88 Mechanika tuhých těles
Cíle
1. Naučíte se, jak popsat otáčivý pohyb tělesa pomocí úhlových veličin.
2. Seznámíte se s pojmem moment síly. Poznáte, jak pomocí skládání momentů
sil určit jejich výsledný otáčivý účinek na těleso.
3. Seznámíte se s pojmem těžiště tělesa a naučíte se řešit základní úlohy ze
statiky.
4. Dozvíte se, jak se vypočítá kinetická energie otáčejícího se tělesa.
7.1. Posuvný a otáčivý pohyb
Dosud jsme se zabývali pohybem těles, která jsme považovali za hmotné
body. Zanedbání rozměrů těles bylo užitečné, protože nám umožnilo jednoduše
popsat jejich pohyb a také pochopit základní zákony mechaniky.V této kapitole
se zaměříme na situace, kdy rozměry a tvar tělesa hrají podstatnou roli. Budeme
se zabývat pohybem tuhých těles, tedy těles, jejichž tvar považujeme za neměnný.
Vyloučíme proto tělesa pružná, snadno deformovatelná a tekutá. Například
vaše tělo není tuhým tělesem, protože při pohybu mění svůj tvar.
Pohyby tuhých těles jsou často složité a těžko popsatelné. Představte si například
pohyb kola bicyklu jedoucího rovnoměrným přímočarým pohybem po
silnici (viz obrázek 7-1). Každý bod kola se pohybuje po jiné trajektorii a také
s jinou okamžitou rychlostí (v obrázku je červeně zakreslena trajektorie bodu
na obvodu kola a modře trajektorie středu). Složitý pohyb celého kola můžeme
lépe pochopit, představíme-li si jej jako složení dvou druhů pohybů. Jednak je to
pohyb středu kola, který má mezi ostatními body zvláštní postavení. Pohybuje
se po přímce rychlostí v, což je zároveň rychlost pohybu celého bicyklu. Potom,
vzhledem ke středu kola (ve vztažné soustavě s ním spojené a pohybující se
rychlostí v) se všechny ostatní body kola pohybují po kružnicích kolem něj.Výsledný
pohyb kola se tak skládá z posuvného pohybu středu rychlostí va otáčivého
pohybu všech ostatních bodů kolem pohybujícího se středu.
Kdyby se kolo neotáčelo, ale zůstalo v pohybu (například při brždění smyKapitola
7
Mechanika tuhých těles
ZeZeměnenímožnénikdy
spatřit Měsíc v té podobě jako
na obrázku 7-2. Při pozorném
prozkoumání si možná všimnete,
že je na našem snímku
mnohem víc kráterů a méně
tmavých měsíčních ,,moří".
Jak je to možné? Měsíc nám
totiž ukazuje stále svoji dobře
známou tvář, zatímco odvrácená
strana zůstává skryta.
K vysvětlení tohoto jevu stačí
uvážit otáčení Měsíce kolem
své osy.S jakou periodou musí
Měsíc rotovat, abychom viděli
pořád jen jednu jeho polo-
vinu?
Víte, že...
Obrázek 7-2. Takto viděli Měsíc
astronauté z mise Apollo.
= +
Obrázek 7-1. Pohyb kola bicyklu můžeme rozdělit na otáčivý a posuvný pohyb.
Valení kola po silnici (bez prokluzu). Otáčivý pohybPosuvný pohyb
v
střed
Mechanika tuhých těles 89
kem), bude vykonávat jen posuvný pohyb. Kdyby se naopak střed vůbec nepohyboval
(například když otáčíme kolem na místě), půjde jen o pohyb otáčivý.
Posuvný pohyb zvládneme dobře popsat pomocí veličin, které známe z kinematiky
hmotného bodu (poloha, rychlost, zrychlení). Popisu otáčivého pohybu
se budeme věnovat v následujícím odstavci.
7.2. Kinematika otáčivého pohybu
Ze svého okolí známe mnoho příkladu otáčivých pohybů. Například otáčení
listů větrné elektrárny, hodinových ručiček, převodových kol v motoru, ale také
rotace Země nebo Měsíce.
U každého otáčivého pohybu můžeme najít význačnou množinu bodů, které
při otáčení zůstávají v klidu. Nazýváme ji osa otáčení. Všechny ostatní body
tělesa opisují kružnice, jejichž středy leží na ose otáčení. Proto bude výhodné
popisovat otáčivý pohyb pomocí úhlových veličin. Jejich význam si ukážeme na
příkladu otáčení rotoru větrné elektrárny (obrázky 7-3 a 7-4).
Pro popis otáčivého pohybu se používají tzv. úhlové veličiny, protože nejlépe
vystihují chrakter otáčivého pohybu. První z nich je úhlová poloha f.Vybereme
si jeden význačný bod tělesa, který spojíme s osou. Tím určíme jeho základní
,,nulovou" polohu. Úhlová poloha je pak určena úhlem XOA mezi aktuální polohou
vybraného bodu a základní polohou. Změnu úhlové polohy nazýváme
otočením a značíme Df=f2
­f1
. Příklady ukazuje obrázek 7-4.
Ve fyzice je výhodné určovat úhlovou polohu nikoliv ve stupních, ale v radiánech,
neboli v obloukové míře. Mezi stupni a radiány platí jednoduchý vztah
3600
=2p (rad).
Jednotka rad je psána v závorce,protože ji můžeme vynechat (jedná se totiž o bezrozměrnou
veličinu). Důležitou vlastností obloukové míry je, že velikost úhlu
v radiánech stačí vynásobit poloměrem kružnice r a dostaneme délku oblouku
kružnice s příslušnou úhlu f (viz obrázek 7-4c). Platí
s=rf (f je v radiánech).
Výhody zápisu úhlu v obloukové míře si ukážeme později.
