-  15  -
Kapitola  II
POLYNOMY JEDNÉ PROMĚNNÍ § 1 : OKRUH POLYNOMŮ
Definice :  Necliŕ R  je okruh; pak  polynome m  ( / e. d n e' p r o  r menné)  nad  okruhem  R   budeme nazýval kazdoú nekonečnou posloupnost
(D               f * (V w- ■■■>
kde  af€R ,  /= 0,1,2,....   ,   pri čemz od jistého indexu  n  počínaje jsou všechny prvky  tik   rovny nule okruhu  R, t.j.   ak = 0R   pro   k> n .
Prvky aj,-, a(,  aj,  ... posloupnosti (J) nazývame  k o e f i c I e n t y polynomu f ; koeficient a8 nazývame a b s o l u t n (m  íl e nem polynomu f. Polynom, jehož všechny koeficienty jsou rovny   0R nazývame   nulovým  po  -l y n o m e m  a označujeme jej symbolem o .   Tedy ;
o  =  (0, 0,0, ,"...... )
Polynom, jehož absolutní Člen je roven   lR a ostatní koeficienty jsou rovny  0R nazýváme jednotkovým  polynomem  a označujeme jej symbolem  j.
T'eäy;                                                                                           ...
'/  =  (1,0,0, .......)
Množinu všech polynomů jedné proměnné nad okruhem  R   označujeme R[x].
Poznámka : zrejme^je vždy  R[x]  ¥=  0  (neboŕ napr.  oeR[x]).  Je-li    R netriviálni okruh,  pak R[x]   obsahuje zrejmé'nekonečné"mnoho prvků, bez ohledu na to, je-li okruh R   konečný nebo nikoliv.  Je-li R   triviální okruh, pak zrejmé" R[x]  =   {ó }. Tento případ budeme v dalším vylučovat.
Definice :  Necliŕíl) je nenulový polynom nad R   , nechť n  je cele nezáporné číslo s vlastností:, an #  0 ;  ak = 0 pro   k> n , t. j. f =  ( Va,, . . . ,an,0,0, ...) Pak říkáme, ze  polynom  f j e  stupne  n  a píšeme :   s t (f) =  n .
-  16  -
Koeficient an pak nazýváme vedoucím koeficientem polynomu f. Je-li vedoucí koeficient polynomu f roven 1_, pak f (koine, že polynom f je normovaný,
Poznámka :   v předchozí definici byl stupen přirazen každému polynomu, s výjimkou nulového polynomu  o   ■ Abychom tuto neúplnost odstranili, polozíme :
SI (o)   =   -   «> kde  - o«   chápeme formálne jakožto jistý symbol, píidany k. množine všech celých
čísel, pro nějž definujeme :
- «  < n   ;  (-">) + (—«) « (—*•) + n = n + (->») => —°°  pro každé celé číslo  n .
Tímto způsobem máme nyní definován pojem stupne polynomu pro libovolně /S R[x].
Poznámka :   polynomy stupni menšího než 1 (t.j. polynomy stupne nula a nulový polyncm) obvykle nazýváme konstantní polynomy nebo též; konstanty, Píi tom je třeba si dobré uvědomit rozdíl mezi nulovým polynomem a polynomem stupne nula I Dale, polynomy stupně 1 (resp. stupně 1, resp. stupně 3) nazýváme lineární (resp. kvadratické, resp. kubické) polynomy.                         ,;«,.*»>:A,
Na množině  R[x]  definujeme nyní dve operace, sčítání a násobeni, které;budeme označovat symboly  +a.   ,  t.j. stejnými symboly jako sčítáni a násobeni vokruhu R .  Z dalšího bude vrak patrné, že v této souvislosti nemůže dojít k nerJorMúmění.
Definice:  Nechť /= ( «„, a,, . . . ) ,  g  = (&„,&,, ■ ■ . ), € R[x\.  P,ak : sou c e t f + g    definujeme : (2)                                    f+g  -  U0 f b0,.«l+6,.'- :'-),
s o u c i n   f ■ g       definujeme .   <P                                f.f.~  (c,.?,,.«,........)
ŕcdť   f0
=   *,b,+  <Vb
= «, K + a>ft> +1ffb7'.
a«r4
t a,.
+ «„A =  La*
ľl'k
■ ■  '   "k           Kv
Poznámka: /+g je zřejmě polynomem, neboťpro m> max {st(f),st(g) } dostáváme a   + ft    = O a tedy v posloupnosti (2) je pouze konečné riVnöho nenulových prvku. Podobně pro součin f.g; je-li m > st(f) + st (g), pak pro každý součin a(.ft , kde i + j-m   musí být i>st(f)   nebo  / >st(g) a tedy «( _ q nebo    b - O . V důsledku toho je pak   c    = O   a tedy. v posloupnosti (3) je opět
pouze konečné mnoho nenulových prvků. Vidím", tedy, že   +   a   .  jsr.j operace na množině' R[x\ .
Věta 1,1. : Množina R\x] s operacemi sčítáni a násobeni polynomůfg okruh (t.j. komutativní okruh s jedničkou). Stručné budeme hovořit o okruhu polynqmu jedné proměníte' nad R .
[D ů k a z   :   nechť /=(«„,«.....) , g = t &„,'&,, . . . ) ,  h = ( é0',c,. •
. . . )   €  K[x] .   Z definice je ihned vidět, že operace sčítání jjolynomú je asociativní a komutativní. Nulový polynom  o  je nulovým prvkem a polynom (-a0,-a ,....) je opačným prvkem k / .. Je tedy  (R[x\, +■) abelovskou grupou. Dokažme nyní asociativitu operace násobeni. Označme :
/• g  " (Po<P.....)            ' >          gh^'r^.r.....)
(f.g).  h   = ( j6 , j,------)              ;     f.(g.h)=(s'!S,s[------)
Potom je :                      -                                                      ■
s   =   Z     p    c   =    2    (Z    tsL.bJ . c  =    S      (a   . ft  ) . c   =
čímŽ jsme dokázali rovnost :   ( f.g). h = f. ( g./i)
Z definice násobení polynomu bezprostredne vyplýva,  že jde o operaci komutativní a že jednotkový polynom /'  = ( 1,0,0, . . . ) je jedničkou.  Je tedy  (R[x], ■  ) komutativní pologrupa s jedničkou. Zbývá ověřit platnost distributivního zákona ; označme : f. (g + h)  -  (/„ ,f,,.-.) .
Pak *
'   t   -   Z    a. (6. + c.)   -    Z   a   ft    +    Z   a c    , "      <+/«»   '     '       '               i*/""       '        '♦/■=»       '
odkud plyne, Že  f.(g + h)    = f.g  +  //i
Dohromady jsme tedy dokázati, že  R[x] = (/?[*), +, ■ )  je okruh    ) .
Poznámka :   polynomy stupně měnírno než   1   jsme výše nazvali konstantními polynomy. Pro sčítania násobení těchto polynomu platí : . (a„,0, ...)   +  (fto,0, . . .)  =   (ao+ft0,0, . . .) (a0,0, ... )   •   (fto,0, ...)  =  C V f0 .0, ...)    . Pak ovsem zobrazení <p   :  R   ■* R [x J, definovane vztahem :
18
if (r) = ( r, O, O, . . . )    ,    pro lib.   r E R je liomomorfizmem okruhu  R   do okruhu  R[x\ .  Navíc je zrejmé zobrazení   ip injektivni,  nebot pro  r,s BR,   r ¥* s je  ip<r)  =A ip(s) . Tedy  ip je vnorením okruliu  /?'do okruhu  /((x)   a můžeme ztotožnit prvky okruhu  R   š jirh odpovídajícími konstantními polynomy  (pri zobrazení ^ ), resp, můžeme okruh R považovat za unitami podokruh okruliu  R[x).  Pokud jde o. označování konstantních polynomu, inuzeme tedy misto  0,0,0, . ■ . ) psát stručne pouze symbol  r  a hovořit ö   "prvku   r " ..
Nyní zavedeme zjednodušene, bézné" zna'rrte' označován! polynomů a operací s nimi.   Uvažme nejprve, ze z definice součinu polynomu vyplýva následující pravidlo pro násobeni polynomu  /= ( o  , a(, . . . ) prvkem   řGÍ, t.j. konstantním polynomem  ř = (. r, 0, 0, . . . ) :
r. /■'«  (ľ, 0, 0,. . .) .( «,(«,,«,, . . .)  -  ( r.«,, r.*,, r.a,, . . . ) Dále označme polynom  (0, 1, 0, 0, ... )   nejakým pevným symbolem, napr symbolem  x   .    Z definice násobení polynomů plyne, ze :
X3 - X.X =   (0, 0, 1, 0, . . . )   ,     .x»=   (0,0,0,1,0,...)   ,     atd. Necht" nyní / =  ( a.,   a  , a ., . . . )    je polynom stupne menšího nebo rovného n   .   Vynisobfme-U  polynomy  /, x, x2, ... , x"   postupne prvky  «0, o,..... an,
dostaneme :
(«„. 0,0, ...) - v/ ■ "o
(0, a,,0, . . .)                  ■■«,*
(0,0,a1,0,...)             » «,*'
( 0, . . . , 0, «n, 0, . . )    =  B(1Je"
odkud sečtením dostávame :
( aQ, a j.....an, 0, . .) -  «0+ a,..x + a2.x2 + . . . + »„x" ,
t. zn., polynom /' muzeme tedy vyjádřit ve tvaru   : ,
(4)                   / =  an +  a, x .*  arxl + . , . +  anx"      .
)a videt, že vyjadrení polynomu f ve tvaru (4) je jednoznačné, nebof dva zápisy tohoto typu se mohou lisit jedine formálne" o sčítance tvaru 0.x*. Poznamenejme ještě", ze. součet a součin polynomů, definovaný drive,   splývá při zápisu polynomů
-   1.9   -
ve tvaru   (4) s obvyklým součtem a součinem, známým ze střední školy p.ro polynomy nad R    .   Vzhledem ke komutatrvité operace   +■   není zřejmí poradí sčítanců ve (4) pevne dano. Obvykle budeme sčítance uspořádávat podle mocnin  x   bud" vzestupné nebo sestupné.  Dale, pro polynom / budeme podle potřeby používat tež označeni  f(x).
V dalším si blíže všimneme některých vlastností stupni polynomu.  Především, z poznámky za definici součtu a součinu polynomu vyplývá,   ze pro  f,g £ R[x) je:
(5)                          st(f+g)  <  max  { sKf), sí(g) )
(6)                          st (f.g )    <  sl(J)   +  st(g)
pri Čemž v řádné z nerovností (5) a (6) obecné nenastane rovnost, jak ukazuje následující príklad.
Přiklad í. 1:   Nechť' R = Z4, nechť / = g'= (0, 1, 2, 0, 0, . . . )&ŽA[x], t.zn.
stm" st(g) = 2.
Potom :  f+g = (0, 2, 0, . . . ),   t. zn.  stif+g) - 1 < max  («(/), st(g)} , resp. f.g    = (0, 0, 1,0,. .),   t. zn.  stif.g) =   2 <  st(f) + sl(g) .       ■   -Abychom doslali silnéjží výsledky,  bude tedy třeba klást jisté'dodatečné podmínky buďna polynomy f,g  nebo na okruh R , jäk ukazí následující vety.
Veta 1.2:  Necht'' R  je okruh ; /, g. e R[x].  Jestliže vedoucí koeficient polynomu  f nebo polynomu  g  není dělitelem nuly v  R ,   pak st (f.g)   =  st if) + st tg) .
[Důkaz   : nechť plat! predpoklady věty; je-li g-o   nebo   /=o   ,  pak f .g = o    a tvrzení vety platí.   Nechř tedy f.g i= o , při čemž  stíf) =  m   , st(g) = n    a nechť f.g   =   (c0, c,, . . . ) .   Pak jé : c   ''-' ( <i':,[ ■ ''„■   + . . ■ + a'.:'   b   , ) + u   . b+ ( a    ,. b.. + . ■■mi,bmtJ.
VÍechny součiny v prvé' i druhé závorce jsou nulové', neboť ak= 0  pro  k > in , resp.   ů   = 0  pro  k >  n .  Tedy  c .    =  tľ. Ď, =ŕ  0"   podle predpokladu včty. Tedy je    st {f.g)  >  m + n =  St (/) + st (g) , odkud však vzhledem k (6) dostáváme zadanou rovnost. |
Poznámka:   Obrácení předchozí věty obetné" neplatí. Vezmeme-li např. v Z [x] polynomy  f -  g  =   7x,   pak  f.g   =   4xJ  , t. zn.  si (f.g) = st (/) + si (g) ,   ale při tom vedoucí koeficient polynomu  /  i  g je dělitelem nuly v    Z ■
Důsledek:       Nechť R   je obor integrity. Pak pro libovolné' f,g S R\x] platí st (í-g)  =  si Ü) + «i (g) . [Důkaz   :  je-li f=g~o , pak tvrzení zřejmé platí.  Je-li alespoň jeden z polynomu f,g nenulový, pak jde o přímý důsledek předchozí věty. \
V^ta 1.3:  Nechť" R  je okruh ;  necht" /e R[x] je nenulový polynom. Potom f je dělitelem nuly v  R[x\  *>  existuje  c £ R ,   c =ŕ 0   tak. že  c.j  = o.
[D ú k a Z   :   " *•   "   zrejme, neboť c S R,   c =£ 0   lze chápat jako nenulový
polynom z  Ä [x].
"■* "     označme fix) = a„ + o, x + . . . + an.x" . Podle predpokladu existuje polynom gejRlx],  g ž o   takový, ze f.g  -o.  Nechť g (x)  = =  íj0 .+ 6,x + . . . ■+  í»   xm .  Je-li sŕ (g) = 0,  pak je tvrzení dokázáno. Nechť  , tedy  st\s)>   1 .  Nyní stačí dokázat, že existuje polynom ft €..JR{.xJi ft;.<é <?._,, sf (ft) < äf (g)   tak, že /. ft   =  o , neboť pak po konecnéVii počtu kroků stejnou úvahou dojdeme k za'danemu tvrzení..
Uvážíme-li polynomy
(7)                    <>B.g(x) , a,.gix) ,.......an.g(x) ,
pak mohou nastat dvě možnosti : 1)  všechny polynomy v (7) jsou nulové a tedy mimo jiné platí :
odkud pak dostáváme, ze  b    . fix) = o . Stačí tedy v tomto případě" položit
h í»' - 6„ . 2) existuje index  r  (0 < r «S n) takový, ze
(8)                    tfr . g M* o
a dale pak :       a.tl . g (x) = flr+2. g (x) = . . . . = on. g (x) - o
ľak aleje :
(9)             o = (a0 + a,x + .....+ anx") . g (x) »(«,+... + urXr) ■ g (x) .
-   1
»i: Jj K:	
	íllií
U	■ ;■' t   ■
1	tflft
í	ffgl
■ -?	
P	iíSfeíl?
S t	Ills
f	Mate 5«
1	W«
i	SMŕ


. iiH NH

Polozme :   h (x) = ar. g (x) . Pak z (9) plyne, že  jř (ň) < jf (g), nebofjinak by totiž" polynom na pravé straně (9) nebyl nulový.  Podle (8) je ft *= p .  Při tom f. h   = ar . f. g   =   o , t. zn.   ft  je hledaný polynom.   ]
Poznámka :   z předchozí vety je videt, zé jeli / polynom, jehož"alespoň jeden koeficient není dělitelem nuly v R   ,  pak / není"dělitelem nuly v R[x\.
Důsledek:    R  je oborem integrity    »  R [x]  ie oborem integrity.
[D u k a z   :  ."«»♦'  je pnmym důsledkem předchozí vety\ "**"   :   plyne z toho, že prvky z R  lze chápat jako (konstantní) polynomy z R[x). Je-li tedy   r,s G R   ;   i;s ¥* 0;   pak musi být   r. j >ŕ 0 , poněvaďžpodle předpokladu K [x] je oborem integrity.   ]
Poznámka:   okruh polynomu  R[x]   nemuze byt v zadnem prípade tělesem, neboť napr.  polynom fix) = x je nenulový a v R[x]  k nemu, neexistuje inverzní prvek.  Zabyvame-li se otázkou existence jednotek v R[x]  (t.j. polynomů, k nimž existuji v  R[x) inverzní), vidíme, že každá jednotka okruhu  R   (chapanajakořto konstantní polynom) bude jednotkou okruhu  R[x\.   Obécne ovšem i k nekonstant-nim polynomům může v R[x]  existovat inverzní, riapr. v Zťlxj je ;
(1 + 2x) . (1 + 2x)  =   1 t. zn..lineární polynom  / = 1 4- 1x  je jednotkou v  Z  [x]. ■
Omezíme-li se vsak na obory integrity, pak se situace zjednoduší, jak ukazuje nasle-,  dující.veta..
Veta 1.4. :   Nechť R   je obor integrity.   Pak jednotkami okruhu   R[x]  jsou
práve jednotky okruhu  R .
[D ů k a z : jednotky okruhu R jsou zřejmě jednotkami' R[x]. Naopak, nechť polynom / je jednotkou R[x), t. zn. existuje g e i?[x] ták, že f.g = j Podle důsledku V. 1.2. je :
st (f.g)   =   st (/) +   st (g)   =   0       ' odkud však plyne, že  st (J) = st ig)  =   0   ,  t. zn. / i g jsou konstanty z  R.
Tedy    /   je pak jednotkou   R     J.
Poznámka:    je-li  R   oborem integrity, pak i  R[x\  je oborem integrity a
vmírzmmíztmmmí&msm&immmrlrmimmmmia
ESBKSOT
22
tedy v  R[x)   platí zákony o krácení (podle V. 1.1. kapitoly 1), t.j.  je-li/,g,A S fl[x],
pak             f#o , f.g~' f.h            ■*         g =  A
Předpoklady tohoto tvrzení lže vsak jesté poněkud zeslabit, jak ukazuje na'sledující
veta,
VŽta 1.5;'.  'Nechť' R  je okruh; f;g,h  e  R[x].  Jestliže aiespón jeden koeficient pojyjioijw  f nenídelltelemnuly v. R , pak lze polynomem  / krátit, t.zn.
platí implikace :
■ ■';   ' '■ f. *"/•■»•      ■*       g = h
IP u k a z   ;  rovnost f.g  = f.h, lze přepsat do tvaru :, f.'gp-h) - o . Jestliže alespoň jeden koeficient polynomu  /nem dělitelem nuly v  R ,   pak / í o   a podle V.1.3.    f nem dělitelem nuly v  R[x\.  Pak tedy  g-h = o   , : neboli g"=  h   ] .
.,     y                                   ■            /                                                •■'■'■/■    v
'■•"""'   Pbjfem dělitelnosti, zavedeny v kapitole  1  pro okruhy si nym preformulujeme špečielrie.pro okruh poiyťibňiu R[x].
Definice \  Necht* R je okruh,: necht /, |;6 R[x\.. Existuje-lf polynom h € Klx] s vlastnosti :
f * g, h pak 'říkáme, ze p o l y n o m  g dělí p- o l y n o m f apiseine ; gl/.   V o-pacnem prípade říkáme, ie  g  n e,delí f a'píšeme ;  gV...
Poznámka :   stejné jako v obecném případe, je-li /= o';' pak zrejme  glo , prp: kazdy polynom    g e R[x\. Naopak, je-li   g  =  o   ,  pak, oj/   jedine v pri-
tí v. páde, ze    /  =   o .
Vzhledem k tomu, ze  R\x\ je okruh, ktery neinus(byt,oborení integrity,
a že většina vlastností dělitelnosti byla odvozena pro obory, integrity, nelze obecné
všechny výsledky   § 2, kap. 1  přenést na polynomy.             .■■
-   23   -
§ 2 : DELENf SE ZBYTKEM DVOU POLYNOMU
Definice :   Nechť R   je okruh; f, g e R[x]. Říkáme, íe v  R[x]   lze  pro
/            v           s
vest  děleni  se  zbytkem  polynomu  f polynomem  g,  jestliíe existuji polynomy    a, r & R[x] ,   splňující:
1.   / =  g . q   +   r
2.   st (;)   <   si (g)
Polynom   q   ,   resp.   r,   se potom nazýva pod íl  ,   resp.   z by t e k   tohoto delení
Poznámka :   je vide"t, že pro  g = o   nelze (pro íádný polynom  f)   dlsleníse zbytkem provést, nebot nemuze byt splnená podmínka 2.  V dalsim se budeme zajímat o to,   zda pro  g i= o   dSleni se zbytkem provŕst lze, resp. zda podíl   q   a zbytek  r   jsou určeny jednoznacne". Následujíc/jednoduché příklady ukazují, ze odpovSďje v obou případech obecní negativní.
Příklad 2.1.:   V okruhu polynoniS, Z[x]  uvalme  polynomy fŕ.'ix , g = 2.V. Pak zřejmí nelze najít-.pelynomy  q, r.. € Z[x] tak, aby platilo      ,. : 3x ^ {2x)i q + r    ;  st{r).<A-  stSs% ..
Přiklad 2.2.:   V okruhu polynomů  Žt[x] vezmime polynomy : / = 2x3 + 3x + 2 ;  g= 2xi + 1 .         '" **''     !Í               '     "•-'''■'''
Pak zřejmé .platí:
2x" + 3* + 2 « (2a:2 + i).(x + 2),+ 2x = ,(2x2 + 1). 3x + 2 = (2x2 + 1). .{2y} + x + I) + (2x +.1) „ atd., t. zn. delení se zbytkem zde prove'st lze, ale podíl a zbytek, nejsou určeny jednoznační,
Vŕla 2.1.: Necht" R je okruh, nechť f,g 6 R[x], Je-li vedoucí koeficient polynomu g jednotkou okruhu R, pak v R[x\ lze provést delení se zbytkem polynomu  / polynomem  g.
Id u k a z :   označme    /= «0   + a,x   t   . . . + arix" ,
g = h„ + b,x  +   . . . + bmxm    ; Podle předpokladu je   bm   jednotkou R .   t, zn. v  R   existuje prvek   žrj  .
-  24  -
Tedy je  st (g)  > O .  Vetu dokážeme indukcí vzhledem k  st (J) .
Je-li    si (/)  <  st (g), pak vista platí, neboť staci položit  q = o ,7  = / ■ Necht" tedy je  si (/)  >  .s/ (g) ,   t. zn.  si (/) = si (g) + k ,  kde  fc > 0  je celé' íislo.  Pri   k  =   0  (t. zn.' íí (/) = si (g) ) polozíme  q(x) - an.b~n\     ; r {x) »/(x) - aB.i)-' . g (x). Pak ifejm« f - g. q  + <■ , st (r)  <  if (g) , jak plyne z konstrukce polynomu  c (x).
Nyní předpokládejme, že v£ta platí pro  jŕ (J) <  jí (g) t fc  (fc> 0 celé' číslo)   a dokažme její platnost pro  st (/) ~ it (g) + k + I .  Polozme (D                           /, (*)  = /W -a„. b"1, af*1. g U)
Pak zrejmé  st (/,) < sŕ   ( /) , t. zn. podle indukčního predpokladu existují polynomy   (JiOOi   f| (x) s vlastností : (2)        /,(x)=gOO . <7,(*) + r,(JrJ        ;     s/ (r,)  <.  st (g)
Z (1) a (2) vsak plyne :
f (x)  = /.(x) + "„V ■ ***' -g (*)  =  g (x), ((f, (x) + an. fr'. *WI) + r,(») .
Polozíme-li  q(x) -   q,(x) t an.b~l.xm  ;   resp.   r(x) = r^x) , dostáváme tak hledané
polynomy, c. b. d.   ] .
Poznámka :   dukaz vety 2.1; je konstruktivní, t. Zn. je z néjividét postup pro získanf pod áu a zbytku při delení polynomu /polynomem  g  (za predpokladu, uvedeného ve vítČ). Tento postup je v podstatS shodný s algoritmem delení reálnych polynomů, známym ze střední skply.  Formálnízpúsob zápisu, ktery budeme používat, si ukažme na následujícím příkladu.
