb S = Sa=----=------- p 2 2 ä = ÔA = A - 0 = (3 - 0;2 - 0;1 - 0) = (3;2;l) b = 0B = B-0 = (-l-0;-2-0;-3-0) = (-1; -2; -3) c = v = ÖC = C-0 = (0-0;0-0;5-0) = (0;0;5) 1 J k axb= 3 2 1 -1 -2 -3 = (-6 - (-2))i - (-9 - (-1)) j + (-6 - (-2))k = -4i + 8j - 4k = (-4; 8;- 4) sp = sA=^ = í^l p 2 2 2 1 3 1 3 2 = 1 -j + k -2 -3 -1 -3 -1 -2 .!;£;-11 = (-2:4;-2) 2 2 7 v ' vjehlanu=~sP-v4-[°-(-2)+o-4+5-(-2)]4-(o+o-io): 10 3 10 3,33 Příklad 50 /strana 25 David Michálek strana 29 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady Vypočtěte moment síly F (3; 4; 2) [N] působící v bodě A (3; 1; 0) vzhledem k počátku a jeho velikost. r = ÖA = A - 0 = (3 - 0;1 - 0;0 - 0) = (3; 1;0) [m] i j k M = rxF = = i 1 0 4 2 J 3 0 3 2 + k 3 1 3 4 = (2-0)i-(6-0)j + (l2-3)k = 3 1 0 3 4 2 = 2i - 6j + 9k = (2;- 6; 9) [N m] = ^m2x + m2y + m2z = ^22 + (-6)2 + 92 = V4 + 36 + 81 = VÍ21 = 11 N m M Příklad 51 /strana 25 Určete výsledný moment M síly Fi = i + 2j - 3k [n] , která působí v bodě Ai (2; -1; 3) [m] a síly F 2 = 2i — 3j + k [N] s působištěm v bodě A2 (3; 5; 1) [m] vzhledem k bodu O (1; 1; 1) [m]. Mi = n x Fi M2 =ľ2 XF2 M12 =Mi+M2 n = OAi Fi = i + 2j-3k M^-U) F2 = 2i-3j + k 0(1; 1; 1) r 2 = OA2 ^A2 (3; 5; l) ri=OAi=A1-0 = (2-l;-l-l;3-l) = (l;-2;2)[m] r2 = ÖA2=A2-O = (3-l;5-l;l-l) = (2;4;0)[m] 1 j k Mi = ri x Fi = = 1 -2 2 2 -3 J 1 2 1 -3 + k 1 -2 1 2 1 -2 2 1 2 -3 = (6 - 4)i - (-3 - 2)j + (2 - (-2))k = 2i + 5j + 4k = (2;5;4) [N • m] David Michálek strana 30 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady 1 j k M2 = ľ2 X F2 = = 1 4 0 -3 1 ■J 2 0 2 1 + k 2 4 2 -3 2 4 0 2 -3 1 = (4 - 0)i - (2 - 0) j + (-6 - 8)k = 4i - 2j - 14k = (4; - 2; -14) [N • m] M12 = Mi +M2 = (2 + 4; 5 + (-2); 4 + (-14)) = (6;3; -10) [N • m] M 12 ^62 + 32 + (-10)2 = V36+ 9 + 100 = s/\45 = 12,0416 = 12 N • m Příklad 52 /strana 25 Na těleso působí tři síly Fi = (3;2;- 5) [N], F2 = (l; -1; 3) [n] a F3 = (-1; -1;2) [N] v bodě A (3; -2; 3) [m]. Určete celkový moment sil vzhledem k bodu B (3; 0; 1) [m], jeho velikost a jeho směrové úhly. Fi=(3;2;-5) F123 = Fi + F2 + F3 M 123 rxF 123 r = BA B(3;0;l) (i;-i;3) A(3;-2;3) F3=(-l;-l;2) r = BA = A-B = (3-3;-2-0;3-l) = (0;-2;2)[m] F123 = Fi + F2 + F3 = (3 +1 + (-1); 2 + (-1) + (-1); - 5 + 3 + 7) = (3;0;0) [N] M123 = r x F123 = i J k -7 7 0 7 0 -7, 0 -2 2 = 1 0 0 -J 3 0 + k 3 0 3 0 0 = (0 - 0)i - (0 - 6) j + (O - (-6))k = 6j + 6k = (O; 6; 6) [N • m] Vo2 + 62 + 62 = VO + 36 + 36 = VŤ2 = 8,4853 = 8,5 N • ---» M123 = V0Z + cosa = mi23x ---» Ml23 mi23z tUö y —" ---» Ml23 m 0 8,4853 6 8,4853 = 0 a = 90c = 0,7071 cosß = y = 45° m 123, M 123 8,4853 = 0,7071 ß = 45c David Michálek strana 31 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady Příklad 53 /strana 25 Určete velikost a směr momentu síly F (21; 14;- 8) [N], která působí v bodě Q (0; 1; 3) [m] vzhledem k P (6; 5; 1) [m]. í = PQ = Q-P = (0-6;l-5;3-l) = (-6;-4;2)[m] R=(21; 14; -8) M = rxF i j k -4 7 -6 7 -6 -4 -6 -4 2 = 1 -j + k 14 -8 71 -8 71 14 21 14 -8 r = PQ M P(6;5;l) Q(0;l;3) (32 - 28)i -(48- 42)j + (-84 - (-84))k = 4i - 6j + Ok = (4;-6; 0) [N • m] = ^42 + (-6)2 + 02=Vl6 + 36 + 0=VŠ2 = 7,2111 N • m cosa = m. cosß = cosy M my M m. M 7,2111 -6 7,2111 0 7,2111 = 0,5547 a = 56° 18 = -0,8321 ß = 146°18 =0 y = 90° Príklad 54 /strana 25 Vypočítejte souřadnice a velikost momentu síly F, která vychází z bodu A(6; 0; 0) [cm], vzhledem k počátku, je-li F = 5 N a úhel cp, který svírá síla F s rovinou xy je 60° v kladném směru osy z, přičemž síla F je rovnoběžná s rovinou yz. r = 0A = A - 0 = (0,06 - 0;0 - 0;0 - 0) = (0,06; 0; 0) [m] = V0,062=0,06m /N M = 0,06-5 = 0,3N-m David Michálek strana 32 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady M svírá s osou x úhel a ^> z obr. a = 90°, protože M _L r = cos(90°)-0,3 = 0-0,3 = 0N-m rn cosa = M mx = cosa M M svírá s osou y úhel ß => z obr. ß = (p + 90° = 60° + 90° = 150°, protože M_LF m, cosß = M my = cosß • M = cos(150°) • 0,3 = -0,8660 • 0,3 = -0,2598 N • m M svírá s osou z úhel y => y = 60°, protože y = ß - 90° = 150° - 90° = 60c m. cosy = M mz = cosy M = cos(60°) • 0,3 = 0,5 • 0,3 = 0,15 N m M = (mx;my;mz) = (0; -0,2598; 0,15) [N-m] Príklad 55 /strana 25 Určete celkový moment síly a jeho velikost, jestliže na těleso působí síly Fi (1; - 2; 3) [N] a F2 (3; 2; O) [N] v bodě B (2; 0; 2) [m] vzhledem k bodu A(0;-l;l)[m]. r = ÄB = B - A = (2 - 0; 0 - (-1); 2 -1) = (2; 1; 1) [m] Fi2=Fi+F2=(l + 3;-2 + 2;3 + 0) = (4;0;3)[N] M = rxFi2 = 1 j k 1 1 7, 1 7, 1 2 1 1 = i 0 3 -J 4 3 + k 4 0 4 0 3 = (3-0)i-(6-4)j + (0-4)k = M = 3i-2j-4k = (3;-2;-4)[N m] ^32 + (-2)2 + (-4)2 =V9 + 4 + 16 = V29= 5,3852 N m Fi=(l;-2;3) * F2 = (3; 2; 0) r = BA A(Q -X1) B(2;0;2) David Michálek strana 33 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady Limity Příklad 6.1 / strana 39 ,. x3+3x ,. x-(x2+3) x2+3 o2+3 3 lim—;--------= lim—---------f = lim---------=--------= — ^«x2-2x x-x>x-(x-2) *->°x-2 0-2 2 Příklad 6.2 / strana 39 sinx ,. tg2x 2 ,. tgx 2 ,. cosx 2 ,. sinx 2 ,. 1 lim—2----=— • lim—2— = — • lim-------= — • lim--------------= — • lim- x^°sin5x 5 x^°sinx 5 x^° sinx 5 x^° sinx-cosx 5 x^°cosx 2 1 2 12 5 cos0° 5 1 5 Příklad 6.3 / strana 39 sinx ,• tgx 1 ,. tgx 1 ,. cosx 1 ,. sinx 1 ,. 1 lim-2— = - • lim -2— = - • limUUSA = - • lim----------= - • lim------ x^° 3x 3 x^° x 3 x^° x 3 x^°x-cosx 3 x^°cosx 11111 ,. sinx , =------------=------= — lim-------= 1 3 cos0° 3 13 x-*> x Příklad 6.4 / strana 40 ,. (x + l)3-l ,. x3+3x2 + 3x + l-l ,. x3 + 3x2+3x lim---------------= lim----------------------------= lim-------------------= x->0 x x->0 x x-^0 x x-(x2+3x + 3) = lim—^-------------'- = lim x2 + 3x + 3 = O2 + 3 • 0 + 3 = 3 x->0 x x-^0 x + 1) jsme rozložili podle vzorce (a+ b) =a +3ab + 3ab +b Příklad 6.5 / strana 40 David Michálek strana 34 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady lim x-»l 1 x-1 x'-l 2 ^ ,. ( 1 = lim x-1 x'-l lim ' x + 1-2 ^ (x + l)-(x-l) / lim X-»l x-1 = lim X-»l \ 1 x-1 (x + l)-(x-l) r 1 1 1 . lim--------- =------= — (x + l)-(x-l)J *-i(x + l) 1 + 1 2 x2-l jsme rozložili podle vzorce a2-b2 =(a + b)-(a-b) Příklad 6.6/ strana 40 lim—1=— do rovnice dostadíme x = t3 x^ Vx -1 ,. VF-i ,. t-i 7F+1 ,. O-O-^+i) ,. ('-0(^ lim—p=— = lim—1=-------j=— = lim , __—., __ ; . = lim--------^----- (t-iWVť+i) (Vť+i) (Vť+i) (Vx"+i) = lim-------—X--------4- = lim-A--------^r = lim-^--------— = \im + 1 X-»l (t-l)(t2 +t + l) x^(ť+t + l) x->lt.(t + l + l) x^Vx"-(Vx" + l + l) (>/l+l) 1 + 1 2 VT-(VT+i + i) i (í+i + i) 3 x = ť = Vx" Příklad 6.8/strana 40 .. sin3x sinx lim-------= 3 • lim------= 3-1 = 3 x->0 x x_>0 X ,. sinx , lim------= 1 x^O x lim Příklad 6.9 / strana 40 sin2x 2-lim sinx VxT2+V2 „ ,. sinx-(VxT2+V2) -2-lim- v ' x^°VxT2-V2 x^°VxT2-V2 VxT2+V2 x^°(VxT2 - V2~)-(VxT2 + V2) sin x • (Vx + 2 + v2) sin x • (Vx + 2 + V2) , ____ , 2 • lim-------^-----;----------'- = 2 ■ lim-------^---------------'- = 2 ■ lim(Vx + 2 + V2J = x^O *->° (x + 2) - 2 = 2 • (VÖ+2 + V2 ) = 2 • Ul + V2 ) = 2 • Í2V2 ) = 4V2 x^O ,. sin x , lim------= 1 x^O x Příklad 6.10 / strana 40 David Michálek strana 35 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady ,. A ,. ~\cos x - sin x i i _ cos x + sm x ,. sm x + sm x lim------------= lim----------------------- = lim---------------------= lim----------------- x^° x-sinx x^° x.sinx x^° x.sinx x^° x.sinx ,. 2sin2x _ ,. sin2x _ ,. sin x-sin x _ ,. sin x _ , „ = lim---------= 2 • lim--------= 2 • lim-------------= 2 • lim------= 2-1 = 2 x^° x.sinx x^° x.sinx x^° x.sinx x^° x 0 0 0 0 0 0 cos2x = cos x-sin x sm x + cos x = l => 1-cos x = sm x Příklad 6.12 /strana 40 sin t ,• tgt ,. cost 1 ,. sint 1 ,. 1 lim—-— = lim-----^^-----= — • lim-----------— = — ■ lim----— = *-*> sin2t t-x> 2-sint-cost 2 ^osmt.Cos t 2 t^0 cos t 11 111 2 (cosO°)2 2 (l)2 2 David Michálek strana 36 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady Derivace Příklad 7.1/strana 41 Určete derivaci funkce y = x4 - 3x2 - 5x + 6: y = x4-3x2-5x + 6 y = 4x3 - 6x - 5 Příklad 7.2 / strana 41 Určete derivaci funkce y = x2-(x-l): y = x2-(x-l) (u.v)'= u'-v + u • v' y'= 2x • (x -1) + x2 = 3x2 - 2x Příklad 7.3/strana 41 Určete derivaci funkce y = x2-VxT: y = x2 • vx3 = x2•x4 (uv)= u 'v + u•v - 3 -1 í1+-l 3 í2-1! 7- 3 7- 11 - y'=2x-x4+x2--x 4=2xl 4J+-xl 4J =2x4+-x4 =—x4 4 4 4 4 Příklad 7.4 /strana 41 Určete derivaci funkce y = — + — + —r: X X X 111 -1-2-3 y = —+ ^ + ^- = x +X+X X X X y'= -x^1"1) -2x(-2-^ -3x^ = -x"2 -2x"3 -3x"4 =~~- 4 x2 x3 x4 David Michálek strana 37 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady Příklad 7.5/strana 41 Určete derivaci funkce y = cos2x + sin2 x : y = cos2x + sin2x y'= - sin 2x • 2 + 2 • sin x • cos x = - sin 2x • 2 + sin 2x = = sin2x • [(-l) • 2 +1] = sin2x • (-1) = -sin2x Příklad 7.6/strana 41 Určete derivaci funkce y = x-(lnx)-x: y = x-(lnx)- x y (l-lnx) r + \ x • — V Xy y = u -V + U-v mxH— Příklad 7.7/strana 41 v 1 . X l = lnx + l-l = lnx Určete derivaci funkce y = —sin(3x - 2): y = -sin(3x-2) sin(3x - 2) je funkce složená y'= —[cos(3x - 2) • 3] = — cos(3x - 2) Příklad 7.8/ strana 42 Určete derivaci funkce y 2x2-l 3x + 4 y = 2x_-l 3x + 4 / U _ U -V-U-v v =" ~? (2-2x)-(3x + 4)-(2x2-l)-3 4x-(3x + 4)-3-(2x2-l) (3x + 4)2 (3x + 4)2 12x2+16x-(6x2-3) 12x2+16x-6x2+3 6x2+16x + 3 6x2+16x + 3 (3x + 4)2 (3x + 4y (3x + 4)2 9x2 + 24x + 16 Příklad 7.9 /strana 42 David Michálek strana 38 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady ......, , 2x2 '>- x)2' 2x2 "(2-x)2 ' U | u -v - u •v' přičemž (2-: i) je funkce složená > - yy) v2 (2-2x).(2- -x)2]-[2x2-^ !(2- x).(- -1)] _ [(4: k).(2-x)2]-[4xM2-(2-x)4 -x).(- ■')] > ■ >-x)2]2 "(4x).(4-4x + x2)]-[-4x2 •(2- *)] [l6x-16x2 + 4x3]-[-8x2 + 4x (2-x)4 !]_ (2-x)4 16x-16x2 + 4x3+8x2-4x3 16x-8x 2 8x-(2 -x) 8x (2-x)' (2-x)4 (2-x)4 (2-x)J Příklad 7.10 /strana 42 Určete derivaci funkce y l-2x2 (l-2x)2- y y = l-2x' u -v-u- v 2 . (l-2x)' (-4x)-(l-2x)2l-ľ(l-2x2)-2-(l-2x)-(-2) přičemž (l - 2x) je funkce složená [(l-2x)2] [(-4x) • (1 - 2x) • (1 - 2x)] - [(l - 2x2) • 2 • (l - 2x) • (-2)" = 0^x7 = (l-2x).{[(-4x).(l-2x)]-[(l-2x2).2.(-2)]}_ (l-2x)4 [(-4x)-(l-2x)]-[(-4)(l-2x2)] (-4x + 8x2)-(-4 + 8x2) (1-2x7 = (1-2x7 -4x + 8x2 + 4-8x2 _ 4-4x 4-(l-x) (l-2x)J (l-2x)3 (l-2x)3 Příklad 7.11 /strana 42 David Michálek strana 39 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady Určete derivaci funkce y = V1 + Vx : y = -y/l + Vx = i 1 + X2 V J 1 + X2 V J je funkce složená y = 1 + X2 V J i 1 -\ X 2 = 1 4-Vl + Vx-Vx . J \ 4-Vx + x-Vx v 4-Vx + x2 v Příklad 7.12 /strana 42 i------------ - - y = x • Vx2 -1 = x • íx2 - 1J2 (u.v)'= u'-v + u • v' přičemž íx2 - 1J2 je funkce složená y = l-Vx2-ll+ x---(x2-l)"2-2x =Vx2-l+-x-2x-(x2-l)"2 = x2 _(Vx^T).(Vx^ Vx^T Vx^T 1 +x' Vx^T Vx^T Určete derivaci funkce y = x • Vx2 -1 : Vx^T x2-l + x2 2x2-l Vx^T Vx7^! Příklad 7.13 /strana 42 \+e y y lueie ucíiv aui luiiKuc y = l-ex' l + ex ruYu •v - u • v' l-ex v2 _[e«.