Kapitola 4 Zákony pohybu Obrázek 4-1. Je známo, že parašutista se po opuštění letadla pohybuje se zrychlením, ale po docela krátké době dosáhne mezní rychlosti asi 250 kmh-1 a dál se už nezrychluje. Proč parašutista nepadá volným pádem, stále se zrychlením g? Můžeme vypočítat velikost mezní rychlosti? Na všechny tyto otázky nám dává odpověď dynamika. Síla je vektorová veličina, má velikost i směr. Jednotkou je 1 N = 1 Newton. Cíle" 1. Poznáte tři Newtonovy zákony pohybu a jejich význam ve fyzice. 2. Seznámíte se se základními typy sil. 3. Naučíte se pomocí Newtonových zákonu řešit mnoho praktických úloh. 4.1. Síla a pohyb V následující kapitole se budeme věnovat dynamice. V dynamice se snažíme odpovědět na velmi důležitou otázku: Proč se těleso či tělesa pohybují právě tak, jak pozorujeme? Snažíme se objevit zákony jejich pohybu. Uveďme velmi jednoduchý příklad. Sledujete hokejový kotouč jak klouže po ledě a náhle prudce změní směr pohybu. I když nepozorujete žádnou viditelnou příčinu, usuzujete, že kotouč nezměnil směr sám od sebe - náhodou, ale že tento pohyb měl svoji příčinu, kterou může být třeba malá nerovnost na ledové ploše. Obecně řečeno, každá změna rychlosti tělesa (ať už směru či velikosti), má vždy přesně danou příčinu v působení okolních těles. Byl to právě Isaac Newton, který poprvé objevil tuto spojitost mezi zrychlením tělesa a působením okolních těles. K přesnému (měřitelnému) vyjádření vzájemného působení mezi tělesy použil veličinu nazvanou síla. Připomeňme, že už víme, že síla je vektorová veličina, její jednotkou je 1 Newton. Tělesa na sebe působí silami při vzájemném dotyku (tlaková síla, třecí síla,...), ale mohou působit také na dálku (gravitační síla, elektrická síla,...). Vztahy pro vyjádření konkrétních sil při vzájemném působení se nazývají silové zákony (například Newtonův gravitační zákon). Podrobněji se jim budeme věnovat později. Připomeňme ještě jednu velmi důležitou vlastnost. Působí-li na těleso okolní tělesa více silami, můžeme tyto síly jednoduše sečíst jako vektory (viz sčítání vektorů) a určit tak výslednou sílu (budeme ji značit XF). Její účinek je stejný jako by působily všechny skládané síly dohromady, bez ohledu na to, jaký je jejich původ. Říkáme, že platí princip skládání sil IF=F1 + F2+F3+. .+ F 4.2. První Newtonův zákon Až do 17. století, kdy Newton formuloval zákony pohybu, převažoval názor, že pro udržení tělesa v pohybu stálou rychlostí je nutné na ně neustále působit nějakou silou. Podle Aristotela je klid přirozeným stavem věcí a aby se těleso pohybovalo, musí být nějak poháněno. Pokud přestane pohánějící síla působit, těleso po nějaké době dospěje do přirozeného stavu klidu. To se zdá být vsoula- 40 Zákony pohybu du s pozorováním. Všichni víme, že vyřadíme-li při jízdě autem po rovině rychlostní stupeň, samo po čase zastaví. Chceme-li jet stálou rychlostí, musí motor stále působit silou. Podobně uvedeme-li těleso do klouzavého pohybu po ledě, bude se jeho rychlost pomalu zmenšovat, dokud se nezastaví. Použijeme-li však vhodné těleso a budeme-li zlepšovat kvalitu ledové plochy, bude zpomalování stále slabší. Dokážeme si představit, že při úplném odstranění vlivu okolních těles (třecí síla, odpor vzduchu,...) bude těleso setrvávat v pohybu stále stejnou rychlostí. Dobrým příkladem je třeba vesmírná sonda, která zapíná motory pouze při zrychlování či změně směru letu. Pokud na ni nepůsobí žádné síly, setrvává v rovnoměrném přímočarém pohybu (viz obrázek 4-2 a). Podobně to platí i pro otáčivý pohyb. Planeta Země se otáčí kolem své osy jako dobrý setrvačník a nepotřebuje žádnou sílu k udržování své rotace. Na základě podobných úvah a pokusů formuloval Newton svůj zákon setrvačnosti: Každé těleso setrvává v klidu nebo v rovnoměrném pohybu v daném směru, pokud není nuceno vnějšími silami tento svůj stav změnit. Je důležité uvědomit si, co říká princip skládáni sil. Z hlediska pohybu hmotného bodu je totiž jedno, zda na něj nepůsobí žádné síly (volná částice) nebo zda se působící síly vyruší (vektorový součet všech působících sil je nulový), v obou případech se bude hmotný bod pohybovat rovnoměrně přímočaře nebo bude v klidu. Příklad ukazuje obrázek 4-2. S jeho pomocí jistě dokážete sami správně vysvětlit i to, proč auto po vyřazení motoru po určitém čase zastaví. Newton své zákony promýšlel pečlivě řadu let, přesto v zákoně chybí zmínka o tom, k jaké vztažné soustavě se váže. Newton totiž předpokládal, že existuje absolutní prostor i čas, jedna význačná vztažná soustava nezávislá na jakýchkoliv tělesech. Předpokládal proto, že zákon setrvačnosti platí v absolutním prostoru. Dnes víme, že absolutní prostor neexistuje, proto chápeme zákon setrvačnosti tak, že existuje jakási výjimečná skupina vztažných soustav, ve kterých platí první Newtonův zákon. Tyto soustavy jsou spojeny s volnými částicemi a navzájem se pohybují rovnoměrně přímočaře. Nazýváme je inerciální, z latinského inertia - setrvávat. Dobrým příkladem takové inerciální vztažné soustavy je soustava spojená se Sluncem. Za inerciální většinou považujeme i laboratorní vztažnou soustavu, spojenou s povrchem Země. Vliv rotace Země v tomto případě zanedbáváme. Všechny vztažné soustavy, které se pohybují se zrychlením vůči inerciálním, se nazývají neinerciální. Poznáme je jednoduše tak, že v nich volné částice nezůstávají v klidu či rovnoměrném přímočarém pohybu. Uveďme příklad vztažné soustavy spojené s rozjíždějícím se železničním vagónem na obrázku 4-3. Představme si, že na stůl ve vlaku položíme kostku. Dokud vlak stojí, kostka je v klidu, působí na ni Země gravitační silou a stůl tlakovou silou, tyto dvě síly se vyruší. H^-> Těleso, na které jeho okolí nepůsobí, nazýváme volným tělesem nebo volnou částici. Volná částice je podobně jako hmotný bod jen idealizovaný model. Ve skutečnosti na každé těleso působí nějaké síly, avšak často jsou zanedbatelně malé nebo se můžou vzájemně vyrušit. Obrázek 4-2. (a) Vesmírná sonda letí volným prostorem. Jde o volnou částici, okolní tělesa na ni nepůsobí, proto se pohybuje rovnoměrně přímočaře. ZF = 0 (b) Auto jede stálou rychlostí po rovné silnici. Výslednice působících sil je nulová, auto setrvává v rovnoměrném přímočarém pohybu vůči slinici. *F, odpor vzduchu tlaková síla vozovky tažná síla (tření) gravitační síla VF, ZF = F, + F2+F3 + F = 0 Obrázek 4-3. Neinerciální vztažná soustava spojená s vagónem. Zákony pohybu 41 Víte, že. Isaac Newton publikoval své zákony pohybu v roce 1687 v knize nazvané (v českém překladu) „Matematické principy přírodní filozofie", která obsahuje i výsledky jeho studia konkrétních mechanických jevů, teorii gravitace, názory na světlo