Neurčitý integrál funkce - neřešené příklady 1
Neurčitý a určitý integrál funkce
Příklad 1. Vypočtěte metodou per partes:
a) x2
cos x dx; Výsledek: (x2
− 2) sin x + 2x cos x.
b) (x2
+ 2x + 17)ex
dx; Výsledek: (x2
+ 17)ex
;
c) x2
arctg x dx; Výsledek: x3
3 arctg x − 1
6 x2
+ 1
6 ln(x2
+ 1).
d) lnx dx; Výsledek: x(lnx − 1).
e) sin2
x dx; Výsledek: 1
2 (x − sin x cos x).
f) lnx
x2 dx; Výsledek: −1
x (lnx + 1).
g) x
sin2 x
dx; Výsledek: −xcotg x + ln| sin x|.
h) xlnx dx; Výsledek: x2
lnx
2 − x2
4 .
i) ex
cos x dx; Výsledek: ex
2 (sin x + cos x).
j) ln2
x√
x
dx; Výsledek:
√
x(2ln2
x − 8lnx + 16).
k) arcsin x dx; Výsledek: xarcsin x +
√
1 − x2.
l) ln2
x
x2 dx; Výsledek: −1
x (ln2
x + 2lnx + 2).
m) x2
sin(2x) dx; Výsledek: −x2
2 cos(2x) + x
2 sin(2x) + 1
4 cos(2x).
n) xe−x
dx; Výsledek: e−x
(−x − 1).
o) x3
cos x dx; Výsledek: (x3
− 6x) sin x + (3x2
− 6) cos x.
p) arctg x dx; Výsledek: xarctg x − 1
2 ln(x2
+ 1).
q) cos(lnx) dx; Výsledek: x
2 (cos(lnx) + sin(lnx)).
r)
√
x2 + 1 dx; Výsledek: 1
2 (x
√
x2 + 1 + ln|x +
√
x2 + 1|).
Příklad 2. Vhodnou substitucí vypočtěte následující triviální integrály:
a) sin2
x
cos4 x dx; Výsledek: 1
3 tg3
x, (substituce: tg x = t).
b) 1
xlnx dx; Výsledek: ln|lnx|, (substituce: lnx = t).
c)
3
√
arctg x
1+x2 dx; Výsledek: 3
4
3
(arctg x)4, (substituce: arctg x = t).
d) arctg
√
x dx; Výsledek: xarctg
√
x −
√
x + arctg
√
x, (substituce: x = t2
).
e) 1√
4x+9
dx; Výsledek: 1
2
√
4x + 9, (substituce: 4x + 9 = t).
f) 1
sin2(3x−7)
dx; Výsledek: −1
3 cotg(3x − 7), (substituce: 3x − 7 = t).
g) 1
7x−9 dx; Výsledek: 1
7 ln|7x − 9|, (substituce: 7x − 9 = t).
h) dx
9+4x2 ; Výsledek: 1
6 arctg2x
3 , (substituce: 2x = 3t).
i) ex
cos(ex
) dx; Výsledek: sin(ex
), (substituce: ex
= t).
j) sin x
3
√
1+2 cos x
dx; Výsledek: −3
4
3
(1 + 2 cos x)2, (substituce: 1 + 2 cos x = t).
k) e
1
x
x2 dx; Výsledek: −e
1
x , (substituce: 1
x = t).
l) 3x
5+3x dx; Výsledek: 1
ln3 ln|5 + 3x
|, (substituce: 5 + 3x
= t).
m) x3
√
1−x8
dx; Výsledek: 1
4 arcsinx4
, (substituce: x4
= t).
n) 1
x2 sin 1
x dx; Výsledek: cos 1
x , (substituce: 1
x = t).
o) 2x
√
x2 + 1 dx; Výsledek: 2
3 (x2
+ 1)3
, (substituce: x2
+ 1 = t2
).
p) x+(arctg x)−1
1+x2 dx; Výsledek: 1
2 ln(1 + x2
) + ln|arctg x|,
q) dx
x·lnx·ln(lnx) dx; Výsledek: ln|ln(lnx)|,
r) sin7
x cos x dx; Výsledek: 1
8 sin8
x, (substituce: sin x = t).
s) 2x
dx√
1+4x ; Výsledek: 1
ln2 ln(2x
+
√
1 + 4x), (substituce: 2x
= t).