PÍíklad 2.3.:   V okruhu Z4[x)  proyedte delení se zbytkem polynomu / =   2x3   + 3x3 + 2x + 3  polynomem  g = 3x2 + 3x ■■'i.. ŘeSenf:   3 je jednotkou v okruhu Z4, t. zn. dílenílze provést. ( 2x} + 3jcj + 2x   + 3.) : ( 3x2 + 3* + 2 ) | 2.x + 3
Tedy  / =   F '/ + r
■ x  + I
-   25   -
Vŕta 2.2.: /Vet'/iŕ" « ye oí/ií/i ,• »eeÄ/ g S /?[x] /c polynom, jehoívedoucí' koeficient není dělitelem nuly v R . Pak pro lib. f.S R[x] existuje ne/výši jedna dvojice polynomu   q , r   tak, Že
f -  g. q   +  r '       i            st (,r) < st (g)
[D fl k a í   :   necht" platí predpoklady věty a nechť q, r  resp.  </', /  jsou dví dvojice polynomů požadovaných vlastností^ t. zn. platí:
(3)                             / »  g. q. f   r     =    .g . q' +   r'
kde  »i (r)   <  st (g)   ,    ,ví (;■')   <   st (g) . Odtud vsak plyne, Že ;
(4)                              st{r'-r)   <   ,ví(g)
Přepsáním vztahu (3) dostaneme :  g (q-q ) = r - r , t. zn. podle V.1.2. je :
(5)                        .     «(í-r)   = .sľ(g)   +   st(q-q')     .
Ze (4) a (5) pak dostávame :   st (g) + # (q^q) <  st (g) , piŕl íemŕ ji(g) > 0 . Tedy musí byt : sľ (ŕ/-?') = - °° , t. zn.  q = q' i Odsud pak vzhledem k (3) dostávame, ze r - r ,  c. b. d.   ] ,
Vžťa 2.3. : NecliŕR je okruh; necht" g <=. R[x) je polynom, jehož vedoucíkoeficient je jednotkou okruhu R. Pak pro lib. /,S R[x\ lze provést delení se zbytkem polynomu f polynomem g ; pri.'ceml pudil a zbytek tohoto delení jsou určeny jednoznačne.        •■     .                    ■;                                  ,
[D íí kaz   :   tvrzení vrty plyne ihned z předchozích dvou vet vzhledem k toiňUj že jednotka okruhu   R   není nikdy dělitelem nuly v   R   ].
Důsledek!   Nechť R   je teleso.. Pak děleni se zbytkem polynomu  /,,polynomem    g    lze provést pro libovolné polynomy    f, g £  R\x] ,   kde  g =£ o , při čemž podíl a zbytek jsou určený jednoznační
[D 5 k a z   :   tvrzení plyne ihned z předchozí vety vzhledem k tomu, zé v telese je kaŽdy nenulový prvek jednotkou   ] .
Poznámka:   Je-li  R    teleso a jsou-li /; g e Rix] ,  g <ťu , pak pri delení polynomu  f   polynomem  g   jsou podíl  q,   a zbytek  /'    opň polynomy z  R[x\, jak ply'ne z algoritmu delení. Tedy, je-li  5   libovolné' nadteleso telesa   R   a delime-li
26
v  S[x\   dva polynomy, jejichž koeficienty jsou z  R ,   dostávame.podíl a zbytek, jejichž koeficienty jsou opět z   R.
§ 3 : HODNOTA POLYNOMU,KO&EN POLYNOMU
Definice   :   Neclil' R  je okruh; f - a0   +  a\x +ľ. . . * a( x"   je polynom z   R\x\ \  (:6R  je pevný prvek. Patom prvek :
clo + a, c   +   ......+ anc"   e   R        '
označujeme symbolem   y\c)   a nazývame   li o ä n O t n u   p o I y n o m ii     f v   b o d e   c .                                   -■                                 .-'.j--.  'i»rt"
Je-íi / (c) = 0R , pak prvek  c  nazývame   koreň e pi  polynomu   f
Pozna'mka :        z definice je bezprostředně vidět, ře kazdy prvek^e, :G R  je korenení nulového polynomu  o   , resp. polynom stupne nula naopak nemáinikdy
žádný kořen.
Lineárni polynóm   / e \R\x)., t. j. polynom tvaru : ;,  ..    . „,_.;. Aiíí(.,
/=<10+   a,*              ,;    !.-.        .    (1(^.0   ..     ,,        ...,;.    i
v prípade, ze    a,    je jednotkou okruhu R   ,  ma jediný, kofén, ^ t.o, i;, c s a, .a0. Je-li tedy specielně ň    tělesem,  pak kazily lineami polynom z  R{X) ,;m,a,,prave jeden kořen.  Polynomy . vyssich stupňu pak obecne kořeny mít mohou, ale take nemusí, při cemz podstatná záleží' na okruhu  R .  Problem nalezeni kořenu polynomu je jedním ze  základních proble'mu celé algebry.  Obecrie vSák neexistuje algoritmus,  který by umožňoval koruny daného polynomu určit, _,;,.;(,. fc■, Veta 3.1.:   Ner;htr R  je okruh;  iieehť f g  e R[x].Pakplutf':
1.   je-li f =  g  ,   pak je   J (r) = g (r)     pro kaíde  r (é R
2.   (/+«).</) = fir)* g- (r)                                                ■ ■ -: ■ (/ ■- g) 01 = /'O') S V') I"'" kazd/. r. S R :<,i.i U-g)  (r)  " f (r) -S CO
[D u k a z   :   ad I  : plyne, ihned z předchozí definice,..
ad 2 ; dokáže se přímým rozepsáním,,; p.rovedmenši.toto napr.
-   27   -
pro souč'iii  /. g .
Nechť tedy  /'= (%, a......«n, 0, . . . ) ; g = (ŕ>0, b,.... , h   , 0, . . . ) . Potom :
/'. g = («,,(>o.   «n''i+ O|/'o.....     S    »,/>,, . . . )
odkud. :                                                                        >.''.,
(/ff) 0) - «„Au +   (a„ÍV+ a,h0).r +■■; , ■ + &   a.b.).>* +. .. =
»(a,, +«,r+...+ a„'").ft0 +(%.+ fl|i" + ...'+ afi) . ft,/- + .. . + (a0 + atr + .. .+ai")Jj'ŕn =
= (a0+a/ + ... + a/).(/>0 + V + --^/,,> =/(').ř(í)              ]   .
VČtn   3.2. :   Necht   R   je okruh.   Pak prvek   c £   R   je kolenem polynomu fGR[x]  práve když polynom   [x—(ň   díií f .
[D u kaz   :.  1. nechť c  je kofenem polynomu  /. Polynom   (x-c) je normovaný, stupně I, t. zn. podle   V.2.3. existuje praví jedna, dvojice polynpmfl q, r  e ,R[x\ :
f -ŕ {x-c).. a + r                         ■ .                si (r) < 1
protone vsak  f (c)   -   0 , musí. by t    r = o ,   a,tedy    (..v-c) \ f
II. necht" {x-c)\f,   t. zn. / =  (x-.e) . h , kde h S R\x). Pak ale                         fjc). = 0 .. Ji.(c).= 0
t. zn.   ľ je kořenem polynomu  /...].
Definice:  Nechť R  je okruh, nechl'-A .je přirazené Číslo., ,Prvek   c e. R ■se nazýva ■  k  ■  ním b n y   k o ľ e n- \,, (nebo lez   k o ľ e n   násobnosti    k   ) polynomu  j &R\x] . jeslliíe plalť: (i)                                (x-cý    I ',/•
(0)                               (x~c)k"Xf
Poznáíiika :   pri  k = 1 budeme ňiftíó "1 -násobný kören'"říkat téz   "jcdnodu-
cbf koreň". Dale, z definice dělitelnosti polynomu ihned piyne platnost následující
implikace:             .                    s  „.    „.                     , i
(x-cY I  /' pro pevne přir. cislo  a  •» (.v-«r \j, pro lib.   Ks ,
I  pftr.Éíslo. Specielní" tedy  (podle V.3.2.) : kaiídy    k - na'sobriy kořen polynomu
/ je kořenem / ve smyslu původní definice.--
Dále, jésttóe platí:   (x—cf-\f pro uejake-přirozené'cŕslo  s   , pak můžeme, říci, ze
c  je alespoň   ,v - násobným kořenem polynomu- J'(l. zn. kořenem násobnosti    s
■ ^.^ĹvV-^'-r^:.
G-í\
2 8
nebo vyšší). Při tom vsak zřejmé' násobnost libovolného korene nenulového polynomu  / nemůže byt větší tief stupeň" tohoto polynomu.
Vfta 3.3 : Neviď R  je okruh. Pak prvek  c 6 R  je   k ■ násobný in kořenem polynomu  f 6 R\x] pravé kilyz existuje polynom   liSíij.v)   takový, ze : f =   (x-t:)*. ft       ■',  á          h (O   #  0;.  .   ,
iDukaz   :   1. necht  c  je  fc - násobným kořenem /.  Vak  (x-c)*!/', t. zn, existuje íig R [x]   tak, £e   /'= (x-c)*    ft ■ Kdyby  ft.(c) = 0,  pak podle V.3.2.   (.x—e) I /i , t- zn.    ň = (x~c) • ft(,   a po dosazení:
/ »  (x-O* . {x-c) . /i,   =  (x-c)w. /i, t. zn. prvek   c  by byl álespbn  (fc+1) -  násobným kořenem polynomu /, coiŕje
spor s předpokladem. Tedy  /i(c) ¥= 0.
11. nechť /= (x-O*. ft', kde h (c) <ŕ 0 ..Je tedy {x-c)"\f. Dale, kdyby (x-c)k*' \ f , pak /'= (x-c)*''. g = U-O* .(x-c) . g , t. zn. dostávame :                      (x-c)k . h   -  (.*—e)*i'(x.—-c) .g
odkud podle V. 1.5., po zkrácení polynomem  (x-c)* dostáva'me : h ~ (x-e).g , t. zn.    h (c) = 0, co£ je spor. Tedy rriusí být  (x-c)k,')(,ľ a dohiomady dostáváme, ze  e  je  k - násobným kořenem polynomu / .) .
Věta 3.4. !    Nei-hř R  je Obor integrity ; iiechť f B R\x\   , f<ťů\ Jsou-li  c,, c j, ... ,  e   navzájem různé kořlmypolynomu  f o násobnostech fc,, fc5, ... , kn, pak polynom  f je dělitelný  polynomem ; tX--c,)*t.Us-c»)*»-. . . .•(*-<:„)*»
(D u kaz   :   provedeme matematickou indukci vzhledem k cislu    n   • Je-li n  = l ,   pak tvrzeni" plyne z definice  fc - násobného kořene. Předpokládejme, ze .tvrzení, vety platí pro   1,2,... . , n- 1 . Pak tedy : (X-e,)",.....(.v--c,,..,)*..-i    I /*
t.zn.
(1)   /'= (*-'',)
*„-l.    ;,             kde   ft S Al*)..
■ ■ (v--<•„ ..., I        ■ "
' i„<i lořenem polynomu   ft.   l,ebot Prvek    c„ pak ,nus, byt kořenem P   ^     _ ^        ^  ^^^ ^ fc
o=/(<"'=(ť""',)'" "ľ;;:'|":'u Neciu ü<iy<, * < - i^> ^encm"
«   je obor integrity  plyne    ft U„)     »-
-  29  -
Pak podle V. 3.3. lze psát :
(2)                   /i   =   (x-c,)' . ft,                 ;          /i,(cn)   *   0
Podle předpokladu vély a V.3.3. lze psát :
(3).              f =   íx-cj" . h2             ;        ih(cj   *=  .0
Tedy dosazením (2) do (I) a porovnaním s (3) dostáváme :
(4)      (x-c,)*'- . . .-{.X-c^,)*"-'. (x-c„)'. ft, = (*--£„)*« . ft,   .
Jestliže    fc|r   > í , pak po zkráceni polynomem   (x- c )'   dostávame:
(x-c,)'  .". ■ (x-cn..,)*"""'. /i, =(X~CH)"-' '. /i2 coäfvšak vzhledem k V.3.1. vede ke sporu (neboť hodnota.polynomu na levé' strand v bode  c   je nenulová, kdežto na pravé strané'je nulová). Analogicky dojdeme ke sporu pri   kn < I. Tedy musí byt   kn - I. Pak ovšem ze (4) dostáváme :
(x-c, ft ... (*--<.„_ ,)*""'. (x-c )"  i /                               I      .
Důsledek :   Nechť R  je obor integrity. Pak každý polynom /S R[x], stupni  m > 0 , má nanejvýš  »i   kořenů.
Přesněji řečeno, jsou-li  c,,...., c   navzájem různí) koťeny polynomu -f o násobnostech   k\, ... ,k   ,  pak platí :
k, + . ■ . + ku <  m
[D ů k a z   : nechť cu ■ ■ . , c jsou navzájem riizne koťeny polynomu f o násobnostech  fc,, . . . ,  k   .  Podle předchozí vety lze polynom / vyjádřit
ve tvaru :               h                 .,
/= (x-c,) '  . . . (x-cn)" . h   ,   h B R[x], kde zřejmé' h ť* o. Tedy :
0 < m   = st (J) = A:, +... + kn+. st (ft), kde ale  it (ft) > 0 . Pak je ale
m > fc|  +   . . . . + fc  , coff je zadaná nerovnost.   ]
Předchozí veta a jéji důsledek neplatí obecne pro libovolný okruh  R ,   t. zn. predpoklad o neexistenci dělitelů     nuly v  R    nelze vynechat, Jak ukazuji následující príklady.
Příklad 3.1. :    V okruhu  Z*M  uvažme polynom  /'-- x3 + 2x = x(x2+ 2) . resp. polynom  g  = 2x. Pak :
1)   polynom  /'nia dva jednoduché kořeny Q a 2, avšak součin x.(x- 2) nedeli  /' XI polynom  g je slupne I, ale ma dva různé kořeny   0 a 2.
-  30  -
Příklad 3.2.: V okruhu (ZX2) [v]   uvaťme polynom  f*> (1,0)*. Vidíme, ŕe polynom /je stupni 1 , ale mí nekonečné" mnoho různých kořenů, neboťzíejmíf každý prvek tvaru (O, a), kde  a £ Z , je kořenem /.
Víte 3.5 .:   Nech ľ R   je nekonečný obor integrity ; nechť f & R\x\, f'ť o . Pak existuje prvek   r & R   takový. íe f (r) ^ (í .
IP uk a.z   :   je-li /=£  p , pak podle předchozího důsledku mí polynom / nejvýše  m   různých kořenů, kde  »i = st CO  je pevní cele nezáporné" číslo.  R   mí víak podle pÄdpokládu nekonečné" mnohOiprvků, t,,zn.musf existovat prvek  i€ R , který není kořenem,{„, a pro nějřje tedy /0)j£0].
Definice:  Necht" R  je okruh,  /e R[x\ polynom. Pak zobrazeni : >Pf   :  R -+ R definovane'.vztahem ',4>ir) "/(r:), pro libovolné r G R, se nazýva polynomiální funkce polynomu f.                                                                ..;....
Je-ll   *  .:  R ,-» R  nejaké zobrazení,  pak *  se nazýva poly •             funkce,
je-li polynomiální funkcí nejakého polynomu z  R[x\, t.j. jestliže existuje f 6  R[x)   tak, íe    *   =  * .
Označení:   ncchř R  je okruh ;  symbolem  RR označujeme okruh funkď (viz pííklad 1.2, kap. 1.),  Dale nechť"!^ značí zobrazení okruhu  R[x\ do okruhu
RR  , definovane vztahem :
$T CO "■ 4r    .     pro. lib. f e R[x]
t. j. zobrazení", které' kařdemu polynomu přiřazuje jeho polynomiální funkci.
Veta 3.6.:   Nechť platívýši zavedenéoznačeníPotom : 1\   zobrazení3~ :   R[x]  -ti  R* je okruhový•homomorjiz.mus       ......
2.   mnolina-9" (R[x\)i sestávající'z polynomiálních,funkcí,  je. unitárním podokruhem okruhu  R"  . [D 8,k a %   :   ad 1. : necht" /, g  e R[x\   , pak pro libovolné' ř£  /!   je   : (SV+8)) (') = *WW = C + «) O') ■ /V) + g« =
= ^(ř) + *f(r) a r?"CO) C) + (JlslHO Tedy, platí" .^(/-tg)  =#\o +^(8)
-   3 1   -
Stejným způsobem se ukáže, zcj(fg) -.?(/) . J (g) , t. zn J'je liomonior-ľizmus okruhu  R[x]   do okruhu  R" . ad 2 ;a i 1: iz V.1.3 kapitoly   I. plyne, ze 3" (R[x]ý je podokruhem  RK . Zbyva tedy ukázat, ze je unitárním podokruhem . To vsak plyne ze vztahu :
gV)-1   6$Íäm)
. .'. .            .    "
kde   /  €  /?Í.xJ  značí jednotkový polynom   ].
Poznámka : zobrazení J1 obecné nemusí být injektiynía tedy nemusřbýt vnorením.  Ovsem v radé důležitých případů (na pl\ pro  R =*Z, resp. ß, resp. K) vnořením je, jak dale ukaiřeine. V těchto případech pak můíeme polynom ztotožnit s jeho polynomiální funkci"
Definice: Nechť R je okrulx. Říkáme, ze dva polynomy f, g 6 R[x] jsou funkčný rov n é , je-li <p = * , /./'. jinými slovy, je-li J\r) = g (r) , pro libovolné' r 6 R.
Poznámka : dva rovne'polynomy /=gjsou podle   V.3.I.'(cast 1) vždycky funkčné"rovné", opak vsak obecne platit nemusí Vezmeme-li na pfTv Z3[x] polynomy    f^x3+x+\      ;     g = Zv t 1     ,  pak zrejme' fJ=g, ale/(O) = g(0)= 1, /(') = g (1) = O, /(2) = g (2) = 2   ,   t. zn. polynomy / a g jsou funkčné rovné'. Následující veta udava dostatečnou podmínku pro to, kdy oba tyto pojmy splývají.
Vříta 3.7. :  Jeli R   nekonečny obor integrity, pak dva polynomy z  R[x] jsou rovne pravé kdyi jsou funkčné rovne.
[D 5 k a z   :   předpokládejme, íe  R  je nekonečný obor integrity. Nechť polynomy fg & R[x] jsou funkčné"rovne', t.j. / (r) = g(r)   pro lib.  r SR. Uvažn« polynom  h = f - g.   Zřéjméfje :
h  (/•) = (/-g) (r) - / (/) - g (r) - O pro kazde' re R, odkud podle V. 3. S. je h - o , t. zn. /— g <* ö  a polynomy f, g   jsou rovnej  Naopak, dva rovne polynomy jsou vidy funkčnéfrovne podle í. části V.3.I. ] .
Důsledek : Necht"   R  je nekonečny obor integrity.  Pak zobrazení J> z V.3.6. je vnorením okruhu    R [x]   do okruhu   RR .
-   32
(Důkaz   :   jde o primy důsledek V.3.6., V.3.7. a definice zobrazeni-T \. Vidíme tedy, ze nad nekonečným oborem integrity můžeme ztotožnit daný polynom s jeho polynomiální funkcí, jak se to běžně dělá např. v matematicko analýze, kde se s polynomy nad tňesem reálných, resp. komplexních Eísel  pracuje jako s reálnými, resp. komplexními funkcemi. Obecněji lze takovéto ztotožnění provést např! nad každým (netriviálním) číselným okruhem nebo číselným tělesem, což obojí jsou nekonečné' obory integrity.                            -ř.,,•'.:■.;,'i
:'.:■•:
W'í"
- 33   -
§ 4 : DĚLITELNOST TOLYNOMU, NEJV.ČrsYSPOLEČNÝ DĚLITEL.
ÚMLUVA :   všude v tomto paragrafu predpokladáme, ze  R   znacľtélepo.
Pojem dělitelnosti  polynomu byl definován nad libovolným okruhem na konci § 1. Je-li vsak R   teleso, pak  R [x] je obor integrity a můžeme tedy použit všech výsledku, které jsme obecne o dělitelnosti odvodili v § 2 kapitoly   1.
Poznámka : Je-li 5 libovolně nadtěleso tělesa R , pak můžeme polynomy /; g £ R[x\ zřejmě'uvazovat térjako polynomy v SLx] á vyšetrovať jejich dělitelnost v S[x]. Nedostaneme vsak nic nového, neboř při dělení polynomu s koeficienty z tělesa R dostaneme podíl i zbytek opět s koeficienty z R ',' t.j. vlastnost polynomu g byt dělitelem / nezávisí na tom, vysetrujeme-li ji nad tělesem R nebo nad libovolným jeho nadtelesem  S   .
Veta 4.1. :   necht /, g & R[x) jsou polynomy takové,   ťe f^o  a  gl/. Pak platí:                     st (g)   *Z  st U)
[D fi k a z   :  je-li  gl/,  pak existuje h B R\x] tak, že /= g.h . Poněvadž f =t o ,  musí být g, h  *ť. o ,  t. zn. stupnif všech tří polynomů jsou cela nezáporná cisla, při cemz podle důsledku V.1.2. je :   jí (/) = st (g) + st (h). Je tedy   st (/)  > st (g)     ].-
Věta 4.2.:  Nechť f, g e  R [x] ; pak následující výroky jsou ekvivalentní:
(a)    / ~ g
(b)   /Ig, gl/
(c)   existuje prvek   c S R,   e ^ 0   tak, ze :  f = c.g
[D ú k a z   :   věta bezprostředně vyplýva' z definice asociovaných prvku, z V. 2. 3. kapitoly I. a z V. 1. 4., uvázíme-li, Že v telese je jednotkou každý nenulový prvek. ]
- ^ \. föaainKnaBUB»
34
Větu 4.3.1 Nechť pro polynomy z R [x] platí:   g | /",, .' ;>. ,g \fk  (lid? k
je pevne'přirozeně číslo) u nechť h,.....hk  jsou libovolně polynomy z  R[x\.
1'ak:       '    '                  :..'..  -.- ■ -< u.--.r      .                 ...-.            .    ,, .
Ä I (/,./i, + . ..+ f„.\)
1 U:5k á z;ř:  tvrzení je.specielním případem V .2.1 .(část 2) kapitoly!. ] -
Take' pojmy společný dělitel a největší společný dělitel množiny M , studované v.kapitole l.,lze opět přirozeným způsobem přenést na polynomy nad tělesem R . Omezíme se .tentokráte na případ, že M je konečná množina.
', , Definice: Nechť /t,,/,,... ,fk e R\x] ; je-li   h\l] (í = 1,.'.'. ,k), pak polynom   h. se,nazývá   společný   dělitel   polynomů   /, ,. . . ,-/  .
Definice: Neclit" /i,.«. ,f BR[x].  Pak   největítm   společným dělitel e in   (zkrácení: n. s. d.) polynomfi  ft,. . .,/'   nazýváme polynom
d 6 R [*), pra /iě/2 p/utí.
(i) d /e společným dělitelem polynomu   j\, ■ ■ ■ , fk
(ii) jeli  h(í R [x ]  společným dělitelem  /,,..-,/.   pak je  h\d .
Věta 4.4.:  K libovolným polynomům  j\,. . :Jk€.R[x]   (k  přirozeně číslo) existuje největší společný dělitel,
[Důkaz:   je-li  /, = /, » . . .« f  = o . pak zřejmě   o   je jejich největší společný dělitel. Necht" alespoň jeden z polynomů   /,,... ,/t je nenulový.
Označme:
M - [J\.h, + ... + fk.hk I /i,,. ..,/ifc e/?[*]«>.  )
Množina M  má zřejmě tyto vlastnosti:
(«)  /,6M  , l»l.....k
(P)   jeli Ki.KjSM , pak též g, Í^P-M
(.7)   je-li j; £ M , (/ E /í I v] lib. .   puk g. r/ S M Vzhledem k tá) obsahuje množina  M  nenulové polynomy; mezi nimi existuje alespoň jeden nejmenšího stupne. Označme jej c/U) .
-   .15   -
Nechť g E..M   lij)., pak pudle dfisledkii V.2.3. existují  q, r 6 /?l.v| tak, žV. :
g - d.q + c         ;    sf (c)   < jŕ id)
7. (0) a (,7).vsak plyneife rS.M a vzhledem k.tpmu, jak byl vybrán polynom d, musí'hýl r= o. Pak d Ig, t. zn. specielně' c/1/( , ./'= 1, . . . ,ä r;,Tedy d je společný dělitel f,.....f
Je-li  h 6 fl[x[  společným dělitelem li,.....(k,. pak podle V.4.3. h\g-pro
libovolný polynom  g 6 M.Specielně' tedy. It Id. ■-.
