VII. LINEÁRNI ZOBRAZENI VEKTOROVÝCH PROSTORU
!
§1. ZákliHní vlastnosti lineárního zobrazení
; V naSich pfedchozích úvahách o vektorových prostorech jsme vždy vyšetřovali vlastnosti jednoho vektorového prostoru (pro úplnost připomeňme, že vektorovým prostorem rozumíme vždy pouze konečnědimenzionálnť vektorový prostor). V této kapitole se naopak budeme zabývat vzájemnými vztahy mezi dvěma (případné i vice) vektorovými prostory. Tyto "vzájemné vztahy" budeme studovat pomocí zobrazení jednoho vektorového prostoru do druhého. Aby naše úvahy mely praktický smysl bude zřejmě nutné pracovat s takovými zobrazeními, která nějakým způsobem "zachovávají" operace, s nimiž se ve vektorových prostorech setkáváme, tj. zachovávají jednak součet vektorů a jednak násobek čísla s vektorem. Při tom zřejmě druhý požadavek bude moci být splněn jen tehdy, když uvažované vektorové prostory budou nad stejným číselným tělesem.
Definice: Nechť V, V jsou vektorové prostory nad týmž Číselným tělesem T. Zobra-
\
zení <p ; V -* V splňujíc!        r. \
(i) + v) = ^(u) + y)(v)
(ii) <p(t.u) = r.</j(u) se nazývá lineární zobrazení vektorového prostoru  V do V'
Je-li navíc ip bijektivní, pak se nazývá izomorfizmus vektorového prostoru V na V.
Poznámka:  1. je nutné si uvědomit, Že vektorové prostory V a V jsou obecně různé, a tedy i operace sčítání vektoru (resp. násobení čísla s vektorem) ve  V á ve V jsou pak samozřejmě také různé. Přesto však, je budeme pro jednoduchost označovat stejným symbolem + (resp. ■). Nebude moci dojít k nedorozumění, poněvadž ze souvislosti a z ostatní symboliky bude vždy zřejmé, o kterou operaci se jedná. Pro ulehčen! orientace budeme vektory z V obvykle označovat Čárkovaně, kdežto vektory z  V nečárkovaně. Specielně tedy o' bude značit nulový vektor z  V, kdežto o bude značit nulový vektor z V.
2. lehce se ukáže, že podmínky (i) a (ii) z předchozí definice jsou ekvivalentní jediné podmínce:
(iii) ip(t.u + s.v) = r.ip(u) + i.vff(v)   pro u, v £ V; t, s £ľ libovolné. Ověřujeme-li tedy, že zobrazení <p : V -* V je lineární zobrazení, pak ověřujeme buď pod-
pro u,v £ V; t £ľ libovolné
minky (i) a (ii) nebo jedinou podmínku (iii).
Dále, matematickou indukcí lze (iii) rozSířit na libovolný konečný počet sčítanců, tzn. pro lineární zobrazení ^ platí:
Přiklad 1.1.: Nechť  V, V jsou vektorové prostory nad T, nechť t £ T. Pak:
1. zobrazení y> : V r* V, definované !
ip(v.) - /.u, pro každé u £ V je lineám! zobrazen!. Je-li f i= 0, pak <p je dokonce izomorfizmus (ověřte si obojí rozepsáním!). Specielně, pro t=\  dostáváme identické zobrazení idK, které je tedy izomorfizmem vektorového prostoru  V na V.
2. zobrazen! to : V -> V, definované:
w(ii) = o' , pro každé u £ K ie lineární zobrazení, které budeme nazývat nulové lineární zobrazení.
Přiklad 1.2.:  Zobrazení f : R3 ■* R2, definované: • x2, x3)) = (2#, + x3, xr- X%~ X3)_ pro ¥ (*,, x2,x3) 6 R3
je lineární zobrazení, které není izomorfizmem.
Dále, např. zobrazení ý : R3 -» R2, definované:
i//((x,, xt, x3)) = (2xl + 1, Jt,- x2- x3) pro Y (*t. *2. x3) £ R3
není lineární zobrazení (zřejmě neplatí (i) ani (ii))
Příklad 1.3.: Zobrazen! 5 : R„[x] •* Rn [x] , definované:
S(f(x)) f /'(*), pro y fíx) 6R,[i|, tj. zobrazení přiřazujíc! polynomu f(x) jeho derivaci f(x), je lineární zobrazen! (při ověřování podmínek (i) a (ii) se využije některých vět o derivování funkcí, známých z analýzy). Zřejmě 5 není bijektivní zobrazení, a tedy není izomorfizmem.
Věta I.I.: Nechť <p : V -* V je lineární zobrazeni Pak platí:
1. ir(o) = o' , //'. nulový vektor se musí zobrazit na nulový vektor
2. if(-n) = -<r(u) , pro T U £ V
3. u.....uk e V /sou lineární závislé vektory •* ^(u,), . . . , <p(uk) jsou lineárni
závislé vektory (ve V),
B
164
165
ft £ í", ž nicIiä:
[Důkaz:  1. zřejmě je o = O.o, tzn. pák ^(o) = ^(O.o) = O.yj(o) = o'
2. <p(-u) = ¥>((--l).u) = (-l).^(u) - -tfu), podle V. 1.1.4., kap. III
,3- ui.....ufc jsou lineárne závislá ■» existují f,
alespoň jedno je různé od nuly tak, že ŕ.u.t . . . + tkuk = o. Pak ale ^,u, + ...+ f,^)-.- <ŕ(o), tzn. /1.¥»(u1) + . . . + ífc.<p(»*) = o', a tedy tfu,),..., ^(u,) jsou lineární závis-lé.) ■
l ■ "
Ďalší víta si všímá toho, jak se lineárni zobrazení chová vůči podprostorum. Pripomeňme, že je-li <p : V -* V zobrazení a W je podmnožina ve V, pak symbolem <p(W) oznamujeme množinu obrazu všech prvků z  W, tj.:
i>(W) = {x' 6 V\ j W 6 W tak, že <p(w) = x'}
VStal.2.: Afec/tŕ ip : K ■* K' je lineárni zobrazení; W je podprostor ve V. Pak: 1.      <p{W) je podprostor ve V
2-      "i....."t pou generátory podprostoru W =* </>(«,).....0ÍU. ) /jou generátory podprostoru ip(W)
3. "[. dim IV > dim ip(H>)
[Důkaz:  1. provede se přímým overením definice podprostoru
V      2. nechť x' e tfW) libovolný, tzn. existuje w e W tak, žé        ■■ x'. Ale podle predpokladu W f f,.-U,+. . . , + f,.u,., a tedy x' = !p(řiBi + • • • + ř*«J = = řj.rtu,) + . .". htk.<pjlvik), odkud plyne, že y>(u,), • • ■ . <*>(«*) jsou generátory <p(\V).
3. je-li W = (o) , pak tvrzení zřejmí platí; nechť tedy W =ŕ f o) a
nechť u,.....oj je báze IV.  Pak podle 2. jsou vektory yj(u, )>•••, v(um) generátory
a tedy dim rtV) < m = dim IV ]
Víta 1.3.: Složením lineárních zobrazení dostaneme opět lineární zobrazení, tj. jsou-li <p : K-> K','- ijt': K'-»• V" lineární zobrazeni, pak ý o <p : V -* V" je lineárni
zobrazeni. \
[Důkaz: ověříme podmínku (iii); pro u, v & V; t, s G T je (i// o vJ)(/u.+ jv) = ^[^(íu + sv)] = ý[t-<p(u) + s.<p(y)] = r.[(i// o yi)(u)] + j.[(i// o ^)(v)] , a tedy (i// o    j e lineární zobrazení. ]
: i
!