Příklad 3. Vypočtěte rychle integrály z funkcí racionálně lomených:
a) x4
+6x2
+x−2
x4−2x3 dx; Výsledek: x − 3ln|x| − 1
2x2 + 5ln|x − 2|.
b) 5
(2x−3)3 dx; Výsledek: −5
4
1
(2x−3)2 .
c) 27 dx√
2x−5
; Výsledek: 27√
2
ln
√
2x − 5 .
d) 8x−31
x2−9x+14 dx; Výsledek: 3ln|x − 2| + 5ln|x − 7|.
e) x dx
(x−1)(x+1)2 ; Výsledek: 1
4 ln|x − 1| − 1
4 ln|x + 1| − 1
2(x+1) .
ÚM FSI VUT v Brně 1
Neurčitý integrál funkce - neřešené příklady 2
f) 11x2
−2x−33
x2−3 dx; Výsledek: −ln|x −
√
3| − ln|x +
√
3| + 11x.
g) 4x2
+4x−11
(2x−1)(2x+3)(2x−5) dx; Výsledek: 1
8 ln (2x−1)3
(2x−5)3
2x+3 .
h) 4−4x
4x2−4x+1 dx; Výsledek: −ln|2x − 1| + 1
2x−1 .
i) 6x+6
2x2+3x dx; Výsledek: ln|2x3
+ 3x2
|.
j) 3x4
+x3
−5x+2
x5−x4−2x3 dx; Výsledek: ln|x(x − 2)3
(x + 1)2
| − 3
x + 2
x2 .
k) 2+2x+x2
−x3
2−x2 dx; Výsledek: x2
2 − x +
√
2ln
√
2+x√
2−x
.
Příklad 4. Pečlivě zintegrujte:
a) sin5
x dx; Výsledek: − cos x + 2
3 cos3
x − 1
5 cos5
x, (subs.: cos x = t).
b) cos5
x
sin4 x
dx; Výsledek: − 1
3 sin3 x
+ 2
sin x + sin x, (substituce: sin x = t).
c) dx
4 sin x−7 cos x−7 ; Výsledek: 1
4 ln|4tgx
2 − 7|, (substituce: tgx
2 = t).
d) sin3
x
1+cos2 x dx; Výsledek: cos x − 2arctg(cos x), (substituce: cos x = t).
e) dx
sin x cos(2x) ; Výsledek: 1
2 ln|1−cos x
1+cos x | + 1√
2
ln 1+
√
2 cos x
−1+
√
2 cos x
, (substituce: cos x = t).
f) dx
sin4 x
; Výsledek: − 1
tg x − 1
3tg3x , (substituce tg x = t).
g) sin 2x
1+sin4 x
dx; Výsledek: arctg(sin2
x), (substituce: sin x = t).
Příklad 5. Zintegrujte následující iracionální funkce:
a)
√
x
1+
4√
x3
dx; Výsledek: 4
3 (x
3
4 − ln|x
3
4 + 1|), (substituce: x = t4
).
b) 1+x
1+
√
x
dx; Výsledek: 2(
√
x3
3 − x
2 + 2
√
x − 2ln
√
x + 1 ), (substituce: x = t2
).
c) dx
x
√
2x+1
; Výsledek: ln
√
2x+1−1√
2x+1+1
, (substituce: 2x + 1 = t2
).
d) x2 3
√
1 − x dx; Výsledek: − 3
10
3
(1 − x)10 + 6
7
3
(1 − x)7 − 3
4
3
(1 − x)4, (substituce: 1 − x = t3
).
e) 2+
√
x
x( 4
√
x+ 6
√
x)
dx; Výsledek: 4 4
√
x − 6 6
√
x + 12 12
√
x + 24ln| 12
√
x| − 24
12
√
x
− 12
6
√
x
− 36ln| 12
√
x + 1|,
(substituce: x = t12
).
f) 1− 3
√
x√
x
dx; Výsledek: 2
√
x − 6
5 x
6
5 , (substituce: x = t6
).
g) dx
4
√
x+
√
x
; Výsledek: 2
√
x − 4 4
√
x + 4ln | 4
√
x + 1|, (substituce: x = t4
).
h) dx
(1−x2)
3
2
; Výsledek: x√
1−x2
, (substituce: x = sin t).
i)
√
x2−4
x dx; Výsledek:
√
x2 − 4 + 2arcsin2
x , (substituce: x = 2
sin t ).
ÚM FSI VUT v Brně 2