Dosazování do výrazů, úprava vzorců
Dosadíme-li do výrazu nějaká konkrétní čísla z definičního oboru výrazu, dostaneme nějaké
konkrétní číslo, které nazýváme číselná hodnota daného výrazu. Takové dosazování se nejčastěji
provádí při dosazování čísel do vzorců, ať už při řešení fyzikálních, chemických nebo
matematických (například geometrických) příkladů.
Příklad 1:
Dosaďte do následujícího výrazu
x−5
x7
−
x y
x−y
2
a) x=2 a y=3 b) x=2 a y=2
Řešení:
Výraz má smysl pro x≠−7 a x≠y , definiční obor x∈ℝ∖{– 7} a y∈ℝ , x≠y
a) zde podmínky splněny
2−5
27
−
23
2−3
2
=
−3
9
−
5
−1
2
=
−3−5⋅9
9
=
−48
9
=
−16
3
b) podmínky nejsou splněny, x=y , výraz pro tyto číselné hodnoty nemá smysl
Příklad 2:
Jakou dráhu urazí auto, když má během deseti sekund zastavit při rychlosti 70km.h−1
?
Řešení:
Vzorec pro zrychlení/zpomalení je a=
v
t
, kde v je změna rychlosti (v tomto případě
zpomalení ze 70km .h−1
na nulovou rychlost) a t je časový okamžik (v tomto případě
10 sekund, což je
10
3600
=
1
360
h ). Vzorec pro dráhu zrychleného/zpomaleného pohybu je
s=
1
2
⋅a⋅t
2
=
1
2
⋅
v
t
⋅t
2
=
1
2
⋅
70
1
360
⋅ 1
360 
2
=
70
2⋅360
=
35
360
=0,097222222km=97,2m
Úpravy výrazů a vyjadřování neznámé ze vzorce
Vyjadřování neznámé ze vzorce má blízko k úpravám rovnic. Jeden způsob spočívá v dosazení
všech číselných hodnot a řešení rovnice s jednou neznámou. Tento způsob je pro mnohé jednodušší,
ale nese s sebou chybu spočívající v předčasném číselném výpočtu. Daleko vhodnější je druhý
způsob – úprava vzorce a vyjádření neznámé. Pro správné úpravy si musíme uvědomit, že
neutralizující se/doplňující se operace jsou ke sčítání odčítání, k násobení dělení a k odmocňování
umocňování. Úpravy se provádí s oběma stranami vzorce, tedy co přičteme/odečteme k jedné
straně, přičteme/odečteme od druhé strany, vynásobíme-li/vydělíme-li jednu stranu, to samé
provedeme s druhou stranou a odmocníme-li/umocníme-li jednu stranu, musíme odmocnit/umocnit
i stranu druhou. Několik příkladů následuje.
Příklad 3:
Ve vzorci x=
1
2
y⋅z
2
určete y tak, aby pro z=2 bylo x=20 .
Řešení:
Postup dosazovací:
20=
1
2
⋅y⋅2
2
⇒20=
1
2
⋅y⋅4=⇒20=2⋅y⇒ y=10
Postup upravovací:
Ze vzorce x=
1
2
y⋅z
2
potřebujeme vyjádřit neznámou y. Proto musíme z a 2 převést na druhou
stranu. Postup:
x=
1
2
y⋅z
2
/.2: z
2
x⋅2: z
2
=
1
2
y⋅z
2
⋅2: z
2
/komutativnost
x⋅2
z
2
=
1
2
⋅2⋅y⋅z2
: z2
x⋅2
z
2
=y
nejprve vynásobíme obě strany rovnice 2 a
vydělíme z2
, upravíme obě strany rovnice a
dostaneme vyjádření y
Můžeme dosadit z=2 a x=20 : y=
20⋅2
22
=10
Příklad 4:
Z jaké výšky dopadne na zem kulička za 10 sekund?
V tabulkách najdeme pro volný pád vzorec t=
2⋅h
g
, kde t je čas dopadu, m hmotnost objektu, g
gravitační zrychlení ( 9,81m.s−1
) a h výška.
h=
1
2
⋅g⋅t
2
=
1
2
⋅9,81⋅10
2
=490,5m