a mnohé další. Jeho dílo se stalo počátkem nové éry v přírodních vědách. Když se ho zeptali, jak přišel na tolik velkých objevů, odpověděl: „Nocte dieque incubando" („Přemýšlel jsem dnem i nocí"). Obrázek 4-4. Sir Isaac Newton. h-^ m ZF Obrázek 4-5. Na vozík o hmotnosti m působí výsledná síla EF, Druhý Newtonův zákon říká, že zrychlení vozíku se řídí vztahem EF=ma. Podrobnější rozbor této situace najdete jako příklad 4-10 na straně 54. V mechanice hmotných bodů se nemusíme starat o to, v jakých bodech síly na těleso působí, rozměry či deformaci tělesa neuvažujeme. Proto můžeme všechny působící síly nakreslit do jednoho bodu. Nyní se vlak začne rozjíždět a soustava spojená s vagónem přestává být inerciální, kostka se dává do pohybu proti směru jízdy. Ale těžko byste hledali sílu která tento pohyb způsobila. V neinerciální soustavě Newtonovy zákony neplatí. Pohyb kuličky dokážeme lehce vysvětlit v laboratorní (inerciální) vztažné soustavě. Vlak se rozjíždí, ale kostka setrvává v klidu vůči zemi, tedy začíná se pohybovat vůči vlaku dozadu, dokud na ni nezačne vlak působit silou, což může být třeba náraz kuličky o hranu stolu. Velice podobně by pokus probíhal i v případě průjezdu vlaku zatáčkou. Pokuste se jej sami vysvětlit. 4.3. Druhý Newtonův zákon Už víme, jak se těleso pohybuje, je-li výsledná působící síla nulová. Zabývejme se nyní otázkou, jak se bude hmotný bod pohybovat v případě, že na něj působí nenulová výsledná síla. Nebo jinak řečeno, jaké bude zrychlení tělesa v případě, že se působení okolních těles nevyruší? Přesnou odpověď na tuto otázku nám dává druhý Newtonův zákon. Udělejme následující pokus. Máme vozík, který se může pohybovat po vodorovných kolejích se zanedbatelně malým odporem (viz obrázek 4-5). Dokud je vozík v klidu, působí na něj Země gravitační silou a koleje tlakovou silou, jejich výslednice je nulová. Nyní začneme na vozík působit další silou ve vodorovném směru, vozík se začne pohybovat se zrychlením. Přesným měřením bychom zjistili, že působíme-li silou 1 N na vozík o hmotnosti 1 kg, bude jeho zrychlení 1 ms2. Zvětšíme-li sílu na dvojnásobek, zdvojnásobí se i zrychlení vozíku a podobně to dopadne při trojnásobné síle atd. Zjišťujeme, že zrychlení je přímo úměrné výsledné působící síle. Můžeme také měnit hmotnost vozíku. Zdvoj -násobíme-li jeho hmotnost, bude jeho zrychlení poloviční, při trojnásobné hmotnosti třetinové atd. Zjišťujeme, že zrychlení je nepřímo úměrné hmotnosti tělesa. Dále musíme vyzkoušet, že zrychlení a působící síla mají vždy stejný směr a že zrychlení nezávisí ještě na jiných parametrech. Dojdeme tak, podobně jako Newton, k jednoduché formulaci zákona síly, který nejčastěji zapisujeme jako vektorovou rovnici ~LF=ma. Druhý Newtonův zákon udává také jednotku síly v soustavě SI. 1N je síla, která udělí tělesu o hmotnosti 1 kg zrychlení 1 ms2. Platí tedy lN=lkgms2. Při řešení úloh pomocí druhého Newtonova zákona používáme silový diagram. Nakreslíme schematicky zkoumané těleso do zvolené vztažné soustavy a vyznačíme všechny síly, které působí na dané těleso, případně vyznačíme i jejich výslednici ZF. Docela častým případem jsou situace, kdy se těleso nezrychluje (je v klidu nebo se pohybuje rovnoměrně přímočaře), přestože na něj působí síly. V takovém případě z druhého Newtonova zákona plyne, že ZF=0. Působící síly se vyruší a jejich výslednice je nulová, říkáme, že působící síly jsou v rovnováze. Použití druhého Newtonova zákona si teď ukážeme na několika příkladech. 42 Zákony pohybu Príklad 4-1 Známý silák předvádí tradiční kousek. Snaží se uvést do pohybu železniční vagón o hmotnosti 40 t, který stojí na vodorovných kolejích (viz obrázek). Maximální velikost síly, kterou je schopen vyvinout, je rovna dvojnásobku jeho tíhy. Hmotnost siláka je 80 kg. Vypočtěte (a) jaké bude zrychlení vagónu za předpokladu, že zanedbáváme odporovou sílu, (b) za jak dlouho dosáhne vagón rychlosti 4kmh1 (rychlost klidné chůze), (c) jaké bude zrychlení vagónu v případě, že odporová síla, kterou na vlak působí kolejnice proti jeho pohybu má velikost 700 N? (a) y *F„ SXL (c) + F s TYT y /N F. FT<- IXZ ^/v **P, JSL VF^ (a) Nejprve nakreslíme silový diagram (viz obrázek). Silák bude táhnout silou Fs o velikosti Fs=2mg=2-80-9,8=1570N. Kromě toho na vagón působí ještě Země tíhovou silou FG, která je stejně velká jako síla FK - kolmá tlaková síla, kterou na vagón působí koleje (podrobněji se o kolmé tlakové síle dozvíte v odstavci 4.6). Pro tyto dvě síly musí platit FG+FK = 0, neboť víme, že vagón se ve směru osy y nepohybuje. Proto výslednou působící silou bude přímo síla Fs. Druhý Newtonův zákon pro vagón tak bude mít tvar Obrázek 4-6. Díky druhému Newtonovu zákonu víme, proč se konstruktéři závodních aut či byciklů tolik starají o to, aby byl závodní stroj co nejlehčí. Čím menší je hmotnost tělesa, tím větší zrychlení mu dokáže daná síla udělit. F =ma => F = ma s => Cľ- m => a~- 1570 N 40000 ks = 0,04ms-: (b)Půjdeorovnoměrnězrychlenýpohybvesměruosyxsezrychlenímovelikostia=0,04ms2. Chceme najít čas t, za který vagón dosáhne rychlosti o velikosti v=4kmh1=l,ll ms-1. Hledaný čas pak nalezneme pomocí vztahu v = at, odkud t = 28,7s. (c) Silový diagram bude obsahovat ještě sílu FT o velikosti 700N (viz obrázek). Bude proto platit => a = 0,022 ms2. ^F=FS+F1 => 1,F=FS-FT => F -F = ma Příklad 4-2 Na kostku o hmotnosti 2kg působí dvě síly F, a F2 o velikostech _Fi = 2,5N a F2=5,6N (viz obrázek). Určete (a) jejich výslednici, (b) zrychlení kostky, (c) jaká třetí síla F by musela na kostku působit, aby se pohybovala rychlostí 3 ms1 směrem doprava? (a) Výslednou sílu Z F dotsneme jako součet vektorů F, a F2: XF=F, + F2= (0 + 5,6; 2,7 + 0)N=(5,6; 2,7 )N. Výsledná síla Z F má velikost VA---------> ZF=V2,72+5,62N=6,2N. a svírá s osou x úhel a, pro který platí: tga= 2,7/5,6 => a=tg1(2,7/5,6) = 26°. Zákony pohybu 43 (b) Zrychlení kostky určíme z druhého Newtonova zákona £F=mcr => m => a- 6,2 ms~2 =3,1 ms" Obrázek 4-7. Vážením na váze, ať už elektronické nebo miskové, zjišťujeme vždy gravitační hmotnost tělesa. Která z těchto dvou vah by měřila správně i na Měsíci? (c) Má-li se kostka pohybovat konstantní rychlostí, musí být její zrychlení nulové a tedy podle druhého Newtonova zákona i výsledná síla musí být nulová, proto musí platit F1 + F2+F3=0. Pomocí obrázku určíme, že F3=(-5,6; -2,7)N, z části (a) že F3=6,2N. Dosud jsme se nezabývali otázkou, co je to hmotnost. Tuto fyzikální veličinu jsme zvyklí používat tak často, že nás ani nenapadne přemýšlet o jejím významu. Jak měříme hmotnost těles? Asi každý odpoví, že vážením na váze. Uvědomme si ale, že váha, ať už je její konstrukce jakákoliv, vlastně