Atomová a jaderná fyzika
Karel Rauner, Západočeská Universita v Plzni
1. Vývoj představ o atomu
1. 1. Historie do objevu elektronu
V. stol. př. K.
Leukippos (~460-370) Demokritos (~470-371)
1. 1. Historie do objevu elektronu
1808 Dalton – zákon stálých poměrů slučovacích
John Dalton (1766-1844)
1811 Avogadro – molekula, Avogadrovo číslo
Amadeo Avogadro (1776-1856)
−
= ⋅ 23 1
6,022 10 molN
1
1. 1. Historie do objevu elektronu
1833 – Faradayovy zákony elektrolýzy
Michael Faraday (1791-1867)
1859 – objev katodových paprsků
J. J. Thomson (1856-1940)
= ⋅ 4
9,65 10 CF
1. 1. Historie do objevu elektronu
1898 – objev elektronu
1900 – George Johnstone Stoney – název elektron
J. J. Thomson (1856-1940)
= ⋅ ⋅11 -1
1,759 10 C kg
e
m
2
1. 2. První modely atomu
1898 – pudinkový model atomu: J. J. Thomson
J. J. Thomson (1856-1940)
1. 2. První modely atomu
Rutherfordův experiment: 1910-1911
3
1. 2. První modely atomu
Vysvětlení Rutherfordova experimentu
1. 2. První modely atomu
Vysvětlení Rutherfordova experimentu
b
ϕ
+,m Ze
+, ,M v e2
υ
JÁDRO
ALFA ČÁSTICE
ε−Ze
q
- úhel odchýlení částiceϕ α
- excentricita hyperbolyε
- minimální vzdálenost částice od jádraq α
v0
( )= ⋅ + cosq ε υ1
= ⇒ =sin
sin
b b
υ ε
ε υ
( )= ⋅ + cos
sin
b
q υ
υ
1
= + ⋅
Ze
Mv Mv
qπε
2
2 2
0
0
1 1 1 2
2 2 4
zákon zachování energie
( )
= + ⋅
+
sin
cos
v Ze
v Mv b
υ
πε υ
2 2
0
2 2
0
4
1
4 1
=při označení
Ze
k
Mvπε
2
2
0
2
4 ( )
= + ⋅
+
sin
cos
v k
v b
υ
υ
2
0
2
2
1
1
4
1. 2. První modely atomu
( ) ( )
−
= + ⋅
++
cos sin
coscos
k
b
υ υ
υυ
2
2
1 2
1
11
Vysvětlení Rutherfordova experimentu
b
+, ,M v e2
υ
JÁDRO
ALFA ČÁSTICE
q
v0
= ⇒ = =
+
sin
cos
v b
Mvb Mv q
v q
υ
υ0
0 1
( ) ( )
= + ⋅
++
sin sin
coscos
k
b
υ υ
υυ
2
2
2
1
11
Zákon zachování momentu hybnosti:
dosazením do posledního vztahu na předchozí straně:
( )
−
= + ⋅
+ +
cos sin
cos cos
k
b
υ υ
υ υ
1 2
1
1 1
+ = − + ⋅cos cos sin
k
b
υ υ υ
2
1 1
= ⋅ ⇒ =cos sin tg
k b
b k
υ υ υ
2
2
ϕ
 
− 
 = − = − ⇒ = = =
 
− 
 
sin cos
, c
sincos
b
k
otg
π υ ϕ
π ϕ ϕ
ϕ π υ υ
ϕπ υ
2 2 22
2 2 2
22 2
( )+, dϕ ϕ ϕ
Vysvětlení Rutherfordova experimentu
Jaká je pravděpodobnost odchýlení částice alfa do úhlu
1 m
1 m b
db
( )+, dϕ ϕ ϕOdchýlení o úhly
odpovídá dopadu do mezikruží ( )+, db b b
plocha tohoto mezikruží ⋅db bπ2
celková plocha mezikruží ⋅ ⋅dP b bπ2
kde P je počet atomů Au na ploše
2
m .1 Pravděpodobnost odchýlení je dána
⋅ ⋅dP b bπ2
1
, protože = ⋅cotg ,
2
b k
ϕ
= − ⋅ ⋅d d ,
sin
k
b ϕ
ϕ2
1
2
2
 
= ⋅ ⋅ ⋅ 
 
cos
d d ,
sin
Ze
w P
Mv
ϕ
π ϕ
ϕπε
2
2
30
2
2
2
1. 2. První modely atomu
5
1. 2. První modely atomu
Rutherfordův model atomu (planetární)
z podobnosti Coulombova zákona a zákona gravitačního:
= − ⋅
⋅ ⋅
C
Ze r
F
rrπ ε
2
2
04
= − ⋅G
Mm r
F
rr
κ 2
vyplývá, že atom se musí řídit Keplerovými zákony:
1. Elektrony se pohybují kolem jádra po elipsách, v jejichž společném ohnisku je jádro.
2. Průvodič elektronu opisuje ve stejných časových intervalech stejné plochy.
3. Platí kde T je oběžná doba, a je velká poloosa eliptické dráhy= .
T
konst
a
2
3
1. 3. Poznatky a experimenty popírající klasickou mechaniku a elektrodynamiku
elektron se pohybuje po kruhové dráze – podléhá zrychlení (dostředivému), podle
klasické elektrodynamiky musí vyzařovat energii ve formě elektromagnetického záření
pokud by elektron padal do jádra a v něm se energie obnovovala, muselo by mít
emitované záření spojité spektrum – spor se skutečností: čárové spektrum
atomy v základním stavu nezáří
6
1. 3. Poznatky a experimenty popírající klasickou mechaniku a elektrodynamiku
Kirchhoff:
1. 3. 1. Záření absolutně černého tělesa
( )= , , spektrální zářivost tělesa
E
f T E
A
ν
ν
ν
ν
= ⇒1spektrální pohltivost tělesa, A absolutně černé tělesoAν ν
Wilhelm Karl Werner Wien
(13.01.1864-30.08.1928)
John William Strutt alias Lord Rayleigh
(12.11.1842-1919)
Kirchhoff, G.
(Gustav), 1824 -
1887
1. 3. Poznatky a experimenty popírající klasickou mechaniku a elektrodynamiku
Rayleigh-Jeans:
1. 3. 1. Záření absolutně černého tělesa
( )⋅ = ⋅4
2
, d d
kTc
f T
π
λ λ λ
λ
( )⋅ = − ⋅ ⋅2
2
2
, d d
kT
f T
c
π
ν ν ν ν
( )
∞ ∞
⋅ = − ⋅ ⋅ → ∞∫ ∫
2
2
0 0
2
, d d
kT
f T
c
π
ν ν ν ν
ultrafialová katastrofa
James Jeans (1877-1946 )
7
1. 3. Poznatky a experimenty popírající klasickou mechaniku a elektrodynamiku
Max Planck (1900):
1. 3. 1. Záření absolutně černého tělesa
−
střední energie "oscilací" není , ale
e
h
kT
h
kT ν
ν
1
Max Karl Ernst Ludwig Planck
(23.04.1858-04.10.1947)
( )
⋅
⇒ ⋅ = − ⋅
−
d
, d
e
h
kT
h
f T
c ν
π ν ν
ν ν
3
2
2
1
−
= ⋅ ⋅, J sh 34
6 626 10
kvantová emise: energie se z atomů
vyzařuje jen ve formě oddělených
porcí – kvant – energie
kvantum energie má velikost
hν
1. 3. Poznatky a experimenty popírající klasickou mechaniku a elektrodynamiku
1. 3. 1. Záření absolutně černého tělesa
8
1. 3. Poznatky a experimenty popírající klasickou mechaniku a elektrodynamiku
1. 3. 2. Fotoelektrický jev
Philipp Lenard (1862–1947 )
Aµ
U
1898 Lenard a Thomson: při
fotoelektrickém jevu jsou
uvolňovány elektrony, jejich energie
jsou úměrné frekvenci, ne intenzitě
světla (jak odpovídalo klasické
elektrodynamice) U
I
U01
1. 3. Poznatky a experimenty popírající klasickou mechaniku a elektrodynamiku
1. 3. 2. Fotoelektrický jev
Albert Einstein (1879–1955)
1905 Einstein: světlo je v
kvantech nejen uvolňováno,
ale i absorbováno
= + kh A Wν
Energie kvanta se zčásti
spotřebuje na výstupní práci
elektronu z kovu (A), zbytek
je kinetickou energií
emitovaného elektronu.
Nobelova cena 1921
= ⇒ =min min
A
h A
h
ν ν
/A eV
5,32Pt
2,35Na2,22K
2,16Rb1,81Cs
kovkov /A eV
9
1. 3. Poznatky a experimenty popírající klasickou mechaniku a elektrodynamiku
1. 3. 2. Fotoelektrický jev
1905 Einstein: je-li světlo v kvantech volňováno i absorbováno, lze předpokládat,
že se v kvantech i šíří: zavedení částice foton
foton má energii: hν
foton má klidovou hmotnost nulovou, protože se šíří rychlostí c
foton má hmotnost: = ⇒ =
h
mc h m
c
ν
ν2
2
foton má hybnost: = = =
h h
p mc
c
ν
λ
1. 3. Poznatky a experimenty popírající klasickou mechaniku a elektrodynamiku
1. 3. 3. Comptonův jev (rozptyl)
1922 Compton: dopadá-li na hmotu monoenergetické rentgenové záření, rozptyluje
se. Rozptýlené záření má přitom větší vlnovou délku než záření dopadající. Úhel, o
který se rentgenové záření rozptýlí, souvisí jednoznačně se vzrůstem vlnové délky.
Význam děje: konečné potvrzení fotonu. Celý děj lze vysvětlit
jako pružnou srážku fotonu a elektronu
Arhtur Holly Compton (1892-1962)
10
1. 3. Poznatky a experimenty popírající klasickou mechaniku a elektrodynamiku
1. 3. 3. Comptonův jev (rozptyl)
′
= ⋅ − ⋅sin cos
h
p
c
ν
ψ ϕ0
= = =
mc h
p mc
c c
ν
ν2
ϕ
′h
c
ν
ψ
px
y
Zákony zachování hybnosti:
′
= ⋅ + ⋅cos sin
h h
p
c c
ν ν
ψ ϕ
po umocnění a sečtení:
′ ′   
= + − ⋅   
   
cos
h h h
p
c c c
ν ν νν
ϕ
2 2 2
2
2
2
stejnou veličinu vypočítáme ze zákona zachování energie:
( )′ ′+ = + ⇒ = + −
h
h m c h mc m m
c
ν ν ν ν2 2
0 0 2
z relativistického vztahu pro hmotnost určíme rychlost:
 
= ⇒ = − 
 
−
2
2 20 0
22
2
1
1
m m
m v c
mv
c
( )
 
= = ⋅ − = − 
 
2
2 2 2 2 2 2 2 20
02
1
m
p m v m c c m m
m
( ) ( )
 
′ ′= ⋅ − + − 
 
m hh
p c
c c
ν ν ν ν
2
22 2 0
4 2
2
1. 3. Poznatky a experimenty popírající klasickou mechaniku a elektrodynamiku
1. 3. 3. Comptonův jev (rozptyl)
porovnání pravých stran podtržených rovnic:
( ) ( )
′ ′   ′ ′⋅ − + − = + − ⋅   
   
cos
h h h h
m h
c cc c
ν ν νν
ν ν ν ν ϕ
2 22 2
2
02 2
2 2
( ) ( )′ ′ ′ ′− + − = + − ⋅cos
m c
h
ν ν ν ν ν ν νν ϕ
2
2 2 202
2
 
′= = ⇒ − + − = − ⋅ ′ ′ ′ ′ 
, c
m cc c c c
h
osν ν ϕ
λ λ λλ λ λ λλ
32 2
02 1 1
2 2
( )′ ′ ′− + − = − ⋅cos
m c
h
νν ν ν νν ϕ
2
02
2 2
( )′− + − = −cosm c λ λ ϕ01
( )′ − = − cos
h
m c
λ λ ϕ
0
1
 
− = − − = 
 
cos cos sin sin
ϕ ϕ ϕ ϕ2 2 2
1 2 1 2
2 2 2 2
′ − = sin
h
m c
ϕ
λ λ 2
0
2
2
h
m c0
Comptonova vlnová délka elektronu
11
1. 3. Poznatky a experimenty popírající klasickou mechaniku a elektrodynamiku
1. 3. 4. Vlnové vlastnosti částic
1927 Davisson, Germer: interference elektronů po odrazu na krystalových rovinách se
řídí stejným zákonem, jako při pokusu s rentgenovým zářením
Clinton Davisson (1881-1958),
lester Germer (1896-1971)
1. 3. Poznatky a experimenty popírající klasickou mechaniku a elektrodynamiku
1. 3. 4. Vlnové vlastnosti částic
Vulfova-Braggova podmínka pro maximum interference s rentgenovým zářením:
= sinn dλ ϕ2
ϕ
d
n pořadí maxima
dráhové zpoždění
měření spekter:
a) otáčení krystalu při konstantní energii
elektronu
b) změna energie elektronu při
konstantním úhlu
= = ⇒
v
E h hν
λ
zavedení vlnové délky pro částice:
=
h
mv
λ
de Broglieova vlnová délka částice
Louis Victor Pierre Raymond duc de
Broglie (1892-1987)
dualismus vlna- částice
12
1. 3. Poznatky a experimenty popírající klasickou mechaniku a elektrodynamiku
1. 3. 5. Ohyb mikročástic na štěrbině
stejnou ekvivalenci jako při odrazu na krystalu můžeme nalézt i při průchodu
mikročástic štěrbinou:
x
y
yp
α1
p
xpδα1
xδ
λ
2
= sinxp pδ α1
=sin
x
λ
α
δ1
2
2
= ⇒ ⋅ = ⋅x
x
p
p x p
p x
δ λ
δ δ λ
δ
=
h
mv
λ
⋅ =xp x hδ δ
zavedeme-li střední kvadratické odchylky:
xp x
2
∆ ⋅ ∆ ≥ =
h
π2
1. Heisenbergova relace neurčitosti
1. 3. Poznatky a experimenty popírající klasickou mechaniku a elektrodynamiku
1. 3. 5. Ohyb mikročástic na štěrbině
∂
= ⇒ ∆ = ⋅ ∆ = ⋅ ∆
∂
p E p
E E p p
m p m
2
2
Werner Heisenberg (1901-1976)
∆
∆ = ⋅ ∆ = ⋅ ⋅ ∆
∆
p x
E p m p
m t m
1
E t∆ ⋅ ∆ ≥
2
2. Heisenbergova relace neurčitosti
příklady:
dvojí filosofický výklad
důsledky a projevy
13
1. 3. Poznatky a experimenty popírající klasickou mechaniku a elektrodynamiku
1. 3. 6. Zákonitosti spektra atomu vodíku
Johann Jacob Balmer
(1825-1898)
= =
−
, , , ,...H
n
n
n
λ λ
2
0 2
3 4 5 6
4
1885: ve viditelné oblasti spektra 4 čáry
později: v ultrafialové oblasti další čáry,
které se zhušťují až k hraně série
P. A. (Per Axel) Rydberg (1860-1931)
upravil vztah na:
 
= − = 
 
= ⋅ -1
je vlnoče
, m je Rydbergův vlnočet
n H n
n
H
R t
n
R
σ σ
λ2 2
7
1 1 1
2
1 0967758 10
1. 3. Poznatky a experimenty popírající klasickou mechaniku a elektrodynamiku
1. 3. 6. Zákonitosti spektra atomu vodíku
další zkoumání spektra v ultrafialové a infračervené oblasti:
 
= − > 
 
kn HR n
k n
σ 2 2
1 1
k
k = 1 : Lymanova série UV
k = 2 : Balmerova série viditelné + UV
k = 3 : Paschenova série IR
k = 4 : Brackettova série IR
k = 5 : Pfundova série IR
k = 6 : Humphreyova série IR
potvrzení Ritzova kombinačního principu:
Vlnočet jakékoli spektrální čáry vodíku lze
vyjádřit rozdílem vlnočtů jiných dvou čar.
= ⇒ = −term: H
n kn k n
R
T T T
n
σ2
= −kn kj jnσ σ σ
14
1. 4. Bohrův model atomu
= =, , , ,... je hlavní kvantové číslomrv nh nπ2 1 2 3
1913: 3 postuláty popírající částečně klasickou mechaniku a klasickou elektrodynamiku:
I.I. Elektron může trvale kroužit kolem jádra atomu jen v takovýchElektron může trvale kroužit kolem jádra atomu jen v takových
kruhových drahách (kvantových), pro které 2kruhových drahách (kvantových), pro které 2ππ nnáásobek momentusobek momentu
hybnosti elektronu vzhledem k jhybnosti elektronu vzhledem k jáádru je celistvým ndru je celistvým náásobkemsobkem
PlanckovyPlanckovy konstantykonstanty
II.II. Pokud elektron obPokud elektron obííhháá v nv něěkterkteréé z kvantových drah, atom nezz kvantových drah, atom nezáářříí, jeho, jeho
energie je stenergie je stáálláá..
III.III. PPřři pi přřechodu elektronu na jinou kvantovou drechodu elektronu na jinou kvantovou drááhu se vyzhu se vyzáářříí nebonebo
pohltpohltíí foton, jehofoton, jehožž energie je rovna zmenergie je rovna změěnněě energie elektronu:energie elektronu:
= −nm n kh E Eν
Niels Henrik David Bohr
(1885-1962)
= = ⇒, podmínka kruhové dráhy:
mv Ze Ze
mrv nh r
r r mv
π
πε πε
2 2 2
2 2
0 0
2
4 4
klasickými postupy je možné vypočítat poloměr kruhové dráhy, rychlost elektronu a jeho energii:
1. 4. Bohrův model atomu
=
−
= ⋅ ⇒ = ⋅ = = ⋅, m je Bohrův poloměrn n
hZe
v r n r a
h n mZe
ε
ε π
22
2 110
1 02
0
1
5 29167 10
2
= + = − = −n n p n
n
Ze mZ e mZ e
E T W mv
r h n h nπε ε ε
2 2 4 2 4
2
2 2 2 2 2 2
0 0 0
1
2 4 8 4
= −n
mZ e
E
h nε
2 4
2 2 2
0
1
8
 
