Několik poznámek k používání tabulkových procesorů
ve výuce matematiky
Jiří Vaníček
Úvod
Tento materiál se nezabývá tabulkovým procesorem (Microsoft Excel, OpenOffice Tabulka ...) jako takovým,
cílem není seznámit uživatele s jeho obsluhou.
Cílem není procházet témata, ke kterým je tabulkový procesor ,,jako stvořen", tzn. hromadné zpracování dat,
statistické výpočty, ekonomické výpočty apod. Tyto výpočty se vyučují v předmětu výpočetní technika nebo
informatika, bylo by zbytečné o tato témata rozšiřovat výuku matematiky (pokud se nejedná o odbornou střední
školu).
Spíše se zaměříme na některá témata, která najdeme v běžné školní látce, a zastavíme se u některých úskalí, se
kterými se začáteční nesetká a nematematik je přejde jako pro něho nepodstatná.
Uvedené úlohy platí pro Microsoft Excel i OpenOffice. Některé odlišnosti (např. v psaní vzorců nebo
v nabídkách ) jsou v textu zachyceny.
Vzorce vepisované do buněk jsou v textu formátovány fontem Courier. Adresy buněk, které jsou ve vzorcích
psány modrým písmem, nejsou nijak pevně dané a podstatné pro výpočet úlohy.
Grafy matematických funkcí
Typické chyby při tvorbě grafu v tabulkovém procesoru
Úloha: sestrojte graf funkce y=sin(x) s definičním oborem 0° - 400°
1. První graf se nepovedl (viz obr.) První potíží je, že tabulkový procesor počítá sinus úhlu měřeného
v radiánech - je potřeba nejprve převést stupně na radiány.
Vzorec =SIN(A2*PI()/180) je složitý zápisem a chybný vzorec =SIN(A2*3,14/180) vede k viditelně
nepřesným výsledkům. Jestliže nám nejde o aplikaci převodu mezi radiány a úhlovými stupni, je možno použít
funkci RADIANS, která převádí stupně na radiány. Vzorec v buňce pak bude =SIN(RADIANS(A2))
Při uplatnění vzorce
=SIN(A2)
je sin (30) nikoliv sinus 30
stupňů, ale 30 radiánů
0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 390
-1
-0,75
-0,5
-0,25
0
0,25
0,5
0,75
1
Graf funkce sinus
str. 2
2. Častou chybou žáků při vykreslování grafů je vynesení malého počtu bodů pro konstrukci grafu. Jde o
přenesení stereotypu z rýsování grafů na papíře. Graf je hrbolatý, nebo, je-li body proložena křivka, je
grafem jakási sinusoidě podobná čára. Takový graf potom podává zkreslenou představu o tom, jak vlastně
sinusoida vypadá, je nepřijatelný.
x sin(x)
0 0
30 0,5
60 0,87
90 1
120 0,87
150 0,5
180 0
210 -0,5
240 -0,87
270 -1
300 -0,87
330 -0,5
360 0
390 0,5
Nebojme se vytvořit tabulku s rostoucím argumentem třeba i po 1 stupni - program nezpomalíme a výsledek
bude věrohodnější.
3. Nesrozumitelný graf
Také jste někdy dostali takovýto
graf funkce?
Když se podíváte na obor hodnot
funkce, je jasné, že modrá
přímka není hledaným grafem
(sinus má obor hodnot 1;1- ).
Grafem funkce sinus je ona
nenápadná hnědá čára kolem
osy x.
Při vytváření grafu došlo
k chybě, kdy uživatel zahrnul
první sloupec tabulky jako další
datovou řadu, a program udělal
pro každý sloupec jeden graf (o
tom svědčí i to, že popiskami na
ose x nyní nejsou čísla z prvního
sloupce čísel tabulky, ale čísla řádků.
Odstranění chyby je znázorněno v nabídkách obou tabulkových procesorů - viz obr. na další stránce.
