Rozvoj matematických představ 1.
Helena Durnová říjen 2011
Přehled okruhů - RMP 1
1. Výrok. Negace výroku. Složené výroky (logické spojky: konjunkce, disjunkce, ostrá disjunkce, implikace, ekvivalence). Výroková forma. Výroková formule, pravdivostní ohodnocení výrokových formulí. Kvantifikované výroky: obecný a existenční kvantifikátor, negace kvantifikovaných výroků.
2. Množina. Podmnožina. Doplněk množiny. Sjednocení dvou množin. Průnik, rozdíl, symetrický rozdíl dvou množin. Využití množinových diagramů k řešení úloh. Kartézský součin dvou množin.
3. Binární relace z množiny do množiny. Binární relace na množině, Uspořádání množiny. Ekvivalence na množině a rozklad množiny. Zobrazení z množiny do množiny. Typy zobrazení: prosté, vzájemně jednoznačné.
4. Přirozená čísla: zavedení a základní vlastnosti. Operace s přirozenými čísly. Vytváření pojmu přirozeného čísla. Přirozená čísla a předškoláci.
V následujícím textu najdete stručné shrnutí látky a příklady k procvičení, Hvězdičkou (*) jsou označeny obtížnější příklady.
1
Literatura
Základní:
1 Růžena Blažková: Rozvoj matematických pojmů a představ u dětí předškolního věku.
http://is.muni.cz/elportal/?id=893208 Doporučená:
2 Blažková, Růžena - Matoušková, Květoslava - Vaňurová, Milena: Texty k didaktice matematiky pro studium učitelství 1. stupně základní školy. Č. 1. 1. vyd. Brno: UJEP Brno, 1987. 97 s.
3 Hejny, Milan - Stehlíková, Naďa, Číselné představy dětí. Praha: Univerzita Karlova v Praze - Pedagogická fakulta, 1999. 123 s. ISBN 80-86039-98-6.
4 Hejny, Milan - Kuřina, František. Dítě, škola a matematika .-konstruktivistické přístupy k vyučování. Vyd. 1. Praha: Portál, 2001. 187 s. ISBN 80-7178-581-4.
5 Blažková, Růžena - Matoušková, Květoslava - Vaňurová, Milena. Kapitoly z didaktiky matematiky (slovní úlohy, projekty). Brno: Masarykova univerzita v Brně, 2002. 84 s. ISBN 80-210-3022-4.
6 Zuzana Kolláriková - Branislav Pupala, eds., Predškolská a elementárna pedagogika. Vyd. 1. Praha: Portál, 2001. 455 s. ISBN 80-7178-585-7.
7 Blažková, Růžena - Matoušková, Květoslava - Vaňurová, Milena, Poruchy učení v matematice a možnosti jejich nápravy. Brno: Paido, edice pedagogické literatury, 2007. 96 s. Dotisk 1. vydání. ISBN 80-85931-89-3.
8 Drábek, Jaroslav - Viktora, Václav, Základy elementární aritmetiky: pro učitelství 1. stupně ZS a. 1. vyd. Praha: Státní pedagogické nakladatelství, 1985. 223 s.
2
Kapitola 1
Výroky
Definice 1 Výrok je tvrzení, o němž má smysl prohlásit, že je pravdivé nebo že pravdivé není.
Negace výroku A: —*A
Konjunkce (A a zároveň B): A A B
Disjunkce (A nebo B): AVß
Implikace (když A, pak B): A B
Ekvivalence (A právě tehdy když B): A 44> B
Tautologie: výrok, který je vždy pravdivý
Kontradikce: výrok, který není nikdy pravidvý
Tabulka pravdivostních hodnot složených výroků
A	B	A V B	A A B	A B	A^ B
1	1	1	1	1	1
1	0	1	0	0	0
0	1	1	0	1	0
0	0	0	0	1	1
Příklad 2 Uveďte příklad jednoduchého výroku. Příklad 3 Uveďte příklad složeného výroku - konjunkce. Příklad 4 Uveďte příklad složeného výroku - disjunkce. Příklad 5 Uveďte příklad složeného výroku - implikace. Příklad 6 Uveďte příklad složeného výroku - ekvivalence. Příklad 7 Vyslovte negace předchozích výroků.
Příklad 8 Uveďte příklad výroku, který je vždy pravdivý (tautologie). Příklad 9 Uveďte příklad výroku, který nikdy není pravdivý (kontradikce).
3
Příklad 10 Napište negace následujících výroků:
1. Neexistují neomylní učitelé.
[Existuje alespoň jeden neomylný učitel.]
2. Každý učitel je omylný. [Alespoň jeden učitel je neomylný.]
3. Žádný učitel není neomylný.
[Alespoň jeden učitel je neomylný. (Všimněte si, že předchozí tři výroky jsou stejné.)]