Dohromady dostáváme, íě  d(x)  je'n:-s..d. polynomu  J\,...../      |.
Vět» 4.5.: Množinu všech nejvítštch společiiých dělitelů polynomů            ' ' ■
/,...../.   6  R[x]  obdriňne jako mnoítnu viech nenulových konstantních
násobků jednoho (libovolného) největšího společného dělitelé polynomů
u.....a-                                '" "l  äi       :
.-. IDľiíťk'az vJíVetavjeiSR.ecielníŕn případem .Y.^.ti. kapitoly!, uyedomime-li si, ze'k (polynomu .d'E /{fxJoj>^M.i^^9,úo,Y^y,l^l^v&Bf^nQniy),tvaru  e.d(x),,. kde c;6R, cV= 0  ].                                                                     .„,;...■.. , ,;
Důsledek :"' K libovolným  k  polynomům '/,',".". . ,>fk'é"Rlx], z niclu alespoň jeden je nenulový, existuje pravé jeden noŕmôváný'tíějvňs1,špble'c'ňý'5■•,', '"■■ dělitel, Tento normovaný' nejvřtsf společný dělitel'blídeme v'dalším''tfzfiáčovať'■'■.'" symbolem  (/,,.,. ,fk).                     '                           n j,..t..    ,.„-.,,,;,..  .
[Důkaz : jde o príniý důsledek předchozí vety ' ]. •    ■.' '        '.•'   *<»*;&*> '
Požři/rrika':' VitlítfrC.té n.s. d.koneč1|élip,p0ftu;;ppljfnp|iio vídy ejxiš|Lijc, ale ie není' určen jednoznačne (s výjimkou případu, Že  R je dvouprvkový teleso, sestávající'z   0 a I ),   resp. je určen jednoznačne^azfjia asociovanost. Navíc, důkaz V:4.4. nebyl konstruktivní, t. zři: nepodal-návod!k výpoctu,n,,is. ri. .Tento si,jiyni ilVetíemé' přo' dva polynomy •■)'/■ g é R[x),,y. .:iiÍĽhží.alesp^)^eÍJen jp nenulový. PcVtílřitffrtiftfbda, kteráže založena na opakavanemidéjcnipolyponiů, se nazýva Hukleidův algoritmus.           -"'V  -.i.-tf.i:   :-..■(;',.         -'řř./''-»; >.t           .,-.,      .    ..v
Vy po r i t m e m
36
•    r   coii-1   c ukleld ovým 'al8°-iet   n.s.d.   polynomu  /,g£«UI   "«'
n e m '           ■   .  ,           hf nanr   . * o ' P«k podle důsledku V ,2.3. muzeme
Necht" f.gBR [X] a necht napr. g * o .
provést následující delení polynomu:
+ y, ,   ií(f i) <i'Xg)
g    -r,  .f, * '=. «»W<*W r,    -r,..,,„.**   ,   *(ft) ««<*>■
(D

Jřtó<s'(ř,.,)
ph čemž'zbytek v posledním delení je nulový. Po konečném počlu krokOi musíme skutečné" k núlóve'mu zbytku ďojít; ŕiebof porovnaním- nerovností na pravé'strane'.-, vztahů (1) dostáváme :■•      . .                                                                     :•-■■,   ,\
sr(r,)>5t (ra)>    . . ., . > st (r   ,) > st (»•„) . Dokážeme nyní, že polynom  rfc ,t. zn. poslední nenulový zbytek v posloupnosti dělenř(l) je hjedany'n. s. d. polynomů fig.    .
(i):   z poslední rovnosti v (1) plyne, že  rk I r.-. Uvázúne-H, Že triviálne' platí C   lrk,  pak z předposlední rovnosti,'podle V.4.3. plyne, že rk 11^ _ . Analogický dostávame, že  rk I i^.., , , . %td, aáf. rH\ g  a  r^l/.Tedy  rfc je společný' dělitel polynomu  fag.                                                                                               ;    ■■
(10 í'ne'cKt" 7í e/?tx]l přicerriz  ftl/íjíftl g   Pak první rovnost, z (l) mateme,, přepsat-ve tvaru r !- * -r-                        uy<<r..                        .•„.. ,. ^.j^,, ,,,,.,   ,.;    ,
a užitím V.4.3. dostáváme,íe  /ilr, .Podobne'z druhé'rovnosti, vzhledem k .tomu, ze  ň Ig  á  /( IV,. uíítmVV.43. dostavárne, že  /i I /•,.. Takto postupujeme ..dá1?, a/nákóhécz předposlední'rovnosti v (I) dostávame. Že  /íl /^.Txdy ukázali,jsme, ŕe polynom   rk je největším společným dělitelem polynomu  /".a  g.               ...
iítika í vzhledem k tomu, že Euklcidfiv algoritmus uäŕiva pouze děleni
Pozná
-   37
polynomu, největší společný'dělitel dvou polynomů  /, g £ R\x\ nezávisí na tom, vyšetnijerne-Ii jej v R[x\ nebo y S\x],   kde  S je libovolné' nad těleso .tflesa    R. ľresnéji receno. je-li  d, největším společným dělitelem polynomu f*.gvS{x), pak existuje největší společný dělitel   (/   polynomů  / á  g, který je asociován s d, a je   i/6fi|i].
Poznámka : v F.ukleidovíf algoritmu (1) používame pouze délenídvou polynomů. V konkrétních případech se pomerne často stává, ze v průběhu takového dělení dojdeme k "nepříjemným" zlomkům. Na pr. mámc-li nad polem   R reálných císél dělit polynom  /= x*".+ v2 — X + 1 polynomem g = \5x2 + 5* + 10, pak :
( x"           + x1     -  x  + 1 ) : ( \5x7 + 5x+ 10,)
45        135
--i'i^VÄ1	
l,:-..MI..,. + íx3*í-x2 3      9    .	- * ■ t.   1. A 9
«a 9 -V •2   ;	-IX  +   I 9 ±4-x ± -8 ■  27  .      27.
.    .  ,!	27        27
Z V.4.5. a ze vztahu ()) je vidět, že v Eukleidovfalgoritmu je jedno, zda k výpočtu užTvánie zbytek   r. anebo jakýkoli jeho nenulový'konstantní násobek. Tedy, v kterémkoliv kroku kteréhokoliv děleni'v Eukleidově algoritmu lze násobit kterýkoliv z polynomů libovolným nenulovým prvkem z tělesa   Ä.-Nn předchozím příkladu ukážeme, jak se tím urychli vypočet, zejména při ručním počítaní, Z uvedeného buue patrný i způsob zápisu.
-   30
UČ.____'+ x% ■-: jf.'.t M- USť-A.ift±.lJB) {*.*.».-4.                .;•
3.x:4        + 3x2'-3x +   3           3x2 +   x +    2                                                  ...
^3ii±^iÍÄÍ__.__:__                  "" ' ' ■ ■■•■'-                              ■■■•■ .....-■
-.x3 +   x*—"3* +   3                                                                        '    M
3.x3-3.x2 + 9.x    - 9
—J=3jéi±'.x' i-lt-______,_':  '''"•                                                   ../.■■■■.wi-.H
:, -12x2+21x-27   .   . T12x2T    4xT     a i, ,                     25xr 19 - r'           .         ■''"'■'
pfi tom    r' - 25x - 19  je polynom asociovaný k zbytku po dělenípqlypomu    f polynomem  g. Dale je ovsem vidět, ie uvedenými úpravami sŕ'ziťehadnojC" podíl daného dělení,  foí vsak výpočet n. s. d. neovlivní, neboťv Eukléidoveíálgofitmu pracujeme pouze se zbytky.
Příklad 4.1. :   V QUI  naleznňe n.s.d. polynomu / a g , kde : /-  x4 + 3x3 - x2 - 4.x - 3 ,    g = 3x3 + I0x2 + 2x - 3 .
Řešení :
(   x" +   3x3 -   x2   - 4x -   3) : ( 3x3 + 10.x2 + 2x'± 3 )   | x ■' 1
3x4 +   9x3 -  3.x2 - 12x-   9 r;3x4±10x3   ±   2.x2 T    3x
. 'lr.il.   t3- -^.««r-r-. M
3x3   + l?*' + 27a'+T7 „3x3   ±   10x2 t    2.x T   3
(5x2 + 25x *30) - r,
39
( 3x3 + 10x2 + 2x - 3 ) : ( 5x2. + 25.x + 30 ) | 3x,-Š
-3x3..± 15x2 ± 18.x       x2 + 5x + 6 - 5x2 -)6x- 3 T 5x2 T 25x Í30
• ( 9x +27) - r,
(x2 + 5x + 6 ) : (_9.x_+27)' | x, 2
-x2 ± 3.x______   x + 3
2x + 6 - 2x ± 6
Tedy,  r3 = 9x + 27  je největším společným dělitelem polynomu /aj, resp. normovaným n. s. d. těchto polynomů je pak  (f,g) = x + 3
Veta 4.6.: Necht" f, g 67? [x], z nichž alespoň jeden je nenulový. Polom: 1. existuji polynomy u, )>6/?[x] takové, Se platí: (2)                               /. h'+ g. i-   =   (/ig)                   : '  '
l.jc-ltnavk  st{f.),st(g)> I , pak lzepolynomy u, v ve. výrazu (2) vybrat tak, že: J/(/)>.5í(ľ), sf(g)>,í((i<)
|D ů k a z   :   ad I ; nechf na př.  gi= o   ; pak z rovnic (!) Eukleidova algoritmu dostáváme :
i,        /"j im f— gU\-!}!\ +g-Vi  , oznacTme-li   u, = 1 ,   ť, = —«7,
; h = s -(/"i +«-''.i,)vi -A-»i<fj)+«(i-''i?i)*/«i +*"j >
pznačnne-li  », = -u,^,,   Cj'= 1 — i'ť?j ■
Tímto postupny'm dosazováním pokračujeme dále, ní nakonec
dostáváme (po patřičném označení) :
'•*"/•'«» **'»»•
Podle předchozího je však   r, n. s. d. polynomu   /'ag. Nečhř  r
je vedoucí koeficient polynomu   ř.   Pak   :
;.; :" "-í-.....;
(f.g) = C'. rk » / . (ť i, U(i) + g ((. i ,,k , =   y „   +   g ,,     f ozna&ue-li   i/ = ť'nk,      ľ - cr '  v. . ad 2 : nechť si (/), si (g)  > 1   a nechť u. v  jsou polynomy  splňující 121 Nechť st (u) > st  (g). Podle důsledku V.2.3. lze psát :
u - g.q  + r   ,  kde  si Ir) < sř <g) Dosazením do (2) dostávame :
( fJt)mí (89 + ľ) + gv  - /r + g (fy + v) kde polynom  r  má ]ií poradovanou vlastnost. Tedy muíeme predpokladal,  ze  n,v  jsou polynomy splňující (2), pfi Černí, si (g) > sl(u). Dále sporem ;   nechť si (v) > st (/). Pak je i
st (g) + si (v) > si (u) + si (/), neboli s/ (g.v) > s/ (/li) , odkud plyne, že musí být :   s<  (f.u + g.v) » si (g.ľ).
Pak ale j sf ((/;g)) = st (f.u + g.v ) = s( (g.v) ■ si (g) + si (v) > Hslíf) *•->  sj (/)   ,   coí. je spor, neboí podle V.4.1. je st ((f.g)) <, st ( f). tedy  st (fí > .« (v),   c.b.d. j', .           •'- 1
Poznámka :   z důkazu 1. ea'stt předchozí vety je vidít, ít pfl konstrukci polynomů  u,y  splňujících (2) pouííyáme kromS zbytky i podíly delení z Euklei-dova algoritmu. Pii konkrétním výpočtu nelze tedy v průběhu delení násobit libovolné nenulovým prvkem z R Jak tomu bylo při hledaní n.s.ď.
Príklad 4.2. : V Q\x\  naleznete polynomy  u\v, splňující (2), je-li dáno -   ■   - i  _ Ov _ 14
= x* - x'
f-x
+ 6»'
■ 9x - 14
3 — .x2 + 3jc - 10     ;     g ■ x° + oj,-- ?a -■ , . Řešení :   pomocí Eukleidovu algoritmu hledáme n. s. d. polynomu f a g , pfl Stmí si průbíáínť označujeme nalezené'podíly a zbytky. Zde dostaneme Ipo výpočtu) :                                                                                  :•••.<..-.'
/•»g.fd+ľ,   ,  kde  q, ■ l,n ■«-í** + 12* + 4 f«yt'-fi+«^ retell  ff| s= <Jr«~"fj  ! r? "^
Tedy : (jis) ~ r5 * <*-.Lí pľl říinlUpítrijrm vípp?t«m najdeme ppiynpmy m.v
_42-
235
^^.^.JÄÍ-^-er-MiMi
235
235'*     235
41.
49      ..l.í-JS +-^- <řr</i>' =/H" 235  ^'           «5      235
41   -
49 235	Qi	7 235	X	+	54 235	
49 235	+	49 , --- 1 235	i<7:	i =	235	x —
Pak
235
Definice:  Polynomy f,g G R[x]  nazývame nesoudila/, je-li  (f.g) = 1
Věta 4.7. ;   Nechť' f,g S R[x] ;  pak polynomy  f,g jsou nesoudíln/,:prav/' kdyí existujípolynomy  u, v € R [x ], spliíujfcí:'                                       :■.:■   i* •
(3)                                         ' f.u*g.v »1-             ' |   ■
[D u k. a z :  jsou-li fg  nesoudéWj pak z předchozí definice a z V.4.6. plyne (3). Naopak, nechťexistujípolynomy  u,v € R{x],  splňujíc/^). Pak zřejmá'ales-porf jeden z polynomů fg je nenulový a tedy existuje nonnovany n. s. d. (f,g). Z definice n. s. d.   a z V.4.3. plyne, ze (f,g) \fu + g.v = 1, a tedy (/,g)= 1   ]   .
Včta 4.8. :  Nechť fg.h G R [x]. Pak platí :
1.   (f,g)" 1     ,  «*)- i       **       or,*/0- i
2.   h \ f.g          ,    (ň,/) =1          »          /ilg
3.   gl/,   /i I/,     (*,/>)= 1          -»          g.h \f
[D ú k a z : ad 1 : je-li (f,g) = 1, pak podle V.4.7. existují u,v e Rix), splňující (3). Po vynasobenf(3) polynomem  /i   dostáváme :
(4)                    f.u. h + g.v. h = h
Nechť í S R[x]  je polynom, pro néjz  q If;  q I g./i. Pak ze (4), podle V. 4.3. je q I li. Tedy také" q I (/i/i) = 1, odkud vsak dostávame, ře (f, g.h) - 1.
ad 2 :   Z předpokladu (/i,/) = 1 podle V.4.7. plyne, Že existuji' u,v£R[x)  tak, ře
h . u  + /. v    = I odkud po vynásobeni'polynomem  g  dostávame :
(5)                   h.g.u  + f.g.v    -  g     •
Ale    /i I h ,   h I /g,   t. zn. z (S) podle V.4.3. plyne, ú  h\g
ad 3 : podle predpokladu je  g (/, t. zn. existuje polynom í?, SfiU)   tak, ife                /=eíi
^-^
-   42
. da!e Podle predpokladu je  »U«, , rf ** ** W = '" ™ "°d" "*« dokáW «U 2. Je * I 4.. «boll  „ - M, . P« ^akr „ e K(rl • Po dosazení dostávame :
t. zn.   «./i I / 1 •
y  .      n   /.e nivi  oolvnomy nesoudílné v R [x 1, Na zívírjeíte-poznamenejme, yejsou-li f.gZRM PPiyn my
pak ft jsounesoudeVrovnňív Six], kde S .]. Hbovo.ne nadtfleso, telesa, «, (Jak plyne z Eukleidova algoritmu a z definice nesoudělných poiynomu).
-   43   -
§ 5 :   IREDUCIBlLNl'pOLYNOMY, ROZKLAD POLYNOMU.
ÚMLUVA :   VŽude v tomto paragrafu predpokladáme, že R značí teleso.
Pojem reducibilního, resp. ireducibilni'hb prvku, definovaný v kapitole I.,, lze opít přirozeným způsobem přenést na polynomy.  UvSdomme si jen,  feje-li R teleso, pak jednotky oboru integrity  R[x] jsou právŕ všechny polynomy stupni 0, resp. navzájem asociované polynomy musí mít stejný stuper(plyne z V.1.4., V.4.2. a z důsledku V. 1.2).
Definice: Nechť feR[x]\st(f)> 1 . Řekneme, íe polynom f Je   ředucibilní v R[x] (nebo tél nad tllesem R), jestlile existují polynomy g,hS.R[x\; Ksi(g), it(h)<st(f) takové, h platí:                                      ♦ •.
/ = g.h V opačném připadl říkáme, íe polynom f je  Ireduclbiluí v R{x]"(nebo též nad tílesem R).
Poznámka : Vidíme, ít předchozí definice Je specielním případem definice reducibilniho (résp. ireducibilního) prvku z §2, kapitoly I/Pak tedy ni při nazáklade' V.2.5. kap. I müäreme fiel, Že polynom  / Je ireducibilní(respi reducibilni) nad i? , pravé kdy£ c.f je ireducibllní(resp. ředucibilní) nad R , pro lib. cBR,c^O.
Příklad 5.1.: kaáídý lineami polynom f€Jt[x]jeireducibilnínad tňesem R, Jak vyplýva přímo z definice. ". OpáČna'implikace obecnéfneplatí, Jak ukazuje následujícípfiklad.
•   Pfiklad.5,2.: y R[x) Uvažme kvadraticky polynom f = x2 + l.Pak /je zřejmá ireducibilnínad tělesem R.
Uvazííjeme-li tentýř polynom  /= x2 + 1 jako polynom z KM, pak /je ředucibilní nad K, neboť f = (x + l)(x--l)
Poznámka : t předchozího príkladu Je vidŽt, ío při zjiSřování reducibility íi ire-ducibility podstatní záleiTna télese, nad nímíf pracujeme a je tedy nutne, zejména v případech, kdy by mohlo dojít k nedorozumění, výsloyní'uve'st, nad kterým tělesem je daný polynom ředucibilní, resp. lreducibilni.
-   44   -
Obecné pak platí následujícívěta.
Vela 5,1. : Nechť f& R[x] a nechť R, je libovolné iiadtéleso lílesa R. Pakplatí:
1.  je-li f reducibilnív R[x\, pak je reducibilnív Rt[x\
2.  je-li f ireducibilní v Rt[x\ pgkje ireducibilnív R[x) .
[Důkaz:   1. cast vrty plýné ihhéd z definice ä2.Část je půužé logickým důslisd-kem 1. časti].-:  '     ;'  •■-■**"•' f                    ■•"'   w-fiiw* .wti/uUm     :c-sc
Víla 5.2.: Nechť f,g £ R[x) ; nechť f je. ireducibilnínad R. Pakjě buď(/,£) = 1 neboje fIg.                                             ■ •:•'■-*
ID ů k a z : necM piat/pfedpoklad vrty a niäcľif il.l)t1 ■ p»k f®4 hvl si '(/,?)) > 1. Zřejmí'lze psát:f - {f,g).q ; protoře však / je itedweibiinipolynom, mus/b/t 5<(9) = 0. Označíme-li q(x) = c e R, pa'.; c*0. a můžeme psa; (/,g) = c~'./,t. *n. f\(f.g). Zfejmŕfje {f,g)\g a i transitivity relace dělitelnosti pak
plyne: /If],
Vé'ta 5.3. : Nechť'fe,R [x) i pofc následující výroky IsOU ejcviyakltjní} (&) f je ireducibilnív.R[x]    .                     ■:.-,-... .„         ;:-! „.'.•.
(b) ■je-11-ßg.li, kde g,h&R[x). pak.f\g mbo..f\hz        .,,.•.'..'.,. .„,-■ 4[Di5.ka.)51;ii".(5)l'*f(b)rf.: nechř/.jejreducibjlnUnechf/-Ig.A,/^ . Pak podle V.5.2. je {f,g)= 1 , t. zn.podle V.4.8. (cást2)je /|/i.    .
::.U'i .,"(b).'*(a).'v: i sporem; necht" plat! (b) ,a .necht",/( Jg r?duc.ib(ilni. Pak existují polynomy g,hS.R[x]t, 1 <st(g), st(h) <st{f) takové, že platí: f = g.h. Tedy triviálně je /1 g. )i a podlé*V.4:l" /^g. /^/í ^t/zh/dostávaťríe lp6r s platností (b). Polynom / musí tedy být ireducibilní. ]
Důsledek:  Necht" f je ireducibilní v" R [x] a 'necht" g,, ...,£€/?'*" 'tik, ze: Pak existuje přirozené číslo /t':. 1. «%$,,<$ tak, že /|,gt .
[ D ú k a ž : důsledek plyne bezprostředné z V.5.3. užitím matematické indukce.
-  45   -
Víta 5.4.: (" Véla o existenci a jednoznačnosti rozkladu na ireducibilní polynomy") Nechť f e Rix], st(fi> '• Pak :
1. polynom f lze vyjádřit jako součin konečného počtu ireducibilních polynomu nad R,  t. zn
(i).....-'•■': 7=pr.---pr                                                    .-h«,^:
kde p.je ireducibilní polynom v R[x],   i = 1.....r '   ■               <><:  •
2. rozklad (1) je jednoznačnýaína poradí činitelů a asoclovanosl, I. zn. je-li
(2)                     ■••• •/*'«,;■.-... ?,
faře q tje Ireducibilní polynom v R [x], í= 1....., s, fiafc/e K= s a po vhodném
přecTslovďnrčihileláv (2) Je p^ qf; i = \, ..'. ,r:           >.,.'»•-:.   . ■■■• -ii/ -;'•!-.•;
[D 8 k a z : ad 1 :  existenci rozkladu (1) dokážeme matematickou indukcí vzhledem k stupni polynomu /. Je-li st if) = 1, pak podle příkladu 5.1. je  / ireducibilní, t.sn.Ja va tvnru (O. PÍédpokla'dHJmB.íé tvrzeni platípro polynomy stupni" 1. 2. 3,...', n—1.  Necht st (/) = ti. Je-li /ireducibilní, pak je jii v žádaném tvaru: Nech"-tedy / je reducibilní. Pak existuji polynomy g,h GR[x]j  1 < st (g), st(h) < si(J)=n tak, že f=g.h. Podle indukčního "předpokladu exlstujílreducibilní polynomy
Pí.....Pf, PA,,...pre KUttak.ře:            ■■-■   ■            '■<".-: vw&Htte^.
g =p, .....p,   .        í»^, ...Pr
odkud po dosazeni dostáváme  :   / = z>, . . . . p.. p    . . . pr, t. zn. /je,ve tvaru (1).
ad 2 : jednoznačnost rozkladu dokážeme opKt matematickou indukci vzhledem k stupni  /. Je-li  jf(/)=l, pak jednoznačnost rozkladu (1) je zřejmá.-Předpokládejme, ze tvrzenřo jednoznačnosti platípro polynomy stupne' 1, 2,.. ,;i-l. Nechť" st (/) = n a nechř (1) a (2) jsou dva rozklady polynomu / na ireducibilní polynomy, t. zn. pak :
(3)                    ,.}    Pi-Pj ■ ■   -Pr - <i\Hr-----1,
odkud plyne, že  p, \qx ... q . Podle důsledku V.5.3. vsak existuje přirozené' cííslo
/   (L«S,í .«Si) tak,!re p, I <7(   . PřéKíslujme polynomy q< tak, ze budepx \qx.:
Z definice ireducibilnilio polynomu vsak potom plyne, ze p, ^ g,, t. zn. existuje
c, SRi Ci #0 tak, že q, = ct.py. Po dosazenído (3) a vykráčeni polynomem   p,
pak dostávame :
Pi-Ps • ■ -Pr = Cl-<.J-?3 ••■<?, Podle indukčního předpokladu vííak odtud dostávame, ze r-1 = j-1 , neboli r = j
m
i!il
a po vhod ne'm přečíslování: p, -v c,q,, t. zn. rovnél p3 -v q,  a dale pak p^q^, ■ . . . . ,pr^tq'\ Tím je veta dokázána. J
Poznámka ; z dosavadních výsledků tohoto paragrafuje vidéVznaČha' podobnost mezi úvahami o rozkladu polynomů na iréducibilní polynomy v pbpru integrity R[x] a známými u'vahamŕp.r.ozkladir.celelio óTsla na prvočísla. Skuteční', obecnílze ukázat, že okruhy R[x] a Z jsou specielními případy t. zv. okruhu s jednoznačným rozkladeni. Na rozdíl od rozkladu přirozených nebo celýcl^íísel naprvoííslá je však praktický výpočet rozkladu (1) pro dany'polynom fBR[x] obvyklé pfiiis'.kpmplikpvany. Je dokonce mnohdy velmi obtížné' vůbec rozhodnout ó polynomu f&R[x] zda je nád'tejesení ' R ■ ťéďucibiľnffi Iréducibilní', t. žň. pödat pro dane'teléso   A výíerpá-vajícícharakterizači iředučibilhích ppíynomů z R[x]. V dalším séřiání to v tiékterých konkrétních případech pódarTínapř. přP R *=K, R = 7?) a v ň&téřých nikoliv (např^ pro   R-Q).
