DM1 Příklady - dělitelnost Růžena Blažková, Irena Budínová Označení: Symbolem budeme označovat trociferné číslo zapsané ciframi a, b, c, jeho rozvinutý zápis je 100a + 10b + c. Sudé číslo se vyjádří zápisem 2k, liché číslo zápisem 2k + 1 nebo 2k – 1. Uvádíme příklady, ve kterých se ilustrují příklady s vhodnými postupy, např. vytýkáním, rozklady, užití důkazu matematickou indukcí apod. 1. Nejprve uvádíme jednoduché věty (bez důkazu) týkající se součtu nebo součinu přirozených čísel, které se snadno ověří, např. * Součet každých dvou lichých (sudých) čísel je číslo sudé. * Součet libovolného sudého a libovolného lichého čísla je číslo liché. * Součet dvou lichých, po sobě jdoucích čísel je vždy dělitelný čtyřmi. * Součin libovolných dvou lichých čísel je číslo liché. * Součin libovolného sudého čísla a libovolného lichého čísla je číslo sudé. * Součin libovolných dvou sudých čísel je dělitelný čtyřmi. 2. Dokažte, že rozdíl libovolného trojciferného čísla a čísla zapsaného opačným pořadím cifer je vždy dělitelný čísly 9 a 11. Důkaz: Čísla zapíšme pomocí jejich rozvinutého zápisu: (100 a + 10 b + c) – (100 c + 10 b + a) = 99 a – 99 c = 9 . 11 (a – c). Modifikace ve školské matematice: Zvolte si libovolné trojciferné číslo a zapište číslo s opačným pořadím číslic. Odečtěte od většího čísla číslo menší. Čím je dělitelný tento rozdíl? Další zajímavá modifikace: Zvolte si trojciferné číslo tak, aby počet stovek byl alespoň o 2 větší než počet jednotek. Zapište číslo s opačným pořadím číslic a odečtěte od většího čísla číslo menší. Rozdíl je trojciferné číslo. Zapište číslo s opačným pořadím číslic a obě čísla sečtěte. Pokud jste správně počítali, výsledek je vždy 1 089. Platnost tohto tvrzení ověříme velmi jednoduše. uvádí vlastnost rozdílu dvou trojciferných čísel. Toto číslo je násobkem čísla 99, číslo a – c je rozdílem dvou jednociferných přirozených čísel, a to je tedy číslo jednociferné. Násobky čísla 99, které jsou trojcifernými čísly jsou: 198, 297, 396, 495, 594, 693, 729, 891. Pokud je rozdílem dvou trojciferných čísel některé z nich a toto číslo sečteme s číslem s opačným pořadím číslic, dostaneme číslo, u kterého je součet jednotek 9, součet desítek je 90 + 90 = 180 a součet stovek je 900. Tedy 900 + 180 + 9 = 1089. 3. Jestliže p je prvočíslo větší než 3, pak je vždy jedno z čísel p – 1, p + 1 dělitelné šesti. Dokažte. Důkaz: Je třeba dokázat, že jedno z čísel p – 1 nebo p + 1 je dělitelné dvěma a zároveň třemi. Jestliže p je prvočíslo větší než 3, pak čísla p – 1 i p + 1 jsou sudá, tedy obě jsou dělitelná dvěma. Čísla p – 1, p, p + 1 jsou tři po sobě jdoucí přirozená čísla, tedy jedno z nich je dělitelné třemi. Číslo p to není, neboť je prvočíslo. Tedy je to některé z čísel p – 1 nebo p + 1. Modifikace ve školské matematice: Zvolte si libovolné prvočíslo větší než 3. Všimněte si, že jeho předchůdce nebo jeho následovník je dělitený šesti. 