Kapitolu 1
ZÁKLADNÍ POJMY
g 1 ■ OKRUHY, TELESA
V tomto paragrafu uvedenie základní algebraické'pojmy a jejich vlastnosti v lakove^m rozsahu, jaký búde potřebný v dalším textu. V prípade, ze půjde o vlastnost známou z úvodního kurzu algebry, budeme se odkazovat na skripta L. Skuly (9).
Okruhem budeme všude v dalším vždy rozumět komutativní okruh s jedničkou, coz je tedy množina sdvSíria binárními operacemi (sčítáním, násobením), obvykle označovaná
R = (/?,+,.) nebo jen struine'/J, pri cémz :
1. (/?,+) je komutativní (abelovská) grupa
2. (/?,.) je komutativní pologrupa s jedničkou I,,
3. násobení je distributivní vzhledem k sčítání, t.j. a. (/> + c) = cp + a.c ,
pro lib. a,b,c SR.
NejjednodussTmi príklady okruhu jsou :
a) množiny Z,Q, R, K s operacemi obyčejného sčítania násobení čísel
b) množina G = (a + bi I a,ft 6 Z } s operacemi obyčejného sčítaní a násobení čísel. Tento okruh nazývame okruhem Gaussových celých čísel. .
q) okruhy Zm = (Zm , + , ■) zbytkových tříd modulo m
d) jednoprvkový okruh R - [0R ), který se nazýva triviálni okruh. V tomto prípade obe operace splývajía je 0R = I (jinak je vždycky 0R 1^!!). Temo okruh budenie většinou z našich úvah vylučovat, t. zn. budeme uvazovat pouze netriviální Okruhy.
Příklad t.l : Na množine^ Z X Z. definujeme operace + a . takto:
(x,.y) + U',/) = {x+x'.y+y')
,     pro lib. xjclyy S-Z (x,y) .  (x ,y ) « (.v. x .y. y )
- 6 -
kde symboly + , . na pravé strane značí obyčejné sčítania násobeni'čísel. Dostavíme taktookruh ZXZ = (Z X Z , +,.),jehož jedničkou je zrejme prvek (1,1).
Příklad 1.2 : Nechť R je okruh a nechť (i je pevne přirozené'Číslo. Kartézský
součm RXR X.....X R (n-krát') označme R". Dále, symbolem R,R" >
označme množinu víech zobrazenŕz R" do Ä, t j. . ;,-.•    ,4» -
R'*"' - [v \<p : R" - /? J . Na množina        / definujeme operace + a . takto : pró <p,ý £ ä'R "i pólózTme ,     ts, . , , . Pf° lib(r,>.wr)e/?"
Or- \!0(r;......<•„) = ¥*>•,■----r„>,''(f,.....• '»)
kde symboly +, . na pravé'strane značí sčítaní, resp. násobení v okruhu R . Je ihned vidřt, ze      + ý), (<p .ý) e a dále, ze jsou splnený axiomy okruhu.
Tedy (Ä<Ä >, +,.) je okruh, jehoz jedničkou je zrejme zobrazení i definované;
Ve specielním prípade pro n - 1 dostávame takto okruh RR ~(RR, +, . ), jehoz prvky jsou tedy zobrazení z R' do Ä. Tento okruh budeme nazývat okruh funkcí (na R ).
Definice : Nechť R je okruh, prvek r e R se nazýva dělitel nuly v R , /eslliíe r 4= 0 a existuje s S R, s * 0 tak. že r.s = 0. Netriviálni'okruh, který neobsahuje dělitele nuly, se nazýva obor integrity.
Příkladem oboru integrity jsou výše zmíněné okruhy Z, Q, Ŕ, K, G, resp. okruh zbytkových tříd Zm v případe, ze m je prvočíslo (viz [9j, str. 58).' Naopak, triviálni okruh, okruh ZXZ a okruh funkcí R"  nejsou obory Integrity. Následující veta pak udává jinou charakterizaci oboru integrity.
Veta 1.1 : Nech ľ R je netriviálni'okruh. Pak R je oborem integrity právě" když v R platí zákon o krácení(t.j. a, b, c e R, <ŕ0,   a.b ■ a. c ■* b m c)
[D ů k a z :  1. nechť R je obor integrity; je-li a.b - a.c , a =ŕ 0, pak íi(b - c) = 0, t. zn. podle predpokladu musí být b - c = 0, neboli b - c .
j! J
lilii
lilií: ľ
II. nechť v R platí zákon o krácení; nechť a.b 6 R  , a 4= 0, a. ŕ> = 0. Pak ale lze psát : a.b = 0 = a.0, t. zn. podle zákona o krácení je b = 0 a tedy /í je obor integrity.]