Dáte se nyni budeme, zabývat takovými,tflesy, nad nimirje charakterizace iredu-cibiirtích polynomu jistým způsobem nejjednodušší
Definice : TÍleso Ŕ  nazývame   algebraicky    uzavřené, jestliíe kaídý polynom féR[x],  st{f)>\ ,  má v R  alespoňjeden kóíen:
Veta 5.5 :  Nechť R  je tíleso; pak následující'výroky jsou ekvivalentní':
(a) ľ f eřeio. R  je algebraicky uzavřené
(b)   kaídý polynom  f S R[x], st (/)> 1, lze Vyjádřit ve tvarii součinu lineárních polynomů z  R[x\ .
(c)   iréducibilnípolynomy vR[x] jsou práve víechňy lineární polynomy.
[Důkaz: "("á) r* (b)": dokazujeme matematickou indukcí vzhledem k st (/). Je-li Jí CO = 1, pak /je lineami' polynom a výrok (b) platí    ^ Předpokládejme, z6 (bj platí pro polynomy stupni" 1, 2, . . ; , ii-l. Necht st(f)=n. Podle (a) existuje kořen  cG R   polynomu  / , t. zn. lze psát : f= (.x„t) . q, kde   q £ R[x),   st (q) = n-\. Podle indukčního predpokladu lze víak polynom   q   napsat jako součin lineárních polynomu z  R[x) , t. zn. po dosa-
-   47   -
žení dostáváme žádané vyjádření,
"(b)  ■»  (c)" : kaídý lineární polynom je v  R[x)  ireducibilní(viz příklad 5.1.). Naopak, z (b) ihned vyplýva', že kaifdý iréducibilnípolynom t R[x]je lineární.
"(c)    ■»  (a)" : nechť f e Rix], st (f) > 1. Provedeme-li podle-V.5:4.::rozklad polynomu / na iréducibilní polynomy
/■=p,  . . . . .  pr                         .                   .•-.»;..,= ,
pak podle (c) jsou polynomy pt lineární., Vezmeme-li libovolný z nich, napif. pt, pak />, ma v R koren (a' to jediný, podle poznámky za V.3*.l.), kterýje zřejmé' také' kořenem polynomu  /] .
Vřta 5.6.: Necht" R je algebraicky uzavřené tíleso. Pak kaídý polynom f € R [x], št (f) = ;i ~> \ má v R praví n korinů, poíitáme-ll kaídý kořen tolikrát, kolik je jeho násobnost.
[Důkaz: podle časti (b) předchozí vity lze polynom / näpšätjako souíín lineárnfch polynomu, kterých viak musí být praví* ;í''( vžhiédém k důsledku V. 1.2.) a kaídý z nich mí v R   právé^Jeden kóren, kterýje za'foverí kořeném'}'.  Odtud ' pak užitím definice násobného kořene plyne tvrzení, j.                     ;
Vidíme; ze z nejbíznéjipouřívaných teles flapři telesa ň  a  Q   ;nejsou algebraicky uzavréhĚÍ (ňěboť napři polyhom /= x? í-+ 1 .; zřejmé" .nemá Ä'dný Jcorén v Ä   ani v  Q).   Rovněž" teíesa zbytkových tříd  Z    (p   prvočíslo) nejsou algebraicky uzavřena, jak plyne z následující vély.
Vrtá 5.7.: Nechť1 R je konečná teleso  U. zn.  R  ma konečne'mnoho prvku). Pak teleso R  není algebraicky uzavřené.                                  .-.'-..  ,,
[Důkaz:   nechť R je těleso o m   prvcích  («7>T), kde R = ,,[a, ,...^„). Pak polynom :
/ =(.v-a,)(x-;d,)   . . .{x-aj+ ] . zrejmí patří do  R[x], platí si   if)> 1 a při tom /nemív R   zadný kofen, neboť J[a/) =1   * 0 , pro kačdé" a, S R ■].                                       ,,....
40   -
§ 6 : DERIVACE POLYNOMU, TAYLORUV ROZVOJ, HORNEROVO SCHEMA
ÚMLUVA:    všude y tomto .paragrafu predpokladáme, it R   znatí těleso charakteristiky   0.
Definice :   Necht" f e   R[x\. kde (D                                  f^äQ + axX+aix1 + ...+ anx",.:
Pak    derivaci    polynomu • f   rozumíme polynom   f 6 R[x ] , definovaný vztahem : (2)              "f m í °                                          ie-ti   i'ITKO  -:í'
Poznámka :   pojem derivace polynomu xnáme z matematické analýzy, kde je definován jako jista funkční limita. V algebře zřejmé'tímto způsobem postupovat nemůžeme, neboť" pojem limity je vázán na těleso R  reálnych čísel, reápi pö jistých rozvířeních jeStí na těleso  K  komplexních osel. Zavadíme tedy pojem derivace ryze formálním způsobem a cistě algebraickými prostředky. Nicméně je vidět, ze pro    R   =  R    oba jjojmy.splývajŕa lze tedy očekávat) íe i některé základní vlastnosti derivace budou zdestejne, jak   nakonec v daťŠinv ukážeme.
v£ta6.1. :   Necht" f <=  R[x\   ;  st  (/) = »> 1 . Pak derivace f' je polynom stupni H— 1.
[D úkaz   :,,. jé-li f   tvaru (1), kde  ah =r 0 , pak vzhledem k tomu, Že R je charakteristiky nula, je  n.an #  0, a tedy  st.(f)~n -1 ,] . ,      ^
Poznámkň : Samotnou definici derivace by.zřejmí bylo moäŕné.stejným způsobem jako výše vyslovit i pro polynomy nad tělesem libovolnrcharakteristiky. V takovém připadlí by vsak nebyly splněny základní vlastnosti, kterŕna derivaci obvykle požadujeme, napf. neplatila by píedchozívíta (nad tělesem ^.charakteristiky p, kde ;j je prvočíslo, by pak derivací polynomu /= xf + 1 byl nulový polynom, i kdy^ si (/) = /> > I ). Vidíme tedy, že podstatnou roli v na&ch úvahách bude hriít predpoklad, ze teleso   R   je charakteristiky   0.

-   49
Up:
šli?;
lil
m.
Vŕta 6.2. :   Pro polynomy z  R[x] a jejich derivace platí:   ■       n       ,.,, '=      ,3.                   if-g)'               = •/'.« + f-g'     ■
-.:■*■■      -.- (z......-fky    = /?-/i-'■•'■■•/*• •+■.,-. ■»--■../■i-•--Vfcj.,^;- 5=
5-                           (/*)'                        "    *./"■/*•'
[Důkaz   :   část 1. a 3. se dôkaze bezprostředním rozepsáním z definice derivace ; dSfst 2, resp. 4. plyne z I. resp. 3. uřitím niatematické'indukce a část 5. je přímým důsleJkem 4. Pro ilustraci si dokažme 3. cast víty : ad 3 i nechť"/= "o + "i* +1 ••■• + «„•*" "    Ž  a^.^jvtj. /'= i.tírí'- ' .
g = b0 + blx +   ,... + bmxm=  í, bt.xf', t j./ «Ž   /.*,>*'"
Potom :

m
■-S--X
V  (Z   ímJj^.x1''
Dále
íř  =   8*"(S   a.ĎJ.x'   ,   t. zn.  (/*)'<= .2.    i( 2     a..ů.). *';
',= %t° « 2     a.fr,). ,>i
odkud je vidět, íe platí dokazovaná rovnost   j.
,.   Poznámka :   obvyklým induktivním způsobem definujeme  derivace vvíílch rrft/fíi   daného polynomu    /e Rix), tvaru (\).
Je-li  fc  přirozené'Číslo, pak definujeme (/c+l)-ní derivaci polynomu /jako polynom :
při remí pro   k- 1   platí (2).
Pak zřejmí pro   k <, n   mí  k-ti derivace polynomu (1) tvar :
/*' = k'k-1) . • • 2.l.ut + U+l).fc .... 2. aktl.x + .... + «.(fl.-l). ... (n~k+\).aii.x""
50
resp.   pro  k > n  je: /<*■> =  o , ......                    •.'■•>•                r, , ■ ■'{
Definice:   Necliŕ fix) e R[x];  c e R .    Mi (3)                     f (x) = a0 + a,{x~-c) + a^x-c)7 +,...& an(x-c)".    ;:«,€/(
patf pravou stranu  (3)  nazývame  T a y I o r u v rozvoj o středu    c p o I y n o m u   f   .          ■ '                                 '    '
VČta 6.3.: Necittv f <EŔ[x): si {f) = ni* \ ; nec/if*' c e R.. Pak existuje pravé jeden ŤayhŕSv rozvoj o stredu  c polynomu f ,   a slčé .
(4)     /u)'■'= /(c)+4r<* -c>+ ^ <*-<•>' + - + ^r1 &.-■??: m
[D u k a z   :   I. existence j Proveďme opakovane džlení lineárnou polynomem  (x-c) takto :                 .,,
.   / =(í-c),ť/i + a„    ■   ,    (   ...•!'   ,   ,.s               .   ,,,,,. ;,-x 9i=(jc-c).(?, + a,                                    ..-•  ,,......   ,„: -,,-,
(5)


kde zřejmí a0, a,, . . . , an_,   jsou konstanty,'resp. <jj",''. '.". , íjr_, ,"on;'' jsöü
polynomy stupni" M~l.....1,0.   Tedy  qn je konstantní" polynom, který označme
symbolem an. Dale, v (5) vynásobme druhou rovnost polynomem (ŕ-c), třetfpoly-nomem {x-c)2, atd., až poslední rovnost polynomem (it-c)    "' a takjó upravene'' je pak seřtéW.                                                                              _;   '    J.
Po úprave"dostávame :                                                                          .,'.,"!
/ = a„ +'a,{x-c) + . . . + an_ x(x~c)"~ '+an(x-c)n,
co£ je Tayloruv rozvoj (3).
'•'■•       <-. ' U. jednoznačnost : Necht1,polynom   / ma Tayloruv rozvoj (3). Pak postupným tvorením derivaci
M*.
-   51
dostávame :
f {x)      =  a, + 2aj(x-c) + . . . + n.an(x- c)"" '
f "(x)      =   2a7 + 3.2.bj(x-c) + ,., + ».(»- l).an (x-c)"
/<"'(x)    =  « !.(in                                                                             .      ,
Potom tedy :      /(c) - «, i V 'W = a<  i /"W = 2•* ' • ' : '^"'j^ = "U«'
odkud pak :
'l „X1    n    "m HM       a, = JĽte ,..V,á   ='£?%& T"t''zn.:(3) musí být tvaru (4). |
Poznámka:    zavedeme-li novou proměnnou y   vztahem:
.Ju.J   .'.:/'''.*'      iy = x-c                neboli'     •     x * y +c
pak lze yztah (4). pfepsat do tvaru :,r,;,.,.ľ ..,,,,. ,J,,,,   .   ..,,;„.....   .„,.>
■<n<\j^'';y. ::!*>■
1!                2! .     ... v        ,.        «1
Tohoto obratu se Často uíŕvŕpri praktických výpóítech.
Pří výpočtu koeficientu Taylorova rozvoje a i jinak je v praxi" Často potreba provadřt dčleni daného polynomu    /   lineárním polynomem tvaru (x~c), kde e ěR   Je tedy potřeba urcit koeficienty podílu a zbytek tohoto dČíenŕíkterý je zřejmí roven   f (e) ). ObČ úlohy ízé tótijednoduse početním'postupem nazvaným Homérovo schema.   Nechf je tedy 'fBÄ   libovolťiťa f (x}.<á R[x)s Jŕ ,(/)...=/i > 1, je tvaru :
H?)-'"' 7'(x).-laí!^.i+ ,a^oi.x?;E'^;,:.J.„+;alA:,+.a0    .   .,,, , .   . ^, mU; kde    a( e R ,   an ¥= 0. Pak je :'                                           .■...•...'s.ß'ef..;. «
(8)                    í-v^!         ./,(*) = (x -c)   ...<7<JC).;+./)    .       ŕ      ;       ;..,: ívi,,.!,.-:.
kde   b   S R   a platí":   b - ]'{c).   Navic  st {q) = ii--\, t. zn..necht" r/ (v) = frft_ tx"' '  + . . . + i>,.v + />0
m
Po dosazeni za   q   do (8) a porovnám koeficientu v (7) a (8) dostávame :
."c-b.   ,+ «.
neboli
«!    =     b0 — c.ftj                             b0     = c./>, + a,
a'„     -      b   - cb„                             b        » c.ft0 + a„
odkud jsou koeficienty podílu   r/   i zbytek   Ď =/(c) jednoduäíe určeny. Při pralo» kern výpořtu budeme póuíívat přehledne tabulky tvaru :
c.b
, c.ft,+ a,=6„
c.fco+flé^/to
kde do horního řádku vypisujeme víechny koeficienty a, {H> i > 0) pblyiibrriu /,' tedy i připadne nulové" koeficienty a ve spodním řádku postupní vypočítáváme koeficienty  b. podílu a zbytek   b.
Příklad 6.1.: V R[x]  délte polynom  'fix) = 2x5-18x3 + Sx + 7   polynomem (at-^3) a nájdite  /(-3).
Resení :   ubijeme Hornerova schématu pro   c = -3
i ..'WÍÍ   lij	■ 2	0	-18;!	, p	».*?,-,	,7 .,
J«.;   'I -3	2 •	-6;	: J.fti	,;0;,	. 5.,	[^,
tedy :   </ (x) *2»J - 6x3 +,5,:. I ;i:;fesp. ,/,(-,3);f,-8   .,,,.        .,.,,., . ,^   :
Hornerova schématu s výhodou využíváme v celé" ŕade^dalsTch úloh, na pf. pfi hle-dánÍTaylorova rozvoje nebo hodnot derivací daného polynomu vdaném bodi.jak ukazuje následující přiklad.                                                                    '•' -'
Příklad 6.2 : V   K[x\   naleznete Taylorův rozvoj o stredu   c =-/ polynomu
/ . kde   f(x) = x" + (l+/)x2 -,2x + (7+1)                      ■.,'■    ,        - ...    •:.•■
?J
-   53   -
Resení:   opakovaným užitím Hornerova schématu, vzhledem k důkazu V.6.3. dostáváme :
	1         0	l+í	- 2        7+1
—i	1       -/	I	-i    \mt
-1	i   -a	-2+1	|2/=a,
—i	1     -3/	zz2±h.<ii	
-i	1 :..fcá£u		
—1 ,	|l=a«		
Tedy je.: f (x) = (7+2/) + 2/ U+0 + (~5+/)U+/)2 - 4i(^+/)3 + (x+iý ,   Navíc, ponévadř ak =    í .^X    ,  můžeme ihned určit hodnoty v&ch derivací polynomu /   v bodí" c =. —i ■ Je pak:  /(-/) = 7+2/; / '(-/)=2/ ; / "(-0 =  -10+2/,/"'(-/)=-24i./<" »(--0=24.
Na zavír paragrafu uvedme nyní nžktere výsledky; týkající se vzájemné''souvislosti mezi kořenem, resp. jeho násobnostía derivácídanehb pblynomu.
V£ta 6.4.  :  Nechľ /€ R[x]  a nechť c 5 Ŕ  je  k-násobným kořenem polynomu  f.
Je-li  k = \   ,    pak  c  není kořenem  f'
je-li k > 1   ,    pak  c je (k--í)-násobnym kořenem /'.
[Důkaz   :   podle předpokladu a podle V.3.3. existuje polynom   li U) S R{x] takový, že :
f (x)" ix~cf.lt ix)    ,     při cemŽ li (c) ť* 0 Pak je : / '(a) = k. (x-c)*'" '. /( (x) + (.r-c)*./i'(x) , t. zn. po úprave' : (9)             f'(x) = (jt-cf'-'.lfcÄW + (x-r)./i'U)]
Nechť" k~[; pak (9) nabývá tvaru : / '(.y) = h(x) + (x~c)Jt'(x), t. zn. f'(c) = ft(c) # 0 , a tedy   c   není kořenem  f'.'
Necht   /c> 1 ,   pak označme   t(x) « fcftfcxj + (.v-fj./i'ú). Pri tomto označení dostáváme podle (9) : f'(x) = (jr-c)* " '. í(.y), pri čemž  t(c) = k.h(c)■'# 0   a tedy podle V.3.3. je  c  (k—l) - násobným kořenem polynomu /' ].
- 54  -
Poznámka : obrácení předchozí vSty zřejing neplatí; je-li nnpř. J{x) = x, + 1 S S Ŕ[x\, pak f'{x) = 3.t3. Tedy Oje dvojnásobným kořenem f\ ale není vůbec kořenem  /'.
Věta 6.5 : Nechť J{x) e R[x] ;  c E  R ; wéc/ií" Jt> 1   /e přirozenéčíslo. Pak:   c je   k-náhobným kořenem J\x) «►  c /c  (k- \)-násobným kořenem polynomu  if, f).
[Důkaz:   "<*" :   necht"   c je  A:-násobným kóřehem*/, kde  k> 1. Pak podle předchozí věty je prvek  e  (k-l)-násobným kořenem /'.  Tedy platí : (x-c)k I/,   (x-cj*'^/,  (x-c)* •-'  I/',  (x-c)*+/", odkud dostávame, Že (x-c)*" '  I (/, /"). Ďále spbrem ;  iiechťu-e)* I (/, /"j: Ale (/,/ ')!-/'■ tí transitivity relace dělitelnosti jšäk plýřié, že  (x-c)* 1/ ' , čoz je spor. Tedy riiusf být (X-cf t (f, f')  a dohromady dostáváme, že  c je  (fc-l)-nasobným kořeném polynomu  (/ / ').
"«-" : nechť c je (ti J-násobným kořenem (f, f), t, zn. (x   e)*''| (/,/'); U -c)* y(/,'/'). Kdyby (x-c)*.f/, pak by tedy c bylo (A.--l)-násobným kořenem • polynomu /, t. zn. podle V.6.4.   (x-c)*"'<l7" , což je spor. Tedy piati: (x-c)*|/. Dale, je-li (X-e)*+l |/i pak c je alespoň (fc+1 )-násobným kořenem polynomu f, t. zn.podle V.6.4.je c alespoň fc-násobným'kořenem polynomu /',t.žn. ÍX~ c)k\f . Výše Jsme však dokázali, Že (x-c)* \f , t. zn. dohromady pak dostáváme,že (x-c)* | (/,/') , cožje spor s předpokladem. Je tedy (x- c)**'+/' adohfoma-dy tedy dostávame, že c je /r-násobný kořen /'].
Věta 6.6. :  Nechť f € fl [x];(efi; nechť k  je přirozené'číslo, Pak platí c /e  k-nasobným kořenem polynomu f '«► /(c) =/'(c) = ... "«/***,,(!ŕ)*0 ; /**>(<■) *0:                                                                                                                                ..:
[D ú k a z   :   "■»" :  je-li prvek  c  t-násobným kořenem /,  pak je /(c)M). Opakovaným užitím V.6.4. pak dostaneme žádané'tvrzení, neboť podle V.6.4. je c  (Ŕ-l)-násobným kořenem /'', t. zn.   / '(<?) ■ 0 , atd. , až c je jednoduchým kořenem,/**;", t. zn. /<*"(e) = 0 a c neníkořenem /<*>, t. zn. f(k\c) *■ 0 .
55   -
"*■" : necht" f (c) = f '(c) = ■ ■ ■ = /**" ' '(c) = 0 ; /<*'(c) # 0".  Nechť / je ve tvam (I). Pak Taylorflv rozvoj o středu  c   polynomu / má tvar :
/(x) = 0 + . . . + 0 +   /?*?■(<!). (.t~c)* + . . . + ^"'fel. (jc-c)" ,.«!,                                 «I,
t. zn. :
/ (x) - (x-cŤ . I i^áL+ . . . + /í^ícL fr-eŕ'-^ľ'
fc!    '                                  'i!                                                           j.'.,,, !<
při čemž zrejme  c    nem kořenem polynomu v hranaté závorce. Podle V.3.3. je pak prvek  c    fc-nasobným kořenem polynomu    f. ]
Poznámka :. poslední'vetu spolu s Homérovým schématem používame..toprak-ticke'mu zjišťování násobnosti daného kořene  c  polynomu / .    Z příkladu 6.2 je vidět, že při opakovane'm dělení lineárním polynomem tvaru (x-c) dostávame jakožto zbytky hodnoty  <j„ =-. -í—&-   .  Podle předchozí věty je pak násobnost kořene
K              k\.           ■■■-■■'■■   ■,.«,•:•„■      ,               ,,,,!.;;■,    .-  t      .     -1
c    rovna počtu nulových zbytků těchto dělení.    :,     :,,,./
Príklad 6.3. : Zjistěte, zda  c = 1-ť je kořenem polynomu f'S K[x)'' * pokud ano,  určete jeho násobnost. Při tom :  f (x) - x6'"— íx' '+x4 +'4xí* — *$? + 4' Řešení:   podle předchozí poznámky opakovane užijeme Mornerova schématu :
	1      -2	1		4	-4	0        4
1-/	. 1     -I-/.	-1		3+/	-21	-2-2/|o_
1-/	1    -21	-3-	-2/	-2+2/	21	Li_
1-/	1    1-3/	~5-	•6/	-13+í	-12+16/ =r0	
Tedy  Číslo  c 1-í je dvojnásobným kořenem polynomu /".
:;:-,, , \-í■';;,.1;ill
56
§ 7 :   POLYNOMY NAD TĚLESEM KOMPLEXNÍCH C1SEL, ZÁKLADNÍ VETA ALGEBRY.                 •
V tomto paragrafu budeme studovat základní vlastnosti polynomů s komplexními, resp. reálnými koeficienty. Připomeňme, že každé číselné těleso (specielně tedy K a R) je charakteristiky 0, t. zn. můžeme použít všech výsledků, dokázaných drive v teto kapitole.
Věta 7.1. ("Základní veta algebry ") Každý polynom .f (x)  e K[x). stupne alespoň jedna, má v K ulesponjeden kořen.
[Důkaz: neuvádíme. ]       .                                                                  _'
Poznámka :   t; zv.; základní věta algebry říká, že teleso  K  komplexních Čísel je algebraicky uzavřené. Veta měla opravdu základní význam pro algebru v dobách, kdy se tato omezovala na algebru komplexních čísel. Její důkaz nelze provést cistě algebraickými prostředky a je vždy nutne v menší či větší míre využít topologických vlastnosti reálných a komplexních Čísel (t.j. vlastností, souvisejících se spojitosti). Důvodem je to, že v samotne definici reálného čísla se vyskytuji pojmy, které nejsou algebraické (pojem spojitého uspořádání). Poměrní jednoduchý důkaz V.7.1. bude uveden v základní přednášce o analytických funkcích.
Důsledek :   Ireducibilnimi polynomy jsou v  K\x]   pravé lineární polynomy.