Nyní zkusme najít vhodnou veličinu, která odpovídá na otázku ,,jak rychle"
se těleso otáčí. Víme, že všechny body tělesa se pohybují po kružnicích kolem
osy otáčení. Rychlost každého bodu je jiná v závislosti na jeho vzdálenosti od
osy otáčení, navíc neustále mění směr. Proto se pro otáčivý pohyb používá
úhlová rychlost w, která vyjadřuje, o jaký úhel se těleso otočí za daný čas.
Vzpomeňme si na pohyb hmotného bodu na ose x, kde jsme definovali průměrnou
a okamžitou rychlost (odstavec 2-3 na straně 16). Úhlová rychlost se
definuje podobně. Stačí nahradit posunutí Dx otočením Df a dostaneme definici
(okamžité) úhlové rychlosti
w=lim
f
.
t­>0 t
Z definice odvodíme jednotku úhlové rychlosti rads-1
, případně jen s-1
. Často se
používají i jiné jednotky vyjadřující počet otáček za časovou jednotku. Jsou to
Obrázek 7-3. Větrná elektrárna
představuje jednoduchý příklad
otáčivého pohybu.
osa otáčení
f=25o
Obrázek 7-4.
(a) Úhlovou polohu f rotoru určuje
velikost úhlu XOA.
(b) Otočení rotoru určuje
rozdíl úhlových poloh, platí
Df=f2
­f1
=90o
­25o
=65o
.
(c) Základní vlastnost obloukové
míry.
f1
=25o
XO
A
f2
=90o
Df=65o
(a)
(b)
(c)
f
r s=rf
90 Mechanika tuhých těles
otáčky za sekundu a otáčky za minutu. Platí
1ot/s=60ot/min=2prads-1
.
Pokud se úhlová rychlost tělesa mění (tj. otáčení se zrychluje, nebo zpomaluje),
mluvíme o nerovnoměrném otáčivém pohybu. My se zde však omezíme jen
na rovnoměrný otáčivý pohyb, kdy je úhlová rychlost konstantní.
Opět se nabízí srovnání s pohybem na ose x, kde pro polohu bodu v čase t
platila rovnice x(t)=x0
+vx
t. Když vztah přepíšeme pomocí úhlových veličin,
dostaneme f(t)=f0
+wt.
U rovnoměrného otáčivého pohybu můžeme rychlost otáčení určit ještě pomocí
frekvence a periody podobně jako u rovnoměrného pohybu po kružnici
(viz odstavec 3-3 na straně 33). Frekvence f není nic jiného než počet otáček za
sekundu, což můžeme chápat jako úhlovou rychlost v jiných jednotkách. Máme-li
úhlovou rychlost i frekvenci v základních jednotkách, pak platí w=2pf.
Uvážíme-li, že perioda T je převrácená hodnota frekvence, dostaneme
w=2pf=2p.
T
Na závěr ještě uveďme jeden důležitý vztah, který nám umožňuje určit, jak
velkou rychlostí se pohybuje určitý bod tělesa, které se otáčí úhlovou rychlostí
w. Pro velikost rychlosti bodu při otáčivém pohybu se používá označení obvodová
rychlost. Při rovnoměrném otáčivém pohybu ji můžeme určit snadno
použitím vztahu v=s/t, kde s je dráha, kterou daný bod urazí za čas t. Bod ve
vzdálenosti r od osy otáčení urazí dráhu s=rf, kde f je příslušné otočení v radiánech.
Dostaneme tak
v=
s
=
rf
=rw.
t t
Obvodovou rychlost určitého bodu tedy získáme jednoduše vynásobením úhlové
rychlosti tělesa w a vzdálenosti r tohoto bodu od osy otáčení.
Příklad 7-1
Rotor větrné elektrárny má následující parametry: poloměr rotoru r=45m, frekvence
otáčení f=20ot/min.
(a) Vypočtěte periodu,frekvenci a úhlovou rychlost otáčení rotoru v rads-1
a obvodovou
rychlost bodu na konci listu rotoru.
(b) Při fotografování otáčejícího se rotoru je nastaven čas snímání 1/60s. O jaký úhel se
za tuto dobu rotor otočí? Jakou vzdálenost přitom urazí bod na konci listu rotoru?
(a) Frekvence otáčení je f=20ot/min=20/60ot/s=0,33Hz, perioda je T=1/f=3s, úhlová
rychlost je w=2pf=2,1rads-1
a obvodová rychlost je v=wr=93ms-1
=339kmh-1
.Konce
listů rotoru se pohybují obvodovou rychlostí přes 300 kmh-1
. Tak velkou rychlost
bychom pravděpodobně nečekali při pohledu na klidně (frekvence 0,33 Hz) se otáčející
rotor. Dokázali byste vysvětlit proč?
(b) Za čas t=1/60s se rotor otočí o úhel f=wt=2,1rads-1.0,017s=0,035(rad). Bod ve
vzdálenosti r=45m opíše část oblouku kružnice o délce s=rf=45m.0,035=1,6m.
Konce listů rotoru proto budou na fotografii neostré.
Úhel v radiánech převádíme na
stupně a obráceně vždy podle
vztahu
3600
=2p (rad).
Například úhel f=0,035(rad)
(viz příklad 7-1) převedeme na
stupně takto:
0,035rad=
0,035.360o
=2o
2p
nebo obráceně:
2o
=
2o
.2p=0,035rad.
360o
Mechanika tuhých těles 91
7.3. Moment síly
V kapitole o zákonech pohybu jsme zkoumali pohybový účinek sil působících
na různá tělesa. Uvážili jsme všechny působící síly, sečetli je a určili jejich
výslednici. Jelikož jsme všechna tělesa považovali za hmotné body, nebrali jsme
v potaz, v jakých místech síly působí. Pro posuvný pohyb to nebylo podstatné.