měří gravitační sílu, kterou na vážené těleso působí Země. Víme, že tato gravitační síla je úměrná vlastnosti tělesa, kterou nazýváme gravitační hmotnost. Nyní, v druhém Newtonově zákoně, se ale hmotnost objevuje v docela jiné souvislosti, a to jako vlastnost tělesa, která určuje, jaké bude jeho zrychlení, když na něj bude působit jakákoliv síla. Tato vlastnost se nazývá setrvačná hmotnost. Změříme ji tak, že na těleso budeme působit známou silou a budeme měřit jeho zrychlení. Není vůbec jasné, že by gravitační a setrvačná hmotnost tělesa měly být stejné, nicméně ze všech pokusů, které do dnešní doby fyzikové provedli, vychází s velikou přesností, že jsou si rovny. Označení „akce" a „reakce" je v tomto případě velmi tradiční, avšak neznamená, že by nějaká z dvojice sil byla akcí a druhá reakcí na ni. Síly prostě působí ve dvojicích a je jedno, kterou označíme jako akci a kterou jako reakci. A F, Q- BA FAB B Obrázek 4-8. Tělesa na sebe vzájemně působí stejně velkými, opačně orientovanými silami F =-F„„. 44 Zákony pohybu 4.4. Třetí Newtonův zákon Všechny síly působí ve dvojicích. Působí-li například Země na člověka gravitační silou, působí také člověk na Zemi stejně velkou, avšak opačně orientovanou silou. Podobně když kůň táhne kládu silou F, táhne zároveň kláda koně na opačnou stranu silou -F. Ostatně víme, že síla není nic jiného než veličina vyjadřující vzájemné působení těles. Proto v přírodě neexistuje síla, která by k sobě neměla odpovídající „reakci". To shrnul Newton ve svém třetím zákoně, který nazval zákon akce a reakce. Ten říká, že dvě tělesa na sebe vždy působí stejně velkými, opačně orientovanými silami. Označíme-li tělesa A a, B, sílu, kterou působí Anaß FAB a sílu, kterou působí B na A FBA (viz obrázek 4-8), můžeme třetí Newtonův zákon vyjádřit jednoduše takto: Při pohledu na třetí Newtonův zákon by nás mohlo napadnout, že součet sil FM+FBfi bude vždy nulový. Je-li tedy podle principu skládání sil součet akce a reakce vždy nulový, existují vůbec nějaké síly, které se nevyruší? Odpověď je jednoduchá, skládat můžeme jen síly působící na stejné těleso, akce a reakce však vždy působí na různá tělesa. Ukažme si to na příkladu působení Země a jablka na obrázku 4-9. Obrázek 4-9 (a) ukazuje vzájemné gravitační působení jablka a Země. Síly FZJ a FJZ jsou podle třetího Newtonova stejně velké a opačně orientované, ale každá působí na jiné těleso. Vezmeme-li v úvahu i druhý Newtonův zákon, © ZJ (b) síly působící na JABLKO při pádu PJ (c) síly působící na JABLKO po dopadu na podlahu [a) AKCE a REAKCE můžeme snadno odpovědět na otázku, proč jablko padá k Zemi se zrychlením 9,8ms2, zatímco Země se „ani nehne", přestože působící síly jsou stejně velké. Díky obrovské hmotnosti Země je její zrychlení způsobené silou FJZ tak malé, že jej ani nedokážeme změřit. Na obrázku 4-9 (b) je stejná situace z jiného pohledu. Popi-sujeme-li pohyb jablka, zajímají nás jen síly působící na jablko a to je při pádu jen síla FZJ. Obrázek (c) pak ukazuje síly působící na jablko po dopadu na podlahu. Přibyla ještě síla Fpj, kterou na jablko působí podlaha, Říkáme jí kolmá tlaková síla. Síla Fpj je právě tak velká, že se vyruší se silou FZJ a jablko zůstane v klidu (ZF=0). Nejde však o dvojici akce - reakce, síly Fpj a FZJ působí na totéž těleso. 4.5. Síly v přírodě Newtonovy zákony jsou dobrým nástrojem pro řešení všech možných úloh o pohybu. S jejich znalostí již dokážeme přesně říci, co se bude dít, budou-li na tělesa působit určité síly V obou ukázkových příkladech (příklady 4-1 a 4-2) jsme však museli mít síly zadány. Ve skutečnosti, budeme-li chtít opravdu vyřešit nějakou reálnou úlohu, nám nikdo síly nezadá. Proto musíme být schopni rozhodnout, jaké síly v dané situaci působí a umět je určit. K tomu ve fyzice slouží tzv. „silové zákony", o kterých jsme již mluvili. Bez těchto silových zákonů, jsou samotné pohybové zákony k ničemu. To dobře věděl i Newton, který jako první odhalil zákon gravitace. Zjistil, že gravitační síla působí mezi všemi hmotnými tělesy, udržuje Zemi na oběžné dráze kolem Slunce, způsobuje příliv a odliv. Gravitaci bude později věnována celá kapitola. Nám bude prozatím stačit vědět, že v blízkosti povrchu působí Země na všechna tělesa tíhovou silou FG=mg, kde g=9,8ms2. Další síly, působící na dálku, které byli objeveny později, jsou síla elektrická a magnetická. Ani jimi se ted nebudeme zabývat. Zaměříme se prozatím na některé důležité síly, působící při vzájemném kontaktu těles. 4.6. Kolmá tlaková síla Spočívá-li těleso na nějaké podložce (silnice, stůl, podlaha, krabice, zeď,...), působí na něj podložka určitými silami. Jednou z nich je tlaková síla, která je vždy kolmá k podložce, proto ji nazýváme kolmá tlaková síla. V souladu s třetím Newtonovým zákonem bychom správně měli říci, že kolmou tlakovou silou na sebe vzájemně působí těleso a podložka ve směru kolmém k podložce. Tuto situaci ukazuje obrázek 4-10 a, na obrázku 4-10 b pak vidíte, jak se kolmá tlaková síla mezi kostkou a podložkou zmenší, nakloníme-li podložku o úhel a. Oba obrázky si pozorně prostudujte. Obrázek 4-9. (a) a (b) Vzájemné působení Země a padajícího jablka, (c) Síly působící na jablko v klidu. Obrázek 4-10. (a) Kostka leží na vodorovné podložce, na kostku působí tíhová síla FGa kolmá tlaková síla FpK. Tyto síly jsou v rovnováze, protože kostka je v klidu. PK (b) Kostka leží na šikmé podložce se sklonem a, na kostku působí Země tíhovou silou FG. Kostka teď na podložku působí kolmou tlakovou silou o velikosti FKp=F COSa. Podle 3. Newtonova zákona působí podložka na kostku silou FPK= FKP. Zákony pohybu 45 Kolmou tlakovou sílu bývá zvykem označovat FH, jako normálovou sílu (normálová znamená kolmá na plochu). Kolmá tlaková síla souvisí s pevností podložky, proto nemůže být nekonečně velká, ale je omezena jistou maximální hodnotou. Je-li působící síla větší, pak dojde k deformaci podložky. Deformací těles se však prozatím zabývat nebudeme, ve všech úlohách budou podložky (tělesa) dostatečně pevné. ta) FH / v Fc ; > f (b) N CA. y v ^ c r X *rs fC ;> t (c) / v F Z.