[Důkaz   :   tvrzení je přímým důsledkem základní věty algebry'a V.5i5. ]
Věta 7.2.:   Nechť f e K{x], st (/) = n > 1    je polynom tvaru : (I)                                    / =fl0 + Ul* + ■ • •". + Vx:"       ■   an * °          '''""'
Pak platí
\. polynom  f lze vyjádřit jako součin   n   lineárních normovaných polynomů a nenulové konstanty ve   tvaru
(2)'                            f =  an . te-c,)   .... (x-cn) ;  c. e K. i = 1.....n
2. vyjádření (2)  je jednoznačne', až nu poradí faktorů

-   57   -
3. polynom  f má přesně n   kořenů, pocítame-li každý kořen tolikrát,   kolik je jeho násobnost.
[D ú k a z   :   ad 1  : plyne ihned  ze základní vety algebry a z V. 5.5. ad 2 : plyne z V.5.4. vzhledem k tomu, že ireducibilními polynomy v  K [.v) jsou pravé lineami polynomy a že na pravé straně (1) vystupuji normovane polynomy.
ad 3 : plyne ze základní vety algebry a z V..5.6. ]'       '
Poznámka :   ze vztahu (2) je vidět, že polynom  /  lze, po vhodném přečíslovaní hodnot   c,, přepsat do tvaru :
(3)                                              / = an,(x-c,)'' .(x-c, )'5  . . . .(x-cj'
kde cx, . . . , c jsou navzájem různá komplexní cisla a platí : ř|.+ťa.+ ... +i = " Je-li polynom / vyjádřen ve tvaru (3), pak z V.3.3. plyne, že c je ( • násobným kořenem  /  , pro   k - \, ■ ■ ■ , r .
Definice:    Vyjádření polynomu f&K[x]  ve tvaru (2) se nazýva kanonický rozklad polynomu   f.
Věta 7.3.: Nechť f, g € K[x] jsou polynomy, mající kanonický rozklad : f ■   a, (x-c,)'1  . . . (x-crý g =  b. (x-djl • - tZ-éJ' Nechť c, = d, , . . . , ct <■  d{, resp.   cr+1, . . . , cr, dfft, . . . , cT jsou navzájem různá čísla. Pak pro největší společný dělitel polynomů  f a    g    platí:
(/;«) = (*-<•,)*'  ■ ■   •{*-*,)*' kde    k, .= min (i, /,).....k, » min (/,/,).
{Důkaz ■:      nechť platí označení, předpokládané v*, větě, Označme dale :
h - (x-c,)?1 . . . (x-ct) • Zřejmě je:   h\ f ; h I g , t. zn.  h  je společným dělitelem   polynomů / a g. Dokážeme, že  h je největším společným dělitelem  / a  g. Necht tedy q e K\x] je polynom, pro néjž je   q\ f, q\ g a nechť kanonický rozklad polynomu   q je tvaru :
50
q =  p . (x~e,)"'  . . . (x-em,"m   . Pak ale  (x--e,) M/,   (x-et) ' I g, t. zn.  e, musí být rovno některému společnému kořenu polynomu  / a g , řekneme, že    e, =c,.  Přitom vsak  u,< í,, u,</,, t. zn.  u,<  mi» '(/'i j\ ) =  fc|. Analogicky pro  ea,...,e    , což vsak znamená , že  q\h. Dohromady pak dostávame, že  /i = (f,g) .   ]
Poznámka :   zname-li všechny kořeny i s násobnostmi dvou' polynomu z K\x], pak největší společný dělitel těchto polynomů zjistíme podle V.7.3. prakticky okamžitě a nemusíme používat pracného vypočtu Eukleidovým algoritmem. V praxi však obvykle kořeny daného polynomu neznáme a jejich nalezení bývá většinou velmi pracné a obtížné a v obecném případě algoritmicky neřešitelné. Následující věty pomohou tyto problémy resit alespoň částečné,  využitím vlastností násobných kořenů, resp. vztahů mezi kořeny a koefioienty daného polynomu.
Věta 7.4.:  Nechť T je číselné těleso, /f T[x], st(f)> 1. Nechť'dále q e T[x] je polynom splňující: (4)                                /=(/,/').?■
Pak polynom   q  ma stejné kořeny jako polynom  f, ale každý pouze jednoduchý.
[Důkaz:   z Eukleidova algoritmu a z konstrukce dělení polynomů se zbytkem plyne, že polynom  q   splňující (4) existuje, pfi čemž  (/,/'), q 6 1\x].  Polynom / můžeme zřejmě uvažovat jako polynom nad  K. Necht" pak kanonický rozklad polynomu f ma tvar (3), t. zn.
/                                 i
/= an. (jc-Cj)'  . . . (x-cr)' .
Pak z V.6.4. plyne, že :
-•je-li  i.  = 1 ,  pak  c   není kořenem derivace /" , resp. - je-li  řft > 1 ,  pak  ck je (/t-l)-nášobným kořenem /' , odkud podle předchozí věty dostávame :
(/,/') = (x-c,)'       . ,..(x-cr)ľ kde faktorem s nulovým exponenteni rozumíme Číslo 1. Potom tedy zrejmé (5).                                   q  =  an . (x-c,)  . . . t*~c,),
t. zn. polynom   q   má požadovanou vlastnost. ]
Důsledek :. Necht" T. je.číselné těleso, necht"polynom  /G 7IxJ  je ireducibil-mm polynomem nad   T.                    ..,,..                                                   ■:-;■■■>'/.
Pak polynom ■ / ma pouze jednoduché kořeny (v Ä),
[Důkaz:  je-li st (/) - I,  pak polynom  / májediný kořena tvrzení platí. Necht tedy  si C/) = n > 2  a necht" / uvažovaný jako polynom nad   K   má kanonický rozklad tvaru (3). Necht" q je polynom z předchozí věty, splňující :
/ -tí/*), q       . kde   (/;/'), qS   T{x\. Poněvadž je však    st (j.f ') < n , pak z ireducibility  / plyne, že musí být st (//') = 0,   t. zti.   tff') = 1. Pak ale  /= q, t. zn.  f je tvaru (5), odkud plyne tvrzení. ]
Příklad 7.1. : Využitím vlastností násobných kořenů nalezněte kořeny (i s jejich násobnostmi) polynomu /€ R[x], kde : :■/= .v5 + x4 — 5.x3 — x1 + 8x -4 .
Řešení : k výpočtu užyeme tvrzení V.7.4.   Uvažme derivaci , /' = 5x4 + 4x3 — 15xa — 2x + 8   a pomoci Eukleidova algoritmu vypočítáme největší společný dělitel polynomu / a /'.  Po vypočtu (ve dvou krocích) vyjde : Ulf ') = x1 - 3x + 2 .
Nyní vydělením   polynomu / polynomem   (/,/')  obdržíme polynom  q   z V.7.4. (zajímá nás podíl tohoto dělení,ra: proto'během výpočtu nelze násobit nenulovými prvky z  R  jako u Eukleidova algoritmu !). =~ .íii.if'Kí-.-, :       ■ ( x5 + X* - 5x3 - x1 +   8x - 4 )   :   ( x? -3x + 2 ) | x1. + x - 2
~xs           + 3x3 i 2x'__________.
■'  'x4-   2x3:-i';3xi'+   8x -4  '!     " "'•-■"=        ;-   ■<             :.-Ji;s
■    -x"________T 3X.1 i   Iv                   •••"            '" :   "■     *' •>■'■■>'. >it ■■
,   ,  -   2x3                +   6x - 4
Ť .2x.3   ,..  ; ., ±,   6x T 4 .
■ ■' -;.   ■     -!                             *0
Tedy  q = x2 + x - 2 - (x-l)(xt-2),   t. zn. polynom    /. má dva kořeny : c,  = 1,   c, = -2. Jejich násobnosti zjistíme Homérovým schématem, při čemž zde vyjde, že c, = 1 je trojnásobný, resp.   c3 = -2 je dvojnásobný kořen polynomu  f.
60
PoznámkH :'■ Věta 7.4 zřejmé neposkytuje universální algoritmus pro výpočet kořenu dane'ho polynomu  /.  Ma'-li napr. polynom / pouze/jednoduché' kořeny (pak   q=f),   nebo je-li polynom ,  q    příliš vysokého stupně, pák je V.7.4. pro výpočet kořeno polynomu / neúčinná.
Věta 7.5.:   Ňécht" feKÍjl]''s((j) '- n > 1 ,   kde , c    jsou kořeny polynomu  f.
a necht    c Pak platí:
(
c, +
c,cj + e,e, +.....+ e,cn+ í'i<-'3 + - t c^.cľ,
(6)
(-n*
(-!)"
n
c  .c ■
"o
• c,.cj.
V
[D A k a z :   polynom ft vyjádříme, podleW&ÚPWMWfr součin lineárních polynomu. Pak :     i■..-■ -i■-,:■■■:  ,.   '?#'»«';.                   '• t*»'-í
/= „.íx-cíCt-^ci)-J - 4-(»-«,,) ='«o + ",* + •■• + ^.,*^lt.**%    ' Porovnáním koeficientu u jednotlivých mocnin x   dostáváme pak přímo vztahy (6)].
Príklad 7.2. :   V K[x]  nalezněte normovaný polynom / ,  který má za kořeny trojnásobky kořenu polynomu  /i = x1 + 5.x + 2 ;j
Řešení : polynom  h   má v  K   právě 3 kořeny, které označme  c.c,, c, : Pak zřejmé f bude tvaru / - x>' + -4*' + » > C , kde Afl.C e Ä. Při tom, podle zadání, / má kořeny : 3r,, 3ca, 3c3.   Ze (6) pak plyne : O - c, .+ c3 + C,                   -/• ■ 3<:. +3c, +3C3 - 3.1., +c, *c, )=3.0 . O
5 = e^+c.ci+^r,   resp.      B - 3c, Je,+3cj,3ci+3c,.3c, =
. = 9Ac,c1+c,cí+c1c,)-9.5 = 45
-2 = Ct.cj.Cj                           -t :
Tedy hledaný polynom je tvoru : /'
.3c,.3cJ.3<;3=27.(clCjcJ) = 27.(-2) = r-54
t3 + 45.x + 54
-   61  -
Nym si všimneme některých specifických vlastností těch polynomů z K[x\, jejichž koeficienty jsou reálná čísla. Je-li J\x) = a„!+ u,:t + . . . + anx" takový polynom, pak jej můžeme chápat jako komplexní funkci, jak plyne ze závěru §3. l)udeme-li dále komplexně sdružené číslo   k   číslu   z e K   označovat symbolem   z     pak užitím známych vlastnosti'komplexné sdružených čísel dostávame : Z00 t  a0■■.+ a,x + ,.-, + unx'> = rt0 + a,x + . . . + ánx" = /(Š)   ', protože    a   jsou reálná čísla, t. zn. je  ä = tí  .
Věta 7.6. :   Necht" f{x) e #[*]  ft polynom s reálnými koeficienty a necht" c je   k-náspbným kořenem polynomu
Pak také cislo  č je k-násohnym kořenem polynomu,  f.
[Důkaz:   necht" j {x) = an \x-rc,)'. , . kx-c^ľ   je kanonický rozklad polynomu  /.   Přechodem ke komplexně sdruženým číslům dostáváme :
f Oč)'f Ve) =aíi.(x-c~,)1 . . . (3č-ť.)'r Ale tento vztah platí pro každé komplexní číslo  x ; můžeme tedy  x zaměnit za x    a dostáváme :
/>)»«„ -.U-ěj/1 ■ • • (*-črr odkud již plyne tvrzení vety. ]
Poznámka : z předchozí vety m.j. plyne, že polynom z K[x], s reálnými Koeficienty, musí mít vždy sudý počet imaginárních kořenů. Je-li navíc lichého stupně, pak musí mít lichý počet reálných kořenů.
Dále se zabývejme otázkami ireducibility v  R\x]. .Již., dříve jsme uvedli, že těleso  R   není algebraicky uzavřené, t. zn. , že v  R[x]   existují ireducibilní polynomy stupně vyššího než   1. Následující veta podává vyčerpávající charakterizaci ireduci-liilnich polynomů v  R[x\.
Věta 7.7. : Ireilucibilními polynomy v  R[x] jsou právě všechny lineární polynomy a všechny kvadratické polynomy se záporným diskriminantem.
(D ú k a z :  je-li f [x) E R[x\  lineární polynom nebo kvadraticKy polynom se záporným diskriminantem, pak  f je zřejmé ireducibilní v R[x]. Naopak, necht" /€ Rix] je ireducibilní polynom nad   R.   Pak .ví (J) > 1.
-   62   -
Předpokládejme,  že pplynpm /  není linea'rní.  Polynom  /' pak nemá Žádný reálný kořen, ale musí mít imaginární kořen, který označme  c = a + bi  (W=o). Podle V.7.6. je však kořenem /' rovněž číslo  c = a-b/. Protože je  c ¥= č, je polynom /     v   K[x]   dělitelný polynomem :
f„ = p-c) . (x-c~) = .X5 + 2ux + (a2 + ft2)                         ,;,■'
Zřejmě je však  f0 B R[x\   a tedy  ft\f v  R[x],  jak plyne z algoritmu dělení se zbytkem. Podle předpokladu je však polynom / ireducibilní v  R[x], t. zn.   je /o "V/  v  R[x].   Existuje tedy reálné číslo   fŕ 0 tak, že :
/=   '--/o Tedy  / je kvadratický polynom, jehož diskriminant  D = 4u2r2 — 4.r./\(a2+Ď2)= = —4/-2/;2   je záporný, c.b.d. ]
Důsledek : 1. Každý reálny polynom, t.j. polynom z R[x], stupně alespoň 3, je nad tělesem   R reducibilní.
2. Každý reálný polynom f lze vyjádřit jako součin rea'lne'ho čísla a  konečného počtu reálných normovaných lineárních polynomu a reálných normovaných kvadratických polynomů se zápornými diskriminanty, je-li /# o, . pak je toto vyjádření jednoznačne', až na pořadí činitelfi.
[Důkaz:   tvrzeni plyne ihned z předchozí věty, resp. 2. část ještě z V.5.4. j
V experimentálních oborech a v praxi vůbec se často setkáváme s ulóhou najít (alespoň přibližně) funkci, napr. y = F (x), charakterizující nějaký děj, kťěrý pozorujeme nebo měříme. Znamenalo, že pro konečný počet hodnot x Jsou štáiioveny (naměřeny) odpovídající hodnoty y. Funkci F (x) přesně tiezhálné, a proto ji nahrazujeme funkcí jednodušší, obvykle polynomem fix), P° němž požadujeme, aby se v daných hodnotách  x   shodoval s hledanou funkcí přesně, v ostatních hodnotách
pak přibližné (viz obrázek). Říkáme, že provádíme  interpolaci  nebo tež\ že funkci
■?■■• alty / F (x)   aproximujeme polynomem f (x).  Polynom  / (.ti se pak nazýva  interpoláciu
polynom.
-   63    -
V dalším se na. problem interpolace podíváme Čistě algebraicky jako na úlohu nad libovolným číselným tSlesem T (jehož .specielnímjpnpademje,samozřejmí' i těleso reálných čísel). Zcela stranou ponecháváme otázky, související, s, presností takovéto aproximace.
Věta 7.8. : Nechť1 T je číselné těleso, nechť fg 6 Ť [x] i  st (f),st ig) < n , . kde  ň je pevné přirozené číslo.
Jestliže f, g nabývají stejných hodnot v alespoň (n+l) různých bodech, pak je í=g-
[Důkaz   :   nechť c,, . . . , cn+| BT jsou navzájem různá Čísla, při Čemž
/(c,)=fr(c,),   f- 1-------,'i+l.
Uvažme polynom   h »/- g. Zřejmě je  si (h) <n,   přičemž   h   má alespoň (Ji+l) různých kořenů. Podlé V.7:2; (část 3) však nemůže být  jí (h)> 1. Zřejmě take' it (It) •£ 0.'Tedy'musí být   st (/i) = - °° , t. zn.   h -   o   „odkud, dostávame í'=g   ]■
Věta 7.9. :  Necht" T je číselné teleso, nechť c,, . . . , cnt]B T jsou navzájem různá čísla,   resp.   >•,,.. . , v,t| e   T jsou libovolná čísla. Pak existuje práve jeden polynom  ľ B.T[x]   takový, že  Stif)< n  a platí: fie,)-y, ,  i= L • • ■ . " + l ■                                                               ■       ,
[D 5 kaz:   1. existence :
zvolme   f(x)   takto :
m-
m
[%
m
6-1
,7)    J(x,=y.  •   ÍÍ^L^r^L^Í£-S,ul_ ,
í*2JíE=£LĽĽ£fe=!U>
Pak zřejmě /'(*) s   7M  »</)«  „   (neboťkaždý sčítanec je buď  0   nebo polynom stupne  ;i )  a dosazením dostávame / (c ) = y , / = 1, . . , , n + i
II. jednoznačnost ;
plyne přímo z V.7.8. J.
Poznámka :   vyjádření polynomu / ve tvaru (7) se nazýva' Lagrangeuv tvar interpolačního polynomu,                                                               -!f,..  ..-
I když V.7.9.   dokazuje jednoznačnost interpolačního polynomu f'\: můžeme zrejme tento polynom formálně rozepsat různými způsoby, např. podle tohd, jak je to pro naše konkrétní účely výhodne'. Na základe následující věty ukážeme jéŠtě jednu možnost zápisu interpolačního polynomu.                                    :•".'.
Věta 7.10. : Nechť T je číselne' teleso, necht" c....., c; S T. Pak polynom
J'= «o + a,x + . . . + anx" e   T [x]  lze vyjádřit ve tvaru : («)            /(*) =*o + 6i(Jc-c,)+ bi(x-c,){x-c1) + . . '. +  i>„(Jt~c,)(x-ca)..
".....<*-F„>                                                                   '  ■■''-   ■       ý'
|U,fl kaz;   postupným dělením polynomu / ,  resp. částečných podílů,
lineárními polynomy tvaru   (x--c(), / = I.....n   dostáváme :
/=»//„ + (x -í-|).ř/, - b0 + [x~c,y [/), + (.r-ť,) ?,  | = r>0 +ö,(*-p,.) +
•    + U-ť, J-(.v-cj )•</, =.....=  b0 + b, (x-c,) + ... + r„(.v--C| )•....
. . . :(x~c ) ,      což je žádaný tvar.   ]          '
Mějme nyní zadána navzájem různá čísla  c,, . . . , í.;lt.e  T á jim odpovídající hodnoty /((',).....f(<w,%l- T&nito hodnotami jednoznačné určený polynom
{ z věty 7.y. lze na základě předchozí věty vyjádřit ve tvaru (8)., Koeficienty b0, />,,..., bn při tom získame postupným dosazováním hodnot e. (/=!, ..., /i+l) za x   do vztahu (8).   Takto ziskanc vyjádřeni polynomu   /  ve tvaru   (8) se puk na-
zýva   NewtoiiBv tvar interpolačního polynomu.
Připomeňme ještě, že každý z obou zmiňovaných tvaru interpolačního polynomu nia v praxi svoje výhody i nevýhody. Lagrangeuv tvar je možné okamžité napsat, ovšem při zvýšení n  (t.j. např. pri zvětšení počtu měření) je nutne'jej celý znovu sestavit. Na druhé strane, u Newtonova tvaru je nutno počítat koeficienty   ů( ,   ovsem pri zvětšení ři   se pouze prida jeden Člen, při  zachovaní všech členů předchozích.
§ 8 : POLYNOMY NAl    ' ■>      IM RACIONÁLNÍCH ČÍSEL A NAD OKRUHEM CELÝCH ČÍSEL.
V  tomto paragrafu budeme nejprve studovat ireducibilitu polynomů nad Q a nad Z. Předem je ovšem nutné opět připomenout, že Z není tělesem, ale pouze oborem integrity (který má dve jednotky, a to cisla +1,-1,   t. zn.   k polynomu
/ 6 Z [x] jsou asociovány právě polynomy / a  -/),  a tedy v Z[x)   nemůžeme obecně použít ty definice a věty, v nichž se předpokládalo, že  R  je teleso. Specielní tedy pro  Z[x]   nelze použit definici reducibilmho polynomu, uvedenou v § 5, nýbrž je třeba vzít obecnou definici z   § 2 kapitoly 1, podle níž polynom f S Z[x] je reducibiln! (resp. ireducibilní) nad  Z, jestliže f<& o, /# ± 1, přičemž f má (resp. nemá) vlastní dělitele, t.j. dělitele různé od ± 1 a od ± /.
V  dalším pak ukážeme, že ireducibilita nad   Z a nad Q   spolu velmi úzce   souvisí, i když öba pojmy samozřejmě obecně nesplývají; na pn polynom
/ (.*) = 3x + 6 = 3. (X + 2) je zřejmě ireducibilní nad   Q  (viz příklad 5.1), ale nad  Z je reducibilni.
Definice :   Polynom  f" «„ + a,x + . . . + «„.V,    s celočíselnými koeficienty, se nazývá   p r i m III» n í,  jestliže jeho koeficienty jsou nesoudělné', t. zn. ( a0, a,, .    ■ ,■ an) = I.
Věta 8.1. ; Necht" f = a„ + tt,x + . . . + <$,*" 6 Z [jí | je libovolný nenulový polynom.   Polom :
I.    polynom  f lze vyjádřil ve tvaru : (!)                                                                     f-z. f*

kúií. z £ Z a f * je piimUfvtifiifjtyjimn
2. vyjadrení (1) je jednoznačné až na asociovanosl. t. z/t./Wi <2)                           /=;./"= z, ,,/,*
kde z,z, 6 $ a f*. J,* /sou pri mitivní polynomy, j>ak z,z, jsou asociovány ľ ? f / *.' /, * /.to» aspcMjvvny v Z\x\ .
[Du kaz:  ad 1 :   symbolem  z označme největší společný dělitel (v Z) viech KP.eficieplti pfllyripmu. £  t. zn,   z - (a,,, a, ,. . . .«j. Koeficienty polynomu f* pak obdržíme z př(slMŠnýcli koel'lcientu polynoinu f vydělením éíglern r. Zrejmé pak je /* priin.itiYpí a platí (1).
ad 2: nechf platí (2),; kde ?,z, eZ a /*,/}<! jsou primitivní polynomy.
Pak ale z, la, pro i' = Q, 1.....«,  t. zn. take z, I («„,«,, ..., a, ) = z .  Necht* tedy
z=zy c , kde c e Z. Po dosazení:   z, c/* = z,/, *, t.zn. c/* =/, » a tedy čjšla c dělí všechny koeficienty pplynornu /,* , který je však primitivní. Pak ale c = ± i, t. zn, z.= ±z, , resp, /,* = i/-*, cpž je žádané tvr/.en.í].
Věta,8.2. : CGauxsoyo. lemma')
Necht' f,ge.$[x ] jsou, primitivní polynomy. Pak je/ich součin f. g jč lúke'primitivním polynomem.
l P 8, k a, z pro.y^d^rne sporem, t. zn. nechť/; g jsou primit,iyní a predpokládejrne, ?.? / ? '?r'M WWÍMyní PP'j(noni, PaJs ale exisjuje p.ryočíslp, p,, ktgijí dělí všechny koeficienty součinu f.g.
Označme,-                        jf s a, -M,* + ....+.an.x"                            .    ,.:.
£ = ft0 + <>ix+ - +*„,*'"
Vzhledem k předpokladu, p. nedělí všech,ny koeficienty polynomu / resp, polynomu g, Necht tedy ar,resp. bs je koeficient polynomu / , resp. g s nejmenším indexem, který není dělitelný číslem p.
Dale označme koeficient u mocniny .vr*'' polynomu. f.g symbpleih c . Pak:
(3)
c = a„  brt,+ ■■■ + aJ>  + ••• +" t -bo
a .b
.b = e   a0 .ft-
a_,ů.
t. z h.
-   67   -
Zřejmě /; dělí každý člen na pravé straně rovnosti (3), t. zn. pak take' p \a .b . Podle předpokladu však píra ,pJrb   a /; je prvočíslo, t. zn. p)fa :b , což je spor. Tedy pplynom f.g je primitivní].
Důsledek: součin libovolného konečného počtu primitivních polynomu je primitivní polynom.
[Důkaz:  tvrzení plyne z Gaussoya lenimatu užitím matematické'indukce ].
