DIDAKTIKA  MATEMATIKY - 4. ročník VVP



   Růžena Blažková, Irena Sytařová

   

                                           Číselné obory

   

   Proveďte metodický a didaktický rozbor úloh:

   

   1. Jsou dána přirozená čísla 1, 2, 3, … , 99.  Kolikrát se v zápisu všech těchto čísel objeví
   číslice  a) šest     b) jedna ?

   

   2. Kolikrát zapíšete číslici 0, zapíšete-li za sebou

   a)      prvních deset přirozených čísel,

   b)      prvních sto přirozených čísel,

   c)      prvních tisíc přirozených čísel?

   

   3. Jak nejrychleji určíte:

   a)      součet všech přirozených čísel od 1 do 100,

   b)      součet všech lichých přirozených čísel od 1 do 99,

   c)      součet všech sudých přirozených čísle od 2 do 100?

   

   4. Určete úsporně součet čísel:  10 + 11 + 22 + 33 + 44 + 56 + 67 + 78 + 89 + 90

   

   5. Čísla 1 až 8 připište k vrcholům krychle tak, aby se součty čísel zapsaných u vrcholů
   v každé stěně krychle sobě rovnaly.

   

   6. Čísla 1 až 12 připište ke hranám krychle tak, aby se součty čísel zapsaných u hran v každé
   stěně krychle sobe rovnaly.

   

   7. Nejprve odhadněte a potom vypočítejte, jak dlouhá je doba (kolik roků, event. dní):

   a)      milionu hodin,

   b)      milionu minut,

   c)      milionu sekund.

   

   8. Některá čísla se znázorňují pomocí geometrických obrazců, např.

   a) trojúhelníková čísla jsou   1, 3, 6,
   …                                                         o

                                                              
                                        o                  o o

                                                                                         o      o
   o               o o o

   

   b) čtvercová čísla jsou 1, 4, 9, …

                                             
                                                                     o o o

                                                                                                o
   o           o o o

                                                                                       o       o
   o           o o o

   

   c) pětiúhelníková čísla jsou 1, 5, 12, 22 …                  o

                                                                                
   o                 o

                                                                        
   o                                   o

                                                                                    
   o                       

                                                                              o             
   o          o                                                                                 

                                                                                 o       
   o          o                   

   Zapište další čísla, která mají tyto vlastnosti.

   

   9. Číslo 39 můžeme zapsat jako   39 = 3 . 9 + 3 + 9, obecně   10a + b = a . b + a + b. Najděte
   další čísla této vlastnosti.

   

   10. Kolik existuje všech deseticiferných čísel zapsaných všemi číslicemi 0 až 9, jestliže se
   v zápisu čísla vyskytuje každá číslice právě jednou? Které číslo je nejmenší a které je
   největší?

   

   11. Určete dvojici přirozených čísel těchto vlastností: Jejich součin je 97. Dělíme-li větší
   číslo menším, dostaneme podíl 97. Kolik existuje přirozených čísel, jejichž součin a podíl se
   sobě rovnají?

   

   12. V určité populaci jsou  mužů ženatí, ale jen   žen jsou vdané. Jaká část populace
   (vyjádřeno zlomkem) jsou svobodní lidé?

   

   13. Jsou dány zlomky  , kde x a  y  jsou přirozená čísla. Rozhodněte a zdůvodněte, který
   zlomek je větší, když             a)  x<y,                 b)  x> y.

   

   14. Vyjádřete následující čísla ve tvaru zlomku, jehož čitatel i jmenovatel jsou přirozená
   čísla:

   a)    0,,                    b)   0,2         c)   1,72.

   

   15. Vypočítejte periody zlomků:

   a)                 b)  .

   

   16. Vypočtěte velikost tzv. řetězových zlomků a zapište a vypočítejte další takové zlomky:

               

            

   

            

   

   17. Přičteme-li k čitateli i jmenovateli zlomků  , kde n je přirozené číslo, vzniknou zlomky
   dvakrát, třikrát, … n-krát větší, než byl původní zlomek. Dokažte.

   

   18. Dokažte, že čísla     ,    ,    nejsou racionální čísla.

   

   19.  Definujte absolutní hodnotu reálného čísla a na základě definice dokažte, že pro každá
   reálná čísla a, b platí:

   a)        |a|    0

   b)        |a|  =  |-a|

   c)          |a|   a

   d)          |a + b|    |a|  + |b |

   e)          |a – b |    |a|  -  |b|

   f)           |a . b|    =  |a|  .  |b|

   g)         

   

   

   20. Prostředky žáka základní školy zdůvodněte:

   a)      proč součin dvou záporných čísel je číslo kladné,

   b)      větu o dělení zlomku zlomkem.

   

   21. Najděte taková přirozená čísla x, y aby platilo:      

   

   22. Dokažte, že platí:  

   

   23. Určete čísla x, y tak aby platilo:  

   

   24. Sečtěte nekonečný počet sčítanců  

   a)      prostředky žáka základní školy,

   b)      pomocí vzorce pro spočet nekonečné řady.

   

   25. Kolik je jedna polovina čtyřnásobku jedné poloviny jedné čtvrtiny?