___ 1 >F _L* s f« ;> * (d) 'n / p • i V ~ K. ' f« 3> f (e) f N / S F • n >F r ^ DYN Foi ť ° / \ (f) fN / V P • n >F ' DYN fG>l ŕ V k > Obrázek 4-11. Na kostku působí tíhová síla FG a kolmá tlaková síla FN. Pak na ni začneme působit vodorovnou silou F, kterou zvětšujeme a sledujeme, jak se mění třecí síla. 4.7. Tření Třecí síly známe velmi dobře z každodenní zkušenosti. Brání nám posunout těžkou bednu po podlaze nebo při jízdě na lyžích zpomaluje náš pohyb vpřed. Na druhou stranu nebýt tření, nemohli bychom jezdit autem, protože jeho kola by se bez tření protáčela jako na ledě. Nemohli bychom chodit ani pěšky, neboť bychom neudělali ani krok a na sebemenším svahu bychom se nezadržitelně rozjeli dolů, naše oblečení by se rozpadlo, uzly rozvázaly a hřebíky a šrouby volně vyklouzly ze spojů. Rozumět silám tření je velmi důležité pro pochopení mnoha jevů kolem nás. Začneme důležitým pokusem. Na vodorovnou podložku umístíme zkušební těleso (naši oblíbenou kostku). Situaci, včetně všech působících sil, vidíme na obrázku 4-11 a. Nyní začneme na kostku působit vodorovnou silou F, kterou budeme postupně zvětšovat (velikost měříme siloměrem). Dokud působící síla nedosáhne určité mezní hodnoty, je kostka stále v klidu. Na kostku totiž působí statická třecí síla Fs (situace b, c, d na obrázku 4-11). Velikost statické třecí síly se zvětšuje spolu se vzrůstající silou F. Jakmile síla F překročí mezní hodnotu, kostka se dá do pohybu se zrychlením (obrázek 4-11 e). Nyní podložka na pohybující se kostku působí dynamickou třecí silou FD. Dynamická třecí síla je vždy menší než maximální hodnota statické třecí síly. Proto chceme-li udržet kostku v rovnoměrném pohybu, musíme velikost síly F snížit (obrázek 4-11 f). Výsledek našeho měření třecí síly ukazuje následující graf. třecí síla [N] Obrázek 4-12. Měření třecí síly S,max ' statické tření dynamické tření V grafu vidíme maximální hodnotu statické třecí síly F& max a průměrnou hodnotu dynamické třecí síly FD (pokuste se sami vysvětlit její drobné kolísání). Dalšími experimenty bychom zjistili, že velikost dynamické třecí síly FĽ nezávisí na ploše, kterou se tělesa dotýkají ani jejich vzájemné rychlosti. Závisí 1) na velikosti kolmé tlakové síly FN a 2) na kombinaci materiálů podložky a tělesa. Tuto vlastnost vystihuje koeficient dynamického tření/D, který je určen experimentálně pro nejrůznější kombinace materiálů a je definován vztahem představujícím silový zákon DYN =/A Podobně pro maximální hodnotu statické třecí sílu Fs>max používáme koeficient statického tření/s, který je definován vztahem 46 Zákony pohybu S, max J S *V Pro statickou třecí sílu menší než F$ max nemůžeme žádný podobný vztah použít. V konkrétních situacích je v tomto případě vždy dána podmínkou, že těleso je v klidu, tj. podmínkou rovnováhy sil. Statická třecí síla je v tomto případě stejně velká jako působící síla F, ale opačně orientovaná a těleso zůstává v klidu (vidíme to na obrázku 4-11 b, c). K pochopení, jak vzniká třecí síla, nám pomohou obrázky 4-13 a 4-14.1 když pouhým okem se nám zdá povrch těles často hladký, při zvětšení uvidíme spoustu nerovností, které do sebe při vzájemném pohybu narážejí a deformují se. Koeficient tření pro různé dvojice materiálů proto bude záviset především na jejich drsnosti. Kromě toho také na přítomnosti tenké vrstvy vzduchu, vody či oleje mezi oběma materiály, která zabraňuje těsnějšímu přiblížení obou ploch. Proto má auto na mokré vozovce delší brzdnou dráhu a proto mažeme ložiska a panty olejem. Konkrétní hodnoty koeficientů statického a dynamického tření pro různé dvojice materiálů najdete v běžných fyzikálních tabulkách, některé také v tabulce vpravo. Příklad 4-3 Koeficient dynamického tření mezi pneumatikou a asfaltem byl měřen následujícím způsobem: Na kus pneumatiky jsme položili závaží o hmotnosti m = 5kg (hmotnost kusu pneumatiky můžeme zanedbat) a uvedli pomocí siloměru do pohybu po asfaltu (viz náčrt). Po dosažení rovnoměrného pohybu ukazoval siloměr hodnotu 28 N. Určete koeficient dynamického tření mezi pneumatikou a asfaltem. 5 kg F=28N Soustava se pohybuje rovnoměrným pohybem, její zrychlení je nulové. Působící síly tedy musí být v rovnováze, jak ukazuje silový diagram. Musí proto platit F=-F , tedy pro velikosti F=FD. Velikost síly je FD=fDFN=fDmg, což po dosazení dává F=fDmS- FN Z této rovnice vyjádříme neznámou f a dostaneme f =JL 28N Jd mg 5 kg-9,8 ms2 Všimněte si, že f jsme vypočítali jako podíl velikostí dvou sil což znamená, že koeficient tření f nemá jednotku, jde o tzv. bezrozměrnou fyzikální veličinu. Jak byste v tomto experimentu určili koeficient statického tření? 0,57. + Příklad 4-4 Nákladní auto převáží nábytek. Řidič musí jet opatrně, aby se nábytek, který stojí volně na podlaze nákladního auta, nepohnul. Jaká může být maximální velikost zrychlení auta, jede-li po přímé a rovné silnici? Koeficient statického tření mezi podlahou a nábytkem je/D = 0,28. K pohybu nábytku může dojít stejně dobře při rozjezdu i při brždění, na směru zrychlení v tomto případě nezáleží. Uvažujme proto třeba o situaci, kdy se auto rozjíždí se zrychlením a. Úlohu vyřešíme ve vztažné soustavě spojené se zemí (soustava spojená s rozjíždějícím se autem není inerciální - viz odstavec 4.2). Obrázek 4-13. (a) Vznik třecí síly mezi dvěma tělesy způsobují mikroskopické nerovnosti na jejich povrchu, které do sebe během pohybu vzájemně narážejí a deformují se. (b) Je-li přítomna tenká vrsva kapaliny, například oleje, tělesa se nedostanou do tak těsného kontaktu a třecí síla se zmenší. Zmenší se i opotřebení povrchů. '1 í: % f '■■'■ '1 /; ■' JtíSíl ' *i £'■*-' vV "^ J A i: r * _ i %&* í '.« \4f ' «*«. ■■*■■:': -i-^ i > i * Obrázek 4-14. Povrch papíru se nám zdá hladký, ale na mikroskopické úrovni zjistíme, že tomu tak není. Snímek z elektronového mikroskopu, zvětšeno 150x. tabulka koeficientů statického na silnici situace /s pneumatika na náledí 0,1 - 0,2 pneumatika na mokrém asfaltu 0,2 - 0,5 pneumatika na suchém asfaltu 0,5 - 0,6 pneumatika na suchém betonu 0,7 - 0,8 Zákony pohybu 47 Víte, že. Vznik zemětřesení a hra na housle jsou jevy, které mají něco společného? Je to právě větší hodnota maximální statické třecí síly oproti dynamické, která způsobuje, že působí-li na těleso pomalu se zvětšující síla, nezačne pohyb tělesa po podložce plynule, ale jakýmsi „poskočením" či „utržením". V případě vzájemného pohybu litosferických desek, má toto poskočení za následek zemětřesení. Podobně vzájemný pohybu houslového smyčce a struny neprobíhá hladce, ale skládá se ze spousty malých poskočení, která rozechvějí strunu. Kdybychom smyčec naolejovali, housle se nerozezní. C= 0,03 aerodynamický tvar C= 0,48 koulí C= 1,12 deska C=0,3 - 0,4 osobní auto C=0,5 - 0,7 autobus Obrázek 4-15. Příklady součinitelů odporu C pro různé tvary těles. 48 Zákony pohybu Chceme, aby se nábytek nepohnul vzhledem k autu. Musí se proto pohybovat se stejným zrychlením a jako auto. Aby se pohyboval se zrychlením, musí na něj působit výsledná síla Z F= ma, kde m je hmotnost nábytku. Nyní sestavíme silový diagram (viz obrázek). Na nábytek působí tíhová síla F_, kolmá tlaková síla F., a statická G N třecí síla Fs, kterou na nábytek působí podlaha automobilu a „táhne" ji tak směrem vpřed. Síly FG a FN se vyruší (víte proč?), tj. F = mg. Platí tedy ZF=FS. Statická třecí síla může nabývat maximálně velikosti FS>max=/sFN=/sm^ Maximální přípustná velikost zrychlení a je tedy dána vztahem ma t=/sm£ 5=/^=2>7' Auto se tedy může rozjíždět či brzdit se zrychlením o maximální velikosti 2,7mí2. 