,6 FUNKCE
__6,1 Základní vlastnosti funkcí
~~~ Definice funkce
Funkcí na množině A se nazývá předpis, kterým je každému prvku z množiny A přiřazeno právě jedno reálné číslo.
Definice pomocí zobrazení
Funkcí se nazývá každé zobrazení / množiny M do množiny R. Množinu M nazýváme definiční obor funkce / a značíme ji D(/).
Zobrazení množiny A do množiny B
Zobrazení množiny A do množiny B je předpis, kterým je každému prvku z 6 A přiřazen právě jeden prvek b € B.
Graf funkce
Množina všech bodů X[x, f(x)] ve zvolené soustavě souřadnic Oxy v rovině, kde x £ D(/).
Obor hodnot
Množina všech y € R, ke kterým existuje aspoň jedno x e D(/) tak, že y = f (x), se nazývá obor hodnot funkce /. Označujeme jej H(/).
— Hodnota funkce
Je-li číslu c £ D(/) přiřazeno číslo d, zapisujeme tento fakt /(c) = d. Číslo /(c) se nazývá hodnota funkce / v bodě c (také hodnota funkce / přiřazená c).
Sudá funkce
Funkce / je sudá funkce, právě když zároveň platí:
1.  Pro každé x £ D(/) je také -x £ D(/).
2.  Pro každé x £ D(/) je f(-x) = f(x).
- graf: Graf sudé funkce je souměrný podle osy y.
33
Lichá funkce                                                                                                 Z
Funkce / je lichá funkce, právě když zároveň platí:                               1
1.  Pro každé x <E D(/) je také-x 6 D(/).                                              j
2.  Pro každé x £ D(/) je /(-x) = -/(x).                                              J - graf: Graf liché funkce je souměrný podle počátku kartézské sou-    i
stavy souřadnic.                                                                                           i
1
Rostoucí funkce                                                                                            ^
Funkce / je rostoucí v množině M, právě když pro každé dva prvky   4
xi, x2 £ M platí: Je-li xi < x2, pak f(xi) < f(x2).                                     1
Klesající funkce                                                                                           J
Funkce / je klesající v množině M, právě když pro každé dva prvky    ^
ari, x2 £ M platí: Je-li xi < x2, pak f(xi) > /(x2).                                    lj
Neklesající funkce                                                                                       j|
Funkce / je neklesající v množině M, právě když pro každé dva prvky   M
Xi, x2 £ M platí: Je-li xi < X2, pak /(xi) ^ f fa)-                                   ill
Nerostoucí funkce                                                                                       j
Funkce / je nerostoucí v množině M, právě když pro každé dva prvky   3
xi, x2 £ M platí: Je-li x\ < x2, pak /(xi) ^ /(X2).                                    ||
Monotónní funkce                                                                                     j§
Funkce rostoucí, neklesající, klesající, nerostoucí se nazývají souhrnně   W
monotónní funkce.                                                                                      J3
Ryze monotónní funkce                                                                              M
Funkce rostoucí a klesající se nazývají souhrnně ryze monotónní  _J§
funkce.                                                                                                        -M
Prostá funkce                                                                                             3!
Funkce /je prostá, právě když pro všechna xi, x2 € D(/) platí:        ~M
Je-li xx ŕ X2, pak /(xx) ^ f(x2).                                                         3Ě
%    Inverzní funkce
|||
Je-li / funkce prostá, pak k ní existuje právě jedna funkce f \ která Si-   je dána takto:
3J—    1. Její definiční obor je H(/), tj. D(/-x) = H(/). Sfr-        2. Každému y G D(/-1) je přiřazeno právě to x G D(/), pro které je
|R'         Funkce /  * se nazývá funkce inverzní k funkci /.
Vztah grafů funkce / a /-1
jppr Grafy funkce / a funkce f1 k ní inverzní jsou souměrně sdruženy HI podle osy prvního a třetího kvadrantu, tj. podle přímky určené rovnicí S-:-   y = x.
Zdola omezená funkce
Funkce / je zdola omezená v množině M, právě když existuje číslo d <£■  takové, že pro všechna x G M je f (x) ^ d.
W
' :     Shora omezena funkce
g
Funkce / je shora omezená v množině M, právě když existuje číslo h
takové, že pro všechna i G M je f (x) ^ h.
H    Omezená funkce
Funkce / je omezená v množině M, právě když je zdola omezená v M ŠJ  a zároveň shora omezená v M.
P
Maximum
Funkce / má v bodě a maximum na množině M, a G M, právě když pro všechna x G M je f (x) ^ f (a).
Minimum
Funkce / má v bodě b minimum na množině M, 6 G M, právě když pro všechna x G M je f {x) ^ /(Ď).
Ostré maximum
Funkce / má v bodě a ostré maximum na množině M, a G M, právě když pro všechna x G M, x ^ a, je f (x) < f (a).