Nyní si ukážeme, že v případě tuhých těles může být účinek stejné síly různý
podle toho, kde na těleso působí. Stačí si představit jednoduchý pokus. Když
chcete otevřít dveře, můžete na ně působit vždy stejnou silou (velikost i směr)
v různých místech, jak ukazuje obrázek 7-5. Rozdíl mezi působením v bodech
A a B nebudete pozorovat žádný, zatímco budete-li působit v bodě C, možná se
vám vůbec nepodaří dveřmi pohnout. Vidíme, že otáčivý účinek síly závisí na
vzdálenosti působiště od osy otáčení. Přesné vyjádření otáčivého účinku síly na
těleso nám umožňuje veličina zvaná moment síly.
Moment síly budeme definovat jen pro případ, kdy se těleso může otáčet
kolem nehybné pevné osy otáčení (například zmíněné dveře). Dále budeme
uvažovat jen síly kolmé na osu otáčení.
Moment síly M je vektorová veličina. Jeho velikost definujeme jako součin
velikosti síly F a ramene síly d
M=Fd.
Rameno síly je vzdálenost vektorové přímky síly F (přímky ve směru vektoru
F) od osy otáčení. Rameno síly je vždy kolmé na osu otáčení i vektorovou
přímku (viz obrázek 7-6a). Protne-li vektorová přímka osu, pak je moment síly
nulový ­ síla nemá žádný otáčivý účinek (obrázek 7-6b).
Z definice snadno odvodíme, že jednotkou momentu síly je Nm (newton
metr). Nm je také jednotkou práce či energie, kde používáme zkratku Nm=J
(joule). Pro moment síly však joule nikdy nepoužíváme. Možná jste se už s jednotkou
Nm setkali. Často se používá například u automobilových motorů.
Příklad 7-2
Maximální možná síla, kterou může cyklista působit na pedál je
dána jeho tíhou F=mg, kde m=75kg je hmotnost cyklisty. Síla
působí vždy svisle dolů. Vypočítejte moment této síly v situaci,
kdy klika pedálu svírá se svislým směrem úhel a (viz obrázek).
Vyřešte pro úhly (a) a=00
, (b) a=300
, (c) a=900
. Vzdálenost
pedálu od osy otáčení je l=22cm.
Rameno síly d (vzdálenost vektorové přímky síly F od osy otáčení) určíme podle obrázku
d=lsina. Nyní můžeme dosadit do vztahu pro velikost momentu síly
M=Fd=mglsina.
Pro zadané úhly dostaneme
(a) Ma
=mglsin00
=0Nm,
(b) Mb
=mglsin300
=75.9,8.0,22.0,5Nm=81Nm,
(c) Mc
=mglsin900
=75.9,8.0,22.1=162Nm.
Pro srovnání: Maximální točivý moment u motorů osobních automobilů se pohybuje
od 100 do 300Nm. Proč přesto nedokážeme kolo rozjet na rychlost 100 kmh-1
, proč má
motor automobilu mnohem větší výkon než cyklista?
C
A
B
F
F
F
osa otáčení
Obrázek 7-5.
Otáčivý účinek síly F závisí na
tom, v jakém místě síla působí.
Obrázek 7-6.
(a) Rameno síly d je vzdálenost
osy otáčení od vektorové přímky
síly F.
(b) Vektorová přímka protíná
osu otáčení, d=0, M=0. Síla
nemá otáčivý účinek.
(a) osa otáčení
F
d
(b) osa otáčení
Fd=0
a
F
a
F
d
l
92 Mechanika tuhých těles
Směr vektoru M vyjadřuje, zda síla F roztáčí těleso po směru, nebo proti
směru hodinových ručiček.Vektor momentu síly vždy leží ve směru osy otáčení
a jeho orientace je dána pravidlem pravé ruky: Přiložíme-li pravou ruku k tělesu
tak, aby prsty ukazovaly směr, kterým síla těleso působí, pak palec ukazuje
orientaci momentu síly (obrázek 7-7).
Pro vektory momentů sil působících na určité těleso tedy připadají vždy
v úvahu jen dva navzájem opačné směry (díky omezení jen na síly ležící v rovině
kolmé na osu otáčení). Definice byla zvolena právě tak, aby bylo možné sčítat
momenty různých sil působících na jedno těleso a výsledný moment SM určit
jako vektorový součet všech momentů
SM=M1
+M2
+ M3
+....+Mn
.
Výsledný moment sil SM má podobně důležitý význam pro otáčivý pohyb
jako výsledná síla SF pro pohyb posuvný. Konkrétně si to ukážeme v odstavci
věnovaném rovnováze těles.
7.4. Těžiště
Pravděpodobně už o těžišti něco víte. Například, že ,,v něm působí gravitační
síla" nebo že ,,těžiště leží uprostřed tělesa". Obě tvrzení dobře vystihují podstatu
věci, zbývá je jen upřesnit.
Narozdíl od většiny ostatních sil, tíhová síla, nepůsobí na těleso v jenom místě,
ale v celém jeho objemu. Tíhové pole je všude uvnitř tělesa (viz obrázek 7-8).
Potřebujeme najít bod, do kterého můžeme umístit tíhovou sílu FG
=mg, jejíž
účinek na těleso bude stejný jako působení tíhového pole na celé těleso. Tento
bod se nazývá těžiště tělesa.Že takový význačný bod existuje, se můžeme přesvědčit
také pokusem.
Představte si, že vrhnete do prostoru libovolné tuhé těleso, například sekeru
(viz obrázek 7-9). Sekera se během letu otáčí, její pohyb je složený z posuvného
a otáčivého. Trajektorie různých bodů jsou složité křivky. Podrobnějším pozorováním
(například na videozáznamu) bychom však zjistili, že jeden bod se pohybuje
jednoduše po části paraboly, stejně jako hmotný bod při šikmém vrhu.
Tímto bodem je právě těžiště sekery.
V praxi ale potřebujeme jednodušší způsob, jak najít těžiště konkrétních těles.