= − ⇒ = − ⇒ = − 
 
nm n k n k nm
nm
c mZ e
h E E h E E
h c m n
ν σ
λ ε
2 4
2 3 2 2
0
1 1
8
 
= − 
 
= =
porovnáním s Balmerovým vztahem
dostáváme pro Rydbergův vlnočet:
nm H
H
R
m n
me
Z R
h c
σ
ε
2 2
4
2 3
0
1 1
1
8
Z je protonové číslo (pořadí v periodické soustavě)
15
→ =
+
redukovaná hmotnost elektronu:
Mm
m
M m
µ µ 0
0
později zpřesnění – vliv pohybu jádra – vedlo k náhradě:
1. 4. Bohrův model atomu
−
→ ∞ = = ⋅pak je možné pro : Rydbergova konstanta , m
m e
M R
h cε
4
7 10
2 3
0
1 0937309 10
8
souhlas byl tak obrovský, že v roce 1932 Urey, Brickvedde a Murphy, když zjistili, že
spektrální čáry vodíku jsou doprovázeny velmi blízkými slabými čarami s nepatrně
vyšším vlnočtem, tak, jako by M bylo dvojnásobné, objevili první izotop vodíku:
deutériumdeutérium
Bohrovy představy:
1. 4. Bohrův model atomu
Grotrianův diagram:
16
Častá interpretace 1. Bohrova postulátu:
1. 4. Bohrův model atomu
= =, , , ,... je hlavní kvantové číslomrv nh nπ2 1 2 3
=
h
mv
λ de Broglieova vlnová délka částice
= inr nπ λ2
přípustné dráhy jsou pouze ty, kde délka kruhové dráhy je
celistvým násobkem de Broglieovy vlnové délky elektronu
povolená (kvantová) dráha pro n = 4
nepovolená dráha
představa 3. Bohrova postulátu:
1. 4. Bohrův model atomu
17
Důležitý experiment potvrzující hladinové uspořádání kvantovaných energií v elektronů v
atomech: FranckůvFranckův--HertzůvHertzův pokuspokus –– 1914 (1914 (JamesJames FranckFranck, Gustav Hertz,, Gustav Hertz,
Nobelova cena 1925)Nobelova cena 1925)
1. 4. Bohrův model atomu
1915 – Sommerfeld: spektrální čáry mají jemnou strukturu: každá čára se skládá z
několika velmi blízkých čar. Domníval se, že je to způsobeno tím, že kromě povolených
kruhových drah jsou možné i eliptické dráhy s různou excentricitou
1. 5. Nedostatky Bohrova modelu atomu
Arnold Sommerfeld
(1868-1951)
Bohrův model je směsí klasických představ a postulátů, které jsou s klasickými
představami ve sporu
Bohrův model nedokáže vysvětlit spektra jiných atomů než H, He+, Li2+, Be3+, B4+, …,
takzvaných izoelektronových atomů
Bohrův model nedokáže
vysvětlit existenci molekuly H2, O2, …
zdůvodnit jevy, nastávající v atomech, které jsou ve vnějším elektromagnetickém poli
vysvětlit různé intenzity spektrálních čar
18
částice má vlnové vlastnosti = měla by být popsatelná stejně jako vlnění:
1. 6. Základní představy, ze kterých vznikla kvantová mechanika
( ) ( )= ⋅, e popis stacionárního vlněníi t
r t r ω
ψΨ
prostorová závislost periodická časová závislost
= =
v
fω π π
λ
2 2
funkce musí vyhovovat vlnové rovnici: ∂
=
∂v t
ψ
∆Ψ
2
2 2
1
po dosazení: ( )= − ⋅e ei t i t
v
ω ω
ψ ψ ω∆ 2
2
1
+ =
v
ω
ψ ψ∆
2
2
0 = = =
mv
hv h
p
ω π π π
λ
2 2 2
de Broglieova vlnová délka
+ =
m v
h
π
ψ ψ
2 2 2
2
4
0∆
 
+ = 
 
m
mvψ ψ∆ 2
2
2 1
0
2
= −kinW E U
− + =U E
m
ψ ψ ψ
2
2
∆
=ˆ ˆ, je Hamiltonův operátor, operátor celkové energieH E Hψ ψ
SchrödingerovaSchrödingerova rovnicerovnice
2. Kvantově-mechanický popis atomového obalu
2. 1. Základní pojmy a zákonitosti kvantové mechaniky
2. 1. 1. Vlnová funkce
postulát: Časový vývoj stavu soustavy dokonale popisuje vlnová funkce
n částic: ( ), , ,... ,r r r r tΨ 1 12 2
Ψ je bez přímého fyzikálního významu, zpravidla je
komplexní
Ψ je řešením časové Schrödingerovy rovnice:
∂
=
∂
ˆi H
t
Ψ
Ψ
ˆH je Hamiltonův operátor (celkové energie)
Ψ určuje stav jednoznačně, tj. lze z ní matematickými postupy získat veškeré
dostupné informace o soustavě
je hustota pravděpodobnosti výskytu⋅ = = ρ
2
Ψ Ψ Ψ
⋅dVρ je pro n = 1 pravděpodobnost toho, že v čase t je částice
v objemu dV v místě popsaném průvodičem
x
y
z
r dV
( )⋅ =∫ d integrace přes celý prostorVΨ
2
1
normovací podmínka
Ψ
19
2. Kvantově-mechanický popis atomového obalu
2. 1. Základní pojmy a zákonitosti kvantové mechaniky
2. 1. 1. Vlnová funkce
při stacionárních dějích (silové pole je časově nezávislé), platí:
( ) ( )= ⋅, ei t
r t r ω
ψΨ kde je řešením tzv. bezčasové Schrödingerovy rovnice:ψ
=ˆ ˆ, je Hamiltonův operátor, operátor celkové energieH E Hψ ψ
pro jednu částici má Hamiltonův operátor tvar: = − + ⋅ˆH U
m
∆
2
2
každá vlnová funkce musí mít 4 následující vlastnosti:
jednoznačná
spojitá
konečná
kvadraticky integrabilní
2. Kvantově-mechanický popis atomového obalu
2. 1. Základní pojmy a zákonitosti kvantové mechaniky
2. 1. 1. Vlnová funkce
hlavní rozdíly mezi kvantovou a klasickou mechanikou:
kvantová klasická
určení stavuvlnovou funkcí časovou závislostí souřadnic
( ), , ,... ,nr r r r t1 2 3Ψ ( ) ( ) ( ) ( ), , ,... nr t r t r t r t1 2 3
energie jespojitá pouze u volné
částice, jinak diskrétní zásadně spojitá
lokalizacevždy jen pravděpodobnost přesná lokalizace – existují
trajektorie
rozlišitelnost
částice stejných vlastností
jsou nerozlišitelné
částice lze vždy rozlišit podle
trajektorie
20
2. Kvantově-mechanický popis atomového obalu
2. 1. Základní pojmy a zákonitosti kvantové mechaniky
2. 1. 2. Hodnoty fyzikálních veličin
Každé fyzikální veličině je v kvantové mechanice přiřazen operátor (postulát)
dva operátory jsou postulovány: operátor souřadnice:
a operátor složky hybnosti:
= ⋅ˆx x
∂
= −
∂
ˆxp i
x
Operátory ostatních fyzikálních veličin se získávají tak, že se do klasického
definičního vztahu dosadí postulované operátory. Příklad: operátor celkové energie
+ +  ∂ ∂ ∂
= + = ⇒ = − − − + = − + ∂ ∂ ∂ 
ˆx y zp p p
E T U H i i i U U
m m x y z m
22 2 2 2
1
2 2 2
∆
Hodnoty, kterých může nabývat fyzikální veličina D reprezentovaná operátorem jsou
charakteristickými hodnotami tohoto operátoru, získané řešeních charakteristické rovnice:
ˆD
=ˆDf fD
f jsou charakteristické funkce, které slouží k výpočtu pravděpodobnosti příslušné hodnoty
v daném stavu, musí být jednoznačnéjednoznačné a kvadratickykvadraticky integrabilníintegrabilní
množina všech charakteristických hodnot se nazývá spektrum veličiny D
zL
= ⋅ +lnf i Cϕ
2. Kvantově-mechanický popis atomového obalu
2. 1. Základní pojmy a zákonitosti kvantové mechaniky
2. 1. 2. Hodnoty fyzikálních veličin
Spektrum může být: spojitéspojité (hybnost, souřadnice, čas, elektrický proud, …
diskrétnídiskrétní (moment hybnosti, elektrický náboj, …)
∂
= −
∂
ˆ
zL i
ϕ
Je-li charakteristická funkce příslušná charakteristické hodnotě , je
pravděpodobnost této hodnoty dána vztahem:
= ∫
*
di ifσ ψ τ
2
Příklad: nalezení všech možných hodnot složky momenty hybnosti:
if iD
kde je komplexně sdružená funkce k , je vlnová funkce popisující
daný stav, je element všech proměnných, integruje se přes
celý uvažovaný objem a symbol značí modul komplexního čísla
*
if if ψ
dτ
∂
− =
∂
f
i f
ϕ
zL =
−
d
d
f
f i
ϕzL
= ⋅
d
d
f
i
f
ϕzL zL
= ⋅e
i
f C
ϕ
kde m je celé číslo; tento vztah je 1. Bohrovým postulátem
zLzL
( )
( ) ( )
+     
⋅ = ⋅ = ⋅ + + +    
    
e e cos sin
i i
C C C i
ϕ ϕ π
ϕ π ϕ π
2
2 2
zL
zL
= ⋅mzL
jednoznačnost:
21
2. Kvantově-mechanický popis atomového obalu
2. 1. Základní pojmy a zákonitosti kvantové mechaniky
atom vodíku v základním stavu
−
= ⋅e
r
a
ψ
π
0
100
2
2. Kvantově-mechanický popis atomového obalu
2. 1. Základní pojmy a zákonitosti kvantové mechaniky
radiální hustota pravděpodobnosti výskytu ( )
−
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∫ ∫0
e sin d d
r
a
P r r
π π
υ υ ϕ
π
0
22
2
0
2
22
2. Kvantově-mechanický popis atomového obalu
2. 1. Základní pojmy a zákonitosti kvantové mechaniky
excitovaný stav atomu vodíku ( )
−    
 = ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ −   
     
2
e cos
r
ar r r
a a a
ψ υ
π
0
2
5 2
520
0 0 0
56 2 2 2
1 3
78125 15 525 11
1
2. Kvantově-mechanický popis atomového obalu
2. 1. Základní pojmy a zákonitosti kvantové mechaniky
2. 1. 2. Hodnoty fyzikálních veličin
souměřitelnost: V kvantové mechanice existují dvojice fyzikálních
veličin, které nejsou současně měřitelné s libovolnou přesností
(relace neurčitosti)
, xx p ,x yL L ,x zL L ,z yL L
23
2. Kvantově-mechanický popis atomového obalu
2. 1. Základní pojmy a zákonitosti kvantové mechaniky
2. 1. 3. Princip totožnosti a Pauliův vylučovací princip
Částice se stejnými fyzikálními vlastnostmi jsou
navzájem nerozlišitelnénerozlišitelné.
( ) ( )=, ,ψ ψ
2 2
1 12 2r r r r
nelze zjistit výměny dvou částic, tj. nesmí se změnit rozložení hustoty pravděpodobnosti
výskytu:
existují dvě možnosti, jak tento vztah splnit:
( ) ( )=, ,ψ ψ1 12 2r r r r
( ) ( )= −, ,r r r rψ ψ1 12 2
částice, které se řídí tímto vztahem jsou bosonybosony
částice, které se řídí tímto vztahem jsou fermionyfermiony
2. Kvantově-mechanický popis atomového obalu
2. 1. Základní pojmy a zákonitosti kvantové mechaniky
2. 1. 3. Princip totožnosti a Pauliův vylučovací princip
V soustavě stejnýchV soustavě stejných fermionůfermionů nemohou existovatnemohou existovat
22 fermionyfermiony v totožném stavu.v totožném stavu.
pro fermiony platí PauliůvPauliův vylučovací principvylučovací princip:
Wolfgang Pauli (1900-1958)
Enrico Fermi (1901-1954)
Paul Dirac (1902-1984)
24
2. Kvantově-mechanický popis atomového obalu
2. 1. Základní pojmy a zákonitosti kvantové mechaniky
2. 1. 4. Spektra fyzikálních veličin
energie E: =ˆ , liší se podle (silového pole)H E Uψ ψ
E spojitá (volná částice)
diskrétní (kvantovaná)
elektron v poli jádra:
jednorozměrná potenciálová jáma:
lineární harmonický oscilátor:
= − = , , ,....n
Z e
E n
h n
µ
ε
2 4
2 2 2
0
1
1 2 3
8
= − = , , ,....n
h
E n n
ma
2
2
2
1 2 3
8
 
= + = 
 
, , , ,....ν
1
0 1 2 3
2
nE n h n
poslední dva případy: E > 0
hybnost p: spojitá ve všech složkách, všechny složky souměřitelné
moment hybnosti L: složky i velikost kvantovány, složky vzájemně nesouměřitelné
= = ± ± ± ±, , , ,....,0 1 2 3zL m m l( )= ⋅ + ⋅ = , , , ,....,L l l l l1 0 1 2 3
2. Kvantově-mechanický popis atomového obalu
2. 1. Základní pojmy a zákonitosti kvantové mechaniky
2. 1. 5. Částice v jednorozměrné potenciálové jámě
spojitost v 0:
= ∞ < ∧ >0U x x a
x
U
0 a
I. II. III. = ∈ ,0 0U x a
+ =I. III. ψ 0
∂
− =
∂
II.
ψ
ψ
2 2
2
2
E
m x
= −
d
d
ψ
ψ
2
2 2
2mE
x
−
= + =e e kdeikx ikx mE
C C kψ 1 2
2
= +1 20 C C spojitost v a:
−
= +e e1 20 ika ika
C C
−
= − ⇒ = − ⇒ = ⇒ = = ± ± ±e e sin , , , ,...
π
1 2 0 0 2 0 1 2 3ika ika
n
n
C C i ka k n
a
−
= − = ⋅ = ⋅ = ⋅e e sin sin sin
π
ψ 1 1 12ikx ikx n
C C iC kx C kx C x
a
⇒ ≠ 0n
25
2. Kvantově-mechanický popis atomového obalu
2. 1. Základní pojmy a zákonitosti kvantové mechaniky
2. 1. 5. Částice v jednorozměrné potenciálové jámě
určení konstanty ve vlnové funkci
= ⇒nmEn
a
π 2
= ⋅n
h
E n
ma
2
2
2
8
= ⋅nE n
ma
π 2 2
2
2
2
= ⋅ sin
n
C x
a
π
ψ
podmínkou normování: = ⋅ =∫ ∫
*
d d
a a
x xψ ψ ψ
2
0 0
1
    
⋅ = − ⋅ −         
∫ ∫
a a
sin d cos d = sin =1
2 2
aa a
n n a n
C x x C x x C x
a a n a
π π π
π
2 2 22
00 0
1 1
2 2 2
0
=C
a
2
konečná podoba vlnové funkce: = ⋅ sinn
n
x
a a
π
ψ
2
2. Kvantově-mechanický popis atomového obalu
2. 2. Vlastnosti elektronu v atomovém obalu
stav elektronu je jednoznačně určen 4 kvantovými čísly:
n – hlavní kvantové číslo – určuje energii elektronu v poli jádra:
= − = , , ,....n
Z e
E n
h n
µ
ε
2 4
2 2 2
0
1
1 2 3
8
l – vedlejší kvantové číslo – velikost orbitálního momentu hybnosti:
( )= ⋅ + ⋅ = −, , , ,...,L l l l n1 0 1 2 3 1
m – magnetické kvantové číslo – složka orbitálního momentu hybnosti:
= ⋅ = − − + − −, ,..., , , ,... ,zL m m l l l l1 1 0 1 1
ms – spinové kvantové číslo – složka vlastního momentu hybnosti:
= ⋅ = − ,z s sS m m
1 1
2 2
26
2. Kvantově-mechanický popis atomového obalu
2. 2. Vlastnosti elektronu v atomovém obalu
Spin – souhrnné označení vlastností mikročástic, které souvisejí s existencí
vlastního momentu hybnosti. U klasických objektů vzniká vlastní moment hybnosti
rotací kolem osy procházející těžištěm. U mikročástic je tato vlastnost postulována
(spory s teorií relativity).
U každého momentu hybnosti může složka nabývat 2s + 1 hodnot, kde s je
kvantové číslo určující velikost momentu hybnosti. Protože v případě
spinového momentu hybnosti je 2s + 1 = 2, platí:
poznámky a komentář:
Proč není kvantována velikost spinového momentu hybnosti?
( )= ⇒ = ⋅ + ⋅ = ⋅s S s s
1 3
1
2 2
Podle velikosti n se elektrony dělí do slupek: K, L, M, N, …
Podle velikosti l se elektrony dělí do orbitů (drah): s, p, d, f, …
Nejznámější projevy spinu: dublety ve spektru (Na 589,0 nm + 589,6 nm), SternůvGerlachův
pokus
2. Kvantově-mechanický popis atomového obalu
2. 2. Vlastnosti elektronu v atomovém obalu
V elektronovém obalu atomu nemohou existovat dva
elektrony, které by měly všechna 4 kvantová čísla stejná.
Pauliův vylučovací princip pro elektrony v atomovém obalu:
-½112L
½112L
-½012L
½012L
-½-112L
½-112L
-½002L
½002L
-½001K
½001K
msmlnslupka
Výpočet maximálního počtu elektronů v n-té slupce:
( ) ( ){ }
−
=
 ⋅ + = ⋅ − + + = ∑
n
l
n
l n n
1
2
0
2 2 1 2 2 1 1 1 2
2
počet možných l
počet možných mss
počet možných m
27
2. Kvantově-mechanický popis atomového obalu
2. 3 Orbitální a spinový magnetický moment
Elektron s má orbitální moment hybnosti (v klasické fyzice je to spojeno s
křivočarým pohybem), má náboj (-e), z toho plyne, že se chová jako závit protékaný
stejnosměrným elektrickým proudem, proto má i orbitální magnetický moment.
Mikročástice mají vlastní moment hybnosti a vlastní magnetický moment (jako
postulát, později vyplynulo z relativistické kvantové teorie Diraca).
Poměr složek orbitálního magnetického momentu a orbitálního momenty hybnosti
je konstantní:
= − ⇒ = − ⋅z
z
z
M e e
M m
L m m0 02 2
= − =,z B B
e
M m
m
µ µ
02
−
= ⋅ ⋅ -1
, J T Bohrův magnetonBµ 24
9 27 10
= − ⇒ = − ⋅ = − ⋅sz
sz s s B
z
M e e
M m m
S m m
µ
0 0
2
≠l 0
2. Kvantově-mechanický popis atomového obalu
2. 4. Energie elektronu v atomovém obalu
Základním vztahem pro energii je energie elektronu v poli jádra:
= − = , , ,....n
Z e
E n
h n
µ
ε
2 4
2 2 2
0
1
1 2 3
8
I když je v obalu jediný elektron, není uvedená energie jediným příspěvkem k celkové
energii. Pokud má elektron nenulové vedlejší kvantové číslo, má i nenulový orbitální
magnetický moment. Protože má zároveň i spinový magnetický moment, vzniká
interakcí těchto momentů (které mohou být různě velké a různě orientované, přídavná
energie, která může nabývat 2l + 1 různých hodnot - spin-orbitální interakce – vysvětlení
jemné struktury spektrálních čar. Z toho vyplývá, že energie elektronu závisí i na
vedlejším, magnetickém a spinovém kvantovém čísle:
= + ∆n lsE E E
28
2. Kvantově-mechanický popis atomového obalu
2. 4. Energie elektronu v atomovém obalu
V obalu je více elektronů: k předchozí energii přispupují další přídavné energie,
které vznikají interakcí elektronů mezi sebou:
Coulombovská interakce elektronů mezi sebou
↔i jl linterakce orbitálních magnetických momentů
interakce orbitálních a spinových magnetických momentů
výměnné interakce
interakce
interakce
interakce orbitálních a spinových magnetických momentů elektronů s magnetickým
momentem jádra
↔i jl s
↔i il s
↔i js s
2. Kvantově-mechanický popis atomového obalu
2. 5. Periodická soustava prvků
1869 Mendělejev
Dimitrij Ivanovič
Mendělejev (1834-1907)
Prvky vypsal spolu s atomovými „vahami“
na papírky, seřazoval je do řádek. Když
narazil na skokovou změnu v chemických a
fyzikálních vlastnostech (F-Na, Cl-K), začal
novou řádku. Hlavním úspěchem tohoto
uspořádání byla předpověď nových prvků:
ekaaluminium – gallium
ekabór – scandium
ekasalicium – germanium
29
2. Kvantově-mechanický popis atomového obalu
2. 5. Periodická soustava prvků
Hundova pravidla: pořadí zaplňování stavů se řídí součtem n + l , jsou-li 2 kombinace
rovny, přednost má kombinace s menším n; pokud je to možné, zaujímají elektrony
stavy se stejným ms
1s 1
2s 2
2p 3s 3
3p 4s 4
3d 4p 5s 5
4d 5p 6s 6
4f 5d 6p 7s 7
5f 6d 7p 8s 8
1s 2
2s, 2p 2 + 6 = 8
3s, 3p 2 + 6 = 8
4s, 3d, 4p 2 +10 + 6 = 18
5s, 4d, 5p 2 +10 + 6 = 18
6s, 4f, 5d, 6p 2 +14 +10 + 6 = 32
7s, 5f, 6d, 7p 2 +14 +10 + 6 = 32
valenční sféra, valenční elektrony:
chemické vlastnosti
elektronový oktet sp: netečné plyny
alkalické kovy
halogeny
lanthanoidy
aktinoidy
→57 71La Lu
→89 103Ac Lw
2. Kvantově-mechanický popis atomového obalu
2. 6. Vektorový model atomu
zabývá se energií elektronového obalu pro atomy s více elektrony bez ohledu na
velikosti jednotlivých kvantových čísel elektronů
Základní myšlenka: 1 elektron má 2 momenty hybnosti, které nejsou dokonale poznatelné,
můžeme určit jen velikost a jednu složku. Součet těchto vektorů by byl „rozmazán“ daleko
více než kterýkoli z původních vektorů.
L
S
J
zL
zS
30
2. Kvantově-mechanický popis atomového obalu
2. 6. Vektorový model atomu
Celkový (úhrnný) moment hybnosti musí být kvantován jako každý jiný moment hybnosti:
( )= ⋅ + ⋅ =z jJ j j J m1
Velikost orbitálního momentu hybnosti je dána kvantovým číslem l, spinový může vůči
němu zaujímat dva různé směry. Kvantové číslo j proto nabývá nejvýše dvou hodnot:
 