35


Ostré minimám
Funkce / má v bodě b ostré minimum na množině M, 6 G M, právě když pro všechna i G M, x ^ 6, je f (x) > f (b).
Periodická funkce
Funkce / je periodická funkce, právě když existuje takové číslo p > 0, že pro každé k G Z zároveň platí:
1.  Je-li x G D(/), pak x + kp G D(/).
2.  f(z + kp) = f(x).
Číslo p se nazývá perioda funkce.
6.2 Lineární funkce
Definice
Lineární funkcí se nazývá každá funkce y = ax + b, kde q, b jsou reálná čísla.
Graf
Grafem lineární funkce je přímka.
Speciální případy lineární funkce
-  konstantní funkce je speciální případ lineární funkce pro a = 0, b G R- tj. funkce y = b. Graf konstantní funkce je přímka rovnoběžná
s osou x.
- přímá úměrnost je speciální případ lineární funkce pro a G R — {0}, b = 0, tj. funkce y = ax. Graf přímé úměrnosti je přímka procházející počátkem.
Koeficient o
Je-li / lineární funkce y = ax + b, pak pro každá dvě navzájem různá
čísla *!,*, platí a = K3*) -/(*0
I2 -II
Koeficient b
Je-li / lineární funkce y = ax + b, pak číslo b je hodnota funkce / v bodě 0.
_
36
Vlastnosti lineární funkce y = ax + b, kde a, b € R Definiční obor je R.
"     a = 0
Obor hodnot je {6}. Není prostá, a tedy není ani rostoucí, ani klesající. Je omezená.
V každém x € R má maximum a minimum.
a — 0
a>0
Obor hodnot je R.
Je rostoucí v R.
Není ani shora, ani zdola omezená.
Nemá ani maximum, ani minimum.
a>0
o<0
Obor hodnot je R.
Je klesající v R.
Není ani shora, ani zdola omezená.
Nemá ani maximum, ani minimum.
o. <0
6.3 Kvadratická funkce
Definice
Kvadratickou funkcí se nazývá každá funkce y = ax2 + bx + c, kde a€ R-{0},6, cE R.
Graf
Grafem kvadratické funkce je parabola.
37
Vlastnosti kvadratické funkce y = ax2, a € R — {0}
Definiční obor je R. Je sudá.
a>0
Obor hodnot je interval (0, +oo). Je klesající v intervalu (—oo,0), rostoucí v intervalu (0, +00). Je zdola omezená, není shora omezená. V bodě 0 má ostré minimum.
a<0
Obor hodnot je interval (—00,0). Je rostoucí v intervalu (—00,0), klesající v intervalu (0,+00). Je shora omezená, není zdola omezená. V bodě 0 má ostré maximum.
4   V.-2*
Vlastnosti kvadratické funkce y = ax2 + bx + c, kde a, b, c 6 R, a ^ 0 Definiční obor je R.                                                                    u > 0
a>0
/       *>2      \ Obor hodnot je (c— —,00J.
Je rostoucí v / — —, +00 j. b
Je klesající v f — 00, ——V
Je zdola omezená, není shora omezená.
ÄTT
V bodě x —------má ostré minimum.
2o
38
a<0
f                 b2\
Obor hodnot je ( — oo, c — — ).
Je rostoucí v í — oo, ——V
Je klesající v / — —,+ooJ.
Je shora omezená, není zdola omezená.
V bodě x =------má ostré maximum.
2a
a <0
A2jX
6.4 Mocninné funkce
Definice
Mocninnou funkcí se nazývá každá funkce y = xk, kde k je celé číslo.
Vlastnosti funkce y = xk, pro k > 0 Definiční obor je R.
fc-liché
Obor hodnot je R.
Je rostoucí v R.
Je lichá.
Není ani shora, ani zdola omezená.
Nemá ani minimum, ani maximum.
fc-sudé
Obor hodnot je (0, +oo).
Je rostoucí v (0, +co), je klesající v (—oo,0).
Je sudá.
Je zdola omezená, není shora omezená.
V bodě 0 má ostré minimum, nemá maximum.
Ä-liché
/.•-sudé
39
Vlastnosti funkce y = xk, pro k = 0
Jde o funkci y = l,x& (-oo,0) U (0, +oo). Pr0 x = 0 není x° definováno, tzn., že definiční obor je R-{0}.
\y
o
y=x»
Vlastnosti funkce y = xk, pro k < 0 Definiční obor je R — {0}. Nemá maximum ani minimum.
fc-liché
Obor hodnot je R - {0}.
Je klesající v (—oo,0) a v (0, +co).
Není ani zdola, ani shora omezená.
Je lichá.
/.--liché
1        x
fc-sudé
Obor hodnot je R+.
Je rostoucí v (—oo,0), je klesající v (0,+oo)
Je zdola omezená, není shora omezená.
Je sudá.