Nachází-li se těleso v homogenním gravitačním poli (splněno pro běžná tělesa
na povrchu Země), pak na všechny části tělesa působí stejná síla. Těžiště se proto
bude nacházet ,,uprostřed" tělesa, přesně řečeno v jeho středu hmotnosti. Návod
na jeho nalezení se liší podle složitosti a typu tělesa.
1) Jednoduchá homogenní souměrná tělesa mají těžiště ve svém geometrickém
středu souměrnosti. Příklady ukazuje obrázek 7-10. Všimněte si, že těžiště
může ležet i mimo těleso.
Obrázek 7-7.
(a) Síla F roztáčí těleso v kladném
smyslu (proti směru hodinových
ručiček), moment síly
směřuje podle pravidla pravé
ruky podél osy nahoru.
(b) Síla F roztáčí těleso v záporném
smyslu (po směru hodinových
ručiček), moment síly
směřuje podle pravidla pravé
ruky podél osy dolů.
osa otáčení
F
(a)
M
osa otáčení
F
(b)
M
T
T
T T
Obrázek 7-10. Těžiště jednoduchých homogenních těles
FG
=mg
těžiště
Obrázek 7-8. Všechny části tělesa
jsou přitahovány k Zemi. To je
možné vyjádřit jedinou tíhovou
silou FG
=mg působící v těžišti.
Obrázek 7-9. Těžiště vržené
sekery se pohybuje po čási
paraboly.
Mechanika tuhých těles 93
Některá méně souměrná homogenní tělesa (například kužel, polokoule,...)
nemají geometrický střed. Jejich těžiště se dá určit výpočtem pomocí vyšší matematiky
(integrálu).
2) Těžiště těles skládajících se z více jednoduchých částí (jejichž těžiště známe)
můžeme určit pomocí váženého průměru.Princip takového postupu ukazuje
následující příklad.
Příklad 7-3
Určete polohu těžiště
(a) stojanu na dopravní značky (viz obrázek),
skládajícího se ze dvou homogenních částí:
betonového podstavce o hmotnosti 45kg a železné
trubky o hmotnosti 5kg,
(b) fotbalové branky o rozměrech 2,5m
krát 5m svařené ze stejných homogenních
trubek podle obrázku.
(a) Těžiště podstavce (T2
) i trubky (T1
)
budou ležet v jejich středech (viz obrázek).
Těžiště celého tělesa (T) bude ležet na
spojnici T1
T2
. Zbývá započítat hmotnosti
(,,váhy") obou částí. Těžiště T bude blíž
těžišti s větší váhou a to tak, aby poměr
hmotností odpovídal poměru vzdáleností
bodu T od T1
a T2
. S pomocí obrázku
určíme, že |T1
T2
|=100cm. Tuto vzdálenost
rozdělíme v poměru hmotností
45kg:5kg=9:1=90cm:10cm. Těžiště celého tělesa se tedy nachází 10cm nad těžištěm
podstavce, což odpovídá hornímu okraji podstavce.
(b) Těleso si opět rozdělíme na části, jejichž
těžiště dokážeme snadno určit. V našem
případě to budou dvě svislé tyče s těžišti T2
a T3
a jedna vodorovná s těžištěm T1
(viz
obrázek). Nyní najdeme společné těžiště
vodorovných částí (T2+3
), přitom nesmíme
zapomenout, že bod T2+3
má teď váhu dvou
dvoumetrových tyčí. Těžiště branky leží na
spojnici bodů T1
a T2+3
. Protože váha obou bodů je stejná, leží výsledné těžiště
(T) ve středu úsečky T1
T2+3
. Těžiště branky se nachází ve výšce 1,5m nad zemí.
3) Těžiště můžeme určovat také experimentálně, například u nepravidelných
těles, kde je výpočet příliš obtížný. Využíváme přitom skutečnosti, že zavěsíme-li
těleso v jednom (jakémkoliv) bodě, ustálí se jeho poloha tak, že těžiště tělesa bude
ležet na svislé přímce pod bodem závěsu (jedině v této poloze je moment tíhové
síly nulový). Přímka spojující bod závěsu s těžištěm se nazývá těžnice. Všechny
těžnice se protínají v jednom bodě - těžišti. Příklad ukazuje obrázek 7-11a. U částečně
souměrných těles někdy stačí zjistit experimentem polohu jediné těžnice,
těžiště se pak nachází v průsečíku těžnice s osou nebo rovinou souměrnosti tělesa
(viz obrázek 7-11b).
180cm
20cm
4m
2m
(a) (b)
180cm
20cm
100cm 90cm
10cm
T1
T2
T
T1
T2
1m
2m
T3
T2
T1
T2+3
T
2m
0,5m
1m
Obrázek 7-11.
(a) Určení těžiště nepravidelného
tělesa pomocí těžnic.
(b) Určení těžiště basseballové
pálky pomocí těžnice a osy
souměrnosti.
T
A
A
B
tA
tA
tB
(a)
(b)
T
94 Mechanika tuhých těles
7.5. Rovnováha těles
V mechanice jsme většinou zkoumali pohyb. Nyní se zaměříme na tělesa,
která jsou v klidu, přesněji řečeno budeme zkoumat statickou rovnováhu těles.
Myslíme tím situace, kdy se zkoumaná tělesa vhledem k vybrané vztažné soustavě
žádným způsobem nepohybují ­ neposouvají ani neotáčejí.
Analýza statické rovnováhy je velmi důležitá v mnoha praktických oborech.
Nejznámější je asi stavební statika. Na budovy, mosty a další stavby působí nejrůznější
síly, kterým musí stavby odolat, musí zůstat ve statické rovnováze. Podobné
je to i u konstrukce strojů nebo dopravních prostředků.
Aby těleso zůstávalo v klidu ve zvolené vztažné soustavě, musí být splněny
dvě základní podmínky rovnováhy.