Definice: Nechť" R je okruh. Prvek e & R; k nhnuí existuje prvek inverzní (vzhledem k operaci násobení), se nazýva jednotka okruhu R . Množinu všech jednotek okruhu R budeme oznaíovat symbolem J (R) .
Zrejmé'jednička  \R  je vždy jednotkou okruhu R,  t. zn. J(R) je neprázdná' mnoíina, při Čemž obecné má okruh více jednotek. Např. okruh Z ma pravé'2 jednotky (a sice čísla _ I), resp. okruh G celých Gaussových čísel ma 4 jednotky (čísla — I, i í), resp. v okruzích Q, R, K je kačdý nenulový prvek jednotkou, atd.
Definice: Okruh R , jehož množina nenulových prvků R - [0R) je grupou vzhledem k operaci násobení, se nazýva teleso.
Poznámka : vzhledem k tomu, ze operace násobení je .vsudc v tomto textu komutativní, není nutné používat termínu komutativní teleso nebo pole, jak se níkdy z důvodů rozlišení delí. Z definice dále vyplýva', ze teleso musí být vždy aíespon dvouprvkové'(neboť R - [0R } je grupa, t. zn. nepra'zdná množina) a ze kařdý nenulový prvek je jednotkou. Příkladem télesjsou např. Q, R, K, pri čemz.to zdaleka nejsou všechny čľselné množiny, které jsou tělesem vzhledem k operacím obyčejného sčítání a násobení, jak ukážeme dalc. Na druhé' strane, okruh Z , okruh funkcí RR a okruh Z X Z Zrejme nejsou telesa.
Definice : Nechť R = (R, +, . ) je okruh. Je-li podmnožina S C Ji vzhledem k operacím +, . okruhem (resp. tělesem), pak S se nazývá p o do k r u h (resp.   p o d t e I e s o ) okruhu R a R se pak nazýva n a d o k r u h okru h u (resp.  telesa) S. Je-li navíc R tělesem, pak fikáme, že S je p o d o k r u h e m (resp. p o d t e I e s e m ) telesa R , pri cemž R v tom to prípade nazývame n a d t e t e s e m okruhu (resp. t e l e s a í S.
Jc-li S podokruhem okruhu R a platí-li ls = 1„ , pak S nazývame u n i t á r n í m p o d o k r u h e m o k r u h u R .
Například, okruh Z je unitárním podokruhem okruhu G . resp. okruh Z je podokruhem telesa R, resp. teleso Q je podtelesem ťelesa K,  Je-li R teleso
a uvážíme-li v okruhu funkcí RR   podmnožinu F všech konstantních zobrazeni' (t.j. zobrazení tvaru f{x) = c , pro každé x SR, kde c SR je pevný prvek), pak F je zřejmí podtélesem okruhu funkcí RR . Nakonec si ještě ukažme, že podokruh obecne nemusí být unitárním podokruhem daného okruhu. Například v okruhu Z X Z (viz příklad 1.1.) je S = {(x, 0) | x S Z} podokruhem, Při tom však je: ««■••.1 ■*
ls= (1,0) + (1,1) = lzxz a tedy podokruh S není unitárním podokruhem okruhu Z X Z
Oefiníce : Nechť . „ ohr* -*
pro každé X;
nosíí (V)
řaí: nejmenší lakové k se nazýva' charakteristika okruhu (resp. telesa) R. Říkáme pak, ze okruh (resp. teleso) R )e charakteristiky   k . Jestliže žádné přirozené' k s vlastnosti (1) neexistuje, pak fikáme, že okruh (resp. teleso) R je charakteristiky O .
V našem případe, kdy R ma'jedničku \R , lze určit charakteristiku R, pouze vyšetřováním vlastností ls. jak ukazuje následující veta.
Veta 1.2: Nechť R je okruh (resp. teleso). Existuje-U přirozené k takové, že k.\R  = Or , pak nejmenšítakové k je charakteristikou okruhu (resp. telesa) R. Neexistuje-ll Žádné' takové' k . pak okruh (resp. teleso) R je charakteristiky O.
|D ů k a z : nechť k je nejmenší přirozené číslo s vlastností : k. I" 0R . Pak pro libovolný prvek r S R je k.r ■ r + r + . . . + r = lR.r + \R.r.+ . . . + lR.r = <1R + lÄ+. . . . + \R) .r = (k.\R).r = 0R.r = Or   , odkud plyne tvrzení.]
