METODY  ŘEŠENÍ  MATEMATICKÝCH  ÚLOH II    - S 2


Neurčité rovnice


                                          Růžena Blažková




Lineární  neurčitou rovnicí o dvou neznámých x, y  rozumíme rovnici

                                   ax + by = c, kde   a 0,  b 0,

koeficienty a, b, c  této rovnice jsou celá čísla a x, y jsou také celá čísla.


Podmínky řešitelnosti:

a)      Jestliže D(a, b) > 1 a D nedělí c, pak rovnice nemá řešení. Např. rovnice 6x + 8y = 17 nemá
řešení tak, aby x a y byla celá čísla.

b)      Jestliže  D(a, b) > 1 a D dělí c, upravíme rovnici na tvar tak, aby D(a, b, c) = 1, pak
rovnice má řešení. Např. rovnice 6x + 8 y = 10 pravíme na tvar 3x + 4y = 5.


Nutnou a postačující podmínkou pro to, aby neurčitá rovnice ax + by = c měla alespoň jednu dvojici
řešení x[0] , y[0] je, aby největší společný dělitel koeficientů a, b této rovnice dělil c.
Jestliže celá čísla x[0] , y[0] jsou řešením této neurčité rovnice, pak všechna řešení rovnice
jsou    dána parametrickými rovnicemi    x = x[0] +  ,   y = y[0] + ,

kde t je celé číslo.


Motivační úloha


Je dána rovnice  x + y = 10. Tato rovnice může mít např. v množině všech reálných čísel  nekonečně
mnoho řešení. Doplníme-li další podmínky, počet řešení můžeme omezit.


1. Doplníme další rovnici, např. x – y = 4, dostáváme soustavu dvou lineárních rovnic o dvou
neznámých, jejímž řešením je x = 7, y = 3.

Tato soustava může být formulována jako slovní úloha: Najděte čísla x, y, jejich součet je 10 a
jejich rozdíl je 4.


2. Rovnici řešíme v oboru přirozených čísel,  řešením jsou uspořádané dvojice:


x

 1

  2

   3

    4

     5

      6

       7

        8

         9

y

 9

  8

   7

    6

     5

      4

       3

        2

         1


3. Požadujeme-li, aby x a y byla přirozená čísla a přitom x > y, dostáváme uspořádané dvojice:

x

 6

  7

   8

    9

y

 4

  3

   2

    1



Metody řešení neurčitých rovnic:

a)      metoda experimentální

b)      redukční metoda

c)      pomocí kongruencí.


Příklady

1. Maminka chtěla koupit ledňáčky za 70 Kč. Měla možnost koupit dva druhy, za 8 Kč za kus a za 6 Kč
za kus. Kolik kterých mohla koupit, když chtěla utratit právě 70 Kč.


2. Jana měla 50 Kč a chtěla za ně koupit žvýkačky. V obchodě jí nabídli žvýkačky za 6 Kč a za 4 Kč.
Kolik kterých mohla koupit, když chtěla utratit právě 50 Kč?


3. Kolika způsoby můžeme zaplatit 53 Kč, jestliže máme k dispozici pouze pětikorunové a
dvoukorunové mince? Najděte všechny možnosti.


4. Jak podělíme 100 osob, jestliže má každá osoba dostat jeden dárek, máme k dispozici 1 000 Kč a
dárkové předměty v ceně 5 Kč, 30 Kč, 100 Kč ?


5. Máme rozdělit 100 Euro mezi 100 osob tak, že každý muž dostane 3 Euro, každá žena dostane 2 Euro
a dvě děti dohromady 1 Euro.


6.  Za 100 Kč máme koupit 100 kusů tužek. Modré stojí 4 Kč, zelené 2,50 Kč a červené 0,50 Kč.
Modrých má být třikrát více než zelených, červených sedmkrát více než modrých. Kolik kterých
koupíme?


7. V místnosti jsou čtyřnohé a trojnohé židle. Na každé židli sedí jedna osoba. Všech nohou
v místnosti je 39. Kolik je v místnosti židlí čtyřnohých, kolik trojnohých a kolik osob ?


8. Dopravní podnik má k dispozici dva druhy autobusů, označíme je A, B. Autobus A pojme 90 osob,
autobus B pojme 150 osob. Je třeba přepravit 12 000 osob. Kolik kterých autobusů je třeba vypravit?


9. Turistického zájezdu se zúčastnilo 286 lidí. K dispozici byly autobusy se 17 sedadly a s 19
sedadly (řidiče a jeho sedadlo neuvažujeme). Kolik autobusů každého druhu bylo pro zájezd použito,
jestliže byla obsazena všechna sedadla?


10. Jestliže vytváříme skupiny žáků po sedmi, zbude jeden žák. Jestliže vytváříme skupiny po šesti,
zbude  pět žáků. Kolik je ve třídě všech žáků? Po kolika žácích bychom mohli skupiny vytvářet, aby
žádný nezbyl?


11. Určete takové číslo a, které při dělení číslem 5 dává zbytek 4 a při dělení číslem 7 dává
zbytek 3.


12. Určete nejmenší a největší trojciferné číslo, které při dělení sedmi i při dělení třinácti dává
zbytek 5.


13. Určete celé číslo, jehož pětinásobek dává při dělení třemi zbytek 5 a zároveň jeho dvojnásobek
dává při dělení sedmi zbytek 3.


14. Určete nejmenší trojciferné přirozené číslo,  které při dělení sedmi i při dělení třinácti dává
vždy zbytek o jednu menší než je dělitel.


15. Strany pravoúhelníku jsou zadány celými čísly. Jakou mají délku, jestliže obsah pravoúhelníku
je číselně roven obvodu?