1) Těleso se nesmí pohybovat posuvným pohybem. Zajímá-li nás jen posuvný
pohyb, můžeme těleso nahradit hmotným bodem, jehož pohyb se řídí
druhým Newtonovým zákonem ve tvaru SF=ma.Víme, že hmotný bod setrvává
v klidu nebo pohybu rovnoměrném přímočarém, je-li výsledná síla nulová.
Je-li tedy těleso na začátku v klidu a výsledná síla je nulová, těleso se nezačne
pohybovat posuvným pohybem.
2) Těleso se nesmí otáčet. Zde je situace podobná, jen s tím rozdílem, že
výsledný otáčivý účinek sil určuje výsledný moment sil SM. Je-li výsledný moment
sil nulový, znamená to, že se těleso buď otáčí stálou úhlovou rychlostí
nebo se neotáčí vůbec. Bylo-li tedy na začátku v klidu, pak v něm také zůstane.
Uvedená podmínka platí obecně. My jsme však definovali moment síly
jen vzhledem k pevné ose otáčení a pro síly ležící v rovině kolmé na tuto osu.
To nám umožňuje řešit pouze ,,dvourozměrné" problémy statické rovnováhy.
V těchto případech můžeme výsledný moment sil určovat k pevně zvolené,
avšak libovolné, ose otáčení.
Podmínky rovnováhy přehledně shrnuje následující tabulka
SF=0 rovnováha sil těleso se neposunuje
SM=0 rovnováha momentů sil těleso se neotáčí
Rovnovážné polohy se od sebe mohou ještě lišit tím, co se s tělesem stane po
drobném vychýlení z rovnováhy. Jestliže se těleso po vychýlení vrátí zpět do rovnovážné
polohy, nachází se v rovnovážné poloze stále (stabilní). Naopak, jestliže
se po drobném vychýlení těleso zpět do statické rovnováhy nevrátí, ale dál se
z ní vzdaluje, označujeme rovnovážnou polohu jako vratkou (labilní). Pokud
těleso po vychýlení z rovnováhy zůstává v nové poloze, označujeme tuto polohu
jako volnou (indiferentní). Jako příklad nám poslouží kulička na podložce nebo
těleso otáčející se kolem vodorovné osy (viz obrázek 7-13).
Je-li těleso ve stabilní poloze, můžeme jeho stabilitu dokonce přesně definovat
jako práci, kterou je třeba vykonat, abychom ho dostali do nejbližší
vratké polohy (viz příklad 7-5c).
Použití podmínek statické rovnováhy si ukážeme na dvou konkrétních příkladech.
Při řešení úloh na statickou rovnováhu se držíme tohoto postupu:
1. Sestrojíme náčrt, kde vyznačíme všechny působící síly včetně jejich působiště.
2. Zapíšeme podmínky silové a momentové rovnováhy.
3.Vyřešíme získané rovnice a dosadíme známé hodnoty.
Základy statiky objevili
první stavitelé především na
základě praktických zkušeností.
Dnes se bez statického posouzení
a přesných výpočtů neobejde
žádná složitější stabva.
Například největším objevem
gotické architektury byl
lomený oblouk, který umožnil
stavbu lehčích a větších
konstrukcí. Dokázali byste
zjistit proč?
Víte, že...
Obrázek 7-13. Tři různé polohy
těles z hlediska stability.
osa otáčení
(a) stálá poloha
(b) vratká poloha
(c) volná poloha
Obrázek 7-12. Lomený gotický
oblouk umožnil stavbu obrovských
katedrál.
Mechanika tuhých těles 95
Příklad 7-4
Ocelový nosník je podepřen ve čtvrtině své délky
a na jednom konci na něj působí svislá síla
F1
=1200N (viz obrázek).Jaká svislá síla musí působit
na druhý konec nosníku,aby zůstal v klidu?
Jaká síla pak působí na nosník v ose otáčení?
(a) Hmotnost samotného nosníku zanedbejte.
(b) Počítejte i s hmotností nosníku m=45kg.
(a) Nejprve sestrojíme načrt, kde vyznačíme
všechny síly, které na nosník působí (viz obrázek).
Velikosti sil F2
a F0
ještě neznáme, podstatný
je jejich směr a působiště a ty dokážeme
určit (F2
musí směřovat dolů, aby její moment
působil proti momentu síly F1
). Pomocí obrázku
pak zapíšeme velikosti momentů všech tří sil
vzhledem k ose otáčení
M1
=F1
d1
, M2
=F2
d2
, M0
=0.
Pro úplnost dodejme, že vektor M1
směřuje podle pravidla pravé ruky za nákresnu, M2
před nákresnu. Rovnice pro momentovou rovnováhu SM=0 se proto zapíše jednoduše
jako
M1
­M2
=0 => F1
d1
=F2
d2
=> F2
=F1
d1
=F1
1
=300N.
d2 4
Velikost síly F0
působící v ose otáčení plyne z podmínky silové rovnováhy SF=0. Podle
obrázku můžeme silovou rovnováhu opět vyjádřit jednoduše jako
F0
=F1
+F2
=1200N+300N=1500N.
(b) Postupujeme stejně jako v části (a), jen přidáme
ještě tíhu nosníku FG
s působištěm v jeho
těžišti (viz obrázek). Velikost tíhové síly je
FG
=mg. Rovnice pro momentovou rovnováhu
SM=0 bude mít tvar
M1
­M2
­MG
=0 => F1
d1
­F2
3d1
­FG
d1
=0 =>
=> F1
­3F2
­FG
=0 => F2
=
F1
­mg
3
Po dosazení (g=9,8ms-2
) dostaneme
F2
=
1200N­45kg.9,8ms-2
=250N.
3
Aby zůstala zachována silová rovnováha, musí se zvětšit také síla F0
. Dostaneme
F0
=F1
+F2
+mg=1200N + 250N+450N=1900N.
F1
osa otáčení
F1
F2
d1
d2
F0
osa otáčení
F1
F2
d12d1
F0
FG
d1
Příklad 7-4 nám zároveň
odhaluje princip jednoho
z prvních strojů na světě, který
lidé využívali již ve starověku.