I
i
Následující důležitá víta ukáže, že k úplnému zadání lineárního zobrazení  V -*• V stačí zadat pouze obrazy vektorů pevné báze prostoru V a obrazy zbývajících vektorů z V jsou pak již jednoznaíně vynuceny. Na druhé straní, takovýto výsledek se dá celkem očekávat, uve-domíme-li si. Že každý vektor z K je jistou lineární kombinací vektorů báze a Že lineární zobrazení "zachovává lineární kombinace vektorů".
Věta 1.4.: (Základní věta o lineárních zobrazeních)
Nechť V. V jsou vektorové prostory nad T; nechť u(.....un je báze prostoru  V a
nechť v*.....v', jsou libovolné vektory z V.
Pak existuje jediné lineární zobrazení \p ; V •* V* takové, íe ip(u,) = v',.....<r(un) • V*.
[Důkaz: 1. existence: nechť x & V libovolný, přičemž x = x, u, + . . . + xnun. Položme: y>(x) = x, .vj + Potom <p je zobrazení V do V, které je lineární
zobrazení (obojí si podrobní rozmyslete, resp. dokažte!). Dále, zřejmí ip(u() = v,', pro í=l____,n.
II. jednoznaínost: nechť >p je výše zkonstruované lineární zobrazení a
nechť dále ý : V'-* V je lineární zobrazení takové, že = v,.....jKJB,) ~ Y^.
Pak pro libovolný vektor x 6 K (pro níjŽ x = x^^ . . . + xnun) je:
*(x) U,+ • • • ■■**,*,) "*i ^ui> + • • ' + xn W *,v', + . . . + xny'n = rfx),
což však znamená, že -\p - ]
Definice: Nechť <p : V -* V je lineární zobrazení. Pak
(i) množina Ker <p ■ {u E V\ f{n) = o'} se nazývá jádro lineárního zobrazení ip
(ii) množina Im <p = ir(K) se nazývá obraz lineárního zobrazení <p
Pozna'mka: OznaCenl Ker ip, resp. Im ip jsou v literatuře běžní používané zkratky pro anglické názvy "kernel" = jádro, resp. "image" = obraz.
Následující tvrzení ukáží, že obé podmnožiny jsou podprostory a popíší jejich základní vlastnosti.
Věta 1,5.: Nechť 1/3 : V •* V' je lineární zobrazení. Pak
1. jádro   Kerv> je podprostorem ve V
2. obraz Im <p je podprostorem ve V
(Důkaz:  1. zřejmě oEKenp, a tedy Ker <p =r tj>. Dále, nechť u.veKertr. tzn.
166
167
'ääifcí'
WĚĚĚĚ
m
mm
je <p(u) - o', y(v) = o'. Pak + v) = <r(u) + y>(v) = o' + o' = o', a tedy u + veKer<p. Podobne pro u e Ker *p a t e r je f.u e Ker y>. Dohromady tedy Ker <p je podprostor ve K.
2. jde o specielní případ V. 1.2.1. ]
Věta 1.6.: Lineární zobrazení <p je injektivnl ■» Ker \p = {o}. j
[Důkaz: "=*" nechť x 6 Ker <p liboyolný; pak tp(x) = o' = <p{o), užitím V. 1.1.1. Z injektivnosti zobrazení \p pak dostáváme x = o, tzn. Ker <p = {o}.
nechť y?(u) = ^(v); potom ip(u - v) = o', neboli u - v e Ker <p = = {o} . Tedy u - v = o, neboli u = v, což znamená, že -<p je injektivní zobrazení. ]
í
Definice: Nechť <p : V -* V je lineární zobrazení. Pak dimenze jádra Ker tp se nazývá defekt lineárního zobrazení <p a dimenze obrazu Im ¥> se nazývá hodnost lineárního zobrazení v?- • .
Věta 1.7.: Nechť ip : V ->■ V je lineární zobrazení. Pak Součet defektu a hodnosti lineárního zobrazení <p je roven dimenzi prostoru  V, tj.
dim (Ker y>) + dim (Im <p) = dim V
[Důkaz: je-li Im <f> = {o'), pak Ker ip = V a věta zřejmě platí. Nechť je tedy
Im <p ■¥= [o'} a nechť w',.....W' je báze Im ip. Pak existuji vektory u,.....ur £ K
tak, že ^(iij) = w,.....<p(ur) = vr'r, Z věty 1.1.3. plyne, Že ut, . . , , u(. jsou lineárne
nezávislé, tzn. je pak:
i. „ '
(I) dim Lr.ii,.....ur) = /■ = dim (Im <p)
Dále:
I. ukážeme, Že Ker <p + L(u,.....ur) = V.
Ale inkluse       je zřejmá a naopak, je-li x S K libovolný, pak \p(x) '= Im tzn.
<f(x) = CjW; +....+ cpw^, kde c, e 7".  Uvažme nyní vektor. u = c.u1+ . . . + crUr. Zřejmé
je u £ L(u,.....ur) a dále:
<r<U3 = ¥>(c, u, + . , . + crur) = c, ^(u,) + ...+. cr¥>(ur) = c,w', + . . . + c,wp' = >r(x) odkud y?(x - u) = o', neboli x — u e Ker y. Potom vSak:
i I
f
x = (x - u) + u G Ker <p + L(u,.....u,), což jsme potřebovali dokázať
II. ukážeme, že Ker tp n L(u,.....ur) = (o).
Nechť x G Ker <p n Z,(u,.....ur). Pak i/)(x) = o' a současně x = í,u.* . . , + frU ,
odkud:
o' = ip(x) = f,.<pdi,) + . . . + řr.^Up) Bŕ,.w', + . . . + fr.w^
Ale. z lineárni nezávislosti vektoru w',.....plyne, Že f, = . . , = tf = 0, a tedy po dosazeni dostávame x = o.
Nyní, z 1. a II., užitím věty o souětu a průniku podprostorfi a vztahu (1) dostávame:
dim V = dim [Ker <p + L(u,, . . . , ur)] = dimKer <p + dim L(u,.....u.) -
-- dim [Ker <p n L(u,.....uj] = dimKer y; + dim Im <p - 0 = dim Ker >p + dim tm y?. ]
Definice: Nechť  V, V jsou vektorové' prostory nad T; nechť existuje izomorfizmus vektorového prostom  V na  V. Pak říkáme, že  V a K' jsou izomorfní vektorové prostory a píšeme  V s V'.
Věta I.8.: Relace S je relací ekvivalence na množině vSech (koneČnědimenzionálních) vektorových prostorů nad tělesem T.
[Důkaz: reflexivita: je zřejmá (neboť iáy je izomorfizmus V na V)
symetrie:    nechť  V a K', tzn. existuje izomorfizmus <p : V -* V. Pak zobrazení       : V'-* V je bijektivn! a ukážeme, Zeje lineárním zobrazením. Nechť u', s'SV; t, s B T libovolné a označme i/;-,(u') = u; iŕ-I(v') = v. Potom je ip(u) = u'; ip(v) = v'. Nyní:
<p~ 1 (fu' + ív') = <p~l (ŕ.iŕ(u) + J.<ŕ(v)) ■ ŕ-1       + *v)) = fu + jv = r.iŕ-1 (u'J. + i.v-1 (V) Je tedy  K' a V.
tranzitivita: plyne z vlastností bijekce a z V. 1.3. ] Věta 1.9.: Nechť \p ; V -* V je izomorfizmus. Pak platí:
1.      u......uk S V jsou lineárně závislé «■ • • ■ . 'ŕíUfc) is0u lineárně závislé"
2. u,
nezávislé
3. u,
ut £ V jsou lineárně nezávislé o v(Uj), . . . , v?(ut) lsou lineárně
un /e báze  V *» iŕ(u,), . . . , iŕ(u„) /« Ŕaze K'
m
- 168
4.      dim V = dim V
[Důkaz: podle předpokladu je ip : V ~* V bijektivní lineární zobrazení a podle důkazu předchozí věty je <fi~' : V -*■ V také bijektivní lineární zobrazení. Potom: ad 1: plyne z V. 1.1.3. aplikované na \p, resp. na \p~'1 ad 2: je logickým důsledkem 1.
ad 3; plyne z 2. a z V.I.2.2., uvědoniíme-Ii si, že <p(V) = V a <p-'(W) = V
ad 4: je-li  V nulovým prostorem, pak je tvrzení zřejmé; v ostatních případech plyne
ze 3. ] 3r
Poznámka: utvoříme-li na množině všech (konečnědimenzionálních) vektorových prostorů nad Ť rozklad příslušný ekvivalenci =, pak v každé třídě tohoto rozkladu budou vždy všechny navzájem izomorfní vektorové prostory. Z věty 1.9. pak plyne, že tyto izomorfní vektorové prostory mají z algebraického hlediska naprosto stejné vlastnosti (jedná se tedy o pouze formální různé exempláře shodných vlastností). V matematice se obvykle o takovýchto objektech říká, že jsou "stejné, až na izomorfizmus" a Často se dokonce ztotožňují.