= + − = = 
 
, při je pouzej l l l j
1 1 1
0
2 2 2
Kvantové číslo mj pak může nabývat 2j + 1 hodnot:
= − − + − + −, ,..., , ,..., ,jm j j j j
1 1
1 1
2 2
Pro N elektronů je zavedení celkového momentu hybnosti všech elektronů ještě
významnější, protože změna energie elektronového obalu závisí na změnách celého obalu.
Při určování celkového momentu hybnosti elektronového obalu je vzhledem k neurčitosti
možné použít dvou postupů:
2. Kvantově-mechanický popis atomového obalu
2. 6. Vektorový model atomu
Pro lehčí atomy je vhodnější způsob označovaný LS:
= = = +∑ ∑i iL L S S J L S
Pro těžší atomy je vhodnější způsob označovaný jj:
= = ∑+i i i iJ L S J J
Kvantování všech 3 momentů hybnosti elektronového obalu:
( )= ⋅ + ⋅ =z SS S m1S S
( )= ⋅ + ⋅ =z JJ J m1J J
( )= ⋅ + ⋅ =z LL L m1L L = = − − +∑, , ,..., ,..., , , ,...,i LL l m L L0 1 2 1 0 1
= = − +
= = − − +
pro sudé: , , ,..., ,...,- , , ,...,
pro liché: , ,..., ,..., , ,...,
S
S
n
n S m S
n
n S m S
0 1 2 1 0 1
2
1 3 1 1
2 2 2 2 2
S
S
= + + − − = − − + −, ,..., , ,..., ,JJ L S L S L S m J J J J1 1
+ > +hodnot pro , hodnot proS L S L2 1 2 1
1
>S L
31
2. Kvantově-mechanický popis atomového obalu
2. 6. Vektorový model atomu
Stavy s různými čísly L, S, J mají různé energie.
Ne všechny kombinace trojic LSJ jsou možné (Puliův vylučovací princip).
Příklad:
Plně obsazené orbity k L, S, J nepřispívají (opačné orientace se odečtou).
2 elektrony na orbitě p (l = 1)
teoreticky: L = 0, 1, 2
S = 0, 1
J = 0, 1, 2, 3
24 stavů
ve skutečnosti: = = ±
= = ±
= − = ±
,
,
,
s
s
s
m m
m m
m m
1
2
1
2
1
2
1
0
1
⋅
= stavů
6 5
15
2
Kolika různých energií mohou tyto stavy nabývat?
Označení energetické hladiny: term ( ) +S
Jn L2 1
multiplicita
značí se písmeny S, P, D, …
2. Kvantově-mechanický popis atomového obalu
2. 6. Vektorový model atomu
Kolika různých energií mohou tyto stavy nabývat?
m1 m2 sm 1 sm 2
L S J term
1 1 ↑ ↓ 2 0 2 D1
2
1 0 ↑ ↑ 1 1 2 P3
2
1 0 ↓ ↓ 1 1 0 P3
0
1 0 ↑ ↓ 1 0 1 P1
1
1 0 ↓ ↑ 1 0 1 P1
1
1 -1 ↑ ↑ 0 1 1 S3
1
1 -1 ↓ ↓ 0 1 1 S3
1
1 -1 ↑ ↓ 0 0 0 S1
0
1 -1 ↓ ↑ 0 0 0 S1
0
0 0 ↑ ↓ 0 0 0 S1
0
-1 0 ↑ ↑ 1 1 0 P3
0
-1 0 ↓ ↓ 1 1 2 P3
2
-1 0 ↑ ↓ 1 0 1 P1
1
-1 0 ↓ ↑ 1 0 1 P1
1
-1 -1 ↑ ↓ 2 0 2 D1
2
základní term
(s minimální energií)
32
2. Kvantově-mechanický popis atomového obalu
2. 6. Vektorový model atomu
Pořadí příspěvků k energii od vzájemných interakcí:
Pro lehčí atomy LS: Pro těžší atomy jj:
1. výměnná energie
2. Coulombovské odpuzování
3. spin-orbitální interakce
1. spin-orbitální interakce
2. Coulombovské odpuzování
3. výměnná energie
3. spektra atomů
3. 1. Optická spektra
Vznikají přechody valenčních elektronů.
Intenzity čar jsou dány pravděpodobností přechodů, které závisejí na způsobu excitace.
Přesné výpočty umožňuje kvantová elektrodynamika využívající časového poruchového
počtu.
3. 1. 1. Výběrová pravidla
Podle výpočtů kvantové mechaniky jsou pravděpodobnosti některých přechodů nulové takovým
přechodům se říká zakázané přechody.
∆ = ±
∆ = ±
∆ =
,
s
l
m
m
1
0 1
0
∆ =
∆ = ±
∆ = ± = → =
,
, s výjimkou
S
L
J J
0
0 1
0 1 0 0J
pro stav s více elektrony:
33
3. Spektra atomů
Příklad na použití výběrových pravidel:
3. 1. 1. Výběrová pravidla
jde o přechod z n = 3 na hladinu n = 2, u jednoho elektronu jsou velká kvantová čísla
totožná s malými
Kolik čar má jemná struktura čáry ?Hα
jeden elektron na n = 3 může být ve stavech daných kvantovými čísly:
= = = ±, , ; ;L S J L1 1
2 2
0 1 2
na n = 2 může být ve stavech daných kvantovými čísly:
= = = ±, ; ;L S J L1 1
2 2
0 1
povolené přechody mezi termy:
∆ = ± ⇒ → → →S P, P S, D Pl 1
∆ ≤ ⇒ →J
5 3
1
2 2
přechody zakázané podle:
přechody zakázané podle: ∆ ≠l 0
přechod zakázaný podle: ∆ ≠l 2
S P P D D1 1 53 3
2 2 22 2
2 2 2 2 2
S P P1 1 3
2 2 2
2 2 2
Sledovaná čára se skládá ze 7 čar jemné struktury: Lambův posuv.
3. Spektra atomů
3. 1. 1. Výběrová pravidla Schéma energetických hladin a
povolených přechodů pro valenční
elektron sodíku. Ve sloupcích jsou
řazeny energetické hladiny podle
hlavního kvantového čísla, sloupce
odpovídají jednotlivým termům.
Sodíkový dublet: dvě
žluté čáry stejné intenzity
s velmi blízkou vlnovou
délkou. Nepatrná
odlišnost energie termů
a je důsledkem
rozdílné interakce mezi
spinovým a orbitálním
momentem (projev
spinu).
P3
2
2
P1
2
2
34
3. Spektra atomů
3. 1. 2. Výměnné síly Schéma energetických hladin a
povolených přechodů pro helium. Je
nutné oddělit stavy s S = 0
(parahelium) a stavy s S = 1
(ortohelium). Vzhledem k výběrovému
pravidlu pro S nejsou mezi nimi
povolené přechody.
Coulombovské síly mezi elektrony
jsou v obou případech stejné, rozdíly v
energiích jsou tedy dány odlišnými
interakcemi mezi stavy s paralelními
spiny: nebo a spiny
antiparalelními . Interakce
spinových magnetických momentů
jsou přitom slabší než rozdíly energií.
Jediné vysvětlení: výměnné síly.
Toto je zakázaný přechod, který se
může uskutečnit jen při srážce dvou
atomů, při které dojde k výměně
elektronů.
Spektrum hélia:
3. Spektra atomů
3. 1. 3. Magnetooptické jevy
Zeemanův jev (1896): štěpení spektrálních čar v magnetickém poli
Pieter Zeeman (1865-1943)
V magnetickém poli interagují oba magnetické
momenty elektronu s vnějším magnetickým polem.
Má=li vnější magnetostatické pole změr osy z:
∆ = +z szE M B M B
( )∆ = + = +B s B B sE m B m B B m mµ µ µ2 2
35
3. Spektra atomů
3. 1. 3. Magnetooptické jevy
( )∆ = + = +B s B B sE m B m B B m mµ µ µ2 2 ( )∆ = ∆ + ∆B
s
B
m m
h
µ
ν 2
( )= + ∆ + ∆B
s
B
m m
h
µ
ν ν0 2 Protože platí výběrová pravidla ∆ = ±
∆ =
,
s
m
m
0 1
0
při zářivém přechodu
budou frekvence odpovídající dovoleným přechodům:
=ν ν1 0 = + BB
h
µ
ν ν2 0 = − BB
h
µ
ν ν3 0
Původní spektrální čára se rozštěpí na 3 čáry, z nichž jedna bude na původním
místě, dvě budou symetricky odchýleny.
Normální Zeemanův jev
3. Spektra atomů
3. 1. 3. Magnetooptické jevy
Příspěvek k energii
rozštěpení na jiný počet čar:magnetické momenty se skládají jinak než momenty
hybnosti (poměr magnetických momentů je proti mechanickým dvojnásobný), proto
g je Landeeho faktor
Každý energentický stav se v magnetickém poli štěpí na 2J + 1 podstavů
Anomální Zeemanův jev
není rovnoběžný s Jµ
∆ = ⋅ J BE g m Bµ
( )= , ,g g L S J
sodíkový dublet
→P S1 1
2 2
2 2
→P S13
22
2 2 4 + 2, 8 kombinací – 2
(zakázané přechody) = 6 čar
2 + 2, 4 kombinace = 4 čáry
36
3. Spektra atomů
3. 1. 4. Spontánní a vynucené přechody
spontánní, pravděpodobnost
emisní přechod
doba života excit. stavu
celková pravděpodobnost emisního přechodu:
k
kiA
pravděpodobnost přechodu
i
−
s8
10
vynucený (indukovaná emise), vzniká dopadem
fotonu s energií = −k ih E Eν
( )⋅ kiu Bν
( )+ ⋅ki kiA u Bν
absorpční přechod
k
i
pouze vynucený, pravděpodobnost ( )⋅ iku Bν
, ,ki ki ikA B B Einsteinovy koeficienty
platí: =ki ikB B
Pravděpodobnost emise je vždy větší než pravděpodobnost absorpce.
3. Spektra atomů
3. 1. 4. Spontánní a vynucené přechody
Předchozí tvrzení platí pro libovolné 2 hladiny, v tříhladinovém systému je možné
dosáhnout inverzního stavu.
zakázaný přechod (nelze ho
uskutečnit bez přítomnosti třetí
částice, spontánní emise je
nemožná)
metastabilní hladina, doba života ~ 1 s
základní stav
excitované stavy
čerpání – intenzivní absorpce
spontánní emise
vynucená emise
Záření produkované vynucenou emisí je :
monochromatické
koherentní
kolimované
37
3. Spektra atomů
3. 1. 4. Spontánní a vynucené přechody
laser Light Amplification by Stimuled Emission of Radiation
maser Microwave
vhodná prostředí: rubín, CO2,
neodymové sklo, He+Ne,
GaAs (polovodičové lasery)
3. Spektra atomů
3. 2. Rentgenová spektra
1895 – Roentgen: elektromagnetické záření s kratšími vlnovými délkami než
ultrafialové: 10 až 0,01 nm
Wilhelm Conrad Röntgen (1845-1923)
ruka poraněná brokovnicí
38
3. Spektra atomů
3. 2. Rentgenová spektra
katoda
antikatoda
anoda
uspořádání podle Coolidge
3. Spektra atomů
3. 2. Rentgenová spektra
a) brzdné záření: spojité spektrum, nezávisí na materiálu antikatody
= ⇒ =min
hc
eU h
eU
ν λ
krátkovlnná hranice
= ⇒ =min25 kV , nmU λ 0 05
39
3. Spektra atomů
3. 2. Rentgenová spektra
b) charakteristické záření: čárové spektrum, závisí na materiálu antikatody
Kβ
Kα
Lα
Lβ
vznik: excitace elektronu v atomu
z vnitřních vrstev: série
≈ → ≈ →
≈ → ≈ →
L K M K
M L N L
K K
L L
α β
α β
frekvence čar charakteristického Roentgenova spektra popsal Moseley:
( )= ⋅ −C Zν ρ
konstanta čáry
vyjadřuje odstínění slupky,
ze které elektron přechází
od jádra
vztah je ve shodě se
vztahem Balmerovým:
( )−
= = ∆ i
i
Z
c n
ρν
σ
2
2
3. Spektra atomů
3. 3. Molekuly – stavba a spektrum
3. 3. 1. Stavba molekul
vazba: interakce elektronů ve valenční („vnější“) slupce
2 krajní případy vazeb: 1) iontová (heteropolární) - NaCl
2) kovalentní (homeopolární) – H2
soustava 2 atomů vodíku s elektrony, jejich spiny jsou paralelní a antiparalelní
40
41
3. Spektra atomů
3. 3. Molekuly – stavba a spektrum
3. 3. 1. Stavba molekul
stavba složitějších molekul – H2O
O – ve valenční slupce 6 elektronů: 2 ve stavu s (vykompenzovány, vazby se neúčastní)
4 ve stavu p: m = 0, 1, -1
m = 0 m = -1, +1
pro sdílení elektronů nejvhodnější
3. Spektra atomů
3. 3. Molekuly – stavba a spektrum
3. 3. 1. Stavba molekul
Stavy všech 4 p elektronů jsou různé, mají však prakticky stejnou energii. Kvantová
mechanika pak umožňuje sestavit další vlnové funkce lineární kombinací všech 6
možných stavů. Hustoty pravděpodobnosti těchto 6 možných stavů pak mají tvar
symetrický podle jednotlivých os:
42
3. Spektra atomů
3. 3. Molekuly – stavba a spektrum
3. 3. 1. Stavba molekul
Stavy všech 4 p elektronů jsou různé, mají však prakticky stejnou energii. Kvantová
mechanika pak umožňuje sestavit další vlnové funkce lineární kombinací všech 6
možných stavů. Hustoty pravděpodobnosti těchto 6 možných stavů pak mají tvar
symetrický podle jednotlivých os:
v jednom z rovnocenných „laloků“ musí být
dva elektrony s opačnými spiny, ten se vazby
neúčastní, ve zbylých lalocích je po jednom
elektronu s totožnými spiny
atom vodíku má jediný elektron ve stavu s,
které jsou kulově symetrické:
2 atomy vodíku se spiny elektronů opačnými,
než mají 2 samotné valenční elektrony
kyslíku se pak mohou vázat na atom kyslíku:
3. Spektra atomů
3. 3. Molekuly – stavba a spektrum
3. 3. 1. Stavba molekul
atomy vodíku by měly svírat úhel 90º,
ve skutečnosti se elektrony se
stejnými spiny 2 atomů vodíku
odpuzují, proto skutečný úhel je
104,5º
43
3. Spektra atomů
3. 3. Molekuly – stavba a spektrum
3. 3. 1. Stavba molekul
molekula metanu: CH4: uhlík v základním stavu 2mocný: 2s: 2p:
uhlík v excitovaném stavu 4mocný: 2s: 2p: , jedna vazba by měla být
odlišná
vysvětlení opět v kombinaci 4 vlnových
funkcí, lineární kombinaci stavů různých
orbitů nazýváme hybridizacíhybridizací
4 částečně obsazené orbity uhlíku míří do
vrcholů pravidelného 4stěnu, k nim se
vážou 4 atomy vodíku (sp3 hybridizace):
dosud popisované vazby souvisejí s
prolínáním oblaků hustoty
pravděpodobnosti, říkáme jim
vazbavazba σσ ((ss--p, sp, s--s, ps, p--pp))
3. Spektra atomů
3. 3. Molekuly – stavba a spektrum
3. 3. 1. Stavba molekul
etén: H2C=CH2: příklad sp2 hybridizace a ukázka vzniku vazby π
σ vazba s-p
σ vazba s-p
σ vazba s-p
σ vazba s-p
σ vazba p-p
π vazba
44
3. Spektra atomů
3. 3. Molekuly – stavba a spektrum
3. 3. 1. Stavba molekul
benzen: sp2 hybridizace na σ vazby mezi atomy uhlíku a vazbu C-H, orbity pz vytvoří
celkovou vazbu π nad všemi atomy uhlíku
3. Spektra atomů
3. 3. Molekuly – stavba a spektrum
3. 3. 2. Molekulová spektra
K dosavadní energii jednoatomové molekuly – EC – energie elektronové konfigurace,
která je mnohem složitější vlivem interakcí mezi elektrony jednotlivých atomů, se
přičítají další 2 energie:
Er – energie rotace molekuly kolem osy procházející těžištěm,
Eo – energie kmitání (oscilace)
N atomů v molekule má 3N stupňů volnosti:
3 pro translaci (souřadnice těžiště),
2-3 pro rotaci (lineární x nelineární molekula),
3N-(5 nebo 6) pro oscilace.
( )( )+ ⋅ 
= + + ⋅ + 
 