0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360 390
-1
-0,75
-0,5
-0,25
0
0,25
0,5
0,75
1
Graf funkce sinus
á-
dek
1
á-
dek
2
á-
dek
3
á-
dek
4
á-
dek
5
á-
dek
6
á-
dek
7
á-
dek
8
á-
dek
9
á-
dek
10
á-
dek
11
á-
dek
12
á-
dek
13
á-
dek
14
á-
dek
15
-50
0
50
100
150
200
250
300
350
400
Graf funkce sinus
Malý počet hodnot
- špatné vykreslení
grafu
str. 3
Excel:
Zde není v poli
Popisky osy x
(kategorie)
označena žádná
oblast, sloupec
A je označen
jako Řada1
(jeho hodnoty
jsou tak
vykreslovány do
grafu)
4. Graf je správný, ale
neprochází počátkem.
Je jakoby posunutý.
To je způsobeno chybnou
volbou typu grafu. Místo
spojnicového je třeba
zvolit XY bodový graf.
Více o tomto typu grafu
v dalším textu.
OpenOffice:
Zde není
zaškrtnuto, že
první sloupec
obsahuje
popisky pro osu
x.
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
0
30
60
90
120
150
180
210
240
270
300
330
360
str. 4
Úloha: Z grafu funkce y = sin(x) vytvořte graf funkce y = 2 sin (x)
Máme vytvořen graf funkce y = sin(x) a chceme pouhým přepsáním vzorce vytvořit graf funkce y = 2.sin(x),
abychom mohli ihned vidět rozdíl v obou křivkách.
Obsah buněk druhého sloupce =SIN(RADIANS(A2)) opravíme na =2*SIN(RADIANS(A2)). Graf se
automaticky překreslí, jenže pro pozorovatele se téměř nic nezmění.
Je zřejmé, že pro nezkušeného pozorovatele, který buď neodhalí rozdíl v měřítku na ose y nebo nedocení jeho
význam, připadají oba grafy stejné. To je ovšem z pedagogického hlediska nechtěná situace.
Podstatou chyby je automatické zobrazov oblasti grafu programem (tak, aby se vždy celý graf ,,vešel" do
obrázku). Toto automatické nastavování je potřeba vypnout.
TIP:
Možnosti ručně ovládat hranice zobrazované oblasti grafu můžete využít v následujícím ,,pokusu": vytvořte graf
funkce y = a.sin(x).
Do některé buňky vložte číslo (např. do buňky C1 vložte číslo 2). Opravte vzorec v buňkách druhého sloupce
=2*SIN(RADIANS(A2)) na =C1*SIN(RADIANS(A2)).Vypněte automatické maximum a minimum na
ose y grafu. Měňte čísla v buňce C1 a pozorujte, jak se mění tvar grafu funkce.
Tento postup lze uplatnit u jakékoliv funkce s parametrem.
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
-1
-0,75
-0,5
-0,25
0
0,25
0,5
0,75
1
y = sin(x)
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
y = 2.sin(x)
OpenOffice:
Při úpravách grafu klepněte pravým
tlačítkem myši do grafu, v místní
nabídce vyberte Osy/Osa Y.
V otevřeném okně v kartě Měřítko
vypněte zaškrtnutí Automaticky u
položek minimum a maximum.
Je možné nastavit vlastní hodnoty
hranic vykreslované části osy y.
Excel:
Při editaci grafu klepněte pravým tlačítkem
myši na osu y. V místní nabídce vyberte
Formát osy.
V otevřeném okně v kartě Měřítko vypněte
zaškrtnutí Automaticky u položek minimum
a maximum.
Je možné nastavit vlastní hodnoty hranic
vykreslované části osy y.
str. 5
Typ grafu ,,bodový XY"
Pro vykreslování grafů matematických funkcí se hojně používá spojnicový graf, což je ale zásadní chyba. Kromě
již zmíněné nepřesnosti, kdy body grafu jsou jakoby posunuty oproti hodnotám na osách (viz obr. na straně 3),
může dojít k horší situaci (obr.).
Na tomto obrázku je použit spojnicový graf. Protože hodnoty ve sloupci A nerostou lineárně, ale jsou mezi nimi
různě velké intervaly, spojnicový graf se celý pokřiví.
Je to dáno tím, že spojnicový graf vynáší hodnoty pouze na osu y. Ve vodorovném směru není žádná osa, osa x
slouží pouze k zobrazování položek jednotlivých řádků. Jinými slovy, každá položka na ose x je nanesena vždy
ve stejné vzdálenosti, nezávisle na čísle, které je v příslušné buňce napsáno.