Následující veta pak podá velmi jednoduchou charakterizaci izomorfních vektorových prostorů, tj. vektorových prostoro patřících dojedná třídy zmínéného rozkladu.
Věta 1.10. (Věta o izomorfizmu vektorových prostorů) Nechť V, V jsou vektorové prostory nad T. Pak:
V s V   «•   dim V - dim V *
[Důkaz: plyne přímo z V. 1.9.4.
"<=" je-li dim V = dim V* = 0, pak zřejmé V s V'. Nechť tedy dim V ■
= dim V - n {> 1) a nechť u......li-  je báze  V, resp u',.....u'n je báze V.
Nechť dále x £ K libovolný, přičemž x = a^u, + . . . + xfíun (víme, že toto vyjádření existuje, a to jediné). Položme:
v5(x) = *lU; + . . . + xn«£
Pak zřejmé <p : V-+ V* je zobrazení a rozepsáním se ukáže, že y je bijektivní (proveďte si podrobné sami!) Dokažme, že y je lineární zobrazení: nechť x, y G V; t, s e T, přičemž x = xlU,+ . . . + xnun ; y =^,u,+ . . . + y„u„. Potom:
169
•tfi.X + s.y) - + í>V . u, + . . . + {txn +syn) . u,J = (txj +íy,). uj +...
• • ■ +v*H+syJ ■ K = ' ■ (*,■*, + ■ • • + *X» + í • (y, u; + ... +yy„) - m*) * Mri
Dohromady pak <fi je izomorfizmus prostoru  V na K', a tedy  V sí V. j
Poznámka: z předchozí vety plyne, Že při zadaném Číselném telese T je každý vektorový prostor jednoznační (až na izomorfizmus) určen svojí dimenzí. Při tom napf. zřejmé každý nenulový /(-dimenzionální vektorový prostor nad Ť je izomorfní s prostorem T". Vidíme tedy, Že
vektorové prostory T", pro n = 1, 2, 3......       ,   vyčerpávají (až na izomorfizmus) všechny
nenulové vektorové prostory nad T.  Mohlo by se tedy na první pohled zdát, že při budování obecné teórie vektorových prostorů by vlastné staCilo omezit se pouze na prostory T". Je však ihned vidět, že bychom tímto nedosáhli žádného zjednodušeni, neboť z důkazu předchozí věty plyne, že použitý izomorfizmus závisí na volbé báze. Pokud, bychom tedy chtěli nějaké tvrzení o prostoru T"  přenést na libovolný n-dimenzionální vektorový prostor, znamenalo by to vždy'dokázat jeho nezávislost na volbě báze.
§2. Lineární transformace a její matice
Definice: Nechť V je vektorový prostor nad T. Lineární zobrazení >p : V -*■ V se nazývá lineární transformace vektorového prostoru V.
Je-li navíc <p bijektivní, pak se nazývá automorfizinus vektorového prostoru V..
Poznámka: vidíme, že lineární transformace je pouze specielním případem lineárního zobrazení, a sice pro  V* = V.  Znamená to tedy, že všechny úvahy a tvrzení z předchozího paragrafu zůstávají v platnosti i pro lineární transformace, přičemž bude zřejmé platit ještě nSco navíc.
Specielně zdůrazněme, že podle základní věty o lineárních zobrazeních je lineární transformace nenulového prostoru  V jednoznačné určena zadáním obrazů pevné báze prostoru V.
Dále si všimněme toho, že je-li V = (o), pak existuje pouze jediná, a to identická lineární transformace prostoru V a všechny úvahy o ní jsou více méně triviální. Proto se v daffim budeme zabývat pouze lineárními transformacemi nenulových vektorových prostorů.
Nejprve uvedeme větu, která nám podá řadu ekvivalentních podmínek pro to, aby lineární transformace byla automorfizmem, tj. aby byla bijektivní.
170
Věta 2,1..: Nechť y je lineární transformace prostoru  V. Pak následující výroky /sou ekvivalentní:
(i) \p je automorfizmus ■ <f
■'(iií \p je injektivní zobrazení
(in) y je. surjektivní zobrazení
<iv) <p zobrazuje libovolnou bázi prostoru''V na bázi prostoru V
(v$ i> zobrazuje libovolné lineární nezávislé vektory opět na lineární nezávislé vektory.
[D úkaz: "(i) "* (ii)" zřejmé
í
(11) =» (iii)" nechť <p je injektivní zobrazení; pak podle V.i.6. je, Keri/>= {o), a tedy podle V. 1.7. musí být dim Im <p = dim V, neboli <p(V) = V. To vSak znamená, že <p je surjektivní zobrazení.
"(iii) ■* (iv)" je-li ip surjektivní, pak <p(V) = V. Nechť nyní u u
1 ' 'n
je báze prostoru V. Podle V. 1.2.2. ir(u,.), . . . , rtu,) jsou generátory <p(V) = V, Ale z generátoru prostoru V lze vybrat bázi V, která však v našem případe musí sestávat z n vektoru, což znamená, že ^(u,), . . . , rtu„) je báze V.
"(iv) ■* (v)" nechť u,.....uv e V jsou lineárně nezávislé vektory. Ale
lineárně nezávislé vektory z V lze doplnit na bázi V, odkud užitím (iv) dostaneme, že rtu,),.., ip(ufc) jsou lineární nezávislé vektory.
"(v) * (i)" z (v) plyne, že Ker y> = {o} (neboť, je-li xí'o libovolný, pak x je lineární nezávislý, a tedy podle (v) je ^>(x) také lineárně nezávislý, neboli <r(x)    o). Ale, je-li Ker <p = (o), pak z V. 1.6. plyne, že ip je injektivní a užitím V. 1.7. dostaneme, Že ip je surjektivní. Dohromady tedy <p je automorfizmus. ]
Definice: Nechť ip je lineární transformace prostoru V; nechť ,
(1)
u......u„
je pevná báze prostoru V a platí:
rtu,) = <z,,u, +a21u, + ... . +anlun rtu,) =fl,3u, + a„u2 + . . . +fl(t2un
1
171
Pak matice
A =
11 12
hi °22
se nazývá matice lineární transformace <p v bázi (1).
Poznámka:  I. vidíme, že matice A je Čtvercová, řádu 'i (kde n = dim V), a je utvořena tak, Že souřadnice vektoru rtu/) v bázi, (1) jsou napsány do /- tého sloupce matice A (/=!,..., n). Tyto souřadnice jsou určeny jednoznačně, a tedy i matice. A je jednoznačně určena.
Uvedomme si dále, že pojem matice lineární: transformace je vázán podstatným způsobem na pevnou bázi prostoru V.^ Zřejmě matice téže lineární transformace ip v různých bázích prostoru  V budou obecně rôzne.