/,-sudé    m
6.5 Nepřímá úměrnost
Definice
k Nepřímou úměrností se nazývá každá funkce y = -, kde fc je reálné
číslo různě od nuly.
40
Graf
fr
I
l
Grafem nepřímé úměrnosti je hyperbola.
k Vlastnosti funkce y = -, kde k E R - {0}
Definiční obor je R - {0}.
Obor hodnot je R - {0}.
Není ani shora, ani zdola omezená.
Nemá ani maximum, ani minimum.
Je lichá.
k>0
Je klesající v (—co, 0) a v (0, +oo).
fc<0
Je rostoucí v (—oo, 0) a v (0, +oo).
-1
k>0
-1 0
--i,
k<0
6.6 Lineární lomená funkce
Definice
Lineární lomenou funkcí se nazývá každá funkce y =--------  kde a
cx + d b, c, d e R, c ť^ 0 a ad - be ^ 0.
Graf
Grafem každé lineárni lomené funkce je hyperbola, kterou získame
k posunutím grafu některé funkce y = -, kde k e R - {0}.
41
6.7 Exponenciální funkce
Definice
Exponenciální funkcí o základu a se nazývá každá funkce daná rovnicí y = ax, kdeae R+-{1}.
Vlastnosti exponenciální funkce y — ax
Definiční obor je R.
Obor hodnot je (0, +oo).
Je zdola omezená, není shora omezená.
Nemá ani maximum, ani minimum.
Hodnota funkce v bodě 0 je rovna 1.
a> 1
Je rostoucí, a tedy je prostá.
0<a< 1
Je klesající, a tedy je prostá.
o >1
^TOI
6.8 Logaritmická funkce
Definice
Logaritmickou funkcí o základu a se nazývá každá funkce y = loga x, kde o € R+ - {1}.
Vlastnosti logaritmické funkce y = loga x
Definiční obor je (0, +oo).
Obor hodnot je R.
Není ani shora, ani zdola omezená.
Nemá ani maximum, ani minimum.
Hodnota funkce v bodě 1 je rovna 0.
y		a >
1-		
0	Ä	X
42
a > 1
Je rostoucí, a tedy je prostá
0<a< 1
Je klesající, a tedy je prostá
6.9 Vztah mezi exponenciální a logaritmickou funkcí
Logaritmická funkce y — loga x a exponenciální funkce y = er jsou navzájem inverzní. y = loga x <& ay = x
a>l                                    0<a<1
0 < a < 1
43
82
Elementární funkce
4.3    Funkce goniometrické a cyklometrické
Funkce goniometrické
Goniometrickými funkcemi nazýváme funkce sinus, kosinus, tangens a kotangens. Stejně jako u funkce exponenciální, tak i u funkcí goniometrických existuje několik možností jejich zavedení. Jedním z nejčastějších způsobů je definovat funkce sinus a kosinus pomocí součtu nekonečné řady. Jinou možností je využití funkcionálních rovnic. Bohužel, vzhledem k našim znalostem, nemůžeme žádnou z těchto možností využít. Vyjdeme proto ze středoškolských poznatků a pouze připomeneme zavedení těchto funkcí pomocí jednotkové kružnice. Budeme přitom předpokládat znalost pojmu orientovaný úhel. Podrobně je tento přístup uveden například v [15]. Úhly budeme nadále měřit v míře obloukové, nikoliv stupňové. Připomeňme, že úhel 1° v míře stupňové je roven úhlu ti/180 v míře obloukové. Obecně úhel n stupňů má obloukovou míru n-rfg.
Sinus a kosinus
A = (m, n)
Nechť A = (m, n) je průsečík jednotkové kružnice s koncovým ramenem orientovaného úhlu o velikosti x v soustavě pravoúhlých souřadnic u, v. (Vrchol úhlu je v počátku soustavy souřadnic O a počáteční rameno orientovaného úhlu splývá s kladnou částí osy u.)
Funkce /, jejíž hodnota je v každém bodě x e R rovna souřadnici n bodu A, se nazývá sinus a funkce /Jejíž hodnota je v každém bodě x 6 K rovna souřadnici m bodu A, se nazývá kosinus.
Sinus
Označení:         /: y = sin x, x e M.
Vlastnosti:
•  Definiční obor: (—oo, oo).
•  Obor hodnot: (-1, 1).
•  Funkce je lichá, tj. sin (—x) — — sin x.
•  Funkce je periodická se základní periodou 2tt, tj. sin (x + 2kii) = sin x, k e Z.
•  Funkce je rostoucí na intervalech (—^ + 2k-n, j + 2k%), k e 2 a klesající na intervalech (f + 2£jt, ^ + 2kn), k e Z.
Hf
4.3 Funkce goniometrické a cyklometrické
83
Graf:
Tabulka hodnot funkce sinus ve význačných bodech:
X	0	f	TI 4	TT 3	TT 2	Jt	3
sin*	0	\	2	Vš 2	1	0	-1
Kosinus
Označení:         /: y = cosx, iel.