Poznámku: je-li g£@[x] libovolný polynom s racionálními kpefiejenty.
a„     a,                         a              ■'■■■'                •'"                      ■. • ■■■■''
pak po vynásobení společným jmenovatelem c = ft„ . b, ...b můžeme psa't: g = c[.h, kde /i6Z|í]. Podle V.8.1. však existuje d£Z a primitivní polynom /i*eZ [x] tak, že h = d.h*. Dohromady tedy lze polynom g£Q [x] psát ve tvaru:
(4)                    g:=c<,.d.h*  ,     kde c,dez, Ir.BZ.lx]^je^.rimitiyní.
Vyjadřeňí(4) užijeme V následující větě, která charakterizuje!irěďiicibilní polynomy
nad   Z.              ''■■•"■                      '"■"■.!■'.■''            ">'" "."«'<*>? <-                   ::<,.,..;': ,:•-.:
Věta 8.3.: Ireducibilními prvky v Z [x\ jsou pravé tyto polynomy^ ■ všechny ireducibilníprvky v Z
- všechny primitivní polynomy stupni alespoň  1 , kteréjsou ireducibilní nad polem Q racionálních čísti.
[ D 3 k a z : je-li f£Z[x], st(f) > 1 a / není primitivní, pak podle V.8.1. lze psát: /= z ,/*, kde /* je primitivní a tedy z # ± I, Zřejmé ani z ani /* neníjed-notkou v Z[x\, t. zn. polynom / je reducibilniv Z.[x]- Ireducibilními polynomy nad Z mohou tedy být jen konstantní polynomy anebp primitivní polynomy stupně alespoň I.
Nenulová;'konstanta. í-eZ však,y Z. [x] může být součinem pouzetcelých čísel, a tedy.c je irediicibilním .prvkem v Z\x.\ právě.když \c\ je pryoéíslo,.t, zn. pra'vé když c je ireducibilním prvkem v Z .                            .,,■■,.■>,.....
Dále, nechť /'eZ | A') je primitivní polynom stupne alespoň I. Je-li / rcducíbil-ním prvkem v Z[x], pak (vzhledem k tomu, zeje primitivní) je reducibilníi v Q[.x\. Naopak, nechť / je reducibilniv Q [.v J. Pak platí: / = g, .j,*, kde g, ,gtéQ[x],
1  <'• xl{g,),sl{g,) <«/(/). Polynomy g,, g, lze však pq<l|e poznámky pred větou psát vo tvaru (4), t. j.:
g, "C\'.d,.h* ,    j, = <■','.J,./,*
kde c,,d,ßZ, h*&Z\x\ je primitivní (/= 1,2). Po dosazení dostáváme: /'= c'i'.cj'.ť/, .</2 .//, ,/i,',t.zn.;
Ale /jeprirrjitivníapódlCGaussoValemmatujei ft*.ň* primitívni, t. zn. podle V.8.1 musí být poiynomy /a /i*.7i2' asociovány v Z |a ], t. zn./= e ./i'.ft* , kde e = ± 1. Poněvadž zřejmě jé i'Hí,) » »í'ft,)', Í»'Í,2, znamená to,že / je retiucibilní v Z[*|. Tím je dokázáno i 2. část tvrzeni'. J
Poznrfmkn: pro polynomy s celočíselnými koeficienty stupně >l předchozí víta ukazuje úzkou souvislost mezi ireduciÜiÜtou nad Z a nad Q . Přesněji řečeno, íe-li takový polynom íreducibllnŕ riad Ž, pak je ireducibilnínad Q , resp! je-liriavíc ještě primitivní, pak'je iredücibilnfriäd Ž .pravé když je ireducibilní rwd £ .
'Zppé'dň'ích dvou poznámek vyplývá, že vyšetřování ireducibilíty polynomu v ß[*! !ze;ylp,qdstate převpst na yySetroyárij.lretjucíbility polynomu-,v,Z[xj, Následující věta udává dostatečnou podmínku pro to, aby polynom s celočíselnými koeficienty byl ireducibilnínad tělesem racionálních čísel.
Veta 8.4.: (Eisensteinovo kriterium ireducibilíty) Nechť
(5)'            /=u0 + a,.v+ • .. + «„*"•;'       a^ěZ,   / = Ö, 1,..'., M
/e polynom, st(f) = /i ^ 1 . Nechť existuje prvočíslo p , pro něi platí:
["-       01«,     .       / = Ojl,.,.,„-l                   ':!■.
'/'■r«,,                        - ■                                !
y*</„                     -'            '"               • *:-
Pak polynom f je ircducibilm nad tělesem Q racionálních čišel.       '   *     "''
f D u k á i : provedeme sporem; necht*polynom / splňuje predpoklady věty a nechť*/' jé retiucibilní nad tělesem Q . Pak / je réducibilní nad Z! (podle V.8.3.) a tedy existují polynomy g, liBZ \x |, I < st{g), siUi) < šHJ'i /tvaru:
g = l>0 + l>,x t...th';    h - c'o + <|.v + ... + isx\ takové', že ,/"=,?. h. f'ak ale «„ = /;<,.(■„  a z (6) plyne, že /;|Ŕ„ .(„ , t.zn. p\l>u nebo
-  69   -
p\c„. Necht"tedy napf. p\ba. Pak ale p^<■„ .protože podle predpokladu p2ta„ ■ Dale necht" bk je koeficient s nejnižším indexem polynomu g , který není dělitelný prvočíslem p (takový koeficient jist? existuje, neboŕpodle (6): pi(a   = b .c  ,t.zn. pJfbr). Navíc je zřejmé  I < k < M-l . Platí však:
Ale oj 6( , / = 0,.... k   1  a dále /»{ft^ , p.lrcB a tedy ze (7) plyne, že pfuk , při Čemž je  1 <k <, n-r 1 , cožje ajesppr. |
Düsledek: Existuje polynom libovolného stupně n(n> \) ,s celočíselnými koeficienty,ktéřy je irédučibilnřnad tělesem Q.
| D ú k a z : vezměme například polynom f(x) -x" + 2; n>\ lib. ; pak podle Eisensteinova kriteria (pro p = 2) dostáváme, že / je jreducibilní nad Q. J
Poznámka:  Eisensteinovo krjterium je pouze dostatečnou, nikoliv vsak nutnou podmínkou ireducibilíty'polynomu /. Např, poly;norn /'=.x2 + 1 s.celými koeficienty zřejmé nesplňuje předpoklady Eisensteinova kriteria a presto je ireducibilnínad Q.
Kromě Eisensteinova kriteria existuje ještě řada dalších, méně významných dostatečných podmínek pro ireducibilitu polynomu nad Q . Existuje dokonce metoda (vypracovaná již Kroneckerem) pomocí rifřlzé o lib. polynomů š celými koeficienty rozhodnout, zda jé ireducibilnínad tělesem Q nebo-nikoliv. Je vsak příliš komplikovaná a težkopa'dná,takžejeprakficky nepoužitelná.-■: t»!                    ■        ;.. •
Nékdy nelze.Eisensteinova kritéria použít přímona polynom / (s Celými koeficienty), ále>lze jej použít na polynom f<x + a)~, kde .-a:eZ. PonžvadŽ všakireducibi-lita polynomu f(x) je ekvivalentní ireducibilitě polynomu"/\x * a) '/můžeme tímto zpösobem dokázat ireducibilitu ještě dalších polynomů, jak ukazuje následujícípří-klad:                                                                            .         '    "i;"
Příklad 8.1.:  Necht" p je pevne'prvočíslo. Ukažte, že polynom /(*) = x"-' + xľ'1 + ..;+'* + 1 je ireducibilnínad tělesem Q.
Řešení: je vidět, že na polynom f(x) nelze aplikovat Eisensteinovo kriterium. Zřejmě však /'(.v) lze napsat ve tvaru: f(x) m ~fj- a položíme-li x = y + I , dostáváme:
'■■•'.' s
-   70


sS««a
?€:'s
• ■i,ffli4 iéBIé
■■
f!1-s
"Tli
■É
odkud vidíme, že prvočíslo p délívíechny koeficienty polynomu ř, krom« vedoucího 'a p2 nedelí absolutní člen: Tedy podle Eisensteinova kriteria je polynom 'g ireducibilní nad Q , t. zn. i /je ireducibilní nad Q, nebbfjje-li: fix) = h,(x).lh(x), pak je g(y)<* = /i,(.e+l)./!j(j'+l).
V záveru tohoto paragrafu se budeme zabývat hledáním ractonálních kořenu polynomů s raciona'lnfmi koeficienty. Na rozdíl od předchozí části tentokrát podáme úplne'a ,,pri tom poměrně jednoduché řešení.
Poznámka: necht* f (x) e Q [x] je polynom tvaru:
'-' ■                                        /(*) - aií + ď,jt+ ..: + anx" ■*   ■"
kde tedy a0, a,.....a^feß'•" Ôznäčíme-li součirí jmeriôvatéio víecH koeficientů polynomu /"(*) symbolem aľ, pak pbíýnoŕŕi:          -■''-'   : ■'■-■■y           *■'••"
d.fix) = d.a0 + d.a,x + 'S+d.a^x" mazřejmé-YŽechny koeficienty celqčíselné.
Z V.3,2. pak bezprostředně vyplývá, že číslo t-eß je kořenem polynomu /'(*) právě když c je kořenem polynomu d.fix) . Tedy polynomy / i,d.f' mají v Q , stejň? kořeny^ problém nalezení racionálníchkořenfl polynomu s racionálními koeficienty jsme tímto obratem převedli na problém nalezení racionálních kořenu polynomů s celými koeficienty.   ; ■-.,                ,•.»,,;      ,              , ,;,,. ., ,\VD ,,,. .
Věta 8.5.: NecVir'
(8)                          /"(*)*«„ +a,»+... +s^jc" ;   a,eZ,  an *0
ie polynom s celými koeficienty a nechť racionální číslo - í/ri/e r, s jsou nesoudělná) /e kořenem f.
. Pak-plutí: r\a0 ; ,v|a   .                                   •'••'«        ■'    '-vi'**
( D G kaz : je-li — = O (t.zn. r = 0, ,v= 1) kořenem polynomu /, pak musí být a„ = 0 a tvrzení vély platí.
Předpokládejme tedy,že — *£ 0. Pak po dosazenído / dostávame:
- 71 -
(9)        '-               a„ + a, . - + ..: + á ',.~T + «Č• "T = Ó'.
Vynásobením (9) číslem .v" ' a převedením posledního clenu nápravou stranu dostáváme: ''''«:•.'•••;
(lÖr"                       «0.i"-,'+a,.r>I+ ... + « ,./■"-' =-■'--—
'                                    "•'               s
Ale na levé straně výrazu (10) je celé číslo, I. zn. musí být: s I a■ ./■" . Podle předpokladu jsou ,?,r nesoudělná, t. zn. s,r" Jsou také nesoudělná a tedy musí platit i \an . Zbývající část tvrzení dostaneme analogicky vynásobením (9) Číslem ■—■ . Pak je:
.  "o- 7~,.+,ui.■■?""' +Ut_.s"~2.r + ... + aní .? .r"1 + a|(./■"'' = 0          ..       ,
aas"   t  .      an.í"     - ,, •.■   . yv,    .
t.zn. a, .i"'1 + a, s"'2.;- + ... + a ./•"'' =>.--2—-    tedy —-— rňusibyt cele cislo, i                  j                                „                       r                          r
t.zn. ;■ | a0.s" , odkud stejné jako výše plyne, že r|a0.]
Důsledek: 1. Je-li celé číslo c kořenem polynomu (8) s,ce!ými,kpeficienty, pak..,x
2..Je:li polynom (8) normovaný, pak každý racionální kořen f je cele .   ... ,. i ,-..čís!q.                   . .                 ..-.,..
[ D G k a z :   1. i 2. jsou bezprostředními důsledky předchozívčiy. ]
Poznámka: Pomocí V.8,5, jze najít vsediny racionální kořeny libovolného polynomu /Sß [x] . Nejprve vhodným vynásobením převedeme polynom / na polynom s :elými koeficienty, tvaru (8). Pak žjistíjne všeclihý^dělitele ŕ absolutního členu a0 a všechny dělitele s vedoucího koeficientu an a vytvoříme všechny možne'' zlomky
tvaru -"! kťerýcíí je zVejriiě kóhěčriěrHHtíhó SVžéchny raciorialrlí kořeny pölyiiömu f
s       \                                                      r-   t
je nutné hledat mezi nimi (výpočtem hodnoty /(j>'; ha'př.-'pi>'riíbčf HdřtíťfroVá schématu). VzhlJdem k tomu, že koeficienty a0,; resp. oft mohou mít velký počet děli^ telfi, mnžé;'býya(p,me|oda ňě^ cionálních k )řénů polynomu / slouží následující věta.
Véla 8.6.: Nechť racionální číslo   - (r, s nesoudélná) /<• kořenem polynomu (8)
s celými koeficienty; nechť m Je celé[číslo, Pak.■■.-.                        ■:;>•'.:,       ^;ii.-,
(r-rfi*)"1 ftnfí                                       ;   '•;;
ř. zn, specielně platí:
ír-*)r/(Di   (r + i)l/(-D
-  78  -
Kapitola HI
POLYNOMY VICE PROMĚNNÝCH
§ 1 : OKRUH POLYNOMŮ n PROMĚNNÝCH
V S 1  kapitoly II jsme ukázali konstrukci pomocí niž lze nad libovolným okruhem R konstruovat okruh R[x] polynomůjedné'proměnné'.Tuto^konstrukci lze zřejmě opakovat (yezmeme-li Ä [x] za výchozí okruh) a to libovolné konečně mhbhbkriít, což vedek následujíďdefínici.
Definice: Necht" R je okruh a ňec!:t" n je pevné přirozené číslo. Okruh, který získame z R, pouiijeme-lí ň-krdt konstrukci okruhu 'polynomů jednéproměnné' nazýváme o k r u h polynomů n proměnných nad R a označujeme jej R[x,, ...,xn].                                                                         '      ":?  :
Prvky okruhu R[x,, ...,xn) nazývame   polynomy   n   p r o m é ii n:ý't:h nad   R    (nebo tez polynomy n proménných s koeficienty z R ). Nulový pŕvék'
okruhu R{xt.....xn] nazýváme   nulový polynom   a označujeme jej o
nebo téz o(xt, ...,xn).
Poznámka: rozeberme nyní podrobněji předchozí definici pro některá konkrétní n.
Nechť n - I ; pak dostáváme známý okruh polynomu jedná proměnná, studovaný v kapitole II.
Nechť" n = 2 ; uvázíme-li že polynomy jedná proměnné'jsou nekonečná posloupnosti tYaru (a0, a......), kde a( ER , a, & 0 pouze pro konečný počet indexů /,
pak polynomy dvou proměnných jsou nekonečne'posloupnosti
((«oo>«10 >■•■•) .      (öio.«i......). ................)
jejichž členy jsou rovněž posloupnosti (tj. polynomy jedné proměnné'), při čemž pouze konečný počet těchto posloupností je různý od nulová posloupnosti, t.j. (0,0,....). Vidíme tedy, že polynom dvou proměnných si můžeme vyjádřit jako jistou nekonečnou matici (a.), kde i, j probíhají iieza'visle množinu všech celých nezáporných čísel, v níž pouze konečný počet prvků je různý od nulového prvku 0R . Do radkú teto 'matice' vypisujeme postupně polynomy jedné proměnné', které'jsou členy posloup-
nosti určující daný polynom. Operace + nebo . pak můžeme zapsat následujícím způsobem:                                                                                     ,-/ :        .   >,
(a)  . (ft ) - (dl,        kde  cť   =  YL YL a..bmi ■'■■'..         '            ''                        'i    ■■Hm*)ř*tft f    W,.r.'
Při tom zřejmě nulovým polynomem jé polynom, v jehož zápisu se vyskytují pouze
0R a jednotkovým polynomem je polynom (ě(/), kde b^= 1R',řesp.:^=0^ jinak.
Necht n - 3 ; pak polynomy tří proménných jsou posloupnosti, jejichž členy jsou výše popsaní polynomy dvou proměnných. Je vidět,Že takovéto posloupnosti lze vyjádřit indexováním prvků z R třemi indexy, t.j; ve tvaru (a...), kde /,/, #a'' nezávisle probíhají množinu všech celých nezáporných Čísel, při čemž a.. eÄ' a * pouze konečný počet prvků a,„ je různý od QR , '
Výše uveden? úvahy lze nyní zobecnit na případ n proměnných, t. zň: polynom n proměnných lze uvažovat jako posloupnost tvaru (a,,      . ),kde í,,..., i  néza'-
'ťl ■•••'n                              "
visle probíhají množinu všech celých nezáporných čísel,při čemž a, ,     ' SŔ ápóu-
ze konečný počet prvků a:    ( ^ 0„ .
Věta I.I.: Je-li okruh R oborem integrity, pak okruh R[x,,...,xn]  je také. ■ oborem integrity.
[Důkaz: provedeme matematickou indukcí vzhledem k n . Pro ji .=4 tvrzeni
plyne z důsledku V.1.3, kapitoly II. Nechť tedy tvrzení platí pro  1,2...../i-l. Pak je
R[x,, .,.,xn\ = (R[xí ■'-,!—,xri ;j ])[^nj, přičemž podlé indukčního předpokladu je
R [x,, ..., xn  ] oborem integrity. Tedy opět podle,důsledku>y.l i3.,,kapítqly,,llj.je pak
k [x,,..., xn] oborem integrity. ]
Definice: Nechť f = (a, (    , )€/ř[x.....,xn] je polynom n proměnných nad
okruhem R , Stup n ém: po I y n o m u f. nazývame nejvéts'íz.číselyiiilt^j.:^;: + i: y kde a , &0, resp.--\"? v prípade, že f je nulový polvnpi.ty. Stupehipoty.nq-mu f budeme označovat symbolem st(f).                                                   ,-,   ,-,+v
Polynomy stupně nula a nulo vý polynom nazývame   konstantní poly,-n o m y ; polynomy stupne jedna nazýváme    I In ear n í polynomy.
Poznámka: symbol °° je definova'n stejným způsobem-jäko'téňtýž symbol/zavedený .v § 1, kapitoly II. pro polynomy jédne' proměnné. Rovněž vlastnosti s i (f) * pro pblynomy n proměnných budou analogické vlastnostem stupně polynomu jedné' proměnné.
■. t! It
M vim
.    ta
BÉ
III ....
■■k
.', vil;
É
li
iii;,1-
V i
I 'i:
III:
tefiiH':
72
[Dßkaz: dělíme polynom / lineárním polynomem (.v-hi).t. zn.pak (11)                                  fix) = (.v  m).í/U) + /(m)
při čemž qix) = b„ + bt x + ...+ 6,,.,-x"'1  musí být polynomem s celočíselnými koeficienty, jak plyne z Hornerova schématu. Dosaďme hodnotu x-~ do (11). Dostáva'-
0 = /(~) --■■ i~- m)(ö0 + Ŕ, ~ + ... + />„., • ~r,) + /<"D
odkud pak
(12)
f (ni)
•(/)„ +6,
<+&_
Vidíme, že pro r-m.s je■'/ (mi =0 , -t.zn. (r-m.j)|/(m) a věta platí, Néčht" tedy
r*Btr,  Vyna'sobíme-li (12) výrazem —----- .dostáváme:
......              •■ - ■      .                                         ľ- mx                                               - ■                      ...
f" ■/("■)
* -(6„.ínl + 61.r.l"■, + ...tí    r"-1)
r-ms kde na pravé stráně je celé číslo, t: zn. musí být ir -ms) |í";/(/íi) .          "-.» r*
Ale r-msis" jsou nesoudělná čísla, nebot jinak existuje prvočíslo p s vlastností: p j r-mš fy ]%" r ödküd vsak plyne, že p | j (poriěvádz /jjě prvočíslo). Pak ale take p I (r- rrtj) + ms t . Máme tedy: p\r , p \s , což je spor s předpokladem vety. Jsou tedy r-ms, s" nesoudělná, t.zn. ze vztahu ir-ms) I s".f(m) dostávame, Že ir-ms)]f(m).]
Príklad 8.2.:  Nalezněte racionální kořeny polynomů:
fix):
fx!+aU^
2
" "5
i* ,*WřÍK,V.h
Řešení: po vynásobení číslem .5 dostáva'rne polynom g ix) s celým j koeficienty, s nímz budeme dále pracovat.Tedy:                                                    j.     ^
■""'•    g(x)f Sj^+.SJr3**1* 5*-.2 .                     .    \ :XI
Jé-li - racionálním kořenem polynoipu g (a tedy i polynomu /), pá>| dlevVi8.S.:
r 1-3   =»   r= l.: 1,2.   Z * 13      ■»   í=1,3
(zrejmé u jednoho z čísel r,.v stačí uvažovat pouze kladné dělitele). Dále vypíšeme všechny možné hodnoty -J a pod ně pak hodnoty r + s , resp. r -1:'
M-
I
73    -
r   m    1/   i     -J/     J      2/    2/      J, m. 44,..
.v       4 '      3 '    -T'     3   '   4 '   -3',      I  '      -3"
; + .v  »'     2,     4,       0 ,       2  ,      3,      5', " -'i"',  '    1 ;       g{  1) =    8
r-.v   =      0,    '2,     -2,       4,      1.      1 ,       3 ,    '5  ;       g(l)=12
•., j.; •       ,              „      ,             ,        I
Užitím V.8:6. vidíme, že z původních osmi hodnot — zbývají k overení pouze tri: r , - * , -2. Toto overení provedeme napr. Homérovým schématem:
	3     .5   ■•.•    1.         5.-2   .
1 3 i -2	3       6         3         6    |   0 3    0     3   1 0
=»  — je koi encm g "*   ^ neni kořenem 5 •» -2 je kořenem g
Tedy polynom/(x) ma'dva racionálni kořeny: j ,    2
80
Viti. 1.2.: Necht" R /e okruh,  n je pevne pfirozen/číslo. Puk:
:[|                                  I. Mi.-nlnu všech konstantních pol) noma tvorí podokruh okru/tu Ä|jr, ,...,>], kte-||jl||                                      rý he ztotožnit s okruhem R.                  ,   ■
>:;•                                  2. Je-ll   [k,.....k   ) lib. neprázdná podmnožina   [\ ,2,..., n) , pak polynomy
111                                      /='ai.(    i )é/ífc*i, ■■■•.vn| pro nei a,       = 0 , jestliže 1,^0 pro nČjukě
Hl                                      Sjf.t*i ,-,k^}, Ivan podokruh okruhu R [x,, •••,*„]■ Tento podokruh lze zto-
tožnit s okruhem polynomů m proměnných nad R.
Hl                                       [ D 3 k a z : obě tvrzení plynoiiz V.1.3., kapitoly I a jí následující poznámky,
lil                              neboť!                        ,
III                                  1. zobrazení
i                                     ' .  '                      </>:« -* «í*......xj
lil                                       definované pro lib. a&R vztahem: <p{a) = 'all    , ) , kde «„„...„=« , resp.
lllllilr                                       a         ~ O • Je"" alespoň jeden z Indexů různý od nuly,je vnořením.