V našem příkladě tedy čísla ve sloupci A slouží v grafu pouze jako popisky osy x. Je vidět, že mezi 0 a 30 je
stejná vzdálenost jako mezi 30 a 45 nebo mezi 90 a 180.
Spojnicový graf vynáší hodnoty pouze na osu y. Graf ,,XY bodový" vynáší hodnoty na obě osy, dva údaje
v jednom řádku naší úlohy pak slouží jako souřadnice bodu grafu. Graf XY bodový je tedy ten typ grafu, který
používáme v matematice k vykreslování grafů funkcí. Graf spojnicový se používá k vizualizaci při statistických
výpočtech apod.
Při tvorbě ,,XY bodového" grafu je třeba zvlášť zkontrolovat, které hodnoty z tabulky mají sloužit jako popisky
os a které mají být vyneseny do grafu. Oproti spojnicovému grafu zde přibývá jeden řádek nebo sloupec hodnot.
Tentýž případ,
ovšem graf XY
bodový: je vidět
nerovnoměrné
rozdělení bodů
grafu.
(tvar křivky je zde
zkreslen užitím
malého počtu bodů,
který jsme použili
kvůli názornosti)
Špatné použití
spojnicového
grafu
str. 6
Tentýž graf bez
spojovacích čar
Spojování čar v XY bodovém grafu
Jedno úskalí skýtá použití XY bodového grafu, a to tehdy, když vybereme graf spojující nanesené hodnoty:
pokud hodnoty ve sloupci A (nanášené na osu x) nerostou, mohlo by se stát, že se graf začne ,,vracet" (viz
obrázek)
TIP:
použijte XY bodový graf pro vykreslení
výsledku nějakého hromadného měření fyzikální
nebo biologické podstaty:
Např. Jak souvisí výška člověka s váhou, jak
souvisí výška člověka s rozpětím rukou při
rozpažení, jak souvisí hmotnost člověka s jeho
časem při běhu na 60 m.
Změřené hodnoty pro všechny děti třídy se zapíší
do tabulky a vynesou do bodového grafu (bez
spojování hodnot čarou).
Z grafu lze zjistit souvislost obou veličin
proložením spojnice trendu (a případně zobrazením hodnoty spolehlivosti R2
).
Hodnoty ve sloupci A
nejdou ,,za sebou",
ale ,,na přeskáčku".
Je nutno buď seřadit
hodnoty ve sloupci
A, nebo zobrazit
pouze body grafu -
bez spojovacích čar.
str. 7
Procenta aneb použití formátu buňky
Procenta jako formát buňky
Procenta představují zvláštní kapitolu při výuce tabulkových procesorů: neexistuje žádná funkce pro výpočet
procent. Žáci hodnotí procenta vesměs jako velmi obtížnou látku, protože musí používat vzorce, které se naučili
při matematice a kterým nepříliš rozumí.
Triviální příklad:
Ve třídě je 29 žáků, z toho 16 dívek. Kolik procent je
dívek.
V obrázku vpravo je typické žákovské řešení
s použitím vzorce
_ .100
část
počet procent
základ
=
Tento vzorec je složitý uplatněním násobení stem (žákům není jasné, ve které variantě vzorce se násobí, kdy se
dělí, a musí si vzorec pamatovat nazpaměť).
Používání těchto vzorců při výpočtech nevede k pochopení pojmu procento.
Tabulkový procesor používá k zobrazení čísel v buňce datové formáty, mezi nimi ,,styl procent", který lze
vyvolat tlačítkem na panelu nástrojů (nebo v nabídce Formát/Buňky, karta Číslo).
Seznámení se stylem procent
Nechejte žáky napsat libovolné číslo a poté stisknout tlačítko
procent. Vysvětlete, že obě hodnoty představují totéž číslo jinak
zapsané.
5 0,02 0,4 10 0,001
500% 2% 40% 1000% 0%
Žáci zjistí, že např. číslo 5 znamená 500%, že procenta jsou vlastně
pouze jinak zapsaná běžná čísla, se kterými již umějí počítat.
Počítáme se stylem procent
Učiteli se v tabulkovém procesoru nabízí výborná možnost ukázat souvislost mezi procenty a výpočty částí
celku. Použitím formátu buňky zvaném ,,procenta" lze převést ,,úlohu na procenta" na obyčejnou úlohu
s násobením a dělením čísel.