4.8. Odporová síla Většina pohybů, které zkoumáme, probíhá ve vzduchu. Ze zkušenosti proto dobře víme, že vzduch na pohybující se těleso nějak působí, že brzdí jeho pohyb. V některých situacích, jako je třeba pád kamenů z věže, není vliv odporu vzduchu moc velký, můžeme jej proto zanedbat. Chceme-li však vysvětlit třeba pád parašutisty či dešťové kapky, nebo obyčejnou jízdu automobilu, musíme se naučit s odporem vzduchu počítat. Pohybuje-li se těleso vzhledem k nějakému tekutému prostředí (kapalina, plyn), působí mezi nimi odporová síla FODp, která pohybu brání. Tato síla směřuje vždy proti směru rychlosti, jíž se těleso pohybuje vzhledem k tekutine. Souvisí tedy s vzájemným pohybem tělesa a tekutiny (viz relativnost pohybu). Uveďme jednoduchý příklad. Odporová síla bude stejná pro cyklistu, který jede dvaceti-kilometrovou rychlostí za bezvětří, jako pro cyklistu, který má na tachometru 8kmh * a jede přímo proti větru, jehož rychlost je 12kmh_1. Velikost odporové síly se musí určovat experimentálně pro různé situace. Nás zajímá případ, kdy tekutinou je vzduch a nastává situace obvyklá pro běžné rychlosti při pádu těles, jízdě dopravních prostředků apod., kdy se za tělesem tvoří víry. Takové proudění se nazývá turbulentní a pro většinu těles nastává již při rychlostech kolem lOkmh"1. V takovém případě můžeme pro velikost odporové síly použít Newtonův vztah F0DP=ÍCPSV2> kde p je hustota vzduchu a S je účinný průřez tělesa, který určíme jako plošný obsah průmětu tělesa do roviny kolmé k vzájemné rychlosti v. Veličina C se nazývá součinitel odporu a záleží na tvaru tělesa (viz obrázek 4-15). Jeho hodnota se určuje experimentálně. Například při navrhování nových automobilů se měří v aerodynamickém tunelu. V Newtonově vztahu také vidíme, že odporová síla silně závisí na vzájemné rychlosti tělesa a prostředí. Závislost F0BV~ v2 znamená, že když zdvojnásobíme rychlost, odporová síla bude čtyřnásobná. Ukážeme si to v následujícím praktickém příkladu. Príklad 4-5 V technické dokumentaci automobilu Škoda Fabia najdeme hodnotu součinitele odporu C=0,33. Účinný průřez je asi S=2,lm2. Určete velikost odporové síly působící na automobil při jízdě rychlostí (a) SOkrnrr1, (b) lOOkmh"1, (c) 150kmh_1. Pro dosazení do Newtonova vztahu potřebujeme znát ještě hustotu vzduchu, kterou můžeme najít v tabulkách: p=l,3kgnr3, a rychlosti převést na metry za sekundu. Nyní můžeme dosadit a vypočítat velikost odporové síly v případě (a) F0Dp=lCpSv2= 0,5-0,33-1,3-2,1-(13,9)2N=87N. V případě (b) pak vyjde F0DP= 348N a v případě (c) FODp=783N. Vidíme, že odporová síla s rostoucí rychlostí prudce stoupá a s ní i spotřeba paliva. Na závěr uvažme, jaký je vliv odporové síly na pád těles. Představme si parašutistu, který právě opustil letadlo. Po celou dobu pádu na něj bude působit stejná gravitační síla FG= mg, zatímco odporová síla se bude se zvětšující se rychlostí parašutisty postupně zvětšovat. V určitém okamžiku dosáhne parašutista takové rychlosti, že odporová síla bude stejně velká jako gravitační. Od tohoto okamžiku už se bude parašutista pohybovat rovnoměrným pohybem, neboť výsledná působící síla na něj bude nulová (LF=0 => a=0). Tuto maximální rychlost, které dosáhne, nazýváme mezní rychlostí Vm a její velikost můžeme lehce určit z rovnosti FG=F0Dp, tedy mg=2 \CpSvl a odtud 2mg CpS V tabulce vpravo uvádíme příklady mezních rychlostí pro různá tělesa. Dokázali byste některé z nich sami vypočítat? Které další údaje k tomu budete potřebovat? 4.9. Dostředivá síla Připomeňme si, co už víme o rovnoměrném pohybu po kružnici z předchozí kapitoly. Těleso se při něm pohybuje rychlostí o stálé velikosti v. Směr rychlosti se však neustále mění, těleso se pohybuje se zrychlením. Toto zrychlení stále směřuje do středu kružnice, proto jsme jej nazvali dostředivé zrychlení a odvodili jsme, že jeho velikost při poloměru kružnice r je Tabulka mezních rychlostí parašutista (v poloze roze-pjatého orla) 220 kmrr parašutista (při otevřeném padáku) lSkmh1 baseballový míč 150 kmrr dešťová kapka 25 kmh1 Nyní připojme naše znalosti dynamiky. Má-li být výsledné zrychlení tělesa aD, musí na něj podle druhého Newtonova zákona působit výsledná síla ZF= maD, kde m je hmotnost tělesa. Tato síla se nazývá dostředivá síla. Směřuje též do středu kružnice a její velikost je jednoduše Zákony pohybu trajektorie auta ZF = F, Obrázek 4-16 (a). Průjezd automobilu kruhovou zatáčkou. Třecí síla realizuje potřebnou dostředivou sílu. trajektorie kosmonauta Obrázek 4-16 (b). Kosmonaut na oběžné dráze se pohybuje po kružnici. Gravitační síla realizuje potřebnou dostředivou sílu. Obrázek 4-17. Pohyb na oběžné dráze kolem Země. Za 1 s se kosmická loď posune o 8000 m ve vodorovném směru, mezitím vlivem gravitace „spadne" o 4 m ve svislém směru. Výsledkem je pohyb po kružnici kolem Země. Uvědomme si jednu velmi důležitou věc. Dostředivá síla není novým druhem síly, uvedený vztah nevyjadřuje žádný silový zákon, interakci mezi tělesy, ale jen říká, že při rovnoměrném pohybu po kružnici musí mít výslednice všech působících sil, bez ohledu na jejich povahu, velikost danou vztahem FD= maD. Nyní podíváme na dva důležité příklady rovnoměrného pohybu po kružnici. 1. Průjezd auta zatáčkou. Představte si, že sedíte v autě, které právě začalo projíždět kruhovou zatáčkou. Na svém těle též pociťujete zrychlení, tlačí vás to ven ze zatáčky. Jak správně vysvětlit tuto situaci? Předpokládejme, že se auto opravdu pohybuje rovnoměrným pohybem po kružnici (části kružnice). Proto je místě se ptát: kde je dostředivá síla? Jediná síla, ze sil působících na auto, která může být dostředivou silou, je statické tření mezi pneumatikami a asfaltem. Ostatní síly (gravitační, kolmá tlaková, odpor vzduchu, tření ve směru pohybu) se vyruší, neboť víme, že auto se pohybuje rovnoměrně a ve vodorovné rovině. Nebýt třecí síly, auto by pokračovalo v pohybu rovnoměrném přímočarém a ze zatáčky vyjelo. To se také občas stává v případě, kdy třecí síla není dost velká (kluzký povrch, velká rychlost, malý poloměr zatáčky). 