Je to obyčejná páka, která
umožňuje ,,převést" menší sílu
na větší.
Páka patří do celé skupiny
tzv. jednoduchých strojů,
umožňujících převádět menší
síly na větší a obráceně pomocí
otáčivého pohybu. Patří sem
například klín, šroub či kolo
na hřídeli.
Zmenšenísílyjevždyvyváženo
nutností působit po delší
dráze,takže výsledné množství
mechanické práce vykonané
s jednoduchým strojem je stejné
jako bez něj.
Které jednoduché stroje
používáte nejčastěji?
Víte, že...
96 Mechanika tuhých těles
Příklad 7-5
Potřebujete povalit dřevěný kmen tvaru válce o průměru
0,65m a výšce 1,25m (viz obrázek). Kmen je z bukového
dřeva o hustotě 550kgm-3
.
(a) Jaká nejmenší síla stačí ke splnění úkolu? V jakém místě
a jakým směrem musíte na kmen působit? Nesmíte použít
žádný jednoduchý stroj.
(b) Jaké další síly přitom budou na kmen působit?
(c) Jakou práci je třeba vykonat k převrácení kmene do
vratké polohy?
(a)+(b) Nejprve vyznačíme do obrázku všechny působící síly
v mezní situaci, kdy kmen právě začínáme zvedat. Budeme
kmenem otáčet kolem vodorovné osy na kraji jeho podstavy
procházející bodem O. Abychom těleso otočili, musí velikost
momentu síly FA
překročit velikost momentu tíhové síly FG
.
Aby bylo rameno síly FA
(a tedy i její moment) co největší,
musí síla působit v bodě A kolmo na spojnici OA. Působiště
tíhové síly je v těžišti (ve středu) válce. Zachování silové
rovnováhy zajišťují ještě kolmá tlaková síla FN
a statická třecí
síla FT
. Obě působí v ose, jejich momenty jsou proto nulové.
Proto stačí porovnat velikosti momentů sil FA
a FG
MA
>MG
=> FA
Öd2
+h2
>mg
d
=> FA
>
mgd
.
2 2Öd2
+h2
Ještě musíme vypočítat hmotnost válce pomocí jeho hustoty
m=Vr=pr2
hr=p
d2
hr=3,14.0,652
.1,25.550kg=228kg
4 4
a dosadíme
FA
>
228.9,8.0,65
N => FA
>515N.
2Ö0,652
+1,252
(c) Práce vykonaná při přemístění ze stálé do vratké polohy
je stabilita tělesa. Můžeme ji určit pomocí zákona
zachování mechanické energie. Vykonaná práce bude
rovna přírůstku gravitační potenciální energie kmene
DEP
=mgDh. U tuhého tělesa je Dh změna výšky jeho
těžiště. Podle obrázku je
Dh=
Öd2
+h2
­
d
=> DEP
=mg
Öd2
+h2
­ h
2 2 2
DEP
=228.9,8
Ö0,652
+1,252
­ 1,25
J=178J.
2
Pro převrácení do vratké polohy je nutné vykonat práci 178J.
FA
FG
FN
FSTAT
O
A
T
FA
FG
O
A
T
d
2
h
Öd2
+h2
d=0,65m
h=1,25m
T
T
Mechanika tuhých těles 97
7.6. Kinetická energie otáčivého pohybu
Podívejme se na nějaké rychle rotující a těžké těleso, například rotor vrtulníku.
Toto těleso má jistě velkou kinetickou energii, ale jakou? Známý vztah pro kinetickou
energii hmotného bodu
EK
=1
2
mv2
nemůžeme přímo použít, protože každý bod se pohybuje různou rychlostí.
Vztah pro kinetickou energii otáčivého pohybu tělesa však můžeme odvodit
následujícím způsobem. Představme si, že tuhé těleso se skládá z velkého
počtu hmotných bodů o hmotnostech m1
,m2
,...,mn
.Při otáčivém pohybu kolem
pevné osy se všechny body pohybují po kružnicích o poloměrech r1
, r2
, ...,rn
, ale
všechny stejnou úhlovou rychlostí w. Proto můžeme jejich obvodové rychlosti
vyjádřit jako v1
=wr1
, v2
=wr2
, ...,vn
=wrn
. Kinetickou energii celého tělesa pak
vypočteme jako součet kinetických energií jednotlivých bodů
EK
=1
2
m1
v1
2
+1
2
m2
v2
2
+...+1
2
mn
vn
2
=1
2
m1
w2
r1
2
+1
2
m2
w2
r2
2
+...+1
2
mn
w2
rn
2
.
Odtud
EK
=1
2
w2
(m1
r1
2
+ m2
r2
2
+...+mn
rn
2
).
Výraz v závorce obsahuje jen hmotnosti jednotlivých bodů tělesa a jejich
vzdálenosti od osy otáčení. Je to tedy vlastnost tělesa nezávislá na tom, jakou
rychlostí se těleso otáčí. Tuto fyzikální veličinu vyjadřující rozložení látky v tělese
vzhledem k určité ose nazýváme moment setrvačnosti vzhledem k ose
otáčení a platí
J=m1
r1
2
+ m2
r2
2
+...+mn
rn
2
.
Tento vztah však nemůžeme přímo použít pro výpočet momentu setrvačnosti
konkrétních tuhých těles, ve kterých je látka rozložena spojitě. K takovému
výpočtu je nutné použít vyšší matematiku, která nám umožňuje ,,sčítat
nekonečně malé příspěvky". Na tomto místě nám proto nezbude, než se spolehnout
na výsledky těchto výpočtů. Momenty setvračnosti pro některá běžná
tělesa jsou uvedeny v obrázku 7-14.
