41
6. Těleso racionálních čísel
6.1. Definice. Nechť TZ — (R, + ,-), S — (5, + ,-) jsou okruhy. Vnořením okruhu TZ do okruhu S rozumíme injektivní homomorfismus okruhu TZ do okruhu S, tj. injektivní zobrazení / množiny Jfč do množiny S takové, že pro libovolná a,b g R platí:
f (a + b) = f (a) + f(b),   f (a ■ b) = f (a) ■ f(b).
Jestliže existuje vnoření okruhu TZ do okruhu S, řekneme, že okruh TZ lze vnořit do okruhu S nebo že okruh TZ je vnořen do okruhu S.
Vyřešme nyní otázku, kdy lze komutativní okruh vnořit do tělesa.
6.2. Věta. Nechť TZ — (R, + , •) je komutativní okruh. Pak následující výroky jsou ekvivalentní:
(a) v okruhu TZ platí omezený zákon o krácení, tj. pro libovolnou trojici x, y, z g R, x ý 0 takovou, že x ■ y = x ■ z, platí y — z.
(b) Okruh TZ lze vnořit do tělesa.
Důkaz. Budeme postupovat jako v důkaze věty 5.2.
Nechť platí (b). Pak existuje těleso T = (T, + , •) a vnoření f : R-t T. Buďte dále x, y^z € R,x 0 taková, že x-y = x-2. Pak f(x)- f{y) = f(x)< f {z), f(x) ^ 0, tudíž f(y) = f (z), odkud plyne rovnost y — z.
Předpokládejme nyní naopak, že v okruhu % platí omezený zákon o krácení. Jelikož nulový okruh lze vnořit do každého tělesa, můžeme předpokládat, že okruh TZ je nenulový.
Prvek a = [ o, b ] £ R X {R — {0}) nazveme zlomkem okruhu TZ. Na množině všech zlomků R x (R — {0}) okruhu TZ definujeme relaci ~ následujícím způsobem: pro a - [a,b ],/3 = [c,d ] g R x {R - {0}) položme
a ~ § 4=5> a • d = b ■ c.
Promyslete si sami, že z komutativity násobení a z platnosti omezeného zákona
0 krácení plyne, že relace ~ je ekvivalence na množine R x (R — {0}). Rozklad příslušný této ekvivalenci označme T. Zlomky a,/3 g R x (R — {0}) takové, že ct ~ P, nazveme ekvivalentní. Pro A, B g T nechť [ a, b ] g A, [ c, d ] g B a nechť C, D g T jsou určeny podmínkami [ ad + bc, bd ] g C, [ ac, bd } g D. Snadno se ukáže, že třídy C, D nezávisí na volbě reprezentantů tříd A a B. Skutečně, je-li též [ a', b' ] g A, [ c', ď ] g B, pak platí o ■ b' = a' • b, c ■ ď = c' • d,, odkud plyne (a-c)-(b'-ď) = (a' ■ c') • (b ■ d), {a-d + b-c) ■ (b' ■ ď) = (a' • ď + b' ■ c') ■ (b ■ d), tedy
1 [ a' • ď + b1 ■ c', 6' • ď ] g C, [ a1 ■ c1, b' ■ ď } g D.'Můžeme proto položit
A + B = C,   A-B = D.
Tím jsou na množině T definovány operace -)- a • a snadno se zjistí, že T = (T, +, •) je těleso. Jednotkovým prvkem tohoto tělesa je třída E — {[r,r ] \ r 6 R — {0}}
42
Obory přirozených, celých a racionálních čísel
a nulovým prvkem je třída {[0,r ] | r 6 R - {0}}. Pro A € T je opačným prvkem třída -4 = {[ -a, 6 ] | [ a, 6 ] G A}. Inverzním prvkem pro A € 7", A i 0 je třída A~l » {[b,a } | [a,6 ] e A}.
Pro r 6 Ä-je množina Ar = {[r ■ x,x ] \ x € R - {0}} prvkem rozkladu' T. Promyslete si sami, že zobrazení f;Ä4T definované vztahem 0(r) = Ar pro libovolné r G i? je vnořením okruhu 7^ do tělesa T (pro důkaz injektivity tp je třeba využít omezeného zákona o krácení). Věta je tím dokázána.