(l- -ex)]-[(l + e •)■(-«•)] (l-ex)2 e«-(c)2 + ex + (ex)2 2ex ex-(l-ex) + ex-(l + ex) (l-e')' (I-»)2 Příklad 7.14 /strana 42 David Michálek strana 40 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady Určete derivaci funkce y = Vi-x : y = VTT^ = (i_x) (1 - x)2 je funkce složená H^w-wb Příklad 7.15 /strana 42 Určete derivaci funkce y = x2 • log3 x: y = x2-log3x (u.v)'= u'-v + u • v' y'=(2x-log3x) + 1 x x-lna x 2x • log3 x h------= x • log3 X + ln3 X Si3 log3x + ln3 Příklad 7.16 /strana 42 Určete derivaci funkce y = In r x^ vtg2, y = ln y = í A tgI v l) 1 ln(tg0,5x) 1 1 1 cos 0,5x 1 tg0,5x cos20,5x sin 0,5x cos20,5x sin 0,5x cos20,5x cos 0,5x 1 1 sin 0,5x • cos 0,5x sin x sin2x = sinx-cosx sin 0,5x • cos 0,5x = sin x Příklad 7.17/strana 43 Určete derivaci funkce y cosx + tgx: David Michálek strana 41 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady y cosx + tgx cosx lvy u -v-u-v v y = O.cosx-l-(-sinx) 1 + smx • + • smx + 1 sin x +1 sin x +1 cos x sin x +1 cos2x cos2x cos2x cos2x l-sin2x l-(sinxY (l-sinx)-(l + sinx) 1-sinx 1 - (sinx) jsme rozložili podle vzorce a2 -b2 = (a + b)• (a - b) Příklad 7.18 /strana 43 Určete derivaci funkce y = In x2+l 1 [ex-(x2 + l)]-[ex-2x] x?+1 ex-(x2 + l-2x) ex-(x2+ l)-(x2-2x + l) y = ^T (x2+l)2 = ~* (x2+l)2 ex-(x2+l)2 x2+l = ex-(x2+l)-(x2-2x + l) = x^-2x + l = (x-l)2 ex-(x2+l)-(x2+l) x2+l x2 - 2x +1 je vzorec a2 - 2ab + b2 = (a - b) x2+l y = ln x2+l je složená funkce, kde x2+l IvJ U -V-U-v v Příklad 7.19 /strana 43 Určete derivaci funkce y smx smx + cosx David Michálek strana 42 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady y = - smx smx + cosx ul _u'-v-u-v v =" v [cos x • (sin x + cos x)] - [sin x • (cos x - sin x)] ( smx + cosx Y (si :)-(sil smx-cosx + cos2x)-(sinx-cosx-sin2x ) ( smx + cosx sin x • cos x + cos2 x - sin x • cos x + sin2 x sin2 x + cos2 x 1 (sinx + cosx)" 1 1 (sinx + cosx) (sinx + cosx) 1 sin2x + 2-sinx-cosx + cos2x 1 + 2-sinx-cosx l + sin2x sin2 x + cos2 x = 1 2-sin x-cos x = sin 2x Příklad 7.20 /strana 43 Určete derivaci funkce y = V4x-1 + arccotg\Mx-l: y = V4x-l + arccotgV4x-l =(4x-l)2 +arccotg(4x-l)2 (u + v)'=u'+v' x -1 je funkce složená; arccotg-sMx-1 je dvojitá složená funkce y = .(4x-l)"2-4 + l + (V4x-l) -(4x-l)"2-4 ~^^ V4in.ri + (V4in)T>/4^T Vi^l.(l + 4x-l) 2_________2 _ 2-4X-2 _ 8x-2 _ 2-(4x-l) _ V4x-1 V4x-1• 4x 4x•V4x-1 4x•V4x-1 4x•V4x-1 (4x-l) V4x-1 _ (4x-l)-V4x-l _(4x-l)-V4x-l _ ~2x->/4x-l yj4x-\ ~2x->/4x-l->/4x-l ~ 2x-(V4lT:T)2 _ (4x -1) • V4x-1 _ V4x-1 2x-(4x-l) 2x Příklad 7.21 /strana 43 David Michálek strana 43 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady 1 — cosx Určete derivaci funkce y = 1 + sin x y = l-cosx 1 + sin x V u -v-u- v v [O - (-sinx)] • [l + sinx] - [(l - cosx) • (0 + cosx)] (l + sinx) sinx • (l + sin x) - [(l - cosx) • cosx] sin x + sin2 x - (cosx - cos2 x) 2 . _._2 + cos2 x + sin x-cos x l + sinx-cos x (l + sinx) smx + sm"x-cosx + cos"x sir (l + sinx) sin2 x + cos2 x = 1 (l + sinx)" (l + sinx) (l + sinx) Příklad 7.22 /strana 43 Určete derivaci funkce y = x2 • lnx: y = x2-lnx (u.v)'=u'-v + u-v' y'= 2 ■ x ■ lnx + x2 • — = 2 • x • lnx + x = x • (21nx +1) = x • (lnx2 +1) x Príklad 7.23 /strana 43 x2+ 4 Určete derivaci funkce y = y ex y y x2+ 4 / u _ u -V-U-v v (2x.ex)-[(X2 + 4).ex]_ex-(2x-x2-4)__^+2x-4 (•■ľ Ms Príklad 7.24/strana 43 Určete derivaci funkce y = In x-2 David Michálek strana 44 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady y = ln x-2 (x-3)5 jde o složenou funkci, přičemž y x-2 (x-3)2 x- -2 (*" -3)2 (* -3)2 je í-1 u -v-u- v v ■1.(x_3)2]-[(x-2).2.(x-3).l]_(x_3^ (x-3)2-2-(x-2).(x-3) [(""tf x-2 (x-3/ 1 (x-3)2-2-(x-2).(x-3) (x-3)-[(x-3)-2-(x-2)]_ x-3-2x + 4 x-2 (x-3)' (x-2)-(x-3)' (x-2)-(x-3) 1-x (x-2)-(x-3) Příklad 7.25/strana 43 Určete derivaci funkce y = In 1 + x y = ln, y = ln, (1 + x 1-x fl + x 1-x 1-x je funkce složená, přičemž 1+x . fu^ 1-x je W u -v - u • v v = ln 1 + x 1-x 2=lníi±4 (1-X)2 David Michálek strana 45 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady y = i-(l + xp-l-(l-x)Í — (l + x)Š.I(l-xp.(-l) (1 + x) (1-x) (1-x) 1-x) I.(l + xp-(l-x)i — -I.(l + x)i-(l-xp 1 + x) (1-x) -\1 l-x)5 2 (1 + X) 2 '(1-X)2 ■1-(1 + X)2-(1-X)"2 1 + x) (1-X) 1-x) (1 + x)! T-(I-X) + (l + x) (1-x) 1 + x) (1-x) (1-X)2 (1 + X)2 (1-X)2 (1 + X)2 + + 1-X)2 (1 + X)2 (1-X)2 _ (1 + X)2 (1-X)2 1 + x) 2-(l + x)2-(l-x)2 11 11 1-x+l+x (l + x)2-(l-x)2 _ (l + x)2.(l-x)2 (1-X)2 -(1-X)2 +(l + x)2 -(l + x)2 2-(l + x)2-(l-x)2 2 (l + x)2-(l-x)2 2-(l + x)2-(l-x)2 2-(l + x)2-(l-x)2 2-(l + x)2-(l-x)2-(l + x)2.(l-x)2 1 1 (l + x)-(l-x) 1-x2 (l + x)-(l-x) = l-x2 podle (a + b)-(a-b) = a2-b David Michálek strana 46 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady Příklad 7.26 /strana 43 Určete derivaci funkce y = esin2x: y = esin2x jde o složenou funkci ' sin2x o__„ O 1 ~„„ 1 sin2x /„2x\ 2x o y = e -z-coszx = 2cos2xe (e ) =e -z Příklad 7.27/strana 44 Určete derivaci funkce y = Ayi + tg2x : ,---------- I y = y/l + tg2x = (l + tg2x)2 je funkce složená y'=--(l + tg2x)2-----^—-2 = 2 cos22x >/l + tg2x cos22x ^/l + tg2x cos22x Příklad 7.28 /strana 44 Určete derivaci funkce y = x • v x2 -1 : ,------- I y = x • vx2 -1 = x • í x2 -1 j2 (uv)= u 'v + u"v yW-Tx^ + x-l-(x2-iP-2x = T^ x2-l + x2 2x2-l Vx^T Vx7^! Příklad 7.30 / strana 44 Určete derivaci funkce y = x2 • tgx: y = x2-tgx (u.v)'=u'-v + u-v y'= 2x • tgx + x2----^— = ~" + 1 2x-sinx x2 2-x-sinx-cosx + x2 xsin2x + x2 2~ľ _ ľľľTTľ ___2.. _ ___2.. _ ___2. COS x COS x COS x COS x COS x 2-sinx-cosx = sin2x David Michálek strana 47 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady Příklad 7.31 /strana 44 1 + x Určete derivaci funkce y = Inj-------h arctgx: V 1-x y = ln. (1 + x 1-x + arctg x = In q + x^ Vl-Xy + arctg x y = (1 + X)"2-1-(1-X)2 (l + x)U(l-x)-2.(-l) lnA/------je funkce složená V 1-x i (1 + x) (1-x) + ■ (1-x) 1 + x' 1-x) ■(1 + X)"2-(1-X)2 -I.(l + x)5.(l-Xp - + • 1 + x^ - -l-(l+x)2-(l-x)"2 1 + x) (1-x) -i2 + 1 + x' 1-x) (1 + x); T-(l-x) + (1 + x) (1-x) 1 + x) + (1-x) (l-x)5 (l + x)5 1 1 "•" 1 1 + x' (l-x)i+(l + x)i 1-X)2 (1 + X)2 (1-X)2 1 _ (1 + X)2 (1-X)2 1 1 + x) + (1 - X)2 • (1 - x)2 + (1 + x)2 • (1 + x)2 (l + x)2-(l-x)2 2-(l + x)2-(l-x)2 1 + x2 2-(l + x)Í-(l-x)2 1 + x2 1-x + l + x ■ + • 1 _ (l + x)2-(l-x)2 1 1 + X' + 2-(l + x)2-(l-x)2 1 + X' David Michálek strana 48 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady 2 (1 + X)2-(1-X)2 1 2 1 +-------- =-------------;------------;------------;------------r + ' 2-(l + x)2.(l-x)2 1 + X2 2-(l+x)2.(l-x)2.(l + x)2.(l-x)2 l + * 1 111 l + x2+l-x2 2 • +-------T =-------T + - (l + x)-(l-x) 1 + x2 1-x2 1 + x2 (l-x2)-(l + x2) 1-x4 Příklad 7.32 /strana 44 Určete derivaci funkce y = sin2 (cos3x): y = sin2(cos3x) je trojitě složená!!! y'= 2 • sin(cos3x) • cos(cos3x) • (-sin3x) • 3 = (-3 • sin 3x) • sin(2 • cos3x) 2-sin(cos3x)-cos(cos3x) = sin(2-cos3x) podle 2-sinx-cosx = sin2x Příklad 7.33 /strana 44 Určete derivaci funkce y = Vsin2 x : ,------- i y = Vsin x2=ísinx2j2 je složená funkce , 1 / • 2\4 2 o 1 2 X-COSX2 y = — • í srn x j 2 -cos x -2x = —y^^=-x-cosx = , Vsin x2 -y/sinx2 Příklad 7.34 /strana 45 Určete derivaci funkce y = sin Vl + x2 : y = sin vi + x2 = siníl + x2]2 je funkce složená ít 2\i 1 /•, 2\-\ o U i 1 x-cosVl + x2 y = cos 1 + x 2 •-• 1 + x 2 -2x = cosVl + x • . x =-----, — David Michálek strana 49 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady Příklad 8.1/strana 45 Určete první a druhou derivaci funkce y = x2 • e~x: y = x2-e"x (u.v)'= u'-v + u • v y'= 2x • e"x + x2 • e"x • (-1) = 2x • e"x - x2 • e"x = ex ■(2x-x2) y'= e x • í 2x - x2 j (uv)= u 'v + u'v y"=e-x-(-l)-(2x-x2) + e-x-(2-2x) = e-x-(2-2x)-e-x-(2x-x2): = e"x-(2-2x-2x + x2) = e"x-(x2-4x + 2) Příklad 8.2/strana 45 Určete první a druhou derivaci funkce y = In,, fl + x y = ln, y = ln, (1 + x 1-x fl + x 1-x je funkce složená, přičemž J------ je fx . fu" Iv; 1-x u -v - u • v v ln q + x^ Vl-Xy ln (1 + x) (1-x) y |.(l + x)-2-l-(l-x)2 — (l + X)Í.|(l-xp.(-l) (1-x) (1-x) -\1 (1-x) (1 + x) |-(1 + X)-2.(1-X)2 — 1 1 1 --■(1 + X)2.(1-X)2 (1-x) -[2 (1 + X)"2-(1-X)2 ■1(1 + X)2-(1-X)"2 (1-x) David Michálek strana 50 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady (1-x) (1 + x) (i+x); T-(l-x) + (1 + x) '- 1 2------------ (1-x) (1-x) -[2 (l-x)2 (l + x)2 (l-x)2 (l + x)2 ■ + + (1-X)2 (l + x)2 (1-X)2 _ (l + x)2 (1-X)2 (1 + X)2 2T(1-X)2l 2-(l + x)2.(l-x)2 (l-x)2-(l-x)2+(l + x)2-(l + x)2 1-x + l + x (l + x)2-(l-x)2 2-(l + x)2-(l-x)2 2 (l + x)2-(l-x)2 2-(l + x)2-(l-x)2 (l + x)2-(l-x)2 2-(l + x)2-(l-x)2 2-(l + x)2-(l-x)2.(l + x)2.(l-x)2 1 1 (l + x)-(l-x) 1-x2 (l + x)-(l-x) = l-x2 podle (a + b)-(a-b) = a2-b y 1-x' \x\ u'-v-u-v' v =" v .. [0-(l-x')]-[l-(-2x)] 2x (l-x>)2 "(l-x^)! Příklad 8.3/strana 45 Určete první a druhou derivaci funkce y = In—r— x +1 y=ln^—r x +1 je složená funkce, kde —— x +1 U -V-U-v v David Michálek strana 51 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady y = - ex-(x2 + l)]-[ex-2x] x^ + 1 ex-(x2 + l-2x) ex (x2 + l)-(x2 -2x + l) xz+l (x'+l)' (x2+l)2 = ex-(x2+l)-(x2-2x + l) = x^_2x + l = (x-l)2 ex-(x2+l)-(x2+l) " x2+l x2 - 2x +1 je vzorec a2 - 2ab + b2 = (a - b) x2 + l (x2+l)2 y'= -^-:—— — =--------,-----, kde (x -1) je funkce složená X +1 \v) v [2-(x-l)-l-(x2+l)]-[(x-l)2-2x] 2-(x-l){(x2+l)-x-(x-l)~ y = w^ř = w^ř = 2.(x-l).(x2 + l-x2 + x) 2-(x-l)-(x + l) 2-(x2-l) (x2 + lf (*2+l) (*2+l) Příklad 8.5/strana 45 Určete první a druhou derivaci funkce y = arccos, 1 + x 2 - y = arccos, 1 + x' = arccos í i N\ Vl + X2y jde o funkci složenou 1 + x' í-1 u -v-u- v v y -1 1- 1 + x' í i N\ Vl + X2y [0-(l + x2)]-2x 0+*2)2 -1 J_ 1 -2x _ -1 r-----j -x v 1+x2 vr^7 v 1+x2 X 1 + x' ■fl x-vl + x (l + x>)' 1 x • Vl + x2 yfí + x2 x • Vl + x2 X ^ (l + x2)2 X (l + x2)= + x David Michálek strana 52 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady 1 + x2 Vl + x2 • Vl + x2 1 (l + x2)2 (l + X2).(l + X2) 1 + X2 í„\ y y 1 u u •v-u-v 1 + x2 2 v [0-(l + x 2)]-(l-2x)_ -2x (l + x>)° (, + x^); Příklad 8.6/strana 45 Určete první a druhou derivaci funkce y = —: x e u u -v - u • v v v y (ex-x2)-(ex-2x) ex-x-(x-2) _, (x-2) (x2y x y = e* y =e' (x-2) x (u.v)'= u'-v + u • v', přičemž (x-2) X podle u u -v - u • v v (x-2) (l-x3)-r(x-2)-3x'] X (*3) = e (x-2) x3-3x2(x-2) x x (x-2) x3-3x3+6x: x x x3-(x-2) + x3-3x3+6x2 x x x4-2xJ+xJ-3xJ+6x^ x x4-4xJ+6x/ x = e-----------------;--------------= e----------;--------= e x2-(x2-4x + ó) x2 - 4x + 6 = e x x x Příklad 9 /strana 45 Určete první, druhou a třetí derivaci funkce y = x2 • ex: y = x -ex (u.v)'=u'-v + u-v' y'=2x-ex + x2-ex=ex-(x2+2x) David Michálek strana 53 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady y'=ex-fx2+ 2xJ (u.v)'= iť-v + u • v' y"= ex • (x2 + 2x) + ex • (2x + 2) = ex • (x2 + 2x + 2x + 2) = ex • (x2 + 4x + 2) y"= ex • (x2 + 4x + 2) (u.v)'= u-v + u • v' y'"= ex • (x2 + 4x + 2) + ex • (2x + 4) = ex • (x2 + 4x + 2 + 2x + 4) = ex • (x2 + 6x + ó) David Michálek strana 54 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady Neurčitý integrál Příklad 1 /strana 54 Vypočtěte: íi 1-x ^ dx x ; jfizi] dx = jíiZiO_ = jlz2í±íldx = jJľdx_j2idx + J4dx J\ X J J X J X Jx Jx Jx = fx~2dx-2Í—dx + ídx =---------21n|x| + x + c =------lnx2 + x + c = J Jx J -2 + 1 ' ' -1 1 . 