C v
J J
E E v
I
ν
2
11
2 2
je zjednodušený vztah pro celkovou energii molekuly:
je vibrační kvantové číslo,= , , ,...v 0 1 2
= , , ,...J 0 1 2 je vnitřní kvantové číslo celé molekuly.
vν je kmitočet vibrací,
45
3. Spektra atomů
3. 3. Molekuly – stavba a spektrum
3. 3. 2. Molekulová spektra
z výpočtů:
další komplikace: I (moment setrvačnosti) je závislý na kmitání,
v není celočíselné, protože vazebné síly nejsou přesně elastické
∆ ∆ ∆C o rE E E
vliv na hladiny:
CE
+ +C o rE E E
+C oE E
=v1 0
=v1 1
z jedné čáry vzniká molekulární pás čar
3. Spektra atomů
3. 3. Molekuly – stavba a spektrum
3. 3. 2. Molekulová spektra
a) rotační pásy – vznikají přechody mezi různými rotačními stavy: = =konst. konst.C oE E
velmi malá energie, vlnové délky velmi vysoké (daleká IR oblast až radiové vlny:
HCl 0,5 mm)
výběrové pravidlo ∆ = ±J 1
b) vibrační pásy – vzhledem k jsou vždy doprovázeny rotačními přechody,
proto někdy vibračně-rotační pásy, řídí se výběrovým pravidlem
∆ ∆o rE E
∆ = ±v 1
c) elektronově-vibrační pásy – vzhledem k jsou vždy doprovázeny
vibračními i rotačními přechody, řídí se výběrovým pravidlem
∆ ∆ ∆C o rE E E
∆ = ± = →,J J0 1 0 =J 0
46
4. Atomové jádro
4. 1. Hmotnost atomových jader
Hmotnosti atomů jsou v poměru malých celých čísel, protože téměř celá hmotnost
atomu je v jádře, musí být hmotnosti jader vyjádřitelné přibližně násobkem jisté malé
hmotnosti.
atomová hmotnostní jednotka
z definice (1/12 hmotnosti neutrálního atomu uhlíku 12) vyplývá:
−
= ⋅ ≈, kg , MeVu 27
1 660 43 10 931 478
−
=
a
u
N
3
10
Na Avogadrovo číslo
relativní atomová hmotnost:
A
Z X
= a
r
m
A
u
nukleonové (hmotnostní) číslo: = +  ,rA A 0 5 [ ] – celá část
označení konkrétního jádra (atomu):
4. Atomové jádro
4. 1. Hmotnost atomových jader
obecně vychází jejich princip z chování nabité částice s hmotností m a s nábojem q,
která se pohybuje v kombinaci elektrického a magnetického pole:
{ } = ⋅ + ×
 
je intenzita elektrického pole
je magnetická indukce
mr q E r B E
B
trajektorie závisí na poměru (specifickém náboji)
q
m
atomy je nutné ionizovat: ideálním zdrojem jsou anodové (kanálové) paprsky
měření hmotnosti atomů: hmotnostní spektrografyhmotnostní spektrografy
47
4. Atomové jádro
4. 1. Hmotnost atomových jader
1913: příčné a příčné rovnoběžnéE B
N
S
+
-
E
B
různé hodnoty
různé rychlosti
zdroj kladných iontů
q
m
VN
ThomsonůvThomsonův hmotnostní spektrografhmotnostní spektrograf
4. Atomové jádro
4. 1. Hmotnost atomových jader
1918: příčné a příčné kolméE B
+
-
stínítko
zdroj kladných
iontů
E
B
různé hodnoty
q
m
různé rychlosti
zlepšení: místo dopadu nezávisí na rychlosti
iontu (fokusace magnetickým polem)
skutečné provedení z roku 1919
AstonůvAstonův hmotnostní spektrografhmotnostní spektrograf
48
4. Atomové jádro
4. 1. Hmotnost atomových jader
BainbridgeůvBainbridgeův hmotnostní spektrografhmotnostní spektrograf
filtr rychlostí
⋅ − ⋅ ⋅ =q E q v B0 0
B
+
-
=
E
v
B0
<v v0
>v v0
4. Atomové jádro
4. 1. Hmotnost atomových jader
B
magnetický
analyzátor
= ⋅ ⋅
mv
q v B
r
2
0
0
=
mv
r
qB
0
r
49
4. Atomové jádro
4. 1. Hmotnost atomových jader
filtr rychlostí – malá
účinnost, zde se ionty
získávají s nepatrnou
energií a urychlují se:
= ⋅
mv
q U
2
2
+
BleakneyůvBleakneyův
hmotnostní spektrografhmotnostní spektrograf
= ⋅ ⋅
mv
q v B
r
2
⋅ ⋅
=
q r B
v
m
= ⋅
mr q B
q U
m
2 2 2
2
2
=
m r B
q U
2 2
2
separace izotopů
U
B
r
1 hypotéza: jádro tvoří A protonů a A – Z elektronů:
4. Atomové jádro
4. 2. Vývoj představ o složení jader
1896 Becquerel – radioaktivní záření – z některých atomů vycházejí elektrony s
energiemi až 1 MeV, ty nemohou pocházet z obalu, musejí vycházet z jádra
XA
Z
celkový náboj: ( ) ( )⋅ + − ⋅ − =A e A Z e Ze
tato představa vede ke dvěma sporům:
Jádro obsahuje podle hypotézy celkem 21 částic (14 protonů a 7 elektronů),
všechny částice jsou fermiony, jádro by mělo být také fermionem a skupina jader
by se měla řídit statistickým rozdělení Fermiho-Diracovým a podléhat Pauliho
vylučovacímu principu.
14
7N
z experimentů: jádro je bosonem – dusíková katastrofadusíková katastrofa
2. spor vyplývá z relací neurčitosti: má-li být elektron lokalizován v jádře s
rozměrem 10-15 m, musí být jeho neurčitost v hybnosti:
− −
∆ ≥ ≅ ⋅ ⋅ ⋅
∆
kg m sxp
x
20 1
5 10
2
proto jeho energie může dosahovat:
( ) −
= ∆ + − ≅ ⋅ =, J MeVk xW p c W W
2 2 2 11
0 0 1 4 10 100 z beta rozpadu však jen ~ 1 MeV
50
4. Atomové jádro
4. 2. Vývoj představ o složení jader
1931 – Ivaněnko a Heisenberg: teorie o neutronu
1932 – experimentální důkaz:
Chadwick
9
4Be He C n+ → +4 12 1
2 6 0
Werner Heisenberg (1901-1976)
James Chadwick (1891-1974)
4. Atomové jádro
4. 2. Vývoj představ o složení jader
XA
Z
obsahuje Z protonů A – Z neutronů ( obsahuje tedy pouze 14 fermionů, proto
je bosonem)
14
7N
XA
Z
obecný název pro konkrétní hodnoty: nuklidnuklid
skupiny nuklidů se stejným Z: izotopyizotopy daného prvku
skupiny nuklidů se stejným A: izobaryizobary
skupiny nuklidů se stejným A - Z: izotonyizotony
1836,5stabilní½0,5110045,4893·10-4elektron
1,91918 ± 14½939,57311,008 665 2neutron
2,79> 10-37½938,27961,007 276 61proton
mag. moment /doba života / sspinmc2 / MeVm / učástice Jµ
− −
= = ⋅ ⋅, J TJ
p
e
m
µ 27 1
5 0505 10
2
jaderný magneton
nukleony
51
4. Atomové jádro
4. 3. Vazebná energie
( )= ⋅ + − −H n JB Z m c A Z m c m c2 2 2
hmotnost atomu vodíku hmotnost neutronu hmotnost jádra
vazebné energie elektronů lze zanedbat ~ 1000 eV
B
A
vazebná energie na 1 nukleon
B
c2
hmotnostní deficit
B
A
míra stability jádra (energie, kterou by bylo nutné vynaložit k rozložení jádra na
jednotlivé nukleony
síly způsobující přitažlivou interakci mezi nukleony: jaderné sílyjaderné síly (jedny za 4
základních sil v přírodě)
kdyby měly jaderné síly stejný charakter jako síly gravitační, muselo by lineárně
vzrůstat s velikostí (byly by nenasycené)
B
A
A
4. Atomové jádro
4. 3. Vazebná energie
nasycenost jaderných sil ~ omezený dosah
pokles pro velké A: vliv rostoucích odpudivých Coulombovských sil mezi protony
z grafu: dvě možnosti uvolňování jaderné energie: slučování (syntéza lehkých jader a
štěpení těžkých jader)
nasycenost jaderných sil ~ nasycení kovalentní vazby, stejný charakter, tj. výměnné síly
52
4. Atomové jádro
4. 4. Jaderné síly
anomální Rutherfordův rozptyl: u lehkých jader rozptylujícího prvku docházelo k změně
energie částice alfa, z toho vyplynulo, že dosah jaderných sil, do jejichž vlivu se částice
alfa dostala je menší než 10-14 m
Základní vlastnosti jaderných sil:
1. mají krátký dosah1. mají krátký dosah
/ fmr
/ MeVU
2,51,50,4
p-n, n-n
p-p
4. Atomové jádro
4. 4. Jaderné síly
Vyplývá to jednak z grafu vazebné energie na jeden nukleon, jednak z krátkého dosahu:
jeden nukleon se váže pouze s nukleony, které jsou v dosahu jaderných sil.
2. jsou nábojově nezávislé2. jsou nábojově nezávislé
3. dosahují nasycení3. dosahují nasycení
4. jsou4. jsou spinověspinově závislézávislé
5. mají tenzorový charakter5. mají tenzorový charakter
Jaderné síly závisejí nejen na orientaci spinů nukleonů, ale i na úhly mezi těmito
momenty hybnosti a jejich spojnicí.
Podstata jaderných sil: 1935 Yukawa
Hideki Yukawa (1907-1981)
( )
−
= −
e r
U r g
r
α
je konstanta
je vzdálenost nukleonů
1
je parametr s rozměrem délky
g
r
α
53
4. Atomové jádro
4. 4. Jaderné síly
vlastnosti jaderných sil naznačují, že jde o výměnné síly, je vlnová délka
zprostředkující částice dělená 2π:
Zprostředkující částice má hmotnost mezi elektronem a nukleonem, Yukawa ji nazval
mezonmezon
experimentální objev těchto částic: 1947, protože bylo později objeveno více částic
tohoto typu, dnes mezonmezon ππ ((pionpion))
1
α
=
1
mcα
2,5 fm
1,5 fm
−
−
−
⋅
= = = ⋅ =
⋅ ⋅ ⋅
,
, kg
,
em m
c
α
34
28
15 8
1 05 10
2 34 10 257
1 1 5 10 3 10
+ +
− −
→ + + →
→ + + →
p n n p
n p p n
π π
π π → + + →
→ + + →
p p p p
n n n n
π π
π π
0 0
0 0
tyto interakce se neuskutečňují, doba života
π0 je o 8 řádů kratší (~10-16 s)
4. Atomové jádro
4. 4. Jaderné síly
Odhad hmotnosti mezonu π je možné provést i na základě relací neurčitosti:
za předpokladu, že mezon přelétá maximální
možnou rychlostí: ~c, lze psát:
tj. polovina odhadu z Yukawovy vlnové délky. Skutečná hmotnost pionu je 273 me.
−
∆ = ⋅ ∆ = ⋅, mx c t 15
1 5 10 ∆ ⋅ ∆ ≅ ∆ = ⋅E t E m cπ
2
2
( )
−
≅ = = ⋅ =
⋅ ⋅ ∆ ⋅ ∆
, kg em m
c c t c x
π
28
1 2 10 118
2 2
Z interakcí vyplývá, že spin pionu je 0. Je to tedy boson.
2,5 fm
1,5 fm
54
4. Atomové jádro
4. 4. Jaderné síly
Další vlastnosti jaderných sil:
Separační energie je nergie potřebná k odtržení neutronu nebo protonu od jádra.
Charakteristiky jádra jsou: A počet nukleonů, Z počet protonů, A-Z počet neutronů.
Párová energie je rozdíl dvou sousedních separačních energií:
( ) ( ) ( ) ( ) = − + − ⋅ = − − , , , ,n nS m Z N m m Z N c B Z N B Z N2
1 1
Separační energie vykazuje maxima obdobná maximům ionizační energie u
elektronových oblaků.. Extrémně stabilní jsou jádra, u kterých počet protonů, neutronů
nebo nukleonů dosahuje některého z magických čísel:
( ) ( )= − −, ,n n nS Z N S Z Nδ 1
2, 8, 20, 28, 50, 82, 126
4
2He
16
8 O
40
20 Ca
+ dalších 5 stabilních izotopů
58
28Ni
120
50 Sn
+ 4
+ 9 208
82Pb
238
92U
209
83Bi
V jádře musí existovat také jakási
slupková struktura s kvantovanými
energiemi.
Další vlastnosti jaderných sil:
4. Atomové jádro
4. 4. Jaderné síly
55
4. Atomové jádro
4. 5. Kapkový model jádra
z různých experimentů pro poloměr jádra: −
= ⋅ = ⋅, mR r A r
1
153
0 0 1 25 10
Objem jádra je úměrný počtu nukleonů, nukleony se chovají jako nestlačitelné, jádro se
chová jako kulová kapka nestlačitelné jaderné kapaliny.
Z této představy a dalších experimentů lze sestavit poloempirickou formuli pro výpočet
hmotnosti jader (pro vazebnou energii):
a) Pro většinu jader platí, že je zhruba konstantní,
B
A
proto můžeme vyjádřit v nejhrubším přiblížení:
= ⋅ , je konstanta objemové energieV VB a A a B1 1
b) Nukleony na povrchu „kapky“ se mohou vázat, jen s omezeným počtem dalších
nukleonů, vazebná energie se snižuje:
= − ⋅ , je konstanta povrchové energieS SB a A a B
2
3
2 2
c) Vazebná energie se snižuje odpudivou Coulombovskou silou mezi protony:
−
= − ⋅ , je konstanta Coulombovské energieC CB a Z A a B
1
2 3
3 3
4. Atomové jádro
4. 5. Kapkový model jádra
d) Při malých hodnotách A je jádro nejstabilnější, je-li Z = A/2
e) Z hodnot separačních energií vyplývá, že nejstabilnější jádra mají sudý počet
protonů a sudý počet neutronů – jsou sudosudo--sudásudá.
 