6.3. Definice. Pro nenulový komutativní okruh TZ nazveme těleso T konstruované podle důkazu.věty 6.2 podílové těleso okruhu TZ. Uvedené vnoření ip nazveme kanonické vnoření okruhu TZ do jeho podílového tělesa. Pro [a,b ] e A 6 T zřejmě platí: A = ip(a) ■ i){h)~i. Prvek r z okruhu TZ se ztotožňuje se svým obrazem %}(r) v podílovém tělese. Na základě tohoto ztotožnění můžeme považovat okruh TZ za podokruh jeho podílového tělesa T-
Podílové těleso má význačné postavení mezi tělesy, do kterých lze okruh vnořit. Tato vlastnost je charakterizována následující větou.
6.4. Věta. Nechť T je podílové těleso nenulového komutativního okruhu TZ s omezeným zákonem o krácení a necM ip je kanonické vnoření TZ do T. Buď f vnoření okruhu TZ do nějakého tělesa U. Pak existuje jediné vnoření f tělesa T do tělesa U takové, že / o ý — f. &
Můžeme říci, že diagram na obrázku 6 komutuje.
T
TZ
\
U
Obr. 6.
Důkaz. Nechť 1Z= (R, + , •), T = (T, + , •), U = {U, + , •).
Protože homomorŕismus / je prostý, a protože /(O) = 0, existuje pro libovolné x e R, x jí 0 inverze prvku f (x) v tělese U.
Buď A e T, [ a, b •], [ c,d ] € A. Potom a ■ d = b ■ c, odkud plyne f (a) ■ f (d) -= f (b) ■ f (c), tudíž f (a) ■ f {b)~l = f(b)~1 ■ f (a) = /(c) • /(d)"1. Můžeme proto korektně definovat zobrazení / množiny T do množiny U vztahem
f (A) =f{a) •/(&)-'.
f i;
Bi % >
Kap. 6. Těleso racionálních čísel
43
Promyslete si sami, že z toho, že / je vnoření okruhu TZ do tělesa U plyne, že / je vnořením tělesa Tjio tělesa U a platí: / o ý = /.
Dokážeme, že / je jediné vnoření s požadovanou vlastností. Nechť g je vnoření tělesa T do tělesa U takové, že platí: 5 o ip = /. Buď [ a, 6 ] € A £ T. Potom /(A) = f {a)-f {b)'1 = 0(t/>(a)) -IffWCi))]"1 = ff(i/'(a)-iKí')""1) = s(A). Dostáváme pak / = <7 a věta je dokázána.
6.5. Poznámka. Podobně jako v prípade grup podmínka v předchozí větě skutečně charakterizuje podílové těleso, neboť platí následující: Buď / vnoření komutativního okruhu TZ do tělesa T takové, že ke každému vnoření g okruhu TZ do tělesa U existuje vnoření g tělesa T do tělesa U s vlastností g o / = g. Potom T je izomorfní podílovému tělesu okruhu TZ.
6.6. Definice. Podílové těleso okruhu celých čísel (Z, + ,-) se nazývá těleso racionálních čísel a značí se (Q, + , • )• Prvek tělesa (®> + >') se nazývá racionální číslo.
6.7. Poznámka. Můžeme tudíž říci, že racionální číslo je třídou ekvivalentních zlomků okruhu celých čísel. Celé číslo z e Z se identifikuje se svým obrazem v Q při kanonickém vnoření, tedy celé číslo se považuje za číslo racionální: Z C Q. Okruh celých čísel je pak podokruhem tělesa racionálních čísel.
Pro A S Q, [ a, b ] € A dostáváme
A = o-r1 = ?.
o
Každé racionální číslo lze tudíž psát ve tvaru |, kde d, b € Z, b ^ 0. Těleso racionálních čísel se často značí pouze symbolem Q.
6.8. Definice. Nechť A, B e Q jsou libovolné a [ a, b ] £ A, [c, d } E B. Jelikož [ a, b ] ~ [ -a, -b } a [ c, d } ~ [ -c, -d ], můžeme předpokládat, že b > 0, d > 0. Položíme nyní
A < B a - d < b ■ c.
Uvedená definice nezávisí na volbě reprezentantů tříd A, B. Skutečně, je-li též [k,l } G A, [m, n ] £ B,l > 0, n > 0, pak k-b = a-l,m-d = c -n. Z a-d < b-c pak vynásobením číslem l ■ n > 0 podle 5.16 (e) plyne l ■ n - o ■ d < l ■ n ■ b ■ c a dosazením dostaneme k • n • b-d < t • m-b • d. Opět dle 5.16 (e) máme k ■ n < l ■ m, neboť 6-d>0.
Tím je tedy definována relace < na množině Q.
6.9. Věta. Relace < na množině Q je lineární uspořádání. Pro celá čísla je tato relace rovna dříve definované relaci < na množině Z.