Porovnejme dvě velmi podobné úlohy:
Zadání:
Ve třídě je 29 žáků, z toho 16 dívek. . Jaká část třídy jsou
dívky?
Vzorec (podle obrázku nahoře)
= B2/B3
- lze vymyslet uvažováním.
Výsledek vyjde v číslech.
Excel: 0,5517241379
OpenOffice: 0,55
Je vidět, že interpretace výsledku u této úlohy by byla
obtížná, ale návod na její řešení, především na vymyšlení
vzorce, je totožný s vedlejší úlohou na procenta.
Zadání:
Ve třídě je 29 žáků, z toho 16 dívek. Kolik
procent ze třídy je dívek?
Vzorec (podle obrázku nahoře)
= B2/B3
- lze též vymyslet uvažováním.
Po vypočítání stiskněte tlačítko .
Výsledek vyjde v procentech.
Excel:55 %
OpenOffice: 55,17%
V každém sloupci je zapsáno
stejné číslo v obou řádcích.
Druhý řádek je zformátován do
stylu procent.
str. 8
Podobně lze počítat i úlohy na výpočet procentové části
nebo základu, pouze počet procent je potřeba převést do
stylu procent (obr. vpravo).
Vhodný postup k napsání počtu procent je nejprve označit
příslušnou buňku tlačítkem pro styl procent, teprve pak psát
do buňky číslo.
Nezávislost formátu buňky na jejím obsahu
POZOR! Formát buňce zůstává, i když smažete její obsah a buňka bude prázdná. Při opětovném psaní do
buňky opatřené formátem procent se rovnou píšou procenta. Pro nastavení formátu čísla vyberte Styl čárky -
tlačítko na panelu nástrojů (nebo v nabídce Formát/Buňky, karta Číslo).
Nepatrně složitější úlohy na procenta
Tam, kde jsme zvyklí při výpočtech procent odečítat nebo přičítat číslo 100, musíme být při používání formátu
buněk obezřetní. Často se ve vzorci místo 100 píše 1 (místo 100% nastupuje 1 celek).
Příklad:
Ve třídě je 29 žáků, z toho 16 dívek. O kolik procent je více dívek než chlapců?
Buňka B1: počet dívek, B2: celkem žáků.
Vzorec pro počítání bez stylu procent:
=B1/(B2-B1)*100-100
Se stylem procent:
=B1/(B2-B1)-1 a označit buňku stylem procent.
Jeden zákeřnější příklad
Zadání:
Sendvičovač stojí v obchodě 1539 Kč. Kolik činí daň z přidané hodnoty (ve výši 19%) z tohoto výrobku?
Zákeřností této úlohy je fakt, že prodávaný výrobek již má DPH zahrnutou ve výsledné ceně. Nepočítáme tedy
část, ale základ.
str. 9
Použití náhodných čísel pro výpočty
Pro některé výpočty z počtu pravděpodobnosti nebo pro potřeby simulace některých jevů je potřeba vytvořit
tabulku náhodných čísel.
Vzorce v této kapitole jsou psány pro Excel. Protože OpenOffice používá anglické termíny, jsou vzorce pro
OpenOffice shrnuty v závěru kapitoly.
Příklad: hod hrací kostkou
Zadání: Vytvořte tabulku pro 100 hodů hrací kostkou se šesti stěnami. Tato tabulka bude dále zpracovávána ve
výpočtech.
Potřebujeme interval (1;6
Tabulkové procesory nabízejí funkci =NÁHČÍSLO(), která generuje do buňky čísla z intervalu (0;1 . Funkce
nemá parametry, nelze napsat např. =NÁHČÍSLO(1;6).K tomu, abychom dostali náhodné číslo z intervalu
(1;6 , musíme výsledek dále upravit. To činí studentům potíže, protože nepracují s konkrétním číslem, ale
s intervalem.
Pomocná úloha zní:
1. Jaká lineární funkce má definiční obor (0;1 a obor hodnot (1;6 ?
2. Čím musíme vynásobit, vydělit nebo které číslo přičíst k číslu z intervalu (0;1 , aby výsledek patřil do
intervalu (1;6 ?
Správné řešení úloh (funkce y=5x+1 nebo ,,vynásobíme pěti a přičteme číslo 1") se do vzorce promítne takto:
=5*NÁHČÍSLO()+1
Zkouška správnosti: je možno místo funkce NÁHČÍSLO() dosadit do vzorce dolní a pak horní mez intervalu a
zkontrolovat tak řešení úlohy.