Vlastnosti:
•  Definiční obor: (—co, oo).
•  Obor hodnot: (-1,1).
•  Funkce je sudá, tj. cos (—x) = cos x.
•  Funkce je periodická se základní periodou 2ti, tj. cos (x + 2ksí) = cosx, k e Z.
Funkce je rostoucí na intervalech (—jt + 2*Tt, 0 + 2fcji), i e Za klesající na intervalech (0 + 2feit, ti + 2kit), k e Z.
Graf:
Tabulka hodnot funkce kosinus ve význačných bodech:
84
Elementární funkce
Základní vztahy a vzorce
Uveďme si nyní přehledně základní vztahy a vzorce pro počítání s funkcemi sínus a kosinus. Poznamenejme ještě, že všechny dále uvedené rovnosti platí všude, kde je současně definována levá i pravá strana rovnosti.
(1)
(2) (3) (4)
sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y, cos (x + y) = cos x cos y — sin x sin y, sin (x — y) = sin x cos y — cos x sin y, cos (x — y) = cos x cos y + sin x sin y.
Těmto vztahům říkáme součtové vzorce pro funkce sinus a kosinus. Přitom součtové vzorce (1) a (2) je užitečné si zapamatovat, neboť se často používají a jak si ukážeme dále, lze z nich odvodit řadu dalších vzorců. Vzorce (3) a (4) dostaneme tak, že ve vzorcích (1) a (2) nahradíme symbol y symbolem — y:
sin (x - y) = sin x cos (—y) + cos x sin (—y) = sin x cos y - cos x sin y, cos (x - y) = cos x cos (-y) - sin x sin (—y) = cos x cos y + sin x siny.
(5)	sin2 x + cos2 x = 1,
(6)	sin x = cos 1-----x 1,
(7)	cos x — sin í-----x J.
Vzorec (5) dostaneme tak, že ve vzorci (2) položíme y = —x:
cos (x + (—x)) = cosx cos (—x) - sinx sin (-x).
1 = cos x + sin x. Vzorec (6) dostaneme ihned pomocí součtového vzorce (4):
\                3t                         Tt     .                                           .
cos I-----x   = cos — cosx + sin — sinx = 0 • cosx + 1 ■ sinx = sinx.
V2       /            2                   2
Obdobně vzorec (7).
(8) (9) (10) (H)	sin2x = 2sinx cosx. cos 2x = cos x — sin x,
	i      x |        /1 — cos x
	\sm2\-\       2      '
	i      xi        /1 + cos x cos-   = \  ------------. 1       2\      V        2
Sf
4.3 Funkce goniometrické a cyklometrické
85
Vzorce (8) a (9) dostaneme tak, že v součtových vzorcích (1) a (2) položíme y = x:
sin2x = sin(x + x) = sin x cos x + cosx sin x = 2 sin x cos x, cos2x = cos(x + x) = cos x cos x — sinx sinx = cos x — sin x.
Vzorec (10) odvodíme pomocí vzorců (9) a (5) takto:
cos x = cos 2— = cos  — — únz — = 1 — 2 sin
9 x         .   2 ' -_./-------Siť ■          -       _.....   „ .
2             2            2                     2
Z toho plyne
,i      1—cosx                      i .   x |        /l— cosx
sin  - =-----------         =>         |sin;
2            2                 '          I""'" 2 I      V        2
Analogicky vzorec (11).
.   x + y       x — y
(12)                                  sinx + sm y = 2sin-------cos-------,
"22
•* + y ■ x — y
(13)                                  sinx — siny = 2cos-------sin-------,
2             2
x + y       x — y
(14)                                cosx + cosy = 2cos-------cos-------,
2              2
x + y   .   x — y
(15)                                cos x — cos y =—2 sin—-—sin—-—.
Vzorec (12) v proměnných ď a/3 dostaneme, sečteme-li rovnice (1) a (3) apoložíme-li
x + y = a,x- y = ß, tj. x = ^, y = ^:
sin(x + y) + sin(x — y) = 2sinxcosx,
.   „     „  .   a + /S       a - 0
sin a + sin H = 2 sin--------cos--------.
2              2
Analogicky odvodíme vzorce (13), (14) a (15).
Hfio
86
Elementární funkce
Tangens
sinx                                      „,
Funkci /: y =------nazýváme tangens a značíme /: y = tg x. Platí tedy
cosx
Vlastnosti:
. Definiční obor: IR \ { J + kn, k e Z}.
•  Obor hodnot: (—oo, oo).
•  Funkce je lichá, tj. tg (—x) = — tg x.
•  Funkce je periodická se základní periodou n, tj. tg (x + kit) = tg x, kel,.