2. všimněme si ještě vzájemného vztahu mezi pojmem "matice přechodu" (definovaným v §5, kapitoly IV) a pojmem "matice lineární transformace". Jsou-li
u,, . . . , un a v,.....vf) dvě báze prdstoru V a označíme-li symbolem <p lineární
transformaci prostoru V zadanou určením obrazu báze tak, že vektory první báze se postupně zobrazují na vektory druhé báze, tzn.:
rtu,) = v
pak ihned vidíme, že matice přechodu od báze u,.....uJ  k bázi v,,
matici lineární transformace <p v bázi u,.....wn .
v   je rovna
Označení: množinu všech lineárních transformací prostoru V budeme označovat symbolem £(1-0.
Prvky množiny Z(V) jsou tedy lineárni transformácie vektorového prostoru  V, tj. jistá zobrazení  V -+ V.  Zřejmě je Z{V)    tj>,neboť například identické zobrazení idK e X(K). Na množině £{V) nyní určitým přirozeným způsobem definujeme součet a součin, resp. násobek číslem a popíšeme základní vlastnosti takto vzniklých algebraických struktur.
Definice: Nechť <p, i// e X(K), t ST libovolné. Pak zobrazení:
(i) <p + <p : V -»■ V,  definované: {<p + i//)(u) - ip(u) + i//(u), pro V u <= V se nazývá součet lineárních transformací <p a 0
(ii) sff'.o'jŕ : V    V,  definované: fj> o i//)(u) = <p(^(u)), pro Y u e 17 se nazývá součin lineárních transformací </> a i//
(iii) f.ip : definované:  (f.^>)(u) = ř . (cp(u)),   pro Y " el V se nazývá součin čísla ŕ s lineární transformací \p.
Věta   2.2.: Nechť yj, i// /jok lineární transformace prostoru  V; f. S ľ libovolné. Pak:
ip        ip o v^, ŕ.jsou lineární transformace prostoru V (jC(K), +) /e komutativní grupa (£(V), +, °) je okruh s jedničkou
£(V) je vektorový prostor nad tělesem T (vzhledem k +, resp. - A
[Důkaz:   1. zřejmě <p + ý, <p o      tip jsou zobrazení V -*■ V.  Rozepsáním se bezprostředně ověří, Ze jsou to lineární zobrazení. ■
2. dokáže se rozepsáním; při tom roli nulového prvku hraje nulová lineární transformace u : V -* V (definovaná: co(u) = o, -pro Y u e fÓt resP- opačným prvkem
k i/)6jC(K) je lineární transformace p : V-* V,  definovaná: p(u) = -yJ(fl), pro "Y u 6 K
3. dokáže se opět rozepsáním, s využitím 2. Jedničkou okruhu je zřejmé identická lineární transformace id.,.
4.   dokáže se užitím 2. a bezprostředním ověřením axiomu vektorového
prostoru.
Věta 2.3.: Nechť <p, \p jsou lineární transformace prostoru V, dim V " n > i a nechť maticí ip (resp.  ip) v báli (1) je matice A (resp. B). Potom:
1.
(
maticí lineární transformace <p + ý v bázi (1) je matice A + B
2. maticí lineární transformace <p o \j/ v bázi (1) je matice A.B 3..     maticí lineární transformace t.<p v bázi (1) je matice t.A
[Dika z.: nechť A = (a(/), B = (Ď(/), i, j
. . , n. Pfi tomto označení pak platí:
WMf) ~ farfK > = jJ/VV.   pro   / = 1, . . . , n
Pak, 1:  (v + i//)(u,) = vKu,) + <P(uf) - J «ř/Uf + í Hr,», - Ž      + 6,/).U,
- í
.'■i; ■ ■'f
I
pr« / = 1.....ji/ a tedy maticí lineární transformace <p + ijt v'bázi (1) je matice
+      = A + )
/i
2:  označme Afl = (c(/), tzn. c(/ '= S a!k-bkľ Pro <,/=!,...,«. Ale:
(V o M«J = ¥>( H/V = 2 fr^ti,) = S b    2 fl n =2(2 a ů ) . u = 2 c .u , odkud plyne, že maticí lineární transformace ip o f v bázi (1) je matice j4.jS.
M íl
3:  (t.<p)(\i) = /.<p(u.) = r. 2 a u = 2(f.a ).. u    , a tedy maticí lineární transformace
' ' r= 1   ' r= 1 '
/.^ v bázi (1) je matice (t.a.p = ř./l .j
Věta 2.4/0 Nechť V je vektorový prostor nad T, dim V = n > 1. Pak vektorový
prostor £(V) je izomorfní vektorovému prostoru Mat (T). i
[Důkaz: ríechť (1) je pevná báze  V.  Definujme zobrazení F : L{V) -* Matn (f) takto:  pro libovolné <p G £(V) položme
F{ip) = /4, kde ^4 je matice lineární transforriiace <p y bázi (1).
Nyní dokážeme, Že
I.   F je bijektivní zobrazení: nechť A 6 Matiij|(7') libovolná; označme w,, . . . , wn vektory z V, jejichž souřadnicemi
v bázi (1) (tj. v bázi Uj,.....u ) jsou po řadě sloupce matice A. Podle základní věty o
lineárních zobrazeních existuje jediná lineární transformace ip prostoru  V s vlastností:
V(i'i
<p(u ) = w .  Ale maticí <p v bázi (1) je pak právě matice A. Tedy existu-
je právě jedno ip é £( V) tak, že F{<p) - A, neboli matice A  má při zobrazeni F právě jeden vzor, což znamená, že F je bijektivní zobrazení. .
II. F je lineární zobrazení: nechť ip,tye.Z{V), t ST libovolné, přičemž F(<p) ° A, F{ty) = B. Pak: podle V.2.3.1. je F(y> + ý) = A +B = F(<p) + F(i//) , . podle V.2.3.3. je ;F(t.<p) = t.A = t.F{<p), a tedy F je lineární zobrazení.
Dohromady dostáváme, že F je izomorfizmus, neboli £{V) s= Mat;i(i(7). ]
Poznamenejme, že z předchozí věty a z věty b izomorfizmu vektorových prostoru plyne, že dim £{V) = ;i2  (poněvadž, jak víme, dim Matfin(7") = n2).
Na závěr paragrafu si ještě stručně všimneme toho, jak vypadají matice téže lineární transformace v různých biízích prostoru  V a jaké jsou některé jejich základní vlastnosti.
Věta 2.5.: Nechť A, B G Mitnn(7), nechť dim V - n (> 1). Pak platí: A, B jsou maticemi tele lineární transformace prostoru  V (ve vhodných bázích) ■» existuje regulární matice S tak, le: B = S~ l.A.S
[D fi k a z: nechť A = (a(/), resp. B =        je matice lineární transformace f
v bázi (1), resp. v bázi (ľ) (kde (i) je báze u,.....u„ , resp. (ľ) je báze uj, . . . , u'),
Dále, nechť S = (í(/) je matice.přechodu od báze (1) k bázi (ľ), tzn. S je regulární matice a platí:
Potom však:
= 2 b u; = £ b  .       u, = £( i>,.*,) . u,
'       k=l  K>  "      k*l *'  i-l™  '     (=1  k=l'"   *' '
a také:
odkud porovnáním pravých stran (na základě jednoznačnosti vyjádření vektoru ir(Uy) pomocí
báze (1)) dostáváme, že
což však znamená, že S.B = AS, neboli 5 = S~l.A.S
J nechť B = S~l.A.S a nechť (1) je pevná báze prostoru V. Pak
(podle důkazu V.2.4.) existuje jediná lineární transformace <p prostoru V taková, že A je maticí <p v bázi (1). Dále, S je regulární matice, tzn. existuje (jediná) báze (ľ) prostoru  V taková, že S je maticí přechodu od báze (1) k (ľ). Konečně, podle předpokladu je
n n -
S.B = A.S, neboli   Xs,..b.   = 2 a...s. ,, pro i, f - 1, . . ..■Potom stejnými úpravami, i '*    »»     fc= i  * *'
mi jako v první části důkazu dostáváme:
~p(u') = S ( 2 aífci.,-)u = £ ( £ i,fcô.,)u - £ 6k/u; ,   pro / = 1....., /i
což však znamená, že B je maticí lineární transformace <p v bázi (ľ). Tedy matice A, B
jsou maticemi téže lineární transformace prostoru V.