− 
 = − ⋅ , je konstanta asymetrické energiea a
A
Z
B a a B
A
2
4 4
2
=
= ∑ i
i
B B
5
1
Poznámka: existují jen 4 stabilní licholicho--lichálichá jádra:
( ) ( )
−
  
−  
  = + − + − + + ⋅ + −
 
 
 
, H n V S C a
A
Z
m Z A Zm A Z m a A a A a Z A a B
Ac
2
2 1
23 3
52
1 2
= , pro ls a sl jádra, je konstanta paritní energiepB a5 50 B
−
⋅ , pro jádra sspa A
1
3
−
− ⋅ , pro jádra llpa A
1
3
2 6 10 14
1 3 5 7H, Li, B, N
Vazebná energie jádra:
Hmotnost jádra:
56
4. Atomové jádro
4. 5. Kapkový model jádra
poslední vztah je tzv. Weizsäckerova formule pro výpočet hmotnosti jader. Pro A>30
je přesnost lepší než 1 %
Carl-Friedrich von Weizsäcker (1912-)
= =
= =
=
, MeV, , MeV,
, MeV, , MeV,
, MeV,
V S
C a
p
a a
a a
a
15 75 17 8
0 711 93 2
11 2
4. Atomové jádro
4. 6. Moment hybnosti atomového jádra
O existenci svědčí velmi jemná struktura spektrálních čar (hyperjemná), vznikající
interakcí magnetických momentů elektronu v obalu s magnetickým momentem jádra.
Vzhledem ke kvantovému charakteru stavu elektronů je opět moment hybnosti jádra
dán kombinací dílčích orbitálních momentů hybnosti jehož průmět je vždy
celočíselným násobkem a spinovým momentem hybnosti , jehož průmět je
vždy poločíselný (nukleony jsou fermiony).
il
is
Celkový moment hybnosti i-tého nukleonu: = +i i ij l s
Celkový moment hybnosti jádra:
=
= +∑
A
i i
i
J l s
1
Tento moment hybnosti musí být kvantován podle obecných vztahů:
( )= ⋅ + =z IJ I I J m
2
1
, , , ,... pro licho-lichá járda
... pro s-l a l-s járda
, , ,
pro sudo-sudá járda
I
0 1 2 3
3 51
2 2 2
0
= − − + −, ,...., ,Im I i I I1 1
ČČísluíslu II se říká spin jádra.se říká spin jádra.
57
4. Atomové jádro
4. 7. Magnetický moment jádra
Moment hybnosti + náboj ⇒ magnetický moment jádra.
= jg Jµ µ
proton: neutron:
je gyromagnetický faktor, není kvantován, nabývá hodnot - 4 až + 6g
− −
= = ⋅ ⋅, J TJ
p
e
m
µ 27 1
5 0505 10
2
= ,g 5 58 = − ,g 3 82
⇒není kvantován možnost analýzyg
NMR – nukleární magnetická rezonance (jaderná m. r.) - tomografy
4. Atomové jádro
4. 7. Magnetický moment jádra
Princip NMR: zkoumaná látka se umístí do magnetostatického pole, jádro změní
energii o:
= − ⋅ = − zW B Bµ µ (je-li magnetické pole orientováno ve směru osy z)
dosazením za složku jaderného magnetického momentu:
= − ⋅J IW g m Bµ
=z J Ig mµ µ
µI může nabývat 2I + 1 hodnot
rozdíl dvou sousedních energií: ∆ = ⋅JW g Bµ
měření ∆W (a tím i g): na vzorek se vyšle paprsek kolmý k magnetostatickému poli,
jestliže
< ∆h Wν nedochází k absorpci, jestliže = ∆h Wν je absorpce maximální, pak
lze měřením frekvence zjistit velikost g a tím identifikovat atom
Při známém g lze měřit magnetickou indukci.
58
4. Atomové jádro
4. 7. Magnetický moment jádra
4. Atomové jádro
4. 8. Slupkový model jádra
1949 Mayerová, Jensen
2, 8, 20, 28, 50, 82, 126
počty elektronů ve slupkách:
2, 6, 12, 8, 22, 32, 44
59
4. Atomové jádro
4. 8. Slupkový model jádra
slupkový model vysvětlil:
• velikost jaderných sil
• velikost magnetického momentu jader
• stabilita, nebo radioaktivita
5. Radioaktivita
5. 1. Objev, základní vlastnosti záření
1896 Henri Antoine Becqurel (1852-1908)
• z některých látek vychází neviditelné pronikavé záření
• záření má 3 složky
• nedá se ovlivnit žádnými fyzikálními ani chemickými
procesy
• po roce 1911 ⇒ musí pocházet z jádra atomu
• Rutherford: je pouze průvodním jevem přeměny jader
60
5. Radioaktivita
5. 1. Objev, základní vlastnosti záření
zobrazovací
detektory
způsob šíření
detektoryvelká – nedá
se odstínit
3-5 mm Al5 cm vzduch,
0,1 mm Al
pronikavost
detektory160 - 100105
schopnost
ionizace / i. p. /
cm vzduchu
hmot. spektroskopyc0,3 – 0,998 crychlost
v magnetickém poli0-e+2enáboj
způsob zjištěníγβαvlastnost
6 1
20 10 m s−
⋅ ⋅
5. Radioaktivita
5. 2. Rozpadový zákon
přeměny jader typu α, β – v procesu je skryta obrovská energie
jeden rozpad jádra uranu 5 MeV, v 1 gramu je 2,5·1021 atomů, při úplném rozpadu by se
uvolnila energie 12,5·1027 eV = 2·109 J = 550 kWh
hledaly se způsoby, jak rozpad urychlit, nedá se však ničím ovlivnit
aktivita: počet rozpadů za 1 s: A, jednotkou je
1 becquerel = 1 bq = 1 rozpad za sekundu
aktivita závisí pouze na druhu radioaktivního se jádra a na počtu jader N:
= − =
d
d
N
A N
t
λ
rozpadová konstanta, pro různé nuklidy 10-30 až 1020 s-1
z diferenciální rovnice ⇒ rozpadový zákon
−
= ⋅e t
N N λ
0
−
= ⋅e t
A N λ
λ 0
61
5. Radioaktivita
5. 2. Rozpadový zákon
Místo nepraktické rozpadové konstanty se spíše používá „poločas rozpadu“: T - doba,
za kterou se rozpadne právě polovina původního počtu radioaktivních atomů.
−
= ⋅e TN
N λ0
0
2
=
ln
T
λ
2
pro různé nuklidy je T od 10-20 s do 1020 roků
střední doba života =τ
λ
1
problém: proč se nerozpadnou najednou všechny
radioaktivní atomy?
pravděpodobnostní charakter rozpadu napovídá,
že se jedná o kvantově mechanické děje:
• α rozpad je tunelovým jevem
• β rozpad je projevem slabých interakcí
5. Radioaktivita
5. 3. Radioaktivní přeměny
Rutherford: radioaktivní záření je projevem přeměny (rozpadu) atomových jader.
→ +A A - 4 4
Z Z - 2 2α: X Y α
α
přirozená radioaktivita: radioaktivita nuklidů vyskytujících se v přírodě
nejtěžší stabilní nuklid: od jsou všechny prvky radioaktivní
A se při obou druzích radioaktivní přeměny mění buď o 4 nebo se nemění.
−
→ + +
β
A A 0
Z Z+1 -1β: X Y β ν0
0
209
83Bi 84Po
přirozeně radioaktivní nuklidy jsou proto součástí 4 radioaktivních řad:
• řada typu 4n: thoriová
• řada typu 4n+1: neptuniová
• řada typu 4n+2: uranová
• řada typu 4n+3: aktiniová
→232 208
90 82Th Pb
→241 209
94 83Pu Bi
→238 206
92 82U Pb
→235 207
92 82U Pb
v přírodě již neexistuje
lze jednoduše vypočítat, ke kolika přeměnám α a ke kolika přeměnám β v řadě došlo
62
5. Radioaktivita
5. 3. Radioaktivní přeměny
• řada typu 4n: thoriová
→232 208
90 82Th Pb
→241 209
94 83Pu Bi
→238 206
92 82U Pb
→235 207
92 82U Pb
v přírodě již neexistuje
lze jednoduše vypočítat, ke kolika přeměnám α a ke kolika přeměnám β v řadě došlo
• řada typu 4n+1: neptuniová
• řada typu 4n+3: aktiniová
• řada typu 4n+2: uranová
5. Radioaktivita
5. 3. Radioaktivní přeměny
• řada typu 4n: thoriová
→232 208
90 82Th Pb
63
5. Radioaktivita
5. 3. Radioaktivní přeměny
→241 209
94 83Pu Bi
• řada typu 4n+1: neptuniová
5. Radioaktivita
5. 3. Radioaktivní přeměny
→238 206
92 82U Pb
• řada typu 4n+2: uranová
64
5. Radioaktivita
5. 3. Radioaktivní přeměny
→235 207
92 82U Pb
• řada typu 4n+3: aktiniová
5. Radioaktivita
5. 4. Umělá radioaktivita
+ → +
→ + +
10 4 13 1
5 2 7 0
13 13 0 + 0
7 6 1 0 e
B N n
N C
α
β ν
1934 manželé Joliot-Curieovi
Iréne Joliot-Curie (1897–1956)Frédéric Joliot (1900-1958),
dnes - nejefektivnější způsob:
ozařování neutrony
− −
+ → → →238 0 239 239 239
92 0 7 93 94U n U PuNp
β β
jaderná reakce, pozitronový rozpad
65
5. Radioaktivita
5. 5. Diagram stabilních nuklidů
rozpad βrozpad
β+
rozpad α
emise neutronu
emise protonu
N = 1,5 Z
N = Z
jádro je radioaktivní, je-li separační energie pro emitovanou částici < 0
→ +
p
A A-1 1
Z Z-1 1X Y p
→ +
n
A A-1 1
Z Z 0X X n
5. Radioaktivita
5. 6. Postupný rozpad, radioaktivní rovnováha
Jaká je bilance při postupném rozpadu?
→ → → → →..... .....i s1 2 2
= − ⋅
d
d
N
N
t
λ1
1 1
= ⋅ − ⋅
d
d
N
N N
t
λ λ2
1 1 2 2
− −= ⋅ − ⋅
d
d
i
i ii i
N
N N
t
λ λ1 1
− −= ⋅
d
d
s
s s
N
N
t
λ 1 1
− −
= ⋅ = ⋅e et t
N N cλ λ1 1
1 1110
řešení druhé diferenciální rovnice: homogenní rovnice:
−
= − ⋅ ⇒ = ⋅
d
e
d
t
h
N
N N c
t
λ
λ 22
2 2 2 22
partikulární řešení navrhneme ve tvaru:
−
= ⋅e t
pN c λ1
2 21 dosazením:
− − −
− ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅e e et t t
c c cλ λ λ
λ λ λ1 1 1
1 1 1121 2 21 odtud:
⋅
=
−
c
c
λ
λ λ
1 11
21
12
z počáteční podmínky: ( ) =N2 0 0
= + ⇒ = −c c c c21 22 22 210
( ) ( )−−⋅
= ⋅ −
−
e e ttN
N t λλλ
λ λ
1 21 10
2
12
66
5. Radioaktivita
5. 6. Postupný rozpad, radioaktivní rovnováha
řešení i - té rovnice:
( ) −
=
= ∑ e j
i
t
i ij
j
N t c
λ
1 ≠
−
−=
−
,
i j
i
ij i j
i j
c c
λ
λ λ
1
1
−
=
= −∑
i
ii ik
k
c c
1
1
řešení s - té rovnice (jako i – tá pro )=sλ 0
( )
−
−
=
= + ∑ e j
s
t
s ss sj
j
N t c c
λ
1
1 ≠
−
−= − ,
s j
s
sj s j
j
c c
λ
λ
1
1 = =ssc c N10 10
0
20
40
60
80
100
120
0 20 40 60 80 100 120
−
= =, , sN λ 1
110 100 0 05
−
= , sλ 1
2 0 2
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
0 20 40 60 80 100 120
−
= =, , sN λ 1
110 100 0 0005
−
= , sλ 1
2
0 2
5. Radioaktivita
5. 6. Postupný rozpad, radioaktivní rovnováha
je-li λ λ1 2 ( ) ( ) ( )−−⋅ ⋅
= ⋅ − ≅ ⋅ −
−
e e ttN N
N t λλλ λ
λ λ λ
1 21 110 10
2
12 2
1 0
N2 je proto v malých časech konstantní a platí:
= =
N T
N T
λ
λ
2 2 1
1 1 2
zákon radioaktivní rovnováhy
podmínka je splněna ve všech rozpadových řadách, v historických dobách
existuje u přírodních radioaktivních nuklidů rovnováha
iλ λ1
67
5. Radioaktivita
5. 6. Postupný rozpad, radioaktivní rovnováha
∞
4,98E-024207,49+E24He 4
0,951,09E+082,53E+24celkem
3,20E-012068209,36E+230,36995Pb 206
4,73E-11210847,78E+061,36E+145,362E-110,383Po 210
1,69E-12210837,78E+064,85E+121,918E-120,0137Bi 210
2,72E-09210827,78E+067,79E+153,08E-0922Pb 210
6,38E-22214847,78E+061,80E+037,098E-225,07E-12Po 214
4,78E-15214837,78E+061,35E+105,32E-150,000038Bi 214
6,45E-15214827,78E+061,82E+107,182E-150,0000513Pb 214
7,55E-16218847,78E+062,09E+098,246E-160,00000589Po 218
1,37E-12222867,78E+063,72E+121,47E-120,0105Rn 222
2,13E-07226887,78E+065,67E+172,24E-071600Pa 226
1,01E-05230907,78E+062,66E+190,000010575000Th 230
3,44E-05234927,78E+068,86E+190,000035250000U 234
1,05E-13234917,78E+062,71E+111,07E-130,000764Pa 234
9,04E-12234907,78E+062,33E+139,198E-120,0657Th 234
6,30E-01238927,78E+061,59E+240,634500000000U 238
hmotnost / kgAZaktivita / Bqpočet atomů v
současnosti
poměrné
zastoupení
poločas rozpadu /
rok
nuklid
Příklad: Před 3 miliardami let byl vytvořen 1 kg čistého U238. Jaké je zastoupení
jednotlivých nuklidů rozpadové řady v současnosti?
∞
5. Radioaktivita
5. 7. Rozpad α
Nutná a postačující podmínka pro rozpad alfa: nejnižší energetická hladina částice
α v jádře je >0:
průběh potenciálu částice α v okolí jádra
energetická hladina Eα > 0
Přestože částice α má energii kladnou,
nemůže opustit jádro klasickým způsobem,
brání jí v tom Coulombovská bariéra.
E
U0
a
( )
( )
−
 
= + ⋅ ⋅ − ⋅ 
⋅ −  
sinh
U m
D u E
E U E
1
2
20
02
0
2
1
4
a
při pravoúhlé bariéře:
68
5. Radioaktivita
5. 7. Rozpad α
Při bariéře obecného tvaru se používá numerického postupu: bariéra se aproximuje
velkým počtem pravoúhlých bariér a výsledná pravděpodobnost se určí součinem:
( )
( )
−
 
= + ⋅ ⋅ − ⋅ 
⋅ −  
sinhi
i ii
i
U m
D u E a
E U E
1
2
20
02
0
2
1
4
Celková pravděpodobnost úniku částice α přes Coulombovskou bariéru je pak:
= ∏ iD D
= ⋅ ⋅p Dαλ λ λ
pravděpodobnost vzniku částice α v jádře
pravděpodobnost toho, že částice α je na povrchu jádra
Přibližný tvar pro výpočet λ byl znám již před kvantovou mechanikou:
λ je velmi malé (10-20 až 10-50), proto ≅
e
sinh ,
x
x
2
2
4 ( )
≈
⋅ −
i
i
U
E U E
2
0
0
1
16
−  
= = ⋅ − 
 