•  Funkce je rostoucí na intervalech (—^ + i:t, j + fcTt), ŕ s Z. Graf:
> = tgx
Tabulka hodnot funkce tangens ve význačných bodech:
X	0	TT 6	TI 4      •	11 3	TT 2	jT	3ti 2
tgx	0	V3 3	1	V3	—	0	—
Sf
4.3 Funkce goniometrické a cyklometrické
87
Kotangens
cos*
Funkci / : v =------nazýváme kotangens a značíme /: y = cotg *. Platí tedy
sin*
cotg * =------.
sin*
Vlastnosti:
•  Definiční obor: R \ {kit, k e Z).
•  Obor hodnot: (—00, 00).
•  Funkce je lichá, tj. cotg (—x) = —cotg*.
•  Funkce je periodická se základní periodou ti, tj. cotg (* + ku) = cotg *, k € !
•  Funkce je klesající na intervalech (0 + kit, it + ku), kel,. Graf:
y = cotg *
2jt
Tabulka hodnot funkce kotangens ve význačných bodech:
*	0	TT 6	TT 4	TT 3	TT 2	Jt	3ti 2
cotg*	—	73	1	3	0	—	0
üf
88
Elementární funkce
Funkce cyklometrické
Cyklometrickými funkcemi nazýváme funkce arkussinus, arkuskosinus, arkustangens a arkuskotangens. Budeme je definovat jako inverzní funkce k odpovídajícím funkcím goniometrickým. To je však velmi nepřesně řečeno, neboť ani jedna z funkcí sinus, kosinus, tangens a kotangens není prostá. Nelze tedy mluvit o funkcích inverzních k těmto funkcím.
Podívejme se nejprve na funkci sinus. Funkce /: y = sin *, * e B, není prostá. Ale funkce f\: y = sin*, * e {—it/2, u/2), fa: y = sin*, * e (ti/2, 3ii/2), fa: y = = sin*, * e (it, 3it/2) už prosté jsou. Lze tedy mluvit o funkcích inverzních k těmto funkcím. Přitom jedna z těchto funkcí, konkrétně funkce f\, je standardně považována za „základní" a funkce k ní inverzní se nazývá arkussinus. Obdobnou úvahu lze provést i pro ostatní goniometrické funkce.
Arkussinus
Uvažujme funkci /: y = sin*, * s (—ti/2, it/2). Tato funkce je rostoucí, a tedy prostá. Inverzní funkce/-1 kfunkci/senazýváartí<Mínus.PntomD(/_1) = H(f) = (—1, 1).
Označení:         /-1: y = arcsin*, * e (—1, 1).
Vlastnosti:
•  Definiční obor: (—1, 1).
•  Obor hodnot: (-f, f ).
•  Funkce je lichá, tj. arcsin (—*) = — arcsin*.
•  Funkce není periodická.
•  Funkce je rostoucí.
Graf:
-3/2 -1
it/2	y = arcsin * ] ,-       y = sin *	
		
1	^r""	
O            1     Tt/2
.._]
-jr/2
üf o
4.3 Funkce goniometrické a cyklometrické
89
Arkuskosinus
Uvažujme funkci f: y = cos x,  x e (0, tu). Tato funkce je klesající, a tedy prostá.
Inverzní funkce /"' k funkci / se nazývá arkuskosinus. Přitom D(f~[) = H(f) =
= <-l,l>.
Označení:         /_1: y = arccosx, x e (—1, 1).
Vlastnosti:
•  Definiční obor: {—1, 1).
• Obor hodnot: (0, ti).
•  Funkce není ani lichá, ani sudá.
•  Funkce není periodická. ■ Funkce je klesající.
Graf:
y = arccosx
y = cos x
Při vyčíslení některých hodnot funkcí arkussinus a arkuskosinus využijeme znalosti odpovídajících hodnot funkcí sinus a kosinus, případně lichosti funkce arkussinus. Například
_^
= — arcsin
■ s/l — 2
protože sin ^ = j .
^ = -| ,     protože sin f = ^ lichá funkce,
protože cos f =  2 >
arkussinus je
arccos(—1) = it,
protože cos it = — 1.
BfLP.
90
Elementární funkce
Arkustangens
Uvažujme funkci /: y = tgx, x e (-Tt/2, jt/2). Tato funkce je rostoucí, a tedy prostá. Inverzní funkce f1 k funkci / se nazývá arkustangens. Přitom D(f~y) — H(f) — = (—00, +00).
Označení:         /"': y = arctgx, x e (-00, +00).
Vlastnosti:
•  Definiční obor: (—00, +00).
•  Obor hodnot: (-f, f).
•  Funkce je lichá, tj. arctg (—x) = — arctgx.
•  Funkce není periodická.
•  Funkce je rostoucí. Graf:
Při vyčíslení hodnot funkce arkustangens využijeme znalosti hodnot funkce tangens a lichosti funkce arkustangens. Například
arctg V3 = f ,
protože tg I = V3,
arctg (-1) = - arctg 1 = -f ,     protože tg J = 1 a arkustangens je lichá
funkce.