Důkaz. Reflexivita relace < je zřejmá.
Buďte Á,B, C 6 Q, [a, b ] 6 A, {c, d ] € B, [e, f ] € C, kde b > 0, d > 0, / > 0. Jestliže A < B a B < A, pak ad < 6c, 6c < ad, tedy ad = 6c, odkud plyne [ a, 6 ] ~ [ c, d ]. Pak A = B a relace < je tudíž antisymetrická.
'S
46
Obory přirozených, celých a racionálních čísel
Závěrem tohoto odstavce si provedeme úplnou diskusi řešení binomické rovnice v okruhu celých čísel a tělese racionálních čísel.
6.19. Tvrzení. Nechť 11 = (R, 4-, •) je okruh celých čísel nebo těleso racionálních čísel, n přirozené číslo, a G R, a < 0.
Je-li n sudé číslo, pak binomická rovnice xn = a nemá žádné řešení v okruhu
71.
Je-li n liché číslo, pak P € R je řešením binomické rovnice xn = a v 71 právě tehdy, když —f3 je řešením binomické rovnice xn = -a v okruhu 'ÍZ .
Důkaz. Nechť n je sudé, tedy n = 2m, kde m je přirozené číslo. Jestliže existuje P G R takové, že Pn - a, pak -y2 = a, kde 7 = Pm G R. Podle 6.10 (e), (f) je pak 0 < 72 = a, což je spor. Tudíž binomická rovnice a;'1 = a nemá v 'IZ řešení.
Nechť n je liché a 0 € R- Je-li P řešení rovnice xn = a, pak pn = a a jelikož (-1)" = -1, dostáváme (-/?)" = -a. Tedy —/3 je řešení rovnice xn = -a.
Je-li -P řešením rovnice xn = —a, pak —a == (—fi)n = (-l)n/3n = ~Pn, tudíž /?" = a a P je řešením rovnice xn = a. Tvrzení je tím dokázáno.
6.20. Poznámka. Podle 6.18 a 6.19 se můžeme v okruhu celých čísel a tělese racionálních čísel omezit jen na binomické rovnice s „kladnou pravou stranou". Diskuse řešení těchto rovnic je provedena v následující větě.
6.21. Věta. NechťTZ = (R, + , ■) je okruh celých čísel nebo těleso racionálních čísel, n přirozené číslo, a G R, a > 0. Binomická rovnice xn = a jé řešitelná v TI právě tehdy, když n\vp{a) pro každé prvočíslo p. V tomto případě má rovnice xn — a právě jedno řešení P s vlastností P > 0. Toto P je rovno číslu
p=T[vm(p\
kde m(p) = ^vp{a).
Je-li n liché, pák číslo P je jediným řešením rovnice xn == a.
Je-li n sudé, pak rovnice xn — a má právě dvě řešení P a — p.
Důkaz. Předpokládejme nejprve, že P e R je řešením rovnice xn = a. Pak
H PVp{a) = a = Pn = ± JJ pn^(/3) v&p per
a z jednoznačnosti vyjádření racionálního čísla pomocí formálně nekonečného součinu (věta 6.16) pak plyne vp(a) = nvp(P), tedy n\vp(a) pro každé prvočíslo p. Uvědomme si, že opět podle 6.16 je touto podmínkou číslo P až na znaménko jednoznačně určeno.
Předpokládejme nyní naopak, že pro každé prvočíslo p platí 711 vp(a). Položíme m(p) =
a) &P = YlPev Pmiv) ■ Pak P & R,P > 0,Pn = a, a tedy p je řešením
rovnice x'
in
i
Kap. 6. Těleso racionálních čísel
47
Je-li n sudé, pak zřejmě (-p)n = Pn — 01. Nechť 7 6 R, 7 < 0, 7" = a. Je-li n sudé, pak -7 > 0, (-7)" = a, tudíž -7 = p & 7 = -P- Je-li n liché, pak 7" < 0, což je spor. Věta je tím dokázána.
6.22. Příklad. Nechť n je přirozené číslo větší než 1. Jelikož pro každé prvočíslo p je vp(p) — 1 a n\l, nemá binomická rovnice i"=pv okruhu celých čísel ani tělese racionálních čísel žádné řešení.
6.23. Cvičení.
1) Lze okruh (Z6. +,' )i resP- (z7. + .' )> vnořit do tělesa? Pokud ano, popište podílové těleso. Pokud ne, zdůvodněte, proč podílové těleso zkonstruovat nelze.