Pro fyziku je podstatné, že víme, co moment setrvačnosti znamená, a že lze
vypočítat. Proto můžeme kinetickou energii tělesa otáčejícího se kolem pevné
osy úhlovou rychlostí w určit jako
EK
=1
2
Jw2
.
Koná-li těleso současně posuvný pohyb i otáčivý pohyb kolem osy procházející
těžištěm, můžeme celkovou kinetickou energii vyjádřit jako součet
energií posuvného a otáčivého pohybu
EK
=1
2
mv2
+1
2
Jw2
,
přitom v je velikost rychlosti pohybu těžiště a J je moment setrvačnosti vzhledem
k dané ose otáčení procházející těžištěm.
Obrázek 7-14.
Momenty setrvačnosti některých
jednoduchých homogenních
těles o hmotnosti m.
(a) tenká tyč
(vzhledem k ose procházející
jejím koncem a kolmé na tyč)
(b) tenká tyč
(vzhledem k ose procházející
jejím středem a kolmé na tyč)
(c) koule o poloměru r
(vzhledem k ose procházející
jejím středem)
(d) válec o poloměru r
(vzhledem k ose procházející jeho
středem a kolmé na podstavu)
J=1
3
ml2
J=1
12
ml2
J=2
5
mr2
J=1
2
mr2
l
l
r
r
98 Mechanika tuhých těles
Zákon zachování mechanické energie musí platit i pro tuhá tělesa, počítáme-li
s kinetickou energii otáčivého pohybu. Jeho použití ukazuje příklad 7-6.
Příklad 7-6
Suchý strom o výšce 6 m a hmotnosti 130 kg má přibližně tvar homogenní tyče. Strom
u země uřízneme a necháme volně spadnout na vodorovnou zem. Jakou rychlostí
dopadne na zem špička stromu? Odpor vzduchu zanedbejte.
K vyřešení úlohy použijeme zákon zachování mechanické
energie.Využijeme toho,že těžiště můžeme považovat
za působiště tíhové síly.Díky tomu můžeme určit
změnu gravitační potenciální energie stromu
DEP
=mgl/2,
kde m je hmotnost stromu a l/2 je změna výšky těžiště
nad zemí (viz obrázek).
Tato energie se bude měnit na kinetickou energii otáčivého pohybu EK
=1
2
Jw2
. Těsně
před dopadem na zem bude platit
DEP
=EK
=>
mgl
=
1
Jw2
=> w2
=
mgl
.
2 2 J
Zbývá dosadit za moment setrvačnosti tenkou tyče vzhledem k ose procházející jejím
koncem J=1
3
ml2
a úlovou rychlost vyjádřit pomocí obvodové w=v/l. Dostaneme
v2
=
3mgl
=> v=Ö3gl=Ö3.9,8.6ms-1
=13ms-1
.
l2
ml2
Špička stromu bude mít těsně před dopadem obvodovou rychlost 13ms-1
.
Rychle rotující těleso s velkým momentem setrvačnosti může mít značnou
kinetickou energii. Takové těleso se nazývá setrvačník. Používá se často pro stabilizaci
otáček strojů s nepravidelným chodem, jako jsou parní stroje, spalovací
motory nebo elektrické generátory. Bohužel setrvačník, který by se dal využít ke
,,skladování" většího množství energie, by musel být tak obrovský a otáčet se tak
rychle, že jeho výroba není technicky výhodná.
Příklad 7-7
V padesátých letech byly ve Švýcarsku uvedeny do zkušebního provozu městské
autobusy poháněné setrvačníkem, tzv gyrobusy. Pohon vozidla zajišťoval setrvačník
o hmotnosti 1500kg, který se roztáčel elektromotorem na frekvenci 3000 ot/min. Předpokládejte,
že setrvačník má tvar homogenního válce s poloměrem 1m.
(a) Kolik energie je ,,uloženo" v plně roztočeném setrvačníku?
(b) Na jak dlouhou dobu provozu vystačí tato energie při průměrném příkonu gyrobusu
25kW?
(a) Stačí vypočítat kinetickou energii setrvačníku podle vztahu EK
=1
2
Jw2
.Moment setrvačnosti
válce je J=1
2
mr2
, úhlová rychlost w=2pf=2.3,14.(3000/60)rads-1
=314rads-1
.
Dohromady
EK
=
1
Jw2
=
1
mr2
w2
=
1
1500.12.3142
J =37MJ .
2 4 4
(b) Při průměrném příkonu P=25kW se tato energie spotřebuje za čas
t=EK
/P=37MJ /25kW=1480s=25min.
U setrvačníku objevíme
ještě jednu zajímavou vlastnost,
bude-li se otáčet nikoliv
kolem pevné osy, ale kolem
volné.K vychýlení osy jeho rotace
je potřeba mnohem větší
síla než když je v klidu. Proto
si osa rotace dobře zachovává
svůj směr.
Toho využívá zařízení
zvané gyroskop, které se používá
se hlavně v letadlech jako
umělý horizont, ale také třeba
ke stabilizaci družic na oběžné
dráze. Také planeta Země
představuje velký setrvačník.
Víte, že...
T osa otáčení
Mechanika tuhých těles 99
Otázky
1
Na obrázku je schéma převodovky se čtyřmi ozubenými
koly, která se otáčejí bez prokluzu. Poloměry kol jsou rovněž
vyznačeny v obrázku, kolo 2 je poháněno motorem. Vyberte
všechna správná tvrzení.
(a) Kola číslo 2 a 4 se otáčejí stejným směrem.
(b) Největší obvodovou rychlost mají body na obvodech kol
1 a 4.
(c) Největší obvodovou rychlost mají body na obvodu kola 2.
(d) Největší úhlovou rychlost mají body na kole 2.
(e) Největší úhlovou rychlost mají body na kolech 1 a 4.
(f) Kolo 2 se otáčí s větší frekvencí než kolo 1.
(g) Kolo 3 se otáčí s větší frekvencí než kolo 2.