Vidíme tedy např., ze triviální okruh je charakteristiky 1  ,   okruh Zm zbytkových tříd modulo ni   jo charakteristiky m  , okruh funkcí RR je Stejné'charakteristiky jiko je okruh R a všechny ostatní výse zmiňované'okruhy nebo telesa, t:j. Z, G. Q. R, K, Z X Z jsou charakteristiky O .
Definice : Nechť R = («,+,.), R' = (/?', 9, s ) jsou okruhy (resp. tělesa). Zobrazení .p : R -+ R' se nazývá h o m o m o r f i z m u s okruhu (resp.  telesa ) R do okruhu (resp.  telesa ) R' , jéstttíe pro libovolné a.b £ R platí: ■■ :-,
\f (a + b) = yj (a) ® y(í>)   ,   *p (a-b) = <p (a) ® <p (b) . Je-li navíc zobrazení ip   Injektivnl, pak hovoríme o izomorfizmu R do R' nebo léí o v n o ť e n í R do R'. Je-li ip bijektivní, pak hovoříme o izomorfizmu R na R' a říkáme, ze R a_ R' jsou Izomorfní.
Poznámka : v dalším budeme obvykle operace scYtání, resp. násobení v R a R' označovat stejnými symboly. Nemůže dojít k nedorozumení, protože ze způsobu zápisu je patrne,  žda   Jde o operaci v R nebo v /{'.Základní vlastnosti homomorfizmô jsou probrány v [9]; uveďme si nyní pouze tuto vetu :
Věta 1.3 : Nechť R, R' jsou okruhy; nechť <p : R -* R' je hoinomorflzmus okruhu   R do R'. Pak f (R) je podokruhem v R' .
[D ú k a z : je ip (R) =   [x' S R' I existuje x S R tak, že $(x) = x' } £ R' Zrejme je \p (R) i= <j> a je to množina uzavřená vzhledem k odeíítánía nasobe-nív R'. Navíc f(lR) je jedničkou yj (R). (Obecne vsak nikoliv jedničkou R'\l). Tedy ip (R) je podokruhem okruhu R',] .
Poznámka : je-li <p : R -* R' vnořením R do R', pak zrejme R a ip (R) jsou z algebraického hlediska stejné'(mají stejné'vlastnosti). MÚžeme tedy ztotožnit prvky z R s jim odpovídajícími pivky (t.j. jejich obrazy při <p ) ve ip (R) a o-kruh Ä muzcme pak povazovat za podokruh okruhu R.
Definice : Každý podokruh (resp. podteleso) telesa K komplexních čísel nazývame číselným okruhem (resp. cí s e t n ý m i f J e s.e m ).
Vidíme tedy, že Z, resp. O jsou číselne'okruhy ; Q, resp. R. resp. K jsou číselná telesa. Další príklady Číselných okruhu a tíles jsou uvedeny ve cvičení I. Je zřejmá, že každý netriviálni číselný okruh je oborem integrity a Je charakteristiky O. Zvláštni postavení mezi číselnými teíesy má teleso Q, ktere'je mezi, nimi "nejmenší'", přesněji receno.je obsaženo v každém číselném teíese.   Z obec-
nŕj&lio hlediska tuto situaci popisuje následující vUln.
Víta 1.4: Nechť R je těleso charakteristiky U - Pak existuje podlí/eso S tělesa R , kteréje Izomorfní s tělesem   Q   racionálních íísel. 1D ú k a 7. : viz (y), důkaz V. 2.2.42]
Na základe'poznámky za V.1.3. můžeme tedy struční říkat, ze kaJťclé teleso charakteristiky O obsahuje teleso Q racionálních tisol.
i 2. : DĚLITELNOST V OKRUHU A V OBORU INTEGRITY..
S pojmem dělitelnosti sc můXeme setkat jií na strední íkole píl vyšetřování dělitelnosti v ohoru celých řisel. Nyní ukážeme, jak lze tyto otázky studovat obecněji v oboru integrity nebo dokonce v libovolném okruhu.