4. Jen omylní lidé jsou učitelé.
[Alespoň jeden neomylný člověk je učitelem.]
5. Žádný učitel není omylný. [Existuje alespoň jeden omylný učitel.]
6. Existují omylní učitelé. [Všichni učitelé jsou neomylní.]
7. Jen ti lidé, kteří jsou učiteli, mohou být omylní.
[Existue alespoň jeden člověk, který není učitelem a je omylný.]
8. Nejen omylní lidé jsou učiteli. [Žádný neomylný člověk není učitelem.]
Příklad 11 Sestavte tabulku pravdivostních hodnot následujících složených
výroků:	
(D)	-i(A => -.£) =>- -.(-.£ V -iA)
(E)	-n(AV^B) => n(AAB)
(F)	-<(A V B) A (-iA => B)
(G)	(AVB)AC
(H)	(AAC)VB
(J)	[(A VB)AC]^[(AACV B)]
(K)	A^{B^ --C)
(L)	-.(BAC)
(M)	[A =>■ (B =>■ --C)] O HB A C)]
(N)	[(A => B) A B] => A
(P)	-i(A V B) (nAAnB)
(Q)	A => (-iA => B)
4
Řešení:
A	B	c	D	E	F	G	H	J	K	L	M	N	p	Q
1	1	1	1	1	0	1	1	1	0	0	1	1	1	i
1	0	1	1	1	0	1	1	1	1	1	1	1	1	i
1	1	0	1	1	0	0	1	1	1	1	1	1	1	i
1	0	0	1	1	0	0	0	1	1	1	1	1	1	i
0	1	1	1	1	0	1	1	1	1	0	0	0	1	i
0	0	1	1	1	0	0	0	1	1	1	1	1	1	i
0	1	0	1	1	0	0	1	1	1	1	1	0	1	i
0	0	0	1	1	0	0	0	1	1	1	1	1	1	i
Příklad 12 Napište negace následujících výroků (s kvantifikátory):
1. Všechna zvířata mají čtyři nohy. [Alespoň jedno zvíře nemá čtyři nohy.]
2. Existuje ryba, která mluví. [Žádná ryba nemluví.]
3. Existuje nejméně 5 druhů sladkovodních ryb. [Existují nejvíce 4 druhy sladkovodních ryb.]
4. Aspoň jeden jehličnatý strom na zimu opadává. [Žádný jehličnatý strom na zimu neopadává.]
5. V Evropě rostou alespoň dva druhy borovic. [V Evropě roste nejvýše jeden druh borovice.]
6. Duha obsahuje všechny základní barvy.
[Alespoň jedna základní barva není obsažena v duze.]
7. Každou barvu lze namíchat ze základních barev. [Alespoň jednu barvu nelze namíchat ze základních barev.]
8. Všichni ptáci mají právě dvě nohy.
[Existuje alespoň jeden pták, který nemá právě dvě nohy (má nejvýše jednu nebo alespoň tři nohy).]
9. Všechny paní učitelky jsou hodné. [Alespoň jedna paní učitelka není hodná.]
10. Týden má (právě) sedm dní.
[Týden má nejvýše šest nebo alespoň osm dní.]
5
Kapitola 2
Množiny a operace s nimi
Definice 13 Soubor prvků nazýváme množinou. Množiny označujeme zpravidla velkými písmeny latinské abecedy.
x je prvkem A: x £ A;
A je podmnožinou B: A C B;
A je podmnožinou nebo je rovno B: A C B;
Sjednocení dvou množin: A U B;
Průnik dvou množin: A D B;
Rozdíl dvou množin: A \ B;
Doplněk množiny A vzhledem k množině M (platí A C M: A = M\A);
Kartézský součin dvou množin A, B: AxB (kartézský součin je množina uspořádaných dvojic, v nichž první prvek je z množiny A a druhý prvek z množiny B).
Příklad 14 Nechť A = {a,b,c,d,e}, B = {a, e,i, o,u}, C = {b, c, d, f, g}. Uveďte, jaké prvky obsahují následující množiny:
1. A U B
2. AU C
3. B U C
4. A D B
5. A n C
6. Bnc
7. A\B
8. A\C
9. B\C 10. B\A
6
11. C\B
12. C\A
13. A x B
14. AxC
15. B x C
16. B x A
17. C x A
18. C x B
19. A x A
20. B x B
21. C x C
Příklad 15 Určete všechny podmnožiny množin A, B a C z předchozího příkladu.