4. Jsou dána čísla a, b, žádné z nich není dělitelné třemi. Pak alespoň jedno z čísel a + b nebo a – b je dělitelné třemi. Důkaz: Pokud čísla a, b nejsou dělitelná třemi, pak je můžeme vyjádřit ve tvaru a = 3x + 1 nebo a = 3x + 2, b = 3y + 1 nebo b = 3y + 2. a + b = 3x + 1 + 3y + 2 = 3(x + y + 1) a – b = 3x + 1 – (3y + 1) = 3(x – y) Součet je dělitelný třemi, jestliže čísla a, b jsou z různých zbytkových tříd, rozdíl je dělitelný třemi, jestliže čísla a, b jsou ze stejných zbytkových tříd. 5. Dokažte, že součet šesti trojciferných čísel zapsaných týmiž ciframi, avšak v různém pořadí, je vždy dělitelný číslem 222. Důkaz: Trojciferná čísla zapíšeme pomocí rozvinutého zápisu: 100 a + 10 b + c 100 a + 10 c + b 100 b + 10 a + c 100 b + 10 c + a 100 c + 10 a + b 100 c + 10 b + a Součet těchto čísel je 222 a + 222 b + 222 c = 222(a + b + c) Modifikace ve školské matematice: Zvolte si tři různá jednociferná čísla a pomocí nich zapište všechna trojciferná čísla (bez opakování). Všechna tato čísla sečtěte a součet vydělte součtem tří zvolených jednociferných čísel. Vždy vyjde podíl 222. 6. Dokažte, že šesticiferné číslo tvaru (vytvořené z trojciferného čísla zapsaného dvakrát za sebou) je vždy dělitelné čísly 7, 11, 13. Důkaz: Šesticiferné číslo zapíšeme pomocí jeho rozvinutého zápisu: 100 000a + 10 000b + 1 000c + 100a + 10b + c = 100 100a + 10 010b + 1001 c = 1 001 (100a + 10b + c) = 7 . 11. 13 (100a + 10b + c). Modifikace ve školské matematice: Zvolte si libovolné trojciferné číslo a zapište šesticiferné číslo tak, že trociferné číslo zapíšete dvakrát za sebou. Toto číslo vydělte sedmi, získaný podíl vydělte číslem 11 a další získaný podíl vydělte číslem 13. Jaké číslo jste získali? 7. Dokažte, že jestliže trojciferné číslo je dělitelné číslem 37, pak každé číslo nebo je dělitelné číslem 37. Důkaz: Číslo = 100a + 10b + c je násobkem čísla 37, můžeme jej vyjádřit jako 37 k. Číslo = 100b + 10c + a upravíme tak, že a vyjádříme jako rozdíl 1 000 a – 999a. Pak 100 b + 10 c + 1 000 a – 999a = 10(100a + 10b + c) - 999 a = 37 k . 10 + 37 . 27a = = 37(10k + 27a) Číslo upravíme analogicky: 100c + 10a + b = 100c + 10 000a – 9 990a + 1 000b – 999b = 10 000a + 1 000 b + 100c – 9 999a – 999b = 100(100a + 10b + c) – 999(10a + b) = 37k . 100 + 37 . 27(10a – b)= = 37 . Modifikace ve školské matematice: Vyberte si libovolný trojciferný násobek čísla 37, z tohto násobku (číslo ) vytvořte nové číslo tak, že číslici, která je zapsána na místě stovek, přesunete na místo jednotek (získáte číslo ). Je toto číslo dělitelné číslem 37? Podobně vytvořte z původního násobku nové číslo tak, že číslici zapsanou na místě jednotek přemístíte na místo stovek (získáte číslo ). Je toto číslo dělitelné číslem 37? 8. Dokažte, že součet dvou po sobě jdoucích mocnin čísla 2 je vždy dělitelný třemi. Důkaz: 2^n + 2^n + 1 = 2^n + 2 . 2^n = 2^n (1 + 2) = 3 . 2^n 9. Dokažte, že součet tří po sobě jdoucích mocnin čísla 2 je vždy dělitelný sedmi. Důkaz: 2^n + 2^n + 1 + 2^n + 2 = 2^n + 2 . 2^n+ 2^2 . 2^n = 2^n (1 + 2 + 4) = 7 . 2^n 10. Dokažte, že číslo 2^1+ 2^2+2^3+ ... +2^100 je dělitelné třemi. Důkaz: Výraz upravíme tak, že vždy ze dvou členů vytkneme vhodnou (lichou) mocninu čísla 2: 2^1+ 2^2+2^3+ ... +2^100 = 2^1(1 + 2) + 2^3(1 + 2) + ... + 2^99(1 + 2) = 3 (2^1 + 2^3 + ... +2^99). 11. Dokažte, že číslo 4^1+4^2+ ... +4^100 je dělitelné pěti. Důkaz: Využijeme postupu důkazu příkladu 10. 4^1+4^2+ ... +4^100 = 4^1(1 + 4) + 4^3(1 + 4) + ... + 4^99(1 + 4) = 5(4^1 + 4^3+ ... + 4^99)^ ^ 12. Dokažte, že každé číslo tvaru 10^n + 8 je pro každé přirozené číslo^ n je dělitelné číslem 18. Důkaz: Dokážeme, že číslo 10^n + 8 je dělitelné dvěma a zároveň devíti. Tato čísla jsou tvaru 108, 1 008, 1 0008, atd., mají na místě jednotek 8, jsou tedy dělitelná dvěma. Ciferný součet těchto čísel je 1 + 8 = 9, tedy čísla jsou dělitelná devíti. Proto číslo 10^n + 8 je dělitelné číslem 18. 