28 Křivočarý pohyb
Kapitola 3
Křivočarý pohyb
Cíle
1. Dozvíte se, jak s využitím znalostí o vektorech popsat křivočarý pohyb
tělesa v gravitačním poli ­ šikmý vrh.
2. Poznáte význam polohy, rychlosti a zrychlení jako vektorů v rovině či
v prostoru. Dozvíte se, jaký je význam tečného a normálového zrychlení
při křivočarém pohybu.
3. Seznámíte se s rovnoměrným pohybem po kružnici a veličinami, které jej
popisují. Naučíte se počítat dostředivé zrychlení.
4. Naučíte se, jak se skládají rychlosti a jak to souvisí s teorií relativity.
3.1 Šikmý vrh
Každý někdy sledoval pohyb baseballového míčku po odpalu nebo let skokana
na lyžích. Tyto pohyby mají hodně společného s volným pádem, o kterém jsme
mluvili v druhé kapitole.Připomeňme si,k čemu jsme dospěli v odstavci 2.7:,,Těleso
volně vypuštěné v blízkosti povrchu Země padá se stálým zrychlením, je-li odpor
vzduchu dostatečně malý. Toto tíhové zrychlení g je pro všechna tělesa stejné."
Sledujme nyní stroboskopický záznam pohybu dvou míčků na obrázku 3-1.
Žlutý míček byl volně vypuštěn (padá volným pádem), zatímco zelený byl ve
stejném okamžiku vystřelen určitou rychlostí ve vodorovném směru. Vidíme,
že y-ová souřadnice obou míčků je v každém okamžiku stejná. Skutečnost,
že se jeden míček současně pohybuje i ve vodorovném směru, nijak neovlivňuje
jeho pohyb ve svislém směru. Podobně by to dopadlo i v případě
vodorovného výstřelu z pušky.Vypadne-li nábojnice ve stejný okamžik ze stejné
výšky jako z ní vodorovně vyletí střela, musí také současně dopadnout na zem,
přestože jsou od sebe již desítky metrů daleko. Podobnými pokusy se můžeme
přesvědčit, že nejen volně vypuštěná tělesa, ale i tělesa vypuštěná s libovolnou
počáteční rychlostí v0
, se pohybují v gravitačním poli se stálým zrychlením g
po celou dobu svého pohybu. Takový pohyb nazýváme obecně šikmým vrhem.
Má-li počáteční rychlost vodorovný směr, jako je tomu na obrázku 3-1, jde
o speciální případ ­ vodorovný vrh. Vodorovný vrh se tedy od volného pádu liší
pouze tím, že se těleso navíc pohybuje konstantní rychlostí ve vodorovném směru.
Nyní se můžeme pustit do matematického popisu šikmého vrhu. Budeme
sledovat pohyb baseballového míčku, který byl vystřelen počáteční rychlostí
v0
o velikosti 18 ms-1
pod elevačním úhlem 600
(viz obrázek 3-2). Vztažnou
soustavu volíme co nejjednodušeji, tedy s počátkem v místě výstřelu, osou x
vodorovnou a osoy y svislou. Nejprve bude nutné najít složky vektorů v0
a g ve
zvolené vztažné soustavě. Využijeme k tomu našich znalostí počítání s vektory,
Obrázek 3-1.
(a) Stroboskopický snímek současného
pádu dvou míčků.
(b) Zakreslení složek rychlosti
míčků nám umožní pochopit
jejich pohyb.
osa x
vy
vy
vy
vx
vx
vx
vx
vy
vy
vy
osa y
Křivočarý pohyb 29
které jsme získali v první kapitole.
600
v0
osa xv0x
v0y
g
předpokládaná trajektorieosa y
Pomocí obrázku určíme, že
v0x
=v0
cosa =18ms-1.cos600
=9,0ms-1
,
v0y
=v0
sina =18ms-1.sin600
=15,6ms-1
,
gx
=0ms-2
,
gy
=­9,8ms-2
.
Nyní využijeme toho, že skutečný pohyb tělesa můžeme rozložit na dva nezávislé
pohyby, ve vodorovném a ve svislém směru. Pohyb míčku tedy budeme
sledovat zvlášť v x-ové a v y-ové souřadnici.
Víme, že gx
=0ms-2
, proto ve směru osy x jde o rovnoměrný pohyb s počáteční
rychlostí v0x
=9ms-1
a počáteční polohou x0
=0m, který je popsaný rovnicí
x(t)=v0x
t
Ve svislém směru jde o pohyb rovnoměrně zrychlený se zrychlením
gy
=­9,8ms-2
, počáteční rychlostí v0y
=15,6ms-1
a počáteční polohou y0
=0, který
je popsaný rovnicí
y(t)=v0y
t + 1 gy
t2
.2
Protože velikost tíhového zrychlení (kladné číslo) označujeme g, můžeme druhou
rovnici přepsat do přehlednějšího tvaru. Dohromady pak dostaneme
x(t)=v0x
t a y(t)=v0y
t ­ 1 gt2
.2
To jsou rovnice trajektorie šikmého vrhu. Tyto rovnice, jak se dozvíte později
v matematice, určují docela jednoduchou křivku ­ parabolu. Můžeme tedy učinit
obecný závěr, že těleso se při šikmém vrhu pohybuje po části paraboly.