2 = x------lnx +c x Příklad 2 /strana 54 Vypočtěte: 2dt » (ix c 1 i--------- — ------. = ------. dx substituční metoda ^> t = 1 + vx +1 = 1 + (x +1)2 Jl + Vx + 1 Jl + Vx + 1 — = 0 + — • (x +1) 2.1 =----- z^> dx = 2 • Vx +1 dt dosadíme za t a za dx dx 2 v ' 2-Vx + l 1 o/l í-----. dx= í-----------dt 1 + yjx +1 = t ^> y/x +1 = t -1 pro dvojnásobek platí ^> 2-Vx + l = 2 (t — l) místo 2 • Vx +1 dosadíme 2-(t — 1) f 1 J f2-VxTTJ r2-(t-l)J r2t-2J f2tJ f2 ------ž^=dx = —--------dt = —*-----^dt = -------dt = —dt - - J1 + Vx +1 J t J t J t J t J t = 2Jdt-2jidt = 2-t-2-ln|t| + c = 2-il + Vx + l)-lnl + Vx + l|2+c Příklad 3 /strana 55 Vypočtěte: Í2x • ex dx volíme metodu substituční Í2x • ex dx ^> za exponent x2 dosadíme t t = x 2 David Michálek strana 55 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady t = x2 zderivujeme t ^> — = 2x^>dx = — dosadíme výrazu dx 2x t dt J2x-et —= Jetdt = et+c = ex2+c 2x Příklad 4 /strana 55 Vypočtěte: jx • exdx jde o součin ^> počítáme pomocí metody per partes íu'v = uv- íu- v' u'=ex u = ex v = x v'=l Jx • exdx = ex • x - Jex • 1 • dx = (ex • x - ex) + c = ex • (x -1) + c Příklad 5 /strana 55 Vypočtěte: jV-eMx jde o součin, řešíme metodou per partes íu'v = uv-íu-v' u'=ex u = ex v = x2 v'=2x Jx2-exdx = x2-ex-jex-2xdx = x2-ex-2Jex-xdx = opět metoda per partes ^> u'= ex u = ex v = x v'= 1 = x2-ex-2Jx-exdx = x2-ex-2-(ex-x-jex-l-dx) = = x2 • ex - 2 • (ex • x - ex) + c = x2 • ex - 2ex • x + 2ex + c = = ex-(x2-2x + 2) + c Příklad 6/strana 55 Vypočtěte: Í2x • sinx dx jde o součin, řešíme metodou per partes íu'v = uv-íu-v' u'=sinx u = -cosx v = 2x v'=2 Í2x-sinx dx = -cosx-2x- í-2-cosx dx = -2x-cosx + 2Ícosx dx = -2x • cos x + 2 • sin x + c David Michálek strana 56 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady Příklad 7/strana 55 Vypočtěte: jx2 • sinx dx jde o součin, řešíme metodou per partes íu'v = uv- íu- v' u'=sinx u = -cosx v = x2 v'=2x jx2 -sinx dx = -cosx-x2 - j-cosx-2x dx = -cosx-x2 - j-2x-cosx dx = =-cosx • x2+ 2Jx-cosx = opět per partes u'=cosx u = sinx v = x v'=l = -cosx-x2 + 2-(sinx-x- ísinx-l-dx) = -cosx-x2 + 2-(sinx-x + cosx) + c = = -x2 cosx + 2xsinx + 2cosx + c Příklad 8 /strana 55 Vypočtěte: jx • cosx dx jde o součin, řešíme metodou per partes íu'v = uv-íu-v' u'=cosx u = sinx v = x v'=l íx-cosx dx = sinx-x- Fsinx-1-dx = sinx-x- Fsinx dx = x-sinx + cosx + c Příklad 9 /strana 55 Vypočtěte: jx2 • cosx dx jde o součin, řešíme metodou per partes [u'v = uv-[u-v' u'=cosx u = sinx v = x2 v'=2x íx2 -cosx dx = sinx-x2 - ísinx-2x dx = sinx-x2 -2Fsinx-x dx = opět per partes u'= sin x u = - cos x v = x v'= 1 = sinx-x2 -2Ísinx-x dx = sinx-x2 -2-í-cosx-x- r-cosx-l-dx) = = sinx-x2 -2-1-cosx-X+ í cosx dx| = sinx-x2 -2-(-cosx-x + sinx) + c = = x2 sinx + 2xcosx-2sinx + c David Michálek strana 57 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady Příklad 10/strana 56 Vypočtěte: jVe2xdx jde o součin, řešíme metodou per partes f ' f ' ' 2x t 2x 'i u v = uv- u ■ v u = e u = — -e v = x v = l íe2x = — • e2x ^> odvozeno ze substituční metody t = 2x — = 2 ^> dx = — J 2 dx 2 [e1- —= -fet-dt = --et = --e2x obecně tedy platí íekx=--ekx J 2 2J 2 2 J k f 2x j 1 2x f 1 2x i i 1 2x 1 f 2xi 1 x • e dx = — • e x-— e • 1 • dx = — • e x — e dx = — • e J 9 J? 9 9 J 9 11 2x , x---------e + c = I.e- 2 J2 2 2J 2 2 x — V 2y + c Příklad 11 /strana 56 Vypočtěte: í sin x • cos x dx jde o součin, řešíme metodou per partes [u'v = uv-[u-v' u'=cosx u = sinx v = sinx v'=cosx jsinx-cosx dx = sinx-sinx- jsinx-cosx dx /+jsinx-cosx dx 2Ísinx-cosx dx = sinx-sinx + c 12 r . , sin x-sin x sin2x smx-cosx dx =-------------+ c =-------+ c Příklad 12 /strana 56 Vypočtěte: sin2 x , r . o 1 ----— dx = sin x------ cos x J cos x u'=----t— u = tgx v = sin2x v'=2-sinx-cosx = 2sinx r o r sin x , r . j 1 tg x dx =-----—dx = sin x------—dx J J r>r\o v J r>r\o v cos2x f 2 1 • 2 f Sm X -. 1 -2 -. f • 2 1 tg x dx = tg x • sm x-----------2 • sm x • cos x dx = tg x • sm x - 2 srn x dx = J J cosx J sin2 x - 2 í sin x • sin x dx =---------2 [sin x • sin x dx znovu per partes COSX J COSX David Michálek strana 58 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady u'=sinx u =-cosx v = sinx v'=cosx [sin2 x dx =-cosx • sinx-j-cosx-cosx dx =-cosx-sinx + [cos2x dx = =-cosx • sinx+[(l-sin2 x) dx =-cosx-sinx + [dx- [sin2x dx = = -cosx • sin x + x - [sin2 x dx /+ [sin2 x dx dostáváme rovnici 2[sin2x dx =-cosx-sinx + x 1:2 r . 2 j -cosx-sinx + x f ■ 2 j j j- j -ji I sm x dx =-------------------- za I sm x dx dosadíme do předchozí rovnice f 2 i • 2 fsm x -, • i -2 -. f • 2 i tg x dx = tgx • sm x-----------2 • smx • cosx dx = tgx • sm x - 2 srn x dx = COSX l3x „ -cosx-sinx + x sin3x + cosx-smx-x + c = sin3x ^r . • , sin3x ^ -cosx-sinx + x sin3x _r . . , sm x _ -cosx-smx+ x 2 sin x • sm x dx =---------2----------------------h c cosx J cosx 2 cosx sin3 x + cosx • cosx • sinx sin3 x + cos2 x • sinx ---------------------------------x + c =--------------------------x + c = cosx cosx sinx • (sin2 x +cos2 x] x + c = tgx-l-x + c = tgx-x + c cosx sinx cos tgx sin x + cos x = l Příklad 13 /strana 56 Vypočtěte: [cos3x dx [cos3 x dx = [cosx • cos2x dx jde o součin, řešíme metodou per partes [u'v = uv-[u-v' u'=cosx u = sinx v = cos2x v'=2cosx-(-sinx) [cosx-cos2 x dx = sinx • cos2 x - [sinx-2cosx-(-sinx) dx = = sinx • cos2 x - [sinx-2cosx-(-sinx) dx = sinx-cos2x + 2Ísin2x-cosx dx = = sinx-cos2x + 2Ícosx-(l-cos2x) dx = sinx-cos2x + 2J(cosx-cos3x) dx = = sinx-cos2x + 2Ícosx dx-2Ícos3x dx = sinx-cos2x + 2-sinx-2Ícos3x dx 3[cos3x dx = sinx-cos2x + 2sinx + c = sinx-(l-sin2xj + 2sinx + c = sinx-sin3x + 2sinx + c • 3 3Ícos3x dx = 3sinx-sin3x + c /:3 ^> [cos3x dx = sinx---------+ c David Michálek strana 59 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady Příklad 14 /strana 56 Vypočtěte: j sin2 x dx [sin2 x dx = jsinx • sin x dx jde o součin, řešíme metodou per partes fu'v = uv-fu-v' u'=sinx u = -cosx v = sinx v'=cosx jsinx-sinx dx =-cosx • sinx-j-cosx-cosx dx = =-cosx-sinx + jcos2 x dx =-cosx • sinx + jíl-sin2 xjdx = =-cosx-sinx + ídx- f sin2 x dx = = -cosx-sinx +jdx-jsin2x dx 2Jsin2x dx = -cos x-sinx+ jdx 1:2 ^> j sin2 x dx = — (x- cosx-sinx) + c cos2x + sin2x = 1 => cos2x = 1 - sin2x Příklad 15/strana 56 Vypočtěte: jcos2x dx jcos2x dx = jcosx • cosx dx jde o součin, řešíme metodou per partes lu'v = uv-lu-v' u'=cosx u = sinx v = cosx v'=-sinx jcos2x dx = sinx-cosx-jsinx-(-sinx)dx = sinx-cosx + jsin2x dx = = sinx-cosx + jíl-cos2xJdx = sinx-cosx + jdx- jcos2x dx /+ jcos2x dx 2 jcos2 x dx = sinx -cosx + jdx 1:2 ^> jcos2 x dx = — -(x + sinx-cosx) + c Příklad 16/ strana 5 7 Vypočtěte: jesinx • cosx dx exponent obsahuje goniometrickou funkci ^> substituční metoda sinx = t ^> — = cosx ^> dx =------ za dx dosadíme do výrazu dx cos x f e* • cosx -^— = f e'dt = e* + c = esinx + c J cosx J David Michálek strana 60 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady Příklad 17 / strana 57 Vypočtěte: [x2 • cosx dx jde o součin, řešíme metodou per partes [u'v = uv - [u • v' u'=cosx u = sinx v = x2 v'= 2x [x2 -cosx dx = sinx-x2 - [sinx-2x dx = sinx-x2 -2 [sinx-x dx opět per partes u'=sinx u =-cosx v = x v'=l íx2 -cosx dx = sinx-x2 -2-í-cosx-x-j-cosx-ldx] = = sinx-x2 - 2-1-cosx-X+ í cos x dx| = rsinx-x2 -2-(-cosx-x + sinx)l + c = = sin x • x2 + 2x • cos x - 2sin x + c Příklad 18 /strana 57 Vypočtěte: j sin v x dx řešíme substituční metodou t = Vx = x ^ — = — • x ^ ^> dx =-------r =------— = —-— = dt • 2Vx dx 2 1_ -\ I J_ J_ 2'X^ 2'Vx" 2Vx" dx = dt • 2Vx z předchozího víme, že Vx = t ^> dx = dt • 2t [sin vx dx = [sin t • 2t dt = 2 [t • sin t dt = řešíme metodou per partes u'=sint u = -cost v = t v'=l = 2-(-cost-t-í-cost-1 dt] = 2-(-cost-t+[cost dt] = 2-(-cost-t + sint) + c = 2 • (sin vx - Vx • cosvx I + c Příklad 19 /strana 57 Vypočtěte: [sinx • Vcosx dx = [sinx • (cosx)2 dx řešíme substituční metodou / \A dt 1 , .-x- t . s, , dt t= cosx p — = -• cosx 2. -sinx ^> dx = —- (cosx) 2 -sinx David Michálek strana 61 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady dt dt 2-Vcosxdt 2-tdt 2 1 smx (cosx)2 jsinx-Vcosxdx = jsinx-t smx 2-vcosx smx smx dosadíme do výrazu Í-—1 v sin x j t3 dt = -2 J t • t dt = -2JV dt = -2— + c 2 3 2 =—ť+c=— 3 3 (cosx) n3 1 í \- l I—~ + C =------COSX 2+c =-------v/COS x+c 3 v ' 2 ^ Príklad 20/strana 57 Vypočtěte: .(x2+l)2 x J^-J x4+2x2+l X dx = J^dx + J-^dx + J—dx Ä Ä Ä x -2 2 X x = ľxdx + 2J—dx+ [x 3dx = x2 + 21n|x| + ^- = ^- + lnx2 - ^ 2 2xz + c Příklad 21 /strana 57 Vypočtěte: jex • cosx dx jde o součin, řešíme metodou per partes fu'v = uv- íu- v' u'=ex u = ex v = cosx v'=-sinx = ex -cosx- jex -(-sinx)dx = ex -cosx +jex -sinx dx opět per partes u'= ex u = ex v = sin x v'= cos x = ex-cosx+ ex-sinx-jex-cosx dx /+jex-cosxdx dostáváme výraz 2Íex -cosx dx = ex -cosx + ex -sinx + c = ex • (sinx + cosx) + c ľ. 2 jex -cosx dx = — (sinx + cosx) + c David Michálek strana 62 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady Příklad 22 /strana 57 Vypočtěte: jex • sinx dx jde o součin, řešíme metodou per partes ju'v = uv- íu- v' u'=sinx u = -cosx v = ex v'=ex jex -sinx dx = -cosx-ex - j-cosx-exdx = -cosx-ex + jcosx-exdx = opět per partes u'=cosx u = sinx v = ex v'=ex = -cosx-ex + sinx-ex - [sinx-exdx /+jsinx-exdx dostáváme výraz 2Íex -sinx dx = -cosx-ex + sinx-ex + c = ex -(sinx-cosx) + c 1:2 I ex • sin x dx = - cos x • ex + sin x • ex + c = — (sin x - cos x) + c Příklad 23 /strana 57 Vypočtěte: í-------- řešíme metodou substituční J2x + 5 t = 2x + 5 — = 2^>dx = — dosadíme dx 2 f-í^—= f—= -fidt = -lnt + c = -ln|2x + 5| + c = ln|2x + 5|2+c = liij2x + 5| J2x + 5 J2t 2Jt 2 2 ' ' ' ' Vl ' + c Příklad 24 /strana 58 Vypočtěte: jx • In2 x dx jde o součin, řešíme metodou per partes [u'v = uv-[u-v' u'=x u = — v = ln2x v'=2-lnx- — J J 2 x 2 2 i 2 íx • ln2 x dx =----In2 x - í----2 • In x • —dx =----In2 x - í x • In x dx = opět per partes 1 - l u = x u= — v = mx v = — 2 x 2 2 2 i 2 2-1 X12 X, PX 1j X12 X, If, ----In x------tax--------dx =----ln x------tax— xdx = 9 9 J9Y9 9 9J David Michálek strana 63 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady + c x2,2 x2 , i x2 x2 r., . 