Rozvoj matematických představ 1. - Příklady
Helena Durnová prosinec 2010
Přehled okruhů - RMP 1
(Převzato z materiálů pro dálkové studium)
1. Výrok. Negace vároku. Složené vároky (logické spojky: konjunkce, disjunkce, ostrá disjunkce, implikace, ekvivalence)
2. Výrokova forma. Vároková formule, pravdivostní ohodnocení várokovách formulí
3. Kvantifikovane vároky: obecná a existencní kvantifikator, negace kvantifikovaných výroku.
4. Množina. Podmnožina. Doplnek množiny.
5. Sjednocená dvou množin. Prunik, rozdál, symetricky rozdál dvou množin. VyůZití množinovych diagramu k rešem uloh.
6. Kartezsky soucin dvou množin.
7. Binární relace z množiny do množiny. Binarní relace na množine, Usporadaní množiny. Ekvivalence na množine a rozklad množiny.
8. Zobrazená z množiny do množiny. Typy zobrazená proste, vzajemne jednoznacne.
9. Prirozená císla: zavedení a zakladní vlastnosti. Operace s prirozenámi císly. Vytvárení pojmu prirozeneho císla. Prirozena císla a predskolaci.
Literatura (základní)
1 Ružena Blažkova: Rozvoj matematických pojmů a predstav u dětí předškolního věku.
http://is.muni.cz/elportal/?id=893208
1
Výroky
Definice 1 Výrok je tvrzeni, o nemz mé smysl prohlásit, ze je pravdivé nebo ze pravdivé není.
Negace vyrokuA: —A Konjunkce (A a zároven B): A A B Disjunkce (A nebo B): A V B Implikace (kdyz A, pak B): A == B Ekvivalence (A práve tehdy kdyz B): A ^ B Tautologie: vyrok, ktery je vzdy pravdivý Kontradikce: vyrok, ktery není nikdy pravidvý Příklad 2 Napište negace následujících výroků:
1. Neexistují neomylní učitele.
[Existuje alespoň jeden neomylný učitel.]
2. Existují omýlní učitele. [Vsichni učitele jsou neomylní.]
3. Každí ucitel je omýlný. [Alespon jeden ucitel je neomýlní.]
4. Zadní ucitel není neomýlný. [Alesponň jeden uňcitel je neomýlnýí.]
5. Jen omýlní lide jsou ucitele.
[Alesponň jeden neomýlnýí ňclovňek je uňcitelem.]
6. Zadní ucitel není omýlní.
[Existuje alesponň jeden neomýlníý uňcitel.]
7. Jen ti lide, kterí jsou uciteli, mohou bít omýlní.
[Existue alespoň jeden clovek, který není ucitelem a je omýlní.]
2
8. Nejen omylní lidé jsou učiteli.
[Žádný neomylný človék není učitelem.]
Příklad 3 Sestavte tabulku pravdivostních hodnot následujících složených
výroků:	
(D)	-(A == -B) == -(-B V -A)
(E)	-(A V—B) == —(A A B)
(F)	—(A V B) A (-A == B)
(G)	(A V B) A C
(H)	(A A C) V B
(J)	[(A V B) A C] == [(A A C V B)]
(K)	A == (B == -C)
(L)	-(B A C)
(M)	[A == (B == -C)] <=> [-(B A C)]
(N)	[(A = B) A B] = A
(P)	-(A V B) ^ (-A A-B)
(Q)	A = (-A = B)
Řešení:
A	B	C	D	E	F	G	H	J	K	L	M	N	P	Q
1	1	1	1	1	0	1	1	1	0	0	1	1	1	1
1	0	1	1	1	0	1	1	1	1	1	1	1	1	1
1	1	0	1	1	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
1	0	0	1	1	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1
0	1	1	1	1	0	1	1	1	1	0	0	0	1	1
0	0	1	1	1	0	0	0	1	1	1	1	0	1	1
0	1	0	1	1	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
0	0	0	1	1	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1
Příklad 4 Napište negace následujících výroků (s kvantifikátory):
1. Všechna zvířata mají ctýri nohý. [Alespoň jedno zvíře nema ctýri nohý.]
2. Existuje rýba, ktera mlůví. [Zadna rýba nemluví.]
3. Existuje nejmene 5 drůhů sladkovodních rýb. [Existují nejvíce 4 drůhý sladkovodních rýb.]
3
4. Aspoň jeden jehličnatý strom na zimu opadává. [Žádný jehličnatá strom na zimu neopadává.]
5. V Evrope rostou alespoň dva druhý borovič. [V Evrope roste nejvýše jeden druh borovice.]
6. Duha obsahuje vsečhný základní barvý.
[Alespon jedna základní barva není obsažena v duze.]
7. Kazdou barvu lze namáčhat ze zakladmčh barev. [Alesponň jednu barvu nelze namáčhat ze záakladnáčh barev.]
4
Množiny a operace s nimi
Definice 5 Soubor prvků nazýváme množinou. Množiny označujeme zpravidla velkými písmeny latinské abecedy.
x je prvkem A: x E A;
A je podmnoZinou B: A C B;
A je podmnoZinou nebo je rovno B: A C B;
Sjednocení dvou množin: A U B;
Prunik dvou mnoZin: A n B;
Rozdíl dvou mnoZin: A \ B;
Doplněk mnoziny A vzhledem k množine M (platí A C M: A = M\ A);
Kartézský součin dvou množin A, B: AxB (kartezský součin je mnozina usporadanych dvojic, v nichž první prvek je z mnoziny A a druhy prvek z mnoZziny B).