Definice : Nechť R je okruh, necht" a.h 6ŕ R Jestliže existuje prvek r G R takový, íe h.r - a , pak říkáme, ze b dělí a (nebo téí, {e p r v é k a je d él t í e I n ý p r v k e m b) a píšeme b I a V opačném prípadíííkáme, íe b nedelia (nebo téz, íe a n e n í d él I t e l n ý b ) a pKcme : bia Relaci   I   nazýváme relací dělitelnosti no R
Poznámka : je-li a = 0 , pak zrejmí' b I 0 pro kaŽdý prvek - b e R (stačí totiž položit r = 0). Na druhé straní, je-li b = 0, pak 0 1« jedlnS v případe. Že a = 0. Často se budeme pfi studiu dělitelnosti omezovat pouze na nenulové prvky z   R .
Veta 2.1: Necht R je okruh; pak platí:
a )„ reflexivní a transitivní l relace délitelnosti na R I" *W« ' pevné prvky. vronU ,61«, l
2. jsou-li a,.....
li   «,.....
k) a jsou-
„    e r libovolné, jiak
[Důkaz :  1. zřejmí pró libovolná a e R je : i.a = á, t. zn. a la Dale, Je-li c I b , b \a , pak podle definice existují r,s' 6 R tak, že : '' c.r =6, b.s ■ a . Po dosazení je pak : c. (r.s) = a , t. zn. cla.
2. je-li b Ia( , pak existuje r( 6 R tak, íe b.t. ■*'*•■' ( l » 1, . . . , k) a tedy : •
£ a.tt.
t b.rru,
b. 2 r.u. , t. zn. b
Poznámka : pomocí dělitelnosti lze rovnfó charakterizovat pojem jednotky v R , definovaný v předchozím paragrafu. Zřejmé' prvek á ď"R je jednotkou okruhu R   práve když e Mfi; navíc soudfin a .. . .■ek je jednotkou v R , pravé' kdyŽkaŽdé ?( ( ŕ = i,, . ... , k) je jednotkou v R . Odtud pak Již lehce plyne, Že množina. J(R) všech jednotek v R tvoří (vzhledem k operaci násobením R ) grupu.
. Definice: Nechf R je okruh. Jestllíe pro a,b e R existuje jednotka e e J(R) tuk, íe platí: a = b.e, pak Vtkáme, íe prvek a je asocior v ó n s prvkem b , a píiéme : a 'v b . Jelikož relace   "v je symetrická (jak bitde ukázáno nízě), budeme obvykle říkat, íe prvky a , b j so u a -sociovány(vR). -•' •••••
V&a 2.2 : Nechť" R je okruh; pak relace asoclovanosti   "l> je relací ekvivalence na množině R.
[DŮ.k a z : reflexivita : a .= a . 1 , t. zn. iľv« pro libovolné' t 6Ä,, symetrie: nechf a ^ ů , t. zn. existuje e 6 J(R) tak, že. a-b.e. Ale e~'€J(R) a po vynásobení tímto prvkem dostávame : b." «.«'', t, zn. Ď "V a .
transitlvita : nechf a ~ 6, b ^ c , t. žris existují e,,!!, e A/?) tak, že a = &«, . * = ce , t. zn. dosazením : a ■ c. (e2.c,), pri cumz e2.e, e J (R) . Tedy řVe, 1
Poznámka: z předchozí vety plyne, že lelace asociovanosti -v vy tvarí" na R jistý lozkiad. Třídy tohoto rozkladu jsou tvořeny vŽdy navzájem asociovanými.
prvky. Prvek 0R sam o sobí vzdy vytváří jednu takovou třídu. Dále pak všechny jednotky okruhu R tvoří další třídu tohoto rozkladu, neboť jsou asociovány s prvkem \R . Je-li specielně1 R tělesem, pak všechny nenuloví prvky jsou navzájem asociovány (neboř jsou to jednotky) a tedy rozklad, príslušný relaci "V ma právlí dvtí výše zmiňované' třídy { 0 } a R - { 0 } . Z hlediska dělitelnosti je proto teleso pro nás nezajímavá a v dalších víítách se omezíme na situaci, s níz se budeme nejčastěji setkávat, t. zn. na prípad, že   R je oborem integrity. '
VÍta 2.3: Nechť R je obor integrity; a,b e R . Pak platí : a "a b       ý*    a \ b . b \ a . .
(Důkaz : " -» " je-li ii.ii, pak existuje jednotka e e J(R) ták, ze a = b.e . Odtud pak   b = ae'    . Tedy je alb. b\á.