2) Uvažme okruhy Z[x] (resp. Q[x]) polynomů s celočíselnými (resp. racionálními) koeficienty. Tvoří Z[x] nebo Q[x] těleso? Popište jejich podílová tělesa.
3) Dokažte, že v okruhu % = (R, + ,■) platí omezený zákon o krácení právě tehdy, když 71 neobsahuje dělitele nuly, tj. když pro každé x,y € R z toho, že x ■ y = 0, plyne x = 0 nebo y = 0.
4) Ve větě 6.4 jsme na rozdíl od věty 5.5 požadovali navíc injektivitu zobrazení /. Promyslete si, proč bez této podmínky nelze větu dokázat. Zkonstruujte neinjektivní^homomoríismus / z okruhu Z do vhodného tělesa T a dokažte, že neexistuje / : Q -> T požadovaných vlastností.
5) Dokažte tvrzení uvedené v poznámce 6.5.
6) a) V definici 6.8 relace < na množině Q jsme předpokládali b > 0, d > 0. Rozmyslete si, co je na následujícím textu, kde jsou tyto podmínky vypuštěny, špatně. Na množině Q pro [ a, b ] G A, [ c, d ] e B zavedeme relaci < podmínkou
A<B <^=>
d<b-c.
b) Na množině Q budeme definovat relaci < podmínkou: A o B právě tehdy, když existují reprezentanti [a, b } G A, [c, d} € B tak, že a• d < b-c. Jaké vlastnosti relace <J splňuje? (Je to relace reflexivní, symetrická, antisymetrická, tranzitivní, úplná?)
7) Označme m = {a € Q | 0 < á < 1 V 2 < a < 3}. Rozhodněte, zda (M, < ) a (M U {2}, < ) jsou hustě uspořádané množiny, kde < je uspořádání racionálních čísel (přesněji jeho zúžení na dané množiny).
8) Nechť (M, < ) je konečná lineárně uspořádaná množina. Dokazte, že (M, < ) není hustě uspořádaná.
9) Nechť A - {%k | m e Z,n G N}. Dokažte, že (A, <), kde < je uspořádání racionálních čísel, je hustě uspořádaná množina.
10) Buď p prvočíslo a a, P libovolná racionální čísla, taková, že a ^ 0, p ^ 0, a + P ^ 0. Dokažte, že pak platí vp(a + P) > min {vp(a),vp(P)}.
44
Obory přirozených, celých a racionálních čísel
Nechť A < B, B < C. Pak ad < hc, cf < ed, odkud podle 5.16 (e),dostáváme adf < bcf,bcf < bed a tudíž adf < bed. Odtud opět podle 5.16 (e) dostáváme af < be, tudíž A < C. Relace < je tranzitivní.
Z 5.12 plyne, že buď ad < bc nebo bc < ad. V prvním případě dostaneme A < B, v druhém B < A. Relace < je tedy lineárním uspořádáním na Q.
Nechť jsou A,B g Z. Pak pro libovolné .t g Z, x > 0 platí [ax,x ] e A = a, [bx, x] g B — b. Podle 5.16 (e) je a < b v původně definované relaci < ha Z, právě když ax2 < bx2, tudíž právě když A < B. Věta je tím dokázána.
6.10. Věta. Nechť a, 0, 7,5 g q. Pak platí:
(a) a<0       a + 7 < 0 + 7,
(b) a < 0       a + 7 < 0 + 7,
(c) jestliže a < 0, 7 < <5 nebo a < /?, 7 < <5 nebo a < /3, 7 < <5, potom a + 7 < /3 + <5,
(d) a < 0,-y <5      a + y < 0 + 5,
(e) pro 0 < 7 piaí/: a < 0 <í=> a • 7 < (9 ■ 7, a < /? 4=> a • 7 < /3 • 7,
(f) pro 7 < 0 plat/: q < ,8 <ř=> 0 • 7 < a • 7, a ..< /? «f=» /3 • 7 < a ■ 7. Důkaz. Nechť [a, 6 ] e a, [c, d ] 6 /?, [e, / ] 6 7, b > 0, d > Ô, / > 0. V průběhu
důkazu užijeme několikrát větu 5.16, promyslete si sami kdy. Nejprve dokážeme platnost výroku (a).
Jestliže a < P, pak ad < bc. Dále [ a f + be, b f ] e a. + 7, [ c f + ed, df } € /3 -f 7. Platí (af + be)fd = a/2ti + 6e/d < bf2c4-6e/d = 6/(c/ + ed), tudíž a + 7 < /3 + 7.;
Naopak, jestliže platí a+ 7 < /3 + 7, pak podle předešlého dostávame nerovnost a = a + 7 + (-7) < P + 7 + (-7) =
Platí tedy (a). Odtud se snadno odvodí platnost výroků (b), (c) a (d).