(h) Všechna kola se otáčí se stejnou frekvencí.
2
Na obrázku je obyčejná dětská houpačka. Můžou se na této
houpačce houpat dvě různě těžké děti? Za jakých podmínek?
3
(a) Uveďte příklad složeného pohybu (posuvný + otáčivý).
Najděte takovou vztažnou sosutavu, ve které je tento pohyb
otáčivý (bez posuvného).
(b) Kolik nejméně sil potřebujete k uvedení tělesa do otáčivého
pohybu (bez posuvného)? Uveďte konkrétní příklad.
4
Na obrázku je pohled shora na homogenní čtvercovou desku,
ležící v klidu na dokonale hladké podložce. Tři síly, jejichž
velikosti i směry jsou vyznačeny na obrázku, působí na rohy
desky. Určete, jestli se deska začne
(a) otáčet,
(b) posouvat.
5
Potřebujete rozdělit kládu (viz obrázek) na dva stejně těžké
kusy. Petr navrhuje tento postup: zavěsím kládu na lano tak,
aby byla vyvážená, a poté ji rozříznu v místě závěsu. Jaký
bude výsledek?
(a) Postup je správný, oba kusy budou vážit stějně,
(b) tlustší kus bude těžší,
(c) tenký kus bude těžší.
6
Je možné postavit vajíčko na špičku
na desce stolu, aniž by se rozbilo?
Stačí vám k tomu špějle a kus plastelíny.
Návod na tento trik prozrazuje
obrázek vpravo, vaším úkolem
je vysvětlit jeho fyzikální princip.
7
Disk,prstenec a koule (viz obrázek) o stejné hmotnosti m byly
současně volně vypuštěny dolů po nakloněné rovině.V jakém
pořadí dorazí tělesa na konec nakloněné roviny? Odporové
síly neuvažujte.
(Návod: Použijte zákon zachování mechanické energie)
1 2 3 4
3R
2R
R
3R
F1
=2N
F2
=2N
F3
=2,83N
disk prstenec koule
100 Mechanika tuhých těles
12m
2m
[21 kN]
7
Homogenní prkno délky l=10m o hmotnosti m=50kg je
potřeba položit nad propast s přesahem a=8m. Jak velké
protizávaží (m1
) musíme položit na druhý konec prkna, aby
až na konec prkna nad propast mohlo dojít dítě o hmotnosti
m0
=20kg? Předpokládáme, že se prkno neprohýbá.
[155 kg]
8
Rám nakreslený na obrázku
je svařený z pěti stejných
homogenních tyčí délky L.
Vypočtěte vzdálenost těžiště
rámu od jeho středu.
[L/20]
9
Těžiště můžeme určovat pomocí váženého průměru nejen
u tuhých těles, ale i soustav těles, která nejsou nijak spojena.
Najděte si všechny potřebné údaje a určete polohu těžiště
soustavy Země ­ Měsíc.
[4700km od středu Země]
10
Tenká kovová tyč délky L=120cm
byla ohnuta uprostřed do pravého
úhlu. V jaké vzdálenosti od
bodu ohybu je třeba tyč podepřít,
aby zůstala v rovnovážné poloze
znázorněné na obrázku?
[15 cm]
Úlohy
1
(a) Určete úhlovou rychlost otáčení hřídele v autě v základních
jednotkách,je-li právě na jeho otáčkoměru údaj 4500 ot/min.
[w=471 rads-1
]
(b) S jakou frekvencí se otáčí kolo horského kola o poloměru
32cm, jedete-li právě po silnici rychlostí 25kmh-1
?
[f=3,46Hz]
2
(a) Jaká je úhlová rychlost otáčení Země?
(b) Jakou rychlostí se pohybuje člověk na rovníku vzhledem
ke středu Země?
(c) Jakou obvodovou rychlostí se pohybuje člověk v Brně
(490
severní šířky) vzhledem ke středu Země?
[w=7,27.10­5
rads­1
, v=463 ms-1
, v=304 ms-1
]
3
Podle parametrů vytahovače
hřebíků na obrázku určete,jakou
silou působí jeho spodní část na
hřebík, má-li síla ruky velikost
240N.
[1680N]
4
Dva muži nesou těžkou kládu o hmotnosti 100kg dlouhou
5m. Těžiště klády se nachází 2 metry od těžšího konce.
(a) Vypočtěte, jakou silou musí na kládu působit oba muži,
nese-li jeden u tlustšího a druhý u tenšího konce.
(b) Jak musí nést kládu, aby oba nesli stejnou zátěž?
[(a) 600 N a 400 N]
5
Vypočtěte síly, působící na podpěry ocelového nosníku.
Hmotnost nosníku je 700 kg. [14,3 N a 12,7 N]
6
Vypočítejte velikost síly, kterou je napínáno lano držící rameno
jeřábu. Hmotnost ramene je 700 kg, délka ramene je
12m. Druhý konec lana je upevněn ve výšce 2m nad osou
ramene.
l=10m
a=8m
m1 m0
L/4
6cm
42cm
240N
Mechanika tuhých těles 101
11
Každý z trojice listů rotoru vrtulníku má délku 5,2 m
a hmotnost 240 kg. Rotor se otáčí s frekvencí 350 otáček za
minutu.
(a) Určete jeho moment setrvačnosti vzhledem k ose otáčení
(list rotoru lze pokládat za tenkou tyč). [J=6490kgm2
]
(b) Kinetickou energii rotoru. [Ek
=4,36MJ]
(c) Proč potřebuje vrtulník dva rotory?
12
Porovnejte rotační a translační kinetickou energii Země za
předpokladu, že je Země homogenní koule. Jak se bude takto
získaný výsledek lišit od skutečnosti?
[Erot
=2,58.1029
J, Etr
=1,34.1033
J]
13
Porovnejte translační a rotační energii plného válce, který se
valí bez prokluzu rychlostí o velikosti v.
[EROT
=0,5.ETRANS
]