Nyní můžeme z rovnic vypočítat dolet míčku. Je to vodorovná vzdálenost,
kterou míček urazí, než dopadne na zem.V čase dopadu tD
proto musí platit, že
y(tD
)=0 (míček je na zemi). Z této podmínky můžeme určit čas dopadu tD
:
0=v0y
tD
­ 1 gtD
2
=> 0=tD
(v0y
­ 1 gtD
).2 2
Tato kvadratická rovnice s neznámou tD
má dva kořeny: tD
=0atD
=2v0y
/g. První
kořen není chyba, ale výsledek, odpovídající počátečnímu bodu (i zde totiž platí
y=0). Druhý kořen je hledaný čas dopadu. Dolet D získáme jako x-ovou souřadnici
míčku v čase dopadu
Obrázek 3-2.
Pohyb míčku při šikmém vrhu.
Obrázek obsahuje všechny důležité
údaje ­ počáteční rychlost,
elevační úhel a také volu
vztažné soustavy.
30 Křivočarý pohyb
D= x(tD
)=v0x
tD
=
2v0x
v0y
=
2.9ms-2.15,6ms-2
=28,6m.
g 9,8ms-2
Vztah pro dolet můžeme ještě upravit tak, že složky v0x
a v0y
vyjádříme pomocí
v0
a elevačního úhlu a. Dostaneme tak, že
D=
2v0x
v0y
=
2v0
2
sina cosa
=
v0
2
sin2a
.
g g g
Takto upravený vztah nám umožňuje odpovědět na další velice zajímavou
otázku, kterou by nám hráč baseballu jistě položil: ,,Pod jakým úhlem mám míč
hodit, aby doletěl co nejdál?" Stačí si všimnout, jak dolet závisí na elevačním
úhlu a. Vidíme, že dolet bude maximální, bude-li maximální hodnota výrazu
sin2a. To nastane pro úhel amax
=450
(pak 2amax
=900
, sin900
=1 a to je největší
hodnota, které může funkce sinus nabývat). Proto největšího doletu dosáhneme
při elevačním úhlu amax
=450
.
Zbývá nám ješte vypočítat výšku výstupu,tj.zjistit do jaké největší výšky se míček
dostane.Z tvaru trajektorie (viz obrázek 3-2) vidíme,že maximální výšky dosáhne míček
v polovině doby svého letu. Proto výšku výstupu H vypočteme jako jeho y-ovou
souřadnici v čase tD
/2=v0y
/g. Dostaneme
H=y(tD
/2)=v0y
(v0y
/g) ­ 1 g(v0y
/g)2
2 ,
což po úpravě dává
H=
v0y
2
=
v0
2
sin2
a
.
2g 2g
Pro zadané hodnoty dostaneme výšku výstupu míčku H=12,4m.
Na závěr připomeňme, že jsme v úvodu předpokládali, že ,,odpor vzduchu
je dosatečně malý", což prakticky znamenalo, že jsme s ním vůbec nemuseli
počítat (ani bychom to zatím nedokázali). Podobně jako u volného pádu je toto
zanedbání rozumné jen u těles, která se nepohybují příliš velkými rychlostmi.
Pro lepší představu poslouží obrázek 3-3, který porovnává pohyb bez odporu
vzduchu (ve vakuu) a skutečnou trajektorii míčku (vypočtenou numericky na
počítači).
Příklad 3-1
Při filmování honičky jede kaskadér na motorce po rozestavěném mostě o výšce 4,2m
rychlostí 45 kmh-1
. Má přeskočit řadu aut o celkové délce 14,6m ­ viz obrázek. Ještě
předtím, než se pustí do akce, ho napadne, zda vůbec může úkol zvládnout. Poradíte mu?
Rychlost, kterou kaskadér jede po mostě,
bude počáteční rychlostí vodorovného
vrhu ­ označme ji v0
. Zvolíme vztažnou
soustavu tak, jak ukazuje obrázek.
Nejprve zjistíme, jak dlouho bude skok
z výšky y0
=4,2m trvat. Víme, že při
vodorovném vrhu je v0y
=0ms-1
, proto
Při poslední úpravě vztahu jsme
použili matematický vzorec
2sina cosa=sin2a.
Našli byste ho v běžných matematických
tabulkách a odvodíte
jej později v matematice.