Ill                 '"'    ,      ;
lllllli                                  ^' zobrazen)

* :«[•%,.....X^] -» «[*,.....xj
definované pro lib. (a.     ,   )GR[x.  ,...,.x.   J vztahem iH(a,     ,    )) = (u,     , ),
*i   *...            '          m                        *r *.»           ' " "
kde
O            jestliže /^O pro nejaké j^fA,,..., km }
"í,.../„
a,     j      jinak
je vnorením. J
Stejní jáko u polynomu jedné proměnné, mažeme i zde zavést zjednodušený způsob zápisu polynomů z R [.f,, J,x ].- Je-li 1 < A: < n , pak polynom (ft( (    ,),, kde I    je-li (km |  a /; = 0   ŕro j-=ŕ-k:                            '■'
O   jinak
označíme pevným symbolem, např. xk (při tom žádáme pouze, aby symboly odpovídající různým indexům A: byly různé). Pak libovolný polynom f- (a(       ) lze napsat ve tvaru
při čemž sumace se provádí přes libovolnou konečnou množinu //-tic indexů (,,.;.,< [lil                                  takovou, že obsahuje všechny /Mice pro. něž ,«     i*^®- Dvě vyjádřen! polynomu /
Uli                                  ve tvaru (I) se.tedy mohou Ijšit nanejvýš fprmálně o sčítance tvaru O.X\ ■ ■■x". Dále
IUI                                  vidíme, že posloupnost indexů koeficientu u(        v (l) a odpovídající posloupnost
-  81  -
exponentů u jednotlivých x^ jsou shodné alien! tedy nutné koeficienty indexovat. Ilu-deme tedy polynom / častěji psát ve tvaru:
(1 )                              f - Xa.x, ...xn
Definice: Nechť R je okruh; pak výraz
(2)                                  *,\ *,'... *;
nazýváme    členem   o   n   proměnných    nebo stručné členem. Je-li  /-" Ľ a.Xy ...x^' GR[xf, ...,xn], pak (2) nazýváme    členem   polynomu    f; prvek «£/? pak nazýváme    koeficientem   členu    (2). Stupněm   clenu    x,...xit   nazývame cislo  /, + .... + /    Polynom, jehož všechny členy majf.tenlýžstupeň, s nazýváme   h o mo g en ní po l y nom .(stupně s).
Poznámka:  z předchozí definice a z definice st{f) plyne, že stupeň nenulového polynomu / je roven maximálnímu ze stupňů jeho členů s nenulovými koeficienty.
■■'   PrfklAd 1.1.:  <.ň•..«■-        ,.   , .., .           :<!.,.•>.-. ■                     VstA*«.
a)   v Kl*, .Xj,^,*«] je /= (2-/).Jcf:Xj-JCiXÍ-3.A;f,Aí,x:3' + (l + 2i) polynomem stupně 6, který je nehomogenní'. ,
b)   v ZA[xK ,Xi,x3\ je g = 2*?^+ 3*^3 +X|.xj.t3 homogenním polynomem stupně 3.
Poznámka: při .vyjádření polynomuz-7? [x,, ,..,.,řn] ye tvaru (1.) a: při operacích s niiTll se mohou veiyyjádření.Cl) objevit, dva stejné cleny s nenulovými koeficienty (při tom předpokládáme, Že nezáleží na pořadí proměnných, t. zn.. např. x^ . ?*a*i, atd.), které'vlíak můžeme sečíst, nebot" zřejmě je: v
•••'••     ■-■■ b.xl:.:x^c;xi.J» -(b + c).x\'..,x^   .•„,.,   ;.u<L$«v
■ Na základě tétn iívahy budeme nyní yíude v dalším předpokládat, že při vyja'drení polynomu z R:[x,t i.;., xj ve tvaru (I) se nevyskytují stejné členy, ani členy s koeficientem rovným ;0 . Bude:li třeba tuto úmluvu zvlášt"zdůraznit, řekneme, že daný pojy-hóhiije ve slundartním tvaru.                                                     ■:,j,            ,.-,,,
Věta .1.3.: Kaídý polynom fSR\.x.....,xj lze napsal ve tvaru součlit.hpmogen-
ních polynomů navzájem různých slupnu, při černí loto vyjadrení je jednoznačne1 (až na poradí).
[Důkaz: hledané" vyjádření obdržíme tak, že sdružíme dohromady vždy členy polynomu / , mající stejný stupeň. Jednoznačnost daného vyja'dŕení plyne z toho, že všechny polynomy předpokládáme zapsaná ve standartním tvaru. ]
Definice: Nechť /= Z a.x} ....*';' <=« [jt.......v, J a nechť (ft,, ..., ft. ) je prvek
kartfoského součinu R" (t.j. uspořádaná n-ticě prvko z R h Pak        : :•!■•;'
2 íi.ft',1...//" je prvek okruhu R ,  který nazýváme    hodnota   polynomu   f   v   bodě
(bi,...,bn) a označujeme f(b, , ...', OJ. Je-li  /{ft,.....bj - ÚK, tikáme, íe
(b, ,-,/'„) je    kořenem   polynomu   f.          ■■■■■-■>■•>.■■.,<   ■„»    :••-..   •.-.■■-.■
Poznámka: z definice bezprostředně vyplývá, že pro libovolné polynomy f.geR[xu...,xn] platí:
(?)                          (/±*)(í>i .....ft„) =/(*,,..:,ft„) tg(b,\ 2r,bny     "c """'
(4>                          (/ ■ ?)(*......bj = /(ft,,...', ôa) . gib],...", y
Nechť R je okruh; symbolem R" značíme kartézský součin R [X: ....X/í, (/i-krat)
Pro'lib. /€/? [x,.....jíJ definujeme zobrazení:   ;                                  ;i  ,   .,
*r:R"-yR     '■:"     ■•-• takto: pro lib. (ft,,..., bjěR" položíme
(5)                                     */0>,.....ft„)>=/(ft......ft„)
Zobrazení *, budeme nazývat polynomiální'funkce polynomu /'.. Jestliže: k ňéjake'-mu zobrazení \f iR" -* R ^>^V^V^-t^^\ll^ŕ^^PÍk^hf^'i^^A \j/ budeme nazývat polynomiální funkce.                            '.'-.ri< -,■■■<<, ■■ ;. ••ía;
Analogicky jako u polynomů jedné proměnné lze uka'zat, žé polynomiální funkce tvoří unitární podokruh okruhu («<"">,+, •) z příkladu 1.2, kap. I. a že zobrazení
"•■   "    :                                  /•': K |;x,,...,.v.r j ->«(»"»  .ri        ■   .;    w.ftx-sf
definované vztahem /<'(/) = <|J, pro lib. fGR[x\,;.,,.* ] , je okruhovým homomor-fizňiem". Tento homomorflzmus však obecné nemusí být injektivnf, t j; nemusí být vnorením. V dál.sím pak ukážeme dostatečnou podmínku pro to, aby vnořením,byl.
Věta 1.4.: Nechť'R„ je nekonečný ohoř integrity, nechť /(.v, , „;,x )6/{(*i>..»-V„l je nenulový polynom Pak existuje prvek (ft,, ..,ft )e/?J tak, že fib,,.,,-, b.) st 0.
83
[ D 8 k a z..: provedeme matematickou indukcí vzhledem k n: ľ.o.ii =i i-tvrze-nívéty platí (viz V .3 5., kap. II.). Předpokládejme, že tvrzení vety plití pro vscch.iy nekonečné obory integrity /{ a okruhy polynomu n   \ proměnných R\x,, ...,x    ]
!:k'ííe n
Š='2."'Poněvadž Ř„\x,:.....vj = («„[v,.':.., x_J)\x\, při čemž RAx:u'.:.'..?    j
je nekonečný obor integrity, pak z I. části důkazu plyne, ze existuje prvek
•   ''   ,  '-'  .             ■ •     .. i  -.   i'r  .■■■   ■-•:■    •      .„••;■■ -Vli""! <:■<'   !:■■:' 1'!^'-"-'f   ..Uí'í   .'iymí^.í:/ ■*='*(*!......V|)e/Í»'A......*«-l I   tak,Ze   ^<JC>.....Vi l«) f "t*.....•*,.,)• °*.naC-
me /V......Xml) = /(v,.....v„.,.gl- Pak / é/ř„[.V| , ..'..*,.,] a z indukčního predpokladu plyne, že existují prvky ft,.....ft ,■&/?„  tak, že f*(b....., b    ) =£0 , t. zn.
f (b,. -./',.,.*(/'., ..Ä",')' I Ö . c'b.d. I.     '   ..
Včla 1.5.: Nechť R je nekonečný obor integrity. Pak zobrazení ľ:R\x,,,xn\ ■* /?<"") . popsané' výše, je vnorením
■ff
( D ú k a ž : vžliíederrik předchozím iíváhá íi žbývípóiize dokázat,'že /"jelnjek-tivní zobrazení. Nechťtedy /, g ER [x,, ■■■,.*,] jsou polynomy takové, že íF(/)!=F(g), t. zn. * = *s . Podle (S) tedy pro lib. (ft,, ..., b„)SR" platí /(ft,,.., bn)"•= g(ft,,.., ft,), ť. zn. pódíe (3) je pak:' ('/-^'(/»i .,'".*„)- Ó •  Ódtud 'vSak' p'ódleV.l .4.'píyne;Íe polynom f-g musíbytroven nulovému polynomu, t. zh. f<*= g. Zobřhzérií^F jéiédy injektivnf.]                                                                       .•"" "          "'"•"      '"'"""
M
i
"'"   DOslédek: Nečlif R je nekonečný oborintegHty^nechf/i^e'/?^,V.'!.V^]-Pak f=g pravé když /(ft......bn)=g(bt, ...,ft)ľ>, pro každé (ft,, ...i'ft^eß-r'.
(D IS'fc'j z : jé-li /(ft,;-..:, 6^) =ŕ(ft,, ...:, ft„)'prb každé"(ftri';.;j bJ)eR"i pak ' <t> = '!>', neboli ľ{f)-FÍg) á podlé V.1.5. jé ■/'"« ■' OpäČtlá '.íťh pH kuceije=.t riviál ňíť J
Poznámka: V okruhu R [x.....,.v j můžeme roviicž studovat otázky dělitelnosti
a ireducibility. Napr. z V.1.4. kapitoly. U. užitím matematické indukoéiply.ne, že je-li R oborem integrity, pak jednotkami okruhu R \xv, ...,„Ytll jsou právS'jednoíky okruhu R .Tedy k polynomu fuR \x.......vn| jsou'v tomto pnpade'ásociováhy právž
víechny polynomyIVaŕu;i>i/'., kde r&R,je jednotka okr.uhu.iß.wjN'a idruliájStráfxS ale napr. otázka charakterizace ireducibilních polynomti./i^promertnychje značné komplikovaná a to i ve speciálních případech, napr. pro R:=,K , k.dyHÍreducibi|ii^polynomy jedné proměnné umíme jednoduše popsat. Obecné lze totiž ukázat/že pro libovolné těleso R a pro n>2 existují v okruhu K|.v,......vj ireducibilní polynomy libo-

84
volného stupne m Pi.{ napr. polynom x\" + A, je v «|.v,,.....v ] ireducibilní).
Při studiu polynomů n proměnných je často potreba mít cleny daného polynomu lineárně uspořádaný. Ü polynomu jedné' proměnné jsme, unií to bylo nějak zy|áj!ť zdůrazňováno, üspora'dä'Väii jednotlivé mocniny proměnné Á- búd'to vzestupně nebo sestupně. Tuto metodu však pro .'polynomy « proměnných (;j'» 2) zřejmě nelze aplikovaťá musímetedy tížit jiného postupu,
Definice: "Nec/it A = ]x,,  -\", B-x,'...x^ j,iou dva čjeny o n proměnných. Řekneme, že    clen   A    i e  p ře d  Heuern    B   (nebö lez, zielen B je za cleném A), existuje-liindex t,   l</<n, splňujúI:
k, »í,,-,*,.,^*,., .■■*,>*(•■ , Jestliže člen A je před členem B nebo A = B , píšeme pak: A> B .
itrVřla 1,6.: > /<■ ,        i           to i             ' <  >    i   'nína množinevšech$eiiú o
ii   proměnných.                                                                            ■
^■*-■- •              -'Sli.
,[ Ď Skaz :, S> je zrejmé relací na (nekonečné) ninožiné viech členíi o n proměnných, Necht" ,4 = jr,'.... xlf" , B = Xy.,.x^ , Č = x,'... x" značí lib, členy o ;i proměnných. Relučé > je pak:
(i) reflexivní, neboť 4 =/l .t.zn.je /l>/4 i (n) antisymetncká, iieb«)l*platí-li 4>ů, /j>/l nemohou pak./), fl, být různé'
cleny, t. zn. je /l =.fl.   ,   ..              .:...■.       ,..■■>'•  v..u,; V,.
(iii) tranzitivní, neboťje-li /l > S , Ä í> C, pak pokud jsou některé dva z těchto ,,.;,)   >č)enň.rovne, inu.si.byt zrejme A >C , Předpokládejme, tedy, že.cleny /(,B, C i       jsou jii                né„Tp ale znamená; že, A, je před . Ä, a B je.píed Q,. Tedy
existují indexy /, / splňující:
.•! . ,*Ä,>;S|.j,v.vft,.1i.Ťíí.| i*, >.v,.s í?sp, Ä, =/......^.|Ä//.|,<^?'^htf«)W;1H
iirB;v5 iPakpři 7;«í./':je;,.fc,i».v......,*,-,,?= <£(J fy:> /, F.     .■•;  i.ji-;*'■/«&.»'•■;•;•■
• >.*'. •.'••  .^apíl ./i>7<je:| A:, = I,, ...,fy;í;= ■/,:■■, , :Jit>\t,,t\ ., ^j,;,::.;,,»-,;,;,...   ,, »«■i tedy v každém případě je A>> C                             . .:j,.j               „ ,
L(iv) jinéární(dplňá), neboťje-li A^B , pak existuje nějaký exponentov némž.se óbá clenyilisí, Vezmeme-li první takový'exponent,dostaneme, že bud, A* je  ', před'/i-nebo B je před A, tedy biiďje A >B nebo /i Sf-/) ■>] . ,    .
-  83   -
Definice: Relaci > nazýváme    r e I a c íI e x i.k.o graf i c.:k,e':Mto ,us,p o ■ řád dní členu   o    n    p r v m <?n n ý c h .    Vyselhjeme-li pouze členy daného polynomu f(xy, ...,xn), pak hovořímeo    I e x i ko g r'afi c k e hi uspořádá-n í členu  polynomu   f. Clen polynomu f, který le pred vüeml ostatními členy tohoto polynomu nazývame    v e do u c. íiň   c. len e m    polynomu f. .
Príklad 1.2.: Polynom feR[x,,x1,x3,xi] tvaru
/= 5xí + 3xfxix3  xfxjxi + $x,X;lxl-Hx1 + xjxt-2 je lexikograficky uspořádán a jeho vedoucím členem je clen x^ .
Veta 1.7.: Necht" R, je obor Integrity a nechť f,g&R[x,.....xn] jsou lib. nenulové' polynomy. Pak součin vedoucích clem' polynomu f a g je vedoucím členem součinu f.g.
I D ft k a z : necht A =xl'...xn" je vedóucíčlen /,resp. A'='xtl — x" je 'iib. dalš! člen polynomu /'. Pak existuje /,   1 </<n tak, íe:' ŕ, =m,,—■fy., = mln-:, ' k. > m. ■ Nechťpodobné, B = xt ... x£ je vedoucí člen polynomu g , resp. B':=-= Xx ... x" je lib. dalli člen g . Pak existuje j; s, = /-,, ..'.,),, = t, ,', i. > í.'ity ■■'{.'•
Platívííak: A.B^x",'"'..^1";  A'.B'= xf'*'ť- x*"*'", odkud'je ihned vidět, že A.B je pred Členení A'.B'. Podobne se ukáíe, že A.B je rovněž preď'/l.Ä';i před A'.B . Koeficient u Členu A. B v f.g je vsak součinem koeficientu u Á  iä| t. žn, je nenujový.neboť'/'! je podle predpokladu obor integrity. Tedy A.B je vedoucí člen polynomu f.g ■}
Poznámka: Nechť /{ je těleso; pak R [x......xn] je obor integrity, pro který můžeme stejnou metodou jako :v íj .9 kapitoly. II, sestrojit podílové těleso, které pznacuje-ine;/|(A-, ,....,.<,) a nazýváme těleso racionálních funkcí n proměnných nad R '. Při tom racionální'    funkcí /i proměnných (nad/?) rozumíme výraz
.■'  '   f\x;,...,x„)'   """ """;•'"";"'■-"■ ■■<■■■'-" g{x,,..:,x„)                            " -':  '■'<     ■ ■■ -- ■■*'
kde f.geRlx.....,x 1 a g¥=o(x, , ...,.v ). Rovnost racionálních funkcí n proměnných a operace na množině R[x,,.....« ■) vÜecli tříd navzájem rovných ťácionálhícli
funkcí n proměnných definujeme stejné jako v g 9' kapitoly!!; Platí pák i analogické' výsledky, t.zn. R [x, , ...,.v ) můžeme cha'pat jako podokruh tělesa raciônálních'funk-cí Ry.\,, ...,x ) a libovolný prvek z R(.\,. ••■,.r„) můžeme pak vyjádřit jako podlí dvou pivkůz R\x.......v(i| .
-  86  -
S 2 :  SYMETRICKÉ POLYNOMY
ÚMLUVA: vínde v tomto paragrafu predpokladáme, že R značí těleso.
Definice: Polynom /'(*,, ....x^ßR [x,....."xj se nazývá   s y m etil c k ý,
jestliže se nezmČní žádnou pennutactproměnných, t: zn. pro libovolnou permutaci («i..,...,aj indexů 1,2, ...,n platí:
/(*«,> ■•;■••*.„) =/(Jf|. •:•..>(■„)'.
Množinu wketi symetrických polynomů n promčnných nad R budeme označovat symbolem Rt(x, ,..;,.jt(l] i
Přiklad 2,1.: V ß[*,,x,] polynomy f=lx\ Xi + 2jt|jtj + JC| + jej ,resp. £ = 3 jsou symetrické', kdežto polynomy h = x\, resp. fc = x\ + 2.x,*2 symetrické" néjsoii.
Vlta^.l.: R^x,, -,xj je podokruhem oboru integrity R[x.....hxJ, tedy/e
to obor integrity, který navíc obsahu/e telesa R .
[Dôkaz- jsou-li f\  a/,  symetrické polynomy, pak i f, +/3,/j  /,, fi ./, se neměn/iádnoupermutaci proměnných, t. zn. jsou to symetrické polynomy. Tedy
ftj*,.,,....,xj je podokruhem oboru integrity R [x.....,xn\ . t. zn. je take oborem
integrity. Zbytek tvrzení je zřejmý, neboť konstantní polýnomyjšou symetrické'. ]
Veta 2.2.: Nechť A = .x, .x*... x " já vedoucí Člen symetrického polynomu fix, ,....xn). Pak platí;                                                                             '       . '
k, >kt > ... > kn
[D>8kaz: provedeme sporem; nechť A je vedoucí člen f a nečhťexlsttije!in-.dex /, 1 < / < n -1, takový, ze fy < Jfc+- . Vzhledem k tornu, ze polynom / je symetrický, musí obsahovat i člen Ŕ =xV'.'..x,!,'x'n.^x *!= .x,1 ...*,'*'*,!■••• i ".Potom väak člen B je před členem A , což je spor.)
Vein 2.3.:, M.'c/i('/l =.t! ...x* je člen o n proměnných. Pak existuje pouze konečne mnohaycdoucích členů symetrických polynomu o n proměnných.' kieré jsou za členěni A .
| D ú k a z : nechť' .v,1. .v,1... v " Je vedoucí člen nějakého symetrického polynomu o n  promčnných, který je za členem A   (při lexikograficke'm uspořádáni členu ó n
-   87   -
proměnných). Pak musí platit:
1)  existuje i, 1 <i<ín tak,že: k, --.v, , .... &,., =.s( , , fc, >í(
2)   .v, >s, > ... >,sn  (podle V.2.2.)
Odtud vidíme, že musí jisté platil: .v. <fc,, ŕ = 1, ...,;i , t. zn. vedoucích'čjeritoy metrických polynomu, které jgoii za'členem A je jisté méně něž (fc, +I )",t. zn. konečne mnoho.]                                                                                               '■■''■■ '■'
Definice: Polynomy z R[x......«J tvaru:
0|(A-,.....X) = .V, + ,Xj +   ...,+ Xn   .                                                    .    ;
0,U'|......VI =.X|JCa + X,X, + ... t ,v,.V   + JJ.T3 + ... + xn.xn
o, U.......x ) =   t------        x. -t. ...x
.«      '                "         /,<(,<... <ís    'I     '2       <*              "
o (r., ...,.* )-x,■ x,...x
n.     '        *   (ľ         '      3    .,  n.      . .     ...
nazývame    clem en t ár n í., s y, m.e (fielt d p o l y n omy, ,(n.proměnných).
Poznámka: Je bezprostredne vidét.že výse.deťinovane polynomy o^Cx,, ■,-í.xn) jsou skutečné symetrickými polynomy, S těmito polynomy jsme se setkali již dříve (při poněkud odlišném označeni, což je však nepodstatné), ve V.7.5. kapitoly=11., která udávala vztahy mezi kořeny a koeficienty polynomu feK[x] . Muzemetedý.nci, že koeficienty polynomu jedné proměnné (nad K) jsou, aŽ na konstantní násobek, elementárními symetrickými polynomy jeho kořeno.
V dalším budeme řešit otázku, zda libovolný symetrický polynom fSRjx,, -'.íxj lze vyjádřit jako polynom v proměnných o, ,,..., (i, , resp. kolika způsoby. Vyčerpávající odpoyěďna tuto otázku dává následující věta.
V&a 2.4.: (Hlavní věta o symetrických polynomech.)
Každý symetrický polynom /(.v......xn\€RJx......xj lze vyjádřit jako polynom
n proměnných o......on nad R .  t. zn.
/li......inl = )>(«i.-.«,)
/)// čemž toto vyjádření je jednoznačne.
[D ú kaz: I. existence:  neéhř/t*.......v,) je symetrický polynom nad R  a
nechť
*i ' *a     kti U)     .   .    .                      a..\\  -v, ...xH
je jeho vedoucí člen s koeficientem ue/f.n^O. Podle V.2.2. je: kxS>kt> ->k„-
88
f  r1
::."'•''
1111


m í
llsii
:.1Íí
i
Uvažme polynom:
dl                         _        *|-*S     *J-*3        Vi'1»    *„
(3)                   f, - a. a,      .Of      .... a,,,       . an
Pak podle předchozího jsou všechny exponenty v (3) celá nezáporná čísla a navíc po
dosazení z (l) je <p, symetrickým polynomem v proměnných x.....„x   (plyne z V.2.1,
nebot pak je i/j, součinem symetrických polynomfi proměnných x,, ...,x ). Napišme nyní vedoucí člen (i s koeficientem) polynomu y>,. Podle V.1.7. je to:
(4)         a.x,      .(x,x,)       ....(x,x1...xnl)         .{x,.x2...xn)" = a.x,x1...xli Vidíme, že je roven (i co do koeficientu) vedoucímu členu polynomu /. Utvořme polynom: -'. "»
(5)                                          /, =/■¥>,
Pak /J je symetrickým polynomem v proměnných jr,, ...,x   nad R , při černí vedoucí člen yj  stojí za vedoucím členem polynomu /, jak plyne z (2), (.4) a (5). Dále, vy-jděme-li z vedoucího clenu polynomu /j, zkonstruujeme analogicky polynom \p7 a označíme: /j = fx - y>2 . Pak vedoucí člen ft stojí za vedoucím Členem polynomu f, a platí:                                                                                                       '"•
f = <Pi+A = <Pi + >Pz+fi      ........•".....- -r-- ■ ~~ -.--,-
Takto postupujeme dále, až obdržíme jj = o , což podle V.2.3. po konečném počti) kroku musí nastat. Po dosazen! pak dostáváme:
což je hledané' vyjádření.
II. jednoznačnost: dflkaz jednoznačnosti hledaného vyjádření provedeme sporem. Nechť: fix.....,xn) = vi(o......an)= ^(o,, ...,an), při čeniž' ip¥ 0:;
t. zn, polynomy \p a \j/ se liší alešpoňi v jednom koeficientu u stejného členu. Označme:
t(0|, ..., an) = ir(0|, ..., on) - 0(o,, ...,on) . Označtme-li g(x,,...,xn) polynom získaný z r(o......un) substitucí (lj, pak je zřejmé g(x......x ) - o .Podle předpokladu je t(o, , ..., an)=£o(o......oj , t.zn.
alespoň jeden koeficient u některého členu polynomu t je nenulový: Nechť
(6)                                              «.o','. Oj2.... om" , kde u^O
vystupuje v T(a, ,-..., a ). Po dosazení( 1) do (6) dostáváme zřejmě symetrický polynom v proměnných .v,,....A-   , jehož vedoucí člen nechfje:
(7)                                                                          X, ..Vj  ....v.
1
89
flpdle.V.1.7.jeysak:. ,|l4,.o ..,.
