Příklady S 1 1. Je dána krychle ABCDEFGH. a) Kolik různých přímek je určeno body B, D, G, H, E ? b) Kolik různých přímek je určeno všemi vrcholy krychle? c) Kolik rovin je určeno body A, B, C, E ? 2. Na krychli ABCDEFGH zapište rovinu dolní podstavy a) pomocí tří různých bodů, b) pomocí přímky a bodu, který na ní neleží, c) pomocí dvou různoběžných přímek, d) pomocí dvou rovnoběžných přímek. 3. V místnosti jsou čtyřnohé židle a trojnohé verpánky. Některé z těchto sedaček se viklají. Které to jsou a proč? 4. Na modelu pravidelného kolmého čtyřbokého jehlanu ABCDV najděte a zapište dvojice přímek a) rovnoběžných, b) různoběžných. 5. Na krychli ABCDEFGH vymodelujte a zapište všechny přímky, které procházejí bodem F a jsou s přímkou DH a) rovnoběžné, b) různoběžné, c) mimoběžné. 6. Na krychli ABCDEFGH vymodelujte a zapište některé přímky, které procházejí bodem A a jsou s rovinou BCG a) rovnoběžné, b) různoběžné, c) leží v rovině BCG. 7. Na modelech krychle a jehlanu modelujte dvojice rovin rovnoběžných a dvojice rovin různoběžných. 8. Na modelu krychle vymodelujte vzájemné polohy tří různých rovin. 9. Kolika přímkami můžeme spojit pět různých bodů v prostoru, z nichž žádné tři neleží v téže přímce ? 10. Kolik navzájem různých rovin je určeno šesti různými body, z nichž žádné čtyři neleží v téže rovině ? 11. Jaká je vzájemná poloha dvou rovin, jestliže mají společné: a) dva různé body, b) přímku a bod, c) tři různé body, které neleží v jedné přímce. 12. Je dán čtyřboký jehlan ABCDV. Jakou vzájemnou polohu má přímka AB s přímkami procházejícími ostatními hranami jehlanu? 13. V prostoru je dána přímka a a bod A. Kolik přímek, procházejících bodem A je rovnoběžných s přímkou a ? 14. Je dán čtyřstěn ABCD. V které rovině bude ležet přímka, která prochází bodem D a je rovnoběžná s přímkou AB ? 15. S kolika hranami je rovnoběžná každá hrana krychle ? 16. Je dána krychle ABCDEKGH. Bod K je střed hrany EF, bod L je střed hrany BF a bod M je střed hrany FG. Určete vzájemnou polohu: a) přímek KL, EM, b) přímek KM, EG, c) přímek ML a AH, d) přímky ML a roviny ADH, e) přímky KL a roviny ADH, f) roviny ACG a roviny KLM, g) roviny MLC a roviny KLM. Příklady S 2 1. Ve volném rovnoběžném promítání zobrazte: a) čtverec a jeho úhlopříčky, b) rovnoramenný trojúhelník a jeho výšky, c) rovnostranný trojúhelník a jeho výšky, d) rovnoběžník, e) pravidelný šestiúhelník, f) pravidelný pětiúhelník. 2. Ve volném rovnoběžném promítání zobrazte: a) krychli s hranou délky a = 5 cm, b) kvádr s rozměry a = 4 cm, b = 3 cm, c = 5 cm, c) pravidelný šestiboký hranol s podstavnou hranou délky 2,5 cm a výškou 4 cm, d) pravidelný pětiboký hranol s podstavnou hranou délky 3 cm a výškou 5 cm, e) pravidelný čtyřstěn s hranou délky 4 cm, f) pravidelný čtyřboký jehlan s podstavnou hranou délky 3 cm a výškou 5 cm, g) pravidelný šestiboký jehlan s podstavnou hranou délky 3 cm a výškou 4 cm. . 3.Ve volném rovnoběžném promítání zobrazte krychli ABCDEFGH a vepište jí pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV, kde V je střed stěny EFGH, 4. Ve volném rovnoběžném promítání zobrazte kružnici s poloměrem r = 2,5 cm. 5. Zhotovte si šablonky pro náčrtky krychle, jehlanu, pravidelného šestibokého hranolu. Příklady S 3 1. Je dána rovina a a přímka p, která je s rovinou a různoběžná. Určete průsečík přímky p s rovinou a. 2. Jsou dány dvě různoběžné roviny a a b. Určete průsečnici těchto dvou rovin. 