4,2m
v0
14,6m
osa y
osa x
Obrázek 3-3. Porovnání trajektorie
míčku ve vzduchu (se
započtením odporu vzduchu)
vypočtené na počítači s trajektorií
ve vakuu (bez odporu
vzduchu) pro tři různé počáteční
rychlosti míčku a elevační úhel
600
. Všimněte si různých měřítek
na osách, údaje jsou v metrech.
v0
=10ms-1
v0
=21ms-1
v0
=52ms-1
Křivočarý pohyb 31
ve směru osy y popíšeme pohyb rovnicí pro volný pád
y(t)=y ­
1
gt2
.2
V čase dopadu tD
musí být y(tD
)=0, proto
0=y ­
1
gtD
2
,2
odtud čas dopadu
tD
=
2y0 =
2.4,2m
=0,93 s.g 9,8ms-2
Nyní vypočítáme, jak daleko se za tu dobu kaskadér dostane ve vodorovném směru
x(tD
)=v0x
tD
=11,6 m.
Řada aut je však dlouhá 14,6m, to je rozdíl 3m. Rada je jasná: neskákat.
3.2. Poloha, rychlost a zrychlení při křivočarém pohybu
V kapitole o přímočarém pohybu jsme poznali tři základní veličiny, které
nám stačí k popisu pohybu: polohu, rychlost a zrychlení. Naučili jsme se s nimi
pracovat na přímce při popisu přímočarého pohybu.Nyní tyto definice zobecníme
tak, aby platitly i v rovině či prostoru. Například pro popis polohy v prostoru
použijeme polohový vektor (někdy se také říká průvodič). Bude to vektor, který
vede z počátku soustavy souřadnic do místa, kde se právě nachází hmotný bod.
Tento vektor můžeme zapsat pomocí tří složek v kartézské soustavě souřadnic.
K popisu polohy v prostoru tedy potřebujeme tři čísla (tj. tři složky polohového
vektoru). Podobné to bude s rychlostí i zrychlením.
Následující tabulka přehledně shrnuje definice základních kinematických
veličin. Je zde to nejdůležitější z celé kinematiky, totiž jaké veličiny používáme
pro popis pohybu.
poloha
(vektor)
r= (x, y) rovina
r=(x, y, z) prostor
[r]=m
Polohový vektor vede z počátku
soustavy souřadnic do místa, kde se
právě nachází hmotný bod.
posunutí
(vektor)
r=r2
­ r1
[r] = m
Posunutí určíme jako rozdíl koncové
polohy r2
a počáteční polohy r1
okamžitá rychlost
(vektor)
v=lim r
t­>0 t
[v] = m/s = ms-1
Zmenšujeme-li t k nule, blíží se
průměrná rychlost k jediné limitní
hodnotě ­ okamžité rychlosti.
okamžité zrychlení
(vektor)
a=lim v
t­>0 t
[a] = m/s2
= ms-2
Zmenšujeme-li t k nule, blíží se
průměrné zrychlení k jediné limitní
hodnotě ­ okamžitému zrychlení.
Ukažme si nyní význam jednotlivých kinematických veličin na příkladu
šikmého vrhu baseballového míčku z předchozího odstavce. Budeme vycházet
z informací v tabulce a použijeme jednoduché operace s vektory.
Dosáhnout maximálního
možného doletu při šikmém
vrhu je cílem snažení sportovců
v mnoha atletických
disciplinách, třeba při skoku
dalekém na obrázku. Určit
maximální teoretický dolet
skokana, víme-li, že jeho
odrazová rychlost je 9,5ms-1
(přibližně rychlost běhu
sprintera), zvládnete pomocí
odvozeného vztahu pro dolet
velmi snadno. Dokázali byste
také odhadnout vliv tíhového
zrychlení? Například v Tokiu
je g=9,79801ms-2
, zatímco
v severněji položeném Oslu
je g=9,81927ms-2
. Ve kterém
městě mají atleti větší šanci
překonat světový rekord?
Víte, že...
obrázek 3-4. Dosáhnout maximálního
doletu je cílem mnoha
sportovců.
32 Křivočarý pohyb
Na obrázku 3-5a vidíme, jak polohový vektor r určuje polohu míčku (hmotného
bodu). Čárkovaně je vyznačena křivka, po které se míček pohybuje, neboli
jeho trajektorie. Jeho poloha je jednoznačně určena dvěma údaji ­ složkami
vektoru r (které označujeme x a y). Na obrázku (b) je pak sestrojen vektor posunutí
r=r2
­ r1
. Uvědomte si, že i průměrná rychlost mezi body 1 a 2 má směr
vektoru r (dělení skalárem t směr vektoru nezmění). Jak ale určíme směr
okamžité rychlosti například v bodě 1? Můžeme si představit, že jak budeme
zmenšovat interval t bude se mezi body 1 a 2 směr vektoru r, a tedy i v,
stále těsněji přibližovat směru tečny v bodě 1. Proto okamžitá rychlost má vždy
směr tečny k trajektorii v daném bodě, jak ukazuje obrázek (c). Konečně na
obrázku (d) je sestrojen vektor v =v2
­ v1
, který udává směr vektoru průměrného
zrychlení míčku mezi body 1 a 2. Výsledek by nás neměl překvapit, neboť
už víme, že při šikmém vrhu se míček pohybuje s konstantním zrychlením a=g
směřujícím svisle dolů.