Rozhodněte, zda pro množiny A, B a C z předchozího příkladu platí následující tvrzení:
1. A C B
2. B Q C
3. A c B
4. C C B
Příklad 16 Ukažte, že platí následující tvrzení (pomocí Vennových diagramů) :
1. A u (B n C) = (A u B) n (A u C)
2. A n (B u C) = (A n B) u (A n C)
3. AUB=ÄÍ15
4. An£ = ÄUB
5. A\(flnC) = (A\B)U(4\C)
6. An(B\C) = (A\C)n(S\(ľ)
Příklad 17 Rozhodněte,která z následujících množinových inkluzí platí:
1. A\(B\C)CA\(BUC)
2. A\(BUC) CA\(B\C) [platí 2.]
Příklad 18 Rozhodněte, zda platí následující tvrzení:
* (A n B) U C = A n (B U C), pokud C C A
* A\(JB\C) = (A\JB)\C
7
Kapitola 3
Relace a zobrazení
Definice 19 Relací na množině A nazýváme podmnožinu kartézského součinu A x A; tj. prvky relace jsou některé uspořádané dvojice prvků množiny A: RC A x A
Vlastnosti relace
Relace symetrická: pro Va, b G A platí: (a, b) G R 44> (b, a) G R
Relace reflexivní: pro Va G A platí: (a, a) G i?
Relace antisymetrická: pokud (a, b) G A A (6, a) G A), pak: a = b
Relace tranzitivní: pro Va, b, c G A platí: (a, 6) G R A (b, c) G i? 44> (a, c) G i?
Relaci, která je reflexivní, antisymetrická a tranzitivní nazýváme uspořádání. Tuto relaci lze zakreslit hasseovským diagramem.
Relaci, která je reflexivní, symetrická a tranzitivní nazýváme ekvivalence. Ke každé ekvivalenci přísluší rozklad.
Příklad 20 Relaci na množině A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} zadanou výčtem zapište do tabulky a určete, zda je
(a) reflexivní,
(b) symetrická,
(c) antisymetrická,
(d) tranzitivní,
(e) uspořádání,
(f) ekvivalence.
V případě, že se jedná o uspořádání, nakreslete hasseovský diagram zadané relace; v případě, že se jedná o ekvivalenci, najděte příslušný rozklad.
R = {(1,1), (2, 2), (3, 3), (4,4), (5, 5), (6, 6)};
[reflexivní, symetrická, antisymetrická, tranziivní, uspořádání, ekvivalence, rozklad: jednoprvkové množiny 1,2,3,4,5,6]
8
S = R U {(1,4), (2, 5), (3, 6), (4,1), (5, 2), (6, 3)};
[reflexivní, symetrická, tranziivní, ekvivalence, rozklad: dvouprvkové množiny 14, 25, 36]
T = R U {(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,4), (2, 6), (3, 6)} [reflexivní, antisymetrická, tranziivní, uspořádání ]
P = R U {(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2)} [reflexivní, antisymetrická, tranziivní, uspořádání ]
Q = R U {(1,6), (2, 6), (3, 6), (4, 6), (5, 6)} [reflexivní antisymetrická, tranziivní, uspořádání]
Definice 21 Relace f C A x B se nazývá zobrazením, pokud je každému prvku množiny A přiřazen nejvýše jeden prvek množiny B (tj. žádný prvek množiny A nelze zobrazit na dva různé prvky). Zobrazení se nazývá
prosté, pokud má každý prvek množiny B právě jeden vzor;
"na", pokud má každý prvek množiny B alespoň jeden vzor;
vzájemně jednoznačné, pokud má každý prvek množiny A právě jeden obraz a každý prvek množiny B právě jeden vzor.
Příklad 22 Určete, která z následujících zobrazení jsou vzájemně jednoznačná; která jsou prostá; a která jsou 'na'. Nakreslete názorný obrázek.
A = {1,2, 3,4}, S = {1,2,3,4,5},/ = {(1,1), (2, 3), (3, 5), (4, 2)} [prosté]
A = {1,2, 3}, S = {1,2,3,4},/ = {(1,1), (2, 3), (3, 4)} [prosté]
A = {1, 2, 3,4}, B = {a, b, c, d}, f = {(1, d), (2, a), (3, c), (4, b)} [prosté a na, tj. vzájemně jednoznačné]
9
Kapitola 4
Přirozená čísla a operace s nimi
Definice 23 Binárni operace + a ■ na množině přirozených čísel N jsou
komutativní, tj. platía + b = b + a,a-b = b-a;
asociativní, tj. platí a ■ (b ■ c) = (a ■ b) ■ c; Dále platí distributivní zákon: a ■ {b + c) = a ■ b + a ■ c. Příklad 24 Sečtěte následující čísla ve dvojkové soustavě
1. 10101 + 1011 [100000]
2. 10111 + 10101 [101100]
3. 11001 + 10001 [101010]
4. íiiii + iiiii
[111110]
Příklad 25 Zapište následující čísla vyjádředná římskými číslicemi v poziční desítkové soustavě:
1. XLIII
[43]
2. MCM
[1900]
3. MDCCCLIV
[1854]
4. MXMIX [1999]
5. MDCXVIII
[1618]
10