ÚHEL A JEHO VELIKOST POJMY a dovednosti Úhel, vrchol úhlu, ramena úhlu. Klasifikace úhlů (úhel konvexní, nekonvexní, úhel ostrý, pravý, tupý, přímý, plný, nulový). Přenášení úhlu k dané polopřímce do dané poloroviny. Porovnávání úhlů. Shodnost úhlů. Grafický součet úhlů. Grafický rozdíl úhlů. Násobek úhlu. Osa úhlu, její konstrukce. Dvojice úhlů: úhly styčné, vedlejší vrcholové, souhlasné, střídavé. Velikost úhlu. Měření úhlů, úhloměr. Jednotky velikosti úhlu – radián, stupeň. Rýsování úhlu dané velikosti – pomocí úhloměru i pomocí kružítka (některé úhly). Definice 1. Jsou dány tři různé body A, B, V, které neleží v jedné přímce. Konvexním úhlem AVB nazýváme průnik poloroviny AVB a poloroviny BVA. Symbolicky: Jestliže body A, B, V leží v jedné přímce a bod V leží mezi body A, B, pak konvexním úhlem AVB nazýváme každou polorovinu s hraniční přímkou AB. Úhel AVB se nazývá úhel přímý. Jestliže body A, B, V leží v jedné přímce a bod A leží mezi body V, B, pak konvexním úhlem AVB nazýváme a) každou rovinu, obsahující přímku AB – úhel AVB je úhel plný b) polopřímku VA – úhel AVB je úhle nulový. Definice 2. Jsou dány tři různé body A, B, V, které neleží v jedné přímce. Nekonvexním úhlem AVB nazýváme sjednocení polorovin opačných k polorovinám AVB a BVA. Symbolicky: Definice 3 Jsou dány tři různé body A, B, V, které neleží v jedné přímce. Konvexním úhlem AVB rozumíme množinu všech bodů X roviny , které leží na všech polopřímkách VY, kde bod Y leží na úsečce AB. Symbolicky: . Úhly označujeme také písmeny řecké abecedy, např. aj. Poznámka: V uvedených definicích je úhel chápán ve smyslu rovinného úhlu. V budoucnu se mohou žáci setkat s dalšími významy úhlu, jako je např. úhel otočení, orientovaný úhel, prostorový úhel aj. Školská matematika Rámcový vzdělávací program: Očekávané výstupy: Žák - zdůvodňuje a využívá polohové a metrické vlastnosti základních rovinných útvarů při řešení úloh a jednoduchých praktických problémů, využívá potřebnou matematickou symboliku. - Charakterizuje a třídí základní rovinné útvary - úhly. - Určuje velikost úhlu měřením a výpočtem. - Načrtne a sestrojí úhel. Motivace: Úhel hodinových ručiček, úhel stoupání, úhel klesání, střelecký úhel, úhel dopadu, úhel odrazu, Úhel Ve školské matematice se úhel zavádí pomocí dvou polopřímek se společným počátkem. Dvě polopřímky VA a VB určují v rovině dva úhly – jeden konvexní a jeden nekonvexní. Rozlišují se buď barevně nebo pomocí jednoho vnitřního bodu daného úhlu. Bod V se nazývá vrchol úhlu AVB, polopřímky VA a VB se nazývají ramena úhlu AVB. Osa úhlu Osa úhlu AVB je přímka, která prochází vrcholem úhlu a dělí úhel na dva shodné úhly. Poznámka: V případě konvexního úhlu se někdy osou úhlu rozumí polopřímka VX – zejména v případě, kdy osou úhlu rozumíme množinu všech bodů daného úhlu, které mají od obou ramen úhlu sobě rovné vzdálenosti. Pomocí osy úhlu přímého můžeme vyvodit pojem úhlu pravého a následně uvést klasifikaci úhlů (zatím bez velikostí) vzhledem k úhlu pravému: Úhel ostrý – menší než úhel pravý Úhel pravý Úhel tupý – větší než úhel pravý