" ** " nechť a I b , b I a . Je-H a = 0 , pak musí být i-b = 0 a tedy a 'v b .   Ncchř tedy a 1* 0 . Pak existují prvky r,r £ R tak, že a.r - b .  b.r' = a , t. zn. po dosazeni', a. ( r.r' ) = a = a.l . odkud podle V. 1.1. je r.r' - I a tedy r.r'SJIR). Potom vsak je a ^ b . ]
V^ta 2.4 : Nechť R je obor integrity , nechť a, b, á, b' B.R. Pak
1. pro kaldou jednotku e 6 J(R) a kaídý prvek r SR platí: e\r
2. je-li a' "V a ,  b' ý b , pak a \ b praxi kdyí a'\ b' ■
[D ú k a z : ad 1 : platí r = l.r = e. (e"'.r) , t. zn. e I r .
ad 2 : nechř a' -v- a , 6' ~ 6, alĎ . Pak užitím V.2.3. lze psát : a' I a, a I b , b I b' odkud vzhledem k transitivitií relace dělitelnosti í dostáváme : a'l b' ■. Opačná implikace se dokáže analogicky;. ]
Poznámka : z předchozích dvou vet vidíme, že každý prvek daného oboru integrity R   je vždy dáitelný všemi jednotkami z R a víemi s ním asociovanými prvky. Zavedeme proto následující definici.
Definice: Nechľ R je obor integrity, nechŕ r G R. Pak všechny jednotky z R a všechny prvky asociovaná s r se nazývají nevlastní dělíte li prvku r .  Ostatní dělitele pivku r (pokud existují) se nazývají vlastní de-
ISIS
- 13 -
l i i e I é.
Nechť p S R je nenulový prvek, který není jednotkou v R . Pak prvek p se nazývá r e d u c i b i J n ľ (resp. ireducibilní ) y R , jestliže má (resp. nemá) vlastní dílitele v R.
Poznámka : jinými slovy řečeno, prvek p BR je ireducibilní v R, jestliže jej nelze napsat jako součin dvou prvků z R , z nichž zadný není jednotkou, ani není s prvkem p asociován. Z definice dále vidíme, ze v telese (kde každý nenulový prvek je jednotkou) nema'vysetrovánrreducibility a ireducibility smysl.
Veta 2.5: Nechť R je obor integrity; nechť p , q G R a platí p y q . Pak : prvek p je ireducibilní v R práve kdy z prvek q je ireducibilní v R.
[D ú k a z : ze symetrie rélace   % plyne, ze stačí dokázat pouze jednu implikaci. Necht" tedy p   je ireducibilní v R a dále nechŕ  e 6 J (.R) je jednotka v R taková, z"e p = q.e . Odtud plyne, že q #0', qfáj(R). Dale sporem : je-li   q reducibilni, pak q = a.b , kde a,b fí' J(R)'; a, b nejsou asociovány s q. Pak ale p = q.e = (ea).ft, při cemz e.a, b fí J(R)   a zrejmé' e.0, b nejsou asociovány s p. Pak p je reducibilní, což je spor. Tedy   q je ireducibilní. ]
Príklad 2.1 : Okruh. Z celých čísel má dví jednotky, a sice - 1, t. zn. k danému číslu c e Z jsou asociovány pouze - c . Tedy číslo pS Z je ireduci-bilním prvkem v Z   práve tehdy, když   p j* Q , p =ŕ ±.1. a jeho jedinými děliteli jsou čísla + 1, + p . Stručne řečeno, p je ireducibilním prvkem v Z pravé když absolutní hodnota z čísla p je prvočíslo.
Definice : Nechť R je obor Integrity, nechť M je neprázdna podmnožina R. Pak prvek t SR se nazývá společný dělitel množiny M v R , jestliže je t\m' pro kaídý prvek m S M. Píšeme pak : t\M.
Prvek d S R se nazýva n e j v e t s í společný d e I i t e I m n o -z i n y M v R , je-li :
(ŕ) . d \M
(//) pro (6J! s vlastnosti' s\M je íl d .
V prípadU, ze M je konečná množina, hapf. M - (o,      .. . , a }, pak hovoíiine o společném děliteli (resp. největsím společném déllteli) prvku ay, a7, . . . , an v R .
Poznámka : z předchozí definice obecne neplyne existence největiTho společného dělitele množiny M   (afuz konečné nebo nekoneční). Na druhé strane^ o jednoznačnosti nejvétšiíio společného dělitele lze zcela obecne vyslovit tuto větu.;
Veta 2.6 : Nechť R je obor integrity a nechť existuje největsí společný dělitel d mnoliny M v R. Pak D = {r 6 R | r -v d ) je množina vkch nejvědlch společných dělitelů množiny M v R.