üf
4.3 Funkce goniometrické a cyklometrické
91
Arkuskotangens
Uvažujme funkci /: y = cotg*, x s (0, Tt). Tato funkce je klesající, a tedy prostá. Inverzní funkce /_1 k funkci / se nazývá arkuskotangens. Přitom D(/_1) = H(f) = = (—oo, +oo).
Označení:         f~1' y = arccotgx, x e (—oo,+oo).
Vlastnosti:
•  Definiční obor: (—oo, +oo).
•  Obor hodnot: (0, Tt).
•  Funkce není ani lichá, ani sudá.
•  Funkce není periodická.
•  Funkce je klesající. Graf:
Při vyčíslení hodnot funkce arkuskotangens využijeme znalosti hodnot funkce kotan-gens. Například
arccotg \/3 = 5 ,         protože cotg ? = -/3,
arccotg (—1) = ^p , protože cotg ^f = — 1; arkuskotangens není ani sudá ani lichá funkce a není tedy možné postupovat jako u funkce arkustangens.
ISf
92
Elementární funkce
Příklad 4.13. Nakreslete graf funkce /: y = 2 — sin(| + Tt) a určete její periodu.
Řešení. Nejprve určíme periodu funkce /. Víme, že funkce sinus je periodická se základní periodou 2tt. Obecně funkce g: y = sin kx má periodu ^p. Tedy naše funkce / má periodu
2
V kapitole 3.3 na str. 57 jsme si připomenuli transformace grafu funkce. Nakreslíme postupně následující funkce:
/,: y = sin -,
f2: >' = sin(^- + 7t
h: y = -sin(- + Tt
a nakonec funkci /: y = 2 — sin (| + ti) . Výsledná funkce / je znázorněna na obrázku.
Poznám	ka 4.14.	
]. Dle definice 3.24		platí:
y	= arcsinx	O
y	= arccos x	O
y	= arctgx	O
y	= arccotg x	o
x = srny, x = cos y, * = tgy, x = cotg y,
2. Protože pro vzájemně inverzní funkce platí
(/"' o /)(x) = /-'(/(*)) (/o/"'M*) = /(/-'(*))
dostávame ihned vztahy:
aresin (sin x) = x sin(arcsin x) = x arctg(tgx) = x tg(arctgx) = x
kde	x e (-1, 1), y 6 (-ti/2, Tt/2),
kde	x e (-1,1), y e (0, ti),
kde	x e M, y e (-Tt/2, Tt/2),
kde	j: e E, y e (0, tc).
= x	pro x e D(f).
= x	pro x e D(/~'),
pro x e (-Tt/2, Tt/2), pro x e (—1, 1). pro x e (—Tt/2. Tt/2), pro x e (—oo, +oo).
Hro
old
15 DIFERENCIÁLNÍ
A INTEGRÁLNÍ POČET
15.1 Diferenciální počet
Okolí 0(a) bodu a
Libovolný interval (a — r, a+r), kde r je kladné reálné číslo (poloměr okolí bodu a).
Definice limity funkce v bodě a
Nechť /je funkce definovaná v nějakém okolí bodu a, popřípadě kromě bodu a. Funkce / má v bodě a limitu rovnu číslu L, jestliže k libovolnému okolí U(L) bodu L existuje takové okolí V(a) bodu a, že pro všechna x 6 V (o), x ^ a, platí f(x)  e
e U(L).
Existence nejvýše jedné limity
Funkce / má v daném bodě nejvýše jednu limitu. Funkce spojitá
- v bodě a: Funkce / je spojitá v bodě a, jestliže má v bodě a limitu /(a), tj. lim f(x) = /(a).
x—ta
-  v intervalu (a, b): Funkce / je spojitá v intervalu (a, b), jestliže je spojitá v každém bodě intervalu (o, b), tj. platí-li pro každé c G (a, b) /(c) - lim f (x).
x—fc
Limita součtu funkcí
hm [f (x) + g(x)] - lim f (x) + lim g{x)
x—ta                                    x—la                  x—»a
Limita rozdílu funkcí
lim [f (x) - g(x)] = lim f (x) - lim g (x)
113
Limita součinu reálneho čísla a funkce
lim c • f (x) = c • lim f (x), kde c je reálné číslo.
x—m                             x—+a
Limita součinu funkcí
lim [f{x) ■ g(x)] = lim f (x) • lim g (x)
x—ta                                 x—¥a               x—fa
Limita podílu funkcí
lim 4^= Ta   < x.fcngfr^O x-m g[x)       lim g[x)   x-+a
x—>a
Limita mocniny
lim xn = an, kde n je celé nezáporné číslo.