.....                            "JT,  :JCj   • ••*„   - X, .(.X,*,)    ...V.XiXj ... Xn)
odkud po úpravě pravé strany dostáváme:
v, »f,*f, + ••■ + ',.
což jinak zapsáno dává:
(8)
í,    =v,-ľ r,"   = v2- i-
'„., =vr
Vidíme tedy. Že exponenty /,,..,, t íleňu (6) lze jednpznačnčíkonstruovat zuxpo-nentu i>j,.,«,"? vedoucího členu (7). Tedy, rfižné Členy polynomu t(o, ,..., a ), uvažované jako symetrické polynomy v x,,..., xn (ť. žn. po substituci (lj) musí mít iruz-né vedoucí členy (jinak totiž podle (8) z rovnosti vedoucích členu (7) plyne i rovnost původních clen8*(6)).                                                             '%"■ s't             *J'':
Uvažme nyníySechny.členy; sncnulovými koeficientj; polynomu.(.j-,,.každ^ji nich
substitucí (i) převeďme na polynom v proměnných xt.....xr >. vezmime vždy vedou-
éřčirtí 'tohoto polynomu'. Dostaneme täk'neprázdnoU'ranpŽinu'nayzájerh různých čle-wÄß?k'terZi uspořádáme lexikograficky. Veziüeme-H' nyní y !tomtó íuspOrádáhí'VedOUčí člen, pak tento musí být před vůbec všemi členy, které píi substituci'(1i)JddSr(pjvi;fan) 'dostaneme; píi 'tom' jehb'koefičiénfje zřejmínenulový: Pak ale polynome ř(i,.';...,xn) ''definoVaný yýše je hehiiíovýj cožjje spor. Musítedy-být v>(o,■',í.^,;ari) - 0(afr;.'iV<7rj)i ^tíiřfiřvyjádření polý-ilomu- f<vé tvárupolynomuprpměnnýctí o, jřU;^ ;nadi Rajeu ":i'<jědnOž"mičné/]'':"rlj:í-'" í'--j!*i i:--s:<iv ;■-:,/;:■...; ,. ^m.;*;- íívsí-'«;«?■ »«yňu» -rsýh Hfod^-
t:u m^Dflaiéafek: Necht*/^, ř'i»?*B')^VÍ«ii «.vc^'j^vyjádŕenísymetrickéhopolyno-£'""Mti' féR [x\, ..;,* ] pompcí elementárních sýmetrlckýchipolynomfl.Pafckoeficienty polynomu y získáme z koeficientu polynomu f pomocí operací sčítání a odečítáni (v /?);"'• ^"■■-! ..-■■••     <   J'.v*   i-;;«^-;.-;!*- .   ■.,ř;..,oi; -,:•.,.-.              ,.   /•:--:
[P ů k a z : z první části dGkaz.u předchozí-věty plyne, že polynom y>, má za kocfieÍerit?přímó koeficient vedoucího Členu polynomu f .Proyedeme:li;ye (3) substituci (i) tpak po rozepsání dostaneme polynom: v promČnnýchcí:,. j,..íí. xk , jeho?
-  90  -
koeficienty jsou celými nádobky koeficientu vedoucího členu polyňotr>u f. Pák áíé z (5) plyne, £e koeficienty polynomu /, získáme z koéflcieiifu polynomu / pomocí sčítání a odečítání a totéž" tedy platí pro koeficient polynomu u>, ..Podobni pro poly-nomy <fi}, ...,<pr , t. zn. i pro polynom.yj .]
íFoznámka: .důkaz prvníčasti předchozí vžtý je konstruktivní, t. zn.lze jej aplikovat při konkrétním výpóítu, jak ukazuje následující příklad.
Příklad 2.2.: Symetrický polynom /(*,,%,*j)>? *f*, +#x?.Xj + Jrj.jr, +xjx} + + j$£j + «J*, 6 Q (x, ,.vj ,.<, ] vyjádřete pomocielementárních symetrických polynomu,                                                                                                              j,
Reseníí
Ví ■-■l.vli...ol'°.o$ »v,LOj* {Xi+Xi + xiXxiXiŤXtXi + XfXt)" ■•■■■
■ *......'"'"'■■'■• ~ XJX,* Xlxy4 X^x,* xfxf^ x^x, * x^* fx^x^x,' '   •'!H"'ÍM
„,,«-,,        .-(«i ■ *£-<?> ffr7ifel^»^»-, a». . .-,, . .;■••...,, feu. .-,J;,/ , ,, „.-S bntvfe Vři
.Pak:.           /2 =A-<Pi~"   ■                                              j^<*j.A*«&dsÍ«b<M&t
Ví:':'*-!/'-* :"ií?íi/:V- ■     ■»■.•,• ;í.;•■':■ :•';"■ '■■'■>'' » . »»»VUSI B ! »«sčřívwkt í ři fciiíJllHÍHä
;•; ik2ipifcltáU:ltMátt,ilQ\%t}mÍ!\apfi':yy$tfl_ s^pflj[polynpmuP/í,bude.^yeJ^ený5P.o-stup,yelmi,prácný, Odypdfmeproto nyníjlrtou metodu,ktejápřipraktickém,vypočtu budejednodussí.;•.,«!>. .. .?•, •...           ,,_;    (;;i( ■ <.:.»;■,. i,,,;,, ,0,; jWtm •iít„i}.fai, a/Jt,
,Z,dfikazu!hlavruyětyje vldltvže;členy.:h|edanfhpip,plynsmu,iy)(afl,;..i,.g.^.js.oiijvy-jadfovány pomocí vedoucích řlenusymetrických.^olynomíi tf,f, ,,■■)} fa r;J?řlitorn-ye-dpucf členy polynomu ft, -..,jf>, jsou za vedoucím člehemiPolynóinUi/;; ^íecl^nyita-kové'členy rřiůžeme vsak lehce vypsat a t postoupnosti jejich expbňcřitfiiUip^on^fnných A| , ...,.t   můžeme Ihned psát jim odppvídající členy hledaného polynomu tp(a,, ..,on). ;Kpéficienty.:taktP;nalezéných člen.8 jspii jistá.prvky ž R , .kteřo!zjistíme jjp|tupným dosazováním* konkrétních,hodnot (z tňesa,;J? ),,za prpmČnné^j,í;.í, x\ . Ijvétjen^ rf^toda se proto nazývá tmetoda neurčitých kaefkier\li\>M,* ., * (íU    ■■ >■,-.   ť    ,i    ..,'.„, . Jc-li /(.v,, ...,.v ) navíc homogenním polynomem stupnČ k , pak polynomy. >,,
/j...../    musíbýt též homogénny stupně k a tedy i jejich vedoucí členy jsou stupne
k ■' Stáží tedy vtomtopřípadé vypisovat pouze vedoucí členy.stupnČ-./t, .,; £ ,   . h   Nehí-llpbly.riom /(.v,,...(.v;) homogenní, pafcje zřejmé .výhddnéiíozdisilt jejfna hórnogennf části: navzájem řízných stupni! a pro každou část provčst íyýpp.qet^ylást.
91   -
Shrneme-li to, co jsme právě řekli, dostáváme praktický návod k vyjádření symetrického polynomu /(jt,,..., x ) pomocí elem. sym. polynomů at,.. ,o  :.
I:   Polynom / rozdél/me na homogenní Části nižných stupňů a pro každou z nich resíiue zvlsíšť.
2.   Napíšeme posloupnosti exponentů vedoucího členu A polynomu / a vséch vedoucích cleno symetrických polynomu daného stupni, stojícich za A .
3.    Ke kaíídé posloupnosti exponentů vypíšeme odppvídající člen v proměnných o,,..., an  (viz (3) v důkazu V.2.4.).
4.   Hledané vyjádření je lineární.kombinacícleno z 3., při čemž koeficient upryniho z nich je roven koeficientu členu A a, ostatní koeficienty,zjistíme: postupným,dosazováním vhodných hodnpt (z fi) za, je,, .,., x   •               i.:.,       ,.,..:■
5.   Sečtením nalezených vyjádření pro jednotlivé homogenní části dostaneme řešení,
Příklad 2.3.: Symetrický polynom f{xt, xa, x,) = (jef + x\ )(x\ + \] )tjt|,+ xl) + + Úl + *2 ){X\ + x3 )(.x5 + x3) e R[x,, Xi, x3 ] vyjádřete pomocí elem. symetrických polynomů.
Řešení: polynom / rozdělíme na dvé homogenní Části: f-g + h, kde: .
a)   ř(x,,xa,A:9) = (xf + j:22)(x? + x|KJc| + Jí?) = x?.^ + ......
4    2    0    •*   o}o]
4    11=»   a\a,
3    3    0    -»     o23        }    ? = o? <7j2 + /l. a,3 a, + B.oi + C.ot a1a1 +D.o]
3    2     1     ■*    0,0^0}
U2    =     a,1
(-1,   1,   0)   ■*   o, =0, a2 = -l, a3= 0, ř=     2 =»     2 =-B                   ,tzn./; =
( 2,   1,-1)   «   o,=0, ď,=-3, <j3= 2,g=  50 * 50 =-2.(-27)ť4^  ;4in.D°
(-1,   2,   2)   ■=»   a, = 3, o2= 0, a3 = -4,g = 200 =♦ 200 =/l.(27).(-4).-16, tzn./l,=
(-1,   1,   1)   ■*   a, = 1, o, = -l, Oj=-l,ř=    8*     8 = 1+2+2+C-l     ,tzn.C =
.   Tedy:g=ofo2   -2a,3o3    2a23 + 4o|0Ja3-031
b)   Ä(x, ,.vj,.x3) = (.v, +.Vi)C*i +-v.,)(.v2+Jr3)=.v12.T1 + .... }    /i = a,o2 + /ra3
2   10» I   I    I.
(1,1,1)   -   o, = 3, ct2 = 3. a:, = I, // = 8 - 8 = 9 + K , tzn. /í = -I Tedy; li ■ o, a2    a3
--   102   -
Dodatek
ALGEBRAICKÉ ROVNICE
§ 1 : ALGEBRAICKÉ ŘEŠENÍ ALGEBRAICKÝCH ROVNIC
Problém řešení rovnic je jedním z nejstarších a při tom nejdSležitějších matematických problémflvflbec,.který rovněž souvisíš teoriípolynomu". Poznamenejme,*ze všechny úvahy v te'to kapitole budeme provádět nad polem, i/ř 'komplexních íísel.ne-bude-li výslovně řečeno jinak. Dále, na rozdíl od předchozích kapitol bude podaný výklad tentokrát pouze stručným přehledem, při čemž díkladný rozbor lze najít např. v [6] nebo [8].
Je-li f(x) = anx" + an_lxn',+ ... + a0 polynom s komplexními koeficienty, stupně n > 1 , pak rovnici
(1)                            ,,        '             ■                                                                                                              ■'':- •■;
budeme nazývat algebraickou rovnicí (ři-tého stupně, o jedné neznáme'). Při tom (1) bude vyjadřovat příkaz vyhledat všechny (obecňž komplexní) kořený -polynomů/(je), ktére'budemeítéžínažývatikqřeny nebo řekni rovnice. (\), Je vidět, že polynom f(x) v (1) lze v tomto případě, bez újmy na obecnosti, předpokládat v normovaném tvaru.
Poznámka: je dôležitá si uvědomit, že zápis (1) neznamená tentokrát rovnost dvou polynomů (totiž polynomu / a nulového polynomu). Dále připomeňme, že kromě algebraických rovnic exlstujfi nealgebraicke rovnice, tj. rovnice tvaru (I), kde však f(x) není polynom, nýbrž nějaká jiná komplexní funkce. Takovými rovnicemi se zde nebudeme zabývat.
Příklad I.I.:  Rovnice (2)                                              .*"-■'I.= O :
je algebraickou rovnicí, jejímiž kořeny, jak známo, jsou právě všechny «-té odmocniny z jedné, t.j. íísla: cos-^+ / sin -~ , k = 0,1, ...,;i-| . V dalším budeme pro jednu z těchto hodnot používat pevného označení, a sice:
en = cos ~ + / sin ^ . Při tomto označení pak zřejmě všechny kořeny rovnice (2) jsou: I ,e , e!, ..., e""1 .
■   103   -
V dalším nyní naznačíme metody řešení pro nékolik'néjjedrioduŠiiich, resp. specielních typů algebraických rovnic.                                 ■.,..•-     ■■              .■:•■;>.■'
(a) Kvädratičkärovnice            -'.v,                         ...    ..(.                     :  ;■;•  °$s%
t.j. rovnice tvaru x'+px + q=() (kde p.tj jsou obecně komplexní čisla!) se dá přepsat do tvarb::;(x+ S)2 - (S-  q) - O , odkud ihned dostáváme její kořený':'
.  ...    r£                                 ,    ■                     ,          ..<■ * .   ■, : .   • .   ■■:;:        ■   ••.        ■    ....-.■
kde V V - q   znamená libovolnou (ale pevnou) z obou;druhych odmocnin z kptnr,,,,, plexnfiio čísla 4-   q . Připomeňme, že druh kořenfl kvadratické rovnice záleží na hodnotě diskriminantu O polynomu na levé straně (viz § 3,.kap. III.). Má-li kvadratická' rovnice navíc reálné koeficienty, pak.při D,> 0. má pouze reálné kořeny, resp. při D <0 pouze nereálné (imaginární) kořeny.
(b) Kubická rovince
(3)                 '                z3+azd + Rz + c = 0 se jednoduchou substitucí:
(4)                              »-*-f
převede na jednodušší rovnici (samozřejmí ovšem rovněž kubickou) tvaru;
(5).       '   ''          '".'""'   "' X3 ±px*q =0                               '• * .*?''rí*-i:;?&il-í
í^ačí nyní najít všechny kořeny rovnice (5), neboťpak užitím (4)určíme všechny kořeny pOvodnf rovnice (3). Po několika úpravách dostáváme nakonec tetito výsledek:
neclit* K =\/%- + £s   značí jednu (pevnou), z Obou hodnot napsaného symbolu;
i.-«čí,  ■•■:•■-• 1X8:4 ■    2-7.;-;v,--:if hi\f:s -■■;?\n:r<   : ;■<■■,',■;.»•).• ..,-....,    ■ .:■■*;■./   ,',   ■ ;,.;.■■; yi'i, .<■■',
rtechfdále u značí libovolnou (pevnou) ze tří třetích odmocnin  y -|V^' a konečně y značí tu z třetích odmocnin $/■ -l-K. která splňuje vztah: 3ui'=.-;>. Potom kořeny rovnice (5) jsou: (6)                     xt=u+v\   Xp *€}•« + e$-ý;   x3 = ej u + e3.v ,
kde e3 * cos ^ + / sin 4p« - A"+ \lsfi,. Vzorce (6), pomocí nichž, můžeme algebraicky explicitně najít kořeny kubické rovnice, se nazývají •Canianovy vzorce.:.-, .
O druhu kořenů rovnice (5) lze opět rozhodnout podle hodnoty diskriminantu V' D polynomu na levé straně (5), přičemž O, •- ■ 4/;'- 7,1 q}. Jak plyne z příkladu 3.3, kap. Ill, Podle V.3.4.,kap. III.jsou kořeny, navzájem .různé právě když O =řr.O _.,..,
-   104   -
Obzvlášť důležitý je prípad, kdy koeficienty kubické rovnice (5) jsou reálná čísla. Potom při D <0 dostáváme (rozborem Cardanových vzorci!), že jeden ko?en(5)je reálný a zbývající dva jsou imaginární (a to komplexně sdružené, vzhledem k V,7.6., kap. II.). Je-íi D > O , pak jsou všechny tři kořeny rovnice (5):reálné arijzné. Carda-novy .vzorce však tyto; reálné kořeny vyjadřuj! ve tvaru součtu třetích pdrnocnln z. komplexních čísel, což je v praxi nepříjemné1. Dokonce lze ukázat.že žádnou metodou užívající pouze základních aritmetických operací (t.j.+, -, ., : ) a tvoření aritmetických (reálných) odmocnin nelze v tomto případě vyjádřit kořeny rovnice (5) pomočí jejích koeficientfl. Tento problém je však možno řeSit poměrně jednoduše pomocí goniometrických funkcí.          " '-> ■■'   >•>                     ••■'..    '             . ',   «:
(ty Rovnice čtvrtého stupne    "               "                                            '              iff
(7ji«Mv ,-.•:••                     x'+ áx3 + bx2 *'čx* d = O          '                 ' -' -*iTÍ-" * t .••'
se da' opět řešit celou řadou algebraických metod. Například, oznaííme-íí x\., x1,xi, xA  kořeny rovnice (7) a uvážíme polynom g(x) tvaru:
g(x) = {x^+Xi)).(X-(Xi-trXi)).(X--(Xl+Xt)).(x-(x,+Xi)).{x-(x1+X,l)).(x-(xi+X,))
pak koeficienty polynomu g(x) jsou zřejmé symetrickými polynomy kofériO rovnice (7). Substitucí                                                                             "•"..........Mf.'-i'
(8)                                         x»r-|
přejde polynom g(x) v polynom F{f)mg{f-£) . který obsahuje pouze sudé mocniny promínne' i. Položíme;!): ŕ = u , dostavíme pak kubickou rovnici o neznámé* m. Tuto umíme řešit a z jejich tří kořena ií,, w2, u} obdržíme 6 kořenů rovnice F(Y) = tí . a sice ±^/u,', ty/Si , tyCš , odkud pomocí (8) dostaneme 6 kořenil; a,,ot2 , '..jät rovnice g(x) = O . Nakonec, pro nalezení kořenu pflvodní rovnice (7) stačí řešit tento jednoduchý systém rovnic:   "   "                                                    ' '■"•'"".
xt + x2 = a, , x, + x, - a2 , xx + xA = a, , atj + x3 = a4 , x2 + xA = o,", x3 + jt|' = a, ','
z něhož již snadno vypočítáme xt, xt, x3. jc4 .
•« >s-(d) Binomická rovnice                         <-\                                         '
je algebraická' rovnice tvaru             •».■..-'.•.v                     •■.*.■.  .•..-,■'■ '..• .Isv ■,--*/.:, ;n4,,>-
(9)>i-,' -I-...V-Í.' •■•. .             xPi-w ftv '                                          .•■■■.'i; .            .
kde a ¥= Ó je pevné komplexní číslo. Případ a«l jsme rozebrali v příkladu LI < Obecně, označíme-ll libovolnou (ale pevnou) z H-tých odmocnin z komplexního čísla a symbolem í"/a , pak všechny kořeny rovnice (9) jsou:   1/ä , en .%/a , e'.jyä, .., f"'1.!-/?.
-   105   -.
kde en = cos -& + (sin ~ , jak bylo zavedeno výše.
(e) Reciproká rovnice Rovnici tvaru: anx" + «„.,*"'' + ••• + a,x t a0 = O nazýváme reciprokou rovnicí 1. druhu (resp. 2, druhu), jestliže platí: an = a0 ,  <f    = «4 ,• a } = a2 ........ (resp.
"„ = -flo . "„'.j = -<J| . a„.2 =   a, , .....)..
Zřejmé, má-li reciproká rovnice (at* 1. nebo 2. druhu) kořen c , pak má take'kořen j . Dále, reciproká'rovnice 1, druhu, lichého stupně, má vždy kořen c. = -1 a po jejím vydelení kořenovým Činitelem (*+l) obdržíme reciprokou rovnici 1. druhu, sudého stupni: Podobne, reciproká rovnice 2. druhu má vždy kořen ^-.1, a po vydelení činitelem (x-\) obdržíme reciprokou rovnici 1. druhu. Z tíchto úvah vyplýva', že při studiu reciprokých rovnic se stačí omezit pouze na reciproké rovnice 1. druhu a sudého stupně ^hapř. 2m . Řešení takové rovnice lze však jednoduchou substitucí převést na řešení algebraické rovnice polovičního, t.j.m-tého stupně a řešení m kvadratických rovnic.
Výše jsme ukázali, jak lze explicitně vyjádřit kořeny algebraické rovnice z jejích koeficientu1 'algebraickými' metodami (t. j. metodami, užívajícími v konečném počtu Styř základních aritmetických operací a tvoření odmocnin) pro rovnice až do.4. stupně, Problém najít 'algebraické' řešení rovnice 5. stupně se stal po objevu řešení rovnic 3. a 4. stupně v XVI. století jedním.z ústředních matematických problému. V letech 1700-1701 francouzský matematik Lagrange podal obecnou metodu jak vyjádřit kořeny algebraické, rovnice metodou symetrických funkcí pomocí kořenu jiných algebraických rqvnlc,:které,,nazývame resolventami . Ukazuje se, že resolvehty rovnic 3. a 4. stupně jsou o jedníčku menšího stupně než daná rovnice, zatímco resolventa rovnice 5. stupně má stupeň 6. Nesčetné pokusy o obecné 'algebraické' řešeni rovnic stupně pa'téhoa vyšších selhávaly a vedly nakonec k opačným pokusům, dokázat nemožnost nalezení takové'metody. Správnost druhé'domněnky potvrdil norský matematik H.Ábel ve dvacátých letech minulého století. Tím ovšem není řečeno, že by nebylo možno některé speciální typy algebraických rovnic vyšších stupňů řešit 'algebraickými' metodami. Ucelenou odpověď na otázky tohoto druhu podal francouzský matematik E. Galois (1811-1832). Z teorie po něm nazvané plyne, že pro každé' Ví S» 5 existuje algebraická rovnice stupně n , která není řešitelná'algebraickými' metodami.
-   106   -
5 2:  NUMIiKICKLÍKIiŠliNÍAľ.GHl)RAIĽKÝcH ROVNIC
V  předchozím paragrafu jsme poukázali na nemožnost obecné 'algebraicky' řešit algebraické' rovnice stupne n > 5 .  Ale inietody a vzorce pro řešení ulgebraických rovnic stupne menšího než 5 mají význam spíše teoretický než: praktický; Proto je nutne' hledat jiné'způsoby výpočtu kořenu algebraických rovnic. Při těchto lívahácli, které ... většinou přesahují rámec základního kurzu algebry,Je obvykle nutně použít aparátu
a metod matematické'analýzy.                                                   ■•---.•'• .-•?'•:»,
V  dalším alespoň schematicky naznačíme postup získiírií (přibližných) hodnot reálných kořenu algebraické rovnice s reálnymi koeficienty, t. j. rovnice::               .  i
(1)                        «„.*" + «„.,*"■'+ ... + a,.v + «„ =0 ,       8,éS ,
což je sice specielní, ovšem v praxi nejčastější prípad. Postup.sestava'ze tří kroků:
a)  ohraničení kořenů
b)  separace koreňu
c)  aproximace kolena.
OlVraničehíhi kořenu se rozumí nalezení intervalu na reálně ose, v němž «leží všechny reálné kořeny daně rovnice (1). Lze například ukázať; že reálné kořeny 'rovnice (1) leží v intervalu   < - \ 1 + ~-) , (I + -r3*- ) > , kde M -.max {|a0 I, ..ifla,,., |.}. Podobných odhadů existuje celá rada. Separace kořenů znamená nalezeníintervalfl na reálné ose, z nichž každý obsahuje právě jedert reálný kořen rovnice (l)i Obecné metody pro separaci kořenů bývají dosti těžkopádhéíá pracné: Někdy vystačíme s pouhým horním odhadem poctil kořenů, který může dokonce vést i'k přeshýrh výslédkůrn; spo-jíme-li jej s dolním odhadem poctu kořenů. Poslední odhad' lže nejjednodušeji provést pouhým sledováním znaménkových změn hodnot pólýnolíiu na levé straně (1) v libovolné konečné posloupnosti bodů. Konečně, jestliže jsme nalezli interval obsahující práve jeden kořen rovnice (I), který označíme iiapř. .v0 , pak provádíme aproximaci tohoto kořene s jistou předem dnnou přesností. Znamená to Zkonstruovat dv£ posloupnosti reálných čísel:                                                                      '■'           :' .n)*.*
c, S ľj < ...XcN < .... í .(„ <,... < (/n < .... « rfj < i', , ' '" obě konvergující k hodnotě .v„ . Existuje opět celá řada t. zv. přibližných metod, které umožňují aproximovat hledaný kořen s libovolnou přesností.
Všechny numerické melody řešení algebraických rovnic získaly na významu v po-slednřdobé především  možností využití modernívýpočelnítcehniky.