1^ -----m x--------In x-------------h c = — 2 2 2 2 2 Příklad 25/strana 58 Vypočtěte: 2 X ln2x-lnx + — v *; \-------^-dx řešíme pomocí substituční metody J 1-x t = 1 - x3 — = -3x2 ^> dx =-----j dosadíme do výrazu dx -3x fx2 dt lfK 1, + 1. ----------=- =— -dt = —lnt + c = —ln J t -3x2 3Jt 3 3 l-xJ Příklad 26 / strana 58 Vypočtěte: jsin(3x - 5) dx řešíme metodou substituční t = 3x - 5 — = 3 ^>dx = — dosadíme do výrazu dx 3 jsin(3x-5) dx = jsint—= — [sint dt = —-(-cost) + c =-----cos t + c =-----cos(3x - 5) + c 3 3 v ' Příklad 27/strana 58 Vypočtěte: í--------—dx = í-----—dx = ísinx------— řešíme metodou per partes J1 - sin x J cos x J cos x [u'v = uv-[u-v' u'=-----— u = tgx v = sinx v'=cosx J J cos x f SÍnX A + f+ A + fSÍnX A --------—dx = tgx-smx- tgx-cosx dx = tgx-smx--------cosx dx J 1-sin x J J cosx r . , sin2x / >. sin2x smx- smx dx =---------í-cosxj + c =-------+ cosx + c = cosx •" COSX COSX sin2x +cosx-cosx sin2x + cos2x 1 ■ + c =---------------------+ c =-------+ c cosx cosx cosx David Michálek strana 64 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady Příklad 28 /strana 58 Vypočtěte: f—---------dx řešíme pomocí parciálních zlomků J x -x-2 Nejprve vypočítáme kořeny kvadratické rovnice: -b + Vb2-4ac_l + ^l)2-4-l-(-2)_i + Vr78 x, ,X9 — 1 2 2a 2-1 2 \±y[9 1 + 3 A B 1 I--------------------------------------------1 = <_2 => Xj = 2;x2-1 => (x-2)-(x + l) 2 2 A B A-(x + l) + B-(x-2)_Ax + A + Bx-2B_Ax + Bx + A-2B_ ■ + ■ (x-2) (x + 1) (x-2)-(x + l) (x-2)-(x + l) (x-2)-(x + l) _x-(A + B) + A-2B 2x + 7 (x-2)-(x + l) x2-x-2 A + B = 2 řešíme soustavu rovnic ^> B = 2 - A dosadíme do 2. rovnice A-2B = 7 A-2-(2-A) = 7 A-4 + 2A = 7 3A = 11 => A = — B = 2 - A dosadíme za A: B = 2-----= — za A a B dosadíme a zintegrujeme 3 3 11 _5 I________(j^ = I______(jx + I_____dx = I______dx + I_____dx = Jx2-x-2 J(x-2) J(x + 1) J(x-2) J(x + 1) Ur 1 j 5 f 1 , 11, , ^| 5,. ,| = —---------dx—--------dx = — ln x-2-----ln x + 1 +c 3J(x-2) 3J(x + l) 3 ' '3 ' ' Příklad 29 /strana 58 Vypočtěte: j(tgx + cotgx )dx f/ \ i f siiix cosx , r sin x , r cos x , _ , . (tgx + cotgx jdx = ------+------ dx= ------dx+ ------dx= 2x subst. metoda J J^cosx sinx J J cosx J sinx v ľ------dx nahradíme a = cosx a v ľ------dx nahradíme b = sin x J cosx J sinx da . , da db , db ■sinx ^> dx =-------- — = cosx ^> dx dx -sinx dx cosx David Michálek strana 65 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady = í •sinx da rcosx db ------------+ rcosx ao rl rl i i i i u --------------= - —da+ — db = -ln a +ln b + c = + c = ln|tgx| + c a -smx •" b cosx •" a = lnlbl - lnlal + c = lnlsinxl - lnlcosxl + c = In b sinx lna-lnb = Info In sin x - In cos x = In cosx sinx cosx Príklad 30/strana 58 Vypočtěte: J sm x f —^—dx = f x • ——dx = řešíme metodou per partes J Cíti V J Cíti V sm x v = uv sm x v u sin2x u = -cotg x v = x v'= 1 íu'v = uv- íu f 1 i f i i r cosx , = x• dx = -cotgx-x- -cotgx-1-dx = -cotgx-x+ —----dx = sm x subst. metoda t = sinx — = cosx ^> dx =---- dx smx cosx f cosx dt p1 i. = -cotgx-x+--------------= -cotgx-x+ -dt = -cotgx-x + m t +c J t cosx J t cosx In Isin xl - cotg x • x + c Príklad 31 /strana 59 Vypočtěte: x cos x x -dx í \----— dx = [x------—dx řešíme metodou per partes COS X V = UV íu'v = uv- íu COS x v u COS x u = tg x v = x v'= 1 1 f x , f i , f i i fsinx , -----Y~ dx = x-------—dx = tg x • x - tg x • 1 dx = tg x • x - -------dx COS x COS x dt substituční metoda t = cos x - = - sm x dx dx = dt smx David Michálek strana 66 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady fsinx dt fl , i i = tgx-x-------------------= tgx-x + -dt = tgx-x + ln t +c: J t -sin x J t = tgx + ln|cosx| + c Příklad 32 /strana 59 Vypočtěte: x f , dx řešíme substituční metodou * i 2 dt dt t = 1 - x — = -2x ^> dx dx -2x r x , rx dt lrl, Iři, l|*"oi ,-------dx= -j=------= — -rdt = — -rdt = — t 2 dt = J>/l^ľ JVt -2x 2JVt 2J | 2J Ui 1 t 2 !t2 1 0 i r f,-----2 ------:-----+ c =------^- + c =-----2-t2 +c = -vt + c = -vl-x + 2 1 ! 2 1 2 z----+ 1 z _ z 2 2 Příklad 33 /strana 59 Vypočtěte: x '* + x2 dx řešíme substituční metodou i 2 dt dt t = l + x — = 2x ^> dx = — dx 2x r x , fxdt lrl, lrl, l r _o , 1 t_2+ ! t2 ! o A /r /;—r =--------------+ c =-----—+ c = — -2-t2 +c = vt + c = Vl + x +i 2 1 i 2 1 2 z----+ 1 z _ z 2 2 David Michálek strana 67 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady Příklad 34 /strana 59 Vypočtěte: jVet2dt řešíme metodou substituční X = =ť ^ = 2t dt ^> dt = dx " 2t ft ex dx = Wx 2t 2J dx = 2 ' 2 Příklad 35/strana 59 Vypočtěte: jx • In2 x dx jde o součin, řešíme metodou per partes [u'v = uv-íu-v' u'=x u = — v = ln2x v'=2-lnx- — J J 2 x 2 2 i 2 íx • ln2 x dx =----In2 x - í----2 • In x • —dx =----In2 x - f x • In x dx = opět per partes Á Á 2Í. sĹ, 1 - l u = x u = — v = mx v = — 2 x 2 2 2 i 2 2 i X12 X, PX 1 j X12 X, 1 f j m x------m x--------dx =----m x------m x— xdx = 1 J 9 v 1 1 9J 2 2 J 2 x 2 2 2' 2 X2 , , X2 , 1 X2 X2 ft 2 , 1^ ln x-lnx + — +c = --ln2x- --lnx- — --- + c = — 2 2 2 2 v Příklad 36 /strana 59 Vypočtěte: j—----= j—----dx řešíme pomocí parciálních zlomků -l = (x + l)-(x-l) podle a2-b2 = (a + b)-(a-b) x2 A B _A-(x-l) + B-(x + l)_Ax-A + Bx + B_Ax + Bx-A + B x + 1 x-1 (x + l)-(x-l) (x + l)-(x-l) (x + l)-(x-l) x-(A + B) + B-A = —t------^------r— dostáváme soustavu rovnic x + l)-x-l) David Michálek strana 68 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady A + B = 0 => A = -B dosadíme do 2. rovnice 1 B-A= po dosazení dostáváme: B + B = 1 2B = 1 ^>B = —; A = -B ^> A = - ----------- 2 1 1 dx A a <• B -dx + 1 1 r 1 1 r 1 1 r 1 ľ—:----= ľ------dx + Í------dx = í—2_dx + ľ—2— dx = — í------dx + — í------dx = Jx2-1 Jx + 1 Jx-1 Jx + 1 Jx-1 2Jx + l 2Jx-l 2 = ln r_^dx_lr_^dx=i Jx-1 2Jx + l 2 -Jx-ll -In Jlx + ll +c = ln^ř +c = lnj I I 1 I I I I1 I I1 In x-1—In x + 1 +c = ln x-lp -In x + 12 +c^ 2 I I 2 I I II II x-1 a x + 1 + c lna-lnb = ln— ^> lnA/|x — ll -In j|x + l| =ln Příklad 37 / strana 59 Vypočtěte: 5 x +X-6 dx řešíme pomocí parciálních zlomků Nejprve vypočítáme kořeny kvadratické rovnice x2 + x - 6: -b + Vb2 - 4ac -l±Vl2-4-l--6 -l + Vl + 24 -1 + ^25 Xj,x2 — 2a 2-1 -1 + 5 A B i--------------1 r = <_2 z^Xl = 2 x2=-3 => (x-2)-(x + 3) A ■ + • B _A-(x + 3) + B-(x-2)_Ax + 3A + Bx-2B_Ax + Bx + 3A-2B_ dostáváme soustavu rovnic (x-2) (x + 3) (x-2)-(x + 3) (x-2)-(x + 3) _x-(A + B) + 3A-2B (*-2)-(x + 3) A + B = 0 ^> A = -B dosadíme do 2. rovnice 3A - 2B = 5 po dosazení dosáváme: - 3B - 2B = 5 - 5B = 5 = za B dosadíme do 1. ročnice: A = -B ^> A = 1 5 , r A , r B , r 1 , r -1 (x-2)-(x + 3) B = -l f—r---------dx = ľ--------dx + ľ (x-2) , . dx = ľ--------dx + ľ-—^-—dx = (x + 3) J(x-2) J(x + 3) David Michálek strana 69 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady r 1 r 1 ii z-jii -.1 ix_2 =---------dx---------dx = m x-2 -m x + 3 +c = ln J(x-2) J(x + 3) ' ' ' ' x + 3 + c ln a - In b = In a ln x-2 - In x + 3 = In x-2 x + 3 Príklad 39 / strana 60 Vypočtěte: 2 \ x2-3x + 2 dx řešíme pomocí parciálních zlomků Nejprve zjistíme kořeny kvadratické rovnice x2 - 3x + 2: X1?X2 — 3 + 1 -b + Vb2-4ac_3 + >/(-3)2-4T2_3 + V9^8_3 + Vl 2 ~ 2 2a A ■ + ■ <í B Xj = 2; x. 2-1 1 => (x-2)-(x-lj n r A-(x-l) + B-(x-2)_ Ax-A + Bx-2B_Ax + Bx-A-2B = (x-2)-(x-!) = (x-2)-(x-!) x-2 x-1 (x-2)-(x-l) x-(A + B)-A-2B , = —;-------^-------— dostáváme soustavu rovnic: (x-2).(x-l) A + B = 0 ^> A = -B za A dosadíme do 2. rovnice -A - 2B = 2 po dosazení: B-2B = 2 - B = 2 ^>B = -2 do 1. rovnice dosadíme zaB: A = -B ^> A = 2 f—-----------dx = í------dx + í------dx = í------dx + í^—dx = 2 í------dx - 2 í------dx Jx2-3x + 2 Jx-2 Jx-1 Jx-2 Jx-1 Jx-2 Jx-1 II II I |2 I |2 21n x-2-21n x-1+c = ln x-2 -lnx-1 +c = ln (x-2) (x-l): + c = ln x-2 x-1 + c Příklad 40/strana 60 Vypočtěte: 3-2x f—----——dx řešíme pomocí parciálních zlomků Jx2-5x + 6 Nejprve vypočítáme kořeny kvadratické rovnice x2 - 5x + 6: -b±Vb2-4ac _5±^(-5)2-4-l-6 _5±V25-24 _5±^ xl5x2 2a 2-1 David Michálek strana 70 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady 5±1=/3 2 A i-------------------------------------1 i--------------------------------------1 Xj=3; x2 = 2 => (x-3)-(x-2) B A-(x-2) + B-(x-3)_Ax-2A + Bx-3B_Ax + Bx-2A-3B (x-3) (x-2) (x-3)-(x-2) _x-(A + B)-2A-3B (x-3)-(x-2) (x-3)-(x-2) dostáváme soustavu rovnic: (x-3)-(x-2) A + B = -2 ^> A = -2-B dosadíme do 2. rovnice -2 A - 3B = 3 podosazení -2-(-2-B)-3B = 3 4 + 2B-3B = 3 ^>B = 1 A + B = -2 za B dosadíme: A + l = -2 ^> A = -3 3-2x , r A , r B , r -3 í x - 5x + 6 dx = ľ--------dx + ľ--------dx = ľ--------dx + ľ--------dx = J(x-3) J(x-2) J(x-3) J(x-2) -3 í--------dx + f--------dx = -31n|x-3| J(x-3) J(x-2) ' ' + ln x-2+c = ln x-2-In x-3 +c In x-2 + c (x-3) k-lnx =lnxk lna-lnb = Info 31n x-3 =ln x-3 In x-2 -In x-3 In x-2 (x-3)3 David Michálek strana 71 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady Určitý integrál Příklad 1 /strana 64 Vypočtěte: i íiiiii j(x3 -3x2 + l)dx = jx3 dx - J3x2 dx + ji dx = jx3 dx - 3 jx2dx + jdx -i l4 . I3 x T -3 j-i x T -i -i i4 i3 + J-l [x]' i__3.i_ + 1._ L J-i 4 3 '(zir.s.ízii: i =—í + i- 4 / v \ + 1-1 j 4 4 +(-iy Příklad 2 /strana 64 Vypočtěte: 71 jsinx dx o 71 jsinx dx = [-cosx]^ ■cos(tc)-[-cos(0)] = --1-(-1) = 1 + 1 = 2 Příklad 3 / strana 64 Vypočtěte: jx • cosx dx řešíme metodou per partes o b b ľu'-v = [u ■ v] - ľu ■ v' u'=cosx u = sinx v = x v'=l 71 71 2 jx-cosx dx = [sinx-x]2 - jsinx-1 dx = [sinx-x]2 -[-cosx] 71 71 / \ f [sinx-xl2 +ícosxl2 =sin — ■ — + cos L Jo L Jo \l) 2 i.5 + 0-h.o + il = --i 2 L J 2 -j-[sin(0)-0 + cos(0)] David Michálek strana 72 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady Příklad 4 /strana 65 Vypočtěte: í sin x • cos2 x dx řešíme metodou per partes o b b íu'-v = [u • v]a - [u • v' u'=sinx u = -cosx v = cos2x v'=-2-cosx-sinx jsinx-cos2x dx = ľ- 71 71 2 cosx-cos x l2 - í - cosx • (-2 • cosx • sinx) dx = 71 71 2 [-cos3x]J-2j smx-cos x dx /+ 2 í sin x • cos2 x dx 3J smx-cos x dx = ľ-cos3xl /:3 [sinx-cos2x dx [-cos3 x]2 "cos v2y -cos (0) 0 3 r 3_ 1 3 Príklad 5 /strana 65 Vypočtěte obsah obrazce vymezeného křivkami y = lnx, x = e, y = 0 . y = lnx Z obrázku jsou patrný meze 1 a e, e e = e S = í In x dx = íl • In x dx = použijeme metodu per partes i i e i e = [x-lnx]ie - [x-— dx = [x-lnx]^ - ídx = [x-lnx]ie -[x]^ = i x i = [e-lne-Mnl]-[e-l] = e-l-0-e + l = l David Michálek strana 73 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady Příklad 6/strana 65 Vypočtěte obsah obrazce vymezeného křivkami y = x2, y = 2 - x2. Zjistíme meze tak, že porovnáme obě rovnice: y = y ^> x2=2-X2 2x2=2 X2=l => X = -1 y = 2 - x -i v-i i i r i i 2JV dx-2Jdx = 2-Hx2 dx-Jdx i iiii jy-ydx = jydx-jydx = jx2 dx - j 2- x2 dx = -i -i -i -i -i i í \ i \ i i i = jVdx- J2dx-jx2dx =jVdx-j'2dx+j'x2dx = L-l -l J -l ?-i l X T M-! = 2- 3 3 -p-(-i)i; = 2 I zl 3 3 -2^2.{j-2} = 2.^p „ 2-6 J 4^ 2-------= 2- — 3 L 3y 8 3 -2- ~2 . = 2— í.o. 3 Příklad 7/strana 65 Vypočtěte obsah obrazce vymezeného křivkami y = x3, y = 2-x2, x = 4 a osou x . Musíme vypočítat plochu S, která je vyšrafovaná modře. Nejprve vypočteme celkovou plochu Si pod y _ x _ 2 křivkou x v mezích od O do 4 a od ní odečteme plochu S2 pod přímkou x-2 v mezích od 2 do 4, která je vyšrafovaná fialově. 4 x S1 = jVdx = x J JO 44 O4 256 4 4 4 4 4 O = 64 jo. S2 = jx-2 dx = jx dx- Í2 dx = jx dx- 2Ídx = David Michálek strana 74 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady x T t4 J2 2-[x] ÍA2 ^ 2 • (4 - 2) = (8 - 2) - 2 • 2 = 6 - 4 = 2 j.o. S = S1-S2 = 64-2 = 62j.o. Příklad 8 /strana 65 Vypočtěte obsah obrazce vymezeného křivkami y = vx, y = — x . 2.5 y = —x 2^ 2 1.5 y=^5- 3 V 0.5 1.5 2.; 3 5 4,5 X Nejprve si musíme vypočítat meze: Vx =—x 2 1 2 x = —X 4 4x = x2 x-(x-4) = 0 í\ ^2 —x v2 j x2 x = x2-4x = 0 z> x = 0, x = 4 Musíme vypočítat plochu S vymezenou křivkami y = vx, y = —x, která je vyšrafovaná modře. Tu vypočteme tak, že od celé plochy Si pod křivkou y = vx v mezích od 0 do 4 odečteme plochu S2 pod křivkou y = — x v mezích od 0 do 4. 4 1 S1=J>/x"dx = Jx2 dx = x 3 2 2 fl n4 S9 = í—x dx = — íx dx = — n4 X T 2 JO ŕ/|2 = 2^-2^ = ^10. 