Často je velmi užitečné rozložit zrychlení nikoliv do složek daných souřadnicovými
osami x a y, ale jak ukazuje obrázek 3-6, do směru tečny a normály
(kolmice k tečně) k trajektorii v daném bodě. Dostaneme tak tečné zrychlení
aT
a normálové zrychlení aN
, platí a=aT
+aN
. Jaký je jejich význam?
Uvažme těleso, které se pohybuje přímočaře s nenulovým zrychlením (auto
zrychluje na přímém úseku silnice). Jeho rychlost nemění směr, pouze velikost,
a proto jeho normálové zrychlení musí být nulové. Zrychlení tělesa je jen tečné
a určuje, jak se mění velikost rychlosti. Naopak si můžeme představit těleso,
jehož rychlost má stálou velikost, ale mění svůj směr (auto rovnoměrně projíždí
zatáčkou). Pak jeho tečné zrychlení musí být nulové. Zrychlení tělesa je jen
normálové a určuje, jak se mění směr rychlosti, neboli jak bude zakřivena jeho
trajektorie. Pohyb míčku při šikmém vrhu je pak příkladem obecného pohybu
(nerovnoměrného křivočarého), kdy je nenulové tečné i normálové zrychlení
současně. Rozdělení pohybů shruje přehledně následující tabulka:
Obrázek 3-5. Poloha, rychlost
a zrychlení při křivočarém pohybu.
Trajektorie míčku je vyznačena
čárkovaně.
normála
aT
aN
a
tečna
obrázek 3-6. Tečné zrychlení
určuje změnu velikosti rychlosti
a normálové zrychlení určuje
změnu směru rychlosti.
.
osa x
r
v1
v2
­v1
g
r1
r2
v1
v2
tečna 1
tečna 2
r2
r1
r=r2
­ r1
(b)
(d)
v
(c)
(a)
trajektorie 1
1 1
2
2 2
osa y
osa x
osa y
osa x
osa y
osa x
osa y
Křivočarý pohyb 33
pohyb přímočarý křivočarý
rovnoměrný aT
=0, aN
=0 aT
=0,
nerovnoměrný aN
=0 ­
3.3. Rovnoměrný pohyb po kružnici
Nejjednodušším příkladem křivočarého pohybu je rovnoměrný pohyb po
kružnici. Setkáváme se s ním velmi často: oběh družice kolem Země, průjezd vlaku
či auta zatáčkou nebo pohyb protonu v urychlovači částic. Také každý, kdo
byl někdy na kolotoči, má s tímto pohybem bezprostřední zkušenost a vzpomene
si na zvláštní pocity, které přitom zažíval. Už víme, že naše tělo nedokáže
vnímat rychlost,ale je docela citlivým akcelerometrem (dokáže měřit zrychlení).
Proto nás nepřekvapí, že přestože jde o pohyb rovnoměrný, je naše zrychlení na
kolotoči nenulové, neboť se neustále mění směr rychlosti. Nyní odvodíme, jak
velké je toto zrychlení.
Podíváme-li se do tabulky rozdělení pohybů, vidíme, že při rovnoměrném
pohybu po kružnici je tečné zrychlení tělesa nulové (velikost rychlosti se nemění)
a výsledné zrychlení je tedy rovno normálovému. Na obrázku 3-7 vidíme,
že normálové zrychlení směřuje vždy do středu kružnice. Proto se mu říká
dostředivé zrychlení. Nyní pomocí jednoduché geometrie na obrázku 3-8
odvodíme jeho velikost. Body A a B jsou dvě polohy tělesa pohybujícího se po
kružnici o poloměru r. Vektor vA
představuje okamžitou rychlost tělesa v bodě
A a vB
v bodě B, jejich velikost v je stejná, směr rozdílný. Průměrné zrychlení je
podle definice a=v/t. Grafické určení vektoru v =vB
­ vA
je na obrázku 38b.
Teď je nutné si všimnout, že trojúhelníky OAB a CDE jsou podobné (mají
shodné všechny úhly). Poměr délek odpovídajících si stran v podobných
trojúhelnících je stejný, proto
v =|AB|.
v r
Nyní uvažme, že mezi body A a B urazilo těleso dráhu vt, to je délka oblouku
AB. Co kdybychom v předchozím vztahu nahradili délku úsečky AB délkou
oblouku AB? Vidíme, že čím menší bude úhel f, tím menší chyby se dopustíme
(oblouk je vždy o něco delší než úsečka, viz poznámka na další straně). Bude-li f
,,nekonečně malé", neboli pro t­>0 (viz definice okamžitého zrychlení), bude
nahrazení přesné. Dostaneme tak
v =vt
v r
a odtud již hledanou velikost dostředivého zrychlení
aD
=v =v2
. (t­>0)t r
Při pohybu tělesa rychlostí o velikosti stálé v po kružnici o poloměru r směřuje
jeho zrychlení trvale do středu kružnice a má velikost:
aD
=v2
r
Pomocí kalkulačky nebo počítače
si můžeme udělat konkrétní
představu o významu tvrzení
,,čím menší bude úhel f, tím
více se délka úsečky blíží délce
příslušného oblouku". Uvážíme-li
kružnici o poloměru 1m,
dostaneme:
f=30O
oblouk: 0,261m
úsečka: 0,262m
f=1O
oblouk: 0,0174531m
úsečka: 0,0174533m
Dokázali byste tyto hodnoty
sami vypočítat?
obrázek 3-7. Rovnoměrný pohyb
po kružnici. Normálové zrychlení
směřuje do středu kružnice,
tečné zrychlení je nulové.
tečna
normála
aN
obrázek 3-8. Geometrické odvození
velikosti dostředivého
zrychlení.