Dôležité limity
sin a;
lim
x-yO     x
tzx                ex — 1 1. lim -2- = 1, Hm--------= 1
x-K)     X
x-i-0        Oľ
Derivace funkce v bodě xo
Funkce / má derivaci v bodě xq, jestliže existuje
lim**)-*3»).
x-yxQ        X — Xo
Zapisujeme y' = f'(x0) =
flx>-
=   lim
+*o       x — Xq
«v---
Směrnice k tečny ke grafu funkce / v bodě A[xo,f(xo)]
k=Kmf{x)-f{Xo)=f(xo)
x-í-xq         X — Xo
Derivace jako funkce
y> = f(x) = lim
Ji-»-0
fix + h)-f(x)         fix0) —
h
114
Základní pravidla pro derivovaní
Derivace
- součinu konstanty a funkce: (cf)'(x) = cf'(x)
- součtu funkcí: (/ + g)'(x) = f {x) + g'(x)
- rozdílu funkcí: (/ - g)'(x) = f'(x) - g'(x)
- součinu funkcí: (/ - g)'{x) = /'(x) - g(x) + f (x) ■ g'(x)
- podílu funkci:    -    (x) =------------57-r-----------, g(x) ^ 0
V g)                 ŕix)
- složené funkce: [/(<?(*))]' = /'(s(*)M*)
Derivace elementárních funkcí
Funkce	Její derivace v bodě x	Interval
y = c, c je konstanta	y' = 0	(—00,+00)
1/ = in, n € N	y' = nx""1	(-00, +00)
y = x*, /c € Z	y' = fcx*-1	(-oo,0)U(0,+oo)
t/ = xr, r e R	y' = raf-1	(0,+co)
y = sin x	y' — cos x	(-00,+co)
y = cos x	y' = — sinx	(-00,+00)
y = tgx	y'        1	(-^ + kn,^ + kK),keZ
	cos2 x	
y = cotg x	1	(kK,(k + 1)ji), kel
	y —     -2 sm x	
y = e*	y' = e*	(—00,-t-cc)
y = a', a > 0, a ŕ 1	y' = a1 In a	(-00,+Cc)
y = lnx	H	(0.+OO)
y = logfl x, 0 > 0, a ŕ 1	u'        *	(0,+co)
	xina	
115

Rovnice tečny ke grafu funkce / v bodě A[xq, /(xo)] í/-/(xo)=/'(xo)(x-x0)
Približné řešení rovnice /(x) =0
/(Xn)
Xn+1  = Xn -
-,« = 1,2,...
Lagrangeova věta o střední hodnotě
Jestliže funkce / má derivaci v každém bodě intervalu (a, o) a i], 12 € € (a, 6), xj < X2, pak existuje takové c £ (xi,x2), že
/(x2)-/(x1) = /'(c)(x2-x1).
Spojitost polynomícké funkce
Je-li / polynomická funkce a x0 libovolné reálné číslo, pak /je spojitá v bodě xo.
Vztah derivace a spojitosti
Jestliže funkce / má v bodě x0 derivaci, pak je v bodě xo spojitá.   .
Monotónnost a derivace
(Vx 6 (a, b): f(x) > 0) s* / je rostoucí v intervalu (a, 6) (Vx G (a, 6): f'(x) < 0) => / je klesající v intervalu (o, 6)
Lokální mjpimiirn.
Funkce / má v bodě x0 lokální minimum, jestliže existuje takové okolí O(xo) bodu xo, že /(x) ^ /(x0) pro všechna x e O(x0).

Určování lokálního minima                                                                     ___
. .....   -.
Má-li funkce / v intervalu (a, b) spojitou druhou derivaci, x0 € (a, 6), a jestliže /'(x0) = 0 a zároveň /"(x0) > 0, pak / má v bode x0 lokální__  . minimum.
116
Lokální maximum
Funkce / má v bodě xo lokální maximum, jestliže existuje takové okolí U{xq) bodu xo, že /(x) ^ /(x0) pro všechna x 6 ř/(xo).
Určování lokálního maxima
Má-li funkce / v intervalu (a, 6) spojitou druhou derivaci, xo € (a, ř>), a jestliže /'(x0) = 0 a zároveň /"(xo) < 0, pak / má v bodě x0 lokální maximum.
Globální (absolutní) minimum
Funkce / má v bodě xo € D(/) globální minimum, jestliže pro všechna x € D(/) je fix) ^ /(xo).
Globální (absolutní) maximum
Funkce / má v bodě xo 6 D(/) globální maximum, jesthže pro všechna x € D(/)- je /(x) ^ /(xo).
Určování globálních extrémů
Nechť funkce / má v intervalu (a, b) spojitou první derivaci a xo 6 S (a, b) je jediný bod, ve kterém /'(x0) = 0. Má-li / v bodě x0 lokální minimum (lokální maximum), pak má v bodě xo globální minimum (globální maximum).
Weierstrassova věta
Je-li funkce /(x) v každém bodě intervalu (a, b) spojitá, pak v tomto intervalu nabývá globálního maxima a globálního minima.