Definice: Nechť A, B 6 MatnAT) a nechť existuje regulární matice S taková, že B - S~l .A.S.  Pak Hkáme, že matice A, B jsou podobné matice a píšeme A ~ B.
Věta 2.6. Relace ~ podobnosti matic je relací ekvivalence na množině Matml(7").
j.
[D ô kaz: a) reflexivita: pro libovolnou matici A e Mat^fJT) je KŽejJnB A = = ElA.E , kde E   je jednotková matice řádu n. Je tedy A ~ A.
n n ' ti   J J
b) symetrie: nechť A ~ B, tzn. existuje regulární matice S .tak, že B = S~l .A.S. Pak ale A *= S.B.S"* = {S~l)~>.A.{S~>), kde S~> je zřejmě regulární. Tedy je B ~ A.
c) transitivita: nechť A ~ B a B - C, tzn. existují regulární matice
S, Q tak, Že B = S~'.A.S a C = Q~ l.B.Q. i Po dosazení dostáváme: C <= Q"'1 .S"1.4.5,2 = = (SQT1 .A\SQ), přičemž matice S.Q je zřejmě regulární. Tedy je A ~ C. ]
Definice: Nechť A - («(/) je Čtvercová matice řádu n (nad T) a nechť X je proměnná. Pak determinant
l/l - X£„ I
aM-X a15
.La -X
se nazývá charakteristický polynom matice A.
Poznámka: provedeme-li výpočet předchozího determinantu (např. užitím V.2.2., kap. IV) dostaneme:
\A - \En | = (-l)".X» + (-l)"-,.(fl„ + a12+ ■ • •+«„„) •        • ■ ■ + Ml Je tedy okamžité vidět, že se skutečně jedná o polynom proměnně X, který je stupně n a jeho koeficienty jsou z číselného tělesa T.
Konkrétné, například pro n = 3 dostaneme rozepsáním:
\A ~ \E.\
--^<«„-„-„>x--(|:;;:;;|.|:;;:;;|.|::;;»|)x*MI
Veta 2.1,: Nechť A, B jsou podobné matice: Pak matice A, B mají
1. stejné determinanty, tj.   \A \ = \B\
2. stejnou hodnost, tj. h(A) = h(B)
3. stejné charakteristice polynomy, tj.   \A - \En \ = \B - \En\
[D ů kaz: nechť A, B e Matmi(D jsou podobné matice, tzh. existuje regulární matice S tak, že B = S"1.A.S. Potom:
1. užitím Cauchyovy věty a V.3.9.3., kap. IV, dostáváme: '
\B\ = \S~-l.A.$\
I S\
\A\.\S\
\A
2. užitím V.4.5.2., kap. IV. je: h(B) = h(S~l.A.S) = h(AJ) = h(A)
3. užitím Cauchyovy věty a zřejmého faktu, Že \.En = S~l.(\.En) . S, dostáváme:
\B - \En | =\S~'AS - S'1 QMn )S | = \jr*{A - Mn)S | =^.\A-\En \ .\S\ = ■ ■    = \A~\En | ]
Poznámka; připomeňme, Ze předchozí větu nelze o.brátit, tzn. rovnost determinantu, rovnost hodností a rovnost charakteristických polynomů dvou matic jsou pouze nutné, nikoliv však dostatečné podmínky pro podobnost těchto matic.  Vezmeme-li např. matice
pak zřejmě \E1 | = \B\, híEJGýlift) a \E2-\E2\ = \B-IE1\, ale matice E2 a B nejsou podobné (neboť pro každou regulární matici S řádu 2 je S-'.E2.S = E2, což znamená, že matice E2 je podobná pouze sama sobě).
Jak již bylo řečeno, všechny matice dané lineární transformace <p jsou navzájem podobné. Z předchozí věty potom plyne, že determinant (resp. hodnost, resp. charakteristický
|
polynom) všech matic dané lineární transformace ip je vždy stejný. Vidíme tedy, že tyto pojmy závis! pouze, na lineární transformaci samotné, nikoliv na Její konkrétní matici v jisté bázi. Z tohoto zjištění pak plyne korektnost následujícího pojmu a věty.
Definice: Nechť ip je lineární transformace vektorového prostoru  V; nechť. A je matice lineární transformace >p (v jisté bázi prostoru V). Pak charakteristický polynom matice A, tj.   \A — 'iJ£\, se nazývá charakteristický polynom lineární transformace <p.
Víta 2.8.: Nechť y je lineami transformace vektorového prostoru V a nechť A je matice lineární transformace <p (v jisté bázi prostoru  V). Pak:
dim Im ip - h(A) í
neboli: hodnost lineární transformace <p je rovna hodnosti její matice A.
. [D 8 k a z: nechť A je matice lineární transformace <p v bázi ut, . : . , uB, kterou ■ \ . -
označme (1). Podle V.l.2.2. vektory ^(Uj) , . . . , <r(u„) jsou generátory podprostoru y(V)
= Im <p, přičemž souřadnice těchto vektorů v bázi (1) tvoří po řadě řádky matice A', tj.
transponované matice k matici A.
Přiřadíme-li nyní každému vektoru z V uspořádanou n-tici jeho souřadnic v bázi (1),
dostaneme.izomorfizmus prostoru V na prostor T", pomocí něhož již lehce ukážeme, Že
h{A') = dim Im f (rozmyslete si podrobně sami!). Ale h{A') = h{A), a tedy dim Im f =
= HA). ]
§3. Vlastní vektory a vlastní hodnoty lineární transformace
Definice: Nechť \p je lineární transformace vektorového prostoru V. Podprostor W vektorového prostoru  V se nazývá invariantní podprostor vzhledem k <p , je-li: <p{W) £ W, tzn. pro libovolný vektor x 6 W plat! <p[x) e W.
Příklad 3.1.: Nechť V je libovolný pevný vektorový prostor nad T. Uvažme
1: identickou lineární transformaci idK : V ■* V; pak zřejmě každý podprostor W ve  V je invariantní vzhledem k id^ .
2: nulovou lineární transformaci oj : V -* V (definovanou: co(x) = o, pro Y x£K); pak opět každý podprostor W ve  K je invariantní vzhledem kw.
3: libovolnou-lineární transformaci ip : V -* V; pak triviální podprostory ve V (tzn, podprostory   (o) a  V) jsou invariantní vzhledem k <p . (
Příklad 3.2.:Ve vektorovém prostoru R2 uvažme podprostor W- {(x, o) \ x 6 R] a dále uvažme dvS lineární transformace tp a tp prostoru R2, definované:
b) označme W = IV, + . . .. + Ifft. Nechť u € IV, tzn. u = u,+ . . . +.ut
kde
\Kíx,.x,)) = (*,, Xl)
pro každé (x   x ) ě R2
Lehce se ověří, že W je invariantní podprostor vzhledem k tp, zatímco tentýž podprostor W není invariantním podprostorem vzhledem k <p (neboť například (1,0) 6 IV, ale \K(1,0)) = (0,1) Ě IV).
Poznámka: v příkladu 3.1. jsou uvedeny speciální, triviální případy; uvědomme si, že obecně podprostor W muže, ale nemusí být invariantní vzhledem k     a dále, že podprostor, který je invariantní vzhledem k jedné' lineární transformaci, nemusí být invariantní vzhledem k jiné lineární transformaci (viz příklad 3.2.). Vidíme tedy, že pojem invariantního podprostoru je vždy vázán na pevnou lineární transformaci.
DalSí příklady obecných konstrukcí invariantních podprostoru (vzhledem k tp) nám ukáží následující dvě věty.