a menší než úhel přímý Úhel přímý. Dvojice úhlů Úhly styčné – jsou takové dva úhly, které mají společný vrchol a jedno rameno. Úhly vedlejší – jsou takové dva úhly, které mají společný vrchol a jedno rameno a druhá ramena úhlů leží na opačných polopřímkách. Sjednocením vedlejších úhlů je úhel přímý. Úhly vrcholové – jsou takové dva úhly, které mají společný vrchol a jejich ramena leží na opačných polopřímkách. Vrcholové úhly jsou shodné. Úhly souhlasné a střídavé Jsou dány dvě různoběžné přímky a, b a přímka p, které obě přímky protíná (tzv. příčka). Souhlasné úhly jsou takové úhly, které leží v téže polorovině určené přímkou p (v této polorovině mají oba úhly jedno z ramen) a průnikem jejich druhých ramen je polopřímka. Pokud jsou přímky a, b rovnoběžné, jsou odpovídající si souhlasné úhly shodné. Střídavé úhly jsou takové úhly, které leží v opačných polorovinách s hranicí p, průnikem jejich ramen je buď úsečka nebo je průnik prázdný. Pokud jsou přímky a, b rovnoběžné, jsou střídavé úhly shodné. Poznámka 1. Dětem definice nesdělujeme, avšak pomocí obrázku vytvoříme pojmy v duchu správných definic. Poznámka 2: Dvojic úhlů střídavých nebo souhlasných užíváme zejména v případě, chceme-li dokázat rovnoběžnost přímek. VELIKOST ÚHLU Podnět k měření úhlů daly astronomické práce starých Babyloňanů, kteří rozdělili plný úhel na 360°, tj. jednotek úhlové míry. Z Babylonie se kolem roku 200 dostalo dělení úhlu na 360° do Alexandrie. Velikost rovinného úhlu se odvozuje z délky oblouku AB na jednotkové kružnici. Úhel AVB má velikost 1 radián (1 rad), jestliže oblouk AB je dlouhý 1 m a leží-li na kružnici o poloměru m. (Míra oblouková) Úhel AVB má velikost 1 stupeň, jestliže je oblouk AB dlouhý (π : 180) m a leží-li na kružnici o poloměru 1 m. (Míra stupňová) Název stupeň pochází z latinského gradus ( schody, žebřík). Minuta pochází z latinského pars minutae primae, což jsou části prvního dělení. Vteřina – sekunda – z latinského pars minutae secundae – části druhého dělení. Převodní vztah mezi radiány a stupni: 1 rad = 50°17´45 ´´. Poznámka: Označení sekunda se používá k označení jednotky času, označení vteřina se používá k označení jednotky velikosti úhlu (SI). Velikost úhlu zapisujeme symbolicky nebo písmeny řecké abecedy aj. Ve školské matematice se většinou uvádí 1° jako jedna devadesátina úhlu pravého. Úhly měříme úhloměrem Úhloměr má zpravidla dvě stupnice – vnější a vnitřní, které jsou vyznačeny na půlkružnicích vždy od 0°do 180°. Střed půlkružnic se současně středem úhloměru. Podle velikosti klasifikujeme úhly: Název úhlu nulový ostrý pravý tupý přímý nekonvexní plný velikost 0° 0°<α<90° 90° 90°<α<180° 180° 180°<α<360° 360° Poznámka: V období Velké francouzské revoluce se byl pravý úhel rozdělen na 100 dílků a jeden díl se nazýval grad, menší jednotky byly decigrad, centigrad, miligrad. Desetinného dělení se užívá i v zeměměřictví a ve vojenství. Dáje se užívá tzv. dělostřelecký dílec, což je jedna třítisícina přímého úhlu. Pod pojmem „dílec“ se rozumí zorný úhel, pod nímž je vidět tyč výšky 1 m na vzdálenost 1 km.