3 3 3 0 2\ -•8 = 4j.o. 2 Q 16 16-12 4 1. S = S, - S9 =------4 =---------= — = 1— í.o. 1 2 3 3 3 3 Příklad 9 /strana 65 Vypočtěte obsah obrazce vymezeného křivkami y = vx, y = — x2. Nejprve zjistíme meze: strana 75 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady Vx~ = -x2 /:Vx~ A4 4 x ^ 4 = ^r X2 4 = x2-x2 4 = x 2 4 = x2 ^> x = ^/42=^/16 Musíme vypočítat plochu S vymezenou křivkami y = vx, y = —x2, která je vyšrafovaná modře. Tu vypočteme tak, že od celé plochy Si pod křivkou v mezích od 0 do VÍ6 musíme odečíst plochu S2 pod křivkou y = —x , která je vyšrafovaná zeleně. S1= Jx2dx = -|^/Í6 X 3 2 -i^/Iě 2x: 2-^16 #6 -0 = J. 3 2-1632 Jo 2-162 2-VÍ6 2-4 8 3 #6 = —1.0. 3 3 #6 S2= f-x2dx = - f x2dx = - 2 i A A J A 8 4 4 1 S = S,-S2 =------= - = l-j.o. 1 2 3 3 3 3 x T #6 Jo 4 3/l.\3 U 16' 1 163 1 16 4. -0 =-----------=--------= — i.o. 3 4 3 4 3 3 Příklad 10 /strana 65 Vypočtěte obsah obrazce vymezeného křivkami y = 0, y = x • ex, pro x e (O; 4). David Michálek strana 76 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady :(0;4) X /4 meze t DD S = jx-exdx metoda per partes ju'-v = [u• v]a - ju• v' u'= ex u = ex v = x v'= 1 t t t S = Jx-exdx = [x-ex]]-Jl-exdx = [x-ex]o4-Jexdx = 0 0 0 =[-i:-m:=(^4-^o)-^-i= 4-e4-e4 + l = 3e4 + l Příklad 11 /strana 66 Vypočtěte plochu vymezenou křivkou y = x-sinx a osou x pro xe(0;7i). 71 S = ix ■ sin x dx řešíme metodou per partes |ax íu'-v = [u- v] - íu- v' u'=sinx u = -cosx v = x v'=l S= íx-sinx dx = [-x-cosx]* - í-cosx dx = [-x-cosx]* + o o 71 + fcosx dx = [-x • cosx]* + [sinx]* = (-tc• (-1)- 0 ■ l) + (0 - 0) = tc Příklad 12 /strana 66 Vypočtěte délku křivky y = VI - x2 pro x e (-1; l). David Michálek strana 77 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady =VT^ = fyl + (y)2dx (y-)2Ji.(l-x2p.2x2 x VT x2y l-x2 1- l-x2 + x s = }^Wdx = j^5dx = }^ í J------rdx= í , dx = í . dx = [arcsin x 1 , =arcsinl- aresin (-l): ^vi-x2 i vr? ivr? dx -x 71 —7T 7U 7U 2~T~2 + 2_7r Příklad 13 /strana 66 2 + xe Vypočtěte délku křivky y = ^ pro x e (l; 2). =]^Ry): dx 8x^ ^2 + x6^ v 8x2 j -\i 6x5-8x2-(2 + x6)-16x -12x-64x4 48x7-32x-16x7 64x4 32x7-32x" 64x4 32x-(x6-l)T 64xz x6-l 2x3 (x«-l)2 4x6 David Michálek strana 78 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady s=JMy)2d*=L1+| 6 1 X -1 2xj dx J i I (x6-l)2 } I (x6-l)2 dx -tf + ■ x .12 2x6+l 4xe dx = Ji 4xb+x1/-2xb+l 4? d* = l )x12 + 2x6+l "4^ dx = r ÍX12 + 2X6+1 p líx6+l)2 2rJ(x6+l)2 2 6 2 6 2 = J * dx = fJ*------JLdx = pLJ-dx = ^dx = ^dx + -^dx í ^ 2xJ lrx6 Ir 1 = — f—rdx + — ľ—dx = — íx3 dx + — íx 3dx = 9 J v3 9 J v3 1 J 9 J 2-J x 2-J x 2 X T + • X 2I 4 4 +2' 1^ 33 J_ 15 J_ 3_15 _3___ 2'T+2'8~1T+16~16 Funkce dvou a více proměnných Příklad 6 /strana 76 David Michálek strana 79 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady Vyjádřete bod A[6; 3; 2] v cylindrických a sférických souřadnicích. Cylindrické souřadnice: p = ^/x2 + y2 = Vó2 + 32 = V36 + 9 = V45 = 6,7 v 3 cp = arctg— = arctg— = 26° 33' x 6 z = z = 2 => A[6,7;26°33';2] Sférické souřadnice: r = ^/x2 + y2 + z2 = Vó2 + 32 + 22 = V36 + 9 + 4 = V49 = 7 z 2 0 = arcos— = ar cos— = 73° 23' r 7 cp = are tg ^ = are tg- = 26° 33' => AÍ7; 73°23'; 26°33'1 x 6 Příklad 7/strana 76 Vyjádřete bod B, který má sférické souřadnice r = 2; 0 = 45°; cp = 30°, v kartézských souřadnicích. Kartézské souřadnice: Í2 F> x = r-sin3-cos(p = 2-sin(45°)-cos(30°) = 2- —— = 1,22 ľ) 1 /2 y = r • sin 0 • sin cp = 2 • sin (45°) • sin (30°) = 2 •--------= — = 0,71 Í2 z = r-cos3 = 2-cos(45°) = 2 —= V2=1,41 => B[l,22; 0,71; 1,41] Příklad 8 /strana 76 Vyjádřete bod B, který má sférické souřadnice r = 3; 0 = 60°; cp = 30°, v kartézských souřadnicích. David Michálek strana 80 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady Kartézské souřadnice: x R R r-sinO-cos(p = 3-sin(60°)-cos(30°) = 3- — ■ — = 2,25 S i y = r • sin& • sincp = 3 • sin (60°) • sin (30°) = 3----------1,3 z = r• cos 3 = 3 • cos(60°) = 3 - = 1,5 B[2,25;l,3;l,5] Příklad 9 /strana 76 Určete první parciální derivaci funkce z = 3x2y + e^. ÔZ=3x2y + exy = 6xy + exy-y = y-(6x + exy) (e2xy=2.e2x dx — = 3x2y + exy = 3x2+exy-x = x-(3x + exy) (e2xy=2.( 2x dz dx dz dy = Q^ = Q^-y = exy = exy-x Příklad 10/strana 76 Určete první parciální derivaci funkce z = x-y x + y u -v - u • v v dz x-y dx x + y du dv kde u = x - y; u'= — = x-y = l-0 = l; v = x + y v'= — = 1 + 0 = 1 dx dx ôz_x-y_l-(x + y)-(x-y)-l_x + y-x + y_ 2y dx x + y (x + y)2 (x + y)2 (x+y)2 du !!! u'= — = x-y = l-0 = l=>je-li y samotné v součtu nebo rozdílu, dx bereme jej jako konstantu!!! u -v-u- v v dz x-y dy x + y du dv kde u = x-y; u'= — = x-y = 0-l = -l; v = x + y v'= — = 0 + 1 = 1 dy dx dz_x-y_-l-(x + y)-(x-y)-l_-x-y-x + y_ -2x dy x + y (x + y)2 (x + y)2 (x+y)2 David Michálek strana 81 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady Příklad 11 /strana 77 y Určete první parciální derivaci funkce z = are tg—. x z = are tg— je funkce složená, (are tg a) =- x dz dx dz dy 1 0-x-yl 1 -y i + a -y x -y i + (A X 1 + y2 x2 x2 + y2 x2 x2 + y2 x2 x2 + y2 x 1 1-x-yO 1 x X 1 1 X 1 + X X 1 + y2 x2 x2 + y2 x x2 + y2 x x2+y2 x X Příklad 12 /strana 77 Určete první parciální derivaci funkce z = xy x-y dz xy í-1 u -v - u • v v dx x-y du dv kde u = x • y; u'= — = x-y = l-y = y; v = x-y v'= — = 1-0 = 1 dx dx dz _ xy _ y • (x - y) - x • y • 1 _ xy - y2 - xy _ -y2 dx x-y (x-y)2 (x-y) (x-y) dz xy dy x-y u -v-u- v v du kde u = x • y; u'= — = x-y = x-l = x; v = x-y dy dz _ xy x ■ (x - y) - x ■ y ■ (-1) _ x2 - xy + xy _ dv v'= — = 0-1 = dy -1 ôy x-y (x-y)2 (x-y) (x-y) Příklad 13 /strana 77 dz Určete — pro funkci z = eu~2v, kde u = sin x, v = x3. dx P David Michálek strana 82 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady z = eu~2v do výrazu dosadíme za u a za v a zderivujeme sinx-x sinx-2x /„„„ c l\ „k-x „k-x /i \' „k-x i — = e =e (cosx-ox ) e =e -(k-x) = e k Příklad14 / strana 77 Určete — pro funkci z = x + xy , kde x = e , y = sint. z = x2 + xy2 do výrazu dosadíme za x a za y — = (e2t)2 + e2t-sin2t = 2-e2t-e2t-2 + e2t-2-sin2t + e2t-2-sint-cost dt V ; = 2e2t (2e2t+sin2t) + e2t sin2t 2-sinx-cosx = sin2x ^> 2-sint-cost = sin2t Příklad 15 /strana 77 dz Určete — pro funkci z = exy • ln(x + y), kde x = 2t2, y = 1 - 2t2. z = e^ • ln(x + y) do výrazu dosadíme za x a za y ^ = e" ■ ln(x + y) = e*^ ■ ln(2t2 +1 - 2t2) = ^^''] ■ ln(l) = e*W -0 = 0 Příklad 16/strana 77 Určete první a druhé parciální derivace (včetně smíšené) funkce z = 4x3-2y2+3xy2+5y3. 1. parciální derivace z podle x: — = 12x -0 + 3y +0 = 12x + 3y dx ô z 2. parciální derivace z podle x: —- = 24x + 0 = 24x dx 1. parciální derivace z podle y: — = 0 - 4y + 6xy +15y2 = -4y + 6xy + 15y2 dy d2z 2. parciální derivace z podle y: —j = -4 + 6x + 30y dy David Michálek strana 83 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady d2z smíšená parciální derivace podle x:--------= -4y + 6xy + 15y2 = 0 + 6y + 0 = 6y dy -dx d2z smíšená parciální derivace podle y:--------= 12x + 3y = 6y dx -dy d2z d2z 6y dy • dx dx-dy Smíšenou parciální derivaci podle x určíme jako parciální derivaci 1. parciální derivace podle y. Smíšenou parciální derivaci podle y určíme jako parciální derivaci 1. parciální derivace podle x. d2z d2z Smíšené parciální derivace podle x a y jsou si rovny!!! dy -dx dx-dy Příklad 17/strana 78 Určete první a druhé parciální derivace (včetně smíšené) funkce z = x3y2+2x2y3 -xy. 1. parciální derivace z podle x: — = 3x2y2 + 4xy3 - y dx 2. parciální derivace z podle x: —- = 6xy + 4y - 0 = 6xy + 4y a2z ä? .2 , ,i 3 n ^„..2 , i,3 1. parciální derivace z podle y: — = 2x3y + 6x2y2 - x dy r)27 2. parciální derivace z podle y: —j = 2x + 12x y - 0 = 2x + 12x y dy fj 7 smíšená parciální derivace podle x :--------= 6x2y + 12xy2 -1 dy -dx d2z smíšená parciální derivace podle y:--------= 6x2y + 12xy2 -1 dx-dy 52z d2z 2 2 6x y + 12xy -1 dy ■ dx dx-dy David Michálek strana 84 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady Příklad 18 /strana 78 x Určete první a druhé parciální derivace (včetně smíšené) funkce z = xy + —. y Nejprve si určíme derivaci zlomku: a) ô podle x u = x u'= 1 v = y v'= 0 a u -v-u- v v v vyj dx l-y-x-0 y 1 y y y b) d podle y u = x u'= 0 v = y v'= 1 d V lvyj = 0-y-x-l= x dy y y 1. parciální derivace z podle x : — = y + — dx y 2. parciální derivace z podle x: a2z dx2 0 + 0 = 0 dz x 1. parciální derivace z podle y: — = x —- dy y d í-1 .Ä dx 0-y + l-0_ 0 _ 2 _ 2 _ y y 2. parciální derivace z podle y: d2z 0 • y2 - x • 2y -2xy 2x ay2 o o y y4 y3 smíšená parciální derivace podle x: ^ = 1 - ^ 7'0 =1-^ = 1-^ dy-dx y y y smíšená parciální derivace podle y: dz dz 1 -----------=-----------= 1 + ^- ôy • dx dx- dy y d2z dx-dy l + y-=l + -L i) -^ y y2 David Michálek strana 85 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady Příklad 19 /strana 78 Určete první a druhé parciální derivace (včetně smíšené) funkce z = ď¥. d2z 2. parciální derivace z podle x: —- = e^ • y • y + e^ • 0 = exy • y2 1. parciální derivace z podle y: — = exy • x smíšená derivace ^> (u.v)'= u'-v + u • v' dy 2_ dlz 2. parciální derivace z podle y: —r = e^ • x • x + e^ • 0 = exy • x xy. n - oxy. Y2 dy d z smíšená parciální derivace podle x:--------= e^ • y • x + e^ • 1 = e^ ■ (xy +1) dy-dx d2z smíšená parciální derivace podle y:--------= e^ • x • y + e^ • 1 = e5^ • (xy +1) dx-dy d2z d2z „ / >. = exy-(xy + l) dy-dx dx-dy Příklad 20 /strana 78 Určete první a druhé parciální derivace (včetně smíšené) funkce z = x2y3 - xy2 + x2y + 5. ^Z ~ .3 2 , o,„, , n ->„. 3 2 1. parciální derivace z podle x : — = 2xy - y + 2xy + 0 = 2xy - y + 2xy dx d2z 2. parciální derivace z podle x: —- = 2y3 - 0 + 2y = 2y3 + 2y dx (] x i 0 0 O 'í 'í 'í 1. parciální derivace z podle y: — = 3x y -2xy +x +0 = 3xy -2xy + x dy d2z 2. parciální derivace z podle y: —j = 6x2y - 2x + 0 = 6x2y - 2x dy d2z smíšená parciální derivace podle x:--------= 6xy2 - 2y + 2x dy-dx d2z smíšená parciální derivace podle y:--------= 6xy2 - 2y + 2x dx-dy d2z d2z c 2 „ „ --------=--------= oxy - 2y + 2x dy-dx dx-dy David Michálek strana 86 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady Příklad 21 /strana 78 Určete první a druhé parciální derivace (včetně smíšené) funkce z = xy4 - y • lnx - 5x3y3 +1. f O ■ = y' - 0-lnx + y- dx y xy dz I 1 ) v 1. parciální derivace z podle x: — = y4_ 0-lnx + y-— -15x2y3 + 0 = y4------15x2y3 2. parciální derivace z podle x: d2z a? dz = 0- °-X-yÍ-30xy3=4-30xy3 x 1. parciální derivace z podle y: — = 4xy3 - (l • In x - y • 0) -15x3y2 + 0 = 3. .2 = 4xy -lnx-15x y d2z dy2 2. parciální derivace z podle y: -^-^ = 12xy2 - 0 - 30x3y = 12xy2 - 30x3y d2z 1 smíšená parciální derivace podle x:--------= 4y3------45x2y2 smíšená parciální derivace podle y: dy -dx d z dx-dy = 4y3- x-y-0 x .2. 2 1 2..2 J -45xV=4y------45xzy x ô2z a2z 2. .2 dy ■ dx dx-dy = 4yá-------45x^y Příklad 22 /strana 79 x Určete první a druhé parciální derivace (včetně smíšené) funkce z = In J— y David Michálek strana 87 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady x z = ln. /— = ln y ^x\2 \yj X X = ln—j- funkce je složená, kde — = r i i i u u -v - u • v v 1 1 1. parciální derivace z podle x: 1 -- - - 1 ~, -, —x 2-y2-x2-0 ô —x 2-y2 öz 1 2 y 2 dx x y y2 v y x y -, i i i i -ť ť ô i íii — X ^•y^-y^ "2 "2 2 2 -i -10 ! 