13. Dokažte, že výraz n^4- n^2 je dělitelný číslem 4 pro každé přirozené n. Důkaz: n^4- n^2 = n^2(n^2 – 1) = (n – 1)n^2(n + 1). Pokud n je sudé, je n = 2k, pak (2k – 1). 4k^2.(2k + 1) = 4 k^2(4k^2 – 1) Pokud n je liché, je n = 2k + 1, pak 2k(2k + 1)^2(2k + 2) = (4k^2 + 4k)(2k + 1)^2 = = 4(k^2 + k)(2k + 1)^2. 14. Dokažte, že pro každé přirozené číslo n je n^3 – n dělitené číslem 6. Důkaz: n^3 – n = n(n^2 -1) = (n – 1)n(n +1), Výraz (n – 1)n(n + 1) je dělitelný šesti, neboť jsou to tři po sobě jdoucí čísla, z nichž alespoň jedno je dělitelné dvěma a jedno z nich je dělitelné třemi. 15. Dokažte, že číslo n(n^2 - 7) je dělitelné číslem 6 pro každé přirozené n. Důkaz: Úpravou výrazu obdržíme: n(n^2 - 7) = n(n^2 – 1 – 6) = n = = (n – 1)n(n + 1) – 6n. Výraz (n – 1)n(n + 1) je dělitelný šesti, viz příklad 14. 16. Dokažte, že číslo n^3 + 2n je pro všechna přirozená čísla n dělitelné třemi. Důkaz: Využijeme matematickou indukci. 1. Pro n= 1 je 1^3+ 2 . 1 = 3 – věta platí. 2. Předpokládáme, že věta platí pro n = k a dokážeme, že platí i pro k + 1. (k + 1)^3+ 2(k + 1) = k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 2k + 2 =(k^3 + 2k) + 3(k^2 + k + 1). Výraz (k^3 + 2k) je dělitelný třemi z předpokladu, takže věta platí pro všechna n. 17. Dokažte, že součet třetích mocnin tří po sobě jdoucích přirozených čísel je vždy dělitelný devíti. Důkaz: Označme tři po sobě jdoucí čísla n – 1, n, n + 1. Potom (n – 1)^3 + n^3 + (n + 1)^3 = n^3 – 3n^2 + 3n + 1 + n^3 + n^3 + 3n^2 + 3n + 1 = 3(n^3 + 2n). S využitím příkladu 16 je výraz (n^3 + 2n) dělitelný třemi, tedy věta platí. 18. Dokažte, že číslo 21 dělí číslo 4^n+1 + 5^2n-1 pro každé přirozené n. Důkaz: Dokážeme matematickou indukcí. 1. Pro n = 1 je ^ 4^2 + 5^1 = 21, tedy věta platí. 2. Předpokládáme, že věta platí pro n= k přirozené, dokážeme že platí pro n = k + 1. 4^k + 2 + 5^2k + 1= 4^1 . 4^k+1 +5^2 . 5^2k-1 = 4 . 4^k+1 + (4 + 21) . 5^2k-1 = 4(4^k+1 + 5^2k-1) + 21. 5^2k-1. Z využitím předpokladu, že 21 dělí číslo (4^k+1 + 5^2k-1), je věta dokázána. 19. Dokažte, že číslo 2^n+2.3^n + 5n – 4 je dělitelné číslem 25 pro libovolné přirozené číslo n. Důkaz: Dokážeme matematickou indukcí. 1. Pro n = 1 je 2^3. 3 + 5 – 4 = 25, věta platí. 2. Předpokládáme , že věta platí pro n = k, dokážeme větu pro k + 1. 2^k+3. 3^k+1+ 5(k+1) – 4 = 2 . 2^k+2 . 3 . 3^k + 5k + 1 = 6 .(2^k+2 . 3^k) + 30k – 25k + 25 – 24 = 6 .(2^k+2 . 3^k + 5k - 4) - 25k + 25. Výraz .(2^k+2 . 3^k + 5k – 4) je dělitelný číslem 25 na základě předpokladu, tedy číslo 2^n+2.3^n + 5n – 4 je dělitelné číslem 25. 20. Jestliže n je sudé přirozené číslo, pak číslo 3^n + 63 je násobkem čísla 72. Důkaz: Jestliže n je sudé, je n = 2k. Pak 3^2k + 63 = 9^k + 63 = 9^k – 1 + 64. Číslo 9^k + 63 je násobkem čísla 9, číslo 9^k – 1 je násobkem čísla 8, neboť je dělitelné číslem (9 – 1). Tedy číslo 3^n + 63 je násobkem čísel 8 a 9, tedy je násobkem čísla 72. 21. Dokažte, že číslo 5^2n+1. 2^n+2 + 3^n+2. 2^2n+1 je násobkem čísla 19 pro každé přirozené n. Důkaz: 5^2n+1. 2^n+2 + 3^n+2. 2^2n+1 = 5 . 5^2n . 2 . 2^n + 3^2 .3^n . 2 . 2^2n = 20 . 25^n . 2^n + 18 . 3^n . 4^n = 20 . 50^n + 18 . 12^n = (19 + 1). 50^n + (19 – 1). 12^n = 19(50^n + 12^n) + 50^n – 12^n. Číslo 50^n – 12^n je násobkem čísla 19, neboť je dělitelné číslem 50 – 12 = 38 = 2 . 19.