2. Pohyb po oběžné dráze kolem Země. Ted si představte, že jste v situaci poněkud méně obvyklé, než je jízda v autě. Nacházíte se v kosmické lodi, která je na oběžné dráze kolem Země. Jste ve stavu beztíže. Dokážete správně vysvětlit, co se děje v tomto případě? Kosmická loď i s vámi se pohybuje rovnoměrným pohybem po kružnici. Jediná síla, která na loď i na vás působí, je gravitace. Gravitace tedy musí být dostředivou silou. Velikost rychlosti lodi a poloměr kruhové trajektorie musí být přesně takové, aby platilo FD=FG. Jak to, že nepociťujete žádné zrychlení, dokonce se v lodi vznášíte, když se podobně jako při jízdě zatáčkou pohybujete se zrychlením? Odpověď je v rozdílné povaze dostředivé síly. Zatímco gravitační síla působí stejně na loď i na celé vaše tělo, statická třecí síla v autě působí jen na některé části vašeho těla, které se dotýkají auta. Na různé části vašeho těla působí různé síly a vy musíte namáhat svaly, abyste udrželi tělo v původní poloze. Další problém je s tzv. beztížným stavem. Mnoho lidí dole na Zemi si myslí, že beztížný stav zažíváte proto, že jste daleko od Země, kde už je vliv gravitační síly zanedbatelný a tudíž na vás nepůsobí žádná síla. To ale není pravda, neboť ve výšce 400km nad povrchem Země je g=8,7ms2. Opět je třeba si uvědomit, že na vás působí pouze gravitační síla, a to na všechny části těla stejně. Není zde podlaha, která by působila na vaše chodidla proti gravitační síle a stlačovala tak vaše tělo. Kosmická loď se pohybuje se stejným zrychlením jako vy. Společně s lodí vlastně neustále „padáte" k Zemi. Zároveň s tím se však pohybujete velkou rychlostí, takže na Zemi nikdy „nedopadnete", jak ukazuje obrázek 4-17. 8000m 50 Zákony pohybu Príklad 4-6 Komunikační satelit byl naveden na oběžnou dráhu o výšce h = 35 700 km nad povrchem Země. Gravitační zrychlení má v této vzdálenosti velikost g= 0,23 ms2. (a) Určete, jakou rychlostí se musí satelit pohybovat, aby se udržel na kruhové oběžné dráze kolem Země, (b) vypočtěte periodu oběhu satelitu kolem Země. Víte, že... (a) Na satelit působí pouze gravitační síla o velikosti FG= mg. Pro pohyb po kružnici o poloměru rz+h (r2= 6378km je poloměr Země) je potřebná dostředivá síla o velikosti _mv2 D rz+h Gravitace tedy musí být dostředivou silou a musí platit 2 = mv => v=Ve(rv+//) =V0,23ms-2(6 378-103m+35 700-103m)=3,l-103ms1. rz+h z (b) Periodu T určíme jako podíl uražené dráhy během jednoho oběhu a velikosti rychlosti satelitu 2n(rz+h) _ 27i:(6378.103m+35700-103m) v 3,1.103ms1 Výsledek je zaokrouhlen na celé hodiny. Že vyšla perioda právě 1 den, není náhoda. Komunikační satelit musí zaujímat stále stejnou polohu nad Zemí, proto je jeho perioda stejná jako perioda otáčení Země. Takovým satelitům říkáme geostacionární. Příklad 4-7 Vozík horské dráhy projíždí úsek tvořený dvěma oblouky kružnic o poloměru r=16m (viz obrázek). Velikost rychlosti vozíku v bodě 1 je 5ms1, v bodě 2 je 11 ms1, jeho hmotnost i s pasažéry je 950kg. (a) Určete velikost a směr dostředivé síly, působící na vozík v obou bodech, (b) Určete, jakou silou působí na vozík koleje v obou bodech. Odpor vzduchu i tření zanedbejte. -| Velikost dostředivého zrychlení určíme dosazením do vztahu p _ mv1 d r Po výpočtu dostaneme F = 1 500N a Fm= 7200N. Síla musí směřovat vždy do středu kružnice, proto v bodě 1 má směr svisle dolů, zatímco v bodě 2 svisle vzhůru. Nyní zbývá vyřešit, jakou silou působí koleje na vozík. Proto bude dobré nakreslit silový diagram pro obě dvě polohy. Na vozík v obou případech působí koleje kolmou tlakovou silou FN a Země gravitační silou FG. Gravitační síla má velikost FG = m£=950kg-9.8ms-2 = 9300N. Odporovou sílu i tření zanedbáváme. Výsledná síla ZF=FN+FGmá být dostředivou silou FD. Nyní už ze silových diagramů určíme, že pro velikosti bude platit F =F --FD1 = 9300N-1500N=7800N, *r—* * g ; > > s K K * K 3 - H p Kdybyste se postavili na vysokou horu a tam vystřelili z děla střelu správnou rychlostí, obletí střela Zemi a vrátí se zpátky z druhé strany. Pokud se domníváte, že tento pokus nevyjde, máte samozřejmě pravdu. I kdyby se vám podařilo udělit střele tak vysokou rychlost, zabrzdil by ji velmi rychle odpor vzduchu. Tento „myšlenkový experiment" s dělem a vysokou horou provedl už Newton (viz obrázek). Na uskutečnění takového oběhu Země bylo nutné počkat do roku 1957, kdy byla vypuštěna první umělá družice Sputnik I. Obrázek 4-18. Obrázek z Newtonovy práce ukazuje trajektorie těles vystřelených z vrcholu různými rychlostmi, pokud by nebylo odporu vzduchu. Zákony pohybu 51 Obrázek 4-19. Na takovéto horské dráze se můžete na vlastní kůži přesvědčit, co je to dostředivá síla. v druhé poloze pak FN2=FG+Fm = 9300N + 7200N= 16 500N. Vidíme, že v horní poloze (1) by pro velkou rychlost vozíku mohla nastat situace, kdy FG=FD1. Pak by byla -FN1=0 a koleje by na vozík vůbec nepůsobily. Při ještě větší rychlosti by dokonce síla FN1 musela působit směrem dolů, aby spolu s gravitací dala dohromady dastatečně velkou dostředivou sílu. Zkuste sami popsat, jak by tyto situace vnímal pasažér ve vozíku! 4.10. Užití Newtonových zákonů Poslední část této kapitoly věnujeme řešení příkladů. Znalost a pochopení Newtonových zákonů a některých silových zákonů nám nyní dává možnost vyřešit celou řadu situací, které známe ze světa kolem nás. Prozatím s omezením na hmotné body, rotaci ani deformaci těles jsme dosud do našich úvah nezahrnuli. Snažte se nad každým příkladem pořádně zamyslet, pochopit, co se v dané situaci děje a proč. Měl by vám k tomu pomoci tento stručný návod, jak si lépe poradit s úlohami z dynamiky. 1. Sestrojte si jednoduchý náčrtek situace se všemi důležitými tělesy a údaji, vypište všechny známé veličiny. Ujasněte si, k čemu chceme dojít, jaká je otázka v zadání úlohy. 2. Ujasněte si, o které těleso, jehož pohyb máte popsat, se jedná, jaké okolní objekty a jakými silami na něj působí. Poté sestavte silový diagram (diagramy) a zvolte vhodně vztažnou soustavu. 3. Nezapomeňte, že v silovém diagramu pro určité těleso musí být zakresleny všechny síly, které na dané těleso působí. 