A
vB
vA
O
B
f
v
vB
vA
­vA
E
C
D
f
(a)
(b)
v
34 Křivočarý pohyb
Příklad 3-2
Vraťme se opět na železnici a vyřešme následující příklad. Vlak v určitém úseku své
trati projíždí zatáčkou o poloměru 850 m. Nejvyšší přípustná velikost zrychlení při
průjezdu zatáčkou je pro pohodlí cestujících stanovena na 0,05 g. Jakou nejvyšší rychlostí
může vlak touto zatáčku projíždět?
Zrychlení je zadáno v jednotkách g (někdy se říká přetížení). Musíme proto nejprve
převést na ms-2
, tedy aD
=0,05.9,81ms-2
=0,49ms-2
. Ze vztahu pro dostředivé zrychlení
vyjádříme neznámou v a dosadíme:
aD
=v2
=> v=ÖaD
r=Ö0,49ms-2.600m=20,5ms-1
=73,5 kmh-1
.r
Vlak tedy může projet zatáčku maximálně rychlostí 73,5 kmh-1
.
V praxi bývá těžké změřit přímo rychlost tělesa, můžeme však snadno sledovat,
za jakou dobu těleso oběhne celý obvod kružnice (vzdálenost 2pr). Proto se
zavádí veličina perioda, neboli doba oběhu. Značí se písmenem T a vypočítá se
T=2pr .
v
Jako příklad uveďme pohyb Země kolem Slunce, který můžeme za rovnoměrný
pohyb po kružnici přibližně považovat. Perioda oběhu Země je tak významný
údaj, že má dokonce svůj vlastní název ­ 1 rok. Známe-li ještě vzdálenost Země
­ Slunce r=150.106
km, můžeme z těchto dvou údajů určit rychlost pohybu
Země, kterou bychom těžko přímo měřili. Ze vztahu pro periodu dostaneme
v=2pr = 2.p.150.109
m =29 900ms-1
=108 000kmh-1
.
T 365.24.3600s
Kromě periody používáme také její převrácenou hodnotu ­ frekvenci:
f=1 ,
T
která nám říká, kolik oběhů za sekundu hmotný bod vykoná. Jednotka frekvence
s-1
má i svůj vlastní název ­ Hertz. S touto jednotkou jste se jistě už setkali,
protože se používá nejen pro frekvenci kruhového pohybu, ale jakéhokoliv periodického
děje, například frekvence tepu srdce, střídání napětí v elektrické síti,...
3.4. Skládání rychlostí
Při jízdě vlakem po dokonale rovné a přímé trati nemá pasažér v kupé bez
oken žádnou šanci poznat, jakou rychlostí se vlak právě pohybuje. Může o tom
přemýšlet a přitom se procházet tam a zpátky po směru a proti směru jízdy
rychlostí o velikosti 1ms-1
.To je jeho rychlost vůči vlaku.Jestliže se vlak pohybuje
rychlostí 10ms-1
vzhledem k zemi, asi každý by dokázal říci, že vzhledem k ní
bude rychlost pasažéra 9ms-1
nebo 11ms-1
, podle toho, na kterou stranu půjde.
Už víme, že rychlost, podobně jako poloha, závisí na volbě vztažné soustavy,
platí princip skládání rychlostí: Je-li vA
rychlost tělesa v soustavě A (rychlost
pasažéra vůči vlaku) a u rychlost pohybu soustavy A vůči soustavě B (rychlost vlaku
vůči zemi), pak rychlost tělesa v soustavě B (rychlost pasažéra vůči zemi) je
vB
= vA
+ u.
Za pohyb po kružnici považujeme
i pohyb po části kružnice,
jak je tomu v případě vlaku
v příkladu 3-5.
Při výpočtu rychlosti pohybu
Země kolem Slunce předpokláme,
že jde o pohyb po kružnici.
Již v 17. století však Johannes
Kepler objevil, že planety se pohybují
po eliptických drahách.
Vzdálenost Země ­ Slunce se
v průběhu roku mění v rozmezí
147.106
až 152.106
km, rychlost
se pohybuje od 30300ms-1
do
29500ms-1
. Vidíme, že rozdíly
nejsou velké, naše zjednodušení
proto mělo smysl.
Nejpřirozenější vztažnou soustavou
je pochopitelně ta, kterou
neustále používáme, zem pod
našima nohama, odborně laboratorní
vztažná sousatva.