∫e , d
ER
G
R
m Ze
D G E r
rπε
1
2 2
0
2 2 2
4
G - Gamowův faktor
5. Radioaktivita
5. 7. Rozpad α
= − +ln
Z
a a
E
λ 1 2
konstanty jednotlivých rozpadových řad,a a2
čím větší energii má částice α, tím menší je poločas rozpadu
Geigerovo-Nuttallovo pravidlo:
69
5. Radioaktivita
5. 8. Přeměna β
podstatou přeměny nukleonů
bez neutrina by byl porušen zákon zachování energie, hybnosti, momentu hybnosti
−
→ + +
-
β
- A A 0
Z Z+1 -1 eβ : X Y β ν0
0
+
→ + +
+
β
+ A A 0
Z Z-1 1 eβ : X Y β ν0
0
−
→ + +
-
β
1 1 0
0 1 -1 en p β ν0
0
+
→ + +
+
β
1 1 0
1 0 1 ep n β ν0
0
neutrino: W. Pauli 1934
probíhá i u volného neutronu s poločasem rozpadu 11,7 minut
5. Radioaktivita
5. 9. Ostatní druhy radioaktivních přeměn
a) vznik záření γ
→ +A * A
Z ZX X γ0
0
→ +A 0 A
Z -1 Z-1 eK záchyt: X+ e Y ν0
0
po primární přeměně α, β může vzniknout jádro v excitovaném stavu, ze kterého
přechází do základního vyzářením fotonu:
Excitované jádro má kvantované hodnoty energie ⇒ spektrum γ je čárové, má
několik charakteristických energií, lze tedy poznat, o jaké jádro jde. Na tom je
založena spektrální gama analýza.
Zvláštní případ: gama foton vykoná při průletu obalem fotoelektrický jev: předá
veškerou svoji energii obalovému elektronu; z atomu pak vylétá elektron ze zcela
přesnou energií (na rozdíl od beta přeměny) – elektronovelektronováá konverzekonverze
b) K záchyt
Jádra s přebytkem protonů mohou pohltit elektron ze slupky K a změnit tak
proton na neutron (obdoba pozitronové přeměny):
c) emise neutronu, emise protonu
70
5. Radioaktivita
5. 9. Ostatní druhy radioaktivních přeměn
d) spontánní štěpení
Velmi těžká jádra se mohou spontánně rozdělit na 2 lehčí. Velmi vzácně může
tento děj probíhat i u uranu 238 a 235 (tisíciny procenta), běžnější je u Cf252 s
poločasem rozpadu 2,64 roku. Protože se při štěpení uvolňuje několik neutronů,
používá se tento nuklid jako zdroj neutronů.
→ + +252 140 108
98 54 44Cf Xe Ru n0
04
5. Radioaktivita
5. 10. Využití radioaktivity a fyziologické účinky
a) neutronová aktivační analýza Neutrony
velmi snadno pronikají do jader: neexistuje pro ně Coulombovská bariéra.
Jádro se dostane do excitované stavy: vyzáří charakteristický foton gama. V jádru je pak
přebytek neutronů a jádro se tak zpravidla stane radioaktivním, nejčastěji β-. Zbytek
energie se pak může vyzářit ještě dalším fotonem gama. Analýzou všech produktů se
identifikuje původní atom.
Neutron activation analysis (NAA)
71
5. Radioaktivita
5. 10. Využití radioaktivity a fyziologické účinky
a) neutronová aktivační analýza Problém
řešený v roce 1962: byl Napoleon při vyhnanství na Svaté Heleně otráven?
Neutron activation analysis (NAA)
Antikoincidence
Ve vlasech Napoleona byl zjištěn arzén v koncentraci
13krát vyšší (0,000 15 %).
5. Radioaktivita
5. 10. Využití radioaktivity a fyziologické účinky
b) měření a kontrola tenkých vrstev
využívá se záření α nebo β: zářič je na jedné straně kontrolovaného materiálu (papír,
látka, plech, …), na druhé straně je detektor; ve zpětné vazbě se ovládá výrobní
zařízení
72
5. Radioaktivita
5. 10. Využití radioaktivity a fyziologické účinky
c) defektoskopie
využívá se záření γ, případně neutronů, prozařují se velké vrstvy materiálu (silné
ocelové odlitky, pyramidy)
5. Radioaktivita
5. 10. Využití radioaktivity a fyziologické účinky
d) lékařství - diagnostika
diagram plic po
vdechnutí
radioaktivního aerosolu
s techneciem 99
Do organismu se vpraví malé množství radioaktivního nuklidu s velmi krátkým
poločasem rozpadu (minuty, hodiny). Sleduje se cesta nuklidu organismem, rychlost
metabolismu, ukládání prvků v orgánech. Některé patologické struktury pak
koncentrují zvolenou kontrastní látku, která je pak na snímku zdůrazněna.
sledování ukládání
derivátů mastných
kyselin v myokardu
Alzheimerova
choroba
mozek s
tumorem
73
5. Radioaktivita
5. 10. Využití radioaktivity a fyziologické účinky
e) lékařství - terapie
je založena na možnosti směrování paprsku
radioaktivního záření, či na jeho omezeném
doletu, případně na schopnosti většího
zachycení záření v postižené tkáni
princip Leksellova gama
nože
příklady zařízení pro
směrové ozařování
5. Radioaktivita
5. 10. Využití radioaktivity a fyziologické účinky
e) lékařství - terapie
lineární urychlovač
74
5. Radioaktivita
5. 10. Využití radioaktivity a fyziologické účinky
f) sterilizace a konzervace
využívá se hlavně záření γ (Co60) proti
mikrobům, škůdcům (červotoč), plísním,
kvasinkám, zabraňuje se kažení potravin,
klíčení brambor apod.
5. Radioaktivita
5. 10. Využití radioaktivity a fyziologické účinky
g) biologie, chemie – metoda značených atomů
Je obdobná lékařské diagnostice: do organismu nebo do chemické reakce se místo
běžného izotopu vpraví radioizotop, sleduje se cesta organismem, chemickou reakcí
(chemie jednoho atomu). V biologii se zkoumá metabolismus, ukládání stopových
prvků, v chemii se zkoumá struktura molekul, průběhy chemických reakcí.
75
5. Radioaktivita
5. 10. Využití radioaktivity a fyziologické účinky
h) archeologie
Využívá několika radionuklidů, které vznikají v přírodě a ukládají se v určitých
strukturách. Nejznámějším je příklad radiouhlíku C 14 s poločasem rozpadu 5720 let. Ten
vzniká v atmosférickém CO2 a dostává se do živých organismů – u rostlin asimilací, u
živočichů pojídáním rostlin, či živočichů živících se rostlinami. Po odumření organismu
se začíná radiouhlík rozpadat a jeho množství v pozůstatcích klesá. Z poměru C14 a C12
lze určit, před kolika lety organismus odumřel.
V Alpách byly nalezeny pozůstatky
„ledového muže“. Normální obsah
C14 je 0,23 Bq na 1 gram. V ledovém
muži byla aktivita jen 0,121 Bq na 1
gram, tedy asi polovina aktivity
živého organismu. Z toho plyne, že
ledový muž zahynul přibližně před
5700 lety.
5. Radioaktivita
5. 10. Využití radioaktivity a fyziologické účinky
h) archeologie
Turínské plátno, do kterého by měla být údajně zahalena
mrtvola Ježíše Krista po sejmutí z kříže. V roce 1988 bylo
zkoumáno radiouhlíkovou metodou a bylo zjištěno, že je
staré 608-728 let, tj. z let 1260 až 1360. V této době se o
Turínském plátně poprvé psalo. Zastánci pravosti tvrdí, že
radiouhlík se v plátně obnovil zachycením sazí při požáru z
uvedených let.
U fosilií starých například 80 milionů let není
radiouhlíková metoda využitelná.
76
5. Radioaktivita
5. 10. Využití radioaktivity a fyziologické účinky
i) detektory kouře a ohně
5. Radioaktivita
5. 10. Využití radioaktivity a fyziologické účinky
j) zdroje energie
170 gramů plutonia rozžhavených teplem
uvolňovaným při radioaktivním rozpadu v
grafitovém držáku
Jaderná baterie pro kosmický
výzkum – elektrická energie se
uvolňuje termoelektrickým jevem
z rozdílu teplot: radiaktivní látka
izolovaná uvnitř válce – vnější
chladiče. Jako termočlánky slouží
polovodičové spoje Si-Ge.
Poskytuje výkon 628 W po 11
letech (sonda Cassini-Huygens)
77
5. Radioaktivita
5. 10. Využití radioaktivity a fyziologické účinky
k) zemědělství
šlechtitelství: k vyvolání mutací u rostlin a živočichů – ustupuje cílenému genovému
inženýrství
zjišťování vlhkosti obilí na vjezdu do silových skladišť
5. Radioaktivita
5. 10. Využití radioaktivity a fyziologické účinky
l) fyziologické účinky jaderného záření
78
5. Radioaktivita
5. 10. Využití radioaktivity a fyziologické účinky
l) fyziologické účinky jaderného záření
5. Radioaktivita
5. 10. Využití radioaktivity a fyziologické účinky
l) fyziologické účinky jaderného záření
Vysoké dávky nad 30 Sv poškodí centrální nervový systém
tak, že smrt nastává nevyhnutelně během hodin nebo
několika dnů. Mezi příznaky patří nevolnost, prudké zvracení,
dezorientace, kóma.
Nižší dávky od 10 do 30 Sv způsobí těžká poškození
vnitřních orgánů, zejména trávícího ústrojí. V prvních
hodinách následuje nevolnost a zvracení. Pak se uvnitř
zažívacího traktu objeví vředy, doprovázené ztrátou tekutin a
infekcemi. Smrt nastává během několika týdnů, většinou
kvůli neschopnosti poškozených buněk vystýlky střeva
vytvořit dělením novou generaci.
Dávky mezi 1 a 10 Sv vyvolají zpočátku nevolnosti a
zvracení. Poté následuje období, kdy se pacientu uleví.
Polovina nemocných však nakonec umírá na vážné
poškození buněk v kostní dřeni, které zásobují
organismus krví.
dávka = energie pohlcená organismem, jednotkou 1 gray: 1 Gy = 1 J/kg
ekvivalentní dávka = přepočítaná podle účinnosti typu záření, jednotka sievert: Sv
79
5. Radioaktivita
5. 10. Využití radioaktivity a fyziologické účinky
l) fyziologické účinky jaderného záření
několik Svsmrtelná dávka (jednorázově)
500 mSvmírnější projevy nemoci z ozáření (projevy na kůži, padání vlasů, ztráta imunity)
50 mSvdovolená roční dávka pro pracovníky se zářením
0.1 - 30 mSvkontrastní vyšetření žaludku nebo střev
< 0.03 mSvjeden rentgenový snímek plic
< 0.06 mSvroční příspěvek uhelné tepelné elektrárny na okolí
< 0.02 mSvroční příspěvek jaderné elektrárny na okolí
0,004 mSvlet dopravním letadlem (za letovou hodinu)
0,4 - 4 mSv
(ale i 50 mSv)
obvyklá roční dávka z okolní přírody
(z toho bývá asi 20% od stavebních materiálů, zvláště radon; více "zespoda", například od
skalního podloží, méně "shora" od kosmického záření - asi 0,25 mSv na hladině moře,
1.5 mSv ve 4000 m, do toho patří vnitřní ozáření od zářičů, které sníme nebo vdechneme něco
přes 1 mSv)
6. Interakce jaderného záření s hmotou, detektory
6. 1. Základní pojmy
záření
radioaktivní
jaderné (+ neutrony)
ionizující (oba předchozí typy + rentgenové + ultrafialové)
skupiny částic se specifickými interakcemi
nabité částice
fotony gama
neutrony
dělení interakcí
pružné
nepružné
s jádrem
s elektronovým obalem
Dolet: přímá vzdálenost, kterou urazí částice v daném materiálu do
doby, ve které klesne energie částice na úroveň střední kinetické
energie molekul látky ~ .kT
3
2
80
6. Interakce jaderného záření s hmotou, detektory
6. 2. Interakce záření α
Téměř 100 % energie ztrácejí alfa částice ionizací. Jsou to nepružné srážky s
elektronovým obalem. K vytvoření jednoho iontového páru ve vzduchu spotřebuje alfa
částice průměrně energii 32,6 eV.
Alfa částice s energií 5 MeV vytvoří proto ve vzduchu 150 000 iontových párů.
Šíří se přímočaře (s výjimkou Rutherfordova rozptylu), hmotnost elektronu je příliš malá
na to aby se při ionizaci změnil směr.
6. Interakce jaderného záření s hmotou, detektory
6. 2. Interakce záření α
absorpční křivka
x
N
vliv fluktuací
N – počet částic, které proletí materiálem tloušťky x
dolet
Braggova křivka
81
6. Interakce jaderného záření s hmotou, detektory
6. 3. Interakce záření β
• ionizace – podstatně menší než u částic α
• pružné srážky s elektronovým obalem
• pružné srážky s jádry
• brzdné záření – vzniká zpomalováním nabitých částic; ztráta energie je přímo úměrná
proto je nepřímo úměrná , u α částic je proto brzdné záření zanedbatelné; je to
záření gama a rentgenové
• Čerenkovovo záření – provází částici β, která se v optickém prostředí pohybuje rychleji
než světlo
( )x
2
m2
ϑ
c
n
v
=cos
c
nv
ϑ
6. Interakce jaderného záření s hmotou, detektory
6. 3. Interakce záření β
x
N
N – počet částic, které proletí materiálem tloušťky x
dolet
způsobeno brzdným zářením
způsobeno různými energiemi a křivočarou trajektorií
82
6. Interakce jaderného záření s hmotou, detektory
6. 4. Interakce záření γ
b) Comptonův rozptyl – pružná srážka s elektronovým obalem (kapitola 1. 3. 3)
fotoefekt
Comptonův rozptyl
tvorba párů
a) fotoefekt – nepružná srážka s elektronovým obalem, ionizace probíhá hlavně z
vnitřních slupek ⇒ je doprovázeno rentgenovým zářením, probíhá hlavně při malých
energiích
= + kh A Wυ výstupní práce je zanedbatelná
c) tvorba párů – probíhá pouze u fotonů, pro které >h m cυ 2
02
− +
−→ +e eγ0 0 0
1 10 k interakci dochází v silném elektrickém poli jádra
nebo silně vázaného elektronu
6. Interakce jaderného záření s hmotou, detektory
6. 4. Interakce záření γ
E
W
závislost pravděpodobnosti jednotlivých interakcí na energii γ:
pro intenzitu paprsku monochromatického záření γ, které projde materiálem tloušťky x
platí:
−
= e x
I I µ
0
µ je lineární absorpční koeficient
někdy se zavádí polotloušťka: =
ln
X
µ
1
2
2
fotoefekt
Comptonův rozptyl
tvorba párů
celkově
83
6. Interakce jaderného záření s hmotou, detektory
6. 5. Detektory jaderného záření
detektory
využívá se účinků jaderného záření při průchodu hmotou, kromě popisovaných i jejich
dalších důsledků: luminiscence, fotografických účinků
určovací
6. 5. 1. Rozdělení detektorů
zobrazovací (C)
integrační (A)
počítače (B)
6. Interakce jaderného záření s hmotou, detektory
6. 5. Detektory jaderného záření
princip: měření elektrického proudu mezi dvěma elektrodami, oddělenými plynem, ve
kterém dochází vlivem záření k ionizaci
6. 5. 2. Ionizační komora
µA
+
100 – 1000 V
+ náplň:
vzduch, argon, metan (různé tlaky)
84
6. Interakce jaderného záření s hmotou, detektory
6. 5. Detektory jaderného záření
charakteristika: závislost proudu na napětí při konstantním zdroji ionizujícího záření
6. 5. 2. Ionizační komora
U
I
I. II. III.
uvolní-li se za 1 s mezi elektrodami N
jednomocných iontových párů, je proud na
plošině charakteristiky:
=I eN0 2
hodí se k detekci silně ionizujícího záření: α a β
lze upravit i k detekci záření γ: silný kovový obal,
pro detekci neutronů je obal parafínový
výhody: jednoduchost, v uspořádání pro α a β necitlivost na γ
nevýhody: malá citlivost, není možné určit druh a energii částic
6. Interakce jaderného záření s hmotou, detektory
6. 5. Detektory jaderného záření
6. 5. 3. Geigerův-Müllerův počítač
a
k
náplň: argon s tlakem několika set Pa + halogenové
páry nebo alkoholové páry
100-
1000 V
k čítači
princip: vnitřní zesílení v plynu: ~ 108x
85
6. Interakce jaderného záření s hmotou, detektory
6. 5. Detektory jaderného záření
6. 5. 3. Geigerův-Müllerův počítač
princip: vnitřní zesílení v plynu: ~ 108x
• primární ionizace náplně po průletu částice podél její trajektorie
• urychlení iontů hlavně v okolí drátové anody (silné elektrické pole)
• sekundární ionizace
• vznik primárního jiskrového výboje podél trajektorie ionizující částice
• ultrafialové záření z primárního jiskrového výboje ionizuje celou plynovou náplň
• jiskrový výboj se rozšíří na celý prostor trubice, rezistorem prochází proud, zvýšené
napětí se přenáší do čítače
• halogenové nebo alkoholové páry pohlcují ultrafialové záření, zároveň se snižuje
napětí na elektrodách ⇒ výboj se zháší, trubice je připravena registrovat další částici
pro detekci α a β mají vstupní slídové okénko
k detekci záření γ: silný kovový obal
k detekci záření neutronů: náplň BF3, ve kterém probíhá jaderná reakce
→ +B+ n Li α10 1 7 4
5 0 3 2
výhody: jednoduchost, spolehlivost, možnost průtokového měření, A nebo B
(elektronicky), možnost spojování ve velké komplexy
nevýhody: nelze měřit energie (lze u proporcionálních počítačů), poměrně velká
mrtvá doba, malá účinnost (25 % pro α a β, jen 5 % pro γ)
6. Interakce jaderného záření s hmotou, detektory
6. 5. Detektory jaderného záření
6. 5. 4. Scintilační detektor (B)
historický předchůdce: spintariskop
částice α vyvolávají v sulfidu zinečnatém scintilace (důsledek rekombinace iontů v
pevné optické látce nebo jako zpětný jev k excitaci), scintilace se pozorují lupou
nevýhody: lidský faktor, nutnost přizpůsobení citlivosti oka na tmu (alespoň 15 minut)
elektronické snímání záblesků: fotonásobičem
86
6. Interakce jaderného záření s hmotou, detektory
6. 5. Detektory jaderného záření
6. 5. 4. Scintilační detektor
6. Interakce jaderného záření s hmotou, detektory
6. 5. Detektory jaderného záření
6. 5. 4. Scintilační detektor
zesílení ~ 1010 krystaly: pro α ZnS, pro β NaI (Tl), pro γ organické látky, kapaliny
výhody: detekce všech druhů záření, impuls je úměrný energii, lze měřit energie,
vysoká účinnost: α a β ~ 100 %, γ ~ 50 %,volbou krystalu je možno dosáhnout
necitlivosti na ostatní druhy záření, velmi malá mrtvá doba: ~ 10-9 s, možnost
spojování ve velké komplexy a zkoumání obrovských objemů
nevýhody: složitější elektronika, velké rozměry čidla
87
6. Interakce jaderného záření s hmotou, detektory
6. 5. Detektory jaderného záření
6. 5. 5. Čerenkovův počítač (B)
obdoba scintilačního počítače, pouze mechanismus vzniku záblesků je jiný
aktivní látka: plexisklo, voda, ...