[ D B k a z :  1. necht" q e R je nejvítžl společný délitel mnoíiny M . Prvek d vsak splňuje : d \M , t. zn. podle definice je d | q . Analogicky je q | d , neboť d je podle předpokladu největsí společný délitel M . Tedy : d \ q , q \ d a podle V.2.3. je q ^ d , t. zn. q 6 0 .
II. nechť q G D ; pak existuje jednotka e é J(R) tak, že q = d.e . Ale z toho, ze d je největíí společný dělitel M bezprostředně plyne, že d.e = q je také' největsí společný dělitel mnoíiny   M v R . ]
Kongruence, rozklad na zbytkové třídy.
Věta: Nechť a, b jsou celá čísla taková, že b * 0. Potom existují celá čísla q, r splňující vztah:
a = bq + r, 0 < r<|ň|, přičemž toto vyjádření je jednoznačné. j
Poznámka: Je nutno si uvědomit, že zbytek r při dělení je vždy nezáporný, a to i při dělení záporným číslem. Např. a = -26, b = 8, q = -4, r = 6, protože -26 = 8 . (-4) + 6.
Poznámka: Celá čísla a, b jsou nesoudělná, je-li jejich největší společný dělitel roven jedné. V opačném případě se nazývají soudělná. Největší společný dělitel čísel a, b budeme označovat NSD(a, b), nejmenší kladný společný násobek NSN(<7, b).
Eulerova funkce    (f{ri) vyjadřuje počet přirozených čísel menších nebo rovných číslu n, ....._ ^ ^
nesoudělných s n. Nechť n = pľx. ... pka*■ pak platí    <p(n) = n ]~7(1--). Je-li n
J P,
prvočíslo, pak <p(n) = n -1.
Kongruence: a, b e Z, m e N, m > 2. Platí a = b ď   m\(a - b). Čteme: Číslo a je kongruentní s číslem b podle modulu m. Dvě čísla kongruentní podle nejakého modulu m dávají při dělení tímto modulem m týž zbytek. Relace kongruence je ekvivalence na množině všech celých čísel (je reflexivní, symetrická a tranzitivní).
Vlastnosti kongruencí:
1) p prvočíslo, pak a = b (mod p") =>   a = b (mod p)
Platí-li kongruence podle modulu, který je mocninou prvočísla, platí i podle modulu rovného tomuto prvočíslu.
2) a = b (mod m\), i = 1,2.....k =>   a = b (mod NSN(w/n*))
Platí-li kongruence podle několika modulů, platí i podle modulu rovného nejmenšímu společnému násobku těchto modulů.
1 k k k k
3.) a\ - bi (mod m), i = l,...,k => = V Ŕ; (mod m),   Y[ai s Yl^i (m°d '»)•
Kongruence podle téhož modulu lze sčítat i násobit.
Nechť v dalším platí a = b (mod m): 4) a + x = b + x (mod m), a. y = b .y (mod m)
K oběma stranám kongruence lze přičíst stejné celé číslo a obě strany kongruence lze vynásobit týmž celým číslem. Obecně ale nelze obě strany kongruence dělit týmž celým číslem, např. 24 = 40 (mod 8), ale po vydělení čtyřmi 6 # 10 (mod 8).
5) m I z =>   a + z = h (mod m)
Celé číslo, které je násobkem modulu, lze přičíst pouze k jedné straně kongruence.
6) a" = b"(modm)
Obě strany kongruence lze umocnit na libovolný přirozený exponent.
7) d\a a d\b a NSD(í/,/«)=l =>   - = - (mod m)
d d
Obě strany kongruence lze vydělit celým číslem nesoudělným s modulem.
8) ac = bc (mod mc)
Obě strany kongruence i modul lze vynásobit týmž celým kladným číslem.
9) e\a a e\b a e\c =>    — = — (mod —)
e    e e
Obě strany kongruence i modul lze vydělit týmž celým kladným číslem různým od nuly.
10) a =b (mod m) a d I m =>   a s b (mod d)
Platí-li kongruence podle modulu m, platí i podle modulu rovného libovolnému kladnému děliteli čísla m, většímu nezjedná.
Eulerova věta: m e N, m > 1, a e Z, NSD(n, m) = 1, pak fl(p(m) = 1 (mod m).
Je-li specielně p prvočíslo, které není dělitelem čísla a, pak platí ď~ = 1 (mod p) (tzv. malá
Fermatova věta).