Křivočarý pohyb 35
Sčítají se vektory, proto v našem případě bude velikost rychlosti
vB
=(10+1)ms-1
=11ms-1
nebo vB
=(10­1)ms-1
=9ms-1
. Vztah samozřejmě můžeme
použít i v případě, že se rychlosti skládají (sčítají) v libovolném směru.
Ukážeme si to v následujícím příkladu.
Příklad 3-3
Rychlost proudu řeky je 2 ms-1
. Člun by jel po klidné vodě rychlostí o velikosti 3 ms-1
.
Určete rychlost člunu vzhledem k zemi, jede-li
(a) po proudu,
(b) proti proudu,
(c) kolmo na proud (kolmo k břehu).
(d) Určete čas, který člun potřebuje k přeplutí z jednoho břehu na druhý, chceme-li,
aby dorazil přesně naproti místu kde vyplul. Řeka je 36m široká.
Označmesirychlostčlunuvůčivodě v,rychlost proudu
u a rychlost člunu vůči zemi vZ
.
(a) Velikost rychlosti člunu vůči zemi dostaneme
jednoduše jako vZ
=v+u=(3+2)ms-1
=5ms-1
.
(b) V tomto případě je směr vektorů opačný, proto
vZ
=v­u=(3­2)ms-1
=1ms-1
.
(c) Grafické řešení je na obrázku vpravo,včetně volby
vztažné soustavy. Vidíme, že velikost vektoru v+u
můžeme určit pomocí Pythagorovy věty jako
vZ
=Öv2
+u2
=3,6ms-1
.
Směr rychlosti určíme pomocí úhlu a
tga=v/u => a=56o
.
(d) Požadujeme, aby výsledná rychlost vZ
=v+u měla směr kolmo na proud, proto musí
být člun nasměrován šikmo proti proudu (viz obrázek) pod úhlem b.Chceme,aby x-ová
složka vektoru v+u byla nulová, proto
vx
+ux
=0 => vsinb=u => sinb=u/v => b=42o
,
y-ovou složku vektoru vZ
=v+u určíme opět z obrázku jako
vZy
=vy
=vcosb=3ms-1.cos42o
=2,2ms-1
.
Čas t potřebný k překonání řeky pak bude t=d/vZ
=36m/2,2ms-1
=16s.
Vztah pro skládání rychlostí se zdá být tak jednoduchý a tolikrát prakticky
ověřený, že by snad nikoho nemohlo napadnout pochybovat o jeho platnosti.
A přece, v roce 1905 Albert Einstein ukázal, že tento vztah neplatí pro vysoké
rychlosti blížící se rychlosti světla c=299792 458 ms-1
. Je to rychlost, kterou se
šíří světlo ve vakuu, jedna z nejdůležitějších fyzikálních konstant.
Uvažme případ našeho cestujícího ve vlaku a představme si, že nechodí
tam a zpět ale vysílá světelný paprsek (o rychlosti c) po směru jízdy. Očekávali
bychom, že rychlost paprsku vůči zemi bude v=c+u, kde u je rychlost vlaku.
Kdybychom však měli možnost provést takový experiment, zjisili bychom, že
rychlost světla vůči zemi vyjde opět c, stejně jako vůči vlaku! Právě tento fakt
se stal základem Einsteinovy speciální teorie relativity. V ní bylo dokázáno
a mnoha experimenty potvrzeno, že žádné těleso nemůže dosáhnout rychlosti
Skládání rychlostí bychom měli
mít na paměti při jízdě po dálnici
vysokou rychlostí. Uvažte, že
narazíte-li při rychlosti 150kmh-1
do auta, které jede před vámi
rychlostí 100kmh-1
, následek
bude stejný, jako byste v padesátikilometrové
rychlosti narazili
do stojícího auta.
Experimenty s měřením
rychlosti světla v různých
směrech provedl koncem
19. století Albert A. Michelson.
Dokázal velmi přesně
změřit rychlost světla po
směru a proti směru pohybu
Země (vůči Slunci). K tehdejšímu
velkému překvapení fyziků
vycházela rychlost světla
v obou směrech naprosto
stejná. Tuto záhadu vyřešil až
Einstein v roce 1905.
Víte, že...
d
v
u
v+u
0 x
y
a
dv
u
v+u
0 x
y
b
(c)
(d)
směr proudu
36 Křivočarý pohyb
světla c, a to bez ohledu na volbu vztažné soustavy. Fyzikové například umí
urychlit na vysoké rychlosti různé částice pomocí elektrického napětí. Při napětí
10 milionů voltů získá elektron rychlost 0,9988c. Při použití dvojnásobného
napětí 20 milionů voltů se rychlost sice zvýší, ale jen na 0,9997c, rychlosti světla
nikdy nedosáhne. Lety nadsvětelnou rychlostí budou vždy možné jen ve fantastických
filmech.