6. Interakce jaderného záření s hmotou, detektory
6. 5. Detektory jaderného záření
6. 5. 6. Polovodičový detektor (B)
obdoba ionizační komory, místo plynu polovodič, místo ionizace vnitřní fotoelektrický
jev, místo iontů dvojice nositelů elektrického proudu: elektron-díra
výhody: velmi malé rozměry, malá mrtvá doba, velká
účinnost ~ 100 %, malé napětí
nevýhody: náročná elektronika
88
6. Interakce jaderného záření s hmotou, detektory
6. 5. Detektory jaderného záření
6. 5. 7. Wilsonova mlžná komora (C)
= .pV konstκ ↑ ⇒ ↓V p
−
= ⇒ = ⇒ ↓.pV RT RTV konst Tκ 1
pára nasycená
pára přesycená se snahou kondenzace
6. Interakce jaderného záření s hmotou, detektory
6. 5. Detektory jaderného záření
6. 5. 7. Wilsonova mlžná komora (C)
odstranění prachu elektrickým polem
výhody: zobrazením trajektorie lze měřit dolet, s přídavným magnetickým polem
energii, náboj, hmotnost, lze sledovat interakce (Rutherfordův rozptyl, jaderné reakce,
apod.)
nevýhody: indikace v jediném okamžiku, pak je komora neschopná dalšího
zobrazení, protože se po návratu pístu stává pára nenasycená, je nutné počkat
několik sekund
89
6. Interakce jaderného záření s hmotou, detektory
6. 5. Detektory jaderného záření
6. 5. 8. Difúzní mlžná komora (C)
pára nasycená: : +40º C
pára sytá
pára přesycená
topná spirála
suchý led: -70º C
výhody: zobrazením trajektorie lze měřit dolet, s přídavným magnetickým polem
energii, náboj, hmotnost, lze sledovat interakce (Rutherfordův rozptyl, jaderné reakce,
apod.), kontinuální provoz
nevýhody: nutnost intenzivního chlazení dolní podstavy
6. Interakce jaderného záření s hmotou, detektory
6. 5. Detektory jaderného záření
6. 5. 9. Bublinková mlžná komora (C)
výhody: zobrazením trajektorie lze měřit dolet, s přídavným magnetickým polem
energii, náboj, hmotnost, lze sledovat interakce (Rutherfordův rozptyl, jaderné reakce,
apod.), možnost impulzního i kontinuálního provozu
nevýhody: částice musí mít velkou energii, nutnost chlazení
využívá přehřáté kapaliny a toho, že var nastává na iontech; požívaná kapalina: vodík,
hélium, éter, freon, objem až několik m3
90
6. Interakce jaderného záření s hmotou, detektory
6. 5. Detektory jaderného záření
BEBC – Big European Bubble Chamber
v CERNu
6. 5. 9. Bublinková mlžná komora (C)
6. Interakce jaderného záření s hmotou, detektory
6. 5. Detektory jaderného záření
6. 5. 10. Jiskrová komora (C)
výhody: jednoduchost, spolehlivost
nevýhody: částice musí mít velmi vysokou energii
soustava elektrod se sendvičovým uspořádáním a velmi vysokým napětím
VN
rozpad pionu v
jiskrové komoře
91
6. Interakce jaderného záření s hmotou, detektory
6. 5. Detektory jaderného záření
6. 5. 11. Fotografické detektory
výhody: jednoduchost, spolehlivost, bez zdrojů, schopnost dlouhodobé činnosti
nevýhody: částice musí mít velmi vysokou energii
dozimetrické emulze, krystalové dozimetry (A)
fotografické emulze (C)
800 kg fotografické emulze využité k
zkoumání interakcí tauonového
neutrina. Výsledkem je generace
tauonu, který se rozpadá po 100
mikrometrech. Tento snímek byl
získán z emulze, která byla ozařována
2 roky
92
7. Jaderné reakce
a) transmutace: je vyvolána interakcí částice a jádra, výsledkem je nové jádro, které
není v periodické tabulce příliš vzdáleno od jádra původního a jedna nebo několik
dalších částic:
7. 1. Druhy jaderných reakcí
′ ′′
′ ′′→ + ∑ iX+ a Y bi
i
AA A A
Z Z Z Z
symbolický zápis ( )∑ iX a, b Y
nejčastější reakce: ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
p,d , p,α , p,n , p,γ
n,p , n,α , n,γ , n,2n
e,n , e,2n
γ,n , γ,2n
α,p , α,n , α,2n
d,p , d,α , d,n
první jaderná reakce uskutečněná vědomě: Rutherford 1919
→ +N+ α O p14 4 17 1
7 12 8
k uskutečnění většiny jaderných reakcí je třeba, aby částice s měla velmi vysokou energii
7. Jaderné reakce
b) štěpení: původní jádro se působením částice rozštěpí na dvě nová (značně
vzdálená v periodické soustavě) a několik nových částic
7. 1. Druhy jaderných reakcí
′ ′′ ′′′
′ ′′ ′′′→ + + ∑1 2 iX+ a Y Y bi
i
AA A A A
Z Z Z Z Z
objev 1939 Hahn a Strassmann
→ + +U+ n La Br n235 1 147 87 1
5792 0 35 02
protože se zpravidla uvolňuje několik neutronů, vyplývá z toho možnost řetězové
reakce
Fritz Strassmann (1902-1980)Otto Hahn (1879-1968)
93
7. Jaderné reakce
c) tříštění: původní jádro se působením částice změní na jiné jádro, značně vzdálené
v periodické soustavě prvků a mnoho nukleonů
7. 1. Druhy jaderných reakcí
podmínkou je velmi vysoká energie dopadající částice (> 100 MeV)
→ + +U+ α W p n239 4 187 1 1
74 192 2 020 35
7. Jaderné reakce
vyjadřuje pravděpodobnost reakce
7. 2. Účinný průřez jaderné reakce
n – počet dopadajících částic za 1 sekundu na 1 m2
x
S – plocha terčíku
N – počet jader v terčíku na 1 m3
C – počet jaderných reakcí v terčíku za 1 s
~ , , ,C n N x S (za předpokladu, že x je menší než dolet)
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅C n N x Sσ
[ ]
−
− − −
= =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
s
m
s m m m m
σ
1
2
1 2 3 2
σ – účinný průřez
94
7. Jaderné reakce
geometrický význam účinného průřezu:
7. 2. Účinný průřez jaderné reakce
z terčíku vybereme S a x takové, aby odpovídalo 1 atomu, na tento terčíček bude
dopadat 1 částice za sekundu
( )= = = ⋅
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅
pravděpodobnost reakce
C C
S
n N x S
N
S N
σ 1
1 1
1
1 1
x1
S1 = pravděpodobnost reakce
S
σ
1
σ
celý problém je převeden do geometrického modelu: nahradíme-li každý atom ploškou
rovnou účinnému průřezu, je pravděpodobnost reakce dána poměrem ploch
protože geometrický rozměr jádra je řádu 10-14 m, používá se pro
účinný průměr nestandardní jednotka:
1 barn = 10-28 m2
velikost účinného průřezu pro různé reakce může být od 0 do
několika tisíc barnů
7. Jaderné reakce
a) zákon zachování elektrického náboje:
7. 3. Zákony zachování při jaderných reakcích
b) zákon zachování počtu nukleonů (bude zobecněn v kapitole o elementárních
částicích
=∑ ∑i iZ Z1 2
=∑ ∑i iA A1 2
c) zákon zachování hmotnosti a energie:
součet energií (včetně klidových) se před a po reakci rovnají
⋅ > ⋅∑ ∑i im c m c2 2
1 2 je reakce exoenergetická
⋅ < ⋅∑ ∑i im c m c2 2
1 2
je reakce endoenergetická; částice, která reakci vyvolá, musí mít alespoň prahovou
energii:
⋅ − ⋅∑ ∑ iim c m c2 2
12
d) zákon zachování hybnosti ve všech složkách
e) zákon zachování momentu hybnosti ve všech složkách
95
7. Jaderné reakce
a) přímý proces:
7. 4. Mechanismus jaderných reakcí
−
−
= s
14
22
8
10
10
10
typická doba procesu je
b) nepřímý proces (přes složené jádro):
Ni+ α60 4
28 2
Cu+ p63 1
129
Zn+ n63 1
30 0
*
Zn64
30
Zn+2 n63 1
30 0
Zn+ n63 1
30 0
Cu+ p63 1
129
Cu+ p+ n63 1 1
129 0
typická doba procesu je
−
s16
10
7. Jaderné reakce
účinný průřez v závislosti na energii částice vykazuje „rezonance“
7. 4. Mechanismus jaderných reakcí
záchyt neutronu s různými energiemi
je to jen další důkaz slupkového modelu
jádra
96
7. Jaderné reakce
reakce, která vedla k objevu neutronu je základem zdrojů neutronů typu Ra-Be, Am-Be
7. 5. Reakce neutronů
jaderné výbuchy: až 1022 na 1 cm2 za sekundu
spontánní štěpení s poločasem rozpadu 2,6 roku
7. 5. 1. Zdroje neutronů
( )Be α,n C9 12
4 6
Be
Am
Cf252
98
jaderné reaktory: běžně ~ 1015 neutronů na 1 cm2 za sekundu
7. Jaderné reakce
7. 5. Reakce neutronů
protože závisí na energii neutronů, dělí se neutrony:
rychlé: > 100 keV, střední (100 eV – 100 keV), pomalé (0,025 eV – 100 keV), tepelné
7. 5. 2. Interakce neutronů
a) pružný rozptyl, ztráta energie největší u vodíku
b) nepružný rozptyl: jaderná reakce ( ) →*
X n,n X X
γ
c) radiační záchyt: jaderná reakce ( )X n, Xγ
d) ostatní jaderné reakce ( ) ( ) ( )n,p , n,α , n,2n ,
e) štěpení
97
7. Jaderné reakce
7. 5. Reakce neutronů
t – totální, s – rozptyl, a - absorpce, e –
pružná, i – nepružná, c – transmutační,
f - štěpná
7. 5. 3. Účinné průřezy interakcí neutronů
= +t s aσ σ σ = +s e iσ σ σ = +a c fσ σ σ
do 0,1 eV platí „zákon 1/v“: účinný prořez je
nepřímo úměrný rychlosti, pak nastávají
rezonanční záchyty
výrazné maximum pro 1,44 eV (30 000 bn)
7. Jaderné reakce
7. 5. Reakce neutronů
tepelné neutrony nejlépe pohlcuje kadmium, účinný průřez dosahuje 1000 barnů
7. 5. 3. Účinné průřezy interakcí neutronů
pro neutrony nad 1 MeV je účinný průřez roven geometrickém průřezu jader ~ 1 bn
detekce neutronů: běžnými detektory s využitím reakce (n,α), například
→ +B+ n Li α10 1 7 4
5 0 3 2
případně s využitím štěpení (detektory se obalují uranem, případně se plní plynem s
obsahem uranu
aktivační metoda: využívá se velkých účinných průřezů pro jaderné reakce, používá se
zlato (zlatá fólie se vystaví toku neutronů, indukovaná aktivita je úměrná toku neutronů
98
7. Jaderné reakce
7. 5. Reakce neutronů
je možné štěpit všechna těžká a střední jádra, nejlépe neutrony
7. 5. 4. Štěpná reakce
průběh: typický je přes složené jádro:
i když jde o reakci exoenergetickou
(uvolňuje se energie), musíme zpravidla
dodat jistou energii, která je zapotřebí k
„přeštípnutí“ jádra: excitační energie Wex
existují jen 5 jader, pro která je
excitační energie záporná, to
znamená, že štěpení může vyvolat i
tepelný neutron:
7. Jaderné reakce
7. 5. Reakce neutronů
U235 je v přírodním uranu zastoupen 0,715 %
7. 5. 4. Štěpná reakce
U233 se vyrábí v jaderných reaktorech z thoria 232:
− −
→ → →Th+ n Th Pa U
β β
232 1 233 233 233
90 0 90 91 92
Pu239 se vyrábí v jaderných reaktorech z uranu 238:
− −
→ → →U+ n U Np Pu
β β
238 1 239 239 239
92 0 92 93 94
Cf 252 se vyrábí z U256, které vzniká při podzemním jaderném výbuchu?
− − − − − − − −
→ → → → → → → → →U Np Pu Am Cm Bk Cf Es Fm Cf
β β β β β β β β α
256 256 256 256 256 256 256 256 256 252
92 93 94 95 96 97 98 99 100 98
poločas rozpadu je 2,64 roku, použití v neutronových pumách?
Pu241 se vyrábí v jaderných reaktorech z plutonia 239:
→ →Pu+ n Pu Pu+ n Pu239 1 240 240 1 241
94 0 94 94 0 94
99
7. Jaderné reakce
7. 5. Reakce neutronů
U235 se štěpí 40 různými způsoby, uvolněná energie je vždy asi 200 MeV, uvolňují se
přitom 2 nebo 3 neutrony, 99 % okamžitě, 1 % zpožděně (fragmenty = vzniklá jádra jsou
radioaktivní β- nebo emisí neutronu)
7. 5. 5. Produkty štěpení
z energie štěpení připadá
na fragmenty asi 162 MeV,
energie neutronů je 0,1 až
10 MeV, 10 MeV odnášejí
neutrina
7. Jaderné reakce
7. 5. Reakce neutronů
produkce více než jednoho neutronu při 1 štěpení umožňuje uskutečnit řetězovou reakci:
7. 5. 6. Řetězová reakce
neutrony uvolněné štěpením mohou:
• vyvolat další štěpení
• absorpčně zaniknout
• uniknout ze soustavy
( )−
=
d
d
n kn
t τ
1
multiplikativní faktor: střední počet
štěpení vyvolaných neutrony z
jednoho štěpení - k
n – počet štěpení v soustavě za
1 sekundu
τ – počet štěpení v soustavě za 1 sekundu
−
⋅
= ⋅e
k
t
n n τ
1
0
100
7. Jaderné reakce
7. 5. Reakce neutronů
Příklad:
7. 5. 6. Řetězová reakce
−
⋅
= ⋅e
k
t
n n τ
1
0
−
= = =, s, sn tτ4 5
0 10 10 1
( ) −
= =, ,k n 4339
0 9 1 10
( )= =,k n 4
1 1 10
( )= =, ,k n 4337
1 1 1 10
( )= =, ,k n 47
1 001 1 10
( )= = = ⋅,
, , ,k n 4 43 4
1 00001 1 10 2 7 10
( )= = = ⋅,
, , ,k n 4 043 4
1 000001 1 10 1 1 10
0
50000
100000
150000
200000
250000
300000
350000
400000
0,99996 0,99998 1 1,00002 1,00004
n(1)
k
7. Jaderné reakce
7. 5. Reakce neutronů
předpokládáme nejprve nekonečně velkou soustavu obsahující štěpný materiál a
moderátor – materiál, který zpomaluje neutrony k zvýšení účinného průřezu pro štěpení)
7. 5. 7. Kritická velikost štěpné soustavy
∞ =k pfηε
n(1)
k
v této soustavě vyvolá 1 neutron 1 štěpení
η - střední počet neutronů vzniklých štěpením (η > 1)
ε – koeficint rozmnožení rychlými neutrony: neutrony ze štěpení vznikají jako rychlé, ty
jsou schopny štěpit i další materiál (zpravidla U 238), který je v soustavě
p – pravděpodobnost úniku rezonanční absorpci (p < 1)
f – koeficient tepelného využití (ani pomalý neutron nemusí vyvolat štěpení, může být
zachycen v dalších materiálech soustavy, případně může být neštěpně absorbován (f < 1)
je-li soustava konečná, přistupuje ještě pravděpodobnost P – pravděpodobnost, že
neutron během zpomalování neunikne ze soustavy
∞= ⋅k k P
dosáhne-li se vhodným uspořádáním soustavy , je možné velikostí a tvarem
soustavy regulovat velikost P a tím dosáhnout k = 1: kritické velikosti
∞ >k 1
101
7. Jaderné reakce
7. 5. Reakce neutronů
Kritické velikost nelze dosáhnout jakoukoli kombinací přirozeného uranu a obyčejné
vody, která má příliš velký absorpční účinný průřez.
7. 5. 7. Kritická velikost štěpné soustavy
Kritické velikost lze dosáhnout s přírodním uranem pouze v kombinaci s grafitem nebo
těžkou vodou.
Poprvé se kritické velikost dosáhlo v prosinci 1942 v Chicagu = Enrico Fermi (na stadionu
pro squash).
regulace výkonu: reaktor se udržuje podkritický
na okamžitých neutronech, potřebný příspěvek
dodávají zpožděné neutrony z neutronového
rozpadu fragmentů.
7. Jaderné reakce
7. 5. Reakce neutronů
7. 5. 8. Jaderný reaktor a energetika
regulace výkonu: reaktor se udržuje podkritický na okamžitých neutronech, potřebný
příspěvek dodávají zpožděné neutrony z neutronového rozpadu fragmentů.
palivové tyče (skládají se z proutků) obohacený
uran
chladivo + moderátor
regulační tyč
havarijní tyč
stínění(beton)
tlakovánádoba(ocel)
reflektor
technologickýkanál
102
7. Jaderné reakce
7. 5. Reakce neutronů
7. 5. 8. Jaderný reaktor a energetika
obohacování uranu: difúze, destilace, superodstředivky
zásobárna vzorků pro ultraodstředivku
– milion g, U 238 se hromadí na
okrajích, U235 ve středu rotující
trubice, 60 000 otáček, obvodová
rychlost 450 m/s
7. Jaderné reakce
7. 5. Reakce neutronů
7. 5. 8. Jaderný reaktor a energetika
schéma běžné jaderné elektrárny
Temelín
103
7. Jaderné reakce
7. 5. Reakce neutronů
7. 5. 8. Jaderný reaktor a energetika
atomová bomba – štěpná:
7. Jaderné reakce
7. 5. Reakce neutronů
7. 5. 8. Jaderný reaktor a energetika
atomová bomba – štěpná:
104
7. Jaderné reakce
7. 6. Termonukleární reakce
štěpení: 1 MeV/nukleon, syntéza: 4 MeV/nukleon:
zásadní potíž: dostat k sobě jádra přes Coulombovskou bariéru elektronových obalů i
jader tak blízko, aby začaly působit jaderné síly (10-14 m)
potenciální energie dvou jader vodíku (protonů) v uvedené vzdálenosti:
−
−
−
⋅
= = ⋅
⋅ ⋅ ⋅
,
, J
, ,
e
rπε
2 38
14
12 14
0
1 6 10
2 5 10
4 12 5 8 9 10 10
−
−
−
⋅
= ⋅ ⇒ = = ⋅
⋅
,
, , K
,
kT T
14
14 9
23
3 1 7 10
2 5 10 1 2 10
2 1 38 10
kdyby se této teploty mělo dosáhnout zahřátím, byla by teplota:
proto termonukleární reakce
reakcí se zatím daří dosáhnout:
• ve hvězdách
• ve vodíkové bombě
• v malém v laboratoři (pomocí urychlovačů, metodou tokamaků, laserovou metodou)
7. Jaderné reakce
7. 6. Termonukleární reakce
příklady jaderné syntézy:
+ → + +
+ → + +
+ → + +
+ → + +
+ → + +
H H He n , MeV
H H He n , MeV
H He He H , MeV
H Li He He , MeV
H Li He He , MeV
2 2 3 1
1 1 2 0
2 3 4 1
1 1 2 0
2 3 4 1
1 12 2
2 6 4 4
1 3 2 2
1 7 4 4
1 3 2 2
3 25
17 6
18 3
22 4
17 3
ve hvězdách: proton - protonový cyklus
+ → +
+ → +
+ → +
+
p p D β
D p He γ
He He He p
1 1 2 0
1 1 1 1
2 1 3 0
1 1 2 0
3 3 4 1
12 2 2 2
+
+ → +
+ → → →
β
He He Be γ
Be p B Be He
3 4 7 0
42 2 0
7 1 8 8 4
4 1 5 4 22
možná varianta
105
7. Jaderné reakce
7. 6. Termonukleární reakce
další možný proces ve hvězdách: uhlíko-dusíkový cyklus (CNO)
+ → +
→ + +
+ → +
+ → +
→ + +
+ → +
+
+
C H N γ
N C β γ (T je 14 minut)
C H N γ
C H O γ
O N β γ (T je 2 minuty)
N H C He
12 1 13 0
1 76 0
13 13 0 0
7 16 0
13 1 14 0
1 76 0
14 1 15 0
7 1 8 0
15 15 0 0
7 18 0
15 1 12 4
7 1 6 2
termonukleární bomba: jako roznětka slouží štěpná bomba, obal je ze směsi izotopů
vodíku a lithia
7. Jaderné reakce
7. 6. Termonukleární reakce
termonukleární bomba: jako roznětka slouží štěpná bomba, obal je ze směsi izotopů
vodíku a lithia
106
7. Jaderné reakce
7. 6. Termonukleární reakce
laboratorní metody k získání řízené termonukleární reakce:
a) metoda tokamaků (ТOроидная КАмера МАгнитная)
7. Jaderné reakce
7. 6. Termonukleární reakce
K udržení syntézy je nutné splnit tzv. Lawsonovo kritérium, které spojuje dosaženou
teplotu při dané hustotě plasmy s energií reakce a časem, po který se daří udržet
dosazenou teplotu.
Pro reakci deuteria a tritia je
potřebná teplota 50 milionů kelvinů,
součin koncentrace částic a
potřebného času pak musí
dosáhnout 1020 m-3s, v současnosti