2 x/-x/-y/-y/-y x -y 1 I ~ 2 2 ~2Í x1 -y 2. parciální derivace z podle x : 1. parciální derivace z podle y: d2z az 1 ä-M-^- -1 2? dy x y - - 1 -- 1 - -- 0-y2-x2-—y2 2 —x2-y2 1 2 y y2 v y x -I 1 11 Y - -- - 1 11 1 — x2-y2-y2 o "2 2 "2 -1 o -1 2 x1-x z-y1-y z-y x -y x2 -y -1 2^ 2. parciální derivace z podle y: a2z ay2 á-wi-*--é 2y 2yJ a2z U Ĺ i -2 V smíšená parciální derivace podle x:--------= í 2y ) = 0 dy-dx d2z smíšená parciální derivace podle y:--------= (-2x 2) = 0 dx -dy d z d z dy -dx ôx-dy 0 Příklad 25 /strana 79 ^ . v v . , ôz d z pi- 1 y Dokazte, ze piati: --------=-------- pro iunkci z = xy • ln— dy -dx dx -dy x David Michálek strana 88 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady i -r, , j • j, dz y 1 0-x-y-l y x -y 1. parciálni derivace z podle x: — = y • In— + xy-----------------= y • In—+ xy--------- = dx x y_ x x y x x 2 2 , y -x -y , y x x -y x - ' j • ji ^2z i i y i i-x-y-o i , y x x smíšena derivace podle y:--------= 1 • In — + y-------------------1 = m—+ y-------T~^ = dx-dy x y_ x x yx x = ln^ + l-l = ln^ x x i -M 'j • ji 5z i Y 1 l-x-y-0 y xx 1. parciálni derivace z podle y: — = x • In— + xy-----------------= x • m—+ xy-------- = dy x y_ x x y x x = x In—+ x x - ' j • ji ^2;z i i y 1 0-x-y-l y x -y smíšena derivace podle x:--------= 1 • m— + x------------^— +1 = m— + x-------— +1 = dy-ôx x y_ x x yx x t y i i . y d2z ô2z , y = ln—-l + l = ln— ^> --------=--------= ln- x x dy ■ dx dx ■ dy x Použitá literatura: [l] Tesař, J.: Sbírka úloh z matematiky pro fyziky, PF Jihočeská univerzita České Budějovice OBSAH SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC...........................................................................................................................1 PŘÍKLAD 2 / STRANA 6....................................................................................................................................................1 PŘÍKLAD 3 / STRANA 6....................................................................................................................................................1 PŘÍKLAD 4 / STRANA 6....................................................................................................................................................2 PŘÍKLAD 5 / STRANA 6....................................................................................................................................................2 PŘÍKLAD 6 / STRANA 6....................................................................................................................................................3 PŘÍKLAD 7 / STRANA 7....................................................................................................................................................3 PŘÍKLAD 8 / STRANA 7....................................................................................................................................................4 PŘÍKLAD 9 / STRANA 7....................................................................................................................................................4 PŘÍKLAD 10/STRANA 7..................................................................................................................................................5 PŘÍKLAD 11/STRANA 8..................................................................................................................................................5 PŘÍKLAD 12/STRANA 8..................................................................................................................................................6 PŘÍKLAD 13/STRANA 8..................................................................................................................................................7 PŘÍKLAD 15/STRANA 9..................................................................................................................................................7 PŘÍKLAD 16/STRANA 9..................................................................................................................................................8 David Michálek strana 89 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady PŘÍKLAD 17/STRANA 9..................................................................................................................................................9 PŘÍKLAD 18/STRANA 9..................................................................................................................................................9 VEKTORY......................................................................................................................................................................11 PŘÍKLAD 1/STRANA 17................................................................................................................................................11 PŘÍKLAD 2 / STRANA 17................................................................................................................................................11 PŘÍKLAD 3 / STRANA 17................................................................................................................................................11 PŘÍKLAD 4 / STRANA 17................................................................................................................................................12 PŘÍKLAD 5 / STRANA 17................................................................................................................................................12 PŘÍKLAD 6/STRANA 18................................................................................................................................................12 PŘÍKLAD 7/STRANA 18................................................................................................................................................12 PŘÍKLAD 8/STRANA 18................................................................................................................................................13 PŘÍKLAD 9/STRANA 18................................................................................................................................................13 PŘÍKLAD 10/STRANA 18..............................................................................................................................................13 PŘÍKLAD 12/STRANA 19..............................................................................................................................................14 PŘÍKLAD 15/STRANA 19..............................................................................................................................................14 PŘÍKLAD 16/STRANA 19..............................................................................................................................................14 PŘÍKLAD 17/STRANA 19..............................................................................................................................................15 PŘÍKLAD 18/STRANA 19..............................................................................................................................................15 PŘÍKLAD 19/STRANA 20..............................................................................................................................................15 PŘÍKLAD 20 / STRANA 20..............................................................................................................................................16 PŘÍKLAD 21/STRANA 20..............................................................................................................................................16 PŘÍKLAD 23/STRANA 21..............................................................................................................................................16 PŘÍKLAD 24/STRANA 21..............................................................................................................................................17 PŘÍKLAD 25/STRANA 21..............................................................................................................................................17 PŘÍKLAD 26/STRANA 21..............................................................................................................................................17 PŘÍKLAD 27/STRANA 21..............................................................................................................................................18 PŘÍKLAD 28/STRANA 21..............................................................................................................................................18 PŘÍKLAD 29/STRANA 21..............................................................................................................................................18 PŘÍKLAD 30 / STRANA 22..............................................................................................................................................19 PŘÍKLAD 31 / STRANA 22..............................................................................................................................................19 PŘÍKLAD 32 / STRANA 22..............................................................................................................................................19 PŘÍKLAD 33/STRANA 22..............................................................................................................................................20 PŘÍKLAD 35/STRANA 23..............................................................................................................................................21 PŘÍKLAD 36 / STRANA 23..............................................................................................................................................22 PŘÍKLAD 37 / STRANA 23..............................................................................................................................................23 PŘÍKLAD 38/STRANA 23..............................................................................................................................................24 PŘÍKLAD 39/STRANA 23..............................................................................................................................................24 PŘÍKLAD 40 / STRANA 23..............................................................................................................................................25 PŘÍKLAD 41/STRANA 23..............................................................................................................................................25 PŘÍKLAD 44 / STRANA 24..............................................................................................................................................26 PŘÍKLAD 45 / STRANA 24..............................................................................................................................................26 PŘÍKLAD 46 / STRANA 24..............................................................................................................................................27 PŘÍKLAD 48 / STRANA 