ĽHospitalovo pravidlo
Je-li  lim /(x) = 0,   lim g(x) = 0 a jestliže existují /'(x0) a g'(x0)
X —*XQ                                  X—*XQ
a navíc g'(xo) ^ 0, pak  Um —r-^- = —-,—r. x^-xo g{x)      g'{x0)
117
Konvexní funkce
Je-h funkce / spojitá v intervalu (a, b) a má-li v každém bodě tohoto intervalu druhou derivaci nezápornou (/"(x) ^ 0), potom je / v intervalu (a, b) konvexní.
Konkávni funkce
Je-h funkce g spojitá v intervalu (a, b) a má-li v každém bodě tohoto intervalu druhou derivaci nekladnou (g"(x) ^ 0), potom je g v intervalu (a, b) konkávni.
15.2 Integrální počet
Definice primitivní funkce
Nechť / je funkce, jejíž definiční obor obsahuje interval (a, b). Funkci F nazveme primitivní funkce k funkci / v intervalu (a, 6), jestliže pro
všechna x € (a, 6) platí F'(x) = f(x). Zapisujeme f f(x)dx = F{x)+c,
kde c je konstanta.
Primitivní funkce
- k součinu konstanty a funkce: j a ■ /(x) dx = a ■
- k součtu funkcí:  / [/(x) + g(x)] dx =     f(x) dx +     g(x) dx     —
- k rozdílu funkcí:   / [/(x) - g{x)] dx =  / /(x) dx - / g(x) dx
118
Primitivní funkce k některým funkcím
Funkce /	Funkce F k ní primitivní	Interval
y = c, c je konstanta	y = ex	(—oo,+co)
y = xn, x e R, n e N	xn+1	(-oo,+co)
	y     n + 1	
y = xr,x>0, r e R, r#-l	ar+l	(0,+co)
	y     r + 1	
y = -,x^O	y = ln|x|	(-oo,0)U(0,+oo)
y = siní	y = — cos x	(-oo,+co)
y = cos x	y = sin x	(-co,+oo)
1	y = tgx	fcez
cos-'x		
1	y = -cotgx	(fat,(fc + l)Tr),fcGZ
y     . 2 sin x		
y = tgx	y = — In cos x	(-| + 2fat,|+2fat), fcez
y = cotg x	y = lnsinx	(2fc7t,(2fc + l)it),fc6Z
y = e*	y = ex	(-co,+oo)
y = ax, a>0, ojí 1	ax V~  lna	(-oo,+oc)
y = Inx	y = x(lnx — 1)	(0, +oo)
1	y = arctgx	(—oo,+oo)
y     l+x2		
1	y = aresinx	(-1,1)
y        V/1-X2		
Určitý integrál
Jestliže funkce / je spojitá v každém bodě intervalu (a, b), pak existuje právě jedno číslo I, které nazývame určitý integrál (od a do b)
119
z funkce /; zapisujeme   /   /(x)dx. Číslo a je dolní mez, číslo b je
horní mez tohoto integrálu, funkce / se nazývá integrovaná funkce (též integrand).
Newtonova-Leibnizova věta
Jestliže funkce / je spojitá v každém bodě intervalu (a, b) a je-li F funkce k ní primitivní a spojitá v každém bodě intervalu (a, 6), pak
ff(x)dx = [F(x)]ba = F(b)-F(a).
Ja
Záměna mezí r6
J f(x)áx = -J  /(x)dx
Rozdělení intervalu a < c <b
J f(x)dx= í f(x)áx + J /(x)dx
Obsah rovinného obrazce
Je-li funkce / v každém bodě intervalu (a, 6) spojitá a nezáporná (tj. pro všechna x G (a,b) je /(x) ^ 0), pak pro obsah S plochy omezené grafem funkce /, osou x a přímkami x = a, x = b platí:
S
= f m
Ja
áx

■r
Je-li funkce / v každém bodě intervalu      q (a, b) spojitá a nekladná (tj. pro všechna x G {a, b) je /(x) g 0), pak platí:
S = -j f(x)dx = Ja f(x)dx
120
Jsou-li funkce / a g spojité v každém bodě intervalu {a, b) a pro všechna x 6 {a, b) je g(x) ^ f(x), pak pro obsah S obrazce omezeného grafy funkcí f a g a. přímkami x = a, x = b platí:
S= [  (f(x)-g(x))dx
y	>	%>y=fM
	a	^^   .b
0		
	/	^5*1
Jestliže grafy funkcí f a. g se v intervalu (a, b) neprotínaji, není třeba zjišťovat, zda g(x) ^ f(x). a vždy platí:
5=1 f (f(x)-9(x))áx
Ja
Objem rotačního tělesa
Je-li rotační těleso utvořené rotací křivky y — f (x) kolem osy x a přitom funkce / je nezáporná a spojitá v každém bodě intervalu {a, b), pak pro objem V rotačního tělesa platí:
V = n í f2(x)dx
121