3. Je dána krychle ABCDA´B´C´D´. Sestrojte průsečnici rovin a = « ACC´ a b = « DBB´. ( Uveďte oba způsoby) 4. Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV a rovina r = « ABC´, kde bod C´je střed hrany VC. Sestrojte průsečnici p roviny r s rovinou CDV a průsečnici r rovin ABV a CDV. 5. Je dán čtyřstěn ABCD. Sestrojte průsečík R přímky p = « PQ s rovinou a = «HKL, kde body jsou dány takto: H Î BD, K Î CD, L Î AD, P Î BD, Q Î AC. 6. Je dán pravidelný čtyřboký jehlan ABCDV a body M, N , pro které platí: M je střed hrany CV, N je střed hrany AV, P Î BV a BP = BV. Určete: a) průsečík X přímky MP s rovinou podstavy jehlanu b) průsečík Y přímky NP s rovinou podstavy jehlanu c) průsečnici r rovin MNP a ABC d) průsečík W výšky jehlanu a roviny MNP e) průsečík Q přímky DV a roviny MNP. 7. Je dán kvádr ABCDA´B´C´D´, bod M je vnitřním bodem hrany C´D´ a bod N je vnitřním bodem hrany BB´. Sestrojte průsečnice rovin: a) roviny CMN a roviny ABB´ b) roviny CMN a roviny ABC c) roviny CMN a roviny A´B´C´. 8. Je dány krychle ABCDA´B´C´D´. Ve volném rovnoběžném promítání zobrazte průsečnice rovin a) ACD´ a DBC´ b) ACB´ a A´C´B. 9. Je dána krychle ABCDA´B´C´D´. Bod K je střed hrany C´D´, bod L je bodem hrany AA´ tak, že AL = AA´. Sestrojte průsečík přímky KL s rovinou ABC. SHODNÁ ZOBRAZENÍ A) Základní pojmy Shodné zobrazení v rovině, obraz, vzor, zobrazení inverzní. Samodružný útvar v daném zobrazení, samodružné body. Identita, osová souměrnost, orientovaný úhel, otočení, středová souměrnost, posunutí, posunutá souměrnost. B) Úlohy 1. Jsou dány dva různé body X, Y. Určete několik shodných zobrazení v rovině, kdy je obrazem bodu X bod Y. 2. Jsou dány dvě shodné kružnice k[1 ]a k[2], jejich středy jsou body S[1] a S[2. ]Kružnice se protínají v bodech A, B. Určete alespoň jedno shodné zobrazení, ve kterém je obrazem kružnice k[1 ]kružnice k[2]. 3.Narýsujte čtverec ABCD, jehož strana má délku 4,5 cm. Sestrojte čtverec A´B´C´D´ souměrný se čtvercem ABCD: a) V osové souměrnosti s osou UV, kde bod U je střed strany AB a bod V je střed strany AD. b) Ve středové souměrnosti se středem P, kde bod P je bod úhlopříčky AC a platí AP : AC = 1 : 4. c) V rotaci se středem S (bod S je průsečík úhlopříček čtverce) a úhlem otočení 60°. 4.Do čtverce ABCD vepište rovnostranný trojúhelník AXZ, tak, aby bod X byl bodem strany BC a bod Y byl bodem strany CD. 5.Je dána přímka p a dva body A, B v téže polorovině s hranicí p. Na přímce p určete bod Z tak, aby: a) Úsečky AZ a BZ byly shodné. b) Součet velikostí úseček AY a BZ byl co nejmenší. 6. Narýsujte pravidelný šestiúhelník ABCDEF. Sestrojte šestiúhelník A´B´C´D´E´F´ osově souměrný podle osy: a) přímka AF b)přímka AC c)přímka BE. 7.Narýsujte rovnostranný trojúhelník ABC a sestrojte jeho těžiště T. Narýsujte trojúhelník A´B´C´ středově souměrný s trojúhelníkem ABC posle středu T. 8. Jsou dány dvě rovnoběžné přímky p, q a bod A, který neleží na žádné z nich. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby jeho vrcholy B, C ležely na přímkách p, q. 9. Jsou dány dvě rovnoběžné přímky a, b a bod M. Sestrojte kružnici, které se dotýká přímek a, b a prochází bodem M. 10. Jsou dány dvě rovnoběžné přímky a, b a přímka c, která je protíná. Sestrojte kružnici, která se dotýká všech tří přímek a, b, c.