Věta 3.1.: Nechť tp je lineární transformace prostoru  V. Pak jádro Ker ip a obraz Im tp jsou invariantními podprostory vzhledem k tp.
[Důkaz: podle V. 1.5. jsou Ker ys i lmp podprostory ve  V. Ukážeme jejich invariantnost vzhledem k <p: nechť u e Ker tp libovolný; pak tp{u) = o € Ker tp a tedy Ker tp je invariantní vzhledem k tp. Dále, nechť u £ Im tp libovolný, tzn, zřejmě u S K Pak ale y?(u) £tp(V) = Im <p a Im tp je tedy invariantní vzhledem k tp. ]
Věta 3.2.: Nechť tp je lineární transformace prostoru  V; nechť Wí.....Wk jsou
podprostory ve  V, které jsou invariantní vzhledem k tp.
Pak průnik (IV, n ... n Wk) a součet (W{+ . . . + M>k) jsou invariantní podprostory vzhledem k tp.
[D ů kaz: víme, Že (IV, n . . . Ci Wk), resp. (IV,+ . . . + Wk) jsou podprostory ve   V. Dále:
a) nechť u G IV, n . . . n Wk  libovolný; pak u S W( a podle předpokladu p{u)BWt,
pro i=l.....K. Tedy mi e (V, n . . . n wkl     imuncná, fe>     (\.., r\ m,
invariantní podprostor vzhledem k f.
í*
uj e Wr Pak ale <ŕ(u) ■ >ŕ(u,-i- .. . . + ufc) = y?(u,) + . . . i- tp(uk) S IV, neboť podle předpokladu tp^) e IV(. Tedy W je invariantní podprostor vzhledem k tp. ]
,    Důležitou roli při studiu lineárních transformací hrají jednodimenzionální invariantní podprostory. Z kapitoly o vektorových prostorech víme, Že jednodimenzionální podprostor W ve vektorovém prostoru V (nad T) je generován jedním nenulovým vektorem u e V, tzn. je pak:
IV.= L(u) = (V.u | t S T] N
Máme-li navíc dánu lineární transformaci <p prostoru  V, pak zřejmé podprostor IV = L(u) je invariantní vzhledem k tp právě když existuje Číslo X e 7' tak, že tp(u) = X.u, tzn. právě když se generátor u podprostoru W zobrazí na jistý svftj násobek (rozepište si podrobně sami!). A právě vektory tohoto typu se budeme v dalším zabývat. ■
Definice: Nechť tp je lineární transformace vektorového prostoru  V (nad T). Nechť u e V, X e ŕ splňují:
u <£ o   A   <p(u) ■ X.u
Pak Číslo X se nazývá vlastní hodnota lineární transformace tp a vektor u se nazývá vlastní vektor lineární transformace <p, příslušný vlastní hodnotě X.
Poznámka: z předchozí definice ihned plyne, Že je-li u vlastním vektorem tp, příslušným vlastní hodnotě X, pak také každý nenulový vektor wei(u), fj. každý nenulový násobek vektoru u, je rovněž vlastním vektorem tp, příslušným téže vlastní hodnotě X.
Příklad 3.3.: Nechť  V je vektorový prostor nad T. Dále:
1. nechť \áv : V-* V je identická lineární transformace prostoru  V. Pak zřejmě každý nenulový vektor z  V je vlastním vektorem idK, příslušným vlastní hodnotě X=l (což je jediná vlastní hodnota idK).
2. nechť co : V -+ V je nulová lineární transformace prostoru  V. Pak podobně každý nenulový vektor z  V je vlastním vektorem transformace co, příslušným vlastní hodnotě X = 0 (což je opět jediná vlastní hodnota w).
3. nechť tp : V -* V je libovolná lineární transformace. Pak všechny nenulové vektory Z Ker tp (pokud existuji) jsou vlastními vektory tp, příslušnými vlastní hodnotě A = 0, Fřitom
180
- 181
samozřejmě y, múze obecně mít dalSí'vlastní hodnoty a jim odpovídající vlastní vektory.
Příklad 3.4.:  Nechť 5 : R, [x]    R_[*] je lineární transformace derivování (viz pří, klad 1.3.). Bezprostředně je vidět, že polynomy stupně nula (tj. nenulové reálné konstantní polynomy) jsou vlastními vektory transformace 5 , příslušnými vlastní hodnotě X = 0 a že Žádné jiné vlastní hodnoty a vlastní vektory S neexistují.
Předchozí příklady vlastních hodnot a vektorů byly víceméně triviální. Úplný popis vlastních ' todnot a vlastních vektoru lineární transformace v obecném případě podává následující věta.
Věta 3.3.: Necht) <p je lineární transformace vektorového prostoru  V nad T. Pak:
1. vlastními hodnotami <p jsou pravé všechny kořeny (patřící do TJ charakteristického polynomu transformace y
2. je-li X e T vlastní hodnota g pak vlastní vektory <p, příslušné X, jsou pravé všechny nenulové vektory z podprostoru Ker (<p - X.id ).
[D ů kaz: ad 2: nechť XG T je vlastní hodnota <p. Pak u G V je vlastní vektor f, příslušný vlastní hodnotě X, právě když
(1)
u ¥= o   A   <p(u) = X.u
Ale X.u = X.id^(u), a tedy po dosazení a úpravě (1) dostáváme ekvivalentní podmínku: (2) uŕo   A   (v — X.idF)(u) = o
Ale množina vektorů splňujících (2) je rovna množině všech nenulových vektorů z podprostoru Ker (<p - X.idv) vektorového prostoru V.
ad 1 : z právě dokázaného, z V.2.8. a z V. 1.7. pryne: X je vlastní hodnota <p ■» X G T a Ker(i£ - X.id,,).^ {o} •» X G T a matice lineární transformace <p-X.idy (v pevné bázi prostoru  V) je singulární. Ale, je-li A  maticí lineární transformace ip (v pevné bázi V), pak (A - \-En) je maticí lineární transformace ip - X.idK (v téže bázi). Tedy pak: X je vlastní hodnota ip «■ X 6 T a   \A — X.£n | = O, neboli X e T je kořenem charakteristického polynomu lineární transformace <p. ] »
Důsledek: Nechť y je lineární transformace prostoru  V, nechť A = (a(/), 1 </,/<«, je matice y? (v dané bázi prostoru   V) a nechť X je vlastní hodnota <p. Pak: vlastní vektory transformace <p, příslušné X (vyjádřené v dané bázi) jsou pravé všechna nenulová
řešení soustavy lineárních rovnic:
\)x. + a,,x.  + . . . + a, x =0
'   I        12   2 lnu
(3)
[D ů k a z: nechť u,.....un je daná báze  V a nechť vektor u má v této bázi
souřadnice {x{.....xn ), tj. u = x, u( + . . . + xnu. Pak po dosazen! a úpravě dostáváme:
(ip - X.idK)(u) = >r(u) - X.u = ((au- X)x,+ aux2+ . . . + a,,,*,) . u,+
Podle předchozí věty je však u vlastním vektorem transformace <p, příslušným vlastní hodnotě X právě když u =ŕ o a u e Ker (<p - X.idy). Ale to, vzhledem k předchozímu vyjádření, nastane právě když u je nenulový a jeho souřadnice splňují (3). ]
. Poznámka:. 1. s problémem nalezení vlastních hodnot a vlastních vektorů se velnu íasto setkáváme při řešení praktických úloh, a to nejen v matematice, ale i v různých technických aplikacích. Uvědomme si však,'že předchozí věta nám dává odpověď pouze na teoretické úrovni, neboť hledání vlastních hodnot převádí na hledání kořenů polynomu n-tého stupně; což je úloha, která obecně není algoritmicky řešitelná. Samozřejmě existuje pro hledání vlastních hodnot a vlastních vektorů řada numerických metod, které však zde nebudeme uvádět, neboť přesahují rámec tohoto, kurzu.