Potřebujeme celá čísla
Vzorec =5*NÁHČÍSLO()+1 , ke kterému jsme dospěli, dává náhodná racionální čísla v intervalu (1;6 , my
ale potřebujeme náhodně vybíraná čísla {1;2;3;4;5;6}. Budeme zaokrouhlovat.
Funkce ZAOKROUHLIT
Pokud použijeme standardní zaokrouhlovací funkci ZAOKROUHLIT, čísla menší než 0,5 se zaokrouhlí na nulu,
na pětku se zaokrouhlí čísla z intervalu (4,5;5,5 , zatímco na šestku (5,5;6 , tedy šestek bude zhruba
dvakrát méně než ostatních čísel.
Řešením při použití této funkce je přičíst ke všem číslům 0,5. Vzorec pak bude vypadat:
=ZAOKROUHLIT(5*NÁHČÍSLO()+1,5;0)
- nula za středníkem znamená zaokrouhlení na 0 desetinných míst.
Jinou možností je použití funkce ZAOKR.NAHORU, která zaokrouhlí na celé násobky daného čísla
=ZAOKR.NAHORU(5*NÁHČÍSLO()+1;1)
- jednička za středníkem je parametr zaokrouhlení; funkce zaokrouhlí na násobky čísla 1, tedy na celá čísla)
Další možností je použití funkce ROUNDUP zaokrouhlující na nejbližší celé číslo směrem nahoru.
Možností je více, ovšem každá z nich využívá vyspělé nástroje programu, místo toho aby pěstovala chápání
matematických pojmů a vztahů. Z tohoto pohledu se použití funkce ZAOKROUHLIT, která zaokrouhluje
standardním způsobem, metodicky nejvhodnější.
str. 10
Přepočítávání
Máme-li vzorec napsán v jedné buňce, použijeme kopírování vzorců roztahováním, abychom nakopírovali
vzorec do dalších 99 buněk (a máme simulovaných 100 hodů kostkou).
Zdá se, že je úkol splněn.
Tabulkový procesor má tu základní vlastnost, že při změně jakékoliv buňky přepočítává všechny vzorce, tzn.
dosazuje do buněk nová náhodná čísla.
Vyzkoušejte: Kdekoliv v tabulce přepište (i zcela prázdnou buňku) - náhodná čísla se znovu promíchají.
Tato vlastnost je velmi výhodná, chceme-li simulovat mohonásobné opakované pokusy. Slouží k tomu klávesa
F9, jejíž stisknutí přepočítá obsah všech buněk.
Pokud však potřebujeme náhodná čísla, která se nám dále nebudou měnit, takto upravený list nestačí.
Potřebujeme změnit vzorce na čísla. Toho docílíme následujícím postupem:
Excel:
1. Označíme oblast buněk s náhodnými čísly.
2. Zkopírujeme oblast (Úpravy / Kopírovat)
3. 3. V nabídce Úpravy vybereme Vložit jinak, otevře se příslušné okno. V okně zaškrtneme volbu Hodnoty
(místo vzorců se vloží pouze čísla)
OpenOffice:
1. Označíme oblast buněk s náhodnými čísly.
2. Zkopírujeme oblast (Úpravy / Kopírovat)
3. V nabídce Úpravy vybereme Vložit jako, otevře se příslušné okno. V okně zaškrtneme pouze volbu Číslo
(místo vzorců se vloží pouze čísla).
3. Je možné také použít panel nástrojů:
podržet ikonu Vložit a v rozbaleném menu
vybrat Neformátovaný text.
str. 11
Vzorce pro Excel a OpenOffice
Protože funkce pro OpenOffice nejsou přeloženy do češtiny, používají se jejich anglické ekvivalenty:
Excel OpenOffice
=NÁHČÍSLO() =RAND()
=ZAOKROUHLIT() =ROUND()
=ZAOKROUHLIT(5*NÁHČÍSLO()+1,5;0) =ROUND(5*RAND()+1,5;0)
OpenOffice disponuje funkcí, jejímž výstupem je celé číslo mezi dvěma danými mezemi:
=RANDBETWEEN(1;6) dá celé číslo v intervalu 1;6 .