se dosahuje 1018 m-3s při teplotě 20
milionů K, na jiném tokamaku 50
milionů K při 1017 m-3s .
107
7. Jaderné reakce
7. 6. Termonukleární reakce
Koncepce tokamaku se zrodila koncem padesátých let v Sovětském svazu a u jeho
zrodu stál L. A. Arcimovič. Je to v podstatě transformátor, jehož sekundární cívka má
jeden závit ve tvaru toroidní trubice. Plazma z deuteria a tritia se nachází uvnitř
toroidního dutého vakuového prstence. Elektrický proud primárního obvodu
transformátoru indukuje elektromotorické napětí v sekundárním obvodu. V plynu D+T
v toroidní trubici vznikne výboj, plyn se ionizuje a indukovaný proud jej zahřívá na
vysokou teplotu. Magnetické pole tohoto proudu udrží vzniklé plazma v ose toroidu,
takže se nedotýká stěn komory. Díky magnetickému poli se tepelné zatížení stěn sníží
na technologicky zvládnutelnou hodnotu, a tak se předpokládá chlazení stěn na
teploty 1000-1300 °C. Rozměry reaktoru a jeho výkon závisí obyčejně na vlastnostech
materiálů, které tvoří plášť reaktoru, nikoli na vlastnostech plazmatu. Předpokládá se,
že elektrický výkon těchto reaktorů by byl 2-3 GW.
Tokamak pracuje v pulzním režimu. Do vyčerpané prstencové vakuové nádoby se
napustí pracovní plyn s hustotou částic 1018-1021 m-3. Proudem tisíců až milionů
ampérů se plyn zahřeje do teplot 1-2 keV. K dosažení potřebné teploty okolo 10 keV je
potřeba použít doplňkový ohřev: např. ohřev absorpcí elektromagnetické iontově
cyklotronové vlny ionty, ohřev cyklotronní elektronovou rezonancí, vstřikováním
neutrálního svazku - také pro dodání paliva, ohřev parametrickými vlnami - využitím
intenzivních mikrovlnných nebo infračervených laserových svazků.
http://www.vesmir.cz/04_98/207.htm
7. Jaderné reakce
7. 6. Termonukleární reakce
192 laserů
U tokamaků se dosahuje velkých časů, ale malé hustoty. Laserová fúze je cetou, při
které se dosahuje extrémních hustot po velmi krátký čas. Základem jsou jakési brikety,
které jsou najednou ozářeny impulsem z mnoha výkonných laserů.
108
7. Jaderné reakce
7. 6. Termonukleární reakce
sklo
chemicky černěné zlato
kapalná směs deutéria a
tritia s tlakem 50 MPa
0,1 mm
rychlost imploze 300 km/s
1010 termonukleárních reakcí
okamžitý výkon 250 TW
(milionkrát víc než klasické
výbušniny)
10 x za sekundu
stálý výkon 0,1 W
7. Jaderné reakce
7. 6. Termonukleární reakce
109
7. Jaderné reakce
7. 6. Termonukleární reakce
nejnadějnější experiment: SHIVA a SHIVA NOVA dnes slouží výzkumu svařování pomocí
soustředěných laserových paprsků
snímek exploze z roku 1986, v
tomto okamžiku produkuje 100x
více energie než všechny
elektrárny na Zemi
8. Fyzika velkých energií, elementární částice
8. 1. Urychlovače
8. 1. 1. Van de Graafův urychlovač
Van de Graafův zdroj vysokého napětí
blokové schéma skutečného Van de
Graafova urychlovače
výhody:
jednoduchý
vysoká účinnost
velké proudy
nevýhody:
malé energie
rozměrný
110
8. Fyzika velkých energií, elementární částice
8. 1. Urychlovače
8. 1. 1. Van de Graafův urychlovač
8. Fyzika velkých energií, elementární částice
8. 1. Urychlovače
8. 1. 1. Van de Graafův urychlovač
111
Urychlovač elektronů na energii 6 MeV. Je v
nádobě výšky 10 m, průměru 35 m, která je
naplněna freonem s tlakem 0,6 MPa.
Dosahuje se proudu 2 A.
8. 1. 1. Van de Graafův urychlovač
8. 1. 2. Lineární urychlovač
vf VN
zdroj částic
princip: Na kovové elektrody ve tvaru válcového pláště, které jsou střídavě propojeny, je
přivedeno vysoké napětí vysoké frekvence. Částice se urychluje vždy v každé mezeře,
uvnitř elektrod se pohybuje rovnoměrným přímočarým pohybem.
112
Lineární urychlovač - SLAC (Stanford Linear
Accelerator) Kalifornie
délka 3 km
pracuje i jako colider
elektrony a pozitrony
vstupní energie 30 MeV
konečná energie 50 GeV
kolizní energie 100 GeV
může i protony
245 klystronů po 67 MW
8. 1. 2. Lineární urychlovač
Terčíková metoda a metoda srážek
Terčíková metoda: jedna částice se urychlí a naráží do jiné částice, která je součástí
klidového terčíku. Energie srážky je přitom úměrná
2
~ 2 č tE E M c⋅ ⋅
Metoda srážek (coliderey): Urychlí se dva svazky částic a nesměřují se proti
sobě. Energie srážky je přitom úměrná
1 2~ 2 č čE E E⋅
Př.: , pak energie srážky je 20 GeV2
200 GeV, 1 GeVč tE M c= ⋅ =
Př.: pak energie srážky je 400 GeV1 2200 GeV, 200 GeV,č čE E= =
8. 1. 2. Lineární urychlovač
113
TESLA
8. 1. 2. Lineární urychlovač
TESLA TT eraera EE lectronlectron VV oltolt EE nergynergy SS uperconductinguperconducting
LL inearinear AA cceleratorccelerator
kabely
VN výkonové kabely
vodní potrubí
monorail
klystrony
kryogenní moduly
chodník pro údržbu
vlnovody
8. 1. 2. Lineární urychlovač
114
TESLA
8. 1. 2. Lineární urychlovač
Ernest Lawrence (1901-1958)
První cyklotron, zkonstruoval
Ernest O. Lawrence v r. 1929
8. 1. 3. Cyklotron
115
Cyklotron - Ernest Lawrence (1901-1958)
M. S. Livingston a Ernest Lawrence 1932
8. 1. 3. Cyklotron
výhody:
malé rozměry
kontinuální provoz
nevýhody:
malá účinnost
potřeba magnetického pole
relativistické efekty omezují energii
8. 1. 3. Cyklotron
116
Řešení relativistického zpožďování v cyklotronu
přechod na impulsní provoz:
během urychlování snižovat frekvenci - fázotron
během urychlování zvyšovat indukci magnetického pole - synchrocyklotron
zachování kontinuálního provozu s konstantním polem:
využití gradientu magnetického pole (magnetické pole od středu vzrůstá),
příklad řešení: FFAG (Fixed-Field Alternating-Gradient) - TRIUMF Kanada
8. 1. 3. Cyklotron
Synchrocyklotron - první urychlovač v CERNu (ConseilConseil EuropéenEuropéen pourpour lala
RechercheRecherche NucléaireNucléaire)) - 600 MeV 1957
8. 1. 3. Cyklotron
117
Triumf 1972 (Vancouver - Kanada)
- protony 520 MeV
8. 1. 3. Cyklotron
Cyklotron - TRIUMF
8. 1. 3. Cyklotron
118
8. 1. 3. Kruhové urychlovače (synchrofázotron, synchrotron, bevatron,
kosmotron)
princip: Kdyby byl lineární urychlovač nekonečně dlouhý, elektrody by se již
neprodlužovaly, jejich délka by se ustálila na
= ⋅ ≅ ⋅ =
2 2
, pro frekvenci 1 GHz je to 15 cm
T c
s v t c
f
urychlující prstence
magnety
synchrofázotron - Dubna
urychluje protony na 10 GeV
průměr 36 m
vakuová trubice 2 m x 0,5 m
rozměry magnetů 7,5 x 5,3 m
hmotnost magnetů 36 000 tun
na 1 urychlení 4,5 milionu otáček
napájen vlastní elektrárnou
objev antiprotonu, antineutronu
8. 1. 3. Kruhové urychlovače (synchrofázotron, synchrotron, bevatron, kosmotron)
119
synchrotron - kruhový urychlovač se silnou fokusací
8. 1. 3. Kruhové urychlovače (synchrofázotron, synchrotron, bevatron, kosmotron)
synchrotron - fokusace svazku kvadrupólovými magnety
8. 1. 3. Kruhové urychlovače (synchrofázotron, synchrotron, bevatron, kosmotron)
120
SPS - Super Proton Synchrotron (CERN Švýcarsko,
Francie)
8. 1. 3. Kruhové urychlovače (synchrofázotron, synchrotron, bevatron, kosmotron)
LEP - CERN
8. 1. 3. Kruhové urychlovače (synchrofázotron, synchrotron, bevatron, kosmotron)
121
LEP (Large Electron-Positron Collider - CERN - délka 27 km
8. 1. 3. Kruhové urychlovače (synchrofázotron, synchrotron, bevatron, kosmotron)
LEP - CERN
urychluje v jednom systému elektronu a pozitrony na energie 90-208 GeV
100 metrů pod zemí
4 detektory na kolizních místech: ALEPH, DELPHI, OPAL, L3
hlavní úspěchy při studiu intermediálních bosonů W a Z
2000 - hon na Higgsův boson (předpokládaná klidová energie 115 GeV)
existenci Higgsva bosonu předpokládá standardní model:
měla by to být velmi hmotná neutrální částice, která vysvětluje rozpor mezi
velmi vysokou hmotností bosonů W a Z a nulovou hmotností fotonu
chod LEP ukončen 8. 11. 2000 po 11 letech
8. 1. 3. Kruhové urychlovače (synchrofázotron, synchrotron, bevatron, kosmotron)
122
největší urychlovače současnosti
TEVATRON FERMILAB (USA) 1000 GeV
HERA DESY (Hamburg) 820 GeVDeutsches Elektronen-Synchrotron)
SPS CERN (Švýcarsko) 450 GeV
LHC - Large Hadron Collider (ve výstavbě)
CERN (Švýcarsko) 7 TeV, dvojice protonů
14 TeV, jádra olova 1150 TeV
8. 1. 3. Kruhové urychlovače (synchrofázotron, synchrotron, bevatron, kosmotron)
LHCLHC -- LargeLarge HadronHadron ColliderCollider
ve výstavbě - přestavba LEP (dokončeno
2004)
CERN (Švýcarsko)
energie protonu 7 TeV, dvojice protonů 14
TeV, jádra olova 1150 TeV
napájení magnetů supravodivě proudem
23 MA
8. 1. 3. Kruhové urychlovače (synchrofázotron, synchrotron, bevatron, kosmotron)
123
TEVATRON BataviaBatavia,, IlinoisIlinois,USA,USA
na energii 1000 GeV = 1 TeV
energie srážky 2 TeV
u terčíkové metody bychom museli mít 2 000 TeV
po rekonstrukci činnost zahájena v r. 2001
,p p
8. 1. 3. Kruhové urychlovače (synchrofázotron, synchrotron, bevatron, kosmotron)
TEVATRON důkaz
kvarku
top - srážka
protonu s
antiprotonem
8. 1. 3. Kruhové urychlovače (synchrofázotron, synchrotron, bevatron, kosmotron)
124
8. 1. 4. Betatron – urychlovač elektronů
princip: transformátor, sekundární
vinutí tvoří vakuová trubice se
svazkem elektronů, urychlení
probíhá v první čtvrtperiodě, ve
které rostoucí magnetické pole
udržuje elektrony na dráze s
konstantním poloměrem
první betatron z roku 1940
omezení energie: brzdné záření,
energie do 300 MeV
• smokatron
• urychlovače se samofokusací
8. 1. 4. Futurologické urychlovače
125
8. 1. 5. Kosmické urychlovače?
částice s energií : 1 částice na 100 km2 za 1 rok
částice s energií : 1 částice na 1 m2 za 1 rok
částice s energií : 10 částic na 1 m2 za 1 minutu
• rekordní částice - energie
• nejenergetičtější částice: jádra C, Fe, nepocházejí z naší Galaxie
• četnost dopadu:
⋅ = ⋅21 9
3 10 eV 3 10 TeV
21
10 eV
16
10 eV
12
10 eV
• ve výšce 12 km nad zemí vzniká kaskáda 1011 sekundárních částic
(hadrony, miony, piony, z nich neutrina, fotony)
• detekce AGASA (Japonsko) 50 km2, Argentina ( Pierre-Auger
Observatory - ve stavbě) 3000 km2
8. 1. 5. Kosmické urychlovače?
126
• energie částic ze supernovy
• urychlení umožňuje extrémní elektromagnetické pole: 1015 V/m, 108 T
• z izotropie „záblesků gama“ vyplývá, že jsou mimogalaktického
původu
• částice s energií 1019 eV generuje spršku sekundárních částic, která
na povrchu Země pokryje plochu 6 x 6 km
15
10 eV
8. 1. 5. Kosmické urychlovače?
8. 2. Elementární částice
8. 2. 1. Objevy elementárních částic
• elektron – 1897 (çca 50 keV)
• proton – 1911 (5 MeV)
• foton – 1905-1911
• neutron – 1932 (5 MeV)
• pozitron – 1933 (kosmické záření)
• mion – 1935 teorie, 1947 (kosmické záření)
• K-mezon – 1947 (kosmické záření)
• struktura protonu – 1960 (SLAC, Brookhaven)
• neutrino – teorie 1934, důkaz 1955
• neutrino mionové - 1962
• kvark charm – 1974 (SLAC, Brookhaven)
• lepton tau – 1975 (SLAC, Brookhaven)
• kvark bottom – 1977 (Fermilab)
• gluon – 1979 (DESSY)
• bosony W a Z (slabá interakce) – 1983-85 (CERN)
• kvark top (netěžší složka hmoty) – 1994-95 (Fermilab)
• neutrino tauonové 1999
127
8. 2. Elementární částice
8. 2. 2. Klasifikace částic
bosony (celočíselný spin, Boseho-Einsteinovo rozdělení)
fermiony (poločíselný spin, Fermiho-Diracovo rozdělení, Pauliho princip)
částice (tvoří drtivou většinu našeho vesmíru)
antičástice (mají opačné: náboj, magnetický moment, baryonové a leptonové číslo)
částice zprostředkující interakce
leptony (podléhají pouze gravitační a elektroslabé interakci)
hadrony (podléhají všem interakcím)
hadrony
mesony (bosony)
baryony (fermiony)
8. 2. Elementární částice
8. 2. 2. Klasifikace částic
Leptony:
Elektron a jeho neutrino ve třech generačních provedeních a samozřejmě jejich antičástice.
Bez vnitřní struktury. Všechny podléhají slabé interakci, elektrony i interakci
elektromagnetické.
Kvarky:
Částice, ze kterých jsou tvořeny hadrony s vnitřní strukturou (například proton, neutron
a mezony). Opět existují ve třech generacích, podléhají interakci silné, slabé i
elektromagnetické.
Higgsovy částice:
Zatím nenalezené částice, které v teoriích způsobují narušení symetrie a nenulovou
hmotnost intermediálních bosonů W+, W-a Z0 slabé interakce.
Intermediální částice:
Částice zprostředkující interakce. Pro elektromagnetickou interakci jde o foton, pro slabou
interakci o částice W+, W-, Z0, pro silnou interakci existuje 8 gluonů a pro gravitační
interakci zatím nenalezený graviton.
128
Podle představ kvantové teorie pole (P. A. M. Dirac, R. Feynman a další) probíhá interakce
dvou částic tak, že si vymění tzv. intermediální (mezipůsobící, polní, výměnnou) částici.
Každá částice podléhající interakci je obklopena oblakem těchto intermediálních částic.
Pojem pole (elektromagnetické, slabé, silné, gravitační) tak neznamená nic jiného než tento
oblak intermediálních částic. Jde o tyto částice:
graviton (dosud neobjeven)gravitační interakce
8 gluonůsilná interakce
W+, W-, Z 0slabá interakce
fotonelektromagnetická
interakce
Každá elektricky nabitá částice je tedy obklopena fotony (elektromagnetickým polem),
každý kvark je obklopen gluony (gluonovým - silným polem). Gluony vytvářejí kolem
kvarku jakýsi těžký gluonový kožich, jeho hmotnost dokonce několikanásobně přesahuje
hmotnost samotného kvarku.
8. 2. Elementární částice
8. 2. 3. Částice zprostředkující interakce – (intermediální) bosony
• Elektromagnetická interakce: Působí jen na částice s elektromagnetickým nábojem
(elektrony, protony, nabité piony, ...). Interakce má nekonečný dosah, působí i na velké
vzdálenosti.
• Slabá interakce: Působí na leptony i hadrony. Zodpovídá za relativně pomalé rozpady
částic (například β rozpad neutronu, rozpad mionu). Jde o interakci krátkého dosahu do
vzdáleností srovnatelných s rozměry atomového jádra.
• Silná interakce: Působí jen na hadrony. Jde o sílu, která spojuje kvarky v mezony a
baryony; sílu, která udržuje pohromadě neutrony a protony v atomovém jádře a sílu,
způsobující některé rychlé rozpady elementárních částic. Jde opět o interakci krátkého
dosahu do vzdáleností srovnatelných s rozměry atomového jádra.
• Gravitační interakce: Působí na všechny částice bez rozdílu, má nekonečný dosah.
Odpovídá za strukturu Vesmíru (pohyby planet, soudržnost galaxií, celkový vývoj Vesmíru).
8. 2. Elementární částice
8. 2. 3. Částice zprostředkující interakce
http://www.aldebaran.cz/astrofyzika/interakce/particles.html
129
8. 2. Elementární částice
8. 2. 4. Leptony
1999?ντ
1962~ 0,07 eVνµ
1956?νe
19773×10-13 s1777 MeV (3484 me)τ
19372×10-6 s105,7 MeV (207 me)µ
1897-0,51 MeV (1 me)e
Rok objevuDoba životaHmotnostČástice
8. 2. Elementární částice
8. 2. 5. Kvarky
1994176 GeV+ 2/31/31/2t (top)
19764,3 GeV- 1/31/31/2b (bottom)
19741,4 GeV+ 2/31/31/2c (charm)
1969150 MeV- 1/31/31/2s (strange)
19695 MeV+ 2/31/31/2u (up)
19697 MeV- 1/31/31/2d (down)
rok objevu
hmotnostnábojbaryonové
číslo
spinkvark
130
8. 2. Elementární částice
8. 2. 5. Kvarky
Skalární mezony: Spin kvarků je orientován naopak a výsledný spin mezonu je
nulový (s = 0)
Vektorové mezony: Spin kvarků je orientován souhlasně a výsledný spin
mezonu je roven jedné (s = 1)
Možné kombinace kvarků se často zakreslují do přehledných diagramů.
Nakresleme je pro první tři kvarky d, u, s. Ve směru doprava roste
elektromagnetický náboj částice, ve směru nahoru klesá počet podivných kvarků,
neboli roste podivnost. Podivnost s kvarku je -1, podivnost antikvarku je +1.
Kombinaci kvarků ve středu diagramu je třeba chápat jako kombinaci kvantových
stavů. Běžný svět první generace složený z kvarků (d, u) a jejich antikvarků je v
prostřední linii diagramů. Jde o nejznámější mezony p se spinem 0 a ρ se spinem
1. Mezony ρ jsou ve skutečnosti rezonance s dobou života cca 10-23 s. Mezony
obsahující s kvark se nazývají K mezony (kaony) a byly poprvé nalezeny ve 40.
letech v kosmickém záření, v 50. letech byly připraveny uměle na urychlovačích.
Vznikají při procesech ovlivňovaných silnou interakcí, rozpadají se slabou
interakcí. Nejdelší dobu života má mezon K0: 5×10-8 s.
Mezony (složené z kvarku a antikvarku):
8. 2. Elementární částice
8. 2. 5. Kvarky
Mezony (složené z kvarku a antikvarku):
131
8. 2. Elementární částice
8. 2. 5. Kvarky
Tři kvarky lze kombinovat tak, že výsledný
spin je roven 1/2 nebo 3/2. Podle toho je
možné z kvarků d, u, s zkombinovat tyto
baryony:
Baryony (složené ze tří kvarků):
132
základní kameny materiálního světa
Kvarky. Neutrina. Mesony. Všechny tyto
zatracené částice nemůžeš vidět. Ale co mne
takhle zřídil chlast, tak je vidět můžu.
133