2. Poznamenejme ještě, že z hlediska aplikací bývá výhodné sestavit z vlastních vektorů bázi prostoru V (pokud samozřejmě taková báze vůbec existuje), neboť potom se celá situace početně velmi zjednoduší. Důvodem je, že daná lineární transformace má pak v takové bázi diagonální matici. (Diagonální matice je čtvercová matice, v níž všude mimo hlavní diagonálu stojí samé nuly; při tom v hlavní diagonále nuly být mohou, ale nemusí.)
Skutečně, je-li u,.....un  báze prostoru  V, sestávající z vlastních vektorů lineární
transformace ip, příslušných vlastním hodnotám Xt.....X„, pak je yj(u,) = X,.u,, . . .
. . . , ip(un) - Xn .un, a tedy matice lineární transformace <p v ťázi Uj,... , un má tvar
- 182 -
- 183 -
(4)
O    O \
O ... O o
0    0 0
o
Naopak, má-li lineární transformace y v nějaké bázi u,.....un  diagonální matici
tvaru (4), pak u,.....uH jsou zřejmě vlastními vektory lineární transformace v ■
příslušnými vlastním hodnotám X,.....X„  (jak plyne ihned z definice matice lineární
transformace).
Následující úvahy nás přivedou k jedné dostatečné podmínce pro existenci výše popsané báze, tj. báze sestávající z vlastních -ektorů dané lineární transformace.
Věta 3.4.: Nechť <p je lineární transformace prostoru V. Pak vlastní vektory lineární transformace <p, příslušné navzájem různým vlastním hodnotám, jsou lineárne nezávislé.
[Důkaz: nechť u,.....\xk jsou vlastní vektory lineární transformace <p, příslušné navzájem různým vlastním hodnotám X,, . . . , \ . Z posloupnosti vektorů u,.....IL
vybereme libovolnou maximální lineárně nezávislou posloupnost. Bez újmy na obecnosti lze
předpokládat, že ji tvoří například prvých r vektorů, tj. u,.....ur. Zřejmí je l<r<&
Dále pokračujeme sporem; předpokládejme, že ;• < k. Pak lze ale psát:
(5) u,+ , = Itp, ,   ŕ, ST
odkud po vynásobení číslem \+,   dostáváme: Xr+ (tir+, = 2 Xr+, /,u( Současná vsak je: Xf+ ,urt| = rtu,+,) = rt(2 í,u,) = 2 r,X,u, Porovnáním pravých stran pak dostáváme:
X Xr+ , ijtt, = -X/^iř, ,   odkud:    2 ff(Xr ■, - \)u, = o
Z předpokládané lineární nezávislosti vektoru u,.....ur  však plyne, že ř( . (\+,- X() =
= 0, pro / = 1, . . . , r. Podle předpokladu věty je však Xr+, - X,=H- 0, a tedy musí být t. = 0,  pro t = 1, . . . , r.  Po dosazení do (5) pak dostáváme, Že ur+ l = o, což je ale spor s definicí vlastního vektoru. Je tedy r = k, tzn. vektory u,.....\xk jsou lineárně
nezávislé. ]
• I
Důsledek: Nechť <p je lineární transformace n-dimenzionálního vektorového prostoru V,  která má n navzájem různých vlastních hodnot. Pak matice lineární transformace \p v bázi sestávající z vlastních vektora, příslušných těmto vlastním hodnotám, je diagonální.
[D úkaz: nechť u......u  jsou vlastní vektory,, přísluSné navzájem různým vlastním hodnotám X,.....\ lineární transformace ip. Pak podle předchozí věty vektory
a.....u    tvoří bázi prostoru  V á tvrzení důsledku ihned plyne % 2, Částí poslední poznámky. 1
§4. Ortogonální zobrazení, ortogonální matice
V tomto paragrafu se vrátíme k euklidovským vektorovým prostorům (tj. k vektorovým prostorům nad R, v nichž je definován skalární součin) a budeme studovat vzájemné vztahy mezi nimi. Použijeme k tomu lineárních zobrazení (podobně jako u vektorových prostorů : §1 a §2), která však navíc budou "zachovávat skalární součin".
Definice: Nechť V, V jsou euklidovské vektorové prostory; nechť p: V-* V jé lineární zobrazení, pro něž platí: ,f
n.v =•■ tp(u) • f (v), pro každé u, y e V
Pak ip se nazývá ortogonální zobrazení euklidovského prostoru V do V.
Je-li navíc zobrazení <p bijektivní, pak se nazývá izomorfizmus euklidovského prostoru V m  V a euklidovské prostory  V; V se nazývají izomorfní.
Je-li specielně V = V, pak se ortogonální zobrazení ip nazývá ortogonální transformace euklidovského prostoru V.
Podmínku "zachování skalárního součinu" Z předchozí definice je možné vyjádřit několika ekvivalentními způsoby, jak ukazuje následující věta.
VSta 4.1.; Nechť V. V jsou euklidovské prostory a > : V-V je lineární zobrazení. Pak následující výroky jsou ekvivalentní:
(i)     u.v = <r(u) • V(v) Pro kaídé u, v & V
(u)     llu II = ll<ŕ(u) II pro každé u S V
(iii)   jsou-li U(.....vk
ortonormální vektory ve V.
u   ortonormálnívektory ve  V, pak i>(\i,),
, <?(«*) isou
[D 5 k a z:  "(i) •* (ii)": nechť platí (i) a nechť u e V. Pak (užitím (i)) dostávame: llulí2 ■ = u.u = tfu) . <p(u) = ll^(u)ll2, odkud pak  llull= ll^u)!!.
"(ii) =* (iii)": nechť plat! (ii) a nechť u,.....ufc jsou ortonormální'
vektory ve  K  Nechť /, / = [,..., k. Pak (užitím (ii)): ~ pro i =/ platí: ^(u,) . ^(u,) = ll^(u()F = Hu, P = 1 ■ pro i ¥>j platí: 2,<rtu() . ^u,) = ^(u, + u;) . .p(u( + U,) - <p(ut) . tfu,).-' - ip(uf) . ^(U/) = ll^(u( + upIF-ll^u,)!!2- Učupil1 = Hu, + U/II2 - llu, lí2 - llu, P = = 2.11,.^ = 0 ,  odkud tedy ip(u.) . <rtup = 0.
Dohromady dostávame, že vektory ^(u,),•••, <rtuk)   jsou ortonormální.
1
"(iii) =» (i)": nechť platí (iii) a u, v S K. Je-li u = o, pak zřejmí platí (i). Nechť tedy u ¥= o. Mohou nastat dva pFípady: /
a) vektory u, v jsou lineárne nezávislé; pak podle poznámky za V.2.3., kap. VI. existují ortonormální vektory e^e,  tak, že u = = «,e, +"2e2, v = ľ, é, +v2e2. Podle (iii) však ipfe,), ip(e2) jsou ortonorniální vektory a platí: *
v?(u) . y?(v) = «K"i®i + »2e2) . <P(vlel + y4eaX- u,v, +        = u.v
(3) vektory u, v jsou lineárně závislé; pak opět podle poznámky za V.2.3., kap. VI. existuje normovaný vektor e tak, že u = = ŕ.e; v = s.e. Podle (iii) je vektor <p(e) normovaný a platí:
<r(u) . ip(v) = ip(t.e) . <p(s.e) = t.s = (r.e) . (s.e) = u.v '
Dohromady tak dostáváme, že platí (i). ]
Věta 4.2.: (Věta o izomorfizmu euklidovských prostorů) Dva euklidovské prostory jsou izomorfní právě kdyí mají stejnou dimenzi.
[D ů k a z: nechť  V, V jsou euklidovské prostory. Potom:
"=■":  nechť  V, V jsou izomorfní (ve smyslu izomorfizmu euklidovských prostorů). Pak jsou   V, V izomorfní jako vektorové prostory a podle věty o izomorfizmu vektorových prostoru je dim V = dim V.