4. Použijte správně druhý Newtonův zákon. Především mějte na paměti, že a) pokud se těleso nepohybuje nebo se pohybuje rovnoměrně přímočaře, je XF = 0, b) pokud se těleso pohybuje se zrychlením Of, platí XF = mCf. 5. Na závěr vždy ověřte, jestli jsou vypočítané výsledky „rozumné". Příklad 4-8 Lyžař chce vyzkoušet své nové lyže. Postaví se proto na mírný svah se sklonem a= 6° a začne sjíždět dolů. (a) Vypočtěte zrychlení lyžaře, víte-li, že koeficient dynamického tření mezi skluznicí a sněhem je/= 0,06 (odpor vzduchu neuvažujeme, předpokládáme, že lyžař na mírném svahu nedosáhne velké rychlosti). (b) Za jak dlouho dosáhne lyžař rychlosti o velikosti 5ms1? (a) Na lyžaře působí Země gravitační silou FG, svah kolmou tlakovou silou FN a třecí silou FDYN. Abychom mohli použít druhý Newtonův zákon pro výpočet zrychlení, potřebujeme vyjádřit výslednou působící síluZF=FG+FN+FDYN. Tu určíme pomocí silového diagramu (viz obrázek). Víme, že j-ová složka výsledné síly musí být nulová, protože lyžař se pohybuje rovnoběžně 52 Zákony pohybu s osou x. Proto na ose y bude platit: Na ose x bude platit: ~LF = F-Fncosa=0 => F=Fncosa. y N G N G EFx=FD-FGSÍn- Vime, že gravitační síla FG=mg a třecí síla FD=fDF^=fDmgcosa. Po dosazení dostaneme EFx=/D íKgxos a- mgsm a. Výsledné zrychlení ax pak dostaneme z druhého Newtonova zákona y\j-' f yyi p"cos ry_vn psí ti ry a=—ž- D 6-------------------=f řcosa--řsina-=0,6ms2-l,4ms2=-0,8ms"2. Výsledné zrychlení lyžaře je tedy a= (-0,8; 0)ms~2, lyžař se pohybuje se zrychlením o velikosti a = 0,8 ms~2 směrem dolů ze svahu. Ze vztahu také vidíme, že bez tření (f =0)by zrychlení mělo velikost a=gsma= l,4ms-2. Všimněte si, že výsledné zrychlení nezávisí na hmotnosti, podobně jako při volném pádu. (b) Jedná se o ronvoměrně zrychlený pohyb, kde pro rychlost platí: v (t)= a t. Proto hledaný čas bude t=v I a =-5ms1/-0,8ms2=6s. ' XX Příklad 4-9 Automobil o hmotnosti m = 1250 kg vjíždí do kruhové neklopené zatáčky o poloměru r=120m rychlostí o velikosti 20ms1. Jakou nejmenší hodnotu musí mít koeficient statického tření mezi pneumatikami a silnicí, aby se auto nedostalo do smyku? Dostředivou silou, díky níž se auto bude pohybovat rovnoměrně po kružnici, je třecí síla mezi pneumatikou a silnicí. Přestože se auto pohybuje, půjde o statickou třecí sílu. Je to proto, že mezi pneumatikou a silnicí nedochází ke smyku, ale auto se pohybuje dopředu díky otáčení kol. Situace je zachycena na obrázku, včetně silového diagramu. Na auto působí: Země gravitační silou FG= mg a silnice kolmou tlakovou silou FN a třecí silou Fs. Automobil se nepohybuje ve svislém směru (osa7), proto musí platit FN= FQ= mg. Ve vodorovné rovině (konkrétně ve směru osy x) působí pouze statická třecí síla Fs, která je zároveň výslednou působící silou. V našem případě jde o dostředivou sílu, jejíž velikost má být ~LF=mv2lr. Auto se dostane do smyku v případě, kdy maximální velikost statické třecí síly nebude dostatečná k tomu, aby realizovala dostředivou sílu. V mezní situaci, která nás zajímá, bude platit Fc =XF => íjng=----. S, max J S o v Odtud vyjádříme hledaný koeficient/ f=jd=____(20 ms')2 =Q34 Js gr (9,8ms-2)(120m) Bude-li/s< 0,34, nebude třecí síla dost velká, aby udržela automobil na kruhové dráze a dojde ke smyku. V případě/ > 0,34 udrží třecí síla auto na kruhové dráze. Výsledek nezáleží na hmotnosti auta. <^/\, N'/V Po srovnání s tabulkou na straně 37 můžeme říci, že je-li silnice suchá, pak auto smyk nedostane, naopak na mokré silnici by ke smyku dojít mohlo, záleží na kvalitě pneumatik, teplotě, množství vody na silnici, atd. Příklad 4-10 V odstavci o druhém Newtonově zákoně jsme popsali jednoduchý pokus s vozíkem o hmotnosti m, který se může pohybovat bez tření po vodorovné podložce a je roztahován známou silou F. Tuto sílu bychom v praxi mohli realizovat například zavěšením závaží o hmotnosti m0 přes kladku zanedbatelné hmotnosti (viz obrázek). Vypočtěte, s jakým zrychlením se bude vozík pohybovat. m a ¥\ \mn Nejprve je třeba si uvědomit, že délka závěsu (lanka) se nemění, proto zrychlení vozíku i závaží bude mít stejnou velikost a. Tahová síla FT, kterou působí lanko na závaží, musí být stejně velká jako tahová síla, kterou působí lanko na vozík, neboť kladka se zanedbatelnou hmotností pouze „mění směr tahové síly", nikoliv její velikost. Toho vyuižje-me při kreslení silového diagramu (viz obrázek). Závaží číslo se bude pohybovat dolů zrychlením o velikosti a, zatímco vozík směrem doprava se velkým zrychlením. Chceme určit velikost zrychlení a a velikost síly Fr Napišme druhý Newtonův zákon pro a pro vozík m0g-Fr=m0a ma = Fr Dostali jsme dvě rovnice o neznámých a a FT, které vyřešíme dosazením za FT do první rovnice a následnou úpravou m0g-ma = m0a m+m Príklad 4-11 Dvě závaží o hmotnostech m =2,0 kg a m= 3,0kg jsou spojena lanem přes kladku zanedbatelné hmotnosti. Kladka se může otáčet bez tření (viz obrázek). Poté, co soustavu uvolníme, dají se závaží do pohybu. Určete velikost jejich zrychlení a sílu, kterou je lano napínáno. Nejprve je třeba si uvědomit, že délka lana se nemění, proto zrychlení obou závaží bude mít stejnou velikost a, přičemž těžší závaží bude klesat a lehčí stoupat. Tahová síla FT, kterou působí lano na závaží, musí být stejně velká pro obě závaží, neboť kladka se zanedbatelnou hmotností pouze „mění směr tahové síly", nikoliv její velikost. Toho vyuižjeme při kreslení silového diagramu (viz obrázek). Závaží číslo 1 se bude pohybovat v kladném směru zvolené osy x se zrychlením o velikosti a, závaží číslo 2 proti směru osy x se stejně velkým zrychlením. Chceme určit velikost zrychlení a a velikost síly Fr Napišme druhý Newtonův zákon pro první závaží (na ose x): mxa= Fr-mlg a pro druhé závaží -m2a= Fr-m2g. Dostali jsme dvě rovnice o neznámých a a FT, které vyřešíme sčítací metodou. Od první rovnice odečteme druhou rovnici a dostaneme / x / x m-m 3kg-2kg 1 „„ , (m,+m.)a= (m-mjg => a = —------ g=—r2—r R= — Jř=2,0ms . 1 2 2 l6 mi + m26 3kg+2kg5 5* Z první rovnice pak vyjádříme i druhou neznámou FT FT = ml (a +g) = ml (a+g) = 2kg(2,0ms2+ 9,8ms2) = 24N. Porovnáme-li výsledek s velikostmi sil FQl=mlg= 20N a FQ=m2g= 29N, vidíme, že velikost síly FTleží mezi těmito dvěma hodnotami, jak jsme předpokládali v silovém diagramu. Výsledné zrychlení soustavy je g/5. Příklad 4-12 Lampa nad ulicí je zavěšena pomocí dvou lan ukotvených v protějších domech (viz obrázek). Vypočtěte, jak závisí velikost síly, kterou jsou lana napínána (jakou silou lampa na každé z nich působí), na úhlu a, který svírají s vodorovnou rovinou. Lampa visí uprostřed ulice a má hmotnost m=40kg. Hmotnost lan můžete zanedbat. Zákony pohybu 55 Začneme silovým diagramem pro lampu (viz obrázek). Působí na ni Země gravitační silou FG=mg a lana tahovými silami FT1 a FT2. Směr tahové síly je dán směrem lana. Lampa je v klidu, proto je podle 2. Newtonova zákona zřejmé, že výslednice sil. které na ni působí, je nulová. Tuto silovou rovnováhu vyjádříme vztahem F^ + F^ + FG = 0. Po složkách: x: FT1 cos a+ FT2 cos a= 0 => FT1 = FT2, označme FT mg y. Frisma+Fr2sma-mg=0 => 2Frsma=mg => FT = ——. Získali jsme obecný vztah pro velikost sil FT, kterými působí lano na lapmu, v závislosti na úhlu a. Podle třetího Newtonova zákona však stejně velkými silami působí i lampa na lano, to jsou hledané sílay. Pro konkrétní představu ted zkusíme dosadit několik konkrétních hodnot a a vypočítat FT: cc=45°...................FT = 280N cc=30°...................FT = 390N cc=15°...................FT = 760N a=5°...................FT = 2250N a=l°.................FT = 11230N Vidíme, že pro malé úhly a velikost sil, kterými je lano napínáno, velmi rychle roste. Otázky 1 Uveďte příklady těles, která „setrvávají v rovnoměrném pohybu v daném směru", (a) protože na ně nepůsobí žádná síla, (b) protože se působící síly vyruší. 