Na závěr bychom měli čtenáře uklidnit, že jednoduchý vztah pro skládání
rychlostí i další vztahy z klasické mechaniky můžeme bezpečně používat i nadále
pro všechny běžné situace, neboť rychlosti těles kolem nás jsou oproti rychlosti
světla velmi malé. Tedy konkrétně: Vesmírná sonda se vůči Zemi pohybuje
rychlostí kolem 10000ms-1
. To je oproti rychlosti vašeho auta opravdu hodně,
ale stále jen 0,00003c.A při takto,,malých" rychlostech se relativistické efekty neprojeví.
Pro konkrétní představu uveďme, jak by se podle Einsteinovy teorie skládaly
rychlosti v případě pasažéra ve vlaku jedoucím rychlostí u, který jde po směru jízdy
rychlostí vA
.Jeho rychlost vůči zemi by byla
vA
=
vA
+u
1+
vA
u
c2
Sami si vyzkoušejte dosadit nejprve hodnoty vA
=1ms-1
a u=10ms-1
a potom
vA
=0,8c a u=0,8c.
Otázky
1
Uveďte několik příkladů
(a) dvourozměrného pohybu,
(b) trojrozměrného pohybu.
Charakterizujte tyto pohyby s využitím pojmů poloha, rychlost
a zrychlení.
2
Řidič byl na konci obce zastaven policistou. Ten mu oznámil:
,,Pane řidiči, jel jste devadesát!" Ale řidič se bránil: ,,Nevím,
co myslíte: průměrnou rychlost, okamžitou, či její velikost?
A v jaké vztažné soustavě?" Pomozte policistovi opravit jeho
výrok, aby byl přesný a správný.
3
Z děla byla vypálena střela pod elevačním úhlem 35O
. Popište,
jak se v průběhu jejího letu mění její
(a) vodorovná složka rychlosti,
(b) svislá složka rychlosti,
(b) velikost rychlosti,
(d) zrychlení.
4
Chlapec odhazoval kámen různými počátečními rychlostmi:
(a) v0
=(10, 5)ms-1
, (b) v0
=(­10, 10)ms-1
, (c) v0
=(­10, 5)ms-1
,
(d) v0
=(10, 0)ms-1
, (e) v0
=(0, 11)ms-1
(vztažná soustava je
spojena se zemí, osa x je vodorovná, osa y směřuje vzhůru).
Seřaďte jeho hody (1) podle výšky výstupu a (2) podle doletu.
Ve kterých případech šlo o vodorovný vrh, o svislý vrh?
5
Představte si, že sedíte v autobuse, jedete stálou rychlostí po
přímé silinici a vyhodíte balón přímo nad sebe. Jak se bude
balón pohybovat vůči autobusu? Jak se bude pohybovat vůči
zemi? Kam balón dopadne? Kam by balón dopadl v případě,
že byste projížděli zatáčkou?
6
Letadlo letí rychlostí o velikosti 350 kmh-1
ve stálé výšce. Pilot
vypustí balík se zásobou potravin. Jaká je (a) vodorovná,
(b) svislá složka rychlosti balíku těsně po vypuštění? Jak by
se změnila doba pádu balíku, kdyby byla rychlost letadla
450 kmh-1
? Odpor vzduchu neuvažujte.
7
Na straně 29 jsme odhadovali teoretický dolet skokana za
předpokladu, že jde o šikmý vrh. Které podstatné věci jsme
přitom museli zanedbat?
Obrázek 3-9.
Vesmírná loď Enterprise. Lety
nadsvětelnou rychlostí budou
vždy možné jen ve fantastických
filmech.
Křivočarý pohyb 37
Úlohy
1
Střela je vystřelena počáteční rychlostí 30ms-1
pod elevačním
úhlem 60O
. Odpor vzuchu neuvažujeme.
(a) Napište rovnice pro x-ovou a y-složku její rychlosti,
(b) napište rovnice pro x-ovou a y-složku její polohy,
(c) určete rychlost střely po uplynutí 2s, [v=(15, 6)ms-1
]
(d) určete polohu střely po uplynutí 2s, [r=(30, 20)m]
(e) určete dolet střely, [D=80m]
(f) určete výšku výstupu.[H=35m]
2
Hráč hodil šipku vodorovně rychlostí 20ms-1
, mířil přitom
přesně na střed terče. Za 0,19s dopadla šipka do terče.
Vypočtěte
(a) místo dopadu šipky (vzdálenost od středu terče), [17cm]
(b) vzdálenost hráče od terče. [3,8m]
3
Při ostřelování Paříže ze vzdálenosti 110km používali Němci
dělostřelecký kanón VWI přezdívaný "Tlustá Berta".
(a) Vypočtěte, jaká by musela být počáteční rychlost střely
při elevačním úhlu 45O
bez odporu vzduchu. [1038ms-1
]
(b) Můžeme v tomto případě odpor vzduchu zanedbat?
(c) Ve skutečnosti byly náboje vystřelovány pod elevačním
úhlem větším než 45O
. Němci totiž zjistili, že tak dosáhnou
téměř dvojnásobného doletu. Dokázali byste
vysvětlit proč?