Příklad 6 Ukažte, že platí následující tvrzení (pomocí Vennových diagramů)
1. A u (B n C) = (A u B) n (A u C)
2. A n (B u C) = (A n B) u (A n C)
3. A u B = A n B
4. A U B = A U B
5. A \ (B n C) = (A \ B) U (A \ C)
6. A n (B \ C) = (A \ C) n (B \ C)
Príklad 7 Rožhodnete,která ž nasledujúcich množinových inkluží platí:
1. A \ (B \ C) C A \ (B U C)
2. A \ (B U C) C A \ (B \ C) [platí 1.]
Príklad 8 Ukažte, že platí nasledující tvržení:
* (A n B) U C = A n (B U C), pokud C C A
* A \ (B \ C) = (A \ B) \ C
5
Relace a zobrazení
Definice 9 Relačá na množině A nazýváme podmnožinu kartézského součinu A x A; tj. prvky relace jsou některé uspořádané dvojice prvků množiny A: R C A x A
Vlastnosti relace
Relace symetricka: pro Va, b E A platé: (a, b) E R <=>- (b, a) E R
Relace reflexivné: pro Va E A platé: (a, a) E R
Relace antisymetrické: pokud (a, b) E A A (b, a) E A), pak: a = b
Relace tranzitivné: pro Va, b,c E A platé: (a, b) E R A (b, c) E R <=>-(a, c) E R
Relaci, ktemje reflexivné, antisymetricka a tranzitivné nazývame usporadáná Tuto relaci lze zakreslit hasseovskám diagramem.
Relaci, ktera je reflexivné, symetricka a tranzitivné nazývame ekviva-lenče. Ke kazde ekvivalenci pnslušé rozklad.
Příklad 10 Relači na mnozine A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} zadanou výčtem zapiste do tabulký a určete, zda je
(a) reflexivná,
(b) sýmetričkáa,
(č) antisýmetričkáa,
(d) tranzitivná,
(e) uspoňraádáaná,
(f) ekvivalenče.
V pňrápadňe, ňze se jednáa o uspoňráadáaná, nakreslete hasseovskýá diagram zadanáe relače; v pn'pade, ze se jedna o ekvivalenči, najdete prislusný rozklad.
R = {(1,1), (2, 2), (3, 3), (4,4), (5, 5), (6, 6)};
[reflexivná, sýmetričká, antisýmetrička, tranziivm, usporadám, ekvivalenče, rozklad: jednoprvkove mnoziný 1,2,3,4,5,6]
6
S = R U {(1,4), (2, 5), (3, 6), (4,1), (5, 2), (6, 3)};
[reflexivní, symetrická, tranziivní, ekvivalence, rozklad: dvouprvkové množiny 14, 25, 36]
T = R U{(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 4), (2,6), (3, 6)} [reflexivní, antisymetrická, tranziivní, usporádání ]
P = R U{(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1,6), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2)} [reflexivní, antisymetrickí, tranziivní, usporadaní ]
Q = R U{(1, 6), (2, 6), (3, 6), (4,6), (5, 6)} [reflexivní antisymetricka, tranziivní, usporadaní]
Definice 11 Relace f C A x B se nazývá zobrazením, pokud je každému prvku množiny A přirazen nejvýše jeden prvek množiny B (tj. žádný prvek množiny A nelze zobrazit na dva rUzne prvky). Zobrazená se nazýva
proste, pokud ma každý prvek množiny B práve jeden vzor;
"na", pokud ma každy prvek množiny B alespon jeden vzor;
vzajemne jednoznačne, pokud ma každý prvek množiny A prave jeden obraz a kazdýy prvek mnoziny B prýave jeden vzor.
Příklad 12 Urcete, ktera z nasledujících zobrazení jsou vzíjemne jednoznacní; ktera jsou prosta; a ktera jsou 'na'. Nakreslete nazorní obrazek.
A = {1, 2, 3, 4}, B = {1, 2, 3, 4, 5}, f = {(1,1), (2, 3), (3, 5), (4, 2)} [prostíe]
A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3,4}, f = {(1,1), (2, 3), (3,4)} [prostíe]
A = {1, 2, 3, 4},B = {a, b, c, d}, f = {(1,d), (2,a), (3,c), (4, b)} [proste a na, tj. vzajemne jednoznacne]
7
Přirozená čísla a operace s nimi
Definice 13 Binární operace + a • na množině přirozených čísel N jsou
komutativní, tj. platí a + b = b + a, a • b = b • a;
asociativní, tj. platí a • (b • c) = (a • b) • c; Dale platí, distributivní, zákon: a • (b + c) = a • b + a • c. Příklad 14 Sečtete nasledující čísla ve dvojkove soustavě
1. 10101 + 1011 [100000]
2. 10111 + 10101
[101100]
3. 11001 + 10001
[101010]
4. 11111 + 11111 [111110]
Příklad 15 Zapište následující čísla vyjádředná římskými číslicemi v poziční desítkové soustave:
1. XLIII
[43]
2. MCM [1900]
3. MDCCCLIV [1854]
4. MXMIX
[1999]
5. MDCXVIII
[1618]
8