24..............................................................................................................................................28 PŘÍKLAD 49 / STRANA 24..............................................................................................................................................29 PŘÍKLAD 50 / STRANA 25..............................................................................................................................................29 PŘÍKLAD 51 / STRANA 25..............................................................................................................................................30 PŘÍKLAD 52 / STRANA 25..............................................................................................................................................31 PŘÍKLAD 53 / STRANA 25..............................................................................................................................................32 PŘÍKLAD 54 / STRANA 25..............................................................................................................................................32 PŘÍKLAD 55 / STRANA 25..............................................................................................................................................33 LIMITY...........................................................................................................................................................................34 PŘÍKLAD 6.1/STRANA 39.............................................................................................................................................34 PŘÍKLAD 6.2/STRANA 39.............................................................................................................................................34 PŘÍKLAD 6.3/STRANA 39.............................................................................................................................................34 PŘÍKLAD 6.4 / STRANA 40.............................................................................................................................................34 PŘÍKLAD 6.5 / STRANA 40.............................................................................................................................................34 PŘÍKLAD 6.6 / STRANA 40.............................................................................................................................................35 PŘÍKLAD 6.8 / STRANA 40.............................................................................................................................................35 PŘÍKLAD 6.9 / STRANA 40.............................................................................................................................................35 PŘÍKLAD 6.10/STRANA 40...........................................................................................................................................35 PŘÍKLAD 6.12/STRANA 40...........................................................................................................................................36 David Michálek strana 90 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady DERIVACE.....................................................................................................................................................................37 PŘÍKLAD 7.1/STRANA 41.............................................................................................................................................37 PŘÍKLAD 7.2/STRANA 41.............................................................................................................................................37 PŘÍKLAD 7.3/STRANA 41.............................................................................................................................................37 PŘÍKLAD 7.4/STRANA 41.............................................................................................................................................37 PŘÍKLAD 7.5/STRANA 41.............................................................................................................................................38 PŘÍKLAD 7.6/STRANA 41.............................................................................................................................................38 PŘÍKLAD 7.7/STRANA 41.............................................................................................................................................38 PŘÍKLAD 7.8/STRANA 42.............................................................................................................................................38 PŘÍKLAD 7.9/STRANA 42.............................................................................................................................................38 PŘÍKLAD 7.10/STRANA 42...........................................................................................................................................39 PŘÍKLAD7.11/STRANA42...........................................................................................................................................39 PŘÍKLAD 7.12/STRANA 42...........................................................................................................................................40 PŘÍKLAD 7.13/STRANA42...........................................................................................................................................40 PŘÍKLAD 7.14/STRANA 42...........................................................................................................................................40 PŘÍKLAD 7.15/STRANA42...........................................................................................................................................41 PŘÍKLAD 7.16/STRANA 42...........................................................................................................................................41 PŘÍKLAD 7.17/STRANA 43...........................................................................................................................................41 PŘÍKLAD 7.18/STRANA 43...........................................................................................................................................42 PŘÍKLAD 7.19/STRANA 43...........................................................................................................................................42 Příklad 7.20/strana 43...........................................................................................................................................43 PŘÍKLAD 7.21/STRANA43...........................................................................................................................................43 Příklad 7.22/strana 43...........................................................................................................................................44 Příklad 7.23/strana 43...........................................................................................................................................44 Příklad 7.24/strana 43...........................................................................................................................................44 Příklad 7.25/strana 43...........................................................................................................................................45 Příklad 7.26/strana 43...........................................................................................................................................47 Příklad 7.27/strana 44...........................................................................................................................................47 Příklad 7.28/strana 44...........................................................................................................................................47 Příklad 7.30/strana 44...........................................................................................................................................47 PŘÍKLAD 7.31/STRANA44...........................................................................................................................................48 Příklad 7.32/strana 44...........................................................................................................................................49 Příklad 7.33/strana 44...........................................................................................................................................49 Příklad 7.34/strana 45...........................................................................................................................................49 příklad 8.1/strana 45.............................................................................................................................................50 příklad 8.2 / strana 45.............................................................................................................................................50 příklad 8.3 / strana 45.............................................................................................................................................51 příklad 8.5 / strana 45.............................................................................................................................................52 příklad 8.6 / strana 45.............................................................................................................................................53 příklad 9 / strana 45................................................................................................................................................53 NEURČITÝ INTEGRÁL...............................................................................................................................................55 PŘÍKLAD 1/STRANA 54................................................................................................................................................55 PŘÍKLAD 2 / STRANA 54................................................................................................................................................55 PŘÍKLAD 3 / STRANA 55................................................................................................................................................55 PŘÍKLAD 4 / STRANA 55................................................................................................................................................56 PŘÍKLAD 5 / STRANA 55................................................................................................................................................56 PŘÍKLAD 6 / STRANA 55................................................................................................................................................56 PŘÍKLAD 7 / STRANA 