Nyní dokážeme platnost výroku (e). Nechť 0 < 7. Jelikož [0,1 ] g,0, platí, že 0 • / < 1 • e, tedy e >.0. -
Je-li a < (3, pak ad < bc, tudíž adef < bce f, odkud plyne a • 7 < 0 • 7.
Naopak předpokládejme, že a ■ 7 < 0 ■ 7. Jelikož [ /, e ] € 7-1, je 0 < 7-1 a podle předešlého tedy a — (a • 7) • 7-1 < (/? • 7) • 7-1 = 0.
Platnost ekvivalence a < 0 <í=^ a ■ 7 < /3 • 7 pak již z předešlého zřejmě vyplývá. Platí tedy výrok (e).
Výrok (f) se snadno odvodí z implikace 7 < 0 ==^ 0 < -7, která plyne například z (a). Věta je tím dokázána.
6.11. Definice. Lineárně uspořádaná množina (M, < ) se nazývá hustě uspořádaná, jestliže má alespoň dva prvky a platí:
mi £ M, 77i2 6 M, mi < 77i2       3 tri € M : mi < rn < tni.
6.12. Tvrzení. Množina racionálních čísel (Q, < ) je hustě uspořádaná. Důkaz. Nechť [ a,6 ] e a € Q, [ c, d ] € 0 € Q, b > 0, d > 0, a < 0. Pak
ad < ďc, odkud plyne ad + 1 < 6c, tudíž 2ad + 1 < 2ad + 2 < 26c. Nechť. 7 € Q,
Kap. (5. Těleso racionálních čísel
45
[2ad+l,26d] g 7. Jelikož 2a6d < 2a6d + 6,jea < 7. Obdobně (2ad+l)d< 26cd, tudíž 7 < 0. Tvrzení je tím dokázáno.
6.13. Příklad. Množina celých čísel (Z, < ) není hustě uspořádaná, neboť např. pro mi = 1 a m2 = 2 neexistuje m e Z takové, aby 1 < m < 2.
6.14. Tvrzení. Pro každé číslo g € Q existuje přirozené číslo n talcové, že —n < g < 71.
Důkaz. Nechť [ a, 6 ] 6 g, b > 0. Položme ti = |a| + 1. Pak n je přirozené číslo a platí bn > n > \a\ > a, odkud plyne g < n, neboť [ n, 1 ] g n. Z nerovnosti |o| < 6n dostáváme -6n < -|a| < a. Protože [ -n, 1 ] g -71, je -n < g.
6.15. Definice. Nechť p je prvočíslo, [a,6 ] g g g q, £> ^ 0- Pak definujeme exponent čísla g příslušný prvočíslu p takto:
vP(g) = vp(a) -vp(b).
Tato definice je korektní, neboť pokud [c,d]e g, pak o # 0 # C, O • d = b ■ c. Podle 5.23 tudíž i;p(a)+ up(d) = up(6) + up(c), odkud up(a) - up(6) = up(c) -up(d). Číslo vp(a) - up(6) nezávisí na volbě reprezentanta [a,b] racionálního čísla g.
Potom vp je zobrazení množiny nenulových racionálních čísel na množinu celých čísel.
Pro nenulová racionálni čísla a,0 a prvočíslo p pak zřejmě platí:
vp(a- 0) - vp{a) + vp(0).
Dále pro a, 0 g Q, a ý 0 ^ 0 máme: a = ±/3 právě tehdy, když ■Up(a) = vp(0) pro každé prvočíslo p. <
Ze základní věty aritmetiky celých čísel 5.21 se snadno odvodí následující věta.
6.16. Věta. Každé' nenulové racionální číslo a lze jednoznačně psát ve tvaru formálně nekonečného součinu
a = eJJp«p(»))
per
kde e =g {1,-1}, V je množina všech prvočísel, vp(ct) ^ 0 jen pro konečně mnoho prvočísel p.
6.17. Definice. Nechť TZ = (R, +, •) je okruh, a € R a n přirozené číslo. Binomickou rovnicí n-tého stupně v okruhu 'R rozumíme rovnici tvaru:
Zřejmě platí následující tvrzení:
6.18. Tvrzení. Pro obor integrity R má binomická rovnice xn = 0, kde n je přirozené číslo, právě jedno řešení x = 0.