"«=":  nechť dim V = dim V = n.  Je4i n = 0, pak zfejmě   V a • V jsou izomorfní. Nechť tedy n > 1  a nechť dále
(I)   e,e   je ortonormální báze  V, resp. (I')  e',.....e'n je ortonorniální báze V.
rl
Nechť u G V je libovolný vektor, přiCemž u = 2 u.e.. Položme:
i= i
V(u) = 2 !/,e!
i- 1
Pak <p je zřejmě zobrazení prostoru V do V, o němž se rozepsáním lehce ověří, Že je bijektivní a že je lineárním zobrazením. Navíc je:
IV(u)ll2 = <áv) . rtu) = ( 2 u.e!) . ( 2 u.e'.) = u.u,*
tzn.  Ilrtu)ll= llull, a tedy <p je podle V.4.I. ortogonálním zobrazením. Dohromady pak <f je izomorfizmem euklidovského prostoru  V na  V. ]
Věta 4.3.: Nechť V, V jsou euklidovské prostory, y : V-* V je ortogonální zobrazení. Pak ip je injektivní zobrazení.
[D ů k a z: nechť x G Ker <p, tzn.. tp(x) ■ o'. Pak podle V.4.1. je: llxll = ll<rtx)ll = = llo'll=0, a tedy (podle V.l.4.1., kap. VI.) je x -~ o. Dostávárne, že Ker yj = {o}, odkud podle V. 1.6. plyne, že <p je injektivn! zobrazení. ]
Ve zbývající části tohoto paragrafu se budeme zabývat ortogonálními transformacemi daného euklidovského prostoru  V. Je-li specielně  V- {,o} nulový euklidovský prostor, pak zřejmě jedinou možnou ortogonální transformací prostoru  V je identické zobrazení. Tento triviáíhí případ nebudeme v dalším uvažovat a budeme še zabývat pouze ortogonálními transformacemi nenulového euklidovského prostoru  V.  Některé základní vlastnosti ortogonální transformace nenulového euklidovského prostoru popisuje následující věta.
Věta 4.4.: Nechť ip : V -* V je ortogonální transformace euklidovského prostoru V. Pak plaň:
1. ip je bijektivní zobrazeni
2. inverzní zobrazení ip~l  je ortogonální transformací prostoru V
3. jé-li X vlastní hodnota ortogonální transformace       pak X = ± 1
[Důkaz:   1: plyne přímo z V.4.3. a z V.2.1.
2: zřejmě <p~i : V-* V a podle důkazu V. 1.8. je ip'1   lineárním zobrazením. Dále, nechť u, v G V libovolné; označme v?-1(u) = x, <r-'(v) = y. Potom
Mi
■: ■
JHhí
■■I
i
.5«íís:sSířf|3
Hli
186 -
\p(x) => u, cjsCý) = v a platí: u.v = <p(x) . rty) = x.y = vT1 (u)vr'(v), tzri. dostáváme, že ip"'  je ortogonální transformace euklidovského prostoru  V. í
3: nechť X je vlastní hodnota <p (tj. musí být X G R) a nechť u je vlastníívektor -o, příslušný vlastní hodnotě. X. Pak je ip(u) = X.u.a u == o, odkud: u.u = yj(u) . ip(U) = (Xu) . (Xu) = X2. (u.u). Ale u.u    0 (ponévadž u ¥> o), a tedy musí být  X2 = 1   neboli X = ± 1. ]
Každá ortogonální transformace (euklidovského) prostoru  V je zřejmě lineární transformací tohoto (vektorového) prostoru  V, a tedy můžeme sestrojit její matici v nějaké dané bázi prostoru   V, specielně např. v dané ortonormální bázi prostoru  V.  Ukážeme, Že v takovém případě bude pak mít tato matice jistý specielní tvar.
Definice: Nechť A je čtvercová matice nad R taková, že a je regulární a platí: a"1 5=4* (tj. inverzní matice je rovna matici transponované). Pak matice a se nazývá ortogonální matice.
Věta 4.5.: Nechť a je čtvercová matice řádu n nad R. Pak následující výroky jsou ekvivalentní:
(i)     a je ortogonální matice
tu)   a:a' = eh
(iii)   A'. A = en
[D úkaz: věta plyne bezprostředně z definice ortogonální matice, definice inverzní matice a poznámky za V.3.10, kapitoly IV. ]
Věta 4.6.: Nechť a, b jsou ortogonální matice řádu n. Pak platí:
1. a.b je ortogonální matice
2. a"'  je ortogonální matice J. 1/1 I = ± 1
[Důkaz:   1. (a.b) . (a.b)' = a . (b.b') . a' = a.en.a' = a.a' = en, a tedy podle V.4.5. je a.b ortogonální maticí
2. plyne z V.4.5., uvážíme-li, Že (a'Y = a,
3. víme, že   \a I = \a'\, tzn. pak z V.4.5. a z Cauchyovy věty dostáváme:   1 = \et ] = \a.a' | = \a:\ • I4'l = Ml2 . odkud   \a | = * I. ]
187 -
Důsledek: Množina všech ortogonálních matic řádu n, s operací násobení matic, je
grupou.
(
[Důkaz:  tvrzení plyne z předchozí věty, uvědomlme-li si, že násobení matic je asociativní a že jednotková matice en je ortogonální. ]
Věta 4.7.- Nechť V je euklidovský prostor a tp : V -* V je lineární transformace. Pak: ífi je ortogonální transformace t» matice transformace   </?    v ortonormální bázi prostoru   V je ortogonální.
[D ň k a z: nechť
u)       ei......V
je ortonormální báze prostoru V a nechť A = (afj) je matice lineární transformace vp: v bázi (1). Dále:
"=>": nechť <p je ortogonální transformace prostoru  V. Pak podle V.4.1. vektory rte,),:..'-., rte„) tvoří ortonormální bázi prostoru V. Označme A.A' = B = (ůy). Potom:
b(1 = Íaih.ajk = (ařle,f . . . + a,„e„) . (a^e^ . . . + ajnen) =        . rte,), odkud plyne, že
b  = 1 pro !'.= /', resp. ů(/ = 0 pro i <£ j. Tedy AA* ■ BH a podle V.4.5. je matice A ortogonální. ' "<=": nechť matice A je ortogonální, tzn. platí (dle V.4.5., část (iii)):
(2) ??*r%
1 pro i =j 0   pro i 5* /
Nechť dále u £ K libovolný, přičemž u = S u.e.. Potom:
u.u = 2 u) .
Dále: rtu) = 2 u,.rte() - 2 «, 2 ak,ek = X ( 2 «»,«,.) ■ % ,
/ ~ 1 i= 1      k — 1 B* I )"■!
odkud rozepsáním a úpravou dostáváme:
llrtu)ll2 = rt") ■ rt") =22(1 a..a..)u.u. , tzn. po dosazení (2) je pak
n
llŕCujP - S«, • Dohromady tedy llu IP '= l^(u)ll2, neboli llull = ll<p(u)ll, což znamená, že ip je ortogonální transformace. ]
Na závěr ještě ukážeme, že maticemi přechodu od ortonormální báze k ortonormální bázi euklidovského prostoru jsou právě ortogonální matice.
Věta 4.8.: Nechť í3) u......"„
(4> li.....Jn
jsou baze euklidovského prostoru  V a nechť báze (3) je ortonormální. Pak platí: matice prechodu od báze (3j k bázi (4) je ortogonální *> báze (4) je ortonormální,
[D ů kaz:  nechť A = (sj.) je matice přechodu od báze (3) k bázi (4), tzn, platí: /,
v. = X a, u. , pro i = 1. . . . , n. Potom však:
v-..v. = ( 2 a, .u, ) . ( 2 a„u,) = a,,a,,+ . . . + a ,a. odkud již (užitím V.4.5.) bezprostředně plyne celé tvrzení vSty. ]