2 Experimentátor se rozhodl vyzkoušet platnost Newtonových zákonů v praxi. Vzal si s sebou všechny možné pomůcky a nastoupil do nákladního železničního vagónu bez oken, dobře odpruženého, aby nebyly cítit drobné nerovnosti na trati. Určete, jestli může poznat, (a) zda se vlak pohybuje rovnoměrně přímočaře, nebo je v klidu, (b) jak velkou rychlostí se vlak pohybuje, (c) zda se vlak zrychluje, (d) zda projíždí zatáčkou. Určete také všechny síly, působící na experimentátora v jednotlivých případech a jejich výslednici. 3 Rozhodněte, které z následujících vztažných soustav můžeme považovat za inerciální: (a) soustava spojená s vagónem vlaku, který rovnoměrně projíždí zatáčkou, (b) soustava spojená s vagónem vlaku, který jede rovnoměrně po přímé trati rychlostí o velikosti 25 ms_1, (c) soustava spojená s kosmickou lodí letící přímočaře konstantní rychlostí v vzhledem ke Slunci (d) soustava spojená s orbitální stanicí obíhající kolem Země rychlostí o stálé velikosti v, (e) soustava pevně spojená s kabinou ruského kola. 4 (a) Jakou silou působí okolní vzduch na parašutistu o hmotnosti 90 kg, který klesá k zemi stálou rychlostí 8 ms1? Počítejte s£=10ms~2. (b) Působí během pádu větší silou Země na parašutistu nebo parašutista na Zemi? Urcyhluje také parašutista Zemi? Doplňte třetí sílu působící na krabici 3N 5N —> (a) aby krabice byla v klidu, (b) aby se krabice pohybovala stálou rychlostí 5 mí1 směrem doprava, (c) aby se krabice pohybovala se zrychlením 1 ms~2 směrem doprava, (d) aby se krabice pohybovala se zrychlením 1 ms~2 směrem doleva. Když vynálezce vývěvy Otto von Guericke v roce 1654 předváděl slavný pokus ukazující existenci atmosférického tlaku s magdeburskými polokoulemi (dvě duté kovové polokoule, ze kterých byl vyčerpán vzduch), bylo na každé straně zapřáhnuto 8 koní, kteří se o polokoule přetahovali. Kdyby místo osmi koní z každé strany bylo všech šestnáct koní zapraženo na jedné straně a druhý konec připevněn ke zdi, jakou silou by byly polokoule roztahovány oproti původní variantě? Svou odpověď správně zdůvodněte. 7 Navrhněte několik způsobů, jak zmenšit svoji „váhu" (tedy údaj, který ukáže váha), aniž byste museli skutečně zhubnout (tedy zmenšit svoji hmotnost). 8 Známe výslednou sílu působící na těleso o hmotnosti m. Který ze zákonů nám umožní zjistit, s jakým zrychlením se bude těleso pohybovat? (a) první Newtonův zákon, (b) druhý Newtonův zákon, (c) třetí Newtonův zákon, (d) pravidlo skládáni sil, (e) záleží na tom, jakého původu je působící síla. 9 Ve kterých fázích pohybu výtahu je lano, na kterém je zavěšen, nejvíce namáháno? Svou odpověď správně zdůvodněte. 10 Krabice se může pohybovat po dokonale hladké nakloněné rovině. Složka tíhové síly působící na krabici měřená podél nakloněné roviny má velikost 5 N. Tahová síla provazu má velikost T. Hmotnost kladky je zanedbatelná, kladka se otáčí bez tření. Ve kterých z následujících případů je tahová síla T rovna 5 N? (a) krabice je v klidu (b) krabice stoupá po nakloněné rovině konstantní rychlostí (c) krabice klesá po nakloněné rovině konstantní rychlostí (d) krabice stoupá po nakloněné rovině s klesající rychlostí (e) krabice klesá po nakloněné rovině s klesající rychlostí (f) krabice stoupá po nakloněné rovině s rostoucí rychlostí (g) krabice klesá po nakloněné rovině s rostoucí rychlostí (h) rovnost T=5N nikdy nenastane Zákony pohybu 57 11 Dvě kostky ze stejného materiálu o hmotnostech m a 2m leží v klidu na vodorovné podložce. (a) Na kterou kostku působí větší statická třecí síla? (b) Která kostka se začne první pohybovat, začneme-li podložku pomalu naklánět? 12 Dva pingpongové míčky, z nichž jeden je dutý a druhý je vyplněný betonem, byly zároveň upuštěny z výšky h = 40 m. (a) Na který působí větší gravitační síla? (b) Na který působí větší odporová síla? (c) Který dopadne jako první? (d) Který by dopadl první, nebýt odporu vzduchu? 13 Vysvětlete, proč astronauti na oběžné dráze pociťují stav beztíže. Můžeme zažít stav beztíže, aniž bychom museli podniknout výlet na oběžnou dráhu kolem Země? Uveďte příklady. 14 Malá kulička o hmotnosti m ------ visí volně na vlákně, které je připevněno ke stropu. Tíhové zrychlení je g. (a) Překreslete obrázek a vyznačte a popište všechny síly působící na kuličku a jejich výslednici. Je mezi nimi nějaká dvojice akce--reakce? (b) Vyznačte a popište všechny síly působící na kuličku a jejich výslednici v případě, že kulička byla rozkývaná na vlákně a obrázek zachycuje její průchod nejnižší polohou. Odpor vzduchu neuvažujte. m Úlohy ■ 1 Tažné lano pro automobily je navrženo tak, aby na něm mohlo být taženo auto o hmotnosti maximálně 1750 kg po rovině se zrychlením maximálně 1,35 ms2. Jakou sílu musí lano vydržet? Mohlo by se na toto lano bezpečně zavěsit těleso o hmotnosti 850 kg? [2360 N, ne] 2 Jaká je tíha (velikost gravitační síly) astronauta o hmotnosti 75 kg (a) ve výcvikovém středisku na Floridě, kde g = 9,8 ms2? [735 N] (b) na vesmírné stanici ISS, kde g = 9,1 ms2? [683 N] (c) na Marsu, kde g = 3,2 ms2? [240 N] 3 Náboj do kanónu má hmotnost 55 kg a je vystřelen rychlostí o velikosti 770 ms1. Hlaveň kanónu je dlouhá 1,5 m. Jak velkou průměrnou silou působí dělo na náboj při jeho vystřelování? [1,1.107N] 4 Vypočítejte, jak velkou silou je napínáno lano, po kterém jde provazochodec o hmotnosti 60 kg. Délka lana je 21m, oba koncové body jsou stejně vysoko a jejich vzdálenost je 20 m. Provazochodec stojí uprostřed lana. Hmotnost lana zanedbejte. [F=970N] 58 Zákony pohybu Fyzik o hmotnosti 80 kg si s sebou vzal do výtahu ve výškové budově osobní váhu. Jaké údaje bude váha ukazovat při rozjezdu a brždění výtahu se zrychlením o velikosti 2 ms2? [64 kg, 96 kg] Vypočtěte, s jakým maximálním zrychlením může brzdit automobil na asfaltu za suchého počasí. Jaká bude jeho brzdná dráha, jede-li se rychlostí 100 kmh1? Předpokládáme, že kola jsou pří brždění zablokovaná. [^=fs& s = v2/(2fsg)] (b) Řešte stejnou úlohu pro případ, že auto brzdí na náledí. Využijte tabulku na straně 37. 7 Měříme součinitel klidového tření touto metodou: Na dřevěné nakloněné desce leží hranolek, který je v klidu. Pomalu zvětšujeme úhel mezi touto deskou a vodorovnou rovinou. Při úhlu 37° se hranolek rozjede. Určete z tohoto výsledku koeficient statického tření mezi hranolkem a deskou. Určete také statickou třecí sílu (velikost a směr) pro libovolný úhel 0°