4
Určete velikost a směr zrychlení sprintera při běhu zatáčkou
o poloměru 25m. Velikost rychlosti běžce můžeme považovat
za konstantní a rovnou 10 ms-1
.
[4ms-2
, směr do středu kružnice]
8
Uveďte příklady těles, která se pohybují:
(a) rovnoměrně přímočaře
(b) rovnoměrně křivočaře
(c) rovnoměrně zrychleně přímočaře,
(d) nerovnoměrně zrychleně křivočaře.
9
Vlak jel z Brna do Prahy. Které údaje budeme potřebovat,
abychom dokázali určit (a) průměrnou rychlost vlaku, průměrnou
velikost rychlosti vlaku?
10
Jak se mění zrychlení cyklisty, který opisuje při stálé velikosti
rychlosti trajektorii tvaru osmičky na obrázku?
A C
D B
11
Částice se pohybuje rovnoměrným pohybem po kružnici.
Které z následujících veličin se přitom nemění a které jsou
nulové?
Rychlost, velikost rychlosti, zrychlení, tečné zrychlení, normálové
zrychlení, frekvence, perioda.
12
Na obrázku je schematicky zachycena velikost rychlosti závodního
auta na oválném okruhu v kmh-1
. Velikost rychlosti
auta se mezi sousedními body nemění nebo se mění rovnoměrně
mezi vyznačenými hodnotami. Doplňte přibližný
směr zrychlení automobilu v červeně označených bodech.
start 80
60
70
160 100120130 160
60
0 70
13
Ke každé z následujících možností uveďte konkrétní příklad
její realizace (například: těleso se pohybuje rovnoměrně
přímočaře ­ "vlak jede stálou rychlostí po rovných kolejích").
Nebo napište ,,nelze".
(a) Těleso se pohybuje rychlostí se stálou velikostí s nenulovým
zrychlením.
(b) Těleso se pohybuje s konstantním zrychlením a směr
jeho pohybu se změní v opačný.
(c) Těleso se pohybuje po kružnici a jeho zrychlení
nesměřuje do středu kružnice.
(d) Těleso se pohybuje po kružnici a jeho zrychlení je nulové.
(e) Těleso se pohybuje rovnoměrně přímočaře a jeho
zrychlení je nenulové.
(f) Rychlost tělesa a jeho zrychlení jsou nulové.
(g) Těleso se pohybuje tak, že jeho zrychlení mění směr, ale
má konstantní velikost.
14
Proč se má kaskadér při vyskakování z jedoucího vlaku co
nejvíc odrazit, skočit proti směru jízdy a ve vzduchu se ještě
otočit o 1800
?
38 Křivočarý pohyb
5
Vletí-li pilot stíhačky do zatáčky příliš prudce,může se vystavit
vážnému nebezpečí. Dostředivé zrychlení může v tomto
případě dosahovat až několikanásobku g a pilot může ztratit
vědomí. Jaké je dostředivé zrychlení pilota (v jednotkách g)
stíhačky F-22 při průletu kruhové zatáčky o poloměru
5,80 km rychlostí o velikosti 716 ms-1
?
[9g]
6
(a) Jakou rychlostí se pohybuje člověk stojící na rovníku
vzhledem ke středu Země? [464ms-1
]
(b) Jaké je jeho dostředivé zrychlení? [0,03ms-2
]
(c) Jakou rychlostí se vůči středu Země pohybuje člověk
v České republice? [298ms-2
]
7
První člověk ve vesmíru Jurij Gagarin obletěl Zemi za 1 hodinu
a 35 min ve výšce 520 km nad povrchem. Určete jeho
rychlost.
[7,6kms-1
]
8
Vrtule ventilátoru se otáčí s frekvencí 5Hz. Jak dlouho trvá
jedna otáčka? Ve vzdálenosti 20cm od osy otáčení sedí moucha,
jaká je její rychlost?
[T=0,2s, v=6,3ms-1
]
přístav
ostrov
proud
9
Při pohledu do letového řádu zjistíte, že doba letu z Ameriky
do Evropy bývá vždy o něco kratší než let opačný. Důvodem
je převládající směr proudění vzduchu.
Vypočtěte časový rozdíl pro let o délce 4350 km. Rychlost
letadla je 960 kmh-1
, průměrná rychlost větru je 87 kmh-1
západo-východním směrem. [50 minut]
10
Výletníci jedou na malém člunu z ostrova vzdáleného
1200m od pobřeží (viz obrázek). Jejich člun vyvine maximální
rychlost 5kmh-1
. Podél pobřeží je však silný mořský
proud o rychlosti 4kmh-1
. Meteorologická stanice hlásí, že
za 20 minut přijde bouře. Posádka člunu může vyrazit do
přístavu nebo co nejrychleji k pobřeží. Propočítejte obě
možnosti.
[Cesta přímo k pobřeží bude trvat 14 min, cesta přímo do
přístavu 24 min.]
Křivočarý pohyb 39