55................................................................................................................................................57 PŘÍKLAD 8 / STRANA 55................................................................................................................................................57 PŘÍKLAD 9 / STRANA 55................................................................................................................................................57 PŘÍKLAD 10/STRANA 56..............................................................................................................................................58 PŘÍKLAD 11/STRANA 56..............................................................................................................................................58 PŘÍKLAD 12/STRANA 56..............................................................................................................................................58 PŘÍKLAD 13/STRANA 56..............................................................................................................................................59 PŘÍKLAD 14/STRANA 56..............................................................................................................................................60 PŘÍKLAD 15/STRANA 56..............................................................................................................................................60 PŘÍKLAD 16/STRANA 57..............................................................................................................................................60 PŘÍKLAD 17/STRANA 57..............................................................................................................................................61 PŘÍKLAD 18/STRANA 57..............................................................................................................................................61 PŘÍKLAD 19/STRANA 57..............................................................................................................................................61 PŘÍKLAD 20 / STRANA 57..............................................................................................................................................62 David Michálek strana 91 Sbírka úloh z matematiky pro fyziky (J. Tesař) - řešené příklady PŘÍKLAD 21/STRANA 57..............................................................................................................................................62 PŘÍKLAD 22 / STRANA 57..............................................................................................................................................63 PŘÍKLAD 23 / STRANA 57..............................................................................................................................................63 PŘÍKLAD 24/STRANA 58..............................................................................................................................................63 PŘÍKLAD 25 / STRANA 58..............................................................................................................................................64 PŘÍKLAD 26/STRANA 58..............................................................................................................................................64 PŘÍKLAD 27 / STRANA 58..............................................................................................................................................64 PŘÍKLAD 28 / STRANA 58..............................................................................................................................................65 PŘÍKLAD 29 / STRANA 58..............................................................................................................................................65 PŘÍKLAD 30 / STRANA 58..............................................................................................................................................66 PŘÍKLAD 31/STRANA 59..............................................................................................................................................66 PŘÍKLAD 32 / STRANA 59..............................................................................................................................................67 PŘÍKLAD 33/STRANA 59..............................................................................................................................................67 PŘÍKLAD 34 / STRANA 59..............................................................................................................................................68 PŘÍKLAD 35/STRANA 59..............................................................................................................................................68 PŘÍKLAD 36 / STRANA 59..............................................................................................................................................68 PŘÍKLAD 37 / STRANA 59..............................................................................................................................................69 PŘÍKLAD 39/STRANA 60..............................................................................................................................................70 PŘÍKLAD 40 / STRANA 60..............................................................................................................................................70 URČITÝ INTEGRÁL....................................................................................................................................................72 PŘÍKLAD 1/STRANA 64................................................................................................................................................72 PŘÍKLAD 2 / STRANA 64................................................................................................................................................72 PŘÍKLAD 3 / STRANA 64................................................................................................................................................72 PŘÍKLAD 4 / STRANA 65................................................................................................................................................73 PŘÍKLAD 5 / STRANA 65................................................................................................................................................73 PŘÍKLAD 6 / STRANA 65................................................................................................................................................74 PŘÍKLAD 7 / STRANA 65................................................................................................................................................74 PŘÍKLAD 8 / STRANA 65................................................................................................................................................75 PŘÍKLAD 9 / STRANA 65................................................................................................................................................75 PŘÍKLAD 10/STRANA 65..............................................................................................................................................76 PŘÍKLAD 11/STRANA 66..............................................................................................................................................77 PŘÍKLAD 12/STRANA 66..............................................................................................................................................77 PŘÍKLAD 13/STRANA 66..............................................................................................................................................78 FUNKCE DVOU A VÍCE PROMĚNNÝCH...............................................................................................................79 PŘÍKLAD 6 / STRANA 76................................................................................................................................................79 PŘÍKLAD 7 / STRANA 76................................................................................................................................................80 PŘÍKLAD 8 / STRANA 76................................................................................................................................................80 PŘÍKLAD 9 / STRANA 76................................................................................................................................................81 PŘÍKLAD 10/STRANA 76..............................................................................................................................................81 PŘÍKLAD 11/STRANA 77..............................................................................................................................................82 PŘÍKLAD 12/STRANA 77..............................................................................................................................................82 PŘÍKLAD 13/STRANA 77..............................................................................................................................................82 PŘÍKLAD 14/STRANA 77..............................................................................................................................................83 PŘÍKLAD 15/STRANA 77..............................................................................................................................................83 PŘÍKLAD 16/STRANA 77..............................................................................................................................................83 PŘÍKLAD 17/STRANA 78..............................................................................................................................................84 PŘÍKLAD 18/STRANA 78..............................................................................................................................................85 PŘÍKLAD 19/STRANA 78..............................................................................................................................................86 PŘÍKLAD 20 / STRANA 78..............................................................................................................................................86 PŘÍKLAD 21/STRANA 78..............................................................................................................................................87 PŘÍKLAD 22 / STRANA 79..............................................................................................................................................87 PŘÍKLAD 25 